第四章 图形的性质 第28节 圆的有关概念与性质■考点 1．圆的有关概念
(1)圆：平面上到定点的距离等于 的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为 ，定长为 ．21教育网
(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做 ，简称 ，大于半圆的弧称为 ，小于半圆的弧称为 ．www.21-cn-jy.com
(3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做 ，经过圆心的弦叫做 ．
(4)相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧．
(5)圆心角：顶点在 的角叫做圆心角．
(6)圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是 ．
(7)确定圆的条件：过已知一点可作 个圆，过已知两点可作 个圆，过不在同一条直线上的三点可作 圆．www-2-1-cnjy-com
(8)圆的对称性：圆是 _____对称图形，其对称轴是 ；圆是 对称图形，对称中心为 ，并且圆具有旋转不变性．2-1-c-n-j-y
■考点2.垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径 ，并且 ．
②平分弦（不是直径）的直径 弦，并且平分弦所对的两条弧，
③弦的垂直平分线经过 ，并且 ．
④平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等．
■考点3. 圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
■考点4.圆周角定理及推论
①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于 ．
推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 ．21·世纪*教育网
推论2：直径所对的网周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 ．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 ．
②圆内接四边形的任意一组对角 ．
■考点1.圆的有关概念
◇典例：
【2006?黄石】正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定________个不同的圆．
【考点】确定圆的条件．
【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出．
解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆．
◆变式训练
【2017?宁夏】如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 __________
■考点2.垂径定理及其推论
◇典例：
【2017?雅安】⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是______
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】因为⊙O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM=4，即OP的最小值为4，所以4≤OP≤5．【出处：21教育名师】
解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，
∵⊙O的直径为10， ∴半径为5， ∴OP的最大值为5， ∵OM⊥AB与M， ∴AM=BM， ∵AB=6， ∴AM=3， 在Rt△AOM中，OM==4， OM的长即为OP的最小值， ∴4≤OP≤5． 故答案为：4≤OP≤5．
◆变式训练
【2018安顺】已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
■考点3. 圆心角、弧、弦的关系
◇典例
【2017潍坊】点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（ ）
A．或2 B．或2 C．或2 D．或2
【考点】圆心角、弧、弦的关系；菱形的性质．
【分析】过B作直径，连接AC交AO于E，①如图①，根据已知条件得到BD=×2×3=2，如图②，BD=×2×3=4，求得OD=1，OE=2，DE=1，连接OD，根据勾股定理得到结论，
解：过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
①如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD=×2×3=2，
∴OD=OB﹣BD=1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE=BD=1，
∴OE=2，
连接OD，
∵CE==，
∴边CD==；
如图②，BD=×2×3=4，
同理可得，OD=1，OE=1，DE=2，
连接OD，
∵CE===2，
∴边CD===2，
故选D．
◆变式训练
【2017?宜昌】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA
■考点4. 圆周角定理及其推论
◇典例：
1.【2018柳州】如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为（ ）
A．84° B．60° C．36° D．24°
【考点】圆周角定理
【分析】直接利用圆周角定理即可得出答案．
解：∵∠B与∠C所对的弧都是，
∴∠C=∠B=24°，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2.【2018襄阳】如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
【考点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【分析】根据垂径定理得到CH=BH，=，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．
解：∵OA⊥BC，
∴CH=BH，=，
∴∠AOB=2∠CDA=60°，
∴BH=OB?sin∠AOB=，
∴BC=2BH=2，
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
◆变式训练
1.【2018贵港】如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A=66°，则∠OCB的度数是（ ）
A．24° B．28° C．33° D．48°
2.【2017?锦州】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，
BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
一.选择题
【2018张家界】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（ ）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
【2017金华】如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ ）
A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm
【2017苏州】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且=，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（ ）
A．92° B．108° C．112° D．124°
【2018赤峰】如图，AB是⊙O的直线，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD=130°，则∠C的度数是（ ）
A．50° B．60° C．25° D．30°
【2018邵阳】如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（ ）
A．80° B．120° C．100° D．90°
二.选择题
【2017大庆】如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形．若半圆的半径为，则正方形的边长为 ．
【2018烟台】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为 ．
【2018绥化】如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升 cm．
【2018随州】如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B= 度．
【2017济南】如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数．
一．选择题
【2018临安】如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（ ）
A． B． C． D．
【2018枣庄】如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
【2018乐山】《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
【2018定西】如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用三角函数得出∠DCO=30°．
【2017潍坊】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．80° D．90°
【2018黄石】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF，若∠EDC=135°，CF=2，则AE2+BE2的值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
填空题
【2018玉林】小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是 cm．
【2018南通】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为 ．
【2017凉山】如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C=2∠A，则BD= ．
【2018丽水】如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．
（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为 cm．
（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为 cm．
解答题
【2018牡丹江】如图，在⊙O中，=2，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．
【2017?济南】如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数．
【2017贵阳】如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
【2017六盘水】如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点．
（1）利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置（不写作法，但要保留作图痕迹）．
（2）求PA+PB的最小值．
【2017台州】如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径
(1)求证：△APE是等腰直角三角形；
(2)若⊙O的直径为2，求 PC2+PB2的值
第四章 图形的性质 第28节 圆的有关概念与性■考点 1．圆的有关概念
(1)圆：平面上到定点的距离等于 定长 的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为 圆心 ，定长为 半径 ．【版权所有：21教育】
(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做 圆弧 ，简称 弧 ，大于半圆的弧称为 优弧 ，小于半圆的弧称为 劣弧 ．
(3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做 弦 ，经过圆心的弦叫做 直径 ．
(4)相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧．
(5)圆心角：顶点在 圆心 的角叫做圆心角．
(6)圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是 圆周角 ．
(7)确定圆的条件：过已知一点可作 无数 个圆，过已知两点可作 无数 个圆，过不在同一条直线上的三点可作 一个 圆．
(8)圆的对称性：圆是 轴 对称图形，其对称轴是 直径所在的直线 ；圆是 中心 对称图形，对称中心为 圆心 ，并且圆具有旋转不变性．
■考点2.垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径 平分弦 ，并且 平分弦所对的两条弧 ．
②平分弦（不是直径）的直径 垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧，
③弦的垂直平分线经过 圆心 ，并且 平分弦所对的两条弧 ．
④平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等．
■考点3. 圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
■考点4.圆周角定理及推论
①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于 它所对圆心角的一半 ．
推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等 ；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 相等 ．
推论2：直径所对的网周角是 直角 ；90°的圆周角所对的弦是 直径 ．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 直角三角形 ．
②圆内接四边形的任意一组对角 互补 ．
■考点1.圆的有关概念
◇典例：
【2006?黄石】正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定________个不同的圆．
【考点】确定圆的条件．
【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出．
解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆．
◆变式训练
【2017?宁夏】如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 __________
【考点】确定圆的条件．
【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O， 以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆， 由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点， 故答案为：5．
■考点2.垂径定理及其推论
◇典例：
【2017?雅安】⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是______
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】因为⊙O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM=4，即OP的最小值为4，所以4≤OP≤5．【出处：21教育名师】
解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，
∵⊙O的直径为10， ∴半径为5， ∴OP的最大值为5， ∵OM⊥AB与M， ∴AM=BM， ∵AB=6， ∴AM=3， 在Rt△AOM中，OM==4， OM的长即为OP的最小值， ∴4≤OP≤5． 故答案为：4≤OP≤5．
◆变式训练
【2018安顺】已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
【考点】勾股定理；垂径定理
【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM===3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC===4cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5﹣3=2cm，
在Rt△AMC中，AC===2cm．
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
■考点3. 圆心角、弧、弦的关系
◇典例
【2017潍坊】点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（ ）
A．或2 B．或2 C．或2 D．或2
【考点】圆心角、弧、弦的关系；菱形的性质．
【分析】过B作直径，连接AC交AO于E，①如图①，根据已知条件得到BD=×2×3=2，如图②，BD=×2×3=4，求得OD=1，OE=2，DE=1，连接OD，根据勾股定理得到结论，
解：过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
①如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD=×2×3=2，
∴OD=OB﹣BD=1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE=BD=1，
∴OE=2，
连接OD，
∵CE==，
∴边CD==；
如图②，BD=×2×3=4，
同理可得，OD=1，OE=1，DE=2，
连接OD，
∵CE===2，
∴边CD===2，
故选D．
◆变式训练
【2017?宜昌】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误； B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确； C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误； D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误． 故选B．
■考点4. 圆周角定理及其推论
◇典例：
1.【2018柳州】如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为（ ）
A．84° B．60° C．36° D．24°
【考点】圆周角定理
【分析】直接利用圆周角定理即可得出答案．
解：∵∠B与∠C所对的弧都是，
∴∠C=∠B=24°，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2.【2018襄阳】如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
【考点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【分析】根据垂径定理得到CH=BH，=，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．
解：∵OA⊥BC，
∴CH=BH，=，
∴∠AOB=2∠CDA=60°，
∴BH=OB?sin∠AOB=，
∴BC=2BH=2，
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
◆变式训练
1.【2018贵港】如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A=66°，则∠OCB的度数是（ ）
A．24° B．28° C．33° D．48°
【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质
【分析】首先利用圆周角定理可得∠COB的度数，再根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC，进而可得答案．
解：∵∠A=66°，
∴∠COB=132°，
∵CO=BO，
∴∠OCB=∠OBC=（180°﹣132°）=24°，
故选：A．
2.【2017?锦州】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，
BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】根据三角形的外角的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质和三角形内角和定理计算即可．
解：∠B=∠DCE-∠F=55°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠EDC=∠B=55°， ∴∠E=180°-∠DCE-∠EDC=45°， 故选：C．
一.选择题
【2018张家界】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（ ）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
【考点】勾股定理；垂径定理
【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．
解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，
∴CE=CD=4cm．
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，
∴OE==3cm，
∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键．
【2017金华】如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ ）
A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm
【考点】垂径定理的应用．
【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．
解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∵CD=8，OD=13，
∴OC=5，
又∵OB=13，
∴Rt△BCO中，BC==12，
∴AB=2BC=24．
故选：C．
【2017苏州】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且=，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（ ）
A．92° B．108° C．112° D．124°
【考点】圆心角、弧、弦的关系；多边形内角与外角．
【分析】直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出∠COE的度数，再利用四边形内角和定理得出答案．
解：∵∠ACB=90°，∠A=56°，
∴∠ABC=34°，
∵=，
∴2∠ABC=∠COE=68°，
又∵∠OCF=∠OEF=90°，
∴∠F=360°﹣90°﹣90°﹣68°=112°．
故选：C．
【2018赤峰】如图，AB是⊙O的直线，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD=130°，则∠C的度数是（ ）
A．50° B．60° C．25° D．30°
【考点】圆周角定理
【分析】根据圆周角定理进行解答即可．
解：∵∠AOD=130°，
∴∠C=90°﹣，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
【2018邵阳】如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（ ）
A．80° B．120° C．100° D．90°
【考点】圆内接四边形的性质
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答．
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°﹣∠BCD=60°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
二.选择题
【2017大庆】如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形．若半圆的半径为，则正方形的边长为 ．
【考点】正方形的性质；勾股定理；圆的认识．
【分析】连接OP，设正方形的边长为a，则ON=，PN=a，再由勾股定理求出a的值即可．
解：连接OP，设正方形的边长为a，则ON=，PN=a，
在Rt△OPN中，
ON2+PN2=OP2，即（）2+a2=（）2，解得a=2．
故答案为：2．
【2018烟台】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为 ．
【考点】垂径定理，勾股定理
【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可．
解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：
在CB的垂直平分线上找到一点D，
CD═DB=DA=，
所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2），
【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．
【2018绥化】如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升 cm．
【考点】垂径定理的应用
【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；
解：作半径OD⊥AB于C，连接OB
由垂径定理得：BC=AB=30cm，
在Rt△OBC中，OC==40cm，
当水位上升到圆心以下时 水面宽80cm时，
则OC′==30cm，
水面上升的高度为：40﹣30=10cm；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30=70cm，
综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．
故答案为10或70．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
【2018随州】如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B= 度．
【考点】圆周角定理
【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°，根据等腰三角形的性质解答即可．
解：如图，连接OA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=20°，
∴∠OAB=60°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查的是圆周角定理的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．
【2017济南】如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数．
【考点】圆周角定理．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．
解：∵AB为⊙O直径
∴∠ADB=90°
∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25°
∴∠B=25°
∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．
一．选择题
【2018临安】如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（ ）
A． B． C． D．
【考点】勾股定理；垂径定理
【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．
解：设OA与BC相交于D点．
∵AB=OA=OB=6
∴△OAB是等边三角形．
又根据垂径定理可得，OA平分BC，
利用勾股定理可得BD==3
所以BC=6．
故选：A．
【点评】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理．
【2018枣庄】如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
【考点】垂径定理，勾股定理，含30度的直角三角形
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA﹣AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2．
解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH==，
∴CD=2CH=2．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．
【2018乐山】《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
【考点】垂径定理的应用
【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r2=52+（r﹣1）2，解方程即可；
解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，
则有r2=52+（r﹣1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【2018定西】如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【考点】圆周角定理
【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可．
解：连接DC，
∵C（，0），D（0，1），
∴∠DOC=90°，OD=1，OC=，
∴∠DCO=30°，
∴∠OBD=30°，
故选：B．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用三角函数得出∠DCO=30°．
【2017潍坊】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．80° D．90°
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】根据四点共圆的性质得：∠GBC=∠ADC=50°，由垂径定理得：，则∠DBC=2∠EAD=80°．
解：如图，∵A、B、D、C四点共圆，
∴∠GBC=∠ADC=50°，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD=90°﹣50°=40°，
延长AE交⊙O于点M，
∵AO⊥CD，
∴，
∴∠DBC=2∠EAD=80°．
故选C．
【2018黄石】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF，若∠EDC=135°，CF=2，则AE2+BE2的值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【考点】圆周角定理，内接四边形的性质
【分析】由四边形BCDE内接于⊙O知∠EFC=∠ABC=45°，据此得AC=BC，由EF是⊙O的直径知∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°及∠BCF=∠ACE，再根据四边形BECF是⊙O的内接四边形知∠AEC=∠BFC，从而证△ACE≌△BFC得AE=BF，根据Rt△ECF是等腰直角三角形知EF2=16，继而可得答案．
解：∵四边形BCDE内接于⊙O，且∠EDC=135°，
∴∠EFC=∠ABC=180°﹣∠EDC=45°，
∵∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AC=BC，
又∵EF是⊙O的直径，
∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°，
∴∠BCF=∠ACE，
∵四边形BECF是⊙O的内接四边形，
∴∠AEC=∠BFC，
∴△ACE≌△BFC（ASA），
∴AE=BF，
∵Rt△ECF中，CF=2、∠EFC=45°，
∴EF2=16，
则AE2+BE2=BF2+BE2=EF2=16，
故选：C．
【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质及勾股定理．
填空题
【2018玉林】小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是 cm．
【考点】垂径定理，勾股定理
【分析】先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论．
解：如图，
记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D，
∴OC⊥AB，BD=AB，
由图知，AB=16﹣4=12cm，CD=2cm，
∴BD=6，设圆的半径为r，则OD=r﹣2，OB=r，
在Rt△BOD中，根据勾股定理得，OB2=AD2+OD2，
∴r2=36+（r﹣2）2，
∴r=10cm，
故答案为10．
【2018南通】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为 ．
【考点】圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角形中位线
【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可根据勾股定理计算出AC=4，再根据垂径定理得到BD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC==4，
∵OD⊥BC，
∴BD=CD，
而OB=OA，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD=AC=×4=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
【2017凉山】如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C=2∠A，则BD= ．
【考点】圆内接四边形的性质；解直角三角形．
【分析】连接OD、OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F，由垂径定理可知DF=BF，∠DOF=∠BOF，再由圆内接四边形的性质求出∠A的度数，故可得出∠BOD的度数，再由锐角三角函数的定义求出BF的长，进而可得出结论．
解：连接OD、OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F，
∵OF⊥BD，
∴DF=BF，∠DOF=∠BOF．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°．
∵∠C=2∠A，
∴∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴∠BOF=60°．
∵OB=4，
∴BF=OB?sin∠BOF=4×sin60°=2，
∴BD=2BF=4．
故答案为：4．
【2018丽水】如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．
（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为 cm．
（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为 cm．
【考点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【分析】（1）如图1中，连接B1C1交DD1于H．解直角三角形求出B1H，再根据垂径定理即可解决问题；
（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．利用弧长公式求出半圆半径即可解决问题；
解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．
∵D1A=D1B1=30
∴D1是的圆心，
∵AD1⊥B1C1，
∴B1H=C1H=30×sin60°=15，
∴B1C1=30
∴弓臂两端B1，C1的距离为30
（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．
设半圆的半径为r，则πr=，
∴r=20，
∴AG=GB2=20，GD1=30﹣20=10，
在Rt△GB2D2中，GD2==10
∴D1D2=10﹣10．
故答案为30，10﹣10，
【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
解答题
【2018牡丹江】如图，在⊙O中，=2，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．
【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【分析】延长AD交⊙O于E，利用圆心角、弧、弦的关系证明即可．
证明：延长AD交⊙O于E，
∵OC⊥AD，
∴，AE=2AD，
∵，
∴，
∴AB=AE，
∴AB=2AD．
【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据圆心角、弧、弦的关系解答．
【2017?济南】如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数．
【考点】圆周角定理．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．21*cnjy*com
解：∵AB为⊙O直径
∴∠ADB=90°
∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25°
∴∠B=25°
∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．
【2017贵阳】如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
【考点】扇形面积的计算；圆周角定理．
【分析】（1）连接OD，OC，根据已知条件得到∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，根据圆周角定理得到∠CAB=30°，于是得到结论；
（2）由（1）知，∠AOD=60°，推出△AOD是等边三角形，OA=2，得到DE=，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
解：（1）连接OD，OC，
∵C、D是半圆O上的三等分点，
∴==，
∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，
∴∠CAB=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°﹣30°=60°；
（2）由（1）知，∠AOD=60°，
∵OA=OD，AB=4，
∴△AOD是等边三角形，OA=2，
∵DE⊥AO，
∴DE=，
∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=﹣×=π﹣．
【2017六盘水】如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点．
（1）利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置（不写作法，但要保留作图痕迹）．
（2）求PA+PB的最小值．
【考点】作图—复杂作图； 圆周角定理； 轴对称﹣最短路线问题．
【分析】（1）作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，与MN的交点即为点P；
（2）由（1）可知，PA+PB的最小值即为A′B的长，连接OA′、OB、OA，先求∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，再根据勾股定理即可得出答案．
解：（1）如图1所示，点P即为所求；
（2）由（1）可知，PA+PB的最小值即为A′B的长，连接OA′、OB、OA，
∵A′点为点A关直线MN的对称点，∠AMN=30°，
∴∠AON=∠A′ON=2∠AMN=2×30°=60°，
又∵B为的中点，
∴=，
∴∠BON=∠AOB=∠AON=×60°=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，
又∵MN=4，
∴OA′=OB=MN=×4=2，
∴Rt△A′OB中，A′B==2，即PA+PB的最小值为2．
【2017台州】如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径
(1)求证：△APE是等腰直角三角形；
(2)若⊙O的直径为2，求 PC2+PB2的值
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰直角三角形
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°，再由PE是⊙O的直径，得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,从而得证.
（2）根据题意可知，AC=AB,AP=AE,再证△CPA≌△BAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得证.
（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=∠ABC=45°,
∴∠PEA=∠ABC=45°
又∵PE是⊙O的直径，
∴∠PAE=90°,
∴∠PEA=∠APE=45°,
∴ △APE是等腰直角三角形.
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB,
同理AP=AE,
又∵∠CAB=∠PAE=90°,
∴∠CAP=∠BAE,
∴△CPA≌△BAE,
∴CP=BE,
在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,
∴PB2+BE2=PE2,
∴CP2+PB2=PE2=4.
