江苏省常州市武进区2019届高三上学期期中考试数学文试题

2019届第一学期期中考试
高三文科数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 ▲ ．
2．已知集合，，若，则 ▲ ．
3．函数的定义域为 ▲ ．
4．函数的最小正周期是 ▲ ．
5．已知函数，则的值为 ▲ ．
6．已知，，若向量与共线，则实数的值为 ▲ ．
7．底面半径都是且高都是的圆锥和圆柱的全面积之比为 ▲ ．
8．设不等式组表示的平面区域为，是区域上任意一点，
则的最大值与最小值之和是 ▲ ．
9．定义在R上的偶函数（其中、为常数）的最小值为，
则 ▲ ．
10．在等腰梯形中，∥，，，，若，，且，则实数的值为 ▲ ．
11．将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，
若对满足的、，有，则 ▲ ．
12．在等比数列中，已知，若，则的最小值是 ▲ ．
13．在中，，，当角A最大时，则的面积为 ▲ ．
14．已知函数，若关于的函数有个不同的零点，则实数的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
已知向量，，其中，且⊥.
⑴ 求的值；
⑵ 若，且，求角.






16．（本小题满分14分）
如图，在四棱柱中，底面为等腰梯形，∥，
，为边的中点，⊥底面.
⑴ 求证：∥平面；
⑵ 平面⊥平面.


17．（本小题满分14分）
如图，在海岸线一侧处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便登岛游客，在上设立了，两个报名接待点，，，三点满足任意两点间的距离为．公司拟按以下思路运作：先将，两处游客分别乘车集中到之间的中转点处(点异于，两点)，然后乘同一艘游轮由处前往岛．据统计，每批游客报名接待点处需发车辆，处需发车辆，每辆汽车的运费为元/，游轮的运费为元/．设∠，每批游客从各自报名点到岛所需的运输总成本为元．
⑴ 写出关于的函数表达式，并指出的取值范围；
⑵ 问：中转点距离处多远时，最小？











18．（本小题满分16分）
已知函数．
⑴ 若函数在内有且只有一个零点，求此时函数的单调区间；
⑵ 当时，若函数在上的最大值和最小值的和为，求实数的值．


19．（本小题满分16分）
在数列，中，已知，，且，，成等差数列，，，也成等差数列，数列的前项和为．
⑴ 求证：是等比数列；
⑵ 求及；
⑶ 设是不超过的正整数，求使成立的所有数对．









20．（本小题满分16分）
已知函数，．
⑴ 若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；
⑵ 若函数在区间上为单调递减函数，求实数的取值范围；
⑶ 设为正实数，且，求证：．




2019届第一学期期中考试
高三文科数学试题参考答案及评分标准
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1．, 2．, 3．, 4．,
5．, 6．, 7．， 8．，
9．， 10．， 11．，
12．， 13．， 14．，
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15、(本题满分14分)
解：(1)∵，，且⊥.
∴，即， …………………………………2分
又∵，∴，即， …………………3分
又∵，∴，， ……………………………4分
则， …………………………………6分(2) ∵，，
∴，即 ……………………………………8分
又∵，
∴，……………………10分
则
， ………………………………………………13分
又∵，∴， ……………………………………………………14分
16、(本题满分14分)
证明：（1）∵几何体为四棱柱，
∴四边形为平行四边形，
即∥，且，……………2分
又∵底面为等腰梯形，∴∥，
即∥， ………………………3分
又∵，且为边的中点，
∴，即，……………4分
则四边形为平行四边形，即∥， ………………………………5分
又∵平面，平面，
∴∥平面， ……………………………………………………7分
（2）∵∥，且，
∴四边形为平行四边形，
又∵，∴四边形为茭形，则⊥， ……………9分
又∵⊥底面，且底面，∴⊥， ……………11分
又∵，且平面，平面，
∴⊥平面， ……………………………………………………13分
又∵底面，∴平面⊥平面 ……………………………14分

17、(本题满分14分)
解：(1) 由题知在△中，∠，
∠，，∠，
由正弦定理知， …………………………………2分
即，，
则， ……………………………………4分
由题意可得
，
，其中， …………………………………7分
(2) 由，其中得，
，令解得， …………………………9分
∵，∴存在唯一的，使得，
当时，，即函数在区间上为单调递减，
当时，，即函数在区间上为单调递增，
故当（即）时，最小， …………………………………11分
则， …13分
答：当中转点距离处时，最小，…………………………14分

18、(本题满分16分)
解：（1）∵，
∴由，得到，， ……………1 分
1 当时，在区间上恒成立，
即函数在区间上单调递增，
又因为函数的图象过点，即，
所以函数在内没有零点，不合题意， ……………………3分
2 当时，由得，即函数在区间上单调递增，
由得，即函数在区间在上单调递减， …………4分
且过点，则由函数的图象（略）可知，
要使函数在内有且只有一个零点，则须，
即，解得，
综上可得函数在内有且只有一个零点时， ………………6分
此时函数的单调递增区间为，，单调递减区间为……7分
（2）当时，函数在，上单调递增，在上单调递减，
此时函数有两个极值点，极大值为，极小值为，且，， ………………………………………………8分
1、 当时，即时，
①若，即，也即时，此时，
又∵，∴
由可得，即，符合题意 …10分
②若，即，也即时，此时，
，
由可得，即，不符合题意舍去 …12分
2、 当时，即时，，
又∵
， …………………………13分
①若，即，也即时，此时，
由可得，即，不符合题意舍去 …15分
②若，即，也即时，此时，
由可得，即，不符合题意舍去，
综上所述可知所求实数的值为。 ……………………………………………16分

19、(本题满分16分)
解：（1）由，，成等差数列可得，，①
由，，成等差数列可得，， ②
①②得，， ……………………………………………2分
即，（其中），
又因为
所以是以6为首项、为公比的等比数列， ……………………………4分
（2）由（1）知，， ③
①②得，，（其中），
即， ④
③④得，，（）， …………………………6分
即，（），
则

， ……………………………………………8分
（3）把代入，
得，
所以，
整理得，，即，…………………………10分
由是不超过100的正整数，可得，
即，且，
所以或， ……………………………………………12分
1 当时，即，
此时，则，符合题意； ……………………………………………14分
当时，，
此时，则，符合题意．
综上可知使得成立的所有数对为， ……16分

20、(本题满分16分)
解：（1）∵．
∴ ……… 1分
∵是函数的极值点，∴，解得， …………………2分
经检验，当时，是函数的极小值点，符合题意。 ……………3分
此时切线的斜率为，切点为，
则所求切线的方程为 …………………………………5分
（2）由（1）知
因为函数在区间上为单调递减函数，
所以不等式在区间上恒成立. ………………………………………6分
即在区间上恒成立，
当时，由可得，
设，，，
当且仅当时，即时，，
又因为函数在区间上为单调递减，在区间上为单调递增，
且，，
所以当时，恒成立，
即，也即
则所求实数的取值范围是 ……………………………………………10分
（3）为正实数，且，
要证，只需证，
即证只需证 …………………………12分
设，，
则在上恒成立，
即函数在上是单调递增， ………………………14分
又∵，∴，即成立，
也即成立， ……………………………………………16分







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