24.3 第1课时 圆周角定理及其推论
知识点 1 圆周角的定义
1．下列四个图中，∠α是圆周角的是( )
A B C D
图24－3－1
知识点 2 圆周角定理
2．如图24－3－2，CD是⊙O的直径，圆周角∠C和圆心角∠AOB所对的弧都是________，∵OA＝OC，∴∠A＝________，∴∠AOB＝______∠C.
图24－3－2
3．如图24－3－3，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝72°，则∠ACB的度数为( )
图24－3－3
A. 28° B．54°
C．18° D．36°
4．如图24－3－4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC和∠BOC互补，则∠BAC的度数是( )
图24－3－4
A．40° B．50°
C．60° D．70°
5．如图24－3－5，在⊙O中，弦AC＝2 ，B是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O的半径R＝________．
图24－3－5
6．2018·无锡 如图24－3－6，点A，B，C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧BC上，且OA＝AB，则∠ABC＝________°.
图24－3－6
知识点 3 圆周角定理的推论
7．如图24－3－7，AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的一点，∠B＝30°，则∠A的度数为( )
图24－3－7
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．2018·盐城 如图24－3－8，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为( )
图24－3－8
A．35° B．45° C．55° D．65°
9．如图24－3－9，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直于AB，D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB的两侧，连接AD，CD，OB，若∠BOC＝70°，则∠ADC＝________°.
图24－3－9
10．如图24－3－10，在⊙O中，＝，AB与CD相交于点E，∠DCB＝28°，求∠AEC的度数．
图24－3－10
11．2017·贵港 如图24－3－11，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC＝40°，则∠AMB的度数不可能是( )
图24－3－11
A．45° B．60° C．75° D．85°
12．如图24－3－12，⊙O的直径BD＝4，∠A＝60°，则BC的长为( )
图24－3－12
A. B．2 C．2 D．4
13．2018·咸宁 如图24－3－13，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为( )
图24－3－13
A．6 B．8 C．5 D．5
14．2017·北京 如图24－3－14，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝，若∠CAB＝40°，则∠CAD＝________°.
图24－3－14
15．2017·十堰 如图24－3－15，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AC＝6，BD＝5 ，则BC的长为________．
图24－3－15
16．如图24－3－16，半径为5的⊙A经过原点O和点C(0，4)，B是⊙A上一点，则tan∠OBC为________．
图24－3－16
17．如图24－3－17，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AD，AB＝9，AD＝6，求弦CD的长．
图24－3－17
18．如图24－3－18，以⊙O的直径BC为一边作等边三角形ABC，交⊙O于点D，E.求证：BD＝DE＝EC.
图24－3－18
19．如图24－3－19，△ABC内接于⊙O，已知AB＝c，BC＝a，AC＝b，⊙O的半径为R.
(1)求证：＝＝＝2R；
(2)若a＝5，∠A＝60°，求⊙O的半径R.
图24－3－19
教师详解详析
1．C [解析] 根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角，即可求得答案．
2. ∠C 2
3．D
4．C [解析] ∵∠BAC和∠BOC互补，∠BOC＝2∠BAC，∴∠BAC＋2∠BAC＝180°，∴∠BAC＝60°.故选C.
5. [解析] ∵∠ABC＝45°，∴∠O＝90°，
∴AC2＝AO2＋CO2，∴(2)2＝R2＋R2，
解得R＝.
6．15 [解析] ∵OA＝OB，OA＝AB，∴OA＝OB＝AB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°.∵OC⊥OB，∴∠COB＝90°，∴∠COA＝90°－60°＝30°，∴∠ABC＝15°.
7．C [解析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.又∵∠B＝30°，∴∠A＝60°.故选C.
8．C [解析] 由圆周角定理得∠ABC＝∠ADC＝35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠ABC＝55°.故选C.
9．35 [解析] 连接OA.∵OC⊥AB，∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC，∴∠ADC＝∠BOC＝35°.
10．解：∵＝，∴－＝－，
即＝，∴∠ABC＝∠DCB＝28°，
∴∠AEC＝∠ABC＋∠DCB＝56°.
11．D [解析] ∵B是的中点，∴∠ADB＝∠BDC＝40°，∠AOB＝2∠BDC＝80°.又∵M是OD上一点，∴∠ADB＝40°≤∠AMB≤∠AOB＝80°.则不符合条件的只有85°.
12．C [解析] ∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.
∵∠D＝∠A＝60°，∴sinD＝sin60°＝，
∴BC＝4×＝2 .
13．B [解析] 如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB＋∠BOE＝180°.
又∵∠AOB＋∠COD＝180°，
∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6.
∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，
∴AB＝＝＝8.
14．25 [解析] 连接CB，BD.∵AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝40°，∴∠CBA＝50°，∴∠CBD＝∠DBA＝∠CBA＝25°，∴∠CAD＝∠CBD＝25°.
15．8 [解析] 连接AD，∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径．
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴AD＝BD＝5 .
∵AB是⊙O的直径，
∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝10，
∴BC＝＝8.
16. [解析] 作直径CD，在Rt△OCD中，CD＝10，OC＝4，∴OD＝＝2 ，∴tan∠OBC＝tan∠ODC＝＝.
17．解：连接BD，则∠ADB＝90°.
∵AB＝9，AD＝6，∴BD＝3 .
∵sinA＝＝，∴DE＝2 .
∴CD＝2DE＝4 .
18．证明：如图，连接CD，BE.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DCB＝∠EBC＝30°，
∴∠DCE＝30°，
∴∠DCB＝∠DCE＝∠EBC，
∴＝＝，∴BD＝DE＝EC.
19．解：(1)证明：如图，作直径BD，连接CD.
∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD是直角，
∴sinD＝.
∵∠D＝∠A，BC＝a，BD＝2R，∴＝2R.
同理，作直径CE，可得＝2R，作直径AF，可得＝2R，∴＝＝＝2R.
(2)由(1)知，＝2R，当a＝5，∠A＝60°时，
2R＝，∴R＝.
第2课时 圆内接四边形
知识点 1 圆内接多边形的概念
1．下列说法正确的是( )
A．圆内接四边形是指四个顶点都在这个圆内的四边形
B．圆内接多边形的各个顶点在圆上或圆内
C．经过四边形各个顶点的圆叫做这个四边形的内接圆
D．圆内接五边形是指五个顶点都在这个圆上的五边形
2．下列多边形一定有外接圆的是( )
A．平行四边形 B．三角形
C．五边形 D．六边形
知识点 2 圆内接四边形的性质
3．如图24－3－20，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C的度数是( )
图24－3－20
A．100° B．110°
C．120° D．130°
4．如图24－3－21，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC的延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是( )
图24－3－21
A．115° B．105°
C．100° D．95°
5．2018·邵阳 如图24－3－22所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的度数是( )
图24－3－22
A．80° B．120°
C．100° D．90°
6．2017·广东 如图24－3－23，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的度数为( )
图24－3－23
A．130° B．100°
C．65° D．50°
7．教材例2变式 如图24－3－24，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是________．
图24－3－24
8．如图24－3－25，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝________°.
图24－3－25
9．教材练习第1题变式 如图24－3－26，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠ABO＋∠ADO＝50°，则∠BCD的度数是________．
图24－3－26
10．教材习题24.3第10题变式 已知：如图24－3－27，⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C、与⊙O2交于点D，经过点B的直线EF与⊙O1交于点E、与⊙O2交于点F，连接CE，DF.若∠C＝110°，则∠D的度数为________．
图24－3－27
11．如图24－3－28，四边形ABCD是圆内接四边形，AD，BC的延长线相交于点P，∠APB的平分线交CD于点E，交AB于点F.
求证：∠CEF＝∠BFE.
图24－3－28
12．如图24－3－29，在圆内接四边形ABCD中，AD与BC的延长线相交于点P，BD与AC相交于点E.则图中的相似三角形有( )
图24－3－29
A．5对 B．4对
C．3对 D．2对
13．已知△ABC内接于⊙O，OD⊥AC于点D，如果∠COD＝32°，那么∠B的度数为( )
A．16° B．32°
C．16°或164° D．32°或148°
14．教材练习第2题变式 如图24－3－30，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD∥BC，AC与BD相交于点P，若∠ABD＝70°，则∠ADC的度数是________．
图24－3－30
15．2017·盐城 如图24－3－31，将⊙O沿弦AB折叠，点C在上，点D在上，若∠ACB＝70°，则∠ADB＝________°.
图24－3－31
16．2017·凉山州 如图24－3－32，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C＝2∠A，则BD＝________．
图24－3－32
17．如图24－3－33，四边形ABCD内接于⊙O，点P在BC的延长线上，且PD∥AC.
求证：PC·AB＝AD·CD.
图24－3－33
18．如图24－3－34，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径及圆心C的坐标．
图24－3－34
19．如图24－3－35，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为2 .
(1)求证：△CDE∽△CBA；
(2)求DE的长．
图24－3－35
20．如图24－3－36，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF.
(1)求证：∠E＝∠C；
(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数；
(3)设DE交AB于点G，若DF＝4，cosB＝，E是的中点，求EG·ED的值．
图24－3－36
教师详解详析
1．D
2．B
3．B [解析] 根据圆内接四边形的对角互补，可得∠C＝180°－∠A＝110°.
4．B [解析] 因为四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，所以∠DCE是圆内接四边形ABCD的外角，所以∠DCE＝180°－∠BCD＝∠BAD＝105°.
5．B [解析] ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°－∠BCD＝60°，由圆周角定理得∠BOD＝2∠A＝120°.
6．C [解析] ∵∠CBE＝50°，∴∠D＝∠CBE＝50°.∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝×(180°－50°)＝65°.
7．120° [解析] ∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，
∴设∠A＝4x，则∠B＝3x，∠C＝5x.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠C＝180°，即4x＋5x＝180°，
解得x＝20°，∴∠B＝3x＝60°，
∴∠D＝180°－60°＝120°.
8．40
9．130° [解析] 连接AO，则∠ABO＝∠BAO，∠ADO＝∠DAO，∴∠BAD＝∠BAO＋∠DAO＝∠ABO＋∠ADO＝50°，∴∠BCD＝180°－50°＝130°.
10．70° [解析] 连接AB，则∠ABF＝∠C＝110°，∴∠D＝180°－110°＝70°.
11．证明：∵PF平分∠APB，
∴∠APF＝∠BPE.
又∵∠CEF＝∠ECP＋∠BPE，∠BFE＝∠A＋∠APF，∠A＝∠ECP，∴∠CEF＝∠BFE.
12．B [解析] ∵∠BAE＝∠CDE，∠ABE＝∠DCE，
∴△ABE∽△DCE.
∵∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，
∴△ADE∽△BCE.
∵∠P＝∠P，∠PAC＝∠PBD，
∴△PAC∽△PBD.
∵∠P＝∠P，∠PDC＝∠PBA，
∴△PDC∽△PBA.
故选B.
13．D [解析] 如图，∵△OAC是等腰三角形，OD⊥AC，∴OD是∠AOC的平分线，∴∠AOC＝2∠COD＝64°.
①当点B在优弧AC上时，由圆周角定理知，∠B＝∠AOC＝32°；
②当点B在如图点E的位置时，由圆内接四边形的对角互补知，∠E＝180°－∠B＝148°.故选D.
14．100° [解析] 由于夹在两条平行弦之间的弧相等，∴∠PBC＝∠PCB.又∵BC是⊙O的直径，∠ABD＝70°，∴∠APB＝20°，则∠PBC＝∠PCB＝∠APB＝10°，∴∠ABC＝80°，∴∠ADC＝100°.
15．110 [解析] 如图，设点D′是点D折叠前的位置，连接AD′，BD′，则∠ADB＝∠AD′B.在圆内接四边形ACBD′中，∠ACB＋∠AD′B＝180°，所以∠AD′B＝180°－70°＝110°，所以∠ADB＝110°.
16．4 [解析] 连接OD，OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F.
∵OF⊥BD，∴DF＝BF，∠DOF＝∠BOF.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＋∠C＝180°.
∵∠C＝2∠A，∴∠A＝60°，
∴∠BOD＝120°，∴∠BOF＝60°.
∵OB＝4，
∴BF＝OB·sin∠BOF＝4×sin60°＝2 ，
∴BD＝2BF＝4 .
17．证明：连接BD.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠PCD＝∠DAB.
又∵PD∥AC，∴∠P＝∠ACB＝∠BDA，
∴△DPC∽△BDA，
∴PC∶AD＝CD∶AB，
即PC·AB＝AD·CD.
18．解：∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙C的直径．
∵四边形AOMB是圆内接四边形，∠BMO＝120°，
根据圆内接四边形的对角互补得到∠OAB＝60°，
∴∠ABO＝30°.
∵点A的坐标为(0，4)，∴OA＝4，
∴AB＝2OA＝8，
∴⊙C的半径为4.
由勾股定理得BO＝4 .
如图，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，根据三角形的中位线定理得CE＝BO＝2 ，AE＝OE＝2，
∴圆心C的坐标为(－2 ，2)．
19．解：(1)证明：∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，
∴∠CED＝∠A(或∠CDE＝∠B)．
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA.
(2)方法1：连接AE.
由(1)得＝.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°.
在Rt△AEC中，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝30°，
∴＝＝，∴DE＝2 .
方法2：连接DO，EO.
∵AO＝DO＝EO＝BO，
∴∠CAB＝∠ODA，∠B＝∠OEB.
∵∠A＋∠B＝180°－∠C＝120°，
∴∠ODA＋∠OEB＝120°.
∵∠A＋∠B＋∠ADE＋∠DEB＝360°，
∴∠ODE＋∠OED＝360°－∠A－∠B－∠ODA－∠OEB＝360°－120°－120°＝120°，
∴∠DOE＝60°，
∴△ODE为等边三角形，
∴DE＝OB＝2 .
20．解：(1)证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC.
又∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，∴∠B＝∠C.
又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.
(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD＝180°－∠E＝125°，
∴∠CFD＝180°－∠AFD＝55°，
∴∠CFD＝∠E.
又∵∠E＝∠C＝55°，
∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°.
(3)如图，连接OE，
∵∠CFD＝∠AED＝∠C，
∴BD＝CD＝DF＝4.
∵在Rt△ABD中，cosB＝，BD＝4，
∴AB＝6.
∵E是的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE＝90°.
∵AO＝OE＝AB＝3，∴AE＝3 .
∵E是的中点，∴∠ADE＝∠EAB，
又∠AEG＝∠DEA，
∴△AEG∽△DEA，
∴＝，
即EG·ED＝AE2＝18.
24.3 第1课时 圆周角定理及其推论
一、选择题
1．下列四个图中，∠α是圆周角的是( )
A B C D
图K－7－1
2．2018·衢州如图K－7－2，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是( )
图K－7－2
A．75° B．70° C．65° D．35°
3．如图K－7－3，在⊙O中，＝，∠ADC＝20°，则∠AOB的度数是( )
图K－7－3
A．40° B．30° C．20° C．10°
4．小宏用三角板检查某些工件的弧形凹面是不是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是( )
图K－7－4
5．如图K－7－5，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD＝52°，则∠BCD的度数为( )
图K－7－5
A．32° B．38° C．52° D．66°
6．2017·泰安如图K－7－6，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，则∠OBC的度数为( )
图K－7－6
A．180°－2α B．2α
C．90°＋α D．90°－α
7．如图K－7－7，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为( )
图K－7－7
A．140° B．70°
C．60° D．40°
8．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是( )
A．80° B．160°
C．100° D．80°或100°
9．2018·合肥包河区月考如图K－7－8，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于点D，连接BE.设∠BEC＝α，则tanα的值为( )
图K－7－8
A. B. C. D.
10．2018·马鞍山期末如图K－7－9，在⊙O上有定点C和动点P，且位于直径AB的两侧，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q.已知⊙O的直径为10，tan∠ABC＝，则CQ长的最大值为( )
图K－7－9
A．5 B. C. D.
二、填空题
11．2017·扬州如图K－7－10，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B＝40°，则∠OAC＝________°.
图K－7－10
12．如图K－7－11，A，B，C是半径为6的⊙O上的三个点，若∠BAC＝45°，则弦BC＝________．
图K－7－11
13．2017·北京如图K－7－12，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝.若∠CAB＝40°，则∠CAD＝________°.
图K－7－12
14．如图K－7－13，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE＝3，∠BAC＋∠EAD＝180°，则BC的长为________.
图K－7－13
三、解答题
15．如图K－7－14，△ABC的外接圆是⊙O，D是上的任意一点，连接BD交AC于点P.
(1)图中相等的角有哪些？(除对顶角外)
(2)请你写出图中所有的相似三角形，并证明其中的一对．
图K－7－14
16．如图K－7－15，⊙O的直径AB＝10，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD.
(1)判断△ABD的形状，并说明理由；
(2)若弦AC＝6，求BC的长．
图K－7－15
17．2017·巢湖月考如图K－7－16①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，＝，BE分别交AD，AC于点F，G.
(1)判断△FAG的形状，并说明理由；
(2)如图②，若点E和点A在BC的两侧，BE，AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？请说明理由．
图K－7－16
规律探究
如图K－7－17，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)判断△ABC的形状；
(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
图K－7－17
详解详析
[课堂达标]
1．[答案] B
2．[解析] B ∵∠ACB＝35°，∴∠AOB＝2∠ACB＝70°.故选B.
3．[解析] A 等弧所对的圆周角是其圆心角的一半，故∠AOB＝2∠ADC＝40°.
4．[解析] A 90°的圆周角所对的弧是半圆．
5．[解析] B ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵∠ABD＝52°，∴∠A＝90°－∠ABD＝38°，
∴∠BCD＝∠A＝38°.
故选B.
6．[解析] D 如图，连接OC.
∵△ABC内接于⊙O，∠A＝α，
∴∠BOC＝2∠A＝2α.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝＝90°－α.故选D.
7．[解析] B ∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，
∴∠DOE＝180°－40°＝140°，
∴∠P＝∠DOE＝70°.故选B.
8．[解析] D 如图，∵∠AOC＝160°，
∴∠ABC＝∠AOC＝×160°＝80°，
∠AB′C＝(360°－∠AOC)＝×(360°－160°)＝100°.
∴∠ABC的度数是80°或100°.
故选D.
9．[解析] C 如图，连接BC.∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，则BC＝＝＝6.根据垂径定理，得CE＝AC＝4，∴tanα＝＝＝.
10．[解析] B ∵CP⊥CQ，AB是直径，∴∠ACB＝∠PCQ＝90°.又∵∠A＝∠P，∴∠Q＝∠ABC，∴tanQ＝tan∠ABC＝＝，则当CP是直径，即CP＝10时，CQ的长最大，最大值为.
11．[答案] 50
[解析] 连接OC，根据“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”，可得∠AOC＝2∠B＝80°.由OA＝OC，根据“等边对等角”及“三角形内角和定理”可以求得∠OAC＝50°.
12．[答案] 6
[解析] 连接OB，OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°.
∵OB＝OC＝6，
∴BC＝＝6 .
13．[答案] 25
[解析] ∵AB为⊙O的直径，∠CAB＝40°，
∴＝80°，∴＝180°－80°＝100°.
∵＝，∴＝50°，
∴∠CAD＝25°.
故答案为25.
14．[答案]
[解析] 如图，延长CA交⊙A于点F，连接BF.
∵∠BAC＋∠DAE＝180°，∠BAC＋∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，
∴BF＝DE＝3.
∵CF是⊙A的直径，
∴∠CBF＝90°，
∴BC＝＝＝.
15．解：(1)根据圆周角定理，可知：
∠CAD＝∠CBD，∠BAC＝∠BDC，∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD.
(2)图中的相似三角形有：△APD∽△BPC，△ABP∽△DCP.
证明如下：
根据圆周角定理，可知：∠ADB＝∠ACB，∠CAD＝∠CBD，
∴△APD∽△BPC.
根据圆周角定理，可知：∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，
∴△ABP∽△DCP.
16．解：(1)△ABD是等腰直角三角形．理由如下：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴＝，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰直角三角形．
(2)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，BC＝＝8.
17．解：(1)△FAG是等腰三角形．理由如下：
∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC，
∴∠BAD＋∠CAD＝90°，∠C＋∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠C.
∵＝，∴∠ABE＝∠E＝∠C，
∴∠ABE＝∠BAD.
∵∠BAD＋∠CAD＝90°，∠ABE＋∠AGB＝90°，
∴∠CAD＝∠AGB，
∴FA＝FG，
∴△FAG是等腰三角形．
(2)成立．理由如下：
∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC，
∴∠BAD＋∠CAD＝90°，∠C＋∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠C.
∵＝，
∴∠ABE＝∠C，
∴∠ABE＝∠BAD.
∵∠BAD＋∠CAD＝90°，∠ABE＋∠AGB＝90°，
∴∠CAD＝∠AGB，
∴FA＝FG，
∴△FAG是等腰三角形．
[素养提升]
[解析] (1)利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；
(2)在PC上截取PD＝PA，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，得到BP＝CD，即可证得结论；
(3)过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形APBC的面积转化为两个三角形的面积进行计算．当点P为的中点时，PE＋CF＝PC，从而得出最大面积．
解：(1)在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB都是所对的圆周角，∠ABC与∠APC都是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
(2)PC＝PA＋PB.证明如下：
如图①，在PC上截取PD＝PA，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°.
又∵∠APB＝∠APC＋∠CPB＝120°，
∴∠ADC＝∠APB.
在△APB和△ADC中，
∴△APB≌△ADC(AAS)，∴BP＝CD.
又∵PD＝PA，∴PC＝PA＋PB.
(3)当P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下：如图②，过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F.
∵S△APB＝AB·PE，S△ABC＝AB·CF，
∴S四边形APBC＝AB·(PE＋CF)．
当P为的中点时，PE＋CF＝PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
∵⊙O的半径为1，
∴其内接等边三角形的边长AB＝，
∴S四边形APBC＝×2×＝.
24.3 第2课时 圆内接四边形
一、选择题
1．如图K－8－1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠C的度数是( )
图K－8－1
A．100° B．110° C．120° D．130°
2.如图K－8－2，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是 ( )
图K－8－2
A．115° B．105° C．100° D．95°
3．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶6，则∠D的度数为( )
A．67.5° B．135° C．112.5° D．45°
4．2018·邵阳如图K－8－3所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的度数是( )
图K－8－3
A．80° B．120° C．100° D．90°
5.如图K－8－4，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC的度数为( )
图K－8－4
A．110° B．100° C．120° D．90°
6．如图K－8－5，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，则∠AED的度数为( )
图K－8－5
A．100° B．120° C．135° D．150°
7．2017·黄石如图K－8－6，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，点O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径为( )
图K－8－6
A. B.
C. D.
8．2018·黄山月考如图K－8－7，以△ABC的一边AB为直径的圆交AC边于点D，交BC边于点E，连接DE，BD与AE相交于点F，则sin∠CAE的值为( )
图K－8－7
A. B.
C. D.
二、填空题
9．四边形ABCD是某个圆的内接四边形，若∠A＝100°，则∠C＝________°.
10．如图K－8－8，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是________.
图K－8－8
11．如图K－8－9，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝________°.
图K－8－9
12．2018·扬州如图K－8－10，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝________．
图K－8－10
三、解答题
13．如图K－8－11所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.
求证：(1)＝；
(2)AB是⊙O的直径．
图K－8－11
14．2017·宿州月考如图K－8－12，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E在上，连接BE交AD于点Q，若∠AQE＝∠EDC，∠CQD＝∠E.
求证：AQ＝BC.
图K－8－12
15．如图K－8－13所示，AB为⊙O的直径，弦DA，BC的延长线相交于点P，且BC＝PC.
求证：(1)AB＝AP；(2)＝.
图K－8－13
规律探究2017·望江县月考正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
(1)如图K－8－14①，若点E在上，F是DE上的一点，DF＝BE.求证：△ADF≌△ABE；
(2)在(1)的条件下，小明还发现线段DE，BE，AE之间满足等量关系：DE－BE＝AE，请你说明理由；
(3)如图K－8－14②，若点E在上，写出线段DE，BE，AE之间的等量关系，请你说明理由.
图K－8－14
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] D ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠C＋∠A＝180°，∴∠C＝180°－50°＝130°.故选D.
2．[解析] B 因为四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，所以∠DCE是圆内接四边形ABCD的外角，所以∠DCE＝∠BAD＝105°.
3．[解析] C ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶6，∴设∠A＝2a，∠B＝3a，∠C＝6a，则2a＋6a＝180°，∴a＝22.5°，∴∠B＝3a＝67.5°，∴∠D＝180°－∠B＝112.5°.故选C.
4．[解析] B ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°－∠BCD＝60°.由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°.故选B.
5．[解析] A ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠BAC＝20°，∴∠B＝90°－∠BAC＝70°.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC＝180°－∠B＝110°.
6．[解析] C 连接AC，则四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED＝180°－∠ACD＝135°.
7．[解析] D 连接BD，OB，OD，过点O作OE⊥BD于点E.
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BOD＝120°.
∵AB＝AD＝2，
∴△ABD是等边三角形，∴BD＝2，
∴DE＝BD＝1，∠DOE＝∠BOD＝60°，
∴OD＝＝.故选D.
8．[解析] D ∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，∴∠CDE＝∠CBA，∠CED＝∠CAB，∴△CDE∽△CBA.又∵AB是直径，∴△ACE是直角三角形，∴sin∠CAE＝＝＝.
9．[答案] 80
10．[答案] 平行
11．[答案] 40
[解析] ∵∠A＝55°，∠E＝30°，
∴∠EBF＝∠A＋∠E＝85°.
∵∠A＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°－55°＝125°.
∵∠BCD＝∠F＋∠CBF，
∴∠F＝125°－85°＝40°.故答案为40.
12．[答案] 2
[解析] 在优弧上任取一点D，连接AD，BD，OB，OA，∵∠ACB＝135°，则∠ADB＝45°，∠AOB＝90°，∴△OAB为等腰直角三角形．∵OA＝OB＝2，∴AB＝2 .
13．证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝180°－∠B＝130°.
∵∠ACD＝25°，
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠ACD＝25°，
∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴＝.
(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°，∴AB是⊙O的直径．
14．证明：∵∠A，∠E是所对的圆周角，
∴∠A＝∠E.
∵∠CQD＝∠E，∴∠CQD＝∠A，
∴AB∥CQ.
∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形，
∴∠EBC＋∠EDC＝180°.
又∠AQB＋∠AQE＝180°，∠AQE＝∠EDC，
∴∠AQB＝∠EBC，∴BC∥AQ，
∴四边形ABCQ是平行四边形，
∴AQ＝BC.
15．证明：(1)连接AC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
又∵BC＝PC，∴AB＝AP.
(2)连接CD，BD，
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，
∴∠PAC＝∠CBD.
∵AB＝AP，AC⊥PB，∴∠PAC＝∠BAC.
∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC＝∠CBD，
∴BC＝CD，∴＝.
[素养提升]
解：(1)证明：∵所对的圆周角是∠ADE和∠ABE，∴∠ADE＝∠ABE.
在△ADF和△ABE中，
∴△ADF≌△ABE(SAS)．
(2)由(1)得△ADF≌△ABE，
∴AF＝AE，∠FAD＝∠EAB，
∴∠EAF＝∠BAD＝90°，
∴△EAF是等腰直角三角形，
∴EF2＝AE2＋AF2＝2AE2，
∴EF＝AE，即DE－DF＝AE，
∴DE－BE＝AE.
(3)BE－DE＝AE.理由如下：
在BE上取点F，使BF＝DE，连接AF.
同理可证明△ADE≌△ABF，△EAF是等腰直角三角形，
∴AF＝AE，∠DAE＝∠BAF，EF2＝AE2＋AF2＝2AE2，
∴EF＝AE，即BE－BF＝AE，
∴BE－DE＝AE.
