新湘教版 数学 九年级上 4.3 解直角三角形教学设计
课题
4.3 解直角三角形
单元
第四单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
过程与方法：
①采用引导、启发、合作、探究等方法，经历观察、发现、动手操作、归纳、交流等文学活动，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习.
②逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性；
情感态度与价值观：
①通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识。
②使学生亲身经历解直角三角形的过程，感受数学知只的实用性，培养学生积极的情感和态度。
重点
灵活运用锐角三角函数解直角三角形。
难点
灵活运用锐角三角函数解直角三角形。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新课
在上节课中，我们已经学习了有关正弦、余弦以及正切的定义，以及特殊角度的正弦、余弦、正切的值。而我们这节课要进一步探究直角三角形的三角函数。在上新课之前，我们一起回忆下前面学习的知识。
/
在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题.
对于这类问题，我们一般利用前面已学的锐角三角函数的有关知识来解决.
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .
（1）直角三角形的三边之间有什么关系？
a2+b2=c2(勾股定理)
（2）直角三角形的锐角之间有什么关系？ ∠A+∠B=90°.
（3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
sin A=
?∠A的对边
斜边
=
a
c
cos A=
∠A的邻边
斜边
=
b
c
tan A=
∠A的斜边
∠A的邻边
=
a
b
【议一议】 在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？
/
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
+
例题讲解
从刚刚导入新课的探究中，我们可以得解直角三角形定义：
在直角三角形中，除直角外的5个元素(即3条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，根据三角函数，就可以求出其余的3个未知元素。
根据三角函数，借助已知的元素信息，可以求出三角形所需的元素。而在直角三角形中，我们把直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.
解直角三角形的依据：
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；
(3)边角之间的关系:sin A＝
a
c
，cos A=
b
c
，tan?A=
a
b
.
(4)面积公式：S△ABC=
1
2
????=
1
2
??·?
接下来，我们看一些具体的例子：
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，a=5，求∠B，b，c.
解：∵∠B=90°-∠A=60° ,∠A=30°.且tan B=
??
??
.
∴b=a·tan B=5·tan60°=5
3
∵sin A=
a
c
∴??=
a
?????????
=
5
??????30°
=
5
1
2
=10.
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cos A =
1
3
，BC = 5， 试求AB的长.
解：∵ ∠C=90° ，cos A =
1
3
，∴
????
????
=
1
3
设AB=x，则AC=
1
3
??.
又AB2=AC2+BC2，则x2=（
1
3
x）2+52
∴x1=
15
2
4
,x2=?
15
2
4
（舍去）
∴AB的长为
15
2
4
.
【例3】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tan A＝
3
2
，求sin B＋cos B的值．
解：在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，
∴tan A＝
CD
AD
＝
6
AD
＝32，∴AD＝4，
∴BD＝AB－AD＝12－4＝8.
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，BD＝8，CD＝6，
∴BC＝
BD
2
+
CD
2
＝10，
∴sin B＝
CD
BC
＝35，cos B＝
BD
BC
＝
4
5
，
∴sin B＋cos B＝
3
5
+
4
5
＝
7
5
.
小结：说说解直角三角形时，有哪些注意点？
1.做标注：在遇到解直角三形的问题时，先画一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，以得于分析解决问题.
2.找关系式：选取关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误”.
3.遵循规则：遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”.
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握解直角三角形的定义和方法。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
讲授知识，让学生掌掌握直角三角形的定义和方法
让学生知道本节课的学习内容和重点。
课堂练习
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.
(1)直角三角形的三边之间的关系为a2+b2=c2(勾股定理)_；
(2)直角三角形的两个锐角之间的关系为_∠A+∠B=90°；
(3)直角三角形的边和锐角之间的关系为sin A＝__
a
c
__，
cos A＝__
??
c
__，tan A＝__
??
??
__，tan B＝__
??
??
__．
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝
5
，AC＝
15
，则∠A的度数为( D )
A．90° B．60° C．45° D．30°
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值是( A )
A.
3
5
B.
4
5
C.
4
3
D.
5
4
4．在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC等于( D )
A．3sin 40° B．3sin 50°
C．3tan 40° D．3tan 50°
5．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为___4
3
__．
6．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°.
(1)若c＝10，求a，b的值；
解：∵sinA=
??
??
=
??
10
=
3
2
.
∴??=5
3
， ??=
??2???2
=5
(2)若a＝4，求b及∠B的值．
解：∵tanA=
??
??
，∴
3
=
4
??
.
∴b=
4
3
3
，∠B=90°-60°=30°.
7.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形。若AB=2，求△ABC的周长.（结果保留根号）
解：在等边△ABD中，∠B=60°
∵∠BAC=90°
∴∠C=30°，sinC=
AB
BC
，
∴BC=4.
∵cosC=
AC
BC
∴AC=BC·cosC=2·
3
∴△ABC的周长是6+2·
3
.
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
根据三角函数，借助已知的元素信息，可以求出三角形所需的元素。而在直角三角形中，我们把直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.
/
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
解直角三角形
在直角三角形中，我们把直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.
/
借助板书，让学生知识本节课的重点。
作业
教材第123页练习第1、2、3题.
/
4.3 解直角三角形
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题6分）
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，则BC的长为（ ）
A．5sin25° B．5tan65° C．5cos25° D．5tan25°
2．如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=
3
2
，AC=2
3
，则AB的长是（ ）
/
A．4 B．3+
3
C．5 D．2+2
3
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点B在CD上，且BD=BA=2AC，则tan∠DAC的值为（ ）
/
A．2+
3
B．2
3
C．3+
3
D．3
3
4．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=
1
3
，AD=1．则△ABC的面积为（ ）
/
A．1+2
2
B．
1+
10
2
C．
1+2
2
2
D．2
2
?1
5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=1.5，BC=2，则cosB的值是（ ）
/
A．
2
3
B．
3
2
C．
3
4
D．
4
3
二．填空题（共5小题，每题6分）
6．已知△ABC中，AB=5，sinB=
3
5
，AC=4，则BC= ．
7．等腰△ABC的腰AC边上的高BD=3，且CD=5，则tan∠ABD= ．
8．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在网格上，则∠ABC的正切值为 ．
/
9．如图，点D在钝角△ABC的边BC上连接AD，∠B=45°，∠CAD=∠CDA，CA：CB=5：7，则∠BAD的余弦值为 ．
/
10．如图，在△ABC中，AB=AC，sinA=
3
5
，BC=2
10
，则△ABC的面积为 ．
/
三．解答题（共3小题，第11、12题每题13分，第13题14分）
11．如图，在△ABC中，∠A=105°，∠C=30°，AB=4，求BC的长．
/
12．如图，△ABC中，D为BC边上的一点，若∠B=36°，AB=AC=BD=2．
（1）求CD的长；
（2）利用此图求sin18°的值．
/
13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=5，AD=4，BC=3+4
3
（1）BD的长为 ，sin∠ABC= ．
（2）求∠DAC的度数．
/
试题解析
一．选择题
1．【分析】在Rt△ABC中，由AB及∠B的值，可求出BC的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，
∴BC=AB?cos∠B=5cos25°．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，牢记直角三角形中边角之间的关系是解题的关键．
2．【分析】作CD⊥AB于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=
3
，AD=3，再在Rt△BCD中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可．
【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2
3
，
∴CD=
1
2
AC=
3
，AD=
3
CD=3，
在Rt△BCD中，tanB=
????
????
，
∴
3
????
=
3
2
，
∴BD=2，
∴AB=AD+BD=3+2=5．
故选：C．
/
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
3．【分析】在直角三角形ABC中，根据AB=2AC求出∠ABC的度数，分别设出DC与AC，即可求出所求．
【解答】解：在Rt△ABC中，BA=2AC，
∴∠ABC=30°，∠BAC=60°，
∵设BD=BA=2x，
∴AC=x，BC=
3
x，
∴DC=DB+BC=2x+
3
x，
则tan∠DAC=
????
????
=2+
3
，
故选：A．
【点评】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
4．【分析】先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2
2
，解Rt△ADC，得出DC=1，然后根据三角形的面积公式计算即可；
【解答】解：在Rt△ABD中，∵sinB=
????
????
=
1
3
，
又∵AD=1，
∴AB=3，
∵BD2=AB2﹣AD2，
∴BD=
3
2
?
1
2
=2
2
．
在Rt△ADC中，∵∠C=45°，
∴CD=AD=1．
∴BC=BD+DC=2
2
+1，
∴S△ABC=
1
2
?BC?AD=
1
2
×（2
2
+1）×1=
1+2
2
2
，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据余弦的定义计算即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴AB=2CD=3，
在Rt△ABC中，cosB=
????
????
=
2
3
，
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形、直角三角形的性质，掌握余弦的定义、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
二．填空题
6．【分析】根据题意画出两个图形，过A作AD⊥BC于D，求出AD长，根据勾股定理求出BD、CD，即可求出BC．
【解答】解：有两种情况：
如图1：过A作AD⊥BC于D，
/
∵AB=5，sinB=
3
5
=
????
????
，
∴AD=3，
由勾股定理得：BD=4，
CD=
??
??
2
???
??
2
=
7
，
∴BC=BD+CD=4+
7
；
如图2：同理可得BD=4，CD=
??
??
2
???
??
2
=
7
，
∴BC=BD﹣CD=4﹣
7
．
/
综上所述，BC的长是4+
7
或4﹣
7
．
故答案为：4+
7
或4﹣
7
．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识点的应用，解此题的关键是画出所有的情况对应的图形．
7．【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：①如图1中，当△ABC是锐角三角形，CB=CA时，
/
在Rt△CDB中，BC=
??
??
2
+??
??
2
=
34
，
∴AD=AC﹣CD=
34
﹣5，
∴tan∠ABD=
????
????
=
34
?5
3
．
②如图2中，当△ABC是钝角三角形，CB=CA时，
/
在Rt△CDB中，BC=AC=
??
??
2
+??
??
2
=
34
，
∴tan∠ABD=
????
????
=
34
+5
3
，
③如图3中，当△ABC是钝角三角形，AB=AC时，设AB=AC=x，
在Rt△ADB中，x2=32+（5﹣x）2，
∴x=
17
5
，
∴tan∠ABD=
????
????
=
8
15
，
综上所述，
34
?5
3
或
34
+5
3
或
8
15
．
故答案为
34
?5
3
或
34
+5
3
或
8
15
．
【点评】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
8．【分析】作CD⊥AB于点D，利用S△ABC=
1
2
×2×4=
1
2
×4
2
×CD可以求得CD、BD的长，从而可以求出tan∠ABC的值．
【解答】解：如图，作CD⊥AB于点D，
/
则AB=
4
2
+
4
2
=4
2
，BC=
1
2
+
3
2
=
10
，
∵S△ABC=
1
2
×2×4=
1
2
×4
2
×CD，
∴CD=
2
，
则BD=
??
??
2
???
??
2
=
(
10
)
2
?(
2
)
2
=2
2
故tan∠ABC=
????
????
=
2
2
2
=
1
2
．
故答案为：
1
2
．
【点评】本题考查的是勾股定理及解直角三角形，解题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用锐角三角函数解答问题．
9．【分析】如图作AH⊥BC于H，DE⊥AB于E，设AC=5k，BC=7k，解直角三角形求出BH、AH、AD、AE即可解决问题；
【解答】解：如图作AH⊥BC于H，DE⊥AB于E，设AC═CD=5k，BC=7k，
/
∵∠B=45°，∠AHB=90°，
∴AH=BH，设AH=BH=x，
在Rt△ACH中，∵AH2+HC2=AC2，
∴x2+（7k﹣x）2=（5k）2，
解得x=3k或4k，
当x=3k时，
∴BH=AH=3k，DH=k，AD=
10
k，DE=BE=
2
k，AE=2
2
k，
∴cos∠BAD=
????
????
=
2
2
10
=
2
5
5
，
当x=4k时，同法可得cos∠BAD=
????
????
=
3
2
??
2
5
??
=
3
10
10
，
故答案为
2
5
5
或
3
10
10
．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
10．【分析】过B作BD⊥AC，交AC于点D，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义及sinA的值，设出BD=3x，AB=AC=5x，利用勾股定理求出AD，由AC﹣AD表示出CD，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出x的值，确定出AC与BD，即可求出面积．
/
/
【点评】此题考查了解直角三角形，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
三．解答题
11．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义求出AD的长，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D．
/
在Rt△ACD中，∠C=30°，
所以∠DAC=60°，CD=
3
AD，
所以∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=45°，
即△ABD是等腰直角三角形，BD=AD=
1
2
AB=2
2
所以CD=2
6
所以BC=BD+DC=2
2
+2
6
【点评】本题考查的是解直角三角形及勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12．【分析】（1）求出△CAD∽△CBA，得出比例式，代入求出即可；
（2）求出△EAD是直角三角形，求出AD的长度，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵AB=AC，∠B=36°，
∴∠C=∠B=36°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=108°，
∵AB=BD，∠B=36°，
∴∠BAD=∠BDA=
1
2
×（180°﹣∠B）=72°，
∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=108°﹣72°=36°，
即∠DAC=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴
????
????
=
????
????
，
∵AB=AC=BD=2，
∴
2
????
=
2+????
2
，
解得：CD=
5
﹣1（负数舍去）；
（2）/
延长CB到E，使BE=AB=2，连接AE，
则∠E=∠BAE，
∵∠ABC=36°=∠E+∠BAE，
∴∠E=∠BAE=18°，
∵∠BAD=72°，
∴∠EAD=72°+18°=90°，
∵∠C=∠CAD=36°，
∴AD=CD=
5
﹣1，
在Rt△EAD中，sinE=
????
????
=
5
?1
2+2
=
5
?1
4
，
即sin18°=
5
?1
4
．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、解直角三角形等知识点，能求出△CAD∽△CBA是解此题的关键．
13．【分析】（1）根据勾股定理和锐角三角函数即可解答本题；
（2）根据锐角三角函数可以求得∠DAC的度数．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=5，AD=4，
∴∠ADB=90°，
∴BD=
??
??
2
???
??
2
=
5
2
?
4
2
=3，sin∠ABC=
????
????
=
4
5
，
故答案为：3，
4
5
；
（2）∵BC=3+4
3
，BD=3，AD=4，
∴CD=4
3
，
∴tan∠DAC=
????
????
=
4
3
4
=
3
，
∴∠DAC=60°．
【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
/
课件21张PPT。4.3 解直角三角形数学湘教版 九年级上?????????回顾知识 在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题.
对于这类问题，我们一般利用前面已学的锐角三角函数的有关知识来解决.导入知识导入知识?? 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .（1）直角三角形的三边之间有什么关系？
（2）直角三角形的锐角之间有什么关系？
（3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ a2+b2=c2(勾股定理)∠A+∠B=90°.?讲解知识 在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？如果知道的2个元素都是角，不能求解.因为此时的直角三角形有无数多个.如果已知2个元素，且至少有一个边是边就可以了.讲解知识 在直角三角形中，除直角外的5个元素(即3条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，根据三角函数，就可以求出其余的3个未知元素。讲解知识 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，a=5，求∠B，b，c. ?c 还有另外一个解法？讲解知识解直角三角形的依据：(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）； (2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；?? 根据三角函数，借助已知的元素信息，可以求出三角形所需的元素。而在直角三角形中，我们把直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.讲解知识??在解直角三角形中，已知一边和另两边的关系，常用勾股定理方程思想。?讲解知识?讲解知识 1.做标注：在遇到解直角三形的问题时，先画一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，以得于分析解决问题.2.找关系式：选取关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误”.3.遵循规则：遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”.说说解直角三角形时，有哪些注意点？ 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.
(1)直角三角形的三边之间的关系为________________；
(2)直角三角形的两个锐角之间的关系为__________________；
(3)直角三角形的边和锐角之间的关系为sin A＝_____，
cos A＝_____，tan A＝_____，tan B＝_____．课堂练习a2+b2=c2(勾股定理)∠A+∠B=90°?????课堂练习DA课堂练习 4．在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC等于( )
A．3sin 40° B．3sin 50°
C．3tan 40° D．3tan 50° 5．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为_________．D?6．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°.
(1)若c＝10，求a，b的值；
(2)若a＝4，求b及∠B的值．课堂练习?? 7.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形。若AB=2，求△ABC的周长.（结果保留根号）?课堂练习课堂总结解直角三角形的依据：(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）； (2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；?? 根据三角函数，借助已知的元素信息，可以求出三角形所需的元素。而在直角三角形中，我们把直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.板书设计解直角三角形的依据：(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）； (2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；?? 根据三角函数，借助已知的元素信息，可以求出三角形所需的元素。而在直角三角形中，我们把直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.作业布置教材第123页练习第1、2、3题. 谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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