第三章函数
第16节 反比例函数及其应用
■考点1. 反比例函数的概念及其图象、性质
1.反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝ (k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．21·cn·jy·com
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝kx-1；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
2．反比例函数的图象
反比例函数y＝(k≠0)的图象是由两个分支组成的双曲线，且不与两坐标轴相交．
3．反比例函数的性质
(1)当k＞0时，图象在 象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而
(2)当k＜0时，图象在 象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而 ．
(3)其图象既是关于原点对称的中心图形，又是轴图形．对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y=-X；②一、三象限的角平分线Y=X；对称中心是：坐标原点．
注意：（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.21教育网
（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.
■考点2.比例系数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|.
（2）常见的面积类型：
■考点3.利用待定系数法确定反比例函数表达式
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
■考点4.反比例函数与一次函数的综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
■考点5.反比例函数的实际应用
（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
■考点1. 反比例函数的概念及其图象、性质
◇典例：
1.【2018永州】在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=（b≠0）与二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．
解：A、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＜0．所以反比例函数y=的图象位于第二、四象限，故本选项错误；
B、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
C、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
D、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系．
2.【2018宜昌】如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是4：2：1．如果A，B，C面分别向下放在地上，地面所受压强为p1，p2，p3，压强的计算公式为p=，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则p1，p2，p3，的大小关系正确的是（ ）
A．p1＞p2＞p3 B．p1＞p3＞p2 C．p2＞p1＞p3 D．p3＞p2＞p1
【答案】
【考点】有理数大小比较，反比例函数的性质
【分析】直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．
解：∵p=，F＞0，
∴p随S的增大而减小，
∵A，B，C三个面的面积比是4：2：1，
∴p1，p2，p3的大小关系是：p3＞p2＞p1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确把握反比例函数的性质是解题关键．
◆变式训练
1.【2017潍坊】一次函数y=ax+b与反比例函数y=，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）
A． B． C． D．
2.【2017娄底】已知﹣=1（a，b为常数，且ab≠0）表示焦点在x轴上的双曲线，若+=1表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＞﹣3 C．m≥﹣3 D．﹣3＜m＜2
■考点2.比例系数k的几何意义
◇典例
【2018抚顺】如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y=的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
【考点】反比例函数的系数k的几何意义，菱形的性质
【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标，求出AH、BH，根据勾股定理求出AB，根据菱形的面积公式计算即可．
解：作AH⊥BC交CB的延长线于H，
∵反比例函数y=的图象经过A、B两点，A、B两点的横坐标分别为1和3，
∴A、B两点的纵坐标分别为3和1，即点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），
∴AH=3﹣1=2，BH=3﹣1=2，
由勾股定理得，AB==2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=2，
∴菱形ABCD的面积=BC×AH=4，
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义、菱形的性质，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标是解题的关键．
◆变式训练
1.【2018乐山】如图，曲线C2是双曲线C1：y=（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y=x上，且PA=PO，则△POA的面积等于（ ）
A． B．6 C．3 D．12
2.【2018烟台】如图，反比例函数y=的图象经过?ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，?ABCD的面积为6，则k= ．
■考点3.利用待定系数法确定反比例函数表达式
◇典例：
【2018东营】如图，B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为 ．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的性质
【分析】设A坐标为（x，y），根据四边形OABC为平行四边形，利用平移性质确定出A的坐标，利用待定系数法确定出解析式即可．
解：设A坐标为（x，y），
∵B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，
∴x+5=0+3，y+0=0﹣3，
解得：x=﹣2，y=﹣3，即A（﹣2，﹣3），
设过点A的反比例解析式为y=，
把A（﹣2，﹣3）代入得：k=6，
则过点A的反比例解析式为y=，
故答案为：y=
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
◆变式训练
【2017铜仁】如图，已知点A在反比例函数y=上，AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为4，则此反比例函数的表达式为（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=﹣
■考点4.反比例函数与一次函数的综合
◇典例：
【2018葫芦岛】如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（a≠0）的图象在第二象限交于点A（m，2）．与x轴交于点C（﹣1，0）．过点A作AB⊥x轴于点B，△ABC的面积是3．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若直线AC与y轴交于点D，求△BCD的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）由点A的坐标可得出点B的坐标，结合点C的坐标可得出AB、BC的长度，由△ABC的面积是3可得出关于m的一元一次方程，解之可得出点A的坐标，由点A、C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法，即可求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，再利用三角形的面积公式即可求出△BCD的面积．
解：（1）∵AB⊥x轴于点B，点A（m，2），
∴点B（m，0），AB=2．
∵点C（﹣1，0），
∴BC=﹣1﹣m，
∴S△ABC=AB?BC=﹣1﹣m=3，
∴m=﹣4，
∴点A（﹣4，2）．
∵点A在反比例函数y=（a≠0）的图象上，
∴a=﹣4×2=﹣8，
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
将A（﹣4，2）、C（﹣1，0）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣．
（2）当x=0时，y=﹣x﹣=﹣，
∴点D（0，﹣），
∴OD=，
∴S△BCD=BC?OD=×3×=1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例（一次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）由△ABC的面积是3求出m的值；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点D的坐标．
◆变式训练
1.【2018大连】如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当k1x+b＜时，x的取值范围为（ ）
A．x＜2 B．2＜x＜6 C．x＞6 D．0＜x＜2或x＞6
2.【2018枣庄】如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．
■考点5.反比例函数的实际应用
◇典例：
【2017黄冈】月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）
（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．
【考点】反比例函数的应用；二次函数的应用．
【分析】（1）依据待定系数法，即可求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）分两种情况进行讨论，当x=8时，smax=﹣80；当x=16时，smax=﹣16；根据﹣16＞﹣80，可得当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．
（3）根据第二年的年利润s=（x﹣4）（﹣x+28）﹣16=﹣x2+32x﹣128，令s=103，可得方程103=﹣x2+32x﹣128，解得x1=11，x2=21，然后在平面直角坐标系中，画出s与x的函数图象，根据图象即可得出销售价格x（元/件）的取值范围．
解：（1）当4≤x≤8时，设y=，将A（4，40）代入得k=4×40=160，
∴y与x之间的函数关系式为y=；
当8＜x≤28时，设y=k'x+b，将B（8，20），C（28，0）代入得，
，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x+28，
综上所述，y=；
（2）当4≤x≤8时，s=（x﹣4）y﹣160=（x﹣4）?﹣160=﹣，
∵当4≤x≤8时，s随着x的增大而增大，
∴当x=8时，smax=﹣=﹣80；
当8＜x≤28时，s=（x﹣4）y﹣160=（x﹣4）（﹣x+28）﹣160=﹣（x﹣16）2﹣16，
∴当x=16时，smax=﹣16；
∵﹣16＞﹣80，
∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．
（3）∵第一年的年利润为﹣16万元，
∴16万元应作为第二年的成本，
又∵x＞8，
∴第二年的年利润s=（x﹣4）（﹣x+28）﹣16=﹣x2+32x﹣128，
令s=103，则103=﹣x2+32x﹣128，
解得x1=11，x2=21，
在平面直角坐标系中，画出s与x的函数示意图可得：
观察示意图可知，当s≥103时，11≤x≤21，
∴当11≤x≤21时，第二年的年利润s不低于103万元．
◆变式训练
1.【2017乐山】某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：
年 度
2013
2014
2015
2016
投入技改资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元/件）
7.2
6
4.5
4
（1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；
（2）按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元．
①预计生产成本每件比2016年降低多少万元？
②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）．
1.【2018阜新】反比例函数y=的图象经过点（3，﹣2），下列各点在图象上的是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，3）
2.【2018威海】若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y=（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
3.【2018沈阳】点A（﹣3，2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣ C．﹣1 D．6
4.【2018淮安】若点A（﹣2，3）在反比例函数y=的图象上，则k的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6
5.【2018遂宁】已知一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=（m≠0）的图象如图所示，则当y1＞y2时，自变量x满足的条件是（ ）
A．1＜x＜3 B．1≤x≤3 C．x＞1 D．x＜3
6.【2018南京】已知反比例函数y=的图象经过点（﹣3，﹣1），则k= ．
7.【2018益阳】若反比例函数y=的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 ．
8.【2017西宁】如图，点A在双曲线y＝(x＞0)上，过点A作AC⊥x轴，垂足为点
C，OA的垂直平分线交OC于点B，当AC＝1时，△ABC的周长为____．
9.【2017绵阳】如图，设反比例函数的解析式为y=（k＞0）．
（1）若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；
（2）若该反比例函数与过点M（﹣2，0）的直线l：y=kx+b的图象交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积为时，求直线l的解析式．
10.【2018枣庄】如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．
1.【2018日照】已知反比例函数y=﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（ ）个
A．3 B．2 C．1 D．0
2.【2018大连】如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当k1x+b＜时，x的取值范围为（ ）
A．x＜2 B．2＜x＜6 C．x＞6 D．0＜x＜2或x＞6
3.【2018衡阳】对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．图象经过点（1，﹣2）
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
4.【2018抚顺】如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y=的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
5.【2018苏州】如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB=4，CE=2BE，tan∠AOD=，则k的值为（ ）
A．3 B．2 C．6 D．12
6.【2018德州】如图,反比例函数与一次函数在第三象限交于点.点的坐标为(一3,0),点是轴左侧的一点.若以为顶点的四边形为平行四边形.则点的坐标为_____________.
7.【威海】如图，直线AB与双曲线y=（k＜0）交于点A，B，点P是直线AB上一动点，且点P在第二象限．连接PO并延长交双曲线于点C．过点P作PD⊥y轴，垂足为点D．过点C作CE⊥x轴，垂足为E．若点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（m，1），设△POD的面积为S1，△COE的面积为S2，当S1＞S2时，点P的横坐标x的取值范围为 ．
8.【2018烟台】如图，反比例函数y=的图象经过?ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，?ABCD的面积为6，则k= ．
9.【2018东营】如图，B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为 ．
10.【2018锦州】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B在第一象限，AB=1，将线段OA饶点O按逆时针方向旋转60°得到线段OP，连接AP，反比例函数y=（k≠0）的图象经过P，B两点，则k的值为 ．
11.【2018襄阳】如图，已知双曲线y1=与直线y2=ax+b交于点A（﹣4，1）和点B（m，﹣4）．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）直接写出线段AB的长和y1＞y2时x的取值范围．
12.【2018葫芦岛】如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（a≠0）的图象在第二象限交于点A（m，2）．与x轴交于点C（﹣1，0）．过点A作AB⊥x轴于点B，△ABC的面积是3．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若直线AC与y轴交于点D，求△BCD的面积．
13.【2018郴州】参照学习函数的过程与方法，探究函数y=的图象与性质．
因为y=，即y=﹣+1，所以我们对比函数y=﹣来探究．
列表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
1
2
3
4
…
y=﹣
…
1
2
4
﹣4
﹣2
﹣1
﹣
﹣
…
y=
…
2
3
5
﹣3
﹣1
0
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；
（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”）
②y=的图象是由y=﹣的图象向 平移 个单位而得到；
③图象关于点 中心对称．（填点的坐标）
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值．
14.【2018滨州】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（1，）．
（1）求图象过点B的反比例函数的解析式；
（2）求图象过点A，B的一次函数的解析式；
（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量x的取值范围．
15.【2018达州】矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与边AC交于点E．
（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
（2）连接EF，求∠EFC的正切值；
（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
第三章函数
第16节 反比例函数及其应用
■考点1. 反比例函数的概念及其图象、性质
1.反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝ (k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．21·cn·jy·com
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝kx-1；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
2．反比例函数的图象
反比例函数y＝(k≠0)的图象是由两个分支组成的双曲线，且不与两坐标轴相交．
3．反比例函数的性质
(1)当k＞0时，图象在一、三象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小
(2)当k＜0时，图象在二、四象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
(3)其图象既是关于原点对称的中心图形，又是轴图形．对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y=-X；②一、三象限的角平分线Y=X；对称中心是：坐标原点．
注意：（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.21教育网
（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.
■考点2.比例系数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|.
（2）常见的面积类型：
■考点3.利用待定系数法确定反比例函数表达式
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
■考点4.反比例函数与一次函数的综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
■考点5.反比例函数的实际应用
（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
■考点1. 反比例函数的概念及其图象、性质
◇典例：
1.【2018永州】在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=（b≠0）与二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．
解：A、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＜0．所以反比例函数y=的图象位于第二、四象限，故本选项错误；
B、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
C、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
D、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系．
2.【2018宜昌】如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是4：2：1．如果A，B，C面分别向下放在地上，地面所受压强为p1，p2，p3，压强的计算公式为p=，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则p1，p2，p3，的大小关系正确的是（ ）
A．p1＞p2＞p3 B．p1＞p3＞p2 C．p2＞p1＞p3 D．p3＞p2＞p1
【答案】
【考点】有理数大小比较，反比例函数的性质
【分析】直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．
解：∵p=，F＞0，
∴p随S的增大而减小，
∵A，B，C三个面的面积比是4：2：1，
∴p1，p2，p3的大小关系是：p3＞p2＞p1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确把握反比例函数的性质是解题关键．
◆变式训练
1.【2017潍坊】一次函数y=ax+b与反比例函数y=，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab＜0，计算a﹣b确定符号，确定双曲线的位置．
解：A、由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＞0，
∴反比例函数y=的图象过一、三象限，
所以此选项不正确；
B、由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴正半轴，则b＞0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＜0，
∴反比例函数y=的图象过二、四象限，
所以此选项不正确；
C、由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＞0，
∴反比例函数y=的图象过一、三象限，
所以此选项正确；
D、由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＞0，与已知相矛盾
所以此选项不正确；
故选C．
2.【2017娄底】已知﹣=1（a，b为常数，且ab≠0）表示焦点在x轴上的双曲线，若+=1表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＞﹣3 C．m≥﹣3 D．﹣3＜m＜2
【考点】 反比例函数的性质．
【分析】根据解不等式组的方法解答即可．
解：∵﹣=1（a，b为常数，且ab≠0）表示焦点在x轴上的双曲线，
则a2＞0，b2＞0，
∵+=1表示焦点在x轴上的双曲线，
∴，
解得：﹣3＜m＜2，
故选D．
■考点2.比例系数k的几何意义
◇典例
【2018抚顺】如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y=的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
【考点】反比例函数的系数k的几何意义，菱形的性质
【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标，求出AH、BH，根据勾股定理求出AB，根据菱形的面积公式计算即可．
解：作AH⊥BC交CB的延长线于H，
∵反比例函数y=的图象经过A、B两点，A、B两点的横坐标分别为1和3，
∴A、B两点的纵坐标分别为3和1，即点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），
∴AH=3﹣1=2，BH=3﹣1=2，
由勾股定理得，AB==2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=2，
∴菱形ABCD的面积=BC×AH=4，
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义、菱形的性质，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标是解题的关键．
◆变式训练
1.【2018乐山】如图，曲线C2是双曲线C1：y=（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y=x上，且PA=PO，则△POA的面积等于（ ）
A． B．6 C．3 D．12
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转
【分析】将双曲线逆时针旋转使得l与y轴重合，等腰三角形△PAO的底边在y轴上，应用反比例函数比例系数k的性质解答问题．
解：如图，将C2及直线y=x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C3，直线l与y轴重合．
双曲线C3，的解析式为y=﹣
过点P作PB⊥y轴于点B
∵PA=PB
∴B为OA中点．
∴S△PAB=S△POB
由反比例函数比例系数k的性质，S△POB=3
∴△POA的面积是6
故选：B．
【点评】本题为反比例函数综合题，考查了反比例函数的轴对称性以及反比例函数比例系数k的几何意义．
2.【2018烟台】如图，反比例函数y=的图象经过?ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，?ABCD的面积为6，则k= ．
【考点】反比例函数比例系数k的几何意义，平行四边形的性质
【分析】由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
解：过点P做PE⊥y轴于点E
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD
又∵BD⊥x轴
∴ABDO为矩形
∴AB=DO
∴S矩形ABDO=S?ABCD=6
∵P为对角线交点，PE⊥y轴
∴四边形PDOE为矩形面积为3
即DO?EO=3
∴设P点坐标为（x，y）
k=xy=﹣3
故答案为：﹣3
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义以及平行四边形的性质．
■考点3.利用待定系数法确定反比例函数表达式
◇典例：
【2018东营】如图，B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为 ．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的性质
【分析】设A坐标为（x，y），根据四边形OABC为平行四边形，利用平移性质确定出A的坐标，利用待定系数法确定出解析式即可．
解：设A坐标为（x，y），
∵B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，
∴x+5=0+3，y+0=0﹣3，
解得：x=﹣2，y=﹣3，即A（﹣2，﹣3），
设过点A的反比例解析式为y=，
把A（﹣2，﹣3）代入得：k=6，
则过点A的反比例解析式为y=，
故答案为：y=
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
◆变式训练
【2017铜仁】如图，已知点A在反比例函数y=上，AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为4，则此反比例函数的表达式为（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=﹣
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义．
【分析】由S△AOC=xy=4，设反比例函数的解析式y=，则k=xy=8．
解：∵S△AOC=4，
∴k=2S△AOC=8；
∴y=；
故选：C．
■考点4.反比例函数与一次函数的综合
◇典例：
【2018葫芦岛】如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（a≠0）的图象在第二象限交于点A（m，2）．与x轴交于点C（﹣1，0）．过点A作AB⊥x轴于点B，△ABC的面积是3．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若直线AC与y轴交于点D，求△BCD的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）由点A的坐标可得出点B的坐标，结合点C的坐标可得出AB、BC的长度，由△ABC的面积是3可得出关于m的一元一次方程，解之可得出点A的坐标，由点A、C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法，即可求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，再利用三角形的面积公式即可求出△BCD的面积．
解：（1）∵AB⊥x轴于点B，点A（m，2），
∴点B（m，0），AB=2．
∵点C（﹣1，0），
∴BC=﹣1﹣m，
∴S△ABC=AB?BC=﹣1﹣m=3，
∴m=﹣4，
∴点A（﹣4，2）．
∵点A在反比例函数y=（a≠0）的图象上，
∴a=﹣4×2=﹣8，
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
将A（﹣4，2）、C（﹣1，0）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣．
（2）当x=0时，y=﹣x﹣=﹣，
∴点D（0，﹣），
∴OD=，
∴S△BCD=BC?OD=×3×=1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例（一次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）由△ABC的面积是3求出m的值；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点D的坐标．
◆变式训练
1.【2018大连】如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当k1x+b＜时，x的取值范围为（ ）
A．x＜2 B．2＜x＜6 C．x＞6 D．0＜x＜2或x＞6
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】根据图象直线在反比例函数图象的下方部分的对应的自变量的值即为所求．
解：由图象可知，当k1x+b＜时，x的取值范围为0＜x＜2或x＞6．
故选：D．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求解析式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
2.【2018枣庄】如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．
【考点】待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）根据三角形相似，可求出点C坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；
（2）联立解析式，可求交点坐标；
（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．
解：（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4
∵CD⊥x轴
∴OB∥CD
∴△ABO∽△ACD
∴
∴
∴CD=20
∴点C坐标为（﹣4，20）
∴n=xy=﹣80
∴反比例函数解析式为：y=﹣
把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：
解得：
∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12
（2）当﹣=﹣2x+12时，解得
x1=10，x2=﹣4
当x=10时，y=﹣8
∴点E坐标为（10，﹣8）
∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=
（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象
∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0
【点评】本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图象解不等式．
■考点5.反比例函数的实际应用
◇典例：
【2017黄冈】月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）
（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．
【考点】反比例函数的应用；二次函数的应用．
【分析】（1）依据待定系数法，即可求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）分两种情况进行讨论，当x=8时，smax=﹣80；当x=16时，smax=﹣16；根据﹣16＞﹣80，可得当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．
（3）根据第二年的年利润s=（x﹣4）（﹣x+28）﹣16=﹣x2+32x﹣128，令s=103，可得方程103=﹣x2+32x﹣128，解得x1=11，x2=21，然后在平面直角坐标系中，画出s与x的函数图象，根据图象即可得出销售价格x（元/件）的取值范围．
解：（1）当4≤x≤8时，设y=，将A（4，40）代入得k=4×40=160，
∴y与x之间的函数关系式为y=；
当8＜x≤28时，设y=k'x+b，将B（8，20），C（28，0）代入得，
，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x+28，
综上所述，y=；
（2）当4≤x≤8时，s=（x﹣4）y﹣160=（x﹣4）?﹣160=﹣，
∵当4≤x≤8时，s随着x的增大而增大，
∴当x=8时，smax=﹣=﹣80；
当8＜x≤28时，s=（x﹣4）y﹣160=（x﹣4）（﹣x+28）﹣160=﹣（x﹣16）2﹣16，
∴当x=16时，smax=﹣16；
∵﹣16＞﹣80，
∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．
（3）∵第一年的年利润为﹣16万元，
∴16万元应作为第二年的成本，
又∵x＞8，
∴第二年的年利润s=（x﹣4）（﹣x+28）﹣16=﹣x2+32x﹣128，
令s=103，则103=﹣x2+32x﹣128，
解得x1=11，x2=21，
在平面直角坐标系中，画出s与x的函数示意图可得：
观察示意图可知，当s≥103时，11≤x≤21，
∴当11≤x≤21时，第二年的年利润s不低于103万元．
◆变式训练
1.【2017乐山】某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：
年 度
2013
2014
2015
2016
投入技改资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元/件）
7.2
6
4.5
4
（1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；
（2）按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元．
①预计生产成本每件比2016年降低多少万元？
②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）．
【考点】反比例函数的应用．
【分析】（1）从题很容易看出x与y的乘积为定值，应为反比例关系，由此即可解决问题；
（2）①直接把x=5万元代入函数解析式即可求解；
②直接把y=3.2万元代入函数解析式即可求解；
解：（1）：∵2.5×7.2=18，3×6=18，4×4.5=18，4.5×4=18，
∴x与y的乘积为定值18，
∴反比例函数能表示其变化规律，其解析式为y=．
（2）①当x=5万元时，y=3.6．
4﹣3.6=0.4（万元），
∴生产成本每件比2016年降低0.4万元．
②当y=3.2万元时，3.2=，
∴x=5.625≈5.63，
5.63﹣5=0.63万元
∴还需投入0.63万元．
2.【2018河北】如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y=（x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平距离是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．
【考点】反比例函数综合题
【分析】（1）用待定系数法解题即可；
（2）根据题意，分别用t表示x、y，再用代入消元法得出y与x之间的关系式；
（3）求出甲距x轴1.8米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5米的v乙．
解：（1）由题意，点A（1，18）带入y=
得：18=
∴k=18
设h=at2，把t=1，h=5代入
∴a=5
∴h=5t2
（2）∵v=5，AB=1
∴x=5t+1
∵h=5t2，OB=18
∴y=﹣5t2+18
由x=5t+1
则t=
∴y=﹣
当y=13时，13=﹣
解得x=6或﹣4
∵x≥1
∴x=6
把x=6代入y=
y=3
∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3=10（米）
（3）把y=1.8代入y=﹣5t2+18
得t2=
解得t=1.8或﹣1.8（负值舍去）
∴x=10
∴甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道y=上
此时，乙的坐标为（1+1.8v乙，1.8）
由题意：1+1.8v乙﹣（1+5×1.8）＞4.5
∴v乙＞7.5
【点评】本题以考查二次函数和反比例函数的待定系数法以及函数图象上的临界点问题．
1.【2018阜新】反比例函数y=的图象经过点（3，﹣2），下列各点在图象上的是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，3）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】直接利用反比例函数图象上点的坐标特点进而得出答案．
解：∵反比例函数y=的图象经过点（3，﹣2），
∴xy=k=﹣6，
A、（﹣3，﹣2），此时xy=﹣3×（﹣2）=6，不合题意；
B、（3，2），此时xy=3×2=6，不合题意；
C、（﹣2，﹣3），此时xy=﹣3×（﹣2）=6，不合题意；
D、（﹣2，3），此时xy=﹣2×3=﹣6，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出k的值是解题关键．
2.【2018威海】若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y=（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【考点】反比例函数的性质
【分析】直接利用反比例函数的性质分析得出答案．
解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y=（k＜0）上，
∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键．
3.【2018沈阳】点A（﹣3，2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣ C．﹣1 D．6
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】根据点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值，此题得解．
解：∵A（﹣3，2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，
∴k=（﹣3）×2=﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上所有点的坐标均满足该函数的解析式．
4.【2018淮安】若点A（﹣2，3）在反比例函数y=的图象上，则k的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】根据待定系数法，可得答案．
解：将A（﹣2，3）代入反比例函数y=，得
k=﹣2×3=﹣6，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题关键．
5.【2018遂宁】已知一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=（m≠0）的图象如图所示，则当y1＞y2时，自变量x满足的条件是（ ）
A．1＜x＜3 B．1≤x≤3 C．x＞1 D．x＜3
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】利用两函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
解：当1＜x＜3时，y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
6.【2018南京】已知反比例函数y=的图象经过点（﹣3，﹣1），则k= ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】根据反比例函数y=的图象经过点（﹣3，﹣1），可以求得k的值．
解：∵反比例函数y=的图象经过点（﹣3，﹣1），
∴﹣1=，
解得，k=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
7.【2018益阳】若反比例函数y=的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 ．
【考点】反比例函数的性质
【分析】根据图象在第二、四象限，利用反比例函数的性质可以确定2﹣k的符号，即可解答．
解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴2﹣k＜0，
∴k＞2．
故答案为：k＞2．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练记忆当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键．
8.【2017西宁】如图，点A在双曲线y＝(x＞0)上，过点A作AC⊥x轴，垂足为点
C，OA的垂直平分线交OC于点B，当AC＝1时，△ABC的周长为____．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；线段垂直平分线的性质．
【分析】由OA的垂直平分线交OC于点B，可得出OB=AB，结合三角形的周长公式可得出△ABC的周长=OC+CA，由AC的长度利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出点A的坐标，进而即可得出△ABC的周长．
解：∵OA的垂直平分线交OC于点B， ∴OB=AB， ∴C△ABC=AB+BC+CA=OB+BC+CA=OC+CA． ∵点A在双曲线y=（x＞0）上，AC=1， ∴点A的坐标为（，1）， ∴C△ABC=OC+CA=+1． 故答案为：+1
9.【2017绵阳】如图，设反比例函数的解析式为y=（k＞0）．
（1）若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；
（2）若该反比例函数与过点M（﹣2，0）的直线l：y=kx+b的图象交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积为时，求直线l的解析式．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）由题意可得A（1，2），利用待定系数法即可解决问题；
（2）把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，可得y=kx+2k，由消去y得到x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或1，推出B（﹣3，﹣k），A（1，3k），根据△ABO的面积为，可得?2?3k+?2?k=，解方程即可解决问题；
解：（1）由题意A（1，2），
把A（1，2）代入y=，得到3k=2，
∴k=．
（2）把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，
∴y=kx+2k，
由消去y得到x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或1，
∴B（﹣3，﹣k），A（1，3k），
∵△ABO的面积为，
∴?2?3k+?2?k=，
解得k=，
∴直线l的解析式为y=x+．
10.【2018枣庄】如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．
【考点】待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）根据三角形相似，可求出点C坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；
（2）联立解析式，可求交点坐标；
（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．
解：（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4
∵CD⊥x轴
∴OB∥CD
∴△ABO∽△ACD
∴
∴
∴CD=20
∴点C坐标为（﹣4，20）
∴n=xy=﹣80
∴反比例函数解析式为：y=﹣
把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：
解得：
∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12
（2）当﹣=﹣2x+12时，解得
x1=10，x2=﹣4
当x=10时，y=﹣8
∴点E坐标为（10，﹣8）
∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=
（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象
∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0
【点评】本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图象解不等式．
1.【2018日照】已知反比例函数y=﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（ ）个
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】反比例函数的性质
【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．
解：①当x=﹣2时，y=4，即图象必经过点（﹣2，4）；
②k=﹣8＜0，图象在第二、四象限内；
③k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，错误；
④k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，若0＞x＞﹣1，﹣y＞8，故④错误，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟记反比例函数的性质是解题关键．
2.【2018大连】如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当k1x+b＜时，x的取值范围为（ ）
A．x＜2 B．2＜x＜6 C．x＞6 D．0＜x＜2或x＞6
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】根据图象直线在反比例函数图象的下方部分的对应的自变量的值即为所求．
解：由图象可知，当k1x+b＜时，x的取值范围为0＜x＜2或x＞6．
故选：D．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求解析式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
3.【2018衡阳】对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．图象经过点（1，﹣2）
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
【考点】反比例函数的性质
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、k=﹣2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
B、k=﹣2＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；
C、∵﹣=﹣2，∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确；
D、点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y=﹣的图象上，若x1＜x2＜0，则y1＜y2，故本选项错误．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
4.【2018抚顺】如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y=的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
【考点】反比例函数的系数k的几何意义，菱形的性质
【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标，求出AH、BH，根据勾股定理求出AB，根据菱形的面积公式计算即可．
解：作AH⊥BC交CB的延长线于H，
∵反比例函数y=的图象经过A、B两点，A、B两点的横坐标分别为1和3，
∴A、B两点的纵坐标分别为3和1，即点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），
∴AH=3﹣1=2，BH=3﹣1=2，
由勾股定理得，AB==2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=2，
∴菱形ABCD的面积=BC×AH=4，
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义、菱形的性质，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标是解题的关键．
5.【2018苏州】如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB=4，CE=2BE，tan∠AOD=，则k的值为（ ）
A．3 B．2 C．6 D．12
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】由tan∠AOD==可设AD=3a、OA=4a，在表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．
解：∵tan∠AOD==，
∴设AD=3a、OA=4a，
则BC=AD=3a，点D坐标为（4a，3a），
∵CE=2BE，
∴BE=BC=a，
∵AB=4，
∴点E（4+4a，a），
∵反比例函数y=经过点D、E，
∴k=12a2=（4+4a）a，
解得：a=或a=0（舍），
则k=12×=3，
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．
6.【2018德州】如图,反比例函数与一次函数在第三象限交于点.点的坐标为(一3,0),点是轴左侧的一点.若以为顶点的四边形为平行四边形.则点的坐标为_____________.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】联立直线和反比例函数解析式可求出A点的坐标，再分以AB为对角线、以OA为对角线和以OB为对角线三种情况，利用平行四边形的性质可分别求得满足条件的P点的坐标．
解：由题意得：，解得：或．
∵反比例函数y=与一次函数y=x﹣2在第三象限交于点A，
∴A（﹣1，﹣3）．
当以AB为对角线时，AB的中点坐标M为（﹣2，﹣1.5）．
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴M为OP中点，设P点坐标为（x，y），
则=﹣2，=﹣1.5，
解得：x=﹣4，y=﹣3，
∴P（﹣4，﹣3）．
当OB为对角线时，由O、B坐标可求得OB的中点坐标M（﹣，0）
设P点坐标为（x，y），由平行四边形的性质可知M为AP的中点，
结合中点坐标公式可得：=﹣=0，
解得：x=﹣2，y=3，∴P（﹣2，3）；
当以OA为对角线时，由O、A坐标可求得OA的中点坐标M（﹣，﹣），
设P点坐标为（x，y），由平行四边形的性质可知M为BP中点，
结合中点坐标公式可得=﹣=﹣，
解得：x=2，y=﹣3，∴P（2，﹣3）（舍去）．
综上所述：P点的坐标为（﹣4，﹣3），（﹣2，3）．
故答案为：（﹣4，﹣3），（﹣2，3）．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质及中点坐标公式是解答此题的关键．
7.【威海】如图，直线AB与双曲线y=（k＜0）交于点A，B，点P是直线AB上一动点，且点P在第二象限．连接PO并延长交双曲线于点C．过点P作PD⊥y轴，垂足为点D．过点C作CE⊥x轴，垂足为E．若点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（m，1），设△POD的面积为S1，△COE的面积为S2，当S1＞S2时，点P的横坐标x的取值范围为 ．
【考点】反比例函数的性质，三角形的面积，待定系数法
【分析】利用待定系数法求出k、m，再利用图象法即可解决问题；
解：∵A（﹣2，3）在y=上，
∴k=﹣6．
∵点B（m，1）在y=上，
∴m=﹣6，
观察图象可知：当S1＞S2时，点P在线段AB上，
∴点P的横坐标x的取值范围为﹣6＜x＜﹣2．
故答案为﹣6＜x＜﹣2．
【点评】本题考查反比例函数的性质、三角形的面积、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8.【2018烟台】如图，反比例函数y=的图象经过?ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，?ABCD的面积为6，则k= ．
【考点】反比例函数比例系数k的几何意义，平行四边形的性质
【分析】由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
解：过点P做PE⊥y轴于点E
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD
又∵BD⊥x轴
∴ABDO为矩形
∴AB=DO
∴S矩形ABDO=S?ABCD=6
∵P为对角线交点，PE⊥y轴
∴四边形PDOE为矩形面积为3
即DO?EO=3
∴设P点坐标为（x，y）
k=xy=﹣3
故答案为：﹣3
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义以及平行四边形的性质．
9.【2018东营】如图，B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为 ．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的性质
【分析】设A坐标为（x，y），根据四边形OABC为平行四边形，利用平移性质确定出A的坐标，利用待定系数法确定出解析式即可．
解：设A坐标为（x，y），
∵B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，
∴x+5=0+3，y+0=0﹣3，
解得：x=﹣2，y=﹣3，即A（﹣2，﹣3），
设过点A的反比例解析式为y=，
把A（﹣2，﹣3）代入得：k=6，
则过点A的反比例解析式为y=，
故答案为：y=
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
10.【2018锦州】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B在第一象限，AB=1，将线段OA饶点O按逆时针方向旋转60°得到线段OP，连接AP，反比例函数y=（k≠0）的图象经过P，B两点，则k的值为 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【分析】作PQ⊥OA，由AB=1知OA=k，由旋转性质知OP=OA=k、∠POQ=60°，据此求得OQ=OPcos60°=k，PQ=OPsin60°=k，即P（k，k），代入解析式解之可得．
解：过点P作PQ⊥OA于点Q，
∵AB=1，
∴OA=k，
由旋转性质知OP=OA=k、∠POQ=60°，
则OQ=OPcos60°=k，PQ=OPsin60°=k，
即P（k，k），
代入解析式，得：k2=k，
解得：k=0（舍）或k=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上的点，解题的关键是表示出点P的坐标．
11.【2018襄阳】如图，已知双曲线y1=与直线y2=ax+b交于点A（﹣4，1）和点B（m，﹣4）．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）直接写出线段AB的长和y1＞y2时x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）先把A点坐标代入y1=中求出k得到反比例函数的解析式为y1=﹣，再把B（m，﹣4）代入y1=﹣中求出m得到B（1，﹣4），然后利用待定系数法求直线解析式；
（2）利用两点间的距离公式计算AB的长；利用函数图象，写出反比例函数图象在直线上方所对应的自变量的范围得到y1＞y2时x的取值范围．
解：（1）把A（﹣4，1）代入y1=得k=﹣4×1=﹣4，
∴反比例函数的解析式为y1=﹣，
把B（m，﹣4）代入y1=﹣得﹣4m=﹣4，解得m=1，则B（1，﹣4），
把A（﹣4，1），B（1，﹣4）代入y2=ax+b得，解得，
∴直线解析式为y2=﹣x﹣3；
（2）AB==5，
当﹣4＜x＜0或x＞1时，y1＞y2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
12.【2018葫芦岛】如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（a≠0）的图象在第二象限交于点A（m，2）．与x轴交于点C（﹣1，0）．过点A作AB⊥x轴于点B，△ABC的面积是3．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若直线AC与y轴交于点D，求△BCD的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）由点A的坐标可得出点B的坐标，结合点C的坐标可得出AB、BC的长度，由△ABC的面积是3可得出关于m的一元一次方程，解之可得出点A的坐标，由点A、C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法，即可求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，再利用三角形的面积公式即可求出△BCD的面积．
解：（1）∵AB⊥x轴于点B，点A（m，2），
∴点B（m，0），AB=2．
∵点C（﹣1，0），
∴BC=﹣1﹣m，
∴S△ABC=AB?BC=﹣1﹣m=3，
∴m=﹣4，
∴点A（﹣4，2）．
∵点A在反比例函数y=（a≠0）的图象上，
∴a=﹣4×2=﹣8，
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
将A（﹣4，2）、C（﹣1，0）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣．
（2）当x=0时，y=﹣x﹣=﹣，
∴点D（0，﹣），
∴OD=，
∴S△BCD=BC?OD=×3×=1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例（一次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）由△ABC的面积是3求出m的值；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点D的坐标．
13.【2018郴州】参照学习函数的过程与方法，探究函数y=的图象与性质．
因为y=，即y=﹣+1，所以我们对比函数y=﹣来探究．
列表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
1
2
3
4
…
y=﹣
…
1
2
4
﹣4
﹣2
﹣1
﹣
﹣
…
y=
…
2
3
5
﹣3
﹣1
0
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；
（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”）
②y=的图象是由y=﹣的图象向 平移 个单位而得到；
③图象关于点 中心对称．（填点的坐标）
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值．
【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）用光滑曲线顺次连接即可；
（2）利用图象法即可解决问题；
（3）根据中心对称的性质，可知A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，由此即可解决问题；
解：（1）函数图象如图所示：
（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；
②y=的图象是由y=﹣的图象向上平移1个单位而得到；
③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）
故答案为增大，上，1，（0，1）
（3）∵x1+x2=0，
∴x1=﹣x2，
∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，
∴y1+y2=2，
∴y1+y2+3=5．
【点评】本题考查反比例函数的性质、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14.【2018滨州】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（1，）．
（1）求图象过点B的反比例函数的解析式；
（2）求图象过点A，B的一次函数的解析式；
（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量x的取值范围．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点
【分析】（1）由C的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）由菱形的边长确定出A坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式即可；
（3）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标，由图象确定出满足题意x的范围即可．
解：（1）由C的坐标为（1，），得到OC=2，
∵菱形OABC，
∴BC=OC=OA=2，BC∥x轴，
∴B（3，），
设反比例函数解析式为y=，
把B坐标代入得：k=3，
则反比例解析式为y=；
（2）设直线AB解析式为y=mx+n，
把A（2，0），B（3，）代入得：，
解得：，
则直线AB解析式为y=x﹣2；
（3）联立得：，
解得：或，即一次函数与反比例函数交点坐标为（3，）或（﹣1，﹣3），
则当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
15.【2018达州】矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与边AC交于点E．
（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
（2）连接EF，求∠EFC的正切值；
（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
【考点】反比例函数综合题
【分析】（1）先确定出点C坐标，进而得出点F坐标，即可得出结论；
（2）先确定出点F的横坐标，进而表示出点F的坐标，得出CF，同理表示出CF，即可得出结论；
（3）先判断出△EHG∽△GBF，即可求出BG，最后用勾股定理求出k，即可得出结论．
解：（1）∵OA=3，OB=4，
∴B（4，0），C（4，3），
∵F是BC的中点，
∴F（4，），
∵F在反比例y=函数图象上，
∴k=4×=6，
∴反比例函数的解析式为y=，
∵E点的坐标为3，
∴E（2，3）；
（2）∵F点的横坐标为4，
∴F（4，），
∴CF=BC﹣BF=3﹣=
∵E的纵坐标为3，
∴E（，3），
∴CE=AC﹣AE=4﹣=，
在Rt△CEF中，tan∠EFC==，
（3）如图，由（2）知，CF=，CE=，，
过点E作EH⊥OB于H，
∴EH=OA=3，∠EHG=∠GBF=90°，
∴∠EGH+∠HEG=90°，
由折叠知，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°，
∴∠EGH+∠BGF=90°，
∴∠HEG=∠BGF，
∵∠EHG=∠GBF=90°，
∴△EHG∽△GBF，
∴=，
∴，
∴BG=，
在Rt△FBG中，FG2﹣BF2=BG2，
∴（）2﹣（）2=，
∴k=，
∴反比例函数解析式为y=．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，中点坐标公式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求出CE：CF是解本题的关键．
