24.1～24.2
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是( )
图G－1－1
2．在平面直角坐标系中，点A(－2，1)与点B关于原点对称，则点B的坐标为( )
A．(－2，1) B．(2，－1)
C．(2，1) D．(－2，－1)
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°的角”时，假设正确的是( )
A．假设三个内角都不大于60°
B．假设三个内角都大于60°
C．假设三个内角至多有一个大于60°
D．假设三个内角至多有两个大于60°
4．如图G－1－2，D是等腰直角三角形ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数是( )
图G－1－2
A. 25° B. 30°
C. 35° D. 45°
5．如图G－1－3，已知⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5，则CD的长为( )
图G－1－3
A．4
B．8
C．2
D．4
6．如图G－1－4，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是( )
图G－1－4
A．AB＝2BC
B．△OAB内接于⊙O
C.＝2
D．∠OBA＝2∠OAC
7．如图G－1－5，等腰三角形ABC内接于半径为5 cm的⊙O，AB＝AC，tanB＝，则AB的长为( )
图G－1－5
A. cm B. cm
C．2 cm D．2 cm
8．如图G－1－6，△ABC内接于⊙O，AB＝8，直径BC＝10，AC＝6，D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，则DE∶CE等于( )
图G－1－6
A．2∶5 B．1∶3 C．2∶7 D．1∶4
二、填空题(每小题4分，共16分)
9．已知矩形ABCD的边AB＝6，AD＝8.如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，那么⊙A的半径r的取值范围是__________．
10．如图G－1－7，AB和DE是⊙O的直径，AC∥DE，若BE＝3，则CE＝________．
图G－1－7
11．如图G－1－8，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，若点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为，则点P的坐标为__________．
图G－1－8
12．如图G－1－9，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，5)，B(－3，0)，C(2，0)，将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使点A的对应点A′落在y轴上，与此同时顶点C的对应点C′恰好落在反比例函数y＝的图象上，则k的值为________．
图G－1－9
三、解答题(共52分)
13．(8分)如图G－1－10，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，3)，点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B的对应点分别是E，F.
(1)若点B的坐标是(－4，0)，请在图中画出△AEF，并写出点E，F的坐标；
(2)当点F落在x轴上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．
图G－1－10
14．(10分)如图G－1－11，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F，求证：AE＝CD.
图G－1－11
15．(10分)已知：如图G－1－12所示，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3 cm，DB＝10 cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E，F两点，求圆心O到AP的距离及线段EF的长．
图G－1－12
16．(12分)如图G－1－13，在等边三角形ABC中，AC＝9，点O在边AC上，且AO＝3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.要使点D恰好落在BC上，请求出AP的长．
图G－1－13
17．(12分)如图G－1－14，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.
(1)求证：BE＝CE；
(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由．
图G－1－14
教师详解详析
1．A 2.B
3．B [解析] “至少有一个不大于60°”的否定是“都大于60°”．故选B.
4．D [解析] ∵将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，∴AD＝AD′，∠DAD′＝∠BAC＝90°，即△ADD′是等腰直角三角形，
∴∠ADD′＝45°.故选D.
5．D [解析] 连接OC，∵AB＝12，BP∶AP＝1∶5，∴AP＝10，BP＝2，∴OP＝4.由垂径定理可得△OPC是直角三角形，并且CD＝2CP.在Rt△OCP中，由勾股定理得CP＝＝＝2 ，∴CD＝4 .故选D.
6．C [解析] A．AB＜2BC；B.△OAB只有两个顶点在⊙O上，不是圆的内接三角形；C.＝正确；D.利用三角形内角和计算∠OBA≠2∠OAC.
7．D [解析] 连接OA交BC于点D，连接OB.
∵AB＝AC，∴OA⊥BC.
∵tan∠ABC＝，∴BD＝2AD.
设AD＝x，则BD＝2x，AB＝x，OD＝5－x.
在Rt△OBD中，OB2＝OD2＋BD2，
即25＝(5－x)2＋4x2，
解得x＝2(x＝0舍去)，
∴AB＝2 cm.故选D.
8．B [解析] 连接DO，交AB于点F，
∵D是的中点，∴DO⊥AB，AF＝BF＝4.
∵AB＝8，AC＝6，BC＝10，
∴由勾股定理的逆定理可得∠A是直角，
∴FO是△ABC的中位线，
∴AC∥DO，FO＝AC＝3，∴DF＝5－3＝2.
∵AC∥DO，∴DE∶CE＝DF∶AC＝1∶3.
9．6＜r＜10 [解析] ∵AB＝6，AD＝8，∴AC＝10，∴点C一定在圆外，点B一定在圆内，∴⊙A的半径r的取值范围是6＜r＜10.
10．3 [解析] 连接OC，
∵AC∥DE，
∴∠A＝∠AOD，∠COE＝∠ACO.
又∵∠A＝∠ACO，
∴∠AOD＝∠COE，∴CE＝BE＝3.
11．(3，2) [解析] 如图，过点P作PB⊥OA于点B，连接PO，∵点A的坐标为(6，0)，∴OB＝3.在Rt△POB中，PO＝，OB＝3，由勾股定理求得PB＝2，所以点P的坐标是(3，2)．故填(3，2)．
12．－3 [解析] ∵A(－3，5)，B(－3，0)，C(2，0)，
∴AB＝5，BC＝2－(－3)＝2＋3＝5，AB⊥x轴，
∴△ABC是等腰直角三角形．
如图，过点A′作A′E⊥AB于点E，过点C′作C′F⊥x轴于点F，则A′E＝3，BE＝＝4，
∵△A′BC′是由△ABC旋转得到的，
∴∠A′BE＝∠C′BF.
在△A′BE和△C′BF中，
∴△A′BE≌△C′BF(AAS)，
∴BF＝BE＝4，C′F＝A′E＝3，
∴OF＝BF－OB＝4－3＝1，
∴点C′的坐标为(1，－3)．
把(1，－3)代入y＝，得＝－3，解得k＝－3.
13．解：(1)如图，点E的坐标为(3，3)，点F的坐标为(3，－1)．
(2)∵点A的坐标是(0，3)，∴将△AOB绕点A逆时针旋转90°时，点E的坐标为(3，3)．∵点F落在x轴上方，∴EF<3，∴OB<3，∴答案不唯一，只要点B在点(－3，0)和原点之间即可，如B(－2，0)等．
14．证明：如图，连接AC.
∵∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝30°，
∴AC＝CD.
∵OA＝OC，∴∠ACE＝75°.
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠OAB＝45°，
∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°，
∴∠ACE＝∠AEC，
∴AE＝AC，∴AE＝CD.
15．解：过点O作OG⊥AP于点G，连接OF.
∵DB＝10 cm，∴OD＝5 cm，
∴AO＝AD＋OD＝3＋5＝8(cm)．
∵∠PAC＝30°，∴OG＝AO＝×8＝4(cm)．
∵OG⊥EF，∴EG＝GF.
∵GF＝＝＝3(cm)，
∴EF＝6 cm，
∴圆心O到AP的距离为4 cm，线段EF的长为6 cm.
16．解：当点D恰好落在BC上时，OP＝OD.
∵AC＝9，AO＝3，
∴CO＝6.
∵∠POD＝60°，
∴∠AOP＋∠COD＝∠COD＋∠CDO＝120°，
∴∠AOP＝∠CDO.
又∵∠A＝∠C＝60°，
∴△AOP≌△CDO(AAS)，
∴AP＝CO＝6.
17．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴＝.结合AD是⊙O的直径可推出＝，∴BD＝CD.
又∵AD＝AD，
∴△BAD≌△CAD(SSS)，∴∠BAD＝∠CAD.
∵AB＝AC，结合等腰三角形“三线合一”的性质，得BE＝CE.
(2)四边形BFCD为菱形．
理由：由(1)可知AD垂直平分BC，
∴BF＝CF，CD＝BD，
∴∠DCB＝∠DBC.
又∵CF∥BD，
∴∠FCB＝∠DBC，∴∠FCB＝∠DCB.
又∵AD垂直平分BC，∴CF＝CD，
∴CF＝BF＝BD＝CD，
∴四边形BFCD是菱形．
24.2 第1课时 圆的有关概念和点与圆的位置关系
一、选择题
1．下列说法错误的是( )
A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
2．⊙O的半径为6 cm，点A到圆心O的距离为5 cm，那么点A与⊙O的位置关系是( )
A．点A在圆内 B．点A在圆上
C．点A在圆外 D．不能确定
3．如图K－3－1，在⊙O中，点A、O、D，点B、O、C以及点E、D、C分别在一条直线上，则图中弦的条数为( )
图K－3－1
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图K－3－2，MN为⊙O的弦，∠M＝30°，则∠MON等于( )
图K－3－2
A．30° B．60° C．90° D．120°
5．2016·宜昌在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图K－3－3所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以点O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为( )
图K－3－3
A．E，F，G B．F，G，H
C．G，H，E D．H，E，F
6．如图K－3－4，AB是⊙O的直径，D，C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，连接AC，则∠DAC的度数为( )
图K－3－4
A．15° B．30° C．45° D．60°
7．如图K－3－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7.点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径为3，⊙D与⊙A至少有一个公共点，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径r的取值范围是( )
图K－3－5
A．1＜r＜4 B．2≤r＜4
C．1＜r＜8 D．2≤r＜8
8.2017·宿州期末如图K－3－6，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，则∠E的度数为( )
图K－3－6
A．36° B．30° C．18° D．24°
9．某公园计划砌一个形状如图K－3－7①的喷水池，后来有人建议改为图②的形状，且外圆的直径不变，若两种方案砌各圆形水池的周边需用的材料费分别为W1和W2，则( )
图K－3－7
A．W1＜W2 B．W1＞W2
C．W1＝W2 D．无法确定
二、填空题
10．如图K－3－8所示，AB是圆的直径，则图中的弦有________条，分别是__________，劣弧有________条，分别是________________________.
图K－3－8
11.如图K－3－9，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，则AB的长是________．
图K－3－9
12．如图K－3－10，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是________．
图K－3－10
13．如图K－3－11，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE.若∠A＝65°，则∠DOE的度数为________．
图K－3－11
三、解答题
14．如图K－3－12所示，已知⊙O和直线l，过圆心O作OP⊥l，P为垂足，A，B，C为直线l上的三个点，且PA＝2 cm，PB＝3 cm，PC＝4 cm，若⊙O的半径为5 cm，OP＝4 cm，判断A，B，C三点与⊙O的位置关系.
图K－3－12
15．如图K－3－13，AB，CD为⊙O中两条直径，点E，F在直径CD上，且CE＝DF.
求证：AF＝BE.
图K－3－13
16．如图K－3－14，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOB＝30°，∠OBC＝50°，求∠OAC的度数．
图K－3－14
17．2017·灵璧县期末如图K－3－15，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？
图K－3－15
新定义题
将绳的一端固定住，另一端系一支笔，将绳子绷直，用笔绕着另一端画一圈就是一个圆，于是我们定义：圆是由到一定点距离都等于定长的所有的点组成的图形．
下面是一种画椭圆的方法：
(1)在地平面上选两个点，钉上两个钉子；
(2)测量两个钉子之间的距离；
(3)选用大于两钉子间距离长度的绳子；
(4)将绳子两端分别系在钉子上；
(5)将绳子绷直，用笔在绷直的拐角地方画线；
(6)将绳子绕一圈，椭圆就得到啦！(如图K－3－16所示)
根据这个过程请你给椭圆下一个定义：__________________________________________________．
图K－3－16
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] B 直径相等的两个圆是等圆，A项正确，不符合题意；长度相等的两条弧的弯曲程度不一定相同，它们不一定是等弧，B选项的说法错误，符合题意；圆中最长的弦是直径，C项正确，不符合题意；一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，D项正确，不符合题意．故选B.
2．[解析] A ∵点A到圆心O的距离5 cm＜6 cm，∴点A在⊙O的内部．
3．[解析] B 图中弦有AB，BC，CE，共有3条弦．
4．[解析] D 圆中由两条半径和一条弦组成的三角形是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，可得∠N＝30°，所以∠MON＝120°.
5．[解析] A OA＝＝，
因为OE＝2＜OA，所以点E在⊙O内；
因为OF＝2＜OA，所以点F在⊙O内；
因为OG＝1＜OA，所以点G在⊙O内；
因为OH＝＝2＞OA，所以点H在⊙O外．故选A.
6．[解析] B ∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO.
∵AD∥OC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠CAB.
∵∠DAB＝60°，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°.
故选B.
7．[解析] B 连接AD，
∵AC＝4，CD＝3，∠C＝90°，∴AD＝5.
∵⊙A的半径为3，⊙D与⊙A至少有一个公共点，∴r≥5－3＝2.
∵BC＝7，CD＝3，∴BD＝4.
∵点B在⊙D外，∴r＜4.
∴⊙D的半径r的取值范围是2≤r＜4.
故选B.
8．[解析] D 如图，连接OC，则OC＝OD＝OB＝CE，∴∠D＝∠OCD＝2∠E，∴∠DOB＝3∠E＝72°，∴∠E＝24°.
9．[解析] C 在图①中，C1＝2×2πr＝4πr，在图②中，C2＝2πr＋2π·＋2π·＋2π·＝2π(r＋＋＋)＝4πr，所以C1＝C2，即两种方案砌各圆形水池的周边需要的材料一样多，则需用的材料费也一样多，即W1＝W2.故选C.
10．[答案] 2 CD，AB 5 ，，，，
11．[答案] 10
[解析] 如图，连接OC，
在Rt△ODC中，∵CD＝4，OD＝3，
∴OC＝＝＝5，
∴AB＝2OC＝10.故答案为10.
12．[答案] 3＜r＜5
13．[答案] 50°
[解析] 根据圆的定义可知：OB＝OD＝OC＝OE，∴∠B＝∠ODB，∠C＝∠OEC.又∵∠B＋∠C＝180°－∠A＝115°，∴∠BOD＋∠COE＝360°－2×(∠B＋∠C)＝130°，∴∠DOE＝180°－(∠BOD＋∠COE)＝50°.
14．解：如图，连接OA，OB，OC，
∵PA＝2 cm，OP＝4 cm，
∴OA＝＝(cm)＜5 cm，
∴点A在⊙O内；
∵PB＝3 cm，OP＝4 cm，
∴OB＝＝5(cm)，
∴点B在⊙O上；
∵PC＝4 cm，OP＝4 cm，
∴OC＝＝(cm)＞5 cm，
∴点C在⊙O外．
15．证明：∵AB，CD为⊙O中两条直径，
∴OA＝OB，OC＝OD.
又∵CE＝DF，
∴OC－CE＝OD－DF，即OE＝OF.
在△AOF和△BOE中，
∴△AOF≌△BOE，
∴AF＝BE.
16．解：根据题意，可知OA＝OB＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC＝50°，
∴∠BOC＝180°－2∠OBC＝80°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝30°＋80°＝110°，
∴2∠OAC＝180°－110°＝70°，即∠OAC＝35°.
17．解：AC与BD相等．理由如下：
连接OC，OD，如图．
∵OA＝OB，AE＝BF，
∴OA－AE＝OB－BF，即OE＝OF.
在Rt△OEC和Rt△OFD中，∵
∴Rt△OEC≌Rt△OFD，
∴∠EOC＝∠FOD，
即∠AOC＝∠BOD.
又∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD.
[素养提升]
[答案] 平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于两定点的距离)的所有的点组成的图形
24.2 第2课时 垂径分弦
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．平分弦的直径垂直于弦
B．垂直于弦的直线必过圆心
C．垂直于弦的直径平分弦
D．平分弦的直径平分弦所对的弧
2．2017·泸州如图K－4－1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( )
图K－4－1
A. B．2 C．6 D．8
3．如图K－4－2，若⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是( )
图K－4－2
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．平行四边形
4．如图K－4－3，在⊙O中，弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若AB＝16 cm，AC＝12 cm，则⊙O的半径OA为( )
图K－4－3
A．14 cm B．12 cm
C．10 cm D．8 cm
5．2017·太湖期末如图K－4－4，以点O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C，若AB＝4，BC＝1，则下列整数与圆环面积最接近的是( )
图K－4－4
A．10 B．13 C．16 D．19
6．在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图K－4－5.若油面的宽AB＝160 cm，则油的最大深度为( )
图K－4－5
A．40 cm B．60 cm C．80 cm D．100 cm
7．2017·池州月考“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问锯几何？”用现代的数学语言表述是：“如图K－4－6，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD”．依题意，CD的长为( )
图K－4－6
A．12寸 B．13寸
C．24寸 D．26寸
8．2018·安顺已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8 cm，则AC的长为( )
A．2 cm
B．4 cm
C．2 cm或4 cm
D．2 cm或4 cm
二、填空题
9．如图K－4－7，在⊙O中，弦AB＝6，圆心O到AB的距离OC＝2，则⊙O的半径为________.
图K－4－7
10．如图K－4－8所示，⊙O的直径CD＝10 cm，且AB⊥CD，垂足为P，AB＝8 cm，则sin∠OAP＝__________．
图K－4－8
11．如图K－4－9，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是优弧上的一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．
图K－4－9
12．如图K－4－10，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________.
图K－4－10
13．如图K－4－11，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为______．
图K－4－11
三、解答题
14．2017·合肥瑶海区期末如图K－4－12，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC.若∠A＝22.5°，CD＝8，求⊙O的半径.
图K－4－12
15．巫山长江公路大桥是一个中承式钢管砼圆弧形拱桥，主跨度AB＝492米，拱桥最高点C距水面100米，求该拱桥的半径是多少米．
图K－4－13
16．如图K－4－14，在平面直角坐标系中，以点C(0，3)为圆心，5为半径作圆，交x轴于A，B两点，交y轴正半轴于点P，以点P为顶点的抛物线经过A，B两点．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求此抛物线的表达式．
图K－4－14
实践应用
今年夏天，台风来袭，某地被雨水“围攻”．如图K－4－15，当地有一拱桥为圆弧形，跨度AB＝60 m，拱高PM＝18 m，当洪水泛滥，水面跨度缩小到30 m时要采取紧急措施．当地测量人员测得水面A1B1到拱顶的距离只有4 m，则此时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
图K－4－15
详解详析
[课堂达标]
1．[答案] C
2．[解析] B 由题意，得OE＝OA－AE＝4－1＝3，CE＝CD＝＝，CD＝2CE＝2 .故选B.
3．[解析] B 由题意可知OC与AB互相垂直平分，则四边形OACB是菱形．
4．[解析] C 由垂径定理可知AD＝AB＝8 cm，OD＝AE＝AC＝6 cm，∴OA＝＝10 cm.
5．[解析] C 过点O作OD⊥AB，垂足为D，则AD＝2，DC＝2＋1＝3，
S圆环＝π(OC2－OA2)＝π(OD2＋DC2－OD2－AD2)＝π×(9－4)＝5π≈15.7≈16.
故选C.
6．[解析] A 如图，连接OA，过点O作OE⊥AB于点M，交⊙O于点E.
∵⊙O的直径为200 cm，AB＝160 cm，
∴OA＝OE＝100 cm，AM＝80 cm，
∴OM＝60 cm，
∴ME＝OE－OM＝100－60＝40(cm)．
7．[解析] D 如图，设CD的长为2x寸，则半径OC＝x寸，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，AB＝10寸，∴AE＝BE＝AB＝5寸．连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52＋(x－1)2，解得x＝13，则CD＝2x＝2×13＝26(寸)．
8．[解析] C 连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝10 cm，AB⊥CD，AB＝8 cm，
∴AM＝4 cm，OD＝OC＝5 cm.
当点C的位置如图①所示时，
∵OA＝5 cm，AM＝4 cm，CD⊥AB，
∴OM＝3 cm，
∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8(cm)，
∴AC＝4 cm；
当点C的位置如图②所示时，同理可得OM＝3 cm，
∵OC＝5 cm，
∴MC＝5－3＝2(cm)．
在Rt△AMC中，AC＝2 cm.
综上，AC的长为4 cm或2 cm.
9．[答案]
10．[答案]
[解析] ∵AB⊥CD，
∴AP＝BP＝AB＝×8＝4(cm)．
在Rt△OAP中，OA＝CD＝5 cm，
∴OP＝3 cm，∴sin∠OAP＝＝.
11．[答案] 4
[解析] ∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴由垂径定理得AC＝PC，PD＝BD，∴CD是△APB的中位线，∴CD＝AB＝×8＝4.
12．[答案] 2
[解析] 如图，过点C作CE⊥AB于点E.
在△ABC中，∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－20°－130°＝30°.
在Rt△BCE中，∵∠CEB＝90°，∠B＝30°，BC＝2，∴BE＝BC·cos30°＝.
∵CE⊥BD，∴DE＝BE，∴BD＝2BE＝2 .
故答案为2 .
13．[答案] 2
[解析] 如图，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA.
∵OD⊥AB，OA＝2，
∴OD＝OA＝1.
在Rt△OAD中，AD＝＝＝，∴AB＝2AD＝2 .故答案为2 .
14．解：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝8，
∴CE＝DE＝CD＝4.
∵OA＝OC，
∴∠COE＝2∠A＝45°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴OC＝CE＝4 ，
即⊙O的半径为4 .
15．解：如图，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R米，
连接OA，OC，则OC⊥AB，设D为垂足，
根据垂径定理，知D是AB的中点，C是弧AB的中点，
由题意可知AB＝492米，CD＝100米，
所以AD＝AB＝×492＝246(米)，
OD＝OC－CD＝(R－100)米．
在Rt△OAD中，根据勾股定理，得
OA2＝AD2＋OD2，即R2＝2462＋(R－100)2，
解得R＝352.58.
因此，该拱桥的半径是352.58米．
16．解：(1)如图，连接AC，由题意得CO＝3，AC＝5.
∵CO⊥AO，
∴△ACO是直角三角形且∠AOC是直角，
∴AO＝＝＝4.
由题意可得y轴是抛物线的对称轴，
∴BO＝AO＝4，
∴点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(4，0)．
(2)依题意得OP＝CO＋CP＝3＋5＝8，
∴点P的坐标是(0，8)．
设抛物线的表达式为y＝ax2＋8，代入点A的坐标，得a×(－4)2＋8＝0，解得a＝－.
∴该抛物线的表达式为y＝－x2＋8.
[素养提升]
解：此时不需要采取紧急措施．理由：
如图所示，连接OA，OA1.
由题意可得AB＝60 m，PM＝18 m，PN＝4 m，OP⊥AB，OP⊥A1B1，
由垂径定理可得AM＝MB＝30 m，A1N＝B1N.
设OA＝OA1＝OP＝R m，
在Rt△AMO中，由勾股定理可得
AO2＝AM2＋MO2，
即R2＝302＋(R－18)2，
解得R＝34.
∵PN＝4 m，OP＝34 m，
∴ON＝30 m.
在Rt△ONA1中，由勾股定理可得
A1N＝＝＝16(m)，
∴A1B1＝32 m＞30 m，
故此时不需要采取紧急措施．
24.2 第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系
一、选择题
1．在⊙O中含有圆心角的是( )
图K－5－1
2．将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1∶2∶3，则这三个扇形中圆心角度数最大的是( )
A．30° B．60° C．120° D．180°
3．如图K－5－2，在⊙O中，C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC的度数为( )
图K－5－2
A．40° B．45° C．50° D．60°
4．如图K－5－3，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠A的度数为( )
图K－5－3
A．50° B．55° C．60° D．65°
5．如图K－5－4，是半圆，O为AB的中点，C，D两点在上，且AD∥OC，连接BC，BD，OD.若∠COD＝62°，则的度数为( )
图K－5－4
A．56° B．58° C．60° D．62°
6．如图K－5－5，在△ABC中，∠A＝70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为( )
图K－5－5
A．140° B．135° C．130° D．125°
7．如图K－5－6，已知AB和CD是⊙O中相等的两条弦，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M，N，BA，DC的延长线交于点P，连接OP.下列四个说法中：①＝；②OM＝ON；③PA＝PC；④∠BPO＝∠DPO，正确的个数是( )
图K－5－6
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题
8．如图K－5－7，OE⊥AB，OF⊥CD，如果OE＝OF，那么____________(只需写出一个正确的结论).
图K－5－7
9．如图K－5－8，在⊙O中，＝，∠B＝70°，则∠A＝________°.
图K－5－8
10．如图K－5－9，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为________．
图K－5－9
11．2017·黄山部分地区月考如图K－5－10，⊙O的半径是8，AB是⊙O的直径，M为AB上一动点，＝＝，则CM＋DM的最小值为________．
图K－5－10
三、解答题
12．如图K－5－11，AB，CE是⊙O的直径，∠COD＝60°，且＝.
(1)请你写出与∠AOE相等的圆心角；
(2)连接AE，AD，DC，BE，写出其中与线段AE相等的弦.
图K－5－11
13．如图K－5－12，在⊙O中，C，D是直径AB上的两点，且AC＝BD，MC⊥AB，ND⊥AB，点M，N在⊙O上．
求证：＝.
图K－5－12
14．2017·牡丹江如图K－5－13，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.
求证：AD＝BE.
图K－5－13
15．如图K－5－14，⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点分别为M，N，且AB＝CD.
求证：∠AMN＝∠CNM.
图K－5－14
16．如图K－5－15，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点．连接AB.
(1)求证：AB平分∠OAC；
(2)延长OA至点P使得OA＝AP，连接PC，若⊙O的半径R＝1，求PC的长．
图K－5－15
如图K－5－16，AB是⊙O的直径，C，D是AB上的两点，MC⊥AB交⊙O于点M，N，PD⊥AB交⊙O于点P，Q.
(1)求证：PM＝QN；
(2)若AC＝BD，求证：＝；
(3)若AM＝MP＝PB，求证：C是OA的中点．
图K－5－16
详解详析
[课堂达标]
1．[答案] D
2．[答案] D
3．[答案] A
4．[解析] C 连接OC，OD.∵BC＝CD＝DA，∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°.又∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠A＝60°.
5．[解析] A ∵AD∥OC，∴∠ADO＝∠COD＝62°，可得∠AOD＝56°，∴的度数为56°.
6．[解析] D 如图，过点O作OM⊥AB，ON⊥AC，OP⊥BC，垂足分别为M，N，P.
∵∠A＝70°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝110°.
∵⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，
∴OM＝ON＝OP，
∴O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，
∴∠BOC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－×110°＝125°.
7．[解析] D ∵AB＝CD，OM⊥AB，ON⊥CD，∴＝，OM＝ON，∴PO是∠BPD的平分线，∴∠BPO＝∠DPO；易证△POM≌△PON，∴PM＝PN，∴PM－AM＝PN－CN，即PA＝PC.综上所述，说法①②③④都正确．故选D.
8．[答案] 答案不唯一，如AB＝CD
9．[答案] 40
[解析] ∵＝，∴AB＝AC.
∵∠B＝70°，
∴∠C＝∠B＝70°，
∴∠A＝180°－2×70°＝40°.
10．[答案] 50°
[解析] 连接CD，∵∠A＝25°，∠C＝90°，
∴∠B＝65°.
∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB＝65°，
∴∠BCD＝50°，
∴的度数为50°.
11．[答案] 16
[解析] 以AB为对称轴作点C的对称点C′，连接C′D，则CM＋DM的最小值为线段C′D的长．
又∵＝＝＝60°，
∴∠C′OD＝180°，即C′D是直径，
∴CM＋DM的最小值为16.
12．解：(1)∵＝，∴∠AOD＝∠BOC.
∵∠COD＋∠AOD＋∠BOC＝180°，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝∠BOC＝60°.
又∵∠AOE＝∠BOC，
∴与∠AOE相等的圆心角有∠AOD，∠COD，∠BOC.
(2)∵与∠AOE相等的圆心角有∠AOD，∠COD，
∴与线段AE相等的弦有AD，CD.
13．证明：如图，连接OM，ON.
∵AB是⊙O的直径，C，D是直径AB上的两点，且AC＝BD，
∴OC＝OD.
在Rt△OMC和Rt△OND中，
∴Rt△OMC≌Rt△OND，
∴∠COM＝∠DON，∴＝.
14．证明：如图，连接OC，
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC.
∵CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°.
在△COD和△COE中，
∵
∴△COD≌△COE(AAS)，
∴OD＝OE.
又∵AO＝BO，∴AD＝BE.
15．证明：连接OM，ON，如图．
∵M，N分别为AB，CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∴∠AMO＝∠CNO＝90°.
∵AB＝CD，∴OM＝ON，
∴∠OMN＝∠ONM，
∴∠AMN＝∠CNM.
16．[解析] (1)连接OC，在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，则∠AOC＝∠BOC＝60°，根据等边三角形的判定，可得△OAC和△OBC都是等边三角形，于是OA＝AC＝OB＝BC，因此四边形AOBC是菱形，再由菱形的性质可得AB平分∠OAC.
(2)根据三角形内角和定理可计算出∠OCP＝90°，再利用锐角三角函数的定义，可计算PC的长．
解：(1)证明：如图，连接OC，
∵∠AOB＝120°，C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°.
又∵OA＝OB＝OC，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴OA＝AC＝OB＝BC，
∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC.
(2)由(1)知，△OAC是等边三角形，
∴∠AOC＝∠OCA＝∠OAC＝60°.
∵OA＝AC，OA＝AP，∴AP＝AC，
∴∠APC＝∠ACP＝∠OAC＝30°，
∴∠OCP＝∠OCA＋∠ACP＝60°＋30°＝90°.
∴在Rt△OPC中，PC＝＝＝＝.
[素养提升]
证明：(1)∵AB是⊙O的直径，MN⊥AB，PQ⊥AB，
∴＝，＝.
∵＋＋＝＋＋，
∴＝，
∴PM＝QN.
(2)连接OM，OP，如图所示．
∵OA＝OB，AC＝BD，MN⊥AB，PQ⊥AB，
∴OC＝OD，∠MCO＝∠PDO＝90°.
又∵OM＝OP，
∴Rt△MOC≌Rt△POD，
∴∠MOA＝∠POB，∴＝.
(3)∵AB是⊙O的直径，AM＝MP＝PB，
∴∠MOA＝∠MOP＝∠POB＝60°.
又∵OM＝OA，
∴△OMA是等边三角形．
又∵MC⊥OA，
∴C是OA的中点．
[24.2 第4课时 圆的确定]
一、选择题
1．用反证法证明“a＞b”时应假设( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a≤b
2．下列条件中能确定一个圆的是( )
A．已知圆心
B．已知半径
C．过三个已知点
D．过一个三角形的三个顶点
3．三角形的外心是( )
A．三边中线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点
D．三条内角平分线的交点
4．若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
5．2018·烟台如图K－6－1，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为( )
图K－6－1
A．(－1，－2) B．(－1，－3)
C．(－2，－2) D．(－3，－1)
6．2017·山西公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机.是无理数的证明如下：
假设是有理数，那么它可以表示成(p与q是互质的两个正整数)．于是()2＝()2＝2，所以q2＝2p2.于是q2是偶数，进而q是偶数．从而可设q＝2m，所以(2m)2＝2p2，p2＝2m2，于是可得p也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾，从而可知“是有理数”的假设不成立，所以，是无理数．
这种证明“是无理数”的方法是( )
A．综合法 B．反证法
C．举反例法 D．数学归纳法
二、填空题
7．平面直角坐标系内的三个点A(1，0)，B(0，－3)，C(2，－3)__________确定一个圆(填“能”或“不能”)．
8．用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，第一步应假设________________________．
9．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图K－6－2所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第________块.
图K－6－2
10．2017·宁夏如图K－6－3，点A，B，C均在6×6的正方形网格的格点上，过A，B，C三点的圆除经过A，B，C三点外还经过的格点有________个．
图K－6－3
11．2017·巢湖月考若点O是等腰三角形ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为________________．
三、解答题
12．在平面直角坐标系中，若作一个⊙M，使⊙M经过点A(－4，0)，B(0，－2)，O(0，0)，求点M的坐标．
13.求证：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
14．如图K－6－4所示，BD，CE是△ABC的高．求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
图K－6－4
15．如图K－6－5，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．
图K－6－5
16．如图K－6－6，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，AC＝24，BD＝10，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点．试求以E，F，G三点所确定的圆的周长．(结果保留π)
图K－6－6
如图K－6－7，D是△ABC 的边BC 的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD 上，AO＝CO，BC∥EF.
(1)求证：AB＝AC；
(2)求证：点O是△ABC 的外接圆的圆心；
(3)当AB＝5，BC＝6时，连接BE，若∠ABE＝90°，求AE的长．
图K－6－7
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] D 反证法的第一步是反设，即假设命题的结论不成立，故证明“a＞b”时应假设“a≤b”．
2．[解析] D 确定一个圆的条件是圆心和半径；不在同一条直线的三个点确定一个圆；过一个三角形的三个顶点即可确定一个圆．综上所述，选项D正确．
3．[答案] B
4．[解析] A △ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是锐角三角形．故选A.
5．[解析] A 根据垂径定理，借助网格，找到两条弦BC，AB的垂直平分线的交点，即为圆心，其坐标为(－1，－2)．
6．[解析] B 阅读材料中的证明方法符合反证法的步骤．
7．[答案] 能
[解析] ∵B(0，－3)，C(2，－3)，∴BC∥x轴，
而点A(1，0)在x轴上，∴点A，B，C不共线，
∴三个点A(1，0)，B(0，－3)，C(2，－3)能确定一个圆．
8．[答案] 在一个三角形中有两个内角为钝角
9．[答案] ②
10．[答案] 5
[解析] 如图，分别作AB，BC的中垂线，两直线的交点为O，
以点O为圆心，OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的圆，
由图可知，⊙O还经过点D，E，F，G，H这5个格点．
故答案为5.
11．[答案] 2－或2＋
[解析] 如图，当△ABC是钝角三角形时，△BOC是等边三角形，且∠AOB＝∠AOC＝30°，BD＝CD＝1，∴OD＝BD＝，则AD＝OA－OD＝2－，∴S△ABC＝BC×AD＝×2×(2－)＝2－；当△ABC是锐角三角形时，AD＝OA＋OD＝2＋，∴S△ABC＝BC×AD＝×2×(2＋)＝2＋.
12．解：如图所示：
∵△AOB是直角三角形，
∴△AOB的外心M是斜边AB的中点．
过点M作MC⊥x轴于点C，作MD⊥y轴于点D，则MD∥OA，MC∥OB，
∴C是OA的中点，D是OB的中点，
∴OC＝OA＝2，OD＝OB＝1，
∴点M的坐标为(－2，－1)．
13．解：已知：如图所示，直线AB∥EF，CD∥EF.
求证：AB∥CD.
证明：假设AB与CD不平行，则直线AB与CD相交，
设它们的交点为P，于是经过点P就有两条直线(AB，CD)都和直线EF平行，
这就与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾，
所以假设不成立，故AB∥CD.
14．证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形，
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF＝EF＝BF＝CF，
∴E，B，C，D四点在以点F为圆心，BC为半径的圆上．
15．解：(1)用尺规作出两边(如AB，AC)的垂直平分线，交点即为圆心O，以OA为半径作出⊙O，⊙O即为所求(图略)．
(2)∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，
∴BC＝10米．
∵直角三角形的外心为斜边的中点，
∴△ABC外接圆的半径为5米，
∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．
16．解：如图，连接EF，FG，EG.
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，且EF＝AC＝12.
同理可得FG∥BD，且FG＝BD＝5.
∵AC⊥BD，∴EF⊥FG.
∵在Rt△EFG中，EF＝12，FG＝5，
∴EG＝13.
∵直角三角形外接圆的直径等于斜边的长，
∴以E，F，G三点所确定的圆的周长为13π.
[素养提升]
解：(1)证明：∵AE⊥EF，EF∥BC，∴AD⊥BC.
又∵D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC.
(2)证明：连接BO，由(1)知AD是BC的垂直平分线，∴BO＝CO.
又∵AO＝CO，∴AO＝BO＝CO，
∴点O是△ABC的外接圆的圆心．
(3)解法1：∵∠ABE＝∠ADB＝90°，∠BAD＝
∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，∴＝.
在Rt△ABD中，∵AB＝5，BD＝BC＝3，
∴AD＝4，∴＝，
∴AE＝.
解法2：由(2)得AO＝BO，∴∠ABO＝∠BAO.
∵∠ABE＝90°，
∴∠ABO＋∠OBE＝∠BAO＋∠AEB＝90°，
∴∠OBE＝∠OEB，∴OB＝OE.
在Rt△ABD中，∵AB＝5，BD＝BC＝3，
∴AD＝4.设OB＝x，则OD＝4－x，
在Rt△OBD中，有32＋(4－x)2＝x2，
解得x＝，
∴AE＝2OB＝.
