九年级数学下册24.5三角形的内切圆同步练习（含解析）沪科版

24.5　三角形的内切圆
知识点 1　三角形内切圆的概念及性质
1．2017·广州 如图24－5－1所示，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(　　)
图24－5－1
A. 三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
2．下列说法错误的是(　　)
A．三角形的内心到三边的距离相等
B．一个三角形一定有唯一一个内切圆
C．一个圆一定有唯一一个外切三角形
D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
3．教材例题变式 如图24－5－2所示，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的度数为(　　)
图24－5－2
114° B．122°
C．123° D．132°
4．教材习题24.5第2题变式 如图24－5－3，在△ABC中，内切圆I与边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若∠A＝70°，则∠EDF＝________°.
　　　
图24－5－3
5．2018·湖州如图24－5－4，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是________．
图24－5－4
6．如图24－5－5，P是△ABC的内心，连接PA，PB，PC，△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1，S2，S3，则S1________S2＋S3.(填“＜”“＝”或“＞”)
图24－5－5
知识点 2　作三角形的内切圆
7．为美化校园，学校准备在如图24－5－6所示的三角形空地上修建一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛(保留作图痕迹，不要求写作法)．
图24－5－6
8．如图24－5－7所示，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则(　　)
图24－5－7
A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BF
C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF
9．如图24－5－8，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是(　　)
　　　
图24－5－8
A．点O是△ABC的内心
B．点O是△ABC的外心
C．△ABC是等边三角形
D．△ABC是等腰三角形
10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，如图24－5－9，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”(　　)
图24－5－9
A．3步 B．5步
C．6步 D．8步
11．如图24－5－10，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，延长AC到点D，使CD＝BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC的度数为(　　)
图24－5－10
A．105° B．110°
C．130° D．145°
12．如图24－5－11，Rt△ABC的内切圆⊙O切斜边AB于点D，切BC于点E，BO的延长线交AC于点M.求证：BO·BC＝BD·BM.
图24－5－11

13．教材习题24.5第5题变式 如图24－5－12，E为△ABC内一点，AE的延长线交△ABC的外接圆⊙O于点D，且DB＝DC＝DE.求证：E为△ABC的内心．
图24－5－12
14．如图24－5－13，在等腰三角形ABC中，CA＝CB，AD是腰BC边上的高，△ACD的内切圆⊙E分别与边AD，BC相切于点F，G.
(1)求证：AF＝BG；
(2)过点E作EH⊥AB于点H，试探索线段EH与线段AB的数量关系，并说明理由．
图24－5－13
15．已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若＝，如图24－5－14①.
(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(2)设AE与DF相交于点M，如图②，AF＝2FC＝4，求AM的长．
图24－5－14
教师详解详析
1．B
2．C
3．C　[解析] ∵∠A＝66°，
∴∠ABC＋∠ACB＝114°.
∵点I是内心，
∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，
∴∠IBC＋∠ICB＝57°，
∴∠BIC＝180°－57°＝123°.故选C.
4．55　[解析] 连接IE，IF，∵⊙I内切于△ABC，∴∠IEA＝∠IFA＝90°，∴∠EIF＝180°－∠A＝110°.由圆周角定理，得∠EDF＝∠EIF＝55°.
5．70°　[解析] ∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，
∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠OBD＝∠ABC＝×40°＝20°，
∴∠BOD＝90°－∠OBD＝70°.
6．＜　[解析] 过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，
∵P是△ABC的内心，
∴PD＝PE＝PF.
∵S1＝AB·PD，S2＝BC·PF，S3＝AC·PE，AB＜BC＋AC，
∴S1＜S2＋S3.
7．解：如图所示的⊙O.
8．C　[解析] 连接OA，OB，则AO，BO分别是∠CAB与∠CBA的平分线，
∴∠EAO＝∠OAB.
∵EF∥AB，∴∠EOA＝∠OAB，
∴∠EOA ＝∠EAO，∴AE＝EO.
同理可得：FO＝BF，
∴EF＝AE＋BF.故选C.
9．A　[解析] 如图，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，OQ⊥AC于点Q.
∵DE＝FG＝HK，∴OM＝ON＝OQ，
即点O到△ABC三边的距离相等，
∴点O是△ABC的内心．
故选A.
10．C　[解析] 根据勾股定理得斜边长为＝17，
则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径r＝＝3(步)，则直径为6步．故选C.
11．D　[解析] 连接PD，连接AP并延长交BC于点E，
∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠A)＝70°.
∵CD＝CB，∴∠D＝∠CBD，
而∠ACB＝∠D＋∠CBD，
∴∠CBD＝∠ACB＝35°，
∴∠ABD＝35°＋70°＝105°.
∵点P是△ABD的内心，
∴AP平分∠BAC，BP平分∠ABD，
∴AE垂直平分BC，∠PBD＝∠ABD＝52.5°，
∴∠PBC＝52.5°－35°＝17.5°.
∵PE垂直平分BC，∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB＝17.5°，
∴∠BPC＝180°－17.5°－17.5°＝145°.
12．[解析] 连接OD，证明△BOD∽△BMC即可．
证明：连接OD，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，D，E均为切点，
∴OD⊥AB，∠OBD＝∠MBC.
又∵∠C＝90°，∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴△BOD∽△BMC，∴＝，
即BO·BC＝BD·BM.
13．证明：连接BE，∵DB＝DC，∴＝，
∴∠DAB＝∠DAC＝∠DBC，
∴AD为∠CAB的平分线．
∵DB＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，
即∠DAB＋∠ABE＝∠DBC＋∠CBE，
∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC，
∴E为△ABC的内心．
14．解：(1)证明：如图，设△ACD的内切圆⊙E与边AC相切于点I，
∵△ACD的内切圆⊙E与边BC相切于点G，∴CI＝CG.
同理可得AI＝AF.
∵CA＝CB，CI＝CG，∴AI＝BG，
∴AF＝BG.
(2)EH＝AB.
理由：如图，过点E作EH⊥AB于点H，连接AE，BE，CE，由⊙E是△ACD的内切圆可知∠ACE＝∠BCE.
在△ACE和△BCE中，

∴△ACE≌△BCE(SAS)，
∴∠AEC＝∠BEC，AE＝BE.
∵E是△ACD的内切圆的圆心，∠ADC＝90°，
∴∠AEC＝90°＋∠ADC＝135°，
∴∠BEC＝∠AEC＝135°，
∴∠AEB＝90°.
又∵AE＝BE，
∴△ABE为等腰直角三角形．
∵EH⊥AB于点H，∴EH＝AB.
15．解：(1)△ABC为等腰三角形．
证明：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，
∴∠CFO＝∠CEO＝∠BDO＝∠BEO＝90°.
∵四边形的内角和为360°，
∴∠EOF＋∠C＝180°，∠DOE＋∠B＝180°.
∵＝，∴∠EOF＝∠DOE，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
(2)连接OB，OC，OD，OF，如图，
∵在等腰三角形ABC中，AE⊥BC，
∴E是BC的中点，即BE＝CE.
由题意得AF＝AD＝4，CF＝CE＝2，BD＝BE，
∴BD＝CF＝2，
∴DF∥BC，∴＝＝.
∵AE＝＝4，
∴AM＝4×＝.