江苏省常州市武进区2019届高三上学期期中考试数学理试题

2019届第一学期期中考试
高三理科数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1．设集合，，则 ▲ ．
2．已知向量，，若，则实数的值为 ▲ ．
3．设R，则是的 ▲ 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．
4．已知等差数列的前项和为，若，则 ▲ ．
5．已知是函数的导函数，实数满足 ，则的值为 ▲ ．
6．已知，，若向量与共线，则实数的值为 ▲ ．
7．已知函数为偶函数，且在单调递减，则的解集为 ▲ ．
8．在平面直角坐标系中，，，，是圆上的四段弧（如图），点在其中一段弧上，角以为始边，为终边．若，则所在的圆弧是 ▲ ．
9．函数(且)的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 ▲ ．
10．已知R，函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ▲ ．
11．在等腰梯形中，∥，，，，若，，且，则实数的值为 ▲ ．


12．已知不等边（三条边都不相等的三角形）的内角的对边分别为
，若，则的弧度数为 ▲ ．
13．已知定义在R上的函数，若存在实数，使得对任意实数都有成立，则实数的最小值为 ▲ ．
14．若正实数、满足，且，则的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分）
的内角、、的对边分别为、、，已知，
，.
⑴ 求角的值；
⑵ 求的面积．






16．（本题满分14分）
已知为坐标原点，，，，
若.
⑴ 求函数的最小正周期和单调递增区间；
⑵ 将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的最小值．





17．（本题满分14分）
常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 （单位：分钟）满足，．经测算，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为.
⑴ 求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；
⑵ 若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？










18．（本题满分16分）
已知函数．
⑴ 讨论的单调性；
⑵ 若恒成立，求实数a的取值范围．


19．（本题满分16分）
设函数，其中，．
⑴ 若，，求曲线在点处的切线方程；
⑵ 若，求的极值；
⑶ 若曲线与直线有三个互异的公共点，求实数的取值范围．










20．（本题满分16分）
设数列的前项和为．已知，设.
⑴ 求证：当时，为常数；
⑵ 求数列的通项公式；
⑶ 设数列是正项等比数列，满足：，，求数列的前n项的和．




2019届第一学期期中考试
高三理科数学试题参考答案及评分标准
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1． 2． 3．充分不必要 4．
5． 6． 7． 8．
9． 10． 11．
12． 13． 14．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．解：（1）由，故，
得，----------------------------------------------------------------------------2分
即，得------------------------------------------------4分
又，∴，
即；-----------------------------------------------------------------------------------------------7分
（2）由已知，
由正弦定理得，
，，----------------------------------------------9分
由余弦定理，
得，
解得，-------------------------------------------------------------------------------------------12分
∴的面积为．---------------------------------------------------------14分
16． 解： (1)由题意，，
所以，----------------3分
∴的最小正周期为， ---------------------------------4分
令，得，
所以的单调递增区间为. --------------------------------------------6分
(2)由(1)得，
所以将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)，
得到函数；---------------------------------------------------------------------------8分
再将得到的图象向左平移个单位，
得到， -----------------------------------------10分
，，
当即时，，----------------------13分
即函数在上的最小值为2． ---------------------14分
17．解（1）由题意知，，（为常数），---------2分
，
，-----------------------------------------3分
， ----------------5分
，-----------------------------------------6分
（2）由，可得
，-----------------------------------------8分
当时，，
当且仅当时等号成立；-----------------------------------------10分
当时，，当时等号成立，------12分
当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.
答：当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.- ----- 14分
18．解：（1）函数的定义域为，
，------------------------------2分
①若，则，在单调递增；-----------------------------------------3分
②若，则由得．
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增；-----------------------------------------5分
③若，则由得．
当时，；当时，，
故在单调递减，在单调递增．---------------------------------------7分
（2）①若，则，所以．-----------------------------------------8分
②若，则由（1）得， ，
从而当且仅当即时，，
.-----------------------------------------11分
③若，则由（1）得， ，-------------13分
从而当且仅当即时，，
.-----------------------------------------15分
综上，实数a的取值范围为.-----------------------------------------16分
19．解：（1）函数，
，时，，
，，，-----------------------------------------2分
∴在点处的切线方程为；-----------------------------------------3分
（2）当时，，
，-----------------------------------------4分
令，解得或；
当变化时，，的变化情况如下表；
（﹣∞，） （t2﹣，t2+） （，+∞）
+ 0 ﹣ 0 +
单调增 极大值 单调减 极小值 单调增
----------------------------------------6分
∴的极大值为，
极小值为；-----------------------------------------8分
（3）令，可得；
设函数，
则曲线与直线有三个互异的公共点等价于函数有三个不同的零点；-----------------------------------------9分
又，
当时，恒成立，此时在上单调递增，不合题意； ----------------10分
当时，令，解得，；
∴在上单调递增，在上单调递减，在上也单调递增；
∴的极大值为；
极小值为；-----------------------------------------12分
若，由的单调性可知，函数至多有两个零点，不合题意；
若，即，解得，-----------------------------------------13分
此时，，且；
，-----------------------------------------15分
从而由的单调性可知，
在区间，，内各有一个零点，符合题意；
∴的取值范围是．-----------------------------------------16分
20．解：（1）由题意：n=1时，；--------------------------------------1分
当时，，
，

， -----------------------------------3分
，--------------------------------------5分
当时，为常数0. --------------------------------------6分
（2）由（1）得，是常数列.
，，----------------------------------8分
，
.--------------------------------------10分
（3）由（2）知：，数列是正项等比数列，所以，公比为2，，
……③，
……④，
③-④得：，-------------------------------------12分
设……⑤，
……⑥，
⑤-⑥得：，--------------------------------------14分
，
.-----------------------------------------16分







2018．11



















2018．11