第三章函数 第13节 平面直角坐标系和函数的概念
■考点1：用坐标表示位置
平面直角坐标系的相关内容：
(1)平面直角坐标系的有关概念：在平面内两条 且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系.水平的数轴称为横轴（或x轴），竖直的数轴称为纵轴（或y轴）．两条数轴把平面分成四个部分，这四个部分称作四个 【来源：21cnj*y.co*m】
(2)点的坐标：在平面内，任意一个点都可以用一组 来表示，如A(a，b)．(a，b)即为点A的坐标，其中a是点A的 坐标，B是点A的 坐标．
■考点2：平面直角坐标系内点的坐标特征
【设点P(a，b)】：
①各象限点的特征：
第一象限 ； 第二象限 ；
第三象限 ； 第四象限
②特殊位置点的特征：
若点P在x轴上，则 ；
若点P在y轴上，则 ；
若点P在一、三象限角平分线上，则 ；
若点P在二、四象限角平分线上，则 ．
■考点3：平面直角坐标系中的对称点的坐标
点P(a，b)关于x轴的对称点P’
点P(a，b)关于y轴的对称点P’
点P(a，b)关于原点的对称点P’ ．
■考点4.坐标与图形变化
点的坐标延伸【设点P(a，b)、点M(c，d)】：
①点P到y轴的距离为 ，到y轴的距离为 ．到原点的距离为．
②1)将点P沿水平方向平移m(m>0)个单位后坐标变化情况为：
点P沿水平向右方向平移m(m>0)个单位后坐标为(a+m，b)；
点P沿水平向左方向平移m(m>0)个单位后坐标为(a-m，b)；
2)将点P沿竖直方向平移n(n>0)个单位后坐标变化情况为：
点P沿竖直方向向上平移n(n>0)个单位后坐标为(a，b+n)；
点P沿竖直方向向下平移n(n>0)个单位后坐标为(a，b—n)．
③若直线PM平行x轴，则b=d；若直线PM平行y轴，则a=c；
④点P到点M的距离：PM=
⑤线段PM的中点坐标：()
■考点5..函数自变量的取值范围
①函数表达式是整式，自变量的取值是__ __；
②函数表达式是分式，自变量的取值要使得__ __；
③函数表达式是偶次根式，自变量的取值要使得__ __为非负数；
④来源于实际问题的函数，自变量的取值要使得实际问题有意义、式子有意义.
函数的有关知识及其图象：
(1)常量与变量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量，数值发生 变化 的量叫做变量． 21教育网
(2)函数的定义：一般的，在某个变化过程中如果有两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，那么x是自变量，y是x的函数．
(3)函数的表示方法：①解析式法；② 图象法；③列表法．
(4)函数解析式（用来表示函数关系的数学式子叫做解析式）与变自量的取值范围：
（5）描点法画图像的一般步骤：列表、描点、连线
■考点6.函数图象的判断
（1）分析实际问题判断函数图象的方法：
①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.
（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：
①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示， 再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.
■考点1：用坐标表示位置
◇典例：
（2017．六盘水）已知A（﹣2，1），B（﹣6，0），若白棋A飞挂后，黑棋C尖顶，黑棋C的坐标为（ ， ）．
【考点】坐标确定位置．
【分析】根据已知A，B两点的坐标建立坐标系，然后确定其它点的坐标．
解：∵A（﹣2，1），B（﹣6，0），
∴建立如图所示的平面直角坐标系，
∴C（﹣1，1）．
故答案为：﹣1，1．
◆变式训练
（2018.绵阳）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，﹣1）和（﹣3，1），那么“卒”的坐标为 ．
■考点2：平面直角坐标系内点的坐标特征
◇典例：
（2018辽宁大连）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标
【分析】直接利用第二象限内点的符号特点进而得出答案．
解：点（﹣3，2）所在的象限在第二象限．
故选：B．
【点评】解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．2·1·c·n·j·y
【方法技巧规律】首先要掌握四个象限的符号特征，再根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，
◆变式训练
（2018年北京）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；
②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；
③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；
④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④
■考点3：平面直角坐标系中的对称点的坐标
◇典例
（2018·广西贵港）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1
【考点】关于x、y轴的对称点的坐标特点
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m=3、1﹣n=2，
解得：m=2、n=﹣1，
所以m+n=2﹣1=1，
故选：D．
◆变式训练
（2017?湖北武汉）点A（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）
■考点4.坐标与图形变化
◇典例：
（2017?江苏南通）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
解：点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），
故选：A．
◆变式训练
（2017?湖北黄石）如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（ ）
A．（﹣1，6） B．（﹣9，6） C．（﹣1，2） D．（﹣9，2）
■考点5.函数自变量的取值范围
◇典例
(2018江苏无锡) 函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣4 B．x≠4 C．x≤﹣4 D．x≤4
【考点】函数自变量的取值范围
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
解：由题意得，4﹣x≠0，
解得x≠4．
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
◆变式训练
（2017年黑龙江省鹤岗）函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
■考点6.函数图象的判断
◇典例
（2018山东滨州）如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]=2，那么函数y=x﹣[x]的图象为（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象
【分析】根据定义可将函数进行化简．
解：当﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，y=x+1
当0≤x＜1时，[x]=0，y=x
当1≤x＜2时，[x]=1，y=x﹣1
……
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解[x]的定义，然后对函数进行化简，本题属于中等题型．
◆变式训练
（2018年江苏镇江）甲、乙两地相距80km，一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km/h，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午（ ）
A．10：35 B．10：40 C．10：45 D．10：50
（2018.丽水）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（ ）
（2018年浙江温州）如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（0，）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（，） C．（1，） D．（﹣1，）
（2018年辽宁沈阳）在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（ ）
A．（4，1） B．（﹣1，4） C．（﹣4，﹣1） D．（﹣1，﹣4）
（2017年贵港市中考 ）在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2017年义乌市中考）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水
面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（ ）
A． B． C． D．
（2017年海南省）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐
标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是（ ）21·cn·jy·com
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（1，﹣2） D．（3，﹣1）
（2017年郴州市）在平面直角坐标系中，把点A（2，3）向左平移一个单位得到
点A′，则点A′的坐标为 ．
（2018年湖北十堰）函数的自变量x的取值范围是 ．
（2018辽宁盘锦）如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB面积为y，如果y与x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为 ．
（2017年广西百色）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，则点C的对应点坐标为 ．
（2017年赤峰市中考 ）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为 ．
（2017年温州市中考数学 ）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．
（1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；
（2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．
（2018?四川甘孜）在平面直角坐标系中，点A（2，3）与点B关于y轴对称，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
（2018?湖南岳阳）函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≠3 C．x≥3 D．x≥0
（2018?长沙）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小明吃早餐用了25min
B．小明读报用了30min
C．食堂到图书馆的距离为0.8km
D．小明从图书馆回家的速度为0.8km/min
（2017?包头）下列说法中正确的是（?? ）
A.?8的立方根是±2 B.?是一个最简二次根式 C.?函数y= 的自变量x的取值范围是x＞1 D.?在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点Q（﹣2，3）关于y轴对称
（2017?宁波）抛物线 （m是常数）的顶点在??????????? （ ??????）
A.?第一象限? B.?第二象限??? C.?第三象限????D.?第四象限
（2018辽宁抚顺）如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A（0，2），O1为正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心：…；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为 ．
（2017?内江）如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点
B的坐标为（0，3 ），∠ABO=30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为（?? ）
A.?（ ， ）??? B.?（2， ）??
C.?（ ， ）????D.?（ ，3﹣ ）
（2017?烟台）如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′
是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是________． 21cnjy.com
（2018年湖南长沙）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是 ．
（2018年山东枣庄）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是 ．
（2017?郴州）从1、﹣1、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐
标轴上的概率是________．
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（2017?长春）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的
坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为________．
（2017?葫芦岛）如图，点A（0，8），点B（4，0），连接AB，点M，N分别是OA，
AB的中点，在射线MN上有一动点P，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是________．
【2018年山东威海】为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）万件之间的函数关系如图所示．
（1）求该网店每月利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（2）小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？
（2017·金华）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(?2，
?2)，B(?4,?1），C(?4,?4)．
(1)作出 ABC关于原点O成中心对称的 A1B1C1.
(2)作出点A关于x轴的对称点A'.若把点A'向右平移a个单位长度后落在 A1B1C1的内部
第三章函数 第13节 平面直角坐标系和函数的概念
■考点1：用坐标表示位置
平面直角坐标系的相关内容：
(1)平面直角坐标系的有关概念：在平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系.水平的数轴称为横轴（或x轴），竖直的数轴称为纵轴（或y轴）．两条数轴把平面分成四个部分，这四个部分称作四个象限【来源：21cnj*y.co*m】
(2)点的坐标：在平面内，任意一个点都可以用一组有序实数对来表示，如A(a，b)．(a，b)即为点A的坐标，其中a是点A的 横 坐标，B是点A的 纵坐标．
■考点2：平面直角坐标系内点的坐标特征
【设点P(a，b)】：
①各象限点的特征：
第一象限(+，+) ； 第二象限（—，+） ；
第三象限（一，一） ； 第四象限（+，一）．
②特殊位置点的特征：
若点P在x轴上，则b=0 ；
若点P在y轴上，则a=0 ；
若点P在一、三象限角平分线上，则a=b ；
若点P在二、四象限角平分线上，则a+b=0．
■考点3：平面直角坐标系中的对称点的坐标
点P(a，b)关于x轴的对称点P’（a，一b）
点P(a，b)关于y轴的对称点P’（一a，b）
点P(a，b)关于原点的对称点P’（一a，一b） ．
■考点4.坐标与图形变化
点的坐标延伸【设点P(a，b)、点M(c，d)】：
①点P到y轴的距离为，到y轴的距离为．到原点的距离为．
②1)将点P沿水平方向平移m(m>0)个单位后坐标变化情况为：
点P沿水平向右方向平移m(m>0)个单位后坐标为(a+m，b)；
点P沿水平向左方向平移m(m>0)个单位后坐标为(a-m，b)；
2)将点P沿竖直方向平移n(n>0)个单位后坐标变化情况为：
点P沿竖直方向向上平移n(n>0)个单位后坐标为(a，b+n)；
点P沿竖直方向向下平移n(n>0)个单位后坐标为(a，b—n)．
③若直线PM平行x轴，则b=d；若直线PM平行y轴，则a=c；
④点P到点M的距离：PM=
⑤线段PM的中点坐标：()
■考点5.函数自变量的取值范围
①函数表达式是整式，自变量的取值是__全体实数__；
②函数表达式是分式，自变量的取值要使得__分母不等于0__；
③函数表达式是偶次根式，自变量的取值要使得__被开方数__为非负数；
④来源于实际问题的函数，自变量的取值要使得实际问题有意义、式子有意义.
函数的有关知识及其图象：
(1)常量与变量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量，数值发生 变化 的量叫做变量． 21·世纪*教育网
(2)函数的定义：一般的，在某个变化过程中如果有两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，那么x是自变量，y是x的函数．
(3)函数的表示方法：①解析式法；② 图象法；③列表法．
(4)函数解析式（用来表示函数关系的数学式子叫做解析式）与变自量的取值范围：
（5）描点法画图像的一般步骤：列表、描点、连线
■考点6.函数图象的判断
（1）分析实际问题判断函数图象的方法：
①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.
（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：
①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示， 再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.
■考点1：用坐标表示位置
◇典例：
（2017．六盘水）已知A（﹣2，1），B（﹣6，0），若白棋A飞挂后，黑棋C尖顶，黑棋C的坐标为（ ， ）．
【考点】坐标确定位置．
【分析】根据已知A，B两点的坐标建立坐标系，然后确定其它点的坐标．
解：∵A（﹣2，1），B（﹣6，0），
∴建立如图所示的平面直角坐标系，
∴C（﹣1，1）．
故答案为：﹣1，1．
◆变式训练
（2018.绵阳）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，﹣1）和（﹣3，1），那么“卒”的坐标为 ．
【考点】坐标确定位置
【分析】首先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒”的坐标．
解：“卒”的坐标为（﹣2，﹣2），
故答案为：（﹣2，﹣2）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，关键是正确确定原点位置．
■考点2：平面直角坐标系内点的坐标特征
◇典例：
（2018辽宁大连）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标
【分析】直接利用第二象限内点的符号特点进而得出答案．
解：点（﹣3，2）所在的象限在第二象限．
故选：B．
【点评】解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．2·1·c·n·j·y
【方法技巧规律】首先要掌握四个象限的符号特征，再根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，
◆变式训练
（2018年北京）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；
②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；
③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；
④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④
【考点】坐标确定位置
【分析】由天安门和广安门的坐标确定出每格表示的长度，再进一步得出左安门的坐标即可判断．
解：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6），此结论正确；
②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12），此结论正确；
③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣5，﹣2）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11），此结论正确；
④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5），此结论正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是确定原点位置及各点的横纵坐标．
■考点3：平面直角坐标系中的对称点的坐标
◇典例
（2018·广西贵港）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1
【考点】关于x、y轴的对称点的坐标特点
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m=3、1﹣n=2，
解得：m=2、n=﹣1，
所以m+n=2﹣1=1，
故选：D．
◆变式训练
（2017?湖北武汉）点A（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
解：A（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（3，2），
故选：B．
■考点4.坐标与图形变化
◇典例：
（2017?江苏南通）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
解：点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），
故选：A．
◆变式训练
（2017?湖北黄石）如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（ ）
A．（﹣1，6） B．（﹣9，6） C．（﹣1，2） D．（﹣9，2）
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【分析】根据平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减即可解决问题；
解：由题意P（﹣5，4），向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（﹣1，2），
故选：C．
【点评】本题考查坐标与平移，解题的关键是记住平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，属于中考常考题型．
■考点5.函数自变量的取值范围
◇典例
(2018江苏无锡) 函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣4 B．x≠4 C．x≤﹣4 D．x≤4
【考点】函数自变量的取值范围
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
解：由题意得，4﹣x≠0，
解得x≠4．
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
◆变式训练
（2017年黑龙江省鹤岗）函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可求出自变量x的取值范围．
解：根据题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1．
■考点6.函数图象的判断
◇典例
（2018山东滨州）如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]=2，那么函数y=x﹣[x]的图象为（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象
【分析】根据定义可将函数进行化简．
解：当﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，y=x+1
当0≤x＜1时，[x]=0，y=x
当1≤x＜2时，[x]=1，y=x﹣1
……
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解[x]的定义，然后对函数进行化简，本题属于中等题型．
◆变式训练
（2018年江苏镇江）甲、乙两地相距80km，一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km/h，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午（ ）
A．10：35 B．10：40 C．10：45 D．10：50
【考点】函数的图象
【分析】根据速度之间的关系和函数图象解答即可．
解：因为匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km/h，
所以1小时后的路程为40km，速度为40km/h，
所以以后的速度为20+40=60km/h，时间为分钟，
故该车到达乙地的时间是当天上午10：40；
故选：B．
【点评】此题主要考查了函数的图象值，根据速度之间的关系和函数图象解答是解题关键．
（2018.丽水）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（ ）
【考点】坐标确定位置
【分析】先求得点P的横坐标，结合图形中相关线段的和差关系求得点P的纵坐标．
解：如图，
过点C作CD⊥y轴于D，
∴BD=5，CD=50÷2﹣16=9，
OA=OD﹣AD=40﹣30=10，
∴P（9，10）；
故选：C．
【点评】此题考查了坐标确定位置，根据题意确定出CD=9，AD=10是解本题的关键．
（2018年浙江温州）如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（0，）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（，） C．（1，） D．（﹣1，）
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【分析】根据平移的性质得出平移后坐标的特点，进而解答即可．
解：因为点A与点O对应，点A（﹣1，0），点O（0，0），
所以图形向右平移1个单位长度，
所以点B的对应点B'的坐标为（0+1，），即（1，），
故选：C．
【点评】此题考查坐标与图形变化，关键是根据平移的性质得出平移后坐标的特点．
（2018年辽宁沈阳）在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（ ）
A．（4，1） B．（﹣1，4） C．（﹣4，﹣1） D．（﹣1，﹣4）
【考点】关于x轴y轴对称点的坐标
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号进而得出答案．
解：∵点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，
∴点A的坐标是：（4，1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
（2017年贵港市中考 ）在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】分点P的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解．
解：①m﹣3＞0，即m＞3时，﹣2m＜﹣6，
4﹣2m＜﹣2，
所以，点P（m﹣3，4﹣2m）在第四象限，不可能在第一象限；
②m﹣3＜0，即m＜3时，﹣2m＞﹣6，
4﹣2m＞﹣2，
点P（m﹣3，4﹣2m）可以在第二或三象限，
综上所述，点P不可能在第一象限．
故选A．
（2017年义乌市中考）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水
面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为D．【出处：21教育名师】
故选：D．
（2017年海南省）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐
标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是（ ）21·cn·jy·com
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（1，﹣2） D．（3，﹣1）
【分析】首先利用平移的性质得到△A1B1C1，进而利用关于x轴对称点的性质得到△A2B2C2，即可得出答案．
解：如图所示：点A的对应点A2的坐标是：（2，﹣3）．
故选：B．
（2017年郴州市）在平面直角坐标系中，把点A（2，3）向左平移一个单位得到
点A′，则点A′的坐标为 ．
【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
解：∵点A（2，3）向左平移1个单位长度，
∴点A′的横坐标为2﹣1=1，纵坐标不变，
∴A′的坐标为（1，3）．
故答案为：（1，3）．
（2018年湖北十堰）函数的自变量x的取值范围是 ．
【考点】函数自变量的取值范围
【分析】根据被开方数非负列式求解即可．
解：根据题意得，x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
（2018辽宁盘锦）如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB面积为y，如果y与x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为 ．
【考点】动点问题的函数图象
【分析】根据图象②得出AB、BC的长度，再求出面积即可．
解：从图象②和已知可知：AB=4，BC=10﹣4=6，
所以矩形ABCD的面积是4×6=24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了矩形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．
（2017年广西百色）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，则点C的对应点坐标为 ．
【分析】将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，根据平移规律即可求出点C的对应点坐标．
解：∵在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），
∴OC=OA=2，C（0，2），
∵将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
∴点C的对应点坐标是（1，3）．
故答案为（1，3）．
（2017年赤峰市中考 ）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为 ．
【考点】：规律型：点的坐标．
【分析】求得点P2、P3、P4、P5的值，即可发现其中规律，即可解题．
解：P1 坐标为（2，0），则P2坐标为（1，4），P3坐标为（﹣3，3），P4坐标为（﹣2，﹣1），P5坐标为（2，0），
∴Pn的坐标为（2，0），（1，4），（﹣3，3），（﹣2，﹣1）循环，
∵2017=2016+1=4×504+1，
∴P2017 坐标与P1点重合，
故答案为（2，0）．
（2017年温州市中考数学 ）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．
（1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；
（2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．
【分析】（1）设P（x，y），由题意x+y=2，求出整数解即可解决问题；
（2）设P（x，y），由题意x2+42=4（4+y），求出整数解即可解决问题；
解：（1）设P（x，y），由题意x+y=2，
∴P（2，0）或（1，1）或（0，2）不合题意舍弃，
△PAB如图所示．
（2）设P（x，y），由题意x2+42=4（4+y），
整数解为（2，1）等，△PAB如图所示．
（2018?四川甘孜）在平面直角坐标系中，点A（2，3）与点B关于y轴对称，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
解：点A（2，3）关于y轴对称点的坐标为B（﹣2，3）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
（2018?湖南岳阳）函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≠3 C．x≥3 D．x≥0
【考点】函数自变量的取值范围
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
解：函数y=中x﹣3≥0，
所以x≥3，
故选：C．
【点评】本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
（2018?长沙）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小明吃早餐用了25min
B．小明读报用了30min
C．食堂到图书馆的距离为0.8km
D．小明从图书馆回家的速度为0.8km/min
【考点】函数的图象
【分析】根据函数图象判断即可．
解：小明吃早餐用了（25﹣8）=17min，A错误；
小明读报用了（58﹣28）=30min，B正确；
食堂到图书馆的距离为（0.8﹣0.6）=0.2km，C错误；
小明从图书馆回家的速度为0.8÷10=0.08km/min，D错误；
故选：B．
【点评】本题考查的是函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合题意正确计算是解题的关键．
（2017?包头）下列说法中正确的是（?? ）
A.?8的立方根是±2 B.?是一个最简二次根式 C.?函数y= 的自变量x的取值范围是x＞1 D.?在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点Q（﹣2，3）关于y轴对称 【考点】立方根，最简二次根式，函数自变量的取值范围，关于x轴、y轴对称的点的坐标
【分析】根据开立方，最简二次根式的定义，分母不能为零，关于原点对称的点的坐标，可得答案． 解：A、8的立方根是2，故A不符合题意；
B、 不是最简二次根式，故B不符合题意； C、函数y= 的自变量x的取值范围是x≠1，故C不符合题意； D、在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点Q（﹣2，3）关于y轴对称，故D符合题意； 故选：D．
（2017?宁波）抛物线 （m是常数）的顶点在??????????? （ ??????）
A.?第一象限? B.?第二象限??? C.?第三象限????D.?第四象限
【考点】坐标确定位置，二次函数的性质
【分析】根据配方法得出顶点坐标，从而判断出象限. 解： ∵y=x2-2x+m2+2. ∴y=（x-1）2+m2+1. ∴顶点坐标（1，m2+1）. ∴顶点坐标在第一象限. 故答案为A.
（2018辽宁抚顺）如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A（0，2），O1为正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心：…；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为 ．
【考点】规律型：点的坐标，一次函数的应用
【分析】由题意Q1（1，1），O2（2，2），O3（，4，2），O4（，6，4），O5（10，4），O6（14，8）…观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为2，下标为偶数的点在直线y=x+1上，点O2018的纵坐标为21009，可得21009=x+1，同侧x=21010﹣2，可得点O2018的坐标为（21010﹣2，21009）．
解：由题意Q1（1，1），O2（2，2），O3（，4，2），O4（，6，4），O5（10，4），O6（14，8）…
观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为2，
下标为偶数的点在直线y=x+1上，
∵点O2018的纵坐标为21009，
∴21009=x+1，
∴x=21010﹣2，
∴点O2018的坐标为（21010﹣2，21009）．
故答案为（21010﹣2，21009）．
【点评】本题考查规律型：点的坐标，一次函数的应用，解题的关键是学会探究规律的方法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（2017?内江）如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点
B的坐标为（0，3 ），∠ABO=30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为（?? ）
A.?（ ， ）??? B.?（2， ）??
C.?（ ， ）????D.?（ ，3﹣ ） 【考点】坐标与图形性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【分析】根据翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出对应线段长，进而得出D点坐标． 解：∵四边形AOBC是矩形，∠ABO=30°，点B的坐标为（0，3 ）， ∴AC=OB=3 ，∠CAB=30°， ∴BC=AC?tan30°=3 × =3， ∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处， ∴∠BAD=30°，AD=3 ， 过点D作DM⊥x轴于点M， ∵∠CAB=∠BAD=30°， ∴∠DAM=30°， ∴DM= AD= ， ∴AM=3 ×cos30°= ， ∴MO= ﹣3= ， ∴点D的坐标为（ ， ）． 故选：A．
（2017?烟台）如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′
是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是________． 21cnjy.com
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】把B的横纵坐标分别乘以﹣ 得到B′的坐标． 解：由题意得：△A′OB′与△AOB的相似比为2：3， 又∵B（3，﹣2） ∴B′的坐标是[3× ，﹣2× ]，即B′的坐标是（﹣2， ）； 故答案为：（﹣2， ）．
【2018年湖南长沙】在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是 ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【分析】直接利用平移的性质分别得出平移后点的坐标得出答案．
解：∵将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度，
∴得到（1，3），
∵再向下平移2个单位长度，
∴平移后对应的点A′的坐标是：（1，1）．
故答案为：（1，1）．
【点评】此题主要考查了平移，正确掌握平移规律是解题关键．
（2018年山东枣庄）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是 ．
【考点】动点问题的函数图象
【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．
解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，
由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，
即BC=5，
由于M是曲线部分的最低点，
∴此时BP最小，
即BP⊥AC，BP=4，
∴由勾股定理可知：PC=3，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴PA=3，
∴AC=6，
∴△ABC的面积为：×4×6=12
故答案为：12
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度，本题属于中等题型．
（2017?郴州）从1、﹣1、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐
标轴上的概率是________． 【考点】点的坐标，列表法与树状图法
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出刚好在坐标轴上的点个数，即可求出所求的概率． 解：列表得： 【来源：21·世纪·教育·网】
?
﹣1
1
0
﹣1
﹣﹣﹣
（1，﹣1）
（0，﹣1）
1
（﹣1，1）
﹣﹣﹣
（0，1）
0
（﹣1，0）
（1，0）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种， 所以该点在坐标轴上的概率= = ， 故答案为： ． 21教育名师原创作品
（2017?长春）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的
坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为________． 【考点】点的坐标，中心对称及中心对称图形
【分析】点B，C的坐标为（2，1），（6，1）可知BC水平，由题意知△ABC是等腰直角三角形，可算出A的坐标，再算出交点P的坐标，由中心对称可知P是AA’的中点，由中点坐标公式可求出A’的坐标. 如图， 点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得 BC=4． 由∠BAC=90°，AB=AC， 得AB=2 ，∠ABD=45°， ∴BD=AD=2， A（4，3）， 设AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得 ， 解得 ， AB的解析式为y=x﹣1， 当y=1时，x=1，即P（1，0）， 由中点坐标公式，得 xA′=2xP﹣xA=2﹣4=﹣2， yA′=2yA′﹣yA=0﹣3=﹣3， A′（﹣2，﹣3）． 故答案为：（﹣2，﹣3）．
（2017?葫芦岛）如图，点A（0，8），点B（4，0），连接AB，点M，N分别是OA，
AB的中点，在射线MN上有一动点P，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是________． 【考点】坐标与图形性质，勾股定理
【分析】△ABP是直角三角形由于AP不可能与AB垂直，因此可分为两类：∠APB=90°与∠ABP=90°；当∠APB=90°时，由直角三角形的斜边中 解：∵点A（0，8），点B（4，0）， ∴OA=8，OB=4， ∴AB=4 ， ∵点M，N分别是OA，AB的中点， ∴AM=OM=4，MN=2，AN=BN=2 ， ①当∠APB=90°时， ∵AN=BN， ∴PN=AN=2 ， ∴PM=MN+PN=2 +2， ∴P（2 +2，4）， ②当∠ABP=90°时，如图，
过P作PC⊥x轴于C， 则△ABO∽△BPC， ∴ = =1， ∴BP=AB=4 ， ∴PC=OB=4， ∴BC=8， ∴PM=OC=4+8=12， ∴P（12，4）， 故答案为：（2 +2，4）或（12，4）．线性质可求出，当∠ABP=90°时，由相似三角形的性质列出对应边成比例式可求出.
【2018年山东威海】为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）万件之间的函数关系如图所示．
（1）求该网店每月利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（2）小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？
【考点】待定系数法求解一次函数关系式，一次函数与一次不等式的应用
【分析】（1）y（万件）与销售单价x是分段函数，根据待定系数法分别求直线AB和BC的解析式，又分两种情况，根据利润=（售价﹣成本）×销售量﹣费用，得结论；
（2）分别计算两个利润的最大值，比较可得出利润的最大值，最后计算时间即可求解．
解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
代入A（4，4），B（6，2）得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+8，
同理代入B（6，2），C（8，1）可得直线BC的解析式为：y=﹣x+5，
∵工资及其他费作为：0.4×5+1=3万元，
∴当4≤x≤6时，w1=（x﹣4）（﹣x+8）﹣3=﹣x2+12x﹣35，
当6≤x≤8时，w2=（x﹣4）（﹣x+5）﹣3=﹣x2+7x﹣23；
（2）当4≤x≤6时，
w1=﹣x2+12x﹣35=﹣（x﹣6）2+1，
∴当x=6时，w1取最大值是1，
当6≤x≤8时，
w2=﹣x2+7x﹣23=﹣（x﹣7）2+，
当x=7时，w2取最大值是1.5，
∴==6，
即最快在第7个月可还清10万元的无息贷款．
【点评】本题主要考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，一次函数与一次不等式的应用，利用数形结合的思想，是一道综合性较强的代数应用题，能力要求比较高．
（2017·金华）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(?2，
?2)，B(?4,?1），C(?4,?4)．
(1)作出 ABC关于原点O成中心对称的 A1B1C1.
(2)作出点A关于x轴的对称点A'.若把点A'向右平移a个单位长度后落在 A1B1C1的内部【考点】坐标与图形性质，关于原点对称的点的坐标 【分析】（1）分别作出点A、B、C关于圆点O对称的点，然后顺次连接即可； （2）作出点A关于X轴的对称点即可。再向右平移即可。
包括顶点和边界），求a的取值范围.
解：（1）如下图： （2）解：A′如图所示。
a的取值范围是4＜a＜6.
