24.6 第1课时 正多边形与圆
知识点 1 正多边形与圆
等边三角形各边都________，各角都________，等边三角形又叫正三角形；正方形的各边都________，各角都________，正方形又叫正四边形．
2．如图24－6－1，已知四边形ABCD内接于⊙O，给出下列三个条件：①＝＝＝；②AB＝BC＝CD＝DA；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D.在这些条件中，能够判定四边形ABCD是正方形的共有( )
图24－6－1
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
知识点 2 正多边形的作法
3．正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等份点而得，这种画法的理论依据应该是( )
A．把圆n等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正n边形
B．把圆n等分，依次过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
C．各边相等，并且各角也相等的多边形是正多边形
D．用量角器等分圆是一种简单而常用的方法
4．下列正多边形，通过直尺和圆规不能作出的是( )
A．正三角形 B．正四边形
C．正五边形 D．正六边形
5．如图24－6－2，正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，AB，CD过圆心O，且AB⊥CD，则图中阴影部分的面积是( )
图24－6－2
A．4π B．2π
C．π D.
6．若P是正六边形ABCDEF外接圆上的一点，则∠APB的度数为____________．
7．如图24－6－3，五边形ABCDE内接于⊙O，且＝＝＝＝，BD和CE相交于点F，不添加辅助线，则图中有________个等腰三角形．
图24－6－3
8．教材练习第2题变式 在一个半径为2 cm的圆内，作出它的内接正六边形及正十二边形．
9．如图24－6－4，在△AFG中，AF＝AG，∠FAG＝108°，点C，D在FG上，且CF＝CA，DG＝DA，过点A，C，D的⊙O分别交AF，AG于点B，E.
求证：五边形ABCDE是正五边形．
图24－6－4
教师详解详析
1．相等 相等 相等 相等
2．C
3．A
4．C
5．C [解析] 四块阴影部分拼在一起刚好是大圆的四分之一，所以阴影部分的面积为×π×＝π.
6．30°或150° [解析] 点P可以在劣弧上，也可以在优弧上，致使本题有两解，且在这两个不同位置下的圆周角∠APB是互补的．
7．5 [解析] 等腰三角形有△BCD，△CDE，△CDF，△BCF，△DEF，共5个．
8．解：如图所示，以点O为圆心，2 cm长为半径作圆，在⊙O上任找一点A，以点A为圆心，2 cm长为半径作弧，交⊙O于点B，然后在⊙O上依次截取等弧(都等于弧AB)，将圆六等分，顺次连接这6个等份点，得到圆的内接正六边形；作线段AB的垂直平分线交⊙O于点C，按此方法将圆十二等分，顺次连接各点得到圆的内接正十二边形．
9．证明：因为AF＝AG，∠FAG＝108°，所以∠F＝∠G＝36°.
因为CF＝CA，DG＝DA，
所以∠FAC＝∠GAD＝36°，所以∠CAD＝36°，
所以＝＝.
因为∠ACD＝∠FAC＋∠F＝72°，∠GAD＝36°，
所以的度数为144°，的度数为72°，
所以＝.同理＝，
所以＝＝＝＝，
所以A，B，C，D，E为圆的五等份点，
所以五边形ABCDE是正五边形．
第2课时 正多边形的性质
知识点 1 正多边形的性质
1．若一个四边形既有外接圆，又有内切圆，且这两个圆是同心圆，则这个四边形一定是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
2．正九边形不具有的性质是( )
A．对角线相等 B．一定有外接圆
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
3．比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点与不同点．
图24－6－5
例如：它们的一个相同点是正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等；
它们的一个不同点是正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．
请你再写出它们的两个相同点和不同点．
相同点：(1)________ _____ ________ ________ ________ _____________；
(2)____________ _________ ________ _____________________．
不同点：(1)______ _____________ ________ ________ _______________；
(2)_______ ____________ ________ ________ _______________．
知识点 2 正多边形的计算
4．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
5．2017·株洲 下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )
A．正三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
6．2016·合肥十校大联考(二) 已知正六边形的边心距为，则它的周长是( )
A．6 B．12
C．6 D．12
7．如图24－6－6，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是( )
图24－6－6
A．R2－r2＝a2 B．a＝2Rsin36°
C．a＝2rtan36° D．r＝Rcos36°
8．2018·株洲 如图24－6－7，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝________°.
图24－6－7
9．教材习题24.6第4题变式 如图24－6－8，用扳手拧螺帽，已知正六边形的螺帽的边长为a，当扳手开口的最大值b＝36 mm时，则能拧下最大正六边形的螺帽的边长a的值为________．
图24－6－8
10．如图24－6－9，已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连接AC，BE，AM.
求证：(1)AC＝BE；
(2)AM⊥CD.
图24－6－9
11．2017·达州 以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )
A. B. C. D.
12．如图24－6－10，正五边形的边长为2，连接对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N.给出下列结论：①∠AME＝108°；②AN2＝AM·AD；③MN＝3－；④S△EBC＝2 －1.其中正确结论的个数是( )
图24－6－10
A．1 B．2 C．3 D．4
13．如图24－6－11，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点A的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为______________．
图24－6－11
14．2017·济宁 如图24－6－12，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是________．
图24－6－12
15．如图24－6－13，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为24 m的正六边形ABCDEF，点O为中心(下面各题的结果均精确到0.1 m)．
(1)求地基的中心到边缘的距离；
(2)已知塔的墙体宽为1 m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6 m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？
图24－6－13
16．2017·河北 已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF的边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图24－6－14所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是( )
图24－6－14
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
17．如图24－6－15①，已知正五边形ABCDE.
图24－6－15
(1)如图②，AC与BE相交于点P，求证：四边形PEDC为菱形；
(2)如图③，延长CD，AE相交于点M，连接BM交CE于点N，求证：CN＝EP；
(3)若正五边形ABCDE的边长为2，直接写出AD的长为________．
教师详解详析
1．D [解析] 因为任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且这两个圆是同心圆，所以选项D正确，而平行四边形、矩形、菱形不一定是正多边形．故选D.
2．D [解析] 对照正多边形的性质，易知选项A，B，C都是正确的．当正多边形的边数为偶数时是中心对称图形，但边数为奇数时，不具有中心对称图形的特征，所以正九边形不是中心对称图形．
3．答案不唯一，如：
相同点：(1)每个内角都相等(或每个外角都相等)
(2)都是轴对称图形(或都有外接圆和内切圆)
不同点：(1)正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°
(2)正五边形的对称轴有5条，正六边形的对称轴有6条
4．B [解析] 360÷72＝5.
5．A
6．B
7．A [解析] ∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠BOC＝×360°＝72°.
∵OB＝OC，OH⊥BC，
∴∠BOH＝∠BOC＝36°，BH＝BC＝a.
在Rt△BOH中，OB2－OH2＝BH2，
∴R2－r2＝＝a2，故选项A错误；
∵sin∠BOH＝sin36°＝，
∴BH＝BO·sin36°，即a＝Rsin36°，
∴a＝2Rsin36°，故选项B正确；
∵tan∠BOH＝tan36°＝，
∴BH＝OH·tan36°，即a＝rtan36°，
∴a＝2rtan36°，故选项C正确；
∵cos∠BOH＝cos36°＝，
∴OH＝BO·cos36°，
∴r＝Rcos36°，故选项D正确．故选A.
8．48 [解析] 如图，连接OA，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝＝72°.
∵△AMN是正三角形，
∴∠AOM＝＝120°，
∴∠BOM＝∠AOM－∠AOB＝48°.
9．12 mm [解析] 设正六边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB＝∠BOC＝60°，∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，∴四边形ABCO是菱形．∵AB＝a，∠AOB＝60°，∴cos∠BAC＝，
∴AM＝a.∵OA＝OC，且∠AOB＝∠BOC，
∴AC＝2AM＝2MC.∵AC＝36 mm，∴a＝36，∴a＝12 mm.
10．证明：(1)由五边形ABCDE是正五边形，得AB＝AE，AB＝BC，∠ABC＝∠BAE，
∴△ABC≌△EAB，
∴AC＝BE.
(2)连接AD，∵AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝DE，
∴△ABC≌△AED，
∴AC＝AD.
又∵M为CD的中点，
∴AM⊥CD.
11．A [解析] 如图①，∵OC＝2，
∴OD＝2×sin30°＝1；
如图②，∵OB＝2，∴OE＝2×sin45°＝；
如图③，∵OA＝2，∴OF＝2×cos30°＝，
则该三角形的三边分别为1，，.
∵12＋()2＝()2，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是×1××＝.故选A.
12．C
13. [解析] 连接OC，根据点A的坐标为(－1，0)，可知正六边形的半径是1，其边长是1，边心距是.
14. [解析] 由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，
∴B1B2＝A1B1＝，
∴A2B2＝A1B2＝B1B2＝.
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积∶正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝()2＝.
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6××1×＝，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积＝×＝.
同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积＝()3×＝.
15．解：(1)过点O作OM⊥AB于点M，连接OA，OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角．
∵正六边形ABCDEF的周长为24 m，
∴AB＝4 m，且△AOB是等边三角形．
在Rt△AOM中，∠OAM＝60°，OA＝4 m，
∴OM＝OA·sin∠OAM＝4×sin60°＝2 ≈3.5(m)．
答：地基的中心到边缘的距离约为3.5 m.
(2)3.5－1－1.6＝0.9(m)．
答：塑像底座的半径最大约为0.9 m.
16．C
17．解：(1)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠CBA＝∠BCD＝∠BAE＝108°.
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝36°，
∴∠CBE＝72°，
∴∠DCB＋∠CBE＝180°，
∴CD∥BE，
同理AC∥DE，
∴四边形PEDC是平行四边形．
又∵CD＝DE，
∴四边形PEDC是菱形．
(2)证明：如图①，连接AN.
∵∠MCA＝∠MAC＝72°，
∴MC＝MA.
∵BC＝BA，
∴BM垂直平分线段AC，
∴CN＝AN，
∴∠NCA＝∠NAC＝∠CEP＝36°.
∵∠PAE＝∠NEA＝72°，
∴∠PEA＝∠NAE＝36°.
∵AE＝EA，
∴△PAE≌△NEA，
∴EP＝AN，
∴CN＝EP.
(3)如图②，在AD上取一点W，使得AW＝WE.
设AW＝x.
∵∠A＝∠D＝∠AEW＝36°，
∴∠DWE＝∠DEW＝72°，
∴DW＝DE＝2.
∵∠A＝∠A，∠AEW＝∠D，
∴△AWE∽△AED，∴＝，
即AE2＝AW·AD，
∴22＝x(x＋2)，
解得x＝－1(负值已舍去)，
∴AD＝2＋x＝＋1.
