第四章 图形的性质 第25节 解直角三角形
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■考点1. 锐角三角函数的定义
1.锐角三角函数 正弦: sinA＝＝
余弦: cosA＝＝
正切: tanA＝＝.
2.特殊角的三角函数值
度数
三角函数
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
■考点2：解直角三角形
1.解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2.解直角三角形的常用关系 (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.
■考点3：解直角三角形的应用
1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）
/ / /
2.解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
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■考点1. 锐角三角函数的定义
◇典例：
1.【2017金华】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据正切函数的定义，可得答案．
解：由勾股定理，得
AC=/=4，
由正切函数的定义，得
tanA=/=/，
故选：A．
【2017天津】cos60°的值等于（ ）
A．/ B．1 C．/ D．/
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
解：cos60°=/，
故选：D．
◆变式训练
1.【2017宜昌】△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列选项中，错误的是（ ）
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A．sinα=cosα B．tanC=2 C．sinβ=cosβ D．tanα=1
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2/，AD=2，CD=1，AC=/，利用锐角三角函数一一计算即可判断．
解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2/，AD=2，CD=1，AC=/，
∴sinα=cosα=/，故①正确，
tanC=/=2，故②正确，
tanα=1，故D正确，
③∵sinβ=/=/，cosβ=/，
∴sinβ≠cosβ，故C错误．
故选C．
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2.【2017哈尔滨】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosB的值为( )
A. B. C. D.
■考点2：解直角三角形
◇典例
1.【2017广州】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA=/，则AB= ．
/
【考点】解直角三角形．
【分析】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解．
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=/，BC=15，
∴/=/，
解得AC=8，
根据勾股定理得，AB=/=/=17．
故答案为：17．
2.【2017湘潭】某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠ABE=90°，∠BAE=30°．（/≈1.4，/≈1.7）
（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；
（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．
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【考点】解直角三角形．
【分析】（1）在Rt△ABE中，利用三角函数即可直接求得BE的长；
（2）在Rt△CDE中，利用三角函数求得DE的长，然后利用DB=DE+EB求解．
解：（1）∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴BE=/AE=/×80=40（米）；
（2）∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴∠AEB=90°﹣30°=60°，
∴∠CED=∠AEB=60°，
∴在Rt△CDE中，DE=/≈/=40（米），
则BD=DE+BE=40+40=80（米）．
◆变式训练
1.【2017陇东】△ABC中，AB=12，AC=/，∠B=30°，则△ABC的面积是 ．
2.【2017黔西南】把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．
（1）sin2A1+cos2A1= ，sin2A2+cos2A2= ，sin2A3+cos2A3= ；
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A= ；
（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：
（4）已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且sinA=/，求cosA．
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■考点3：解直角三角形的应用
◇典例：
【2018邵阳】某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0．lm．温馨提示：sin15°≈0.26，cosl5°≈0.97，tan15°≈0.27）
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【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】先在Rt△ABD中，用三角函数求出AD，最后在Rt△ACD中用三角函数即可得出结论．
解：在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=10m，
∴AD=ABsin∠ABD=10×sin30°=5，
在Rt△ACD中，∠ACD=15°，sin∠ACD=/，
∴AC=/=/≈/≈19.2m，
即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的应用，求出AD是解本题的关键．
2.【2018昆明】小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=6.5m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，/≈1.73）
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【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】如图作AE⊥BD于E．分别求出BE、DE，可得BD的长，再根据CD=BD﹣BC计算即可；
解：如图作AE⊥BD于E．
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在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，
∴BE=/AB=5（m），AE=5/（m），
在Rt△ADE中，DE=AE?tan42°=7.79（m），
∴BD=DE+BE=12.79（m），
∴CD=BD﹣BC=12.79﹣6.5≈6.3（m），
答：标语牌CD的长为6.3m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
3.【2018襄阳】为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）．
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【考点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】作PC⊥AB于C，构造出Rt△PAC与Rt△PBC，求出AB的长度，利用特殊角的三角函数值求解．
解：过P点作PC⊥AB于C，由题意可知：∠PAC=60°，∠PBC=30°，/
在Rt△PAC中，/，∴AC=/PC，
在Rt△PBC中，/，∴BC=/PC，
∵AB=AC+BC=/，
∴PC=100/，
答：建筑物P到赛道AB的距离为100/米．
【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．
◆变式训练
1.【2018抚顺】如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：/=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
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2.【2018吉林】数学活动小组的同学为测量旗杆高度，先制定了如下测量方案，使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含a，b，α的代数式表示旗杆AB的高度．
数学活动方案
活动时间：2018年4月2日 活动地点：学校操场 填表人：林平
课题
测量学校旗杆的高度
活动目的
运用所学数学知识及方法解决实际问题
方案示意图
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测量步骤
（1）用 测得∠ADE=α；
（2）用 测得BC=a米，CD=b米．
计算过程
3.【2018眉山】知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离．（参考数据：sin53°≈/，cos53°≈/，tan53°≈/）
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1.（2017.湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值是（ ）
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A．/ B．/ C．/ D．/
2.【2018大庆】2cos60°=（ ）
A．1 B．/ C．/ D．/
3.【2018衢州】如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（ ）
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A．/ B．/ C．/ D．/
4.【2018宜昌】如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（ ）
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A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米
5.【2018淄博】一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．/B．/C．/D．/
6.【2018山东】在△ABC中，∠C=90°，若tanA=/，则sinB= ．
7.【2018青岛】计算：2﹣1×/+2cos30°= ．
8.【2018湖州】如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC=/，AC=6，则BD的长是 ．
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9.【2018衢州】“五?一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道l步行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向，如图所示．根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头D处（精确到1米）（备用数据：/≈1.414，/≈1.732）
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10.【2018娄底】如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=/，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．
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/一．选择题
1.【2018贵阳】如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
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A．/ B．1 C．/ D．/
2.【2018德州】如图。在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.的顶点都在格点上,则的正弦值是__________．
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3.【2017.金华】一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
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A．/米2 B．/米2 C．（4+/）米2 D．（4+4tanθ）米2
4.【2018益阳】如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）
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A．300sinα米 B．300cosα米 C．300tanα米 D．/米
5.【2018苏州】如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（ ）
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A．40海里 B．60海里 C．20/海里 D．40/海里
6.【2018重庆】如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（ ）
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A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米
7.【2018北京】如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）
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8.【2018齐齐哈尔】四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=/，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= ．
9.【2018铜仁】在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC=2/，则AB= ．
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10.【2018无锡】已知△ABC中，AB=10，AC=2/，∠B=30°，则△ABC的面积等于 ．
11.【2017福建】小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
sin245°+sin245°=（/）2+（/）2=1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．
（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
12.【2018烟台】汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）
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13.【泰州】日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．
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如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
14.【2018张家界】2017年9月8日﹣10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC．
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【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
15.【2018舟山】如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=20°，当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（图2）．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．
（1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？（结果精确到0.1m）
（2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，/≈1.41，/≈1.73）
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第四章 图形的性质 第25节 解直角三角形
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■考点1. 锐角三角函数的定义
1.锐角三角函数 正弦: sinA＝＝
余弦: cosA＝＝
正切: tanA＝＝.
2.特殊角的三角函数值
度数
三角函数
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
■考点2：解直角三角形
1.解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2.解直角三角形的常用关系 (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.
■考点3：解直角三角形的应用
1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）
/ / /
2.解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
/
■考点1. 锐角三角函数的定义
◇典例：
1.【2017金华】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据正切函数的定义，可得答案．
解：由勾股定理，得
AC=/=4，
由正切函数的定义，得
tanA=/=/，
故选：A．
【2017天津】cos60°的值等于（ ）
A．/ B．1 C．/ D．/
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
解：cos60°=/，
故选：D．
◆变式训练
1.【2017宜昌】△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列选项中，错误的是（ ）
/
A．sinα=cosα B．tanC=2 C．sinβ=cosβ D．tanα=1
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2/，AD=2，CD=1，AC=/，利用锐角三角函数一一计算即可判断．
解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2/，AD=2，CD=1，AC=/，
∴sinα=cosα=/，故①正确，
tanC=/=2，故②正确，
tanα=1，故D正确，
③∵sinβ=/=/，cosβ=/，
∴sinβ≠cosβ，故C错误．
故选C．
/
2.【2017哈尔滨】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosB的值为( )
A. B. C. D.
■考点2：解直角三角形
◇典例
1.【2017广州】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA=/，则AB= ．
/
【考点】解直角三角形．
【分析】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解．
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=/，BC=15，
∴/=/，
解得AC=8，
根据勾股定理得，AB=/=/=17．
故答案为：17．
2.【2017湘潭】某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠ABE=90°，∠BAE=30°．（/≈1.4，/≈1.7）
（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；
（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．
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【考点】解直角三角形．
【分析】（1）在Rt△ABE中，利用三角函数即可直接求得BE的长；
（2）在Rt△CDE中，利用三角函数求得DE的长，然后利用DB=DE+EB求解．
解：（1）∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴BE=/AE=/×80=40（米）；
（2）∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴∠AEB=90°﹣30°=60°，
∴∠CED=∠AEB=60°，
∴在Rt△CDE中，DE=/≈/=40（米），
则BD=DE+BE=40+40=80（米）．
◆变式训练
1.【2017陇东】△ABC中，AB=12，AC=/，∠B=30°，则△ABC的面积是 ．
【考点】解直角三角形．
【分析】过A作AD⊥BC于D（或延长线于D），根据含30度角的直角三角形的性质得到AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况：如图1，当AD在△ABC内部时、如图2，当AD在△ABC外部时，进行讨论即可求解．
解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，
/
在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°，
∴AD=/AB=6，BD=ABcosB=12×/=6/，
在Rt△ACD中，CD=/=/=/，
∴BC=BD+CD=6/+/=7/，
则S△ABC=/×BC×AD=/×7/×6=21/；
②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，
/
由①知，AD=6、BD=6/、CD=/，
则BC=BD﹣CD=5/，
∴S△ABC=/×BC×AD=/×5/×6=15/，
故答案为：21/或15/．
2.【2017黔西南】把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．
（1）sin2A1+cos2A1= ，sin2A2+cos2A2= ，sin2A3+cos2A3= ；
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A= ；
（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：
（4）已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且sinA=/，求cosA．
/
【考点】解直角三角形．
【分析】（1）根据正弦函数和余弦函数的定义分别计算可得；
（2）由（1）中的结论可猜想sin2A+cos2A=1；
（3）由sinA=/、cosA=/且a2+b2=c2知sin2A+cos2A=（/）2+（/）2=/=/=1；
（4）根据直角三角形中sin2A+cos2A=1知（/）2+cosA2=1，据此可得答案．
解：（1）sin2A1+cos2A1=（/）2+（/）2=/+/=1，
sin2A2+cos2A2=（/）2+（/）2=/+/=1，
sin2A3+cos2A3=（/）2+（/）2=/+/=1，
故答案为：1、1、1；
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A=1，
故答案为：1；
（3）在图2中，∵sinA=/，cosA=/，且a2+b2=c2，
则sin2A+cos2A=（/）2+（/）2=/+/=/=/=1，
即sin2A+cos2A=1；
（4）在△ABC中，∠A+∠B=90°，
∴∠C=90°，
∵sin2A+cos2A=1，
∴（/）2+cosA2=1，
解得：cosA=/或cosA=﹣/（舍），
∴cosA=/．
■考点3：解直角三角形的应用
◇典例：
【2018邵阳】某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0．lm．温馨提示：sin15°≈0.26，cosl5°≈0.97，tan15°≈0.27）
/
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】先在Rt△ABD中，用三角函数求出AD，最后在Rt△ACD中用三角函数即可得出结论．
解：在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=10m，
∴AD=ABsin∠ABD=10×sin30°=5，
在Rt△ACD中，∠ACD=15°，sin∠ACD=/，
∴AC=/=/≈/≈19.2m，
即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的应用，求出AD是解本题的关键．
2.【2018昆明】小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=6.5m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，/≈1.73）
/
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】如图作AE⊥BD于E．分别求出BE、DE，可得BD的长，再根据CD=BD﹣BC计算即可；
解：如图作AE⊥BD于E．
/
在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，
∴BE=/AB=5（m），AE=5/（m），
在Rt△ADE中，DE=AE?tan42°=7.79（m），
∴BD=DE+BE=12.79（m），
∴CD=BD﹣BC=12.79﹣6.5≈6.3（m），
答：标语牌CD的长为6.3m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
3.【2018襄阳】为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）．
/
【考点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】作PC⊥AB于C，构造出Rt△PAC与Rt△PBC，求出AB的长度，利用特殊角的三角函数值求解．
解：过P点作PC⊥AB于C，由题意可知：∠PAC=60°，∠PBC=30°，/
在Rt△PAC中，/，∴AC=/PC，
在Rt△PBC中，/，∴BC=/PC，
∵AB=AC+BC=/，
∴PC=100/，
答：建筑物P到赛道AB的距离为100/米．
【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．
◆变式训练
1.【2018抚顺】如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：/=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
/
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】（1）延长DC交AN于H．只要证明BC=CD即可；
（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在 Rt△ADH中求出AH即可解决问题；
解：（1）延长DC交AN于H．
/
∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，
∴∠BDH=30°，
∵∠CBH=30°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，
∴BC=CD=10（米）．
（2）在Rt△BCH中，CH=/BC=5，BH=5/≈8.65，
∴DH=15，
在Rt△ADH中，AH=/=/=20，
∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65=11.4（米）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
2.【2018吉林】数学活动小组的同学为测量旗杆高度，先制定了如下测量方案，使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含a，b，α的代数式表示旗杆AB的高度．
数学活动方案
活动时间：2018年4月2日 活动地点：学校操场 填表人：林平
课题
测量学校旗杆的高度
活动目的
运用所学数学知识及方法解决实际问题
方案示意图
/
测量步骤
（1）用 测得∠ADE=α；
（2）用 测得BC=a米，CD=b米．
计算过程
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】在Rt△ADE中，求出AE，再利用AB=AE+BE计算即可；
解：（1）用 测角仪测得∠ADE=α；
（2）用 皮尺测得BC=a米，CD=b米．
（3）计算过程：∵四边形BCDE是矩形，
∴DE=BC=a，BE=CD=b，
在Rt△ADE中，AE=ED?tanα=a?tanα，
∴AB=AE+EB=a?tanα+b．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
3.【2018眉山】知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离．（参考数据：sin53°≈/，cos53°≈/，tan53°≈/）
/
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】作BD⊥AC，设AD=x，在Rt△ABD中求得BD=/x，在Rt△BCD中求得CD=/x，由AC=AD+CD建立关于x的方程，解之求得x的值，最后由BC=/可得答案．
解：如图，作BD⊥AC于点D，则∠BAD=60°、∠DBC=53°，
/
设AD=x，
在Rt△ABD中，BD=ADtan∠BAD=/x，
在Rt△BCD中，CD=BDtan∠DBC=/x×/=/x，
由AC=AD+CD可得x+/x=13，
解得：x=/﹣3，
则BC=/=/=/x=/×（4/﹣3）=20﹣5/，
即BC两地的距离为（20﹣5/）千米．
【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
/
1.（2017.湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值是（ ）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
【考点】 锐角三角函数的定义．
【分析】根据余弦的定义解答即可．
解：在Rt△ABC中，BC=3，AB=5，
∴cosB=/=/，
故选：A．
2.【2018大庆】2cos60°=（ ）
A．1 B．/ C．/ D．/
【考点】特殊角的三角函数值
【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案．
解：2cos60°=2×/=1．
故选：A．
3.【2018衢州】如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（ ）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
【考点】圆锥的计算；解直角三角形．
【分析】先根据扇形的面积公式S=/L?R求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．
解：设圆锥的母线长为R，由题意得
15π=π×3×R，
解得R=5．
∴圆锥的高为4，
∴sin∠ABC=/=/，
故选：C．
【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比．
4.【2018宜昌】如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（ ）
/
A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米
【考点】解直角三角形的应用
【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．
解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．
故选：C．
【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
5.【2018淄博】一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．/B．/C．/D．/
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；计算器—三角函数．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．
解：sinA=/=/=0.15，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
/
故选：A．
/
【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
6.【2018山东】在△ABC中，∠C=90°，若tanA=/，则sinB= ．
【考点】锐角三角函数
【分析】直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
解：如图所示：
∵∠C=90°，tanA=/，
∴设BC=x，则AC=2x，故AB=/x，
则sinB=/=/=/．
故答案为：/．
/
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键．
7.【2018青岛】计算：2﹣1×/+2cos30°= ．
【考点】负整数指数幂，特殊角的三角函数值
【分析】根据特殊角的三角函数值和有理数的乘法和加法可以解答本题．
解：2﹣1×/+2cos30°
=/
=/
=2/，
故答案为：2/．
【点评】本题考查实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
8.【2018湖州】如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC=/，AC=6，则BD的长是 ．
/
【考点】菱形的性质；解直角三角形
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=/AC=3，BD=2OB．再解Rt△OAB，根据tan∠BAC=/=/，求出OB=1，那么BD=2．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，OA=/AC=3，BD=2OB．
在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，
∴tan∠BAC=/=/，
∴OB=1，
∴BD=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
9.【2018衢州】“五?一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道l步行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向，如图所示．根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头D处（精确到1米）（备用数据：/≈1.414，/≈1.732）
/
【考点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】根据题意表示出AD，DC的长，进而得出等式求出答案．
解：如图所示：可得：∠CAD=45°，∠CBD=60°，AB=200m，
则设BD=x，故DC=/x，
∵AD=DC，
∴200+x=/x，
解得：x=100（/+1）≈273，
答：小明还需沿绿道继续直走273米才能到达桥头D处．
/
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AD=DC是解题关键．
10.【2018娄底】如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=/，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．
/
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】作EH⊥AC于H，设AC=24x，根据正弦的定义求出AD，根据勾股定理求出CD，根据题意列出方程求出x，结合图形计算即可．
解：作EH⊥AC于H，
则四边形EDCH为矩形，
∴EH=CD，
设AC=24x，
在Rt△ADC中，sinα=/，
∴AD=25x，
由勾股定理得，CD=/=7x，
∴EH=7x，
在Rt△AEH中，∠AEH=45°，
∴AH=EH=7x，
由题意得，24x=7x+340，
解得，x=20，
则AC=24x=480，
∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28，
答：发射塔AB的高度为28m．
/
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
/一．选择题
1.【2018贵阳】如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
/
A．/ B．1 C．/ D．/
【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
解：连接BC，
由网格可得AB=BC=/，AC=/，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故选：B．
/
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
2.【2018德州】如图。在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.的顶点都在格点上,则的正弦值是__________．
/
【考点】勾股定理，锐角三角函数
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
解：∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
则sin∠BAC==．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理以及锐角三角函数，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
3.（2017.金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
/
A．/米2 B．/米2 C．（4+/）米2 D．（4+4tanθ）米2
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．
解：在Rt△ABC中，BC=AC?tanθ=4tanθ（米），
∴AC+BC=4+4tanθ（米），
∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+4tanθ（米2）；
故选：D．
4.【2018益阳】如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）
/
A．300sinα米 B．300cosα米 C．300tanα米 D．/米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．
解：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，
BO=AB?sinα=300sinα米．
故选：A．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB，BO的关系是解题关键．
5.【2018苏州】如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（ ）
/
A．40海里 B．60海里 C．20/海里 D．40/海里
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】首先证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题；
解：在Rt△PAB中，∵∠APB=30°，
∴PB=2AB，
由题意BC=2AB，
∴PB=BC，
∴∠C=∠CPB，
∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，
∴∠C=30°，
∴PC=2PA，
∵PA=AB?tan60°，
∴PC=2×20×/=40/（海里），
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是证明PB=BC，推出∠C=30°．
6.【2018重庆】如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（ ）
/
A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=/，构建方程即可解决问题；
解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．
/
在Rt△CDN中，∵/=/=/，设CN=4k，DN=3k，
∴CD=10，
∴（3k）2+（4k）2=100，
∴k=2，
∴CN=8，DN=6，
∵四边形BMNC是矩形，
∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，
在Rt△AEM中，tan24°=/，
∴0.45=/，
∴AB=21.7（米），
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
7.【2018北京】如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）
/
【考点】锐角三角函数的增减性
【分析】作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN=/，再分别求∠BAC、∠DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．
解：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，
S△ANH=2×2﹣/﹣/×1×1=/AH?NP，
/=/PN，
PN=/，
Rt△ANP中，sin∠NAP=/=/=/=0.6，
Rt△ABC中，sin∠BAC=/=/=/＞0.6，
∵正弦值随着角度的增大而增大，
∴∠BAC＞∠DAE，
故答案为：＞．
/
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．
8.【2018齐齐哈尔】四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=/，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= ．
【考点】勾股定理、锐角三角函数的定义
【分析】作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，根据正切的定义分别求出AH、BH，根据勾股定理求出HD，得到BD，根据勾股定理计算即可．
解：作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，
∵tan∠ABD=/，
∴/=/，
设AH=3x，则BH=4x，
由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，
解得，x=4，
则AH=12，BH=16，
在Rt△AHD中，HD=/=5，
∴BD=BH+HD=21，
∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠CBH，
∴/=/，又BC=10，
∴BG=6，CG=8，
∴DG=BD﹣BG=15，
∴CD=/=17，
故答案为：17．
/
【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握解直角三角形的一般步骤、理解锐角三角函数的定义是解题的关键．
9.【2018铜仁】在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC=2/，则AB= ．
/
【考点】线段垂直平分线的性质；特殊角的三角函数值
【分析】由CE所在直线垂直平分线段AD可得出CE平分∠ACD，进而可得出∠ACE=∠DCE，由CD平分∠BCE利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB，结合∠ACB=90°可求出∠ACE、∠A的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出AB的长度．
解：∵CE所在直线垂直平分线段AD，
∴CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE．
∵CD平分∠BCE，
∴∠DCE=∠DCB．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=/∠ACB=30°，
∴∠A=60°，
∴AB=/=/=4．
故答案为：4．
/
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及特殊角的三角函数值，通过角的计算找出∠A=60°是解题的关键．
10.【2018无锡】已知△ABC中，AB=10，AC=2/，∠B=30°，则△ABC的面积等于 ．
【考点】勾股定理；解直角三角形
【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．
解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，
①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，
/
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，
∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5/，
在Rt△ACD中，∵AC=2/，
∴CD=/=/=/，
则BC=BD+CD=6/，
∴S△ABC=/?BC?AD=/×6/×5=15/；
②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，
/
由①知，BD=5/，CD=/，
则BC=BD﹣CD=4/，
∴S△ABC=/?BC?AD=/×4/×5=10/．
综上，△ABC的面积是15/或10/，
故答案为15/或10/．
【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理．
11.【2017福建】小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
sin245°+sin245°=（/）2+（/）2=1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．
（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
【考点】互余两角三角函数的关系；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）将α=30°代入，根据三角函数值计算可得；
（2）设∠A=α，则∠B=90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
解1：（1）当α=30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
=sin230°+sin260°
=（/）2+（/）2
=/+/
=1；
（2）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C=90°，
/
设∠A=α，则∠B=90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
=（/）2+（/）2
=/
=/
=1．
12.【2018烟台】汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）
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【考点】解直角三角形的应用
【分析】先求得AC=PCtan∠APC=87、BC=PCtan∠BPC=21，据此得出AB=AC﹣BC=87﹣21=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得．
解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87，
在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，
则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，
∴该汽车的实际速度为/=11m/s，
又∵40km/h≈11.1m/s，
∴该车没有超速．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．
13.【泰州】日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．
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如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】（1）在Rt△EFH中，根据坡度的定义得出tan∠EFH=i=1：0.75=/=/，设EH=4x，则FH=3x，由勾股定理求出EF=/=5x，那么5x=15，求出x=3，即可得到山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）根据该楼的日照间距系数不低于1.25，列出不等式/≥1.25，解不等式即可．
解：（1）在Rt△EFH中，∵∠H=90°，
∴tan∠EFH=i=1：0.75=/=/，
设EH=4x，则FH=3x，
∴EF=/=5x，
∵EF=15，
∴5x=15，x=3，
∴FH=3x=9．
即山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）∵L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13，
H=AB+EH=22.5+12=34.5，H1=0.9，
∴日照间距系数=L：（H﹣H1）=/=/，
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴/≥1.25，
∴CF≥29．
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．
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【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
14.【2018张家界】2017年9月8日﹣10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC．
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【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据题意得到∠ADE=30°，∠CDF=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AE=/AD=700，DE=/AE=700/，则BE=300，所以DF=300，BF=700/，再在Rt△CDF中计算出CF，然后计算BF和CF的和即可．
解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，
在Rt△ADE中，AE=/AD=/×1400=700，
DE=/AE=700/，
∴BE=AB﹣AE=1000﹣700=300，
∴DF=300，BF=700/，
在Rt△CDF中，CF=/DF=/×300=100/，
∴BC=700/+100/=800/．
答：选手飞行的水平距离BC为800/m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
15.【2018舟山】如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=20°，当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（图2）．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．
（1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？（结果精确到0.1m）
（2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，/≈1.41，/≈1.73）
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【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】（1）只要证明△CFP1是等腰直角三角形，即可解决问题；
（2）解直角三角形求出CP2的长即可解决问题；
解：（1）如图2中，当P位于初始位置时，CP0=2m，
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如图3中，上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，上调的距离为P0P1．
∵∠BEP1=90°，∠CAB=90°，∠ABE=65°，
∴∠AP1E=115°，
∴∠CP1E=65°，
∵∠DP1E=20°，
∴∠CP1F=45°，
∵CF=P1F=1m，
∴∠C=∠CP1F=45°，
∴△CP1F是等腰直角三角形，
∴P1C=/m，
∴P0P1=CP0﹣P1C=2﹣/≈0.6m，
即为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调0.6m．
（2）如图4中，中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P调到P2处．
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∵P2E∥AB，
∴∠CP2E=∠CAB=90°，
∵∠DP2E=20°，
∴∠CP2F=70°，作FG⊥AC于G，则CP2=2CG=1×cos70°≈0.68m，
∴P1P2=CP1﹣CP2=/﹣0.68≈0.7m，
即点P在（1）的基础上还需上调0.7m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
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