第三章函数 第17节 二次函数图像与性质（一）
■考点1. 二次次函数的定义
1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0，自变量x的最高次数是2这个关键条件．
2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
■考点2. 用待定系数法求二次函数的解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式
一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．www-2-1-cnjy-com
交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．21*cnjy*com
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
■考点3. 二次函数的图象及性质
1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0)
(a＜0)
开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
顶点坐标
增减性
当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大
当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－时，y有最小值
当x＝－时，y有最大值
■考点 4. 二次函数图像与系数的关系
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
某些特殊形式代数式的符号：
a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.
2a+b的符号，需判
对称
轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
b
决定对称轴（x=-）的位置
当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时， -=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
■考点1. 二次函数的定义
◇典例：
【2015?福建模拟】当k为何值时，函数y=（k-1）xk2+k+1为二次函数？
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义，令k2+k=2且同时满足k-1≠0即可解答．
解：∵函数y=（k-1）xk2+k+1为二次函数， ∴k2+k=2，k-1≠0， ∴k1=1，k2=-2，k≠1， ∴k=-2．21cnjy.com
◆变式训练
【2015?夏津县校级自主招生】已知函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？【出处：21教育名师】
■考点2：用待定系数法求二次函数的解析式
◇典例
【2017上海】已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，-1 ），那么这个二
次函数的解析式可以是_______________．（只需写一个）
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】根据顶点坐标知其解析式满足y=ax2-1，由开口向上知a＞0，据此写出一个即可．
解：∵抛物线的顶点坐标为（0，-1）， ∴该抛武线的解析式为y=ax2-1， 又∵二次函数的图象开口向上， ∴a＞0， ∴这个二次函数的解析式可以是y=2x2-1， 故答案为：y=2x2-1
◆变式训练
【2018黑龙江节选】如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．
（1）求此抛物线的解析式．
■考点3：二次函数的图象及性质
◇典例：
【2017?邵阳】若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是 _______．（写一个即可）
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次项系数小于0，二次函数图象开口向下解答．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向下， ∴a＜0， ∴a的值可能是-1， 故答案为：-1．
◆变式训练
1.【2018临安】抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
2.【2018攀枝花】抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣1，3）
【考点】二次函数的性质
【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
解：∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．顺名师原创作品
■考点4：二次函数图像与系数的关系
◇典例：
【2018安顺】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：
①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号；
②由抛物线与x轴有两个交点判断即可；
③分别比较当x=﹣2时、x=1时，y的取值，然后解不等式组可得6a+3c＜0，即2a+c＜0；又因为a＜0，所以3a+c＜0．故错误；
④将x=1代入抛物线解析式得到a+b+c＜0，再将x=﹣1代入抛物线解析式得到a﹣b+c＞0，两个不等式相乘，根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到（a+c）2＜b2，
解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；
②由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故②正确；
③当x=﹣2，y＜0时，即4a﹣2b+c＜0 （1）
当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2）
（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，
即2a+c＜0
又∵a＜0，
∴a+（2a+c）=3a+c＜0．
故③错误；
④∵x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，
即[（a+c）+b][（a+c）﹣b]=（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2，
故④正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
◆变式训练
【20118湖州】在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣1或≤a＜ B．≤a＜
C．a≤或a＞ D．a≤﹣1或a≥
1.【2018青岛】已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2.【2018岳阳】抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）
3.【2017六盘水】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（ ）
A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0
4.【2018黄冈】当a≤x≤a+1时，函数y=x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2
5.【2017遵义】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示，
则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
6.【2017邵阳】若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是 ．（写一个即可）
7.【2018哈尔滨】抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为 ．
8.【2017广元】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正确的结论有 ．
9.【2018福建】如图，直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为 ．
10.【九年级上第二次联考】已知二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）将函数化成y=（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出该函数图象的顶点坐标和对称轴．
一.选择题
1.【2018上海】下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
2.【2017陕西】已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（ ）
A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20）
3.【2018潍坊】已知二次函数 (为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为( )
A. 3或6 B. 1或6 C. 1或3 D. 4或6
4.【2018宜宾】如图，抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：
①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.【2018内蒙】若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m≥﹣5 C．m＜﹣4 D．m≤﹣4
6.【2018资阳】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①=﹣1；②ac+b+1=0；③abc＞0；④a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7.【2017济宁】请写出一个过点（1，1），且与x轴无交点的函数解析式：________.
8.【2018广州】已知二次函数 ，当x＞0时，y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）．
9.【2018德阳】已知函数y=使y=a成立的x的值恰好只有3个时，a的值为 ．
10.【2017河北】对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣，﹣}= ；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x= ．
11.【2017南京】已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．
（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是 ．
A.0 B.1 C.2 D.1或2
（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．
（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
12.【2017广州】已知抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．
（1）求y1的解析式；
（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．
13.【2017云南】已知二次函数y=﹣2x2+bx+c图象的顶点坐标为（3，8），该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A，M是这个二次函数图象上的点，O是原点．
（1）不等式b+2c+8≥0是否成立？请说明理由；
（2）设S是△AMO的面积，求满足S=9的所有点M的坐标．
14.【2017丽水节选】如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度
沿折线A—C—B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C1 ， C2两段组成，如图2所示. (1)求a的值；
(2)求图2中图象C2段的函数表达式；
15.【2017?苏州节选】如图，二次函数 的图像与轴交于 、 两点，
与 轴交于点 ， ．点 在函数图像上， 轴，且 ，直线 是抛物线的对称轴， 是抛物线的顶点．
(1)求 b、c的值；
(2)如图①，连接 ，线段 上的点 关于直线 的对称点 恰好在线段 上，求点 的坐标；
??? 图 ①?????????????图②
第三章函数 第17节 二次函数图像与性质（一）
■考点1. 二次次函数的定义
1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0，自变量x的最高次数是2这个关键条件．
2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
■考点2. 用待定系数法求二次函数的解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式
一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
■考点3. 二次函数的图象及性质
1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0)
(a＜0)
开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
顶点坐标
增减性
当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大
当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－时，y有最小值
当x＝－时，y有最大值
■考点 4. 二次函数图像与系数的关系
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
某些特殊形式代数式的符号：
a±b+c即为x=±1时，y
的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.
2a+b的符号，需判
对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
b
决定对称轴（x=-）的位置
当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时， -=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
■考点1. 二次函数的定义
◇典例：
【2015?福建模拟】当k为何值时，函数y=（k-1）xk2+k+1为二次函数？
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义，令k2+k=2且同时满足k-1≠0即可解答．
解：∵函数y=（k-1）xk2+k+1为二次函数， ∴k2+k=2，k-1≠0， ∴k1=1，k2=-2，k≠1， ∴k=-2．21cnjy.com
◆变式训练
【2015?夏津县校级自主招生】已知函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？【出处：21教育名师】
【考点】二次函数的定义；一次函数的定义．
【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解．
解：（1）根据一次函数的定义，得：m2-m=0 解得m=0或m=1 又∵m-1≠0即m≠1； ∴当m=0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义，得：m2-m≠0 解得m1≠0，m2≠1 ∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数
■考点2：用待定系数法求二次函数的解析式
◇典例
【2017上海】已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，-1 ），那么这个二
次函数的解析式可以是_______________．（只需写一个）
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】根据顶点坐标知其解析式满足y=ax2-1，由开口向上知a＞0，据此写出一个即可．
解：∵抛物线的顶点坐标为（0，-1）， ∴该抛武线的解析式为y=ax2-1， 又∵二次函数的图象开口向上， ∴a＞0， ∴这个二次函数的解析式可以是y=2x2-1， 故答案为：y=2x2-1
◆变式训练
【2018黑龙江节选】如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．
（1）求此抛物线的解析式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）由对称轴直线x=2，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式；
解：（1）由题意得：x=﹣=﹣=﹣2，c=2，
解得：b=4，c=2，
则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2；
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
■考点3：二次函数的图象及性质
◇典例：
【2017?邵阳】若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是 _______．（写一个即可）
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次项系数小于0，二次函数图象开口向下解答．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向下， ∴a＜0， ∴a的值可能是-1， 故答案为：-1．
◆变式训练
1.【2018临安】抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
【考点】二次函数的性质
【分析】已知抛物线顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
解：∵抛物线y=3（x﹣1）2+1是顶点式，
∴顶点坐标是（1，1）．故选A．
【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
2.【2018攀枝花】抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣1，3）
【考点】二次函数的性质
【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
解：∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．顺名师原创作品
■考点4：二次函数图像与系数的关系
◇典例：
【2018安顺】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：
①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号；
②由抛物线与x轴有两个交点判断即可；
③分别比较当x=﹣2时、x=1时，y的取值，然后解不等式组可得6a+3c＜0，即2a+c＜0；又因为a＜0，所以3a+c＜0．故错误；
④将x=1代入抛物线解析式得到a+b+c＜0，再将x=﹣1代入抛物线解析式得到a﹣b+c＞0，两个不等式相乘，根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到（a+c）2＜b2，
解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；
②由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故②正确；
③当x=﹣2，y＜0时，即4a﹣2b+c＜0 （1）
当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2）
（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，
即2a+c＜0
又∵a＜0，
∴a+（2a+c）=3a+c＜0．
故③错误；
④∵x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，
即[（a+c）+b][（a+c）﹣b]=（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2，
故④正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
◆变式训练
【20118湖州】在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣1或≤a＜ B．≤a＜ C．a≤或a＞ D．a≤﹣1或a≥
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；
解：∵抛物线的解析式为y=ax2﹣x+2．
观察图象可知当a＜0时，x=﹣1时，y≤2时，且﹣≥﹣1，满足条件，可得a≤﹣1；
当a＞0时，x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，且﹣≤2满足条件，
∴a≥，
∵直线MN的解析式为y=﹣x+，
由，消去y得到，3ax2﹣2x+1=0，
∵△＞0，
∴a＜，
∴≤a＜满足条件，
综上所述，满足条件的a的值为a≤﹣1或≤a＜，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
1.【2018青岛】已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象，二次函数的图象
【分析】根据反比例函数图象一次函数图象经过的象限，即可得出＜0、c＞0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
解：观察函数图象可知：＜0、c＞0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经过的象限，找出＜0、c＞0是解题的关键．
2.【2018岳阳】抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）
【考点】二次函数的性质
【分析】根据二次函数的性质y=a（x+h）2+k的顶点坐标是（﹣h，k）即可求解．
解：抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标为（2，5），
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，正确记忆y=a（x+h）2+k的顶点坐标是（﹣h，k）（a≠0）是关键．
3.【2017六盘水】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（ ）
A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．
解：二次函数y=ax2+bx+c的开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∵对称轴x=﹣＞0，
∴b＞0，
故选B．
4.【2018黄冈】当a≤x≤a+1时，函数y=x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2
【考点】二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：当y=1时，有x2﹣2x+1=1，
解得：x1=0，x2=2．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a=2或a+1=0，
∴a=2或a=﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值是解题的关键．
5.【2017遵义】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示，
则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
【考点】 二次函数图象与系数的关系．
【分析】①根据开口向下得出a＜0，根据对称轴在y轴右侧，得出b＞0，根据图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，得出c＞0，从而得出abc＜0，进而判断①错误；
②由抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），即可判断②正确；
③由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把b=a+c代入即可判断③正确；
④由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把c=b﹣a代入即可判断④正确．
解：①∵二次函数图象的开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数图象的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，故②正确；
③∵a﹣b+c=0，∴b=a+c．
由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
∴4a+2（a+c）+c＜0，
∴6a+3c＜0，∴2a+c＜0，故③正确；
④∵a﹣b+c=0，∴c=b﹣a．
由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
∴4a+2b+b﹣a＜0，
∴3a+3b＜0，∴a+b＜0，故④正确．
故选D．
6.【2017邵阳】若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是 ．（写一个即可）
【分析】根据二次项系数小于0，二次函数图象开口向下解答．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，
∴a＜0，
∴a的值可能是﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，是基础题，需熟记．
7.【2018哈尔滨】抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为 ．
【考点】二次函数的性质
【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
解：∵y=2（x+2）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣2，4），
故答案为：（﹣2，4）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．
8.【2017广元】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正确的结论有 ．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故此选项正确；
②当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，故a+c=b，错误；
③当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c=0，且x=﹣=1，
即b=﹣2a，代入得9a﹣6a+c=0，得3a+c=0，故此选项错误；
④当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项正确．
故①④正确．
故答案为：①④．
9.【2018福建】如图，直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，根与系数的关系，二次函数的性质
【分析】根据双曲线y=过A，B两点，可设A（a，），B（b，），则C（a，）．将y=x+m代入y=，整理得x2+mx﹣3=0，由于直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，所以a、b是方程x2+mx﹣3=0的两个根，根据根与系数的关系得出a+b=﹣m，ab=﹣3，那么（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．再根据三角形的面积公式得出S△ABC=AC?BC=m2+6，利用二次函数的性质即可求出当m=0时，△ABC的面积有最小值6．
解：设A（a，），B（b，），则C（a，）．
将y=x+m代入y=，得x+m=，
整理，得x2+mx﹣3=0，
则a+b=﹣m，ab=﹣3，
∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．
∵S△ABC=AC?BC
=（﹣）（a﹣b）
=??（a﹣b）
=（a﹣b）2
=（m2+12）
=m2+6，
∴当m=0时，△ABC的面积有最小值6．
故答案为6．
10.【九年级上第二次联考】已知二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）将函数化成y=（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出该函数图象的顶点坐标和对称轴．
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】（1）把一般式利用配方法化为顶点式即可；
（2）利用顶点式求得顶点坐标和对称轴即可．
解：（1）y=x2﹣4x+4﹣4+3
=（x﹣2）2﹣1；
（2）图象的顶点坐标是（2，﹣1），
对称轴是：x=2．
一.选择题
1.【2018上海】下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
【考点】二次函数的性质
【分析】A、由a=1＞0，可得出抛物线开口向上，选项A不正确；
B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；
C、代入x=0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；
D、由a=1＞0及抛物线对称轴为直线x=，利用二次函数的性质，可得出当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．
综上即可得出结论．
解：A、∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B、∵﹣=，
∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；
C、当x=0时，y=x2﹣x=0，
∴抛物线经过原点，选项C正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=，
∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．
故选：C．
2.【2017陕西】已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（ ）
A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20）
【考点】二次函数的性质．
【分析】先利用配方法求得点M的坐标，然后利用关于原点对称点的特点得到点M′的坐标，然后将点M′的坐标代入抛物线的解析式求解即可．
解：y=x2﹣2mx﹣4=x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4=（x﹣m）2﹣m2﹣4．
∴点M（m，﹣m2﹣4）．
∴点M′（﹣m，m2+4）．
∴m2+2m2﹣4=m2+4．
解得m=±2．
∵m＞0，
∴m=2．
∴M（2，﹣8）．
故选C．
3.【2018潍坊】已知二次函数 (为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为( )
A. 3或6 B. 1或6 C. 1或3 D. 4或6
【考点】二次函数的最值，二次函数的性质
【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
解：如图，
当h＜2时，有-（2-h）2=-1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有-（5-h）2=-1，
解得：h3=4（舍去），h4=6．
综上所述：h的值为1或6．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．
4.【2018宜宾】如图，抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：
①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】把点A坐标代入y2，求出a的值，即可得到函数解析式；令y=3，求出A、B、C的横坐标，然后求出BD、AD的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案．
解：∵抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），
∴3=a（1﹣4）2﹣3，
解得：a=，故①正确；
∵E是抛物线的顶点，
∴AE=EC，
∴无法得出AC=AE，故②错误；
当y=3时，3=（x+1）2+1，
解得：x1=1，x2=﹣3，
故B（﹣3，3），D（﹣1，1），
则AB=4，AD=BD=2，
∴AD2+BD2=AB2，
∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；
∵（x+1）2+1=（x﹣4）2﹣3时，
解得：x1=1，x2=37，
∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值．
5.【2018内蒙】若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m≥﹣5 C．m＜﹣4 D．m≤﹣4
【考点】二次函数的性质，反比例函数的性质，不等式的性质
【分析】根据题意可以得到关于m的不等式，再根据二次函数和反比例函数的性质可以去的m的取值范围．
解：∵满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，
∴m＜，
∴m≤﹣4
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、反比例函数的性质、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的m的取值范围．
6.【2018资阳】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①=﹣1；②ac+b+1=0；③abc＞0；④a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a＞0，﹣1＜c＜0，b＜0，再对各结论进行判断．
解：①=﹣1，抛物线顶点纵坐标为﹣1，正确；
②ac+b+1=0，设C（0，c），则OC=|c|，
∵OA=OC=|c|，∴A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c≠0，
∴ac+b+1=0，故正确；
③abc＞0，从图象中易知a＞0，b＜0，c＜0，故正确；
④a﹣b+c＞0，当x=﹣1时y=a﹣b+c，由图象知（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，
∴a﹣b+c＞0，故正确．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，重点是学会由函数图象得到函数的性质．
7.【2017济宁】请写出一个过点（1，1），且与x轴无交点的函数解析式：________.
【考点】反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的性质
【分析】反比例函数的图象与坐标轴无交点. 解：反比例函数图象与坐标轴无交点，且反比例函数系数k=1×1=1，所以反比例函数y= （答案不唯一）符合题意. 故答案可以是：y= （答案不唯一）.
8.【2018广州】已知二次函数 ，当x＞0时，y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）．
【考点】二次函数y=ax2的性质
【分析】根据二次函数性质：当a＞0时，在对称轴右边，y随x的增大而增大.由此即可得出答案.
解：∵a=1＞0，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大.
故答案为：增大.
9.【2018德阳】已知函数y=使y=a成立的x的值恰好只有3个时，a的值为 ．
【考点】二次函数的性质
【分析】首先在坐标系中画出已知函数y=的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=a成立的x值恰好有3个的a值．
解：函数y=的图象如图：
根据图象知道当y=2时，对应成立的x值恰好有三个，
∴a=2．
故答案：2．
【点评】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
10.【2017河北】对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣，﹣}= ；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x= ．
【考点】二次函数的性质；实数大小比较．
【分析】首先理解题意，进而可得min{﹣，﹣}=﹣，min{（x﹣1）2，x2}=1时再分情况讨论，当x=0.5时，x＞0.5时和x＜0.5时，进而可得答案．
解：min{﹣，﹣}=﹣，
∵min{（x﹣1）2，x2}=1，
当x=0.5时，x2=（x﹣1）2，不可能得出，最小值为1，
∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，
则（x﹣1）2=1，
x﹣1=±1，
x﹣1=1，x﹣1=﹣1，
解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），
当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，
则x2=1，
解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣1，
综上所述：x的值为：2或﹣1．
故答案为：；2或﹣1．
11.【2017南京】已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．
（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是 ．
A.0 B.1 C.2 D.1或2
（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．
（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；
（2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；
（3）根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可．
解：（1）∵函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数），
∴△=（m﹣1）2+4m=（m+1）2≥0，
则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，
故选D；
（2）y=﹣x2+（m﹣1）x+m=﹣（x﹣）2++m，
把x=代入y=（x+1）2得：y=（+1）2=，
则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上；
（3）设函数z=，
当m=﹣1时，z有最小值为0；
当m＜﹣1时，z随m的增大而减小；
当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，
当m=﹣2时，z=；当m=3时，z=4，
则当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4．
12.【2017广州】已知抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．
（1）求y1的解析式；
（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质．
【分析】（1）根据题意求得顶点B的坐标，然后根据顶点公式即可求得m、n，从而求得y1的解析式；
（2）分两种情况讨论：当y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴的交点是抛物线的顶点（﹣1，0），不合题意；
当y1=﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8=0求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据A的坐标和y2随着x的增大而增大，求得y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），然后根据待定系数法求得即可．
解：（1）∵抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．
∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），
∴﹣=﹣1，=1或9，
解得m=﹣2，n=0或8，
∴y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x或y1=﹣x2﹣2x+8；
（2）①当y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴交点是（0.0）和（﹣2.0），
∵y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），
∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣2，0），
把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得，
解得，
∴y2=5x+10．
②当y1=﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8=0得x=﹣4或2，
∵y2随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5），
∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），
把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得，
解得；
∴y2=x+．
13.【2017云南】已知二次函数y=﹣2x2+bx+c图象的顶点坐标为（3，8），该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A，M是这个二次函数图象上的点，O是原点．
（1）不等式b+2c+8≥0是否成立？请说明理由；
（2）设S是△AMO的面积，求满足S=9的所有点M的坐标．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．
【分析】（1）由题意可知抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣3）2+8，由此求出b、c即可解决问题．
（2）设M（m，n），由题意?3?|n|=9，可得n=±6，分两种情形列出方程求出m的值即可；
解：（1）由题意抛物线的顶点坐标（3，8），
∴抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣3）2+8=﹣2x2+12x﹣10，
∴b=12，c=﹣10，
∴b+2c+8=12﹣20+8=0，
∴不等式b+2c+8≥0成立．
（2）设M（m，n），
由题意?3?|n|=9，
∴n=±6，
①当n=6时，6=﹣2m2+12m﹣10，
解得m=2或4，
②当n=﹣6时，﹣6=﹣2m2+12m﹣10，
解得m=3±，
∴满足条件的点M的坐标为（2，6）或（4，6）或（3+，﹣6）或（3﹣，﹣6）．
14.【2017丽水节选】如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度
沿折线A—C—B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C1 ， C2两段组成，如图2所示. (1)求a的值；
(2)求图2中图象C2段的函数表达式； 【分析】（1）C1段的函数解析式是点P在AC线段时y与x的关系，由S= AQ·（AQ上的高），而AQ=ax，由∠A=30°，PA=2x，可过P作PD⊥AB于D，则PD=PA·sin30°=2x· =x，则可写出y关于x的解析式，代入点（1， ）即可解出；（2）作法与（1）同理，求出用sinB表示出PD，再写出y与x的解析式，代入点（4， ），即可求出sinB，即可解答；
（1）解：在图1中，过P作PD⊥AB于D，∵∠A=30°，PA=2x， ∴PD=PA·sin30°=2x· =x， ∴y= = . 由图象得，当x=1时，y= ，则 = . ∴a=1. （2）解：当点P在BC上时（如图2），PB=5×2-2x=10-2x. ∴PD=PB·sinB=(10-2x)·sinB， ∴y= AQ·PD= x·（10-2x）·sinB. 由图象得，当x=4时，y= , ∴ ×4×（10-8）·sinB= ， ∴sinB= . ∴y= x·（10-2x）· = .
15.【2017?苏州节选】如图，二次函数 的图像与轴交于 、 两点，
与 轴交于点 ， ．点 在函数图像上， 轴，且 ，直线 是抛物线的对称轴， 是抛物线的顶点． ??? 图 ①?????????????图②
(1)求 b、c的值；
(2)如图①，连接 ，线段 上的点 关于直线 的对称点 恰好在线段 上，求点 的坐标； 【考点】二次函数的图象，待定系数法求二次函数解析式， 【分析】（1）因为CD⊥x轴，所以C与D的纵坐标相等，即C与D关于抛物线的对称轴对称，则可得对称轴是直线l:x=1，从而由x=-代入a的值，求出b；又由OB=OC，可得B（-c,0）,代入二次函数解析式，求出c的值即可; （2）设点F的坐标为（0，m）关于直线x=1的对称点为（2，m），则求出BE的解析式，将（2，m）代入解出m的值即可；【版权所有：21教育】
（1）解：∵CD⊥x轴，CD=2， ∴抛物线对称轴为直线l:x=1， ∴=1，则b=-2。 ∵OB=OC，C（0，c）， ∴B点的坐标为（-c,0）， ∴0=c2+2c+c，解得c=-3或c=0（舍去）， ∴c=-3, （2）解：由（1）可得抛物线解析式为y=x2-2x-3，则E（1，-4） 设点F的坐标为（0，m）， ∵对称轴为直线l:x=1, ∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）。 ∵直线BE经过点B（3，0），E（1，-4）， ∴利用待定系数法可得直线BE的表达式y=2x-6, ∵点F在BE上， ∴m=2×2-6=-2， 即点F的坐标为（0，-2）。
