第四章 图形的性质 第24节 直角三角形
■考点1.直角三角形的性质
(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB；
斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB.
勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即 a2＋b2＝c2 .
■考点2.直角三角形的判定
(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；
(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△
(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.
■考点3.直角三角形的综合应用
（1）直角三角形的面积S=ch=ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.
（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.
（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.
■考点1.直角三角形的性质
◇典例：
1.【2018襄阳】如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
【考点】平行线的性质，直角三角形的性质
【分析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题；
解：
∵∠1=∠3=50°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°﹣∠3=40°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，三角板的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2.【2017河池】已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】设BD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论．
解：如图，设BD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，
∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，
∴BF=2x，
∴CF=12﹣2x，
∴CE=2CF=24﹣4x，
∴AE=12﹣CE=4x﹣12，
∴AD=2AE=8x﹣24，
∵AD+BD=AB，
∴8x﹣24+x=12，
∴x=4，
∴AD=8x﹣24=32﹣24=8．
故选C．
3.【2017襄阳】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，
CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】直角三角形斜边上的中线
解:连接CD，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8.由作法可知BC＝CD＝4，
CE是线段BD的垂直平分线，
∴CD是斜边AB的中线，
∴BD＝AD＝4，
∴BF＝DF＝2，
∴AF＝AD＋DF＝4＋2＝6.
故选A
4.【2017铁岭】如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，分别以点A，点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线； 勾股定理的逆定理．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，再由作法得MN垂直平分AB，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解．
解：∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
由作法得MN垂直平分AB，
∴AO=OB，
∴OC=AB=2.5．
故选D．
◆变式训练
1.【2018德州】如图,将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是（ ）
A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④
2.【2018玉林】如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是 ．
3.【2017青岛】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为 度．
4.【2018吉林】如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为 ．
■考点2.直角三角形的判定
◇典例
1.若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是_______三角形．
【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．
解：设三角分别为2x，3x，5x， 依题意得2x+3x+5x=180°， 解得x=18°． 故三角36°，54°，90°． 故填直角．【来源：21cnj*y.co*m】
2.【2015?毕节】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形
的是（ ）
A．，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4
【考点】勾股定理的逆定理
【分析】勾股定理的逆定理．.知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．21cnjy.com
解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
【点评】 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
◆变式训练
1.【2017长沙】一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是
( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
3.【2017义乌】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
■考点3.直角三角形的综合应用
◇典例：
【2018荆门】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．
（1）求证：△ADE≌△CDB；
（2）若BC=，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．
【考点】坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题
【分析】（1）只要证明△DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明；
（2）如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．
（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，E为AB边的中点，
∴BC=EA，∠ABC=60°．
∵△DEB为等边三角形，
∴DB=DE，∠DEB=∠DBE=60°，
∴∠DEA=120°，∠DBC=120°，
∴∠DEA=∠DBC
∴△ADE≌△CDB．
（2）解：如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．
则点H即为符合条件的点．
由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°．
∴∠EAE'=60°，
∴△EAE'为等边三角形，
∴，
∴∠AE'B=90°，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，，
∴，，
∴，
∴BH+EH的最小值为3．
【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
◆变式训练
【2018滨州】在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【2017陕西】如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．
【2018黄冈】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
【2017?大庆】如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，
∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（?? ）
?30°????B.?15°????C.?45°??????D.?25°
【2017?黄石】如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE= ，
则∠CDE+∠ACD=（?? ）
A.?60°??????B.?75°????C.?90°?????D.?105°???????
【2017株洲】如图，在△ABC中，∠B＝ °．
【2018福建】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD= ．
【2018湘潭】《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为 ．
【2018徐州】如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，若∠C=55°，则∠ABD= °．
【2018内蒙】如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．
【2018贺州】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD=ED=3，则BC的长为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
【2018东营】如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【2018青岛】如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（ ）
A． B． C．3 D．
【2018荆门】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【2018南充】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2，则EF的长度为（ ）
A． B．1 C． D．
【2017?眉山】“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四
寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（?? ）
A.1.25尺???B.57.5尺? C.6.25尺????D.56.5尺
【2018锦州】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为 ．
【2018云南】在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为 ．
【2018重庆】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于 ．
【2018河南】如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为 ．
【2018柳州】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）若AC=2，求BD的长．
【2018宿迁】如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为450 ， 然后他沿着正对树PQ的方向前进100m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是600和300 ， 设PQ垂直于AB，且垂足为C.
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m， ）
【2018大庆】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．
【2018包头】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=AD，连接BD，点E在AB上，且∠BDE=15°，DE=4，DC=2．
（1）求BE的长；
（2）求四边形DEBC的面积．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【2017荆门】已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长
第四章 图形的性质 第24节 直角三角形
■考点1.直角三角形的性质
(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB；
斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB.
勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即 a2＋b2＝c2 .
■考点2.直角三角形的判定
(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；
(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△
(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.
■考点3.直角三角形的综合应用
（1）直角三角形的面积S=ch=ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.
（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.
（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.
■考点1.直角三角形的性质
◇典例：
1.【2018襄阳】如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
【考点】平行线的性质，直角三角形的性质
【分析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题；
解：
∵∠1=∠3=50°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°﹣∠3=40°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，三角板的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2.【2017河池】已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】设BD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论．
解：如图，设BD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，
∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，
∴BF=2x，
∴CF=12﹣2x，
∴CE=2CF=24﹣4x，
∴AE=12﹣CE=4x﹣12，
∴AD=2AE=8x﹣24，
∵AD+BD=AB，
∴8x﹣24+x=12，
∴x=4，
∴AD=8x﹣24=32﹣24=8．
故选C．
3.【2017襄阳】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，
CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】直角三角形斜边上的中线
解:连接CD，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8.由作法可知BC＝CD＝4，
CE是线段BD的垂直平分线，
∴CD是斜边AB的中线，
∴BD＝AD＝4，
∴BF＝DF＝2，
∴AF＝AD＋DF＝4＋2＝6.
故选A
4.【2017铁岭】如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，分别以点A，点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线； 勾股定理的逆定理．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，再由作法得MN垂直平分AB，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解．
解：∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
由作法得MN垂直平分AB，
∴AO=OB，
∴OC=AB=2.5．
故选D．
◆变式训练
1.【2018德州】如图,将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是（ ）
A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④
【考点】余角和补角
【分析】根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．
解：图①，∠α+∠β=180°﹣90°，互余；
图②，根据同角的余角相等，∠α=∠β；
图③，根据等角的补角相等∠α=∠β；
图④，∠α+∠β=180°，互补．
故选A．
【点睛】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
2.【2018玉林】如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是 ．
【考点】含30度角的直角三角形
【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判断；
解：如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．
在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，
∴AE=2AB=8，
在Rt△ABF中，AF=AB=2，
∴AD的取值范围为2＜AD＜8，
故答案为2＜AD＜8．
3.【2017青岛】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为 度．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，根据圆周角定理得到∠DEB=116°，根据直角三角形的性质得到DE=BE=AC，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
解：∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，
∵∠BAD=58°，
∴∠DEB=116°，
∵DE=BE=AC，
∴∠EBD=∠EDB=32°，
故答案为：32．
4.【2018吉林】如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为 ．
【考点】勾股定理，坐标与图形性质
【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．
解：∵点A，B的坐标分别为（4，0），（0，3），
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5，
∴AC=AB=5，
∴OC=5﹣4=1，
∴点C的坐标为（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0），
【点评】本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出OC的长，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
■考点2.直角三角形的判定
◇典例
1.若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是_______三角形．
【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．
解：设三角分别为2x，3x，5x， 依题意得2x+3x+5x=180°， 解得x=18°． 故三角36°，54°，90°． 故填直角．【来源：21cnj*y.co*m】
2.【2015?毕节】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形
的是（ ）
A．，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4
【考点】勾股定理的逆定理
【分析】勾股定理的逆定理．.知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．21cnjy.com
解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
【点评】 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
◆变式训练
1.【2017长沙】一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是
( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．
解：设三角分别为x， 2x，3x，， 依题意得2x+3x+x=180°， 解得x=30°． 故三角30°，60°，90°． 故选B．
2.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可．
解：A、因为32+42＞42，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意； B、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，符合题意； C、因为3+4＞6，且32+42＜62，所以三条线段能组成钝角三角形，不符合题意； D、因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意． 故选：B．
3.【2017义乌】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
【考点】勾股定理的应用．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，
∴AB2=0.72+2.42=6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，
∴BD2+22=6.25，
∴BD2=2.25，
∵BD＞0，
∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．
故选C．
■考点3.直角三角形的综合应用
◇典例：
【2018荆门】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．
（1）求证：△ADE≌△CDB；
（2）若BC=，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．
【考点】坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题
【分析】（1）只要证明△DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明；
（2）如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．
（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，E为AB边的中点，
∴BC=EA，∠ABC=60°．
∵△DEB为等边三角形，
∴DB=DE，∠DEB=∠DBE=60°，
∴∠DEA=120°，∠DBC=120°，
∴∠DEA=∠DBC
∴△ADE≌△CDB．
（2）解：如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．
则点H即为符合条件的点．
由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°．
∴∠EAE'=60°，
∴△EAE'为等边三角形，
∴，
∴∠AE'B=90°，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，，
∴，，
∴，
∴BH+EH的最小值为3．
【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
◆变式训练
【2018黑龙江】如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．
（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：BC﹣DE=DF．
（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段BC、DE与DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质
【分析】（1）如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．构造全等三角形即可解决问题；
（2）如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：DF=EH．可得：DE﹣BC=DF．如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：DF=HE，可得BC+DE=DF．
（1）证明：如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．
∵BC=AB=BD，BE=BH，
∴AH=ED，
∵∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠FED=∠HAE，
∵∠BHE=∠CDB=45°，
∴∠AHE=∠EDF=135°，
∴△AHE≌△EDF，
∴HE=DF，
∴BC﹣DE=BD﹣DE=BE=EH=DF．
∴BC﹣DE=DF．
（2）解：如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：DF=EH．
可得：DE﹣BC=DF．
如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：DF=HE，
可得BC+DE=DF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【2018滨州】在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】勾股定理
【分析】直接根据勾股定理求解即可．
解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为=5．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
【2017陕西】如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．
【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB′=90°，根据勾股定理计算．
解：∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，
∴AB==3，∠CAB=45°，
∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，
∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=3，
∴∠CAB′=90°，
∴B′C==3，
故选：A．
【2018黄冈】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理
【分析】根据直角三角形的性质得出AE=CE=5，进而得出DE=3，利用勾股定理解答即可．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=5，
∴AE=CE=5，
∵AD=2，
∴DE=3，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD=，
故选：C．
【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE=CE=5．
【2017?大庆】如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，
∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（?? ）
?30°????B.?15°????C.?45°??????D.?25°
【考点】直角三角形斜边上的中线，等腰直角三角形
【分析】因为E为DC中点，根据直角三角形的性质可得BE=CE，又因为∠BCD=60°，根据等腰三角形性质可求出∠CBE=60°，进而求得∠DBF=30°，再根据△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，可求得∠ABD=45°，即∠ABF=∠DBF+∠ABD=75°，最后根据三角形内角和即可求出∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°. 解：∵∠DBC=90°，E为DC中点， ∴BE=CE= CD， ∵∠BCD=60°， ∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°， ∵△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD=45°， ∴∠ABF=75°， ∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°， 故答案为：B．
【2017?黄石】如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE= ，
则∠CDE+∠ACD=（?? ）
A.?60°??????B.?75°????C.?90°?????D.?105°??????? 【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理的逆定理
【分析】根据直角三角形的性质得到BC=2CE= ，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据三角函数的定义得到∠A=60°，求得∠ACD=∠B=30°，得到∠DCE=60°，于是得到结论． 解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点， ∴BC=2CE= ， ∵AB=2，AC=1， ∴AC2+BC2=12+（ ）2=4=22=AB2 ， ∴∠ACB=90°， ∵tan∠A= = ， ∴∠A=60°， ∴∠ACD=∠B=30°， ∴∠DCE=60°， ∵DE=CE， ∴∠CDE=60°， ∴∠CDE+∠ACD=90°， 故选C．21教育网
【2017株洲】如图，在△ABC中，∠B＝ °．
【考点】直角三角形的性质
【分析】利用两锐角互余求解
解：由图可知∠C=900 , ∠A=650
∴∠B＝900-650=250
【2018福建】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD= ．
【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=×6=3．
故答案为：3．
【2018湘潭】《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为 ．
【考点】勾股定理的应用
【分析】设AC=x，可知AB=10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．
解：设AC=x，
∵AC+AB=10，
∴AB=10﹣x．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2．
故答案为：x2+32=（10﹣x）2．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
【2018徐州】如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，若∠C=55°，则∠ABD= °．
【考点】直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质
【分析】由直角三角形斜边上的中线的性质得到△BCD为等腰三角形，由等腰三角形的性质和角的互余求得答案．
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，
∴BD是中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠BDC=∠C=55°，
∴∠ABD=90°﹣55°=35°．
故答案是：35．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）．
【2018内蒙】如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．
【考点】全等三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理
【分析】（1）根据SAS即可证明．
（2）解直角三角形求出DF、OE、OF即可解决问题；
（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
∵AF=CD，
∴AF+FC=CD+FC，
即AC=DF，
∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF．
（2）如图，连接AB交AD于O．
在Rt△EFD中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，
∴DF==5，
∵四边形EFBC是菱形，
∴BE⊥CF，'∴EO==，
∴OF=OC==，
∴CF=，
∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【2018贺州】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD=ED=3，则BC的长为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
【考点】直角三角形斜边上的中线，等腰直角三角形的性质
【分析】由题意得到三角形ADE为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，再利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，求出BC即可．
解：∵AD=ED=3，AD⊥BC，
∴△ADE为等腰直角三角形，
根据勾股定理得：AE==3，
∵Rt△ABC中，E为BC的中点，
∴AE=BC，
则BC=2AE=6，
故选：D．
【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线，以及等腰直角三角形，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解本题的关键．
【2018东营】如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面展开﹣最短路径问题，勾股定理
【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=1.5π，
所以AC=，
故选：C．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
【2018青岛】如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（ ）
A． B． C．3 D．
【考点】折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质，勾股定理
【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．
解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，
∴∠B=∠EAF=45°，
∴∠AFB=90°，
∵点E为AB中点，
∴EF=AB，EF=，
∴AB=AC=3，
∵∠BAC=90°，
∴BC==3，
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．
【2018荆门】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【考点】等腰直角三角形；轨迹，直角三角形斜边上的中线性质，三角形中位线性质
【分析】连接OC，OM、CM，如图，利用斜边上的中线性质得到OM=PQ，CM=PQ，则OM=CM，于是可判断点M在OC的垂直平分线上，则点M运动的轨迹为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．
解：连接OC，OM、CM，如图，
∵M为PQ的中点，
∴OM=PQ，CM=PQ，
∴OM=CM，
∴点M在OC的垂直平分线上，
∴点M运动的轨迹为△ABC的中位线，
∴点M所经过的路线长=AB=1．
故选：C．
【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．也考查了等腰直角三角形的性质．
【2018南充】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2，则EF的长度为（ ）
A． B．1 C． D．
【考点】含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理，勾股定理
【分析】根据直角三角形的性质得到CD=BD=AD，得到△CBD为等边三角形，根据三角形的中位线定理计算即可．
解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=BD=AD，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△CBD为等边三角形，
∴CD=BC=2，
∵E，F分别为AC，AD的中点，
∴EF=CD=1，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
【2017?眉山】“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四
寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（?? ）
A.1.25尺???B.57.5尺? C.6.25尺????D.56.5尺
【考点】勾股定理的应用
【分析】根据题意可知△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深． 解：依题意有△ABF∽△ADE， ∴AB：AD=BF：DE， 即5：AD=0.4：5， 解得AD=62.5， BD=AD﹣AB=62.5﹣5=57.5尺． 故选：B．
【2018锦州】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为 ．
【考点】菱形的性质，直角三角形斜边上的中线
【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
解：∵ABCD是菱形
∴BO=DO=4，AO=CO，S菱形ABCD==24
∴AC=6
∵AH⊥BC，AO=CO=3
∴OH=AC=3
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题．
【2018云南】在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为 ．
【考点】勾股定理
【分析】△ABC中，∠ACB分锐角和钝角两种：
①如图1，∠ACB是锐角时，根据勾股定理计算BD和CD的长可得BC的值；
②如图2，∠ACB是钝角时，同理得：CD=4，BD=5，根据BC=BD﹣CD代入可得结论．
解：有两种情况：
①如图1，∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD===5，
CD===4，
∴BC=BD+CD=5+4=9；
②如图2，同理得：CD=4，BD=5，
∴BC=BD﹣CD=5﹣4=1，
综上所述，BC的长为9或1；
故答案为：9或1．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是关键，并注意运用了分类讨论的思想解决问题．
【2018重庆】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于 ．
【考点】翻折变化，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线
【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．
解：由题意可得，
DE=DB=CD=AB，
∴∠DEC=∠DCE=∠DCB，
∵DE∥AC，∠DCE=∠DCB，∠ACB=90°，
∴∠DEC=∠ACE，
∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°，
∴∠ACD=60°，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=CD，
∴AC=DE，
∵AC∥DE，AC=CD，
∴四边形ACDE是菱形，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°，
∴AC=，
∴AE=．
【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【2018河南】如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为 ．
【考点】三角形的中位线定理，勾股定理，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，直角三角形斜边中线
【分析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的长；
②当∠A'FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．
解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB=∠A'EC，
∴∠A'CB=∠A'EC，
∴A'C=A'E=4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC=2A'B=8，
由勾股定理得：AB2=BC2﹣AC2，
∴AB==4；
②当∠A'FE=90°时，如图2，
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
∴∠ABF=90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC=∠CBA'=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；
综上所述，AB的长为4或4；
故答案为：4或4；
【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
【2018柳州】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）若AC=2，求BD的长．
【考点】菱形的性质，勾股定理
【分析】（1）由菱形的四边相等即可求出其周长；
（2）利用勾股定理可求出BO的长，进而解答即可．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=2，
∴菱形ABCD的周长=2×4=8；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=2，AB=2
∴AC⊥BD，AO=1，
∴BO=，
∴BD=2
【点评】本题主要考查菱形的性质，能够利用勾股定理求出BO的长是解题关键．
【2018宿迁】如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为450 ， 然后他沿着正对树PQ的方向前进100m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是600和300 ， 设PQ垂直于AB，且垂足为C.
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m， ）
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形
【分析】(1）根据题意题可得：∠A=45°,∠PBC=60°,∠QBC=30°,AB=100m，在Rt△PBC中，根据三角形内角和定理即可得∠BPQ度数.
（2）设CQ=x，在Rt△QBC中，根据30度所对的直角边等于斜边的一半得BQ=2x，由勾股定理得BC= x；根据角的计算得∠PBQ=∠BPQ=30°,由等角对等边得PQ=BQ=2x，用含x的代数式表示PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+ x，又∠A=45°，得出AC=PC，建立方程解之求出x，再将x值代入PQ代数式求之即可.
（1）解：依题可得：∠A=45°,∠PBC=60°,∠QBC=30°,AB=100m，
在Rt△PBC中，
∵∠PBC=60°,∠PCB=90°,
∴∠BPQ=30°,
（2）解：设CQ=x，
在Rt△QBC中，
∵∠QBC=30°,∠QCB=90°,
∴BQ=2x，BC= x，
又∵∠PBC=60°,∠QBC=30°，
∴∠PBQ=30°,
由（1）知∠BPQ=30°,
∴PQ=BQ=2x，
∴PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+ x，
又∵∠A=45°，
∴AC=PC，
即3x=10+ x，
解得：x= ,
∴PQ=2x= ≈15.8（m）.
答：树PQ的高度约为15.8m.
【2018大庆】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．
【考点】勾股定理，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，
【分析】（1）由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE=BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形；
（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形DCFE的周长=AB+BC，故BC=25﹣AB，然后根据勾股定理即可求得；
（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC．BC=2DE，
又 EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形；
∴DC=EF，
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB=2DC，
∴四边形DCFE的周长=AB+BC，
∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，
∴BC=25﹣AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，
解得，AB=13cm，
【2018包头】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=AD，连接BD，点E在AB上，且∠BDE=15°，DE=4，DC=2．
（1）求BE的长；
（2）求四边形DEBC的面积．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【考点】矩形的性质，，勾股定理
【分析】（1）解直角三角形求出AD、AE即可解决问题；
（2）作DF⊥BC于F．则四边形ABFD是矩形，解直角三角形求出CF，即可解决问题；
解：（1）在四边形ABCD中，∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠BDE=15°，
∴∠ADE=30°，
在Rt△ADE中，AE=DE×sin30=2，AD=DE?cos30°=6，
∴AB=AD=6，
∴BE=6﹣2．
（2）作DF⊥BC于F．则四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=6，DF=AB=6，
在Rt△DFC中，FC==4，
∴BC=6+4，
∴S四边形DEBC=S△DEB+S△BCD=×（6﹣2）×6+（6+4）×6=36+6．
【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【2017荆门】已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长
【考点】全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线 【分析】（1）先根据点E是CD的中点得出DE=CE，再由AB∥CF可知∠BAF=∠AFC，根据AAS定理可得出△ADE≌△FCE；（2）根据直角三角形的性质可得出AD=CD= AB，再由AB∥CF可知∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，由三角形外角的性质可得出∠DAC=∠ACD= ∠BDC=30°，进而可得出结论．
（1）证明：∵点E是CD的中点， ∴DE=CE． ∵AB∥CF， ∴∠BAF=∠AFC． 在△ADE与△FCE中， ∵ ， ∴△ADE≌△FCE（AAS） （2）解：由（1）得，CD=2DE， ∵DE=2， ∴CD=4． ∵点D为AB的中点，∠ACB=90°， ∴AB=2CD=8，AD=CD= AB． ∵AB∥CF， ∴∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°， ∴∠DAC=∠ACD= ∠BDC= ×60°=30°， ∴BC= AB= ×8=4
