第四章 图形的性质 第29节 直线与圆的位置关系■考点1与圆有关的位置关系
(1)点与圆的位置关系
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
①点在圆外 d r；
②点在圆上 d r；
③点在圆内 d r．
(2)直线与圆的位置关系
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：
①直线与圆相交 d ②直线与圆相切 d=r；
③直线与圆相离 d>r．
■考点2．切线的性质与判定
(1)切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
(2)切线的性质：圆的切线垂直于 ；
过圆心且垂直于切线的直线必经过 ；
经过切点且垂直于切线的直线必过该圆的 ．
(3)切线判定方法：
①定义法：
②设d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径，若 ，则直线与圆相切：
③经过半径的外端且 这条半径的直线是圆的切线．
(4)切线长定理：从圆外一点向圆引的两条切线长 ，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 ．21教育网
■考点3.三角形与圆
(1)三角形的内切圆：三角形内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 ，它到三角形的 的距离相等． 【来源：21·世纪·教育·网】
(2)三角形的外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形 的交点 ，叫做三角形的 ．2-1-c-n-j-y
锐角三角形外心在三角形的 ，直角三角形外心在三角形的 ，钝角三角形外心在三角形的 ．
■考点1与圆有关的位置关系
◇典例：
1.【2017?枣庄】如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）
A．2＜r＜ B．＜r≤3 C．＜r＜5 D．5＜r＜
【考点】 点与圆的位置关系； 勾股定理．
【分析】利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论．
解：给各点标上字母，如图所示．
AB==2，AC=AD==，AE==3，AF==，AG=AM=AN==5，
∴＜r≤3时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．
故选B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点A的距离是解题的关键．
2.【2016?湘西】在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【考点】 直线与圆的位置关系．
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．
解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD，
∴3×4=5CD，
∴CD=2.4＜2.5，
即d＜r，
∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；
故选A．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交．
◆变式训练
1.【2018定西】如图，在△ABC中，∠ABC=90°．
（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．
2.【2017?百色】以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b＜2 B．﹣2 C．﹣22 D．﹣2＜b＜2
■考点2．切线的性质与判定
◇典例
【2017?安顺】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2，求阴影部分的面积．
【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCE=90°，再根据垂径定理得到CD=BD，则OD垂直平分BC，所以EC=EB，接着证明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，利用勾股定理得到（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，再利用三角函数得到∠BOD=60°，则∠BOC=2∠BOD=120°，接着计算出BE=OB=2，
然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△OBE﹣S扇形BOC进行计算即可．
（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
即OD垂直平分BC，
∴EC=EB，
在△OCE和△OBE中
，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，
在Rt△OBD中，BD=CD=BC=，
∴（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，
∵tan∠BOD==，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOC=2∠BOD=120°，
在Rt△OBE中，BE=OB=2，
∴阴影部分的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC
=2S△OBE﹣S扇形BOC
=2××2×2﹣
=4﹣π．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了不规则图形的面积的计算方法．21教育网
◆变式训练
【2018乌鲁木齐】如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．
■考点3.三角形与圆
◇典例：
【2017?攀枝花】如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，BC=6，则的长为（ ）
A．2π B．4π C．8π D．12π
【考点】 三角形的外接圆与外心； 弧长的计算．
【分析】连接CO，并延长，与圆交于点D，连接BD，利用同弧所对的圆周角相等求出∠D的度数，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出CD的长，即为圆的直径，进而求出∠BOC的度数，利用弧长公式计算即可得到结果．21·cn·jy·com
解：连接CO，并延长，与圆交于点D，连接BD，
∵CD为圆O的直径，
∴∠DBC=90°，
∵∠A与∠D都对，
∴∠D=∠A=60°，
在Rt△DCB中，∠BCD=30°，
∴BD=CD，
设BD=x，则有CD=2x，
根据勾股定理得：x2+（6）2=（2x）2，
解得：x=6，
∴OB=OD=OC=6，且∠BOC=120°，
则的长为=4π，
故选B
【点评】此题考查了三角形外接圆与外心，以及弧长的计算，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
◆变式训练
【2018内江】已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径= ．
一．选择题（共5小题）
1．【2018舟山】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内
2．【2017攀枝花】如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，BC=6，则的长为（ ）
A．2π B．4π C．8π D．12π
3．【2017遂宁】如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则线段BC的长为（ ）
A． B．3 C． D．6
4.【2018湘西】已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
5．【2018常州】如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（ ）
A．76° B．56° C．54° D．52°
二．填空题
6．【2017大庆】△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为 ．
7．【2017?杭州】如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB= ．
8.【2018湘潭】如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A=30°，则∠AOB= ．
三．解答题
9【2017兰州】在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程：
已知：直线l和l外一点P．
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图：（1）在直线l上任取两点A、B；
（2）分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；
（3）作直线PQ．
参考以上材料作图的方法，解决以下问题：
（1）以上材料作图的依据是：
（2）已知，直线l和l外一点P，
求作：⊙P，使它与直线l相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
10.【2017南通】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
一．选择题
【2018荆门】下列命题错误的是（ ）
A．若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是四边形
B．矩形一定有外接圆
C．对角线相等的菱形是正方形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【2018自贡】如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（ ）
A． B． C． D．
【2018眉山】如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（ ）
A．27° B．32° C．36° D．54°
【2018宜昌】如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【2018深圳】如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（ ）
A．3 B． C．6 D．
【2018无锡】如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题
【2018镇江】如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB= °．
【2018长沙】如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB= 度．
【2018包头】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC= 度．
【2018湖州】如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是 ．
三．解答题
【2018陕西】如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，
（1）求弦AC的长；
（2）求证：BC∥PA．
【2018安徽】如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
【2018绥化】如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E．
求证：（1）DE⊥AE；
（2）AE+CE=AB．
【2017?白银】如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．
（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；
（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．
【2018天津】已知是的直径，弦与相交，.
（Ⅰ）如图①，若为的中点，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小.
第四章 图形的性质 第29节 直线与圆的位置关系■考点1与圆有关的位置关系
(1)点与圆的位置关系
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
①点在圆外 d ＞ r；
②点在圆上 d = r；
③点在圆内 d ＜ r．
(2)直线与圆的位置关系
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：
①直线与圆相交 d ②直线与圆相切 d=r；
③直线与圆相离 d>r．
■考点2．切线的性质与判定
(1)切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
(2)切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；
过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 ；
经过切点且垂直于切线的直线必过该圆的 圆心 ．
(3)切线判定方法：
①定义法：
②设d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径，若d=r ，则直线与圆相切：
③经过半径的外端且 垂直于 这条半径的直线是圆的切线．
(4)切线长定理：从圆外一点向圆引的两条切线长 相等 ，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 ．
■考点3.三角形与圆
(1)三角形的内切圆：三角形内切圆的圆心是三角形 三个角平分线 的交点，叫做三角形的 内心 ，它到三角形的 三边 的距离相等．2·1·c·n·j·y
(2)三角形的外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形 三边垂直平分线 的交点 ，叫做三角形的 外心．21cnjy.com
锐角三角形外心在三角形的 内部 ，直角三角形外心在三角
形的 斜边中点处 ，钝角三角形外心在三角形的 外部 ．
■考点1与圆有关的位置关系
◇典例：
1.【2017?枣庄】如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）
A．2＜r＜ B．＜r≤3 C．＜r＜5 D．5＜r＜
【考点】 点与圆的位置关系； 勾股定理．
【分析】利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论．
解：给各点标上字母，如图所示．
AB==2，AC=AD==，AE==3，AF==，AG=AM=AN==5，
∴＜r≤3时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．
故选B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点A的距离是解题的关键．
2.【2016?湘西】在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【考点】 直线与圆的位置关系．
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．
解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD，
∴3×4=5CD，
∴CD=2.4＜2.5，
即d＜r，
∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；
故选A．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交．2·1·c·n·j·y
◆变式训练
1.【2018定西】如图，在△ABC中，∠ABC=90°．
（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．
【考点】复杂作图，角平分线的性质与作法，直线与圆的位置关系
【分析】（1）首先利用角平分线的作法得出CO，进而以点O为圆心，OB为半径作⊙O即可；
（2）利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可．
解：（1）如图所示：
；
（2）相切；过O点作OD⊥AC于D点，
∵CO平分∠ACB，
∴OB=OD，即d=r，
∴⊙O与直线AC相切，
【点评】此题主要考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，正确利用角平分线的性质求出是解题关键．
2.【2017?百色】以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b＜2 B．﹣2 C．﹣22 D．﹣2＜b＜2
【考点】 直线与圆的位置关系； 一次函数图象与系数的关系．
【分析】求出直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
解：当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y=﹣x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b），
当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0），
则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C．则OC=2．
则OB=OC=2．即b=2；
同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2．
则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2＜b＜2．
故选D．
■考点2．切线的性质与判定
◇典例
【2017?安顺】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2，求阴影部分的面积．
【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCE=90°，再根据垂径定理得到CD=BD，则OD垂直平分BC，所以EC=EB，接着证明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，利用勾股定理得到（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，再利用三角函数得到∠BOD=60°，则∠BOC=2∠BOD=120°，接着计算出BE=OB=2，
然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△OBE﹣S扇形BOC进行计算即可．
（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
即OD垂直平分BC，
∴EC=EB，
在△OCE和△OBE中
，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，
在Rt△OBD中，BD=CD=BC=，
∴（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，
∵tan∠BOD==，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOC=2∠BOD=120°，
在Rt△OBE中，BE=OB=2，
∴阴影部分的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC
=2S△OBE﹣S扇形BOC
=2××2×2﹣
=4﹣π．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了不规则图形的面积的计算方法．21教育网
◆变式训练
【2018乌鲁木齐】如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．
【考点】切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC，证明OD⊥CB，可得结论；
（2）在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，证明△ACD∽△ADE，表示a=，由平行线分线段成比例定理得：，代入可得结论．
（1）证明：连接OD，
∵AG是∠HAF的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠ACD=90°，
∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，
∵D在⊙O上，
∴直线BC是⊙O的切线；（4分）
（2）解：在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，
连接DE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，
∴△ACD∽△ADE，
∴，
即，
∴a=，
由（1）知：OD∥AC，
∴，即，
∵a=，解得BD=r．
【点评】此题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程解决问题是关键．
■考点3.三角形与圆
◇典例：
（2017?攀枝花）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，BC=6，则的长为（ ）
A．2π B．4π C．8π D．12π
【考点】 三角形的外接圆与外心； 弧长的计算．
【分析】连接CO，并延长，与圆交于点D，连接BD，利用同弧所对的圆周角相等求出∠D的度数，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出CD的长，即为圆的直径，进而求出∠BOC的度数，利用弧长公式计算即可得到结果．21·cn·jy·com
解：连接CO，并延长，与圆交于点D，连接BD，
∵CD为圆O的直径，
∴∠DBC=90°，
∵∠A与∠D都对，
∴∠D=∠A=60°，
在Rt△DCB中，∠BCD=30°，
∴BD=CD，
设BD=x，则有CD=2x，
根据勾股定理得：x2+（6）2=（2x）2，
解得：x=6，
∴OB=OD=OC=6，且∠BOC=120°，
则的长为=4π，
故选B
【点评】此题考查了三角形外接圆与外心，以及弧长的计算，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
◆变式训练
【2018内江】已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径= ．
【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【分析】根据题目中的式子可以求得a、b、c的值，从而可以求得△ABC的外接圆半径的长．
解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，
∴（a﹣1﹣4+4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0，
∴（﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0，
∴，b﹣5=0，c﹣6=0，
解得，a=5，b=5，c=6，
∴AC=BC=5，AB=6，
作CD⊥AB于点D，
则AD=3，CD=4，
设△ABC的外接圆的半径为r，
则OC=r，OD=4﹣r，OA=r，
∴32+（4﹣r）2=r2，
解得，r=，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、非负数的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
一．选择题（共5小题）
1．【2018舟山】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内
【考点】点与圆的位置关系；反证法
【分析】由于反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．由此即可解决问题．
解：反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是：点在圆上或圆内．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反证法的步骤，其中在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
2．【2017攀枝花】如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，BC=6，则的长为（ ）
A．2π B．4π C．8π D．12π
【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算．
【分析】连接CO，并延长，与圆交于点D，连接BD，利用同弧所对的圆周角相等求出∠D的度数，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出CD的长，即为圆的直径，进而求出∠BOC的度数，利用弧长公式计算即可得到结果．
解：连接CO，并延长，与圆交于点D，连接BD，
∵CD为圆O的直径，
∴∠DBC=90°，
∵∠A与∠D都对，
∴∠D=∠A=60°，
在Rt△DCB中，∠BCD=30°，
∴BD=CD，
设BD=x，则有CD=2x，
根据勾股定理得：x2+（6）2=（2x）2，
解得：x=6，
∴OB=OD=OC=6，且∠BOC=120°，
则的长为=4π，
故选B
3．【2017遂宁】如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则线段BC的长为（ ）
A． B．3 C． D．6
【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】作弦心距OD，先根据已知求出∠BOC=120°，由等腰三角形三线合一的性质得：∠DOC=∠BOC=60°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半可求得OD的长，根据勾股定理得DC的长，最后利用垂径定理得出结论．
解：∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC=180°，
∵∠BAC=∠BOC，
∴∠BOC=120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
∴BD=CD，
∵OB=OC，
∴OB平分∠BOC，
∴∠DOC=∠BOC=60°，
∴∠OCD=90°﹣60°=30°，
在Rt△DOC中，OC=6，
∴OD=3，
∴DC=3，
∴BC=2DC=6，
故选：C．
4.【2018湘西】已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【考点】直线与圆的位置关系
【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．
解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，
∴直线和圆相切．
故选：B．
【点评】此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
5．【2018常州】如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（ ）
A．76° B．56° C．54° D．52°
【考点】切线的性质
【分析】先利用切线的性质得∠ONM=90°，则可计算出∠ONB=38°，再利用等腰三角形的性质得到∠B=∠ONB=38°，然后根据圆周角定理得∠NOA的度数．
解：∵MN是⊙O的切线，
∴ON⊥NM，
∴∠ONM=90°，
∴∠ONB=90°﹣∠MNB=90°﹣52°=38°，
∵ON=OB，
∴∠B=∠ONB=38°，
∴∠NOA=2∠B=76°．
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
二．填空题
6．【2017大庆】△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为 ．
【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】这个直角三角形的外接圆直径是斜边长，把斜边长除以2可求这个三角形的外接圆半径．
解：∵△ABC中，∠C为直角，AB=2，
∴这个三角形的外接圆半径为2÷2=1．
故答案为：1．
7．【2017?杭州】如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB= ．
【分析】根据切线的性质即可求出答案．
解：∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，
∴∠BAT=90°，
∵∠ABT=40°，
∴∠ATB=50°，
故答案为：50°
8.【2018湘潭】如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A=30°，则∠AOB= ．
【考点】切线的性质
【分析】根据切线的性质得到∠OBA=90°，根据直角三角形的性质计算即可．
解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠OBA=90°，
∴∠AOB=90°﹣∠A=60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
三．解答题
9【2017兰州】在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程：
已知：直线l和l外一点P．
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图：（1）在直线l上任取两点A、B；
（2）分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；
（3）作直线PQ．
参考以上材料作图的方法，解决以下问题：
（1）以上材料作图的依据是：
（2）已知，直线l和l外一点P，
求作：⊙P，使它与直线l相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
【考点】作图—复杂作图；切线的判定．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质，切线的性质，可得答案．
解：（1）以上材料作图的依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
（2）如图．
10.【2017南通】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
【考点】切线的性质；勾股定理．
【分析】连接OD，首先证明四边形OFCD是矩形，从而得到BF的长，然后利用垂径定理求得BE的长即可．
解：连接OD，作OF⊥BE于点F．
∴BF=BE，
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠C=∠OFC=90°，
∴四边形ODCF是矩形，
∵OD=OB=FC=2，BC=3，
∴BF=BC﹣FC=BC﹣OD=3﹣2=1，
∴BE=2BF=2．
一．选择题
【2018荆门】下列命题错误的是（ ）
A．若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是四边形
B．矩形一定有外接圆
C．对角线相等的菱形是正方形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【考点】命题与定理
【分析】A、任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可；
B、判断一个四边形是否有外接圆，要看此四边形的对角是否互补，矩形的对角互补，一定有外接圆；
C、根据正方形的判定方法进行判断；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
解：A、一个多边形的外角和为360°，若外角和=内角和=360°，所以这个多边形是四边形，故此选项正确；
B、矩形的四个角都是直角，满足对角互补，根据对角互补的四边形四点共圆，则矩形一定有外接圆，故此选项正确；
C、对角线相等的菱形是正方形，故此选项正确；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；而一对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形或是梯形，故此选项错误；
本题选择错误的命题，
故选：D．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，四点共圆问题，正方形的判定，平行四边形的判定，掌握这些定理和性质是关键．
【2018自贡】如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理、直角三角形30°角的性质，勾股定理
【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R．
解：延长BO交⊙O于D，连接CD，
则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，
∴∠CBD=30°，
∵BD=2R，
∴DC=R，
∴BC=R，
故选：D．
【点评】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键．
【2018眉山】如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（ ）
A．27° B．32° C．36° D．54°
【考点】圆周角定理；切线的性质
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54°，结合圆周角定理得出答案．
解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=36°，
∴∠AOP=54°，
∴∠B=27°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出∠AOP的度数是解题关键．
【2018宜昌】如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【考点】圆周角定理；切线的性质
【分析】由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周角定理可得答案．
解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCB=90°，
∵OD∥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠CED=∠COD=45°，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．
【2018深圳】如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（ ）
A．3 B． C．6 D．
【考点】切线的性质，切线长定理
【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB=AC=3、∠OAB=60°，根据OB=ABtan∠OAB可得答案．
解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，
∴∠OAB=60°，
在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=3，
∴光盘的直径为6，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理和解直角三角形的应用．
【2018无锡】如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】矩形的性质；切线的判定
【分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG=DG，则GH垂直平分AD，则可判断点O在HG上，再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切；接着利用OG=OD可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心．
解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，
∵G是BC的中点，
∴AG=DG，
∴GH垂直平分AD，
∴点O在HG上，
∵AD∥BC，
∴HG⊥BC，
∴BC与圆O相切；
∵OG=OD，
∴点O不是HG的中点，
∴圆心O不是AC与BD的交点；
而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，
∴AF与DE的交点是圆O的圆心；
∴（1）错误，（2）（3）正确．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了矩形的性质．
二．填空题
【2018镇江】如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB= °．
【考点】三角形的外接圆与外心
【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，则利用互余计算出∠D=40°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数．
解：连接BD，如图，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠D=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，
∴∠ACB=∠D=40°．
故答案为40．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
【2018长沙】如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB= 度．
【考点】圆周角定理；切线的性质
【分析】由圆周角定理易求∠BOC的度数，再根据切线的性质定理可得∠OBC=90°，进而可求出∠OCB的度数．
解：
∵∠A=20°，
∴∠BOC=40°，
∵BC是⊙O的切线，B为切点，
∴∠OBC=90°，
∴∠OCB=90°﹣40°=50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质定理的运用，熟记和圆有关的各种性质和定理是解题的关键．
【2018包头】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC= 度．
【考点】圆周角定理，切线的性质
【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠DCO，求出∠COB，即可求出答案．
解：连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴∠DCO=90°，
∵∠D=40°，
∴∠COB=∠D+∠DCO=130°，
∴的度数是130°，
∴的度数是360°﹣130°=230°，
∴∠BEC==115°，
故答案为：115．
【点评】本题考查了圆周角定理和切线的性质，能根据切线的性质求出∠DCO的度数是解此题的关键．
【2018湖州】如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是 ．
【考点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【分析】先根据三角形内心的性质和切线的性质得到OB平分∠ABC，OD⊥BC，则∠OBD=∠ABC=20°，然后利用互余计算∠BOD的度数．
解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，
∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠OBD=∠ABC=×40°=20°，
∴∠BOD=90°﹣∠OBD=70°．
故答案为70°．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．
三．解答题
【2018陕西】如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，
（1）求弦AC的长；
（2）求证：BC∥PA．
【考点】切线的性质．
【分析】（1）连接OA，由于PA是⊙O的切线，从而可求出∠AOD=60°，由垂径定理可知：AD=DC，由锐角三角函数即可求出AC的长度．
（2）由于∠AOP=60°，所以∠BOA=120°，从而由圆周角定理即可求出∠BCA=60°，从而可证明BC∥PA
解：（1）连接OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°
∵∠P=30°，
∴∠AOD=60°，
∵AC⊥PB，PB过圆心O，
∴AD=DC
在Rt△ODA中，AD=OA?sin60°=
∴AC=2AD=5
（2）∵AC⊥PB，∠P=30°，
∴∠PAC=60°，
∵∠AOP=60°
∴∠BOA=120°，
∴∠BCA=60°，
∴∠PAC=∠BCA
∴BC∥PA
【2018安徽】如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
【考点】三角形的外接圆与外心；作图—复杂作图
【分析】（1）利用基本作图作AE平分∠BAC；
（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图，根据圆周角定理得到=，再根据垂径定理得到OE⊥BC，则EF=3，OF=2，然后在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF=，在Rt△CEF中利用勾股定理可计算出CE．
解：（1）如图，AE为所作；
（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴=，
∴OE⊥BC，
∴EF=3，
∴OF=5﹣3=2，
在Rt△OCF中，CF==，
在Rt△CEF中，CE==．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外心．
【2018绥化】如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E．
求证：（1）DE⊥AE；
（2）AE+CE=AB．
【考点】全等三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质可得出∠CAD=∠ODA，利用“内错角相等，两直线平行”可得出AE∥OD，结合切线的性质即可证出DE⊥AE；
（2）过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，根据角平分线的性质可得出DE=DM，结合AD=AD、∠AED=∠AMD=90°即可证出△DAE≌△DAM（SAS），根据全等三角形的性质可得出AE=AM，由∠EAD=∠MAD可得出=，进而可得出CD=BD，结合DE=DM可证出Rt△DEC≌Rt△DMB（HL），根据全等三角形的性质可得出CE=BM，结合AB=AM+BM即可证出AE+CE=AB．
证明：（1）连接OD，如图1所示．
∵OA=OD，AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠ODA，∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AE∥OD．
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AE．
（2）过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，如图2所示．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB，
∴DE=DM．
在△DAE和△DAM中，，
∴△DAE≌△DAM（SAS），
∴AE=AM．
∵∠EAD=∠MAD，
∴=，
∴CD=BD．
在Rt△DEC和Rt△DMB中，，
∴Rt△DEC≌Rt△DMB（HL），
∴CE=BM，
∴AE+CE=AM+BM=AB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质以及圆周角定理，解题的关键是：（1）利用平行线的判定定理找出AE∥OD；（2）利用全等三角形的性质找出AE=AM、CE=BM．
【2017?白银】如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．
（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；
（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．
【分析】（1）在Rt△ABN中，求出AN、AB即可解决问题；
（2）连接MC，NC．只要证明∠MCD=90°即可；
解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），
∴AN=4，
∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，
∴AB=2AN=8，
∴由勾股定理可知：NB==，
∴B（，2）．
（2）连接MC，NC
∵AN是⊙M的直径，
∴∠ACN=90°，
∴∠NCB=90°，
在Rt△NCB中，D为NB的中点，
∴CD=NB=ND，
∴∠CND=∠NCD，
∵MC=MN，
∴∠MCN=∠MNC，
∵∠MNC+∠CND=90°，
∴∠MCN+∠NCD=90°，
即MC⊥CD．
∴直线CD是⊙M的切线．
【2018天津】已知是的直径，弦与相交，.
（Ⅰ）如图①，若为的中点，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小.
【考点】圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质
【分析】（Ⅰ）运用直径所对的圆周角是直角以及圆周角的度数等于它所对弧的度数求解即可；
（Ⅱ）运用圆周角定理求解即可.
解：（Ⅰ）∵是的直径，∴.
∴.
又∴，∴.
由为的中点，得.
∴.
∴.
（Ⅱ）如图，连接.
∵切于点，
∴，即.
由，又，
∴是的外角，
∴.
∴.
又，得.
∴.
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
