第四章 图形的性质 第21节 三角形的有关概念
■考点1三角形的分类
由 不在同一直线上的 三条线段 首尾顺次 相连接所组成的图形是三角形
（1）按角的关系分类:
（2）按边的关系分类:
■考点2.三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
■考点3.角的关系
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余.
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
■考点4.三角形中的重要线段 四线性质
角平分线:(1)角平线上的点到角两边的距离相等
(2)三角形的三条角平分线的相交于一点叫内心,内心 到三边的距离相等．
中线:(1) 三条中线交于三角形内部一点，叫其 重心 ：每条中线平分三角形的 面积
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
高:（1）三条高线所在的直线交于一点，叫其为 垂心
（2）锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部21·世纪*教育网
中位线: 三角形 两边中点 的连线段．平行于第三边，且等于第三边的一半
三角形中内、外角与角平分线的规律总结
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；【出处：21教育名师】
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A.
■考点1.三边关系
◇典例
【2017?嘉兴】长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【考点】三角形三边关系．
【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．
解：由三角形三边关系定理得7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9． 因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案． 4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式， 故选：C．2·1·c·n·j·y
◆变式训练
【2017淮安】若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（ ）
A．14 B．10 C．3 D．2
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．
解：设第三边为x，
则8﹣5＜x＜5+8，即3＜x＜13，
所以符合条件的整数为10，
故选B．
■考点2.角的关系
◇典例：
1.【2018葫芦岛】如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（ ）
A．15° B．55° C．65° D．75°
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】利用平角的定义可得∠ADE=15°，再根据平行线的性质知∠A=∠ADE=15°，再由内角和定理可得答案．
解：∵∠CDE=165°，
∴∠ADE=15°，
∵DE∥AB，
∴∠A=∠ADE=15°，
∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
2.【2018滨州】在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C= ．
【考点】三角形内角和定理
【分析】直接利用三角形内角和定理进而得出答案．
解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，
∴∠C=180°﹣30°﹣50°=100°．
故答案为：100°
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确把握定义是解题关键．
◆变式训练
1.【聊城】如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF的度数是（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【分析】直接延长FE交DC于点N，利用平行线的性质得出∠BCD=∠DNF=95°，再利用三角形外角的性质得出答案．
解：延长FE交DC于点N，
∵直线AB∥EF，
∴∠BCD=∠DNF=95°，
∵∠CDE=25°，
∴∠DEF=95°+25°=120°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题关键．
2.【2018淮安】若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于 °．
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案．
解：∵等腰三角形的顶角等于50°，
又∵等腰三角形的底角相等，
∴底角等于（180°﹣50°）×=65°．
故答案为：65．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
■考点3.三角形中的重要线段 四线性质
◇典例：
【2017黔南州】如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠FPE=100°，则∠PFE的度数是 ．
【考点】三角形中位线定理．
【分析】根据三角形中位线定理得到EP=AD，FP=BC，得到PE=PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
解：∵P是对角线BD的中点，E是AB的中点，
∴EP=AD，
同理，FP=BC，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∵∠FPE=100°，
∴∠PFE=40°，
故答案为：40°．
◆变式训练
1.【2017巴中】如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC= ．
【考点】三角形的面积．
【分析】利用三角中位线的性质得出DEAB，进而求出即可．
解：∵在△ABC中，AD，BE是两条中线，
∴DEAB，
∴=，
故答案为：1：4．
2.（2017?泸州）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足
为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为__________cm．
【考点】三角形的重心；勾股定理．
【分析】连接AO并延长，交BC于H，根据勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质求出OH，根据重心的性质解答．21世纪教育网版权所有
解：连接AO并延长，交BC于H，
由勾股定理得，DE==2， ∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线， ∴BC=2DE=4，O是△ABC的重心， ∴AH是中线，又BD⊥CE， ∴OH=BC=2， ∵O是△ABC的重心， ∴AO=2OH=4， 故答案为：4．
【2018长沙】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
【考点】三角形三边关系
【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中的三边长，即可得出结论．
解：A、∵5+4=9，9=9，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
B、8+8=16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故此选项正确；
C、5+5=10，10=10，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
D、6+7=13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交与第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，代入数据来验证即可．
（2017?吉林）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，
连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（ ）
A．70° B．44° C．34° D．24°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】由AB=BD，∠B=40°得到∠ADB=70°，再根据三角形的外角的性质即可得到结论．
解：∵AB=BD，∠B=40°， ∴∠ADB=70°， ∵∠C=36°， ∴∠DAC=∠ADB-∠C=34°． 故选C．
【2018荆门】已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．80° B．70° C．85° D．75°
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质
【分析】想办法求出∠5即可解决问题；
解：
∵∠1=∠3=55°，∠B=45°，
∴∠4=∠3+∠B=100°，
∵a∥b，
∴∠5=∠4=100°，
∴∠2=180°﹣∠5=80°，
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【2018聊城】如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF的度数是（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【分析】直接延长FE交DC于点N，利用平行线的性质得出∠BCD=∠DNF=95°，再利用三角形外角的性质得出答案．
解：延长FE交DC于点N，
∵直线AB∥EF，
∴∠BCD=∠DNF=95°，
∵∠CDE=25°，
∴∠DEF=95°+25°=120°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题关键．
【2018贵阳】如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（ ）
A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．
解：根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
【2018泰州】已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 ．
【考点】三角形三边关系
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．
解：根据三角形的三边关系，得
第三边＞4，而＜6．
又第三条边长为整数，
则第三边是5．
【点评】此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．
（2017?巴中）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足 +（b-2）2=0，
第三边c为奇数，则c= ___________
【考点】三角形三边关系；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
先根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而求出c的值．
解：∵a、b满足+（b-2）2=0， ∴a=9，b=2， ∵a、b、c为三角形的三边， ∴7＜c＜11， ∵第三边c为奇数， ∴c=9， 故答案为9． 21·cn·jy·com
（2017?泰州）将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为 ________
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
解：由三角形的外角的性质可知，∠α=60°-45°=15°， 故答案为：15°．
【2018重庆】如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°﹣35°=20°．
解：∵∠EFG=90°，∠E=35°，
∴∠FGH=55°，
∵GE平分∠FGD，AB∥CD，
∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，
∵∠FHG是△EFH的外角，
∴∠EFB=55°﹣35°=20°．
【点评】考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
【2018宜昌】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【考点】平行线的判定；三角形的外角性质，三角形内角和定理，邻补角定义，角平分线定义．
【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
【2018河北】下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形的稳定性，四边形的不稳定性
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
解：三角形具有稳定性．
故选：A．
【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．
【2018常德】已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．8 D．11
【考点】三角形三边关系
【分析】根据三角形的三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．
解：设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，
4＜x＜10，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
【2018恩施】如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质
【分析】如图求出∠5即可解决问题．
解：
∵a∥b，
∴∠1=∠4=35°，
∵∠2=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠5=55°，
∴∠3=180°﹣∠5=125°，
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【2017?湖州】如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC
的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】三角形的重心；等腰直角三角形．
【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是△ABC的中线，PD=
CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可．
解：连接CP并延长，交AB于D，
∵P是Rt△ABC的重心， ∴CD是△ABC的中线，PD=CD， ∵∠C=90°， ∴CD=AB=3， ∵AC=BC，CD是△ABC的中线， ∴CD⊥AB， ∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1， 故选：A．21*cnjy*com
【2017永州】小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）
A．AB，AC边上的中线的交点
B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据题意可知所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，从而可以解答本题．
解：由题意可得，
所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，
∴这块玻璃镜的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，
故选B．
【2018杭州】如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，则（ ）
A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30° B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）=40°
C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）=70° D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）=180°
【考点】矩形的性质，三角形内角和定理
【分析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理，可得∠ABC=θ2+80°﹣θ1，∠BCD=θ3+130°﹣θ4，再根据矩形ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°，即可得到（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°．
解：∵AD∥BC，∠APB=80°，
∴∠CBP=∠APB﹣∠DAP=80°﹣θ1，
∴∠ABC=θ2+80°﹣θ1，
又∵△CDP中，∠DCP=180°﹣∠CPD﹣∠CDP=130°﹣θ4，
∴∠BCD=θ3+130°﹣θ4，
又∵矩形ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°，
∴θ2+80°﹣θ1+θ3+130°﹣θ4=180°，
即（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的四个角都是直角．
【2018莱芜】如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（ ）
A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】过点E作EG∥AB，根据平行线的性质可得“∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°”，根据角的计算以及角平分线的定义可得“∠FBE+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）”，再依据四边形内角和为360°结合角的计算即可得出结论．
解：如图，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GE，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；
又∵∠BED=61°，
∴∠ABE+∠CDE=299°．
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴∠FBE+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）=149.5°，
∵四边形的BFDE的内角和为360°，
∴∠BFD=360°﹣149.5°﹣61°=149.5°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和为360°，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．
【2018绥化】三角形三边长分别为3，2a﹣1，4．则a的取值范围是 ．
【考点】三角形三边关系
【分析】根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式即可求出a的取值范围．
解：∵三角形的三边长分别为3，2a﹣1，4，
∴4﹣3＜2a﹣1＜4+3，
即1＜a＜4．
故答案为：1＜a＜4．
【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系的性质．
【2018岳阳】如图，直线a∥b，∠l=60°，∠2=40°，则∠3= ．
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】根据平行线的性质求出∠4，根据三角形内角和定理计算即可．
解：∵a∥b，
∴∠4=∠l=60°，
∴∠3=180°﹣∠4﹣∠2=80°，
故答案为：80°．
【点评】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
【2018桂林】如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________
【考点】等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【分析】利用三角形内角和定理和等腰三角形的判定与性质求解
解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．
【2018曲靖】如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是 ．
【考点】三角形中位线定理
【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=5，AC∥DE，
AC2+BC2=52+122=169，
AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC=BD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，
故答案为：18．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
【2018抚顺】将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5= ．
【考点】三角形内角和定理
【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．
解：如图所示：∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，
∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，
∴∠6+∠7=140°，
∴∠5=180°﹣（∠6+∠7）=40°．
故答案为：40°．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键．
【2018南充】如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C= 度．
【考点】线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EC，得到∠EAC=∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C，
∴∠FAC=∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴70°+2（∠C+19°）+∠C=180°，
解得，∠C=24°，
故答案为：24．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【2018绍兴】数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2 等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式 等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．
（1）请你解答以上的变式题．
（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【分析】（1）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；
（2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．
解：（1）若∠A为顶角，则∠B=（180°﹣∠A）÷2=50°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°﹣2×80°=20°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=80°；
故∠B=50°或20°或80°；
（2）分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B=（）°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=（180﹣2x）°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°．
当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．
【2018北京】下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；
②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；
③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB= ，CB= ，
∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．
【考点】作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，三角形中位线定理
【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；
（2）利用三角形中位线定理证明即可；
（1）解：直线PQ如图所示；
（2）证明：∵AB=AP，CB=CQ，
∴PQ∥l（三角形中位线定理）．
故答案为：AP，CQ，三角形中位线定理；
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
第四章 图形的性质 第21节 三角形的有关概念
■考点1三角形的分类
由 三条线段 相连接所组成的图形是三角形
（1）按角的关系分类:
（2）按边的关系分类:
■考点2.三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
■考点3.角的关系
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余.
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
■考点4.三角形中的重要线段 四线性质
角平分线:(1)角平线上的点到角两边的距离相等
(2)三角形的三条角平分线的相交于一点叫 , 到 相等．
中线:(1) 三条中线交于三角形内部一点，叫其 ：每条中线平分三角形的
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的
高:（1）三条高线所在的直线交于一点，叫其为
（2）锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部21·世纪*教育网
中位线: 三角形 的连线段．平行于 ，且等于
三角形中内、外角与角平分线的规律总结
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；【出处：21教育名师】
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A.
■考点1.三边关系
◇典例
【2017?嘉兴】长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【考点】三角形三边关系．
【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．
解：由三角形三边关系定理得7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9． 因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案． 4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式， 故选：C．
◆变式训练
【2017淮安】若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（ ）
A．14 B．10 C．3 D．2
■考点2.角的关系
◇典例：
1.【2018葫芦岛】如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（ ）
A．15° B．55° C．65° D．75°
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】利用平角的定义可得∠ADE=15°，再根据平行线的性质知∠A=∠ADE=15°，再由内角和定理可得答案．
解：∵∠CDE=165°，
∴∠ADE=15°，
∵DE∥AB，
∴∠A=∠ADE=15°，
∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
2.【2018滨州】在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C= ．
【考点】三角形内角和定理
【分析】直接利用三角形内角和定理进而得出答案．
解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，
∴∠C=180°﹣30°﹣50°=100°．
故答案为：100°
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确把握定义是解题关键．
◆变式训练
1.【聊城】如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF的度数是（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
2.【2018淮安】若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于 °．
■考点3.三角形中的重要线段 四线性质
◇典例：
【2017黔南州】如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠FPE=100°，则∠PFE的度数是 ．
【考点】三角形中位线定理．
【分析】根据三角形中位线定理得到EP=AD，FP=BC，得到PE=PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
解：∵P是对角线BD的中点，E是AB的中点，
∴EP=AD，
同理，FP=BC，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∵∠FPE=100°，
∴∠PFE=40°，
故答案为：40°．
◆变式训练
1.【2017巴中】如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC= ．
2.（2017?泸州）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足
为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为__________cm．
【2018长沙】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
（2017?吉林）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，
连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（ ）
A．70° B．44° C．34° D．24°
【2018荆门】已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．80° B．70° C．85° D．75°
【2018聊城】如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF的度数是（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
【2018贵阳】如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（ ）
A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
【2018泰州】已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 ．
（2017?巴中）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足 +（b-2）2=0，
第三边c为奇数，则c= ___________m
（2017?泰州）将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为 ________
【2018重庆】如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．
【2018宜昌】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【2018河北】下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【2018常德】已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．8 D．11
【2018恩施】如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
【2017?湖州】如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC
的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【2017永州】小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）
A．AB，AC边上的中线的交点
B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
【2018杭州】如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，则（ ）
A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30° B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）=40°
C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）=70° D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）=180°
【2018莱芜】如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（ ）
A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°
【2018绥化】三角形三边长分别为3，2a﹣1，4．则a的取值范围是 ．
【2018岳阳】如图，直线a∥b，∠l=60°，∠2=40°，则∠3= ．
【2018桂林】如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________
【2018曲靖】如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是 ．
【2018抚顺】将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5= ．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键．
【2018南充】如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C= 度．
【2018绍兴】数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2 等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式 等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．
（1）请你解答以上的变式题．
（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
【2018北京】下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；
②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；
③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB= ，CB= ，
∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．
