新湘教版 数学 九年级上 4.4.1 解直角三角形的应用1教学设计
课题
4.4.1 解直角三角形的应用1
单元
第四单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
①了解仰角、俯角的定义；
②能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。
过程与方法：
①采用引导、启发、合作、探究等方法，经历观察、发现、动手操作、归纳、交流等文学活动，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习.
②逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；
③领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性；
情感态度与价值观：
①通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识。
②使学生亲身经历解直角三角形的过程，感受数学实用性，培养学生积极情感和态度。
重点
能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。
难点
能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新课
在上节课中，我们已经学习了有关正弦、余弦以及正切的定义，以及特殊角度的正弦、余弦、正切的值。而我们这节课要进一步探究直角三角形的三角函数，根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。在上新课之前，我们一起回忆下前面学习的知识。
/
在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题.
对于这类问题，我们一般利用前面已学的锐角三角函数的有关知识来解决.
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .
（1）直角三角形的三边之间有什么关系？
a2+b2=c2(勾股定理)
（2）直角三角形的锐角之间有什么关系？ ∠A+∠B=90°.
（3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
sin A=
?∠A的对边
斜边
=
a
c
cos A=
∠A的邻边
斜边
=
b
c
tan A=
∠A的斜边
∠A的邻边
=
a
b
【导入知识】某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3 500 m 的山峰顶点B处的水平距离. 他能想出一个可行的办法吗？
/ /
如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A 的海拔，AC⊥BD，垂足为点C. 先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可求出A，B两点之间的水平距离AC．
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
+
例题讲解
从刚刚导入新课的探究中，我们了解到：
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
【做一做】如图，如果测得点A的海拔AE为1600m，仰角∠BAC=40°，求A、B两点之间的水平距离AC.（结果保留整数）.
解：∵ BD = 3500 m， AE = 1600 m，
AC⊥BD， ∠BAC = 40°，
∵在Rt△ABC中，tan∠BAC=
BC
AC
=
BD?AE
AC
tan40°
∴
3500?1600
AC
≈0.8391，即AC≈2264（m）
因此，Ａ，B两点之间的水平距离AC约为2264 m.
接下来，我们看一些具体的例子：
【例1】如图，在离上海东方明珠塔底部1000 m 的A 处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC 为25°，仪器距地面高AE为1.7 m． 求上海东方明珠塔的高度BD（结果精确到1 m）.
分析：在直角三角形中，已知一角和它的邻边，求对边利用该角的正切即可.
解：如图， 在Rt△ABC 中，
∠BAC ＝25°， AC ＝ 1000 m， 因此
tan25°=
BC
AC
=
BC
1000
，从而BC≈1000 × tan 25°≈466.3（m）．
因此，上海东方明珠塔的高度:BD ＝ 466.3 ＋ 1.7 ＝ 468（m）．
答： 上海东方明珠塔的高度BD为468 m.
/ 【例2】如图，某飞机于空中A处探测到地平面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，若测得飞机到目标B的距离AB约为2400米，已知sinα=0.52，求飞机飞行的高度AC约为多少米？
解：由题意得：∠B=∠α，∠C=90°．
∴sin B=sin α≈0.52．
∵sin B=
AC
AB
，
∴AC=AB?sin B=2400×0.52=1248（米）．
答：飞机飞行的高度约为1248米．
小结：用解直角三角形知识解决此类问题的一般步骤：
（1）通过读题把已知转化为数学图形；
（2）找出直角三角形和已知、未知元素；
（3）选择合适的锐角三角函数求未知数；
（4）解题.
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握解直角三角形有关仰角、俯角的方法。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
讲授知识，让学生掌掌握解直角三角形有关仰角、俯角的方法。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
课堂练习
课堂练习
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.
(1)直角三角形的三边之间的关系为a2+b2=c2(勾股定理)_；
(2)直角三角形的两个锐角之间的关系为_∠A+∠B=90°；
(3)直角三角形的边和锐角之间的关系为sin A＝__
a
c
__，
cos A＝__
??
c
__，tan A＝__
??
??
__，tan B＝__
??
??
__．
2.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( A )
A．100
3
m B．50
2
m
C．50
3
m D.100
3
3
m
3．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE＝33°，AB＝a，BD＝b，则下列表示旗杆CD的长的式子是( C )
A．CD＝bsin 33°＋a
B．CD＝bcos 33°＋a
C．CD＝btan 33°＋a
D．CD＝b
??
???????33°
+??
4.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆高度（精确到0.1m）
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m，
在Rt△ACD中，tan∠ADC=
AC
DC
，
∴AC= tan∠ADC·DC= tan54°×40≈1.38×40=55.2
∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2 (m)
答：棋杆的高度为15.2m.
5.某中学初三年级学生开展测量物体高度实践活动，要测量一幢建筑物AB高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点A的仰角为60°，则建筑物AB的高度是多少m？（结果用根式表示）
解：设DB=xm，则
在Rt△ADB中，AB=xtan60°=
3
xm，
在Rt△ACB中，
3
x
x+10
=tan30°，即
3
x
x+10
=
3
3
，
整理得，3x=x+10，解得，x=5，则AB=5
3
m．
故，建筑物AB的高度是5
3
m．
6.某日，一架直升飞机前往救援一艘刚在南海巡航的渔政船．当飞机到达距离海面3 000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？(结果保留根号)
解：在Rt△CDA中，∵∠ACD＝30°，CD＝3 000米，
∴AD＝CDtan∠ACD＝1000
3
?(米)，
在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，
∴BD＝CDtan∠BCD＝3000
3
?(米)，
∴AB＝BD－AD＝2000
3
?(米)．故此时渔政船和渔船相距2000
3
米.
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
/
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
解直角三角形——仰角、俯角
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
/
借助板书，让学生知识本节课的重点。
作业
教材第126页练习第1、2题.
/
4.4.1解直角三角形的应用1
班级：___________姓名：___________得分：__________
（每题10分，满分：100分，考试时间：40分钟）
1．如图，小亮站在自家阳台上A处观测到对面大楼底部C的俯角为43°，若两栋楼之间的距离BC为30米，则A处到地面B处的距离AB为多少米？（结果精确到0.1米）（供选用数据：sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325）
/
2．如图：两座建筑物AB、CD相距60米，从点A测得D点的俯角为30°，从A点下降10米到E点，在E点测得C点的俯角为43°求两座建筑物的高度．（精确到0.1）（参考数据：
3
≈1.73，cos43°≈0.73，sin43°≈0.68，tan43°≈0.93）
/
3．如图，在建筑物M的顶端A处测得大楼N顶端B点的仰角α=45°，同时测得大楼底端A点的俯角为β=30°．已知建筑物M的高CD=20米，求楼高AB为多少米？（
3
≈1.732，结果精确到0.1米）
/
4．我市侯镇二中校园内有一荷花池，荷花池北侧有一水塔．九年级数学兴趣小组
欲利用所学知识测量水塔高度．测量过程如下：先在荷花池南侧A点由测角仪AE测得塔顶仰角为30°，再在荷花池北侧B点由测角仪BF测得塔顶仰角为45°，荷花池AB长为15米，测角仪高均为1.5米，已知A、B、C三点在一条直线上，请根据以上条件求塔高CD？（保留两位小数）
/
5．乌鞘岭隧道群是连霍国道主干线上隧道最密集、路线最长、海拔最高、地质条件最复杂、施工难度最大的咽喉工程．乌鞘岭特长公路隧道群的全部贯通，将使连霍国道主干线在甘肃境内1608公里路段全部实现高速化，同时也使甘肃河西五市与省会兰州及东南沿海省、市实现全线高速连接．如图，在建设中为确定某隧道AB的长度，测量人员在离地面2700米高度C处的飞机上，测得正前方A、B两点处的俯角分别是60°和30°，求隧道AB的长（结果保留根号）
/
6．如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度（精确到0.1米）．（参考数据：
3
≈1.73）
/
7．某公园的人工湖边上有一座假山，假山顶上有一竖起的建筑物CD，高为10米，数学小组为了测量假山的高度DE，在公园找了一水平地面，在A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为35°，沿水平方向前进20米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，求假山的高度DE．（结果精确到1米，参考数据：sin35°≈
7
12
，cos35°≈
5
6
，tan35°≈
7
10
）
/
8．我国“蛟龙号”深潜器目前最大的下潜深度达7062米，某天“蛟龙号”在海平面下方2000米的A处作业（如图），测得海底沉船C的俯角∠MAC为45°，其在同一深度向前直线航行2200米到达B点，测得海底沉船C的俯角∠MBC为64.5°（A、BC、M在同一竖直平面内）．请通过计算判断沉船C是否在“蛟龙号”的深潜范围内．（参考数据：sin64.5°≈0.90，cos64.5°≈0.43，tan64.5°≈2.1）
/
9．如图，学校的实验楼对面是一幢教工宿舍楼，小敏在实验楼的窗口C测得教工宿台楼顶部D仰角为15°，教学楼底部B的俯角为22°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．
（1）求∠BCD的度数．
（2）求教工宿舍楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tanl5°≈0.268，tan22°=0.404）
/
10．如图，线段AB、CD分别表示在同一水平线上的甲、乙两建筑物的高，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D．从B点测到C点的仰角α为60°，从A点测得C点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30米．
（1）求甲、乙两建筑物之间的距离BD．
（2）求乙建筑物的高CD．
/
试题解析
1．【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得AB的长，注意精确到0.1米．
【解答】解：由已知可得，∠ACB=43°，
∵∠ABC=90°，BC=30米，
∴tan∠ACB=
????
????
=
????
30
，
∴AB=tan43°×30≈0.9325×30≈28.0（米），
答：A处到地面B处的距离AB为28.0米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
2．【分析】过点D作DM⊥AB于M则DM=BC=6；在Rt△BCE中求出BE，在Rt△ADM中求出AM，即可解决问题；
【解答】解：过点D作DM⊥AB于M则DM=BC=6；
/
则四边形BCDM是矩形，
∴DM=BC=6，CD=BM，
在Rt△BEC中 tam43°=
????
????
，
∴BE=BE?tan 43°≈60×0.93=55.8米，
∴AB=AE+BE=10+55.8=65.8米，
在Rt△AMD中 tan30°=
????
????
，
∴AM=DM?tan 30°=60×
3
3
，
=20
3
≈34.6米
∴CD=AB﹣AM=65.8﹣34.6=31.2米，
答：AB高为65.8米，CD高为31.2米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．
3．【分析】过点C作CE⊥AB于E，解直角三角形求出CE和CE的长，进而求出AB的长．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，则AE=CD=20，
∵CE=
????
????????
=
20
??????30°
=
20
3
3
=20
3
，
BE=CEtanα=20
3
×tan45°=20
3
×1=20
3
，
∴AB=AE+EB=20+20
3
≈20×2.732≈54.6（米），
答：楼高AB为54.6米．
/
【点评】此题主要考查了仰角与俯角的应用，根据已知构造直角三角形利用锐角三角函数关系得出是解题关键．
4．【分析】首先证明FG=DG，在Rt△DEG中，求出x即可解决问题．
【解答】解：根据题意得：BF=AE=GC=1.5m，EF=AB=15m，
设DG=x，
在Rt△DFG中，∠DFG=45°，
∴FG=DG═x（m），
在Rt△DEG中，EG=
????
??????30°
=
??
??????30°
=
3
x（m），
∵EG﹣FG=15
∴
3
x﹣x=15，
解得：x=
15(
3
+1)
2
≈20.25（m），
∴CE=CF+EF=20.25+1.5=21.75（m），
答：塔高约为21.75m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．【分析】根据俯角的定义以及平行线的性质可得∠CAD=60°，∠CBD=30°，解直角三角形可得AD，BD的长，相减即可得到AB的长．
【解答】解：由题意得∠ACM=60°，∠BCM=30°．
∵CM∥BD，
∴∠CAD=∠ACM=60°，∠CBD=∠BCM=30°，
∵AD=2700×tan30°=2700×
3
3
=900
3
m，BD=2700×tan60°=2700
3
m，
∴AB=BD﹣AD=2700
3
﹣900
3
=1800
3
（m）．
答：隧道AB的长为1800
3
m．
/
【点评】本题考查解直角三角形的应用；利用三角函数值得到与所求线段相关线段的长度是解决本题的关键．
6．【分析】易证△ABC是等腰直角三角形，直角△CDE中已知边CD和∠DCE=30°，则三角形的三边的长度可以得到CE，DE的长度，设BC=x，则AF和DF即可用含x的代数式表示出来，在直角△AFD中，利用三角函数即可得到一个关于x的方程，即可求得x的值．
【解答】解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，设AB=x，
在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=100，
∴DE=50，CE=50
3
，
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，
∴BC=x
则AF=AB﹣BF=AB﹣DE=x﹣50
DF=BE=BC+CE=x+50
3
，
在Rt△AFD中，∠ADF=30°，tan30°=
????
????
，
∴
???50
??+50
3
=
3
3
，
∴x=50（3+
3
）≈236.5，
经检验：x=50（3+
3
）是原分式方程的解．
答：山AB的高度约为236.5米
/
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
7．【分析】过点D作水平线的垂线，利用直角三角形中的三角函数解答即可．
【解答】解：过点D作水平线的垂线，即（DE⊥AB），垂足为E，则C、D、E在一条直线上，
设DE的长为x米，
在Rt△BCE中，∠CBE=45°，
∴CE=BE=CD+DE=（10+x）米，
在Rt△ADE中，∠A=35°，
AE=AB+BE=20+10+x=30+x，
tanA=
????
????
，
∴tan35°=
??
30+??
≈
7
10
，
解得：x≈70，
答：假山的高度DE约为70米．
【点评】此题是解直角三角形的应用﹣﹣﹣仰角和俯角，解本题的关键是利用三角函数解答．
8．【分析】作CD⊥AB于点D，在直角△ACD和直角△BCD中分别利用三角函数表示出AD和BD的长，然后根据AB=AD﹣BD即可列方程求解．
【解答】解：如图，作CD⊥AM于D．
/
∵CD=AD?tan45°=BD?tan64.5°，
∴AB=AD﹣BD=
????
??????45°
﹣
????
??????64.5°
，
∴CD=AB?
??????64.5???????45°
??????64.5°???????45°
=
2200×1×2.1
2.1?1
=4200（米）．
∴点C深度为4200+2000=6200米＜7062米，
∴沉船C在“蛟龙号”的深潜范围内．
【点评】本题考查俯角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
9．【分析】（1）作CH⊥BD于H，如图，利用仰角和俯角定义得到∠DCH=15°，∠BCH=22°，然后计算它们的和即可得到∠BCD的度数；
（2）利用正切定义，在Rt△DCH中计算出DH=30tan15°=8.04，在Rt△BCH中计算出BH=30tan22°=12.12，然后计算BH+DH即可得到教工宿舍楼的高BD．
【解答】解：（1）作CH⊥BD于H，如图，
根据题意得∠DCH=15°，∠BCH=22°，
∴∠BCD=∠DCH+∠BCH=15°+22°=37°；
/
答：教工宿舍楼的高BD为20.1m．
/
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
10．【分析】（1）在Rt△CBD中利用三角函数即可求解；
（2）作AE⊥CD于点E，在Rt△ACE中利用三角函数求得CE的长，然后根据CD=CE+DE求解．
【解答】解：（1）作AE⊥CD于点E，/
设CE=x，
在Rt△ACE中，∠CAE=30°，则AE=
3
x，可得BD=AE=
3
x；
在Rt△BCD中，∠CBD=60°，则CD=
3
BD=3x，
∵CD=CE+DE，
∴3x=30+x，
解得：x=15，
∴BD=15
3
（米），
答：甲、乙两建筑物之间的距离BD为15
3
米；
（2）由（1）知，CD=3x=45（米），
答：乙建筑物的高CD为45米．
【点评】本题考查了直角三角形中三角函数的应用，考查了特殊角的三角函数值，本题中求的AE的长是解题的关键．
/
课件20张PPT。4.4 解直角三角形的应用数学湘教版 九年级上4.4.1 仰角、俯角问题?????????回顾知识回顾知识?? 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .（1）直角三角形的三边之间有什么关系？
（2）直角三角形的锐角之间有什么关系？
（3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ a2+b2=c2(勾股定理)∠A+∠B=90°.?导入知识 某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3 500 m 的山峰顶点B处的水平距离. 他能想出一个可行的办法吗？ 如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A 的海拔，AC⊥BD，垂足为点C. 先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可求出A，B两点之间的水平距离AC．导入知识讲解知识 在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.做 一 做? 如图，如果测得点A的海拔AE为1600m，仰角∠BAC=40°，求A、B两点之间的水平距离AC.（结果保留整数）.例题讲解 【例1】如图，在离上海东方明珠塔底部1000 m 的A 处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC 为25°，仪器距地面高AE为1.7 m． 求上海东方明珠塔的高度BD（结果精确到1 m）.分析：在直角三角形中，已知一角和它的邻边，求对边利用该角的正切即可.?讲解知识用解直角三角形知识解决此类问题的一般步骤：
（1）通过读题把已知转化为数学图形；
（2）找出直角三角形和已知、未知元素；
（3）选择合适的锐角三角函数求未知数；
（4）解题. 【例2】如图，某飞机于空中A处探测到地平面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，若测得飞机到目标B的距离AB约为2400米，已知sinα=0.52，求飞机飞行的高度AC约为多少米？例题讲解??课堂练习A?课堂练习C课堂练习 3.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆高度（精确到0.1m）?课堂练习? 4.某中学初三年级学生开展测量物体高度实践活动，要测量一幢建筑物AB高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点A的仰角为60°，则建筑物AB的高度是多少m？（结果用根式表示） 5.某日，一架直升飞机前往救援一艘刚在南海巡航的渔政船．当飞机到达距离海面3 000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？(结果保留根号)课堂练习?课堂总结从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.板书设计从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.作业布置教材第126页练习第1、2题. 谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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