24．4 第1课时 直线与圆的位置关系及切线的性质
知识点 1 直线与圆的位置关系
1．如图24－4－1，直线l与⊙O有三种位置关系：
图24－4－1
(1)图①中直线l与⊙O________，有________个公共点，这条直线叫做圆的________；
(2)图②中直线l与⊙O________，有________个公共点，这条直线叫做圆的________；
(3)图③中直线l与⊙O________，________公共点．
2．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是( )
图24－4－2
3．教材练习第1题变式 已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O有唯一的交点A，则点O到直线l的距离( )
A．小于5 B．等于5
C．大于5 D．无法确定
4．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是( )
A．r＜6 B．r＝6
C．r＞6 D．r≥6
5．⊙O的半径r＝6 cm，点P在直线l上，若OP＝6 cm，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切或相交
6．已知：如图24－4－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2 cm.
(1)以点C为圆心，以cm长为半径的⊙C与AB的位置关系是________；
(2)以点C为圆心，以1 cm长为半径的⊙C与AB的位置关系是________；
(3)若⊙C与AB相切，则⊙C的半径为________cm.
图24－4－3
知识点 2 切线的性质
7．如图24－4－4，AB和⊙O相切于点B，∠AOB＝60°，则∠A的度数为( )
图24－4－4
A．15° B．30° C．45° D．60°
8．如图24－4－5，PA切⊙O于点A，OP＝5 cm，AP＝4 cm，则⊙O的半径为( )
图24－4－5
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
9．2017·黔南州 如图24－4－6，已知直线AD是⊙O的切线，点A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且∠ODA＝36°，则∠ACB的度数为( )
图24－4－6
A．54° B．36°
C．30° D．27°
10．2018·眉山 如图24－4－7所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，则∠B等于( )
图24－4－7
A．27° B．32°
C．36° D．54°
11．2017·镇江 如图24－4－8，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D.若∠CAD＝30°，则∠BOD＝________°.
图24－4－8
12．已知：如图24－4－9，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.
(1)求∠D的度数；
(2)若CD＝2，求BD的长．
图24－4－9
13．如图24－4－10，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为( )
图24－4－10
A．2.3 B．2.4
C．2.5 D．2.6
14．如图24－4－11，⊙O的半径OC＝5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8 cm，若l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是( )
图24－4－11
A．1 cm B．2 cm
C．8 cm D．2 cm或8 cm
15．2018·重庆 如图24－4－12，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为( )
图24－4－12
A．4 B．2 C．3 D．2.5
16．如图24－4－13，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段CD的长为________．
图24－4－13
17．2017·衢州 如图24－4－14，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为(－1，0)，半径为1，P为直线y＝－x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是________．
图24－4－14
18．如图24－4－15，在⊙O中，C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD.
(1)求证：∠A＝∠BDC；
(2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝1时，求MN的长．
图24－4－15
19．如图24－4－16，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF＝∠ABC.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AD＝4，cos∠ABF＝，求DE的长．
图24－4－16
20．如图24－4－17，⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与⊙O相切时，该菱形的边长为____________．
图24－4－17
教师详解详析
1．(1)相交 两 割线
(2)相切 一 切线
(3)相离 没有
2．B [解析] ∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，5＞3，即d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选B.
3．B
4．C [解析] ∵直线l与⊙O相交，∴圆心O到直线l的距离d＜r，即r＞d＝6.故选C.
5．D [解析] ∵点P在直线l上，OP＝6 cm，∴d≤6 cm，∴d≤r，∴直线l与⊙O相切或相交．
6．(1)相交 (2)相离 (3)
[解析] 过点C作CD⊥AB，垂足为D.
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 cm，∴AB＝2 cm.又∵CD⊥AB，∴CD＝ cm.
(1)∵r＝ cm，CD＝ cm，∴CD(2)∵r＝1 cm, CD＝ cm，∴CD>r，∴⊙C与AB相离；
(3)∵⊙C与AB相切，∴CD＝r，∴r＝ cm.
7．B
8．A [解析] 如图，连接OA.
∵PA切⊙O于点A，
∴∠A＝90°.
又∵OP＝5 cm，AP＝4 cm，
∴OA＝＝3(cm)．故选A.
9．D [解析] ∵AD为⊙O的切线，∴AD⊥OA，即∠OAD＝90°.∵∠ODA＝36°，∴∠AOD＝54°，∴∠ACB＝27°.
10．A [解析] ∵PA切⊙O于点A，∴∠OAP＝90°.∵∠P＝36°，∴∠AOP＝54°，∴∠B＝27°.
11．120 [解析] ∵AC与⊙O相切，∴∠BAC＝90°.∵∠CAD＝30°，∴∠OAD＝60°，∴∠BOD＝2∠OAD＝120°.
12．解：(1)∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠OCA，
∴∠COD＝∠CAD＋∠OCA＝2∠CAD.
又∵∠D＝2∠CAD，
∴∠D＝∠COD.
∵PD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°.
∴∠D＝45°.
(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，
∴OC＝CD＝2.
由勾股定理，得OD＝＝2 ，
∴BD＝OD－OB＝2 －2.
13．B
14．D [解析] 如图，连接OB.
∵AB⊥OC，AB＝8 cm，
∴AH＝BH＝AB＝×8＝4(cm)．
在Rt△BOH中，OB＝OC＝5 cm，
∴OH＝＝3(cm)．
∵直线l通过平移与⊙O相切，
∴直线l垂直于过点C的直径，垂足为直径的两端点，
∴当向下平移时，直线l平移的距离＝5－3＝2(cm)；当向上平移时，直线l平移的距离＝5＋3＝8(cm)．
15．A [解析] 连接DO，∵PD与⊙O相切于点D，∴∠PDO＝90°.∵∠C＝90°，∴DO∥BC，
∴△PDO∽△PCB，∴＝.
设PA＝x，则＝，解得x＝4，故PA＝4.
16．4 [解析] 如图，设OC交BE于点F.
∵AB为⊙O的直径，∴∠3＝∠DEF＝90°.
在Rt△ABE中，AB＝2OA＝10，AE＝6，
∴BE＝＝＝8.
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥l，∴∠1＝90°.
∵AD⊥l于点D，∴∠2＝90°.
∵∠1＝∠2＝∠DEF＝90°，
∴四边形CDEF为矩形，
∴CD＝EF，∠4＝∠5＝90°，∴OC⊥BE，
∴EF＝BE＝4，∴CD＝EF＝4.
17．2 [解析] 如图，过点A作AP⊥直线y＝－x＋3，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小．∵点A的坐标为(－1，0)，设直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点C，B，∴B(0，3)，C(4，0)，∴OB＝3，AC＝5，∴BC＝＝5，∴AC＝BC，∴△APC≌△BOC，∴AP＝OB＝3，∴PQ＝＝2 .
18．解：(1)证明：如图，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即∠A＋∠ABD＝90°.
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠BDC＋∠ODB＝90°.
∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠ODB，
∴∠A＝∠BDC.
(2)∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM.
又∵∠A＝∠BDC，
∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，
即∠DMN＝∠DNM，∴DM＝DN.
∵∠ADB＝90°，DM＝1，
∴MN＝＝.
19．解：(1)证明：如图，连接BD.
∵AD⊥AB，
∴BD是⊙O的直径，
∠D＋∠DBA＝90°.
∵BF与⊙O相切，
∴∠DBF＝90°，
∴∠3＋∠DBA＝90°，
∴∠3＝∠D.
又∵∠D＝∠C，∴∠3＝∠C.
∵∠ABF＝∠ABC，即∠3＝∠2，
∴∠2＝∠C，∴AB＝AC.
(2)如图，过点A作AG⊥BC于点G.
∵∠D＝∠C＝∠2＝∠3，
∴cosD＝cos∠3＝.
在Rt△ABD中，∠DAB＝90°，AD＝4，cosD＝，∴BD＝5，∴AB＝3.
在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝3，cos∠2＝，∴tan∠2＝，AE＝AB×tan∠2＝.
∵AD＝4，∴DE＝AD－AE＝.
20．4 或 或 [解析] 有如下三种情况：
各作出如图所示的辅助线后可求得边长分别为4 ， ， .
第2课时 切线的判定
知识点 1 利用圆心到直线的距离等于半径判定切线
1．同一平面内，下列命题为真命题的是( )
A．经过半径外端点的直线是圆的切线
B．经过半径的直线是圆的切线
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．如果圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，若以点A为圆心，6 cm为半径作⊙A，则⊙A与直线BC的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
3．如图24－4－18，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝105°，AC＝4，若以点C为圆心，2为半径作⊙C，则⊙C与直线AB的位置关系是________．(填“相交”“相切”或“相离”)
图24－4－18
知识点 2 切线的判定——有公共点，连半径，证垂直
4．如图24－4－19，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________．
图24－4－19
5．如图24－4－20，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，P是⊙O外一点，连接PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为2 ，求BC的长．
图24－4－20
知识点 3 切线的判定——无公共点，过圆心作垂线，证半径
6．如图24－4－21，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D.求证：AC与⊙O相切．
图24－4－21
7．如图24－4－22，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交AB于点O，以点O为圆心的圆与AC相切于点D.
(1)求证：BC与⊙O相切；
(2)当AC＝3，BC＝6时，求⊙O的半径．
图24－4－22
8．如图24－4－23，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( )
图24－4－23
A．AC∥OD B．DE＝DO
C．CD＝BD D．AB＝AC
9．如图24－4－24，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，M和N分别是直线l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠1＝60°，则下列结论错误的是( )
图24－4－24
A．MN＝
B．若MN与⊙O相切，则AM＝
C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切
D．l1和l2间的距离为2
10．如图24－4－25，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心，OC为半径作半圆．
(1)求证：AB为半圆O的切线；
(2)如果tan∠CAO＝，求cosB的值．
图24－4－25
11．2017·南充 如图24－4－26，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O的直径．
图24－4－26
12．如图24－4－27，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝3，点D从点A开始以每秒1个单位长度的速度向点B运动(点D不与点B重合)，过点D作DE∥BC交AC于点E.以DE为直径作⊙O，并在⊙O内作其内接矩形ADFE.设点D的运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示△DEF的面积S；
(2)当t为何值时，⊙O与直线BC相切？
图24－4－27
教师详解详析
1．D
2．B
3．相切 [解析] 过点C作CD⊥AB于点D，∠A＝180°－∠B－∠ACB＝30°，则CD＝AC＝2.∵d＝r，∴直线AB与⊙C相切．
4．答案不唯一，如BC⊥AB [解析] 根据切线的判定来判断，当BC⊥AB时，BC是⊙O的切线．
5．解：(1)证明：如图，连接OB.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°.
∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA.
∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA＋∠OBA＝90°，
即PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．
(2)∵⊙O的半径为2 ，
∴OB＝2 ，AC＝4 .
∵OP∥BC，∴∠BOP＝∠OBC＝∠C.
又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴＝，即＝，∴BC＝2.
6．证明：连接AO，OD，过点O作OE⊥AC于点E.
∵AB与⊙O相切，∴OD⊥AB.
∵AB＝AC，O是底边BC的中点，
∴∠BAO＝∠CAO，
∴OE＝OD，即点O到AC的距离等于半径，
∴AC与⊙O相切．
7．解：(1)证明：如图，过点O作OF⊥BC，垂足为F，连接OD.
∵AC是⊙O的切线，∴OD⊥AC.
又∵CO平分∠ACB，
∴OF＝OD，即OF是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切．
(2)S△ABC＝S△AOC＋S△BOC，
即AC·BC＝AC·OD＋BC·OF.
∵OF＝OD＝r，
∴r(AC＋BC)＝AC·BC，即9r＝18，解得r＝2.
即⊙O的半径为2.
8．B [解析] 当AC∥OD时，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．故A项正确．当CD＝BD时，AO＝BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．故C项正确．当AB＝AC时，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴CD＝BD.∵AO＝BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．故D项正确．
9．B [解析] A项，平移MN使点N与点B重合，∠1＝60°，AB＝2，解直角三角形得MN＝，正确；
B项，当MN与圆相切时，分两种情况：①当MN在圆的左边时，AM＝，正确；②当MN在圆的右边时，AM＝.故错误；
C项，若∠MON＝90°，连接NO并延长交MA于点C，连接MO，则△AOC≌△BON，故CO＝NO，则△MON≌△MOC，因为MC上的高OA＝1，故MN上的高为1，即点O到MN的距离等于半径，正确；
D项，因为l1∥l2，两平行线之间的距离为线段AB的长，即直径AB＝2，正确．故选B.
10．解：(1)证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，
∵AO平分∠CAB，∠ACB＝90°，OM⊥AB，
∴OM＝OC，∴AB为半圆O的切线．
(2)∵tan∠CAO＝，OC＝1，∴AC＝3.
在△ACO和△AMO中，∠ACO＝∠AMO，∠CAO＝∠MAO，AO＝AO，∴△ACO≌△AMO，∴AM＝AC＝3.设BM＝x，OB＝y，则y2－x2＝1.①
∵cosB＝＝，
∴＝，
∴x2＋3x＝y2＋y.②
由①②可以得到y＝3x－1，
∴(3x－1)2－x2＝1，
∴x＝(x＝0不符合题意，舍去)，y＝，
∴cosB＝＝.
11．解：(1)证明：连接OD，CD.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝90°.
又E为BC的中点，
∴DE＝BC＝CE，∴∠EDC＝∠ECD.
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°，
即∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线．
(2)设⊙O的半径为x.
在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，
即x2＋42＝(x＋2)2，
解得x＝3.
∴⊙O的直径为6.
12．解：(1)∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°.
在△ADE中，∵∠A＝90°，
∴tan∠ADE＝.
∵AD＝1×t＝t，∴AE＝t.
∵四边形ADFE是矩形，
∴S△DEF＝S△ADE＝AD·AE＝·t·t＝t2(0(2)如图，过点O作OG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，
∵DE∥BC，∴OG＝DH，∠DHB＝90°.
在Rt△DBH中，sinB＝.
∵∠B＝60°，BD＝AB－AD，AD＝t，AB＝3，
∴DH＝(3－t)，∴OG＝(3－t)．
当OG＝DE时，⊙O与直线BC相切．
在Rt△ADE中，∵∠A＝90°，∠ADE＝60°，
∴cos∠ADE＝＝.
∵AD＝t，∴DE＝2AD＝2t，
∴2t＝(3－t)×2，
∴t＝6 －9.
∴当t＝6 －9时，⊙O与直线BC相切．
第3课时 切线长定理
知识点 切线长与切线长定理
1．如图24－4－28，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，则下列结论中错误的是( )
图24－4－28
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠1
2．如图24－4－29，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，连接OP.若∠APO＝30°，OA＝2，则BP的长为( )
图24－4－29
A. B. C．4 D．2
3．如图24－4－30，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.若∠APB＝60°，弦AB＝4，则PA＝________．
图24－4－30
4．如图24－4－31，⊙O的半径为3 cm，点P到圆心O的距离为6 cm，过点P引⊙O的两条切线，这两条切线的夹角为________度．
图24－4－31
5．教材例5变式 如图24－4－32 ，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，CD＝8，则AD＋BC＝________．
图24－4－32
6．如图24－4－33，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°.
(1)求∠P的度数；
(2)若AB＝2，求PA的长(结果保留根号)．
图24－4－33
7．如图24－4－34，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，OP交AB于点D，交⊙O于点C，AB＝4 ，DC＝2，则∠APB的度数为( )
图24－4－34
A．30° B．45°
C．60° D．75°
8．如图24－4－35，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为( )
图24－4－35
A. B.
C. D．2
9．如图24－4－36①，已知AB为⊙O的直径，∠A＝∠B＝90°，DE与⊙O相切于点E，⊙O的半径为，AD＝2.
(1)求BC的长；
(2)如图②，连接AE并延长交BC的延长线于点G，求EG的长．
图24－4－36
教师详解详析
1．D
2．D [解析] ∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∴PA⊥OA，PB⊥OB，PA＝PB.∵∠APO＝30°，OA＝2，∴OP＝4，∴AP＝＝2 ，∴BP＝2 .故选D.
3．4 [解析] ∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴PA＝PB.又∵∠APB＝60°，∴△PAB是等边三角形，∴PA＝AB＝4.
4．60
5．18 [解析] 根据切线长定理，知AB＋CD＝AD＋BC.
6．解：(1)∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴PA⊥AB，∴∠BAP＝90°.
∵∠BAC＝30°，∴∠CAP＝90°－∠BAC＝60°.
又∵PA，PC分别切⊙O于点A，C，∴PA＝PC，
∴△PAC为等边三角形，∴∠P＝60°.
(2)如图，连接BC，
则∠ACB＝90°.
在Rt△ACB中，AB＝2，
∠BAC＝30°，
∴AC＝AB·cos∠BAC＝2cos30°＝.
∵△PAC为等边三角形，∴PA＝AC＝.
7．C [解析] 连接AC，根据切线长定理，可得PA＝PB，OP⊥AB，∴AD＝AB＝2 ，∴tan∠ACD＝＝，∴∠ACD＝60°，∴△AOC是等边三角形，则∠AOP＝60°，∴∠APO＝30°，∴∠APB＝60°.
8．A [解析] 由题意可知，AF＝AE＝BF＝BG＝2，DE＝DN＝3，设GM＝x，则MN＝x，DM＝3＋x，CM＝3－x.在Rt△DMC中，∵DM2＝CM2＋CD2，∴(3＋x)2＝(3－x)2＋42，解得x＝，∴DM＝DN＋MN＝3＋＝.故选A.
9．解：(1)如图，过点D作DF⊥BC于点F.
∵AB为⊙O的直径，∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，
∴DF＝AB＝2 ，BF＝AD＝2.
∵DE与⊙O相切于点E，
∴DE＝AD＝2，CE＝BC.
设BC＝x，
则CF＝BC－BF＝x－2，DC＝DE＋CE＝2＋x.
在Rt△DCF中，DC2＝CF2＋DF2，
即(2＋x)2＝(x－2)2＋(2 )2，
解得x＝，即BC的长为.
(2)∵AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，
∴AD∥BC，
∴△ADE∽△GCE，
∴AD∶CG＝DE∶CE＝AE∶EG.
∵AD＝DE＝2，∴CG＝CE＝BC＝，
∴BG＝BC＋CG＝5，
AE∶EG＝4∶5.
在Rt△ABG中，AG＝＝3 ，
∴EG＝AG＝.
24.4 第1课时 直线与圆的位置关系及切线的性质
一、选择题
1．已知⊙O的半径是8 cm，点O到同一平面内直线l的距离为7.5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
2．2018·湘潭如图K－9－1，AB是⊙O的切线，B为切点，若∠A＝30°，则∠AOB的度数为( )
图K－9－1
A．45° B．50°
C．55° D．60°
3．半径为3的⊙P的圆心坐标为(2，4)，则⊙P与x轴的位置关系是( )
A．相交 B．相离
C．相切 D．以上都不是
4．如图K－9－2，点A，B，C在⊙O上，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∠B＝30°，OP＝3，则AP的长为( )
图K－9－2
A．3 B. C. D.
5．如图K－9－3所示，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为( )
图K－9－3
A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6
6．2017·泰安如图K－9－4，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD的度数为( )
图K－9－4
A．20° B．35° C．40° D．55°
7．如图K－9－5，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sinE的值为( )
图K－9－5
A. B. C. D.
8．2018·合肥月考如图K－9－6，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与AC，BC分别相交于点P，Q，则线段PQ长的最小值为( )
图K－9－6
A．5 B．4 C．4.75 D．4.8
二、填空题
9．如图K－9－7，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切．当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为________；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为________．
图K－9－7
10．如图K－9－8，两同心圆的大圆半径为5 cm，小圆半径为3 cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是________．
图K－9－8
11．如图K－9－9，AB是⊙O的直径，OA＝1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD＝－1，则∠ACD＝________°.
图K－9－9
12．如图K－9－10，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝________度．
图K－9－10
三、解答题
13．如图K－9－11，已知△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的切线，且与半径OB的延长线交于点D，∠A＝30°，求∠BCD的度数.
图K－9－11
14．2017·宿迁如图K－9－12，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.
(1)求证：AP＝AB；
(2)若OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．
图K－9－12
15．2018·沈阳如图K－9－13，BE是⊙O的直径，A和D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE的延长线于点C.
(1)若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
(2)若AB＝AC，CE＝2，求⊙O的半径．
图K－9－13
16．2018·当涂县月考如图K－9－14，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1，正方形的中心O1与圆心O在直线l上，⊙O与CD边相切，⊙O以每秒1个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t s.
(1)当t在何数值范围内时，⊙O与CD相交？
(2)当t为何值时，⊙O与AB相切？
图K－9－14
综合探究如图K－9－15，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PC＝2PB.
(1)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；
(2)若AD＝3，求AB的长．
图K－9－15
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] A 设⊙O的半径为r，点O到直线l的距离为d，∵d＝7.5 cm，r＝8 cm，∴d＜r，∴直线l与⊙O相交．
2．[解析] D 因为AB是⊙O的切线，B为切点，则∠ABO＝90°，又因为∠A＝30°，所以∠AOB＝60°.
3．[答案] B
4．[解析] D 连接OA，则∠AOP＝2∠B＝60°.∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴AP＝sin∠AOP×OP＝×3＝.
5．[解析] B 在△ABC中，
∵AB＝5，BC＝3，AC＝4，
∴AC2＋BC2＝32＋42＝52＝AB2，
∴∠ACB＝90°.
如图，设切点为D，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB.
∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
∴AC·BC＝AB·CD，
即CD＝＝＝2.4，
∴⊙C的半径为2.4.
故选B.
6．[解析] A ∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝180°－∠ABC＝125°.
∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，
∴∠MCA＝∠ABC＝55°，∠AMC＝90°.
∵∠ADC＝∠AMC＋∠DCM，
∴∠DCM＝∠ADC－∠AMC＝35°，
∴∠ACD＝∠MCA－∠DCM＝55°－35°＝20°.
故选A.
7．[解析] A 如图，连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE.
∵∠A＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∴∠E＝90°－∠BOC＝30°，
∴sinE＝sin30°＝.故选A.
8．[解析] D 如图，设QP的中点为F，⊙F与AB的切点为D，连接FD，CF，CD.
∵⊙F与AB相切，
∴FD⊥AB.
由勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形，
且PQ＝CF＋DF.
当线段CF和DF位于同一条直线上时，CF＋DF的值最小，最小值为△ABC的斜边上的高，即4.8.
9．[答案] 1 5
10．[答案] 8 cm
[解析] ∵AB是小圆的切线，∴OC⊥AB，
∴AC＝BC.
在Rt△BOC中，
∵∠BCO＝90°，OB＝5，OC＝3，
∴BC＝＝4(cm)，
∴AB＝2BC＝8 cm.故答案为8 cm.
11．[答案] 112.5
[解析] 连接OC.
∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥DC.
∵BD＝－1，OA＝OB＝OC＝1，
∴OD＝，
∴CD＝＝＝1，
∴OC＝CD，
∴∠DOC＝45°.
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OCA＝∠DOC＝22.5°，
∴∠ACD＝∠OCA＋∠OCD＝22.5°＋90°＝112.5°.
12．[答案] 45
[解析] 如图，连接OD.
∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴AB⊥OD，∴∠AOD＝90°.
∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝45°，
∴∠C＝∠A＝45°.故答案为45.
13．解：如图，连接OC.
∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°.
由圆周角定理可知∠BOC＝2∠A＝60°.
又∵OB＝OC，
∴∠OCB＝×(180°－60°)＝60°，
∴∠BCD＝∠OCD－∠OCB＝90°－60°＝30°.
14．解：(1)证明：∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
∴∠ABP＋∠OBC＝90°.
∵OC⊥OA，∴∠AOC＝90°，
∴∠OCB＋∠CPO＝90°.
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠ABP＝∠CPO.
∵∠APB＝∠CPO，
∴∠APB＝∠ABP，
∴AP＝AB.
(2)如图，过点O作OH⊥BC于点H.
在Rt△OAB中，
∵OB＝4，AB＝3，
∴OA＝＝5.
∵AP＝AB＝3，
∴OP＝2.
∵OC＝OB，
∴OC＝4.
在Rt△POC中，PC＝＝2 .
∵PC·OH＝OC·OP，
∴OH＝＝，
∴CH＝＝.
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH，
∴BC＝2CH＝，
∴BP＝BC－PC＝－2 ＝.
15．解：(1)如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°.
∵∠ADE＝25°，
∴∠AOE＝2∠ADE＝50°，
∴∠C＝90°－∠AOE＝90°－50°＝40°.
(2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠AOC＝2∠B，
∴∠AOC＝2∠C.
∵∠OAC＝90°，
∴∠AOC＋∠C＝90°，
∴3∠C＝90°，∴∠C＝30°，
∴OA＝OC.
设⊙O的半径为r，
∵CE＝2，∴r＝(r＋2)，
解得r＝2，∴⊙O的半径为2.
16．解：(1)根据题意得：当t＝0或t＝2时，⊙O与CD相切，
故当0＜t＜2时，⊙O与CD相交．
(2)根据题意得：当t＝4时，圆心O到AB的距离d＝1，⊙O与AB相切；
当t＝6时，圆心O到AB的距离d＝1，⊙O与AB相切．
综上所述，当t＝4或6时，⊙O与AB相切．
[素养提升]
解：(1)线段PB，AB之间的数量关系为AB＝3PB.
理由：连接OC.∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°.
∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC.
依题意知∠PCB＋∠OCB＝90°，
∴∠PCB＝∠PAC.
又∵∠P是公共角，∴△PCB∽△PAC，
∴＝，∴PC2＝PB·PA.
又∵PC＝2PB，∴PA＝4PB，∴AB＝3PB.
(2)过点O作OH⊥AD于点H，
则AH＝AD＝，四边形OCEH是矩形，
∴OC＝HE，∴AE＝＋OC.
依题意知OC∥AE，∴△PCO∽△PEA，
∴＝.
∵AB＝3PB，AB＝2OB，∴OB＝PB，
∴＝＝＝，
∴OC＝，∴AB＝5.
24.4 第2课时 切线的判定
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，2.5 cm长为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
2．2018·马鞍山模拟如图K－10－1，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( )
图K－10－1
A．DE＝DO B．AB＝AC
C．CD＝DB D．AC∥OD
3．如图K－10－2，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝x－与⊙O的位置关系是( )
图K－10－2
A．相离
B．相切
C．相交
D．以上三种情况都有可能
4．如图K－10－3，AB是⊙O的弦，半径OC经过AB的中点D，CE∥AB，点F在⊙O上，连接CF，BF，则下列结论中，不正确的是( )
图K－10－3
A．∠F＝∠AOC B．AB⊥BF
C．CE是⊙O的切线 D.＝
5．如图K－10－4，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转( )
图K－10－4
A．40°或80° B．50°或110°
C．50°或100° D．60°或120°
二、填空题
6．如图K－10－5，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，3 cm长为半径作⊙A，当AB＝________cm时，BC与⊙A相切．
图K－10－5
7．如图K－10－6，A是⊙O上一点，且PA＝12，PB＝8，OB＝5，则PA与⊙O的位置关系是________．
图K－10－6
8．如图K－10－7，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，则直线BC与⊙O的位置关系为________．
图K－10－7
9．已知：如图K－10－8，△ABC内接于⊙O，AB为直径，过点A作直线EF，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件是(只需写出三种)：①________或②________或③________．
图K－10－8
10．如图K－10－9，CD是⊙O的直径，BD是弦，延长DC到点A，使∠ABD＝120°.若添加一个条件，使AB是⊙O的切线，则下列四个条件中：①AC＝BC；②AB＝OA；③OC＝BC；④AB＝BD，能使命题成立的有________．(填序号即可)
图K－10－9
三、解答题
11．如图K－10－10，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D.
求证：直线AE是⊙O的切线.
图K－10－10
12．2017·天水如图K－10－11，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，C是⊙O外一点，且∠DBC＝∠A，连接OE并延长与⊙O交于点F，与BC交于点C.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长.
图K－10－11
13．2018·黄石如图K－10－12，已知A，B，C，D，E是⊙O上的五点，⊙O的直径BE＝2 ，∠BCD＝120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA＝AP，连接PE.
(1)求线段BD的长；
(2)求证：直线PE是⊙O的切线．
图K－10－12
14．2018·宿松县月考如图K－10－13，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P.
(1)如图①，若∠COB＝2∠PCB，求证：直线PC是⊙O的切线；
(2)如图②，若M是的中点，CM交AB于点N，MN·MC＝36，求BM的长．
图K－10－13
综合探究已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.
(1)如图K－10－14①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：________或者________．
(2)如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．
图K－10－14
详解详析
[课堂达标]
1．[答案] A
2．[答案] A
3．[解析] B 如图，令x＝0，则y＝－，令y＝0，则x＝，∴A(0，－)，B(，0)，∴OA＝OB＝，则△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝2.过点O作OD⊥AB于点D，则OD＝BD＝AB＝×2＝1，∴直线y＝x－与⊙O相切．故选B.
4．[解析] B 由垂径定理可知OD⊥AB，且＝，故∠F＝∠AOC；又∵CE∥AB，∴OC⊥CE，故CE是⊙O的切线；而点F的位置不确定，无法得到AB⊥BF.
5．[解析] B 如图，设BA旋转后与⊙O相切于点D，连接OD，∵OD＝OB，∴∠OBD＝30°.∴当点D在射线BC上方时，∠ABD＝50°；当点D在射线BC下方时，∠ABD＝110°.
6．[答案] 6
7．[答案] 相切
[解析] 连接OA，由PA＝12，PB＝8，OB＝5，可得OA＝5，所以PA2＋OA2＝OP2，即可得PA是⊙O的切线．
8．[答案] 相切
[解析] ∵∠BOC＝2∠A＝50°，∠OCB＝40°，
∴在△OBC中，∠OBC＝180°－50°－40°＝90°，
∴直线BC与⊙O相切．
9．[答案] (答案不唯一)①OA⊥EF ②∠FAC＝∠B ③∠BAC＋∠FAC＝90°
10．[答案] ①③④
[解析] 若AC＝BC，则∠OBC＝∠OCB＝60°，∠CAB＝∠ABC＝30°，∠ABO＝∠ABC＋∠OBC＝90°，故AB是⊙O的切线；若OC＝BC，则△BOC是等边三角形，∴∠ABO＝∠ABC＋∠OBC＝90°，故AB是⊙O的切线；若AB＝BD，则∠A＝∠D＝30°，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝90°，故AB是⊙O的切线．综上所述，能使命题成立的有条件①③④，而条件②无法推理出结论．
11．证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
又∵∠B＝∠D，∠EAC＝∠D，
∴∠EAC＝∠B，
∴∠EAC＋∠BAC＝90°，
∴BA⊥AE.
又∵AB是⊙O的直径，
∴直线AE是⊙O的切线．
12．解：(1)证明：连接OB，如图所示．
∵E是弦BD的中点，
∴BE＝DE，OE⊥BD，＝＝，
∴∠BOE＝∠A，∠OBE＋∠BOE＝90°.
∵∠DBC＝∠A，∴∠BOE＝∠DBC，
∴∠OBE＋∠DBC＝90°，
∴∠OBC＝90°，
即BC⊥OB.
∵OB是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．
(2)∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，
∴OC＝＝10.
∵△OBC的面积＝OC·BE＝OB·BC，
∴BE＝＝＝4.8，
∴BD＝2BE＝9.6，
即弦BD的长为9.6.
13．解：(1)如图，连接DE.
∵BE为⊙O的直径，∴∠BDE＝90°.
∵B，C，D，E四点共圆，
∴∠BCD＋∠BED＝180°.
而∠BCD＝120°，∴∠BED＝60°，
∴BD＝BE·sin60°＝2 ×＝3.
(2)证明：如图，连接AE.
∵BE为⊙O的直径，∴BA⊥AE.
∵A为的中点，∴BA＝AE，
∴△BAE为等腰直角三角形．
而AB＝AP，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴PE⊥BE.
∵BE是⊙O的直径，
∴直线PE是⊙O的切线．
14．解：(1)证明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，∴∠COB＝2∠ACO.
又∵∠COB＝2∠PCB，
∴∠ACO＝∠PCB.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO＋∠OCB＝90°，
∴∠PCB＋∠OCB＝90°，即OC⊥PC.
又∵OC是⊙O的半径，
∴直线PC是⊙O的切线．
(2)如图，连接MA，MB.
∵M是的中点，∴＝，
∴∠ACM＝∠BAM，AM＝BM.
又∵∠AMC＝∠NMA，
∴△AMC∽△NMA，
∴＝，
∴AM2＝MN·MC＝36，
∴AM＝6，则BM＝6.
[素养提升]
解：(1)答案不唯一，如：①∠BAE＝90°，②∠EAC＝∠ABC.
理由：①∵∠BAE＝90°，
∴AE⊥AB.
又∵AB是⊙O的直径，
∴EF是⊙O的切线．
②∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＋∠BAC＝90°.
∵∠EAC＝∠ABC，
∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝∠BAC＋∠ABC＝90°，
即AE⊥AB.
又∵AB是⊙O的直径，
∴EF是⊙O的切线．
(2)EF是⊙O的切线．
证明：如图，作直径AM，连接CM.
则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，
∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°.
∵∠CAE＝∠B，
∴∠CAE＋∠CAM＝90°，
∴AE⊥AM.
∵AM为⊙O的直径，
∴EF是⊙O的切线．
24.4 第3课时 切线长定理
一、选择题
1．如图K－11－1所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，下列说法不正确的是( )
图K－11－1
A．PA＝PB B．∠APO＝20°
C．∠PBO＝70° D．∠AOP＝70°
2．如图K－11－2，已知PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P＝90°，PA＝8，那么弦AB的长是( )
图K－11－2
A．4 B．8 C．4 D．8
3．如图K－11－3，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，连接OP.若∠APO＝30°，OA＝2，则PB的长为( )
图K－11－3
A. B. C．4 D．2
4．如图K－11－4，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为( )
图K－11－4
A．40° B．140° C．70° D．80°
5．2017·六安期末如图K－11－5，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点E在上，过点E作⊙O的切线，分别与PA，PB相交于点C，D.若PA＝3 cm，则△PCD的周长等于( )
图K－11－5
A．3 cm B．6 cm
C．9 cm D．12 cm
6．如图K－11－6，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与DC相交于点E，则△ADE的面积是( )
图K－11－6
A．12 B．24 C．8 D．6
7．如图K－11－7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD的长为( )
图K－11－7
A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1
二、填空题
8．如图K－11－8，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝46°，则∠BAC＝________°.
图K－11－8
9．如图K－11－9，⊙O的半径为3 cm，点P到圆心O的距离为6 cm，经过点P引⊙O的两条切线PA，PB，这两条切线的夹角为________度．
图K－11－9
10．如图K－11－10所示，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB ＝ 70°，则∠P的度数为________．
图K－11－10
11．如图K－11－11，已知AB为⊙O的直径，AB＝2，AD和BE是⊙O的两条切线，A，B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD，BE于点M，N，连接AC，CB，若∠ABC＝30°，则AM＝________．
图K－11－11
12．2018·马鞍山期末如图K－11－12，由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B，D，AB是⊙O的直径，连接AD，BD，OF交⊙O于点E，交BD于点C，连接DE，BE.下列四个结论：①BE＝DE；②∠EDF＝∠EBF；③DE∥AB；④BD2＝2AD·FC.其中正确的结论有________．(把你认为正确结论的序号全部填上)
图K－11－12
三、解答题
13．如图K－11－13，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∠APB＝90°，OP＝4，求⊙O的半径．
图K－11－13
14．如图K－11－14，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠P＝60°.求：
(1)PA的长；
(2)∠COD的度数．
图K－11－14
15．如图K－11－15，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6，OC＝8.
(1)求∠BOC的度数；
(2)求BE＋CG的长
图K－11－15
转化思想如图K－11－16，已知正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，点P不与点M和点C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E.求四边形CDFP的周长．
图K－11－16
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] C ∵PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝20°，∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOP＝∠BOP＝70°，故C是错误的．
2．[解析] D ∵PA，PB都是⊙O的切线，∴PA＝PB，即△PAB是等腰直角三角形，故AB＝PA＝8 .
3．[解析] D ∵PA，PB都是⊙O的切线，∴PB＝PA＝OA＝2 .
4．[解析] C 连接OA，OB，则∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°－∠P＝140°，∴∠C＝∠AOB＝70°.
5．[解析] B 由题意可知△PCD的周长为：PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋(CE＋DE)＝PC＋PD＋(CA＋BD)＝PA＋PB＝6 cm.
6．[解析] D ∵AE与⊙O切于点F，
显然根据切线长定理有AF＝AB＝4 cm，
EF＝EC.
设EF＝EC＝x cm，
则DE＝(4－x)cm，AE＝(4＋x)cm.
在Rt△ADE中，由勾股定理得
(4－x)2＋42＝(4＋x)2，解得x＝1，∴CE＝1，
∴DE＝4－1＝3，
∴S△ADE＝AD·DE＝×4×3＝6.故选D.
7．[解析] B 如图，设AD＝x，连接OD，OE.
∵AC，BC均为半圆O的切线，
∴∠ODC＝∠OEC＝90°.
又∵OD＝OE，∠C＝90°，
∴四边形ODCE是正方形．
则OD＝CD＝4－x.
∵AC∥OE，BC∥OD，
∴∠A＝∠BOE，∠AOD＝∠B，
∴△AOD∽△OBE，
∴＝，
即＝，
解得x＝1.6.
8．[答案] 23
[解析] 因为PA，PB是⊙O的切线，
所以PA＝PB，OA⊥PA.
又因为∠P＝46°，所以∠PAB＝67°，
所以∠BAC＝∠OAP－∠PAB＝90°－67°＝23°.
9．[答案] 60
[解析] 如图，连接AO，则△APO是直角三角形．∵OA＝3 cm，OP＝6 cm，
∴∠APO＝30°，∴∠APB＝60°.
10．[答案] 40°
[解析] 本题主要应用切线长定理及直径所对的圆周角是直角来解决．
如图，连接AB.
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°.
∵∠ACB＝70°，
∴∠CAB＝20°.
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴PA＝PB，∠PAC＝90°，
∴∠PAB＝∠PBA＝70°，∴∠P＝40°.
11．[答案]
[解析] 如图，连接OM，OC，
∵OB＝OC，且∠ABC＝30°，
∴∠BCO＝∠ABC＝30°.
∵∠AOC为△BOC的外角，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°.
∵AM，CM分别为⊙O的切线，
∴AM＝CM，且∠MAO＝∠MCO＝90°.
在Rt△AOM和Rt△COM中，
∴Rt△AOM≌Rt△COM，
∴∠AOM＝∠COM＝∠AOC＝30°.
在Rt△AOM中，OA＝AB＝1，∠AOM＝30°，
∴tan30°＝，∴AM＝.
12．[答案] ①②④
[解析] 由BF，DF都是⊙O的切线易知△DCF与△BCF关于OF对称，∴DE＝BE，∠EDF＝∠EBF，故结论①②正确；∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，由题意易知OC⊥BD，O为AB的中点，∴OC是△ABD的中位线，则OC＝AD.∵BF是⊙O的切线，∴OB⊥BF，即△BOF是直角三角形，易证△BOC∽△FBC，∴BC2＝OC·FC，即(BD)2＝AD·FC，化简得BD2＝2AD·FC，故结论④正确；而结论③的依据不足．综上所述，结论①②④正确．
13．解：∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°.
又∵∠APB＝90°，OA＝OB，
∴四边形OAPB为正方形，∴OA＝AP，
∴在Rt△AOP中，2OA2＝OP2，即OA2＝8，
解得OA＝2 .
即⊙O的半径为2 .
14．解：(1)∵CA，CE都是⊙O的切线，
∴CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB，
∴△PCD的周长＝PD＋CD＋PC＝PD＋PC＋CA＋BD＝PA＋PB＝2PA＝12，
∴PA＝6.
(2)∵∠P＝60°，
∴∠PCE＋∠PDE＝120°，
∴∠ACD＋∠CDB＝360°－120°＝240°.
∵CA，CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD，
同理∠ODE＝∠CDB，
∴∠OCE＋∠ODE＝(∠ACD＋∠CDB)＝120°，
∴∠COD＝180－120°＝60°.
15．解：(1)根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.
∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠BCD)＝90°，
∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝90°.
(2)在Rt△BOC中，BC＝＝＝10，
∴BE＋CG＝BC＝10.
[素养提升]
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA⊥AD，OB⊥BC.
又∵OA，OB是⊙O的半径，
∴AF，BP都是⊙O的切线．
又∵PF是⊙O的切线，
∴FE＝FA，PE＝PB，
∴四边形CDFP的周长为AD＋DC＋CB＝2×3＝6.
