一 数学归纳法
课后篇巩固探究
1.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)·(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式为 ( )
A.1 B.1+3
C.1+2+3 D.1+2+3+4
解析当n=1时,左边有2n+1=2×1+1=3,所以左边所得的代数式为1+2+3.
答案C
2.已知n是正奇数,用数学归纳法证明时,若已假设当n=k(k≥1,且为奇数)时命题为真,则还需证明( )
A.当n=k+1时命题成立
B.当n=k+2时命题成立
C.当n=2k+2时命题成立
D.当n=2(k+2)时命题成立
解析因为n是正奇数,所以只需证明等式对所有奇数都成立即可.又k的下一个奇数是k+2,故选B.
答案B
3.用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=时,由n=k(k≥1)的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是( )
A.(k+1)2+2k2 B.(k+1)2+k2
C.(k+1)2 D.(k+1)[2(k+1)2+1]
解析当n=k(k≥1)时,左边为12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,当n=k+1时,左边为12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12,分析等式变化规律可知左边实际增加的是(k+1)2+k2.
答案B
4.导学号26394063下列代数式(其中k∈N+)能被9整除的是( )
A.6+6·7k B.2+7k-1
C.2(2+7k+1) D.3(2+7k)
解析(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.
(2)假设当k=n(n∈N+,n≥1)时命题成立,
即3(2+7k)能被9整除.
当k=n+1时,3(2+7k+1)=21(2+7k)-36也能被9整除.这就是说,当k=n+1时命题也成立.
由(1)(2)可知,3(2+7k)能被9整除对任何k∈N+都成立.
答案D
5.用数学归纳法证明1-+…++…+,第一步应验证的等式是 .?
解析当n=1时,等式的左边为1-,右边=,所以左边=右边.
答案1-
6.若凸n(n≥4)边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线条数f(n+1)为 .?
解析由题意知f(n+1)-f(n)=n-1,
则f(n+1)=f(n)+n-1.
答案f(n)+n-1
7.若s(n)=1++…+(n∈N+),则s(5)-s(4)= .?
解析依题意,s(5)=1++…+,
s(4)=1++…+,
于是s(5)-s(4)=.
答案
8.已知f(n)=(2n+7)×3n+9(n∈N+),用数学归纳法证明f(n)能被36整除.
证明(1)当n=1时,f(1)=(2+7)×3+9=36,能被36整除,命题成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即f(k)=(2k+7)×3k+9能被36整除.
当n=k+1时,f(k+1)=[2(k+1)+7]×3k+1+9=(2k+7)×3k+1+2×3k+1+9
=(2k+7)×3k×3+2×3k+1+9=3[(2k+7)×3k+9]-27+2×3k+1+9
=3[(2k+7)×3k+9]+18(3k-1-1).
由于3k-1-1是2的倍数,则18(3k-1-1)能被36整除,
即当n=k+1时命题也成立.
由(1)(2)可知,对一切正整数n,都有f(n)=(2n+7)×3n+9能被36整除.
9.导学号26394064用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·(n∈N+).
证明(1)当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0×=1,左边=右边,命题成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1·.
当n=k+1时,
12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2
=(-1)k-1·+(-1)k(k+1)2
=(-1)k(k+1)·
=(-1)k·.
因此,当n=k+1时命题也成立,
根据(1)(2)可知,命题对于任何n∈N+等式成立.
10.导学号26394065已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且+2an=4Sn.
(1)计算a1,a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的结论.
解(1)当n=1时,+2a1=4S1,即+2a1=4a1,
整理,得-2a1=0,
解得a1=2(a1=0舍去).
当n=2时,+2a2=4S2,即+2a2=4(2+a2),
整理,得-2a2-8=0,
解得a2=4(a2=-2舍去).
当n=3时,+2a3=4S3,即+2a3=4(2+4+a3),
整理,得-2a3-24=0,
解得a3=6(a3=-4舍去).
当n=4时,+2a4=4S4,即+2a4=4(2+4+6+a4),
整理,得-2a4-48=0,
解得a4=8(a4=-6舍去).
由以上结果猜想数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)下面用数学归纳法证明{an}的通项公式为an=2n.
①当n=1时,a1=2,由(1)知,猜想成立.
②假设当n=k(k≥1)时猜想成立,即ak=2k,
这时有+2ak=4Sk,即Sk=k2+k.
当n=k+1时,+2ak+1=4Sk+1,
即+2ak+1=4(Sk+ak+1),
所以-2ak+1=4k2+4k,
解得ak+1=2k+2(ak+1=-2k舍去).
故当n=k+1时,猜想也成立.
由①②可知,猜想对任意n∈N+都成立.
二 用数学归纳法证明不等式举例
课后篇巩固探究
1.用数学归纳法证明1++…+1)时,第一步是证下述哪个不等式成立( )
A.1<2 B.1+<2
C.1+<2 D.1+<2
解析当n=2时,左边=1+,右边=2,所以应证1+<2.
答案C
2.若x>-1,x≠0,则下列不等式正确的是( )
A.(1+x)3<1+3x
B.(1+x<1+x
C.(1+x)-2<1-2x
D.(1+x<1+x
解析由贝努利不等式可得选项D正确.
答案D
3.用数学归纳法证明+…+(n≥n0,且n∈N+),则n的最小值n0为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析当n=1时,左边==1,右边=10=1,1>1,不成立;当n=2时,左边==2+1=3,右边=,3>,成立;当n=3时,左边==3+3+1=7,右边=31=3,7>3,成立.
所以n的最小值n0为2.
答案B
4.导学号26394067某同学回答“用数学归纳法证明证明:(1)当n=1时,显然不等式是成立的;
(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即A.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设
B.归纳假设的写法不正确
C.从k到k+1的推理不严密
D.当n=1时,验证过程不具体
解析证明<(k+1)+1时进行了一般意义的放大.而没有使用归纳假设答案A
5.已知f(n)=1++…+(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)比f(2k)多的项为 .?
解析f(2k+1)-f(2k)=1++…++…+.
答案+…+
6.已知x>0,观察下列几个不等式:x+≥2;x+≥3;x+≥4;x+≥5…归纳猜想一般的不等式为 .?
答案x+≥n+1(n为正整数)
7.用数学归纳法证明(a,b是非负实数,n∈N+)时,假设当n=k时不等式(*)成立,再推证当n=k+1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘 .?
解析对比k与k+1时的结论可知,两边只需同乘即可.
答案
8.用数学归纳法证明1++…+<2(n∈N+).
证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,
即1++…+<2.
当n=k+1时,1++…+<2=2.
所以当n=k+1时,不等式成立.
由(1)(2)可知,原不等式对任意n∈N+都成立.
9.导学号26394068若不等式+…+对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并证明你的结论.
解取n=1,则有成立,
所以,因此a<26,取a=25,
即正整数a的最大值为25.
以下用数学归纳法证明.
+…+对一切正整数n都成立.
(1)当n=1时不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,
即+…+,
当n=k+1时,
+…+
=.
因为,
所以>0,
于是+…+,
即当n=k+1时不等式成立.
由(1)(2)知,对一切正整数n,都有+…+,且正整数a的最大值等于25.
10.导学号26394069已知数列{an}满足:a1=,且an=(n≥2,n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证对一切正整数n,不等式a1a2…an<2n!恒成立.
(1)解将条件变为1-,
因此数列为一个等比数列,其首项为1-,公比为,
从而1-,
因此得an=(n≥1). ①
(2)证明由①得
a1a2…an=.
为证a1a2…an<2n!,只要证当n∈N+时,有×…×. ②
显然,左端每个因式皆为正数,先证明对n∈N+,有
×…×
≥1-. ③
下面用数学归纳法证明③式:
ⅰ当n=1时,显然③式成立,
ⅱ假设当n=k(k≥1)时,③式成立,
即×…×≥
1-.
当n=k+1时,
×…×
≥
=1-
>1-.
即当n=k+1时,③式也成立.
故对一切n∈N+,③式都成立.
利用③,得
≥1-
=1-
=1-.
故原不等式成立.
第四讲 用数学归纳法证明不等式
测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证 ( )
A.n=1 B.n=2
C.n=3 D.n=4
解析由n≥3,n∈N知,应验证n=3.
答案C
2.在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n(n∈N+)的第(2)步中,假设当n=k时原等式成立,则在n=k+1时需要证明的等式为( )
A.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1)
B.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)
C.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1)
D.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)
解析用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时,
当n=1时左边所得的项是1+2=3,右边=2×12+1=3,命题成立.
假设当n=k时命题成立,即1+2+3+…+2k=2k2+k.
则当n=k+1时,左边为1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1),
故从“k→k+1”需增添的项是2k+1+2(k+1),
因此1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1).
答案D
3.记等式1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=n(n+1)(n+2)左边的式子为f(n),用数学归纳法证明该等式的第二步归纳递推时,即当n从k变为k+1时,等式左边的改变量f(k+1)-f(k)=( )
A.k+1 B.1·(k+1)+(k+1)·1
C.1+2+3+…+k D.1+2+3+…+k+(k+1)
解析依题意,f(k)=1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,
则f(k+1)=1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+4·(k-2)+…+k·2+(k+1)·1,
∴f(k+1)-f(k)=1·[(k+1)-k]+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-(k-2)]+4·[(k-2)-(k-3)]+…+k·(2-1)+(k+1)·1
=1+2+3+…+k+(k+1).
答案D
4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)能被9整除”,要利用归纳假设证当n=k+1时的情况,只需展开( )
A.(k+3)3 B.(k+2)3
C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3
解析当n=k+1时,证明“(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3能被9整除”,根据归纳假设,当n=k时,证明“k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除”,所以只需展开(k+3)3.
答案A
5.用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5,n∈N+)成立时,第二步归纳假设的正确写法是( )
A.假设当n=k时命题成立
B.假设当n=k(k∈N+)时命题成立
C.假设当n=k(k≥5)时命题成立
D.假设当n=k(k>5)时命题成立
解析由数学归纳法的步骤可知,选项C正确.
答案C
6.用数学归纳法证明“Sn=+…+>1(n∈N+)”时,S1等于( )
A. B.
C. D.
解析当n=1时,S1=.
答案D
7.已知在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(n∈N+),用数学归纳法证明a4n能被4整除,假设a4k能被4整除,然后应该证明( )
A.a4k+1能被4整除 B.a4k+2能被4整除
C.a4k+3能被4整除 D.a4k+4能被4整除
解析由假设a4k能被4整除,则当n=k+1时,应该证明a4(k+1)=a4k+4能被4整除.
答案D
8.设0<θ<,已知a1=2cos θ,an+1=,则猜想an为( )
A.2cos B.2cos
C.2cos D.2sin
解析a1=2cos θ,a2==2cos,a3==2cos,猜想an=2cos.
答案B
9.从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶,每步只能跨上1级或2级,走完这n级台阶共有f(n)种走法,则下面的猜想正确的是( )
A.f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n≥3)
B.f(n)=2f(n-1)(n≥2)
C.f(n)=2f(n-1)-1(n≥2)
D.f(n)=f(n-1)f(n-2)(n≥3)
解析分别取n=1,2,3,4验证,
得f(n)=
答案A
10.用数学归纳法证明“34n+1+52n+1(n∈N+)能被8整除”时,若当n=k时命题成立,欲证当n=k+1时命题成立,对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为( )
A.56×34k+1+25(34k+1+52k+1)
B.34×34k+1+52×52k
C.34k+1+52k+1
D.25(34k+1+52k+1)
解析由于34(k+1)+1+52(k+1)+1=81×34k+1+25×52k+1+25×34k+1-25×34k+1=56×34k+1+25(34k+1+52k+1),故应选A.
答案A
11.下列说法正确的是( )
A.若一个命题当n=1,2时为真,则此命题为真命题
B.若一个命题当n=k时成立且推得n=k+1时也成立,则这个命题为真命题
C.若一个命题当n=1,2时为真,则当n=3时这个命题也为真
D.若一个命题当n=1时为真,n=k时为真能推得n=k+1时亦为真,则此命题为真命题
解析由数学归纳法可知,只有当n的初始取值成立且由n=k成立能推得n=k+1时也成立时,才可以证明结论正确,二者缺一不可.A,B,C项均不全面.
答案D
12.若命题A(n)(n∈N+)在n=k(k∈N+)时成立,则有当n=k+1时命题也成立.现知命题对n=n0(n0∈N+)时成立,则有( )
A.命题对所有正整数都成立
B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立
C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立
D.以上说法都不正确
解析数学归纳法证明的结论只是对n的初始值及后面的正整数成立,而对于初始值前的正整数不一定成立.
答案C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.用数学归纳法证明cos α+cos 3α+…+cos(2n-1)α=(sin α≠0,n∈N),在验证n=1时,等式右边的式子是 .?
解析当n=1时,右边==cos α.
答案cos α
14.设f(n)=,用数学归纳法证明f(n)≥3.在“假设当n=k时成立”后,f(k+1)与f(k)的关系是f(k+1)=f(k)· .?
解析当n=k时,f(k)=,
当n=k+1时,
f(k+1)=,
所以f(k)应乘.
答案
15.用数学归纳法证明+…+,假设当n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标是 .?
解析注意不等式两边含变量“n”的式子,因此当n=k+1时,应该是含“n”的式子发生变化,所以当n=k+1时,应为+…+.
答案+…+
16.导学号26394070设a,b均为正实数,n∈N+,已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,则M,N的大小关系为 .?
解析由贝努利不等式(1+x)n>1+nx(x>-1,且x≠0,n>1,n∈N+),可知
当n>1时,令x=,所以>1+n·,
所以>1+n·,即(a+b)n>an+nan-1b.
当n=1时,M=N,故M≥N.
答案M≥N
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).
证明(1)当n=1时,
左边=12-22=-3,
右边=-1×(2×1+1)=-3,等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时等式成立,即
12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1).
当n=k+1时,
12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-[2(k+1)]2
=-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2
=-2k2-5k-3
=-(k+1)(2k+3)
=-(k+1)[2(k+1)+1],
即当n=k+1时,等式成立.
由(1)(2)可知,对任何n∈N+,等式成立.
18.(本小题满分12分)求证:两个连续正整数的积能被2整除.
证明设n∈N+,则要证明n(n+1)能被2整除.
(1)当n=1时,1×(1+1)=2,能被2整除,即命题成立.
(2)假设n=k(k≥1)时命题成立,即k·(k+1)能被2整除.
当n=k+1时,(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1),
由归纳假设k(k+1)及2(k+1)都能被2整除,所以(k+1)(k+2)能被2整除,
故当n=k+1时命题成立.
由(1)(2)可知,命题对一切n∈N+都成立.
19.(本小题满分12分)设函数fn(x)=x+x2+…+xn-2(n∈N,n≥2),当x>-1,且x≠0时,证明:fn(x)>0恒成立.(x+1)n=x0+x+x2+…+xn,,m,n∈N+,且n≥m
证明要证fn(x)>0恒成立,因为x>-1,且x≠0,所以只需证·x+·x2+…+xn>1+nx,
即证(1+x)n>1+nx.
(1)当n=2时,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即(1+x)k>1+kx.
当n=k+1时,有(1+x)k+1=(1+x)k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,
即当n=k+1时不等式成立.
由(1)(2)可知,
对任意n∈N,n≥2,(1+x)n>1+nx成立,
即fn(x)>0恒成立.
20.(本小题满分12分)已知点的序列An(xn,0),n∈N+,其中x1=0,x2=a(a>0),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,…,An是线段An-2An-1的中点,….
(1)写出xn与xn-1,xn-2之间的关系式(n≥3);
(2)设an=xn+1-xn,计算a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明.
解(1)当n≥3时,xn=.
(2)a1=x2-x1=a,
a2=x3-x2=-x2
=-(x2-x1)=-a,
a3=x4-x3=-x3
=-(x3-x2)=-a.
由此推测an=a(n∈N+).
用数学归纳法证明:
①当n=1时,a1=x2-x1=a=a,通项公式成立.
②假设当n=k时,ak=a成立.
当n=k+1时,
ak+1=xk+2-xk+1=-xk+1
=-(xk+1-xk)=-ak=-a
=a,通项公式成立.
由①②知,an=a(n∈N+)成立.
21.导学号26394071(本小题满分12分)求证:tan α·tan 2α+tan 2α·tan 3α+…+tan(n-1)α·tan nα=-n(n≥2,n∈N+).
证明(1)当n=2时,左边=tan α·tan 2α,右边=-2=-2=-2==tan α·tan 2α=左边,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2)时等式成立,即tan α·tan 2α+tan 2α·tan 3α+…+tan(k-1)α·tan kα=-k.
当n=k+1时,tan α·tan 2α+tan 2α·tan 3α+…+tan(k-1)α·tan kα+tan kα·tan(k+1)α=-k+tan kα·tan(k+1)α
=-k
=[1+tan(k+1)α·tan α]-k
=[tan(k+1)α-tan α]-k
=-(k+1),
所以当n=k+1时等式成立.
由(1)和(2)知,当n≥2,n∈N+时等式恒成立.
22.导学号26394072(本小题满分12分)设{xn}是由x1=2,xn+1=(n∈N+)定义的数列,求证xn<.
证明由题意可知,xk+1=>2·.
xn>显然成立.
下面用数学归纳法证明xn<.
(1)当n=1时,x1=2<+1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即xk<.
当n=k+1时,xk+1=.
由归纳假设,xk<,
则.
∵xk>,∴.
∴xk+1=.即xk+1<.
∴当n=k+1时,不等式xn<成立.
由(1)(2)可知,xn<对一切n∈N+都成立.
