1.不等式的基本性质
课后篇巩固探究
A组
1.(2017广东深圳一模)已知a>b>0,c<0,下列不等关系正确的是( )
A.ac>bc B.ac>bc
C.loga(a-c)>logb(b-c) D.
解析∵c<0,∴-c>0.
又a>b>0,∴a-c>b-c>0,ac
故>0.
即.
答案D
2.(2017广东潮州二模)若a>b,则下列各式正确的是( )
A.a·lg x>b·lg x B.ax2>bx2
C.a2>b2 D.a·2x>b·2x
解析由a>b,当lg x≤0时,a·lg x>b·lg x不成立,故A错误.
当x=0时,ax2=bx2,故B错误.
若a=0,b=-1,则a2∵2x>0,∴a·2x>b·2x,故D正确.
答案D
3.若角α,β满足-<α<β<,则α-β的取值范围是( )
A.(-2π,2π) B.(-2π,0) C.(-π,0) D.(-π,π)
解析因为-<β<,所以-<-β<.
又α-β=α+(-β),且α<β,所以-2π<α-β<0.
答案B
4.若a>1,b<1,则下列结论中正确的是( )
A. B.>1
C.a2>b2 D.ab解析由a>1,b<1得a-1>0,b-1<0,所以(a-1)(b-1)<0,展开整理,得ab答案D
5.已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,则3a-2b的取值范围是( )
A.[-6,14] B.[-2,14] C.[-6,10] D.[-2,10]
解析令3a-2b=m(a+b)+n(a-b),
则所以
因为1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,
所以(a+b)≤,-(a-b)≤,
故-2≤3a-2b≤10.
答案D
6.已知0解析∵a-<0,∴a<.
又a-a2=a(1-a)>0,∴a>a2.∴a2答案a27.已知-3解析由题意可知0答案(0,8)
8.设a>b>c>0,若x=,y=,z=,则x,y,z之间的大小关系是 .(从小到大)?
解析因为x2-y2=a2+(b+c)2-b2-(c+a)2=2c(b-a)<0,所以x同理可得y答案x9.若3解因为3因为9<3a<21,-20<-2b<-2,所以-11<3a-2b<19,即3a-2b∈(-11,19).
因为9又110.导学号26394000在等比数列{an}中,若a1>0,q>0,前n项和为Sn,试比较的大小.
解当q=1时,=3,=5,所以.
当q>0,且q≠1时,
=<0,
所以有.综上可知有.
B组
1.(2017河北衡水模拟)已知01,则( )
A.logacC.abc解析取a=,b=,c=2,得选项A,B,C错误.
由01,则>1,logcx在定义域上单调递增.故alogc答案D
2.已知a,b∈R,则下列条件中能使a>b成立的必要不充分条件是( )
A.a>b-1 B.a>b+1
C.|a|>|b| D.3a>3b
解析因为a>b?a>b-1,但a>b-1a>b,所以“a>b-1”是“a>b”的必要不充分条件;“a>b+1”是“a>b”的充分不必要条件;“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件;“3a>3b”是“a>b”的充要条件.
答案A
3.导学号26394001已知实数a,b,c满足b+c=3a2-4a+6,c-b=a2-4a+4,则a,b,c的大小关系是( )
A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b
解析由c-b=a2-4a+4=(a-2)2≥0易知c≥b,又由已知可解得b=a2+1>a,所以c≥b>a.
答案A
4.若a,b∈R,且a2b2+a2+5>2ab+4a,则a,b应满足的条件是 .?
解析原不等式可化为(ab-1)2+(a-2)2>0,则a≠2或b≠.
答案a≠2或b≠
5.设x>5,P=,Q=,试比较P与Q的大小关系.
解因为P=,Q=,
又,所以Q6.导学号26394002已知θ∈,且a=2sin2θ+sin 2θ,b=sin θ+cos θ,试比较a与b的大小.
解因为θ∈,所以a=2sin2θ+sin 2θ>0,b=sin θ+cos θ>0.
因为=2sin θ,
又θ∈,所以sin θ∈,2sin θ∈(0,1),
即0<<1,故a2.基本不等式
课后篇巩固探究
A组
1.下列结论正确的是( )
A.若3a+3b≥2,则a>0,b>0
B.若≥2,则a>0,b>0
C.若a>0,b>0,且a+b=4,则≤1
D.若ab>0,则
解析当a,b∈R时,则3a>0,3b>0,所以3a+3b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),故选项A错误.要使≥2成立,只要>0,>0即可,这时只要a,b同号,故选项B错误.当a>0,b>0,且a+b=4时,则.因为ab≤=4,所以≥1(当且仅当a=b=2时,等号成立),故选项C错误.当a>0,b>0时,a+b≥2,所以.而当a<0,b<0时,显然有,所以当ab>0时,一定有(当且仅当a=b,且a,b>0时,等号成立),故选项D正确.
答案D
2.若a<1,则a+的最大值是( )
A.3 B.a
C.-1 D.
解析因为a<1,所以a-1<0,所以a+=a-1++1≤-2+1=-1,当且仅当1-a=,即a=0时,取最大值-1,故选C.
答案C
3.(2017全国模拟)已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则的最小值是( )
A.2 B.2 C.4 D.2
解析∵lg 2x+lg 8y=lg 2,
∴lg(2x·8y)=lg 2,∴2x+3y=2,∴x+3y=1.
∵x>0,y>0,
∴=(x+3y)
=2+≥2+2=4,
当且仅当x=3y=时,等号成立.故选C.
答案C
4.函数f(x)=x+-1的值域是( )
A.(-∞,-3]∪[5,+∞) B.[3,+∞)
C.(-∞,-5]∪[3,+∞) D.(-∞,-4]∪[4,+∞)
解析当x>0时,x+-1≥2-1=3(当且仅当x=2时,等号成立);当x<0时,x+-1=--1≤-2-1=-5(当且仅当x=-2时,等号成立),故函数f(x)的值域为(-∞,-5]∪[3,+∞).
答案C
5.若正数x,y满足x+4y=4,则xy的最大值为 .?
解析由基本不等式可得x+4y≥2=4(当且仅当x=4y时,等号成立),又x+4y=4,所以4≤4,即xy≤1,故xy的最大值为1.
答案1
6.(2017山东高考)若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 .?
解析∵直线=1过点(1,2),∴=1.
∵a>0,b>0,
∴2a+b=(2a+b)=4+≥4+2=8.
当且仅当b=2a时“=”成立.
答案8
7.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .?
解析一年的总运费与总存储费用之和为4x+×6=4≥4×2=240,当且仅当x=,即x=30时等号成立.
答案30
8.已知x>1,y>1,且xy=1 000,求lg x·lg y的最大值.
解因为x>1,y>1,所以lg x>0,lg y>0,
所以lg x·lg y≤
=,
当且仅当lg x=lg y,即x=y时,等号成立,
故lg x·lg y的最大值等于.
9.已知x>0,y>0,x+y=1,求证≥9.
证明左边=
=
==5+2≥5+4=9,
当且仅当,即x=y=时,等号成立,所以≥9.
10.某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的长方体房屋,由于地理位置的限制,房屋侧面的长度x不得超过5米.房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元.如果墙高为3米,且不计房屋背面的费用,当侧面的长度为多少时,总造价最低?
解设侧面的长度为x米(0由题意可得,总造价y=3+5 800=900+5 800(0由基本不等式可知y=900+5 800
≥900×2+5 800=13 000(元),
当且仅当x=,即x=4时,等号成立.
由上可知,当侧面的长度为4米时,总造价最低.
B组
1.若a≥0,b≥0,且a+b=2,则下列不等式正确的是( )
A.ab≤1 B.ab≥1 C.a2+b2≥4 D.a2+b2≤4
解析由已知可得ab≤=1(当且仅当a=b时,等号成立),而a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,故选项A正确.
答案A
2.爬山是一种简单有趣的户外运动,有益于身心健康,但要注意安全,准备好必需物品,控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v1,下山的速度为v2(v1≠v2),乙上山和下山的速度都是(甲、乙两人中途不停歇),则甲、乙两人上山下山所用的时间t1,t2的关系为( )
A.t1>t2 B.t1解析设山路的长度为h,则依题意有t1==h·>h·=h·,
t2==h·t2.
答案A
3.(2017天津高考)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为 .?
解析∵a,b∈R,且ab>0,
∴=4ab+
≥4.
答案4
4.导学号26394006已知关于x的二次不等式ax2+2x+b>0的解集为,且a>b,则的最小值为 .?
解析由已知可得关于x的方程ax2+2x+b=0有两个相等的实数根,于是Δ=4-4ab=0,则ab=1,所以=(a-b)+≥2=2,故的最小值为2.
答案2
5.已知a>2,求证log(a-1)a>loga(a+1).
证明∵log(a-1)a-loga(a+1)=
=,
而lg(a-1)lg(a+1)<
==lg2a,
即lg2a-lg(a-1)lg(a+1)>0.
又a>2,∴lg alg(a-1)>0,
∴>0,
即log(a-1)a-loga(a+1)>0,
∴log(a-1)a>loga(a+1).
6.导学号26394007某水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元进行技术革新,并计划以后每年比上一年多投入100万元进行技术革新.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g(n)(单位:元)与进行技术革新的投入次数n的关系是g(n)=.若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.
(1)求出f(n)的表达式;
(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?
解(1)第n次投入后,产量为(10+n)万件,销售价格为100元,固定成本为元,进行技术革新投入为100n万元.
所以,年利润为f(n)=(10+n)-100n(n∈N+).
(2)由(1)知f(n)=(10+n)-100n
=1 000-80≤520.
当且仅当,
即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.
所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.
3.三个正数的算术-几何平均不等式
课后篇巩固探究
A组
1.若a>0,则2a+的最小值为( )
A.2 B.3 C.1 D.3
解析2a+=a+a+≥3=3,当且仅当a=,即a=1时,2a+取最小值3.
答案D
2.设x,y,z∈R+,且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z的取值范围是( )
A.(-∞,lg 6] B.(-∞,3lg 2]
C.[lg 6,+∞) D.[3lg 2,+∞)
解析因为x,y,z∈R+,所以6=x+y+z≥3,即xyz≤8,所以lg x+lg y+lg z=lg xyz≤lg 8=3lg 2(当且仅当x=y=z=2时,等号成立).
答案B
3.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为( )
A.3 B.2 C.12 D.12
解析因为2x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=3=3×4=12.
当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时,等号成立.
答案C
4.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则的最小值为( )
A.9 B.8 C.3 D.
解析∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,
∴
=3+
≥3+6
=3+6=9
.
答案A
5.用一张钢板制作一个容积为4 m3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同规格(长×宽的尺寸如各选项所示,单位:m).若既要够用,又要所剩最少,则应选择钢板的规格是( )
A.2×5 B.2×5.5 C.2×6.1 D.3×5
解析设长方体水箱长、宽、高分别为x m,y m,z m,则xyz=4.水箱的表面积S=xy+2xz+2yz=xy+2x·+2y·=xy+≥3=12
.
故要制作容积为4 m3的无盖水箱,所需的钢板面积最小为12 m2,所以选项A,B排除,而选项C,D均够用,但选项D剩较多,故选项C正确.
答案C
6.若a,b,c同号,则≥k,则k的取值范围是 .?
解析因为a,b,c同号,所以>0,于是≥3=3(当且仅当a=b=c时,等号成立),因此k的取值范围是k≤3.
答案k≤3
7.若x<0,则-x2的最大值为 .?
解析-x2=-=-,
因为x2+=x2+
≥3=3
,所以-x2≤-3,即-x2的最大值为-3.
答案-3
8.若a>b>0,则a+的最小值为 .?
解析因为a>b>0,所以a-b>0,于是a+=(a-b)+b+≥3=3,当且仅当a-b=b=,即a=2,b=1时,a+的最小值为3.
答案3
9.已知实数a,b,c∈R,a+b+c=1,求4a+4b+的最小值,并求出取最小值时a,b,c的值.
解由三个正数的算术-几何平均不等式,得4a+4b+≥3=3(当且仅当a=b=c2时,等号成立).
∵a+b+c=1,
∴a+b=1-c.
则a+b+c2=c2-c+1=,当c=时,a+b+c2取得最小值.
从而当a=b=,c=时,4a+4b+取最小值,最小值为3.
10.导学号26394008已知x,y均为正数,且x>y,求证2x+≥2y+3.
证明因为x>0,y>0,x-y>0,所以2x+-2y
=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+
≥3=3,
所以2x+
≥2y+3.
B组
1.若logxy=-2,则x+y的最小值为( )
A. B. C. D.
解析由logxy=-2得y=,因此x+y=x+≥3
.
答案A
2.设x>0,则f(x)=4-x-的最大值为( )
A.4- B.4- C.不存在 D.
解析∵x>0,
∴f(x)=4-x-=4-
≤4-3=4-
.
答案D
3.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列不等式正确的是( )
A.V≥π B.V≤π C.V≥ D.V≤
解析如图,设圆柱的半径为R,高为h,则4R+2h=6,即2R+h=3.
V=S·h=πR2·h=π·R·R·h≤π=π,当且仅当R=R=h=1时,等号成立.
答案B
4.设三角形的三边长为3,4,5,P是三角形内的一点,则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是 .?
解析设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x,y,z,三角形的面积为S,则S=(3x+4y+5z).
因为32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积S=×3×4=6,所以3x+4y+5z=2×6=12,所以12=3x+4y+5z≥3=3,所以xyz≤,当且仅当3x=4y=5z,即x=,y=1,z=时,等号成立.
答案
5.导学号26394009设x,y,z>0,且x+3y+4z=6,求x2y3z的最大值.
解因为6=x+3y+4z=+y+y+y+4z≥6=6,所以x2y3z≤1.
当且仅当=y=4z,即x=2,y=1,z=时,等号成立,所以x2y3z的最大值为1.
6.导学号26394010设a1,a2,…,an为正实数,求证+…+≥2.
证明∵a1,a2,…,an为正实数,
∴+…+≥n=na1a2…an,
当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.
又na1a2…an+≥2,
当且仅当na1a2…an=时,等号成立,
∴+…+≥2.
1.绝对值三角不等式
课后篇巩固探究
A组
1.设ab>0,下面四个不等式:
①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.
其中正确的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
解析∵ab>0,∴a,b同号.
∴|a+b|=|a|+|b|>|a|-|b|.∴①④正确.
答案C
2.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于( )
A.10 B.3 C.7 D.4
解析因为|3-x|+|x-7|≥|(3-x)+(x-7)|=4,所以函数f(x)的最小值为4.
答案D
3.已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系是( )
A.m>n B.m解析由绝对值不等式的性质,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
∴≤1≤.∴m≤n.
答案D
4.若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 ( )
A.|a+b|+|a-b|>2 B.|a+b|+|a-b|<2
C.|a+b|+|a-b|=2 D.不确定
解析当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2;当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2,综上有|a+b|+|a-b|<2.
答案B
5.若关于x的不等式|x|+|x-1|A.[-1,1] B.(-1,1) C.(-∞,1] D.(-∞,1)
解析∵|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,
∴若关于x的不等式|x|+|x-1|答案C
6.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是 ,最小值是 .?
解析因为|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,所以1=3-2≤|a+b|≤3+2=5.
答案5 1
7.若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 .?
解析设f(x)=|x-4|-|x-3|,则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a大于等于f(x)的最大值.
∵|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1,
即f(x)max=1,∴a≥1.
答案[1,+∞)
8.不等式≥1成立的充要条件是 .?
解析≥1?≥0?
(|a|-|b|)[|a+b|-(|a|-|b|)]≥0(且|a|-|b|≠0).
而|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0.
∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.
答案|a|>|b|
9.设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证<2.
证明∵m等于|a|,|b|和1中最大的一个,|x|>m,
∴
∴
==2.
故原不等式成立.
10.导学号26394011已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).
(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;
(2)当函数f(x)的定义域为R时,求实数a的取值范围.
解(1)函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a>0,
即|x-1|+|x-5|>a.
设g(x)=|x-1|+|x-5|,
由|x-1|+|x-5|≥|x-1+5-x|=4,
当a=2时,∵g(x)min=4,
∴f(x)min=log2(4-2)=1.
(2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4.
∵|x-1|+|x-5|-a>0,
∴a∴a<4,即a的取值范围是(-∞,4).
B组
1.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析∵|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|
=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)
≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,
当且仅当(1-x)·x≥0,(1-y)·(1+y)≥0,
即0≤x≤1,-1≤y≤1时等号成立,
∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.
答案C
2.函数f(x)=|2x+1|-|x-4|的最小值等于 .?
解析令y=|2x+1|-|x-4|,
则y=
作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象(如图),由函数的图象可知,当x=-时,函数取得最小值-.
答案-
3.已知a和b是任意非零实数,则的最小值为 .?
解析=4.
答案4
4.下列四个不等式:
①logx10+lg x≥2(x>1);
②|a-b|<|a|+|b|;
③≥2(ab≠0);
④|x-1|+|x-2|≥1,
其中恒成立的是 .(把你认为正确的序号都填上)?
解析∵x>1,∴lg x>0,
∴logx10+lg x=+lg x≥2,①正确;
当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;
∵ab≠0,同号,
∴≥2,③正确;
由|x-1|+|x-2|的几何意义知
|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;
综上,①③④正确.
答案①③④
5.导学号26394012已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1,求证|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
证明∵|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|
=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|
=|x-a||x+a-1|
<|x+a-1|
=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1
=2(|a|+1),
∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
6.导学号26394013已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,求证:
(1)|c|≤1;
(2)当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.
证明(1)∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,
∴|f(0)|≤1,即|c|≤1.
(2)当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,
∴g(-1)≤g(x)≤g(1).
∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,
∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2,
g(-1)=-a+b
=-f(-1)+c
≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2,
∴|g(x)|≤2.
当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,
∴g(-1)≥g(x)≥g(1).
∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,
∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2.
g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2.
∴|g(x)|≤2.
当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,且-1≤x≤1,
∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.
综上可知,|g(x)|≤2.
2.绝对值不等式的解法
课后篇巩固探究
A组
1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},B={x||2x-1|>3},则A∩B等于( )
A.{x|2≤x≤3}
B.{x|2≤x<3}
C.{x|2D.{x|-1解析A={x|2≤x≤3},B={x|x>2或x<-1},
则A∩B={x|2答案C
2.若a>2,则关于x的不等式|x-1|+a>2的解集为( )
A.{x|x>3-a}
B.{x|x>a-1}
C.?
D.R
解析不等式|x-1|+a>2可化为|x-1|>2-a,因为a>2,所以2-a<0,故原不等式的解集为R.
答案D
3.不等式|3x-4|>x2的解集为( )
A.(-4,1)
B.(-1,4)
C.?
D.(-∞,-4)∪(1,+∞)
解析由|3x-4|>x2可得3x-4>x2或3x-4<-x2,解3x-4>x2得无解;解3x-4<-x2得-4答案A
4.不等式<0的解集是( )
A.{x|-3B.{x|-3C.{x|-3≤x≤5}
D.{x|-3≤x≤5,且x≠2}
解析因为分母|x-2|>0,且x≠2,所以原不等式等价于|x-1|-4<0,即|x-1|<4,所以-4又x≠2,故原不等式的解集为{x|-3答案B
5.不等式|2x-log2x|<|2x|+|log2x|的解集为( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
解析在|a-b|≤|a|+|b|中,“=”成立的条件是ab≤0,“<”成立的条件是ab>0,所以2x·log2x>0.
又x>0,所以log2x>0,解得x>1.
答案C
6.不等式|2x-1|<3的解集为 .?
解析|2x-1|<3?-3<2x-1<3?-1答案(-1,2)
7.不等式|x+3|>|2-x|的解集是 .?
解析由|x+3|>|2-x|得(x+3)2>(2-x)2,整理得10x>-5,即x>-,
故原不等式的解集为.
答案
8.若关于x的不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a= .?
解析a=0明显不符合题意.
由|ax+2|<6得-8当a>0时,有-当a<0时,有综上,a=-4.
答案-4
9.已知函数f(x)=(a∈R).
(1)若a=3,解不等式:f(x)≥2;
(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
解(1)当a=3时,不等式f(x)≥2即为≥2,所以|x+1|+|x-3|-2≥4,所以|x+1|+|x-3|≥6.
于是
或
从而x≥4,或x≤-2.
故原不等式解集为{x|x≥4或x≤-2}.
(2)f(x)的定义域为R,即不等式|x+1|+|x-a|-2≥0恒成立,
所以|x+1|+|x-a|≥2恒成立.
而g(x)=|x+1|+|x-a|的最小值为|a+1|,
于是|a+1|≥2,解得a≥1,或a≤-3.
故实数a的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).
10.已知函数f(x)=|x+a|+|2x-1|(a∈R).
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥2的解集;
(2)若f(x)≤2x的解集包含,求a的取值范围.
解(1)当a=1时,不等式f(x)≥2可化为|x+1|+|2x-1|≥2.
①当x≥时,不等式为3x≥2,解得x≥,故x≥;
②当-1≤x<时,不等式为2-x≥2,解得x≤0,故-1≤x≤0;
③当x<-1时,不等式为-3x≥2,解得x≤-,故x<-1.
综上,原不等式的解集为.
(2)因为f(x)≤2x,所以|x+a|+|2x-1|≤2x,
所以不等式可化为|x+a|≤1,解得-a-1≤x≤-a+1.
由已知得解得-≤a≤0.
故a的取值范围是.
B组
1.不等式的解集为( )
A.[0,1)
B.(0,1)
C.(-∞,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,0]∪(1,+∞)
解析因为,所以<0,解得0答案B
2.导学号26394014关于x的不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为 ( )
A.(-∞,-4]∪[4,+∞)
B.(-∞,-1]∪[4,+∞)
C.[-1,4]
D.(-∞,1]∪[2,+∞)
解析因为|x+3|-|x-1|≤4,又|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立,
所以a2-3|a|≥4,即a2-3|a|-4≥0,
解得|a|≥4或|a|≤-1(舍去).
故选A.
答案A
3.在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为 .?
解析原不等式等价于-1≤|x-2|-1≤1,
即0≤|x-2|≤2,解得0≤x≤4.
答案[0,4]
4.若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为 .?
解析由|3x-b|<4得-4<3x-b<4,即因为不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,
则故5答案(5,7)
5.导学号26394015解不等式|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4.
解当x≤-时,原不等式化为-2x-1+2-x+1-x>4,解得x<-.
当-2x+1+2-x+1-x>4,4>4,矛盾.
当12x+1+2-x+x-1>4,解得x>1.
由1当x>2时,原不等式化为2x+1+x-2+x-1>4,
解得x>.
由x>2,则x>2.
综上所述,原不等式的解集为.
6.导学号26394016已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;
(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.
解(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=
当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,
解得x≤1;
当2当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,
解得x≥5.
所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.
(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),
则h(x)=由|h(x)|≤2,
解得≤x≤.
因为|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},
所以于是a=3.
第一讲 不等式和绝对值不等式
测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.若<0,给出下列不等式:①a+b|b|;③a2.其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析由已知得b0,从而>2,因此①④正确.
答案B
2.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R}.若A?B,则实数a,b必满足( )
A.|a+b|≤3 B.|a+b|≥3
C.|a-b|≤3 D.|a-b|≥3
解析由题意可得集合A={x|a-1b+2},又A?B,所以有a+1≤b-2或b+2≤a-1,即a-b≤-3或a-b≥3,因此选D.
答案D
3.对于x∈R,不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集为( )
A.[0,+∞) B.(0,2)
C.[0,2) D.(0,+∞)
解析如图,|BC|=2-(-10)=12,|AB|=10,|AC|=2,当点P在点A右侧时|PB|-|PC|>8,故x≥0.
答案A
4.下列函数中,最小值为2的是( )
A.y=x+
B.y=x2-2x+4
C.y=x2+
D.y=
解析在函数y=x2+中,x2>0,所以y=x2+≥2=2,当且仅当x=±1时,函数的最小值为2.
答案C
5.若不等式|ax+2|<4的解集为(-1,3),则实数a等于 ( )
A.8 B.2 C.-4 D.-2
解析由已知得-4答案D
6.“a=2”是“关于x的不等式|x+1|+|x+2|A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析因为|x+1|+|x+2|≥|x+1-(x+2)|=1,所以由不等式|x+1|+|x+2|1,故必要性不成立.又当a=2时,不等式|x+1|+|x+2|答案C
7.已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|0),则a,b之间的关系是( )
A.b≥ B.b<
C.a≤ D.a>
解析由|f(x)-1|由|x+1|由题意可得解得b≥.
答案A
8.若x∈(0,π),则y=sincos2的最大值等于( )
A. B.
C. D.
解析y2=sin2cos4·2sin2·cos2·cos2
,所以y≤,故所求最大值为.
答案B
9.若|x-1|<3,|y+2|<1,则|2x+3y|的取值范围是( )
A.[0,5) B.[0,13)
C.[0,9) D.[0,4)
解析|2x+3y|=|2(x-1)+3(y+2)-4|≤2|x-1|+3|y+2|+|-4|<6+3+4=13.
答案B
10.若不等式x2<|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,7) B.(-∞,7]
C.(-∞,5) D.(-∞,5]
解析不等式x2<|x-1|+a等价于x2-|x-1|-a<0,设f(x)=x2-|x-1|-a,若不等式x2<|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集,则解得a≤5,故选D.
答案D
11.(2017陕西宝鸡一模)在正项等比数列{an}中,a2 016=a2 015+2a2 014,若aman=16,则的最小值等于( )
A.1 B. C. D.
解析设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),
由a2 016=a2 015+2a2 014,得q2=q+2,
解得q=2或q=-1(舍去).
又因为aman=16,即·2m+n-2=16,所以m+n=6.
因此(m+n)
=,
当且仅当m=4,n=2时,等号成立.故选B.
答案B
12.设0A.(a-b)2 B.(a+b)2
C.a2b2 D.a2
解析[x+(1-x)]
=a2+b2+
≥a2+b2+2ab
=(a+b)2,
当且仅当时,等号成立.
由≥m恒成立,
可知m≤(a+b)2.
故m的最大值是(a+b)2.
答案B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若x>-2,且x≠0,则的取值范围是 .?
解析因为x>-2,且x≠0,所以当x>0时,有>0;当-2答案∪(0,+∞)
14.(2017山东淄博模拟)已知f(x)=lg,若f(a)+f(b)=0,则的最小值是 .?
解析f(x)=lg,f(a)+f(b)=0,
∴lg+lg=0,
∴=1,
整理,得a+b=2(a,b∈(0,2)),
则(a+b)
=
≥.
当且仅当a=2b=时,等号成立.
答案
15.若关于x的不等式|x+1|+|x-3|≥a+对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是 .?
解析由绝对值不等式的意义可得a+≤4,所以≤0,解得a的取值范围为(-∞,0)∪{2}.
答案(-∞,0)∪{2}
16.“蛟龙号”载人深潜器是我国首台自主设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器,“蛟龙号”如果按照预计下潜的深度s(单位:米)与时间t(单位:分)之间的关系满足关系式为s=0.2t2-14t+2 000,则平均速度的最小值是 米/分.?
解析平均速度为v(t)==0.2t+-14≥2-14=2×20-14=26,当且仅当0.2t=,即t=100时,取得最小值.
答案26
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)设不等式|x-2|(1)求a的值;
(2)求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.
解(1)因为∈A,且?A,
所以且≥a,解得又因为a∈N+,所以a=1.
(2)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,
当且仅当(x+1)(x-2)≤0,
即-1≤x≤2时取到等号.
所以f(x)的最小值为3.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R+,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈R+,且=m,求证a+2b+3c≥9.
(1)解因为f(x+2)=m-|x|,所以f(x+2)≥0等价于|x|≤m.
由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m},
又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],所以m=1.
(2)证明由(1)知=1,又a,b,c∈R+,
所以a+2b+3c=(a+2b+3c)
=3+
=3+
≥3+2+2+2
=3+6=9(当且仅当a=2b=3c时,等号成立).
故a+2b+3c≥9.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
解(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.
解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.
(2)当x∈R时,
f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|
≥|2x-a+1-2x|+a
=|1-a|+a,
当x=时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3. ①
(分类讨论)
当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.
当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞).
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=|x-1|.
(1)解不等式f(x)+f(x+4)≥8;
(2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证f(ab)>|a|f.
(1)解f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|
=
当x<-3时,由-2x-2≥8,解得x≤-5;
当-3≤x≤1时,不成立;
当x>1时,由2x+2≥8,解得x≥3.
所以不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集为{x|x≤-5或x≥3}.
(2)证明因为f(ab)=|ab-1|,
|a|f=|a|=|a-b|,
又|a|<1,|b|<1,
所以|ab-1|2-|a-b|2
=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)
=(a2-1)(b2-1)>0,
所以|ab-1|>|a-b|.
故所证不等式成立.
21.导学号26394018(本小题满分12分)已知x,y,z∈R+,x+y+z=3.
(1)求的最小值;
(2)求证3≤x2+y2+z2<9.
(1)解因为x+y+z≥3>0,>0,
所以(x+y+z)≥9,即≥3,当且仅当x=y=z=1时,取最小值3.
(2)证明因为x2+y2+z2=
≥
==3(当且仅当x=y=z=1时,等号成立).
又x2+y2+z2-9=x2+y2+z2-(x+y+z)2=-2(xy+yz+zx)<0,
所以3≤x2+y2+z2<9(当且仅当x=y=z=1时,等号成立).
22. (本小题满分12分)已知f(x)=|2x-1|-|x+1|.
(1)求f(x)>x的解集;
(2)若a+b=1,对?a,b∈(0,+∞),≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求x的取值范围.
解(1)f(x)=|2x-1|-|x+1|,
当x<-1时,由f(x)>x得1-2x+x+1>x,解得x<-1;
当-1≤x≤时,由f(x)>x得1-2x-x-1>x,解得-1≤x<0;
当x>时,由f(x)>x得2x-1-(x+1)>x,即-2>0,无解.
综上,不等式f(x)>x的解集为{x|x<0}.
(2)∵f(x)=如图.
又a,b∈(0,+∞),且a+b=1,
∴(a+b)
=5+
≥5+2=9,
当且仅当时,等号成立,
即a=,b=.
∵≥|2x-1|-|x+1|恒成立,
∴|2x-1|-|x+1|≤9,
结合图象知-7≤x≤11,
故x的取值范围是-7≤x≤11.
