江苏省徐州市2019届高三上学期期中质量抽测数学试题（WORD版）

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2019届徐州市高三第一学期期中抽测考试
数学I

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．
1．已知集合，，则 ▲ ．
2．若复数满足（其中为虚数单位），则的模为 ▲ ．
3．某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有 ▲ 个网箱产量不低于50 kg．
　
4. 右图是一个算法的流程图，则输出的的值是 ▲ .
5．已知双曲线的离心率为，则实数的值为 ▲ ．
6．已知袋中装有大小相同、质地均匀的2个红球和3个白球，从中一次摸出2个，恰有1个是红球的概率为 ▲ ．
7. 已知等差数列的前项和为，，，则的值为 ▲ ．
8. 已知函数，若，且，则的最大值为 ▲ ．
9. 已知奇函数是R上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数的值为 ▲ ．
10．如图，已知正方体的棱长为1，点为棱上任意一点，则四棱锥的体积为 ▲ ．

11．在平行四边形中，，，，若 ,则的值
为 ▲ ．
12．已知正实数 满足，则 的最小值为 ▲ ．
13. 过点的直线与圆交于两点，若是的中点，则实数的取值范围是 ▲ ．
14.已知函数，若有三个零点，则实数的取值范围是 ▲ ．
二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
15．(本小题满分14分)
在△中，角的对边分别为，已知.
（1）求角的值；
（2）若，，求的面积.



16．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥中， 分别为，的中点，点在上，且底面.
（1）求证：平面；
（2）若，求证：平面平面.





17．（本小题满分14分）
已知椭圆，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且当点是椭圆的上顶点时，，线段的中点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）延长线段与椭圆交于点，若，求此时的方程．



18．（本小题满分16分）
某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域I）设计成半径为1km的扇形，中心角（）.为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域II）和休闲区（区域III），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形，其中点，分别在边和上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元.
（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求的最大值；
（2）试问：当为多少时，年总收入最大？






19．（本小题满分16分）
设函数，．
（1）当时，求函数的在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性，并写出单调区间；
（3）当时，若函数有唯一零点，求实数的值．




20．（本小题满分16分）
已知数列各项均为正数，,，且对任意恒成立．
（1）若，求的值；
（2）若，（i）求证：数列是等差数列；（ii）在数列中，对任意，总存在，（其中），使构成等比数列，求出符合条件的一组．



数学II（附加题）
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，D为AO上一点，BD的延长线交⊙O于点E，过E点的圆的切线交CA的延长线于点P。
求证：PD2＝PA?PC


B．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵M＝，且属于特征值2的一个特征向量为，在平面直角坐标系xoy中，眯A（0,0），B（1,0），C（2,3）在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为，求△的面积。


C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在极坐标系中，直线l的极坐标方程为+1＝0。以极点O为坐标原点，极轴正方向为x轴正方向建立平面直角坐标系xoy，曲线C的参数方程为（θ为参数，r＞0），若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB＝，求r的值。


D．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
对于实数x，y，若满足｜x－1｜≤1，｜y－2｜≤1，求｜x－2y+1｜的最大值．



【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分10分)
在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮。每次投篮之间相互独立。某选手在A点命中的概率为，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次。
（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分的分布列和数列期望。

（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由。

23．(本小题满分10分)
（1）证明：为偶数（n∈N*）；
（2）证明：大于的最小整数能被整除（n∈N*）。



参考答案
1、｛2，4｝　　　　2、　　　　3、82　　　　4、8　　　　　5、2
6、　　　　　　7、24　　　　　8、　　　9、　　　10、
11、　　　　12、18　　　　　13、或　　14、
15、

16、
（1）由中位线知：DE‖AC，可证：DE‖平面SAC
（2）由SD⊥平面ABC，知SD⊥AC，又SF⊥AC，SD与SF交于点S，
所以，AC⊥平面SFD，所以，平面SAC⊥平面SFD

17、



18、

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20、

2018-2019学年度高三年级第一学期期中抽测
数学Ⅱ参考答案及评分标准
A．连结OE，因为PE切⊙O于点E，所以∠OEP=900，所以∠OEB+∠BEP=900，
因为OB=OE，所以∠OBE=∠OEB，因为OB⊥AC于点O，
所以∠OBE+∠BDO=900．…………………………………5分
故∠BEP=∠BDO=∠PDE，所以PD=PE，又因为PE切⊙O于点E，所以PE2=PA·PC，
故PD2=PA·PC．………………………………………………………………………10分
B．因，所以，所以，……………………………………2分
，，，即．…………6分
故． ……………………………………………………10分
C．由，得，
即直线l的方程为． ………………………………………………3分
由，得曲线的普通方程为，
故曲线C是圆心坐标为，半径为的圆 ，……………………………………6分
所以，圆心到直线的距离，由，则．……………… 10分
D．由…………………………………………………4分
，…………………8分
当且仅当时，取“”.
可知，的最大值为5.…………………………………………………10分
22．（1）在A点投篮命中记作,不中记作；在B点投篮命中记作,不中记作，
其中， …………………2分
的所有可能取值为，则
，…………………………3分
，……………………………4分
，…………………………………………………………5分
．…………………………6分
的分布列为： ，，，．
所以，
所以，的数学期望为．…………………………………………………………7分
（2）选手选择方案甲通过测试的概率为，
选手选择方案乙通过测试的概率为
，………………………9分
因为，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大．……………………10分
23．（1）因为，
所以为偶数（n∈N*）． ………………………………………4分
（2）注意到，则大于的最小正整数必为
，记为2kN，
又因为

而由（1）同理可得必为偶数，记为，
所以，，
即能被整除，从而命题得证． ……………………………………………10分






注　意　事　项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试
时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及
答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置
作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。