2.1 平面直角坐标系中的基本公式
1对于数轴上的任意三点A,B,O,下列关于有向线段的数量关系不恒成立的是( )
A.AB=OB-OA B.AO+OB+BA=0
C.AB=AO+OB D.AB+AO+BO=0
解析：AB+AO+BO=AB+BO+AO=AO+AO=2AO,AO不一定为0,故D项不恒成立.
答案：D
2在数轴上,E,F,P的坐标分别为-3,-1,13,则EP+PF=( )
A.2 B.-2 C.6 D.-6
解析：EP+PF=13-(-3)+(-1)-13=16-14=2.
答案：A
3点A(2a,1)与B(2,a)之间的距离为( )
A.(a-1) B.(1-a) C.|a-1| D.5(a-1)2
解析：由两点的距离公式,可得A,B之间的距离为d(A,B)=|a-1|.
答案：C
4已知平行四边形的三个顶点坐标为(3,-2),(5,2),(-1,4),则第四个顶点不可能是( )
A.(9,-4) B.(1,8) C.(-3,0) D.(1,-3)
解析：设第四个顶点的坐标为(x,y),然后分情况讨论.
(1)若点(3,-2),(5,2)为平行四边形的对顶点,则有,解得x=9,y=-4,即(9,-4);
(2)若(5,2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(1,8);
(3)若(3,-2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(-3,0).故应选D.
答案：D
5已知△ABC的三个顶点的坐标为A(,2),B(0,1),C(0,3),则此三角形的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
解析：判断三角形的形状,首先要知道三角形都有哪些形状.按边分:等边三角形,等腰三角形;按角分:锐角三角形,钝角三角形,直角三角形.所以在判断三角形的形状时,既要考虑到边的情况,也要考虑到角的情况.根据本题的题设我们先要根据平面内两点的距离公式计算三角形的三条边长.
因为|AB|==2,
|AC|==2,
|BC|==2,
故△ABC为等边三角形.
答案：D
6已知点A(1,3),B(5,2),点P在x轴上,则|AP|+|PB|的最小值为( )
A.6 B. C. D.5
解析：如图,作点A(1,3)关于x轴的对称点A'(1,-3),连接A'B交x轴于点P.可知|A'B|即为|AP|+|PB|的最小值,而|A'B|=.故|AP|+|PB|的最小值为.
答案：B
7在直线坐标系中有点A(1),若点A负向移动3个单位长度到达点B,则AB= .向量与以B点为起点,终点坐标为 的向量是相等向量.?
解析：由于A(1)负向移动3个单位长度到达B点,所以B点坐标为-2,且向量的坐标为-3,若以B点为起点,向量为-3,则终点坐标应为-5.
答案：-3 -5
8已知点A(5,12),在x轴上求一点P,使点P与点A的距离等于13,则满足条件的点为 .?
解析：设点P的坐标为(x,0),根据题意,得=13,解得x1=0,x2=10.
答案：(0,0)或(10,0)
9已知?ABCD的三个顶点A(0,0),B(x1,y1),D(x2,y2),则顶点C的坐标为 .?
解析：由于?ABCD的各顶点的顺序已经确定,则点C的坐标是唯一确定的.根据平行四边形的性质——对角线互相平分,再根据中点坐标公式的逆向应用,即可求出点C的坐标.
设顶点C的坐标为(m,n),AC与BD的交点为O,则O为AC和BD的中点,根据题意得点O的坐标为,
又因为点O为AC的中点,
所以,
解得m=x2+x1,n=y2+y1,
所以点C的坐标为(x1+x2,y1+y2).
答案：(x1+x2,y1+y2)
10如图,等边三角形ABC的顶点A的坐标为(-,0),点B,C在y轴上.
(1)写出B,C两点的坐标;
(2)求△ABC的面积和周长.
解(1)如题图,因为△ABC为等边三角形,|AO|=,
所以|OC|=1,|OB|=1,
即B,C两点的坐标分别为B(0,-1),C(0,1).
(2)由(1)得|BC|=2,
所以△ABC的周长为6,面积为×2×.
11河流的一侧有A,B两个村庄,如图,两村庄为了发展经济,计划在河上共建一小型水电站供两村使用.已知A,B两村到河边的垂直距离分别为300 m和600 m,且两村相距500 m.问:建水电站所需的最省的电线长是多少?
解如图,以河边所在直线为x轴,以AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,300),B(400,600).设A关于x轴的对称点为A',则A'(0,-300),且d(A',B)==100,由三角形三边的性质及对称性,知需要的最省的电线长即为线段A'B的长,因此,所需的最省的电线长为100 m.
★12
如图,在△ABC中,∠C=90°,P为三角形内一点,且S△PAB=S△PBC=S△PCA.求证:|PA|2+|PB|2=5|PC|2.
证明如图,以CA所在的直线为x轴,点C为原点建立平面直角坐标系,
设C(0,0),A(3a,0),B(0,3b),P(x,y).
∵S△PCA=S△PCB=S△PAB,
∴S△PCA=S△ABC.
即×3ay=×3a·3b,
∴y=b.∵S△PBC=S△ABC,
即×3bx=×3a·3b,
∴x=a.
∴适合条件的点P的坐标为(a,b).此时,
|PA|2=(3a-a)2+b2=4a2+b2,
|PB|2=(3b-b)2+a2=a2+4b2,
|PC|2=a2+b2,
|PA|2+|PB|2=5(a2+b2)=5|PC|2,
∴结论成立.
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
1直线l的倾斜角α的范围是( )
A.0°<α<180°
B.0°<α≤180°
C.0°≤α<180°
D.0°≤α<180°,且α≠90°
解析：正确理解倾斜角的取值范围,对于0°与180°,取0°而不取180°;另外倾斜角应包含90°.
答案：C
2已知点A(a,2),B(3,b+1),且直线AB的倾斜角为90°,则a,b的值为( )
A.a=3,b=1
B.a=2,b=1
C.a=2,b=3
D.a=3,b∈R,且b≠1
解析：由AB的倾斜角为90°知,两点横坐标相等,从而a=3.同时还应有2≠b+1,即b≠1.
答案：D
3直线l过点A(2,1),B(3,m2)(m∈R),则直线l的斜率的范围为( )
A.[-1,+∞)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-∞,-1]
解析：由斜率公式求得斜率k=m2-1,故k≥-1.
答案：A
4已知直线l1:ax-y-b=0,l2:bx-y+a=0,当a,b满足一定的条件时,它们的图形可以是( )
解析：直线l1的斜率为a,在y轴上的截距是-b;直线l2的斜率为b,在y轴上的截距是a.对于A项中的图,由直线l1知斜率a<0,在y轴上的截距-b>0,即b<0;由直线l2知斜率b>0,在y轴上的截距a>0,条件矛盾.对于B项中的图,由直线l1知斜率a>0,在y轴上的截距-b>0,即b<0;由直线l2知斜率b<0,在y轴上的截距a>0,条件相容.对于C项中的图,由直线l1知斜率a<0,在y轴上的截距-b>0,即b<0;由直线l2知斜率b<0,在y轴上的截距a>0,条件矛盾.对于D项中的图,由直线l1知斜率a>0,在y轴上的截距-b<0,即b>0;由直线l2知斜率b<0,在y轴上的截距a>0,条件矛盾.
答案：B
5已知一油槽储油20 m3,从一管道等速流出,50 min流完.则关于油槽剩余油量Q(m3)和流出时间t(min)之间的关系用图可表示为( )
解析：由题意,得Q=20-t,0≤t≤50,它表示一条线段,排除A,C项,又因为斜率为-,而D项中的图所表示的线段的斜率为,不合题意.故选B.
答案：B
6如果直线l过点P(1,3),且不经过第四象限,那么直线l的斜率的取值范围是( )
A.[0,3] B.[0,1] C. D.
解析：如图,P(1,3),O(0,0),由题意知直线l的斜率介于kOP=3和k=0之间.故选A.
答案：A
7已知直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,如图,则k1,k2,k3的大小关系是 .(由小到大写出)?
解析：因为图中直线倾斜角的大小可知l1的倾斜角为钝角,所以k1<0;l2,l3的倾斜角均为锐角,且l2的倾斜角较大,所以k2>k3>0.
所以k1
答案：k18设P为x轴上的一点,则A(-3,8),B(2,14),若PA的斜率是PB的斜率的两倍,则点P的坐标为 ?.?
解析：设P(x,0)为满足题意的点,则kPA=,kPB=,于是=2×,解得x=-5.
答案：(-5,0)
9若经过A(-1,-1),B(-4,y),C(x,3)三点的直线的斜率为-2,则实数x= ,y= .?
解析：利用两点斜率公式,由=-2,解得x=-3;由=-2,解得y=5.
答案：-3 5
10求经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的斜率,并求出倾斜角α的取值范围.
解当m=1时,直线AB的斜率不存在,此时倾斜角等于90°.
当m≠1时,直线AB的斜率k=.
(1)若m>1,则k>0,倾斜角取值范围是(0°,90°);
(2)若m<1,则k<0,倾斜角取值范围是(90°,180°).
11(1)已知直线l经过原点,且与以A(1,1),B(3,-1)为端点的线段相交,试通过作图探索出直线l的斜率范围.
(2)已知直线l经过原点,且与以A(1,1),B(-3,-1)为端点的线段相交,试通过作图探索出直线l的斜率范围.
(3)试比较(1)和(2)两小题的结果有什么不同,你能从中总结出什么规律来吗?
解(1)如图,当直线l绕着原点旋转和线段AB相交时,即从OB旋转到OA的过程中斜率由负(kOB)到正(kOA)连续增大,因为kOB==-,kOA==1,
所以直线l的斜率k的范围是-≤k≤1.
(2)如图,当直线l绕着原点旋转和线段AB相交时,即从OA旋转到OB的过程中斜率从kOA开始逐渐增加到正无穷大,这时l与y轴重合,当l再旋转下去时,斜率从负无穷逐渐增加到kOB.因为kOB=,kOA==1,所以直线l的斜率k的范围是k≤或k≥1.
(3)经比较可以发现:(1)中直线l的斜率介于kOA和kOB之间,而(2)中直线l的斜率处于kOA和kOB之外.一般地,如果直线l和线段AB相交,若直线l和x轴垂直(斜率不存在)时,与线段AB不相交,则l斜率介于kOA和kOB(斜率均包含kOA和kOB)之间;若直线l和x轴垂直(斜率不存在)时,与线段AB相交,则l斜率位于kOA和kOB(斜率均包含kOA和kOB)之外.
★12如图,已知在矩形ABCD中,点A(-4,4),D(5,7),其对角线的交点E在第一象限内且与y轴的距离为一个单位,动点P(x,y)沿矩形的一边BC运动,设z=.
(1)探讨z的几何意义.
(2)当点P沿边BC运动时,z是否总存在.并求出z的取值范围.
解(1)z=的几何意义为原点O与BC上动点P连线的斜率.
(2)当点P在BC与y轴的交点上时,OP⊥x轴,z=不存在.除此之外,P在BC边上其他点运动,z都存在.由于点E在第一象限且到y轴的距离为1,则可设点E的坐标为(1,m)(m>0).
因为|AE|=|DE|,
所以,
所以m=4,即点E(1,4).
由中点公式
得
所以点C(6,4).
同理求得点B(-3,1).
因为点P在边BC上运动,所以z==kOP,
由题图可知,kOP≥kOC或kOP≤kOB,
又kOC=,kOB=-,
所以z≥或z≤-.
2.2.2 直线方程的几种形式
1在同一平面直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a的图象正确的是( )
解析：结合四个图象,a在两个方程中分别表示斜率和纵截距,它们的符号应一致.逐一判断知A,B,D项均错,只有C项正确.
答案：C
2下列命题:
①=k表示过定点P(x0,y0)且斜率为k的直线;
②直线y=kx+b和y轴交于点B,O是原点,那么b=|OB|;
③一条直线在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,那么该直线的方程为=1;
④方程(x1-x2)(y-y1)+(y2-y1)(x-x1)=0表示过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点的直线.
其中错误命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：①不是点斜式,因为它不包含点(x0,y0);②b≠|OB|,b是点B的纵坐标,可正、可负、可为零;③当a=b=0时,直线方程不能写成=1;④正确,这是两点式的变形形式,其可以表示过P1 (x1,y1),P2(x2,y2)的所有直线.
答案：D
3已知两直线的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在平面直角坐标系中的位置如图所示,则( )
A.b>0,d<0,aB.b>0,d<0,a>c
C.b<0,d>0,a>c
D.b<0,d>0,a解析：由已知直线方程,变形得l1:y=-x-,l2:y=-x-,
由图象知
答案：C
4过点P(3,2)的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析：画图分析：此题会比较简单,符合条件的直线有两种情况(如图).若直线经过第一、二、四象限,此时三角形面积一定大于长与宽分别为3与2的矩形的面积,即大于6,不符合条件.
答案：B
5直线2x-y+4=0在两坐标轴上的截距之和是( )
A.6 B.4 C.3 D.2
解析：令x=0得y=4;令y=0得x=-2,于是截距是4+(-2)=2.
答案：D
6如果直线经过点A(1,4),且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍,那么直线的方程为( )
A.2x+y-9=0 B.y=4x
C.y=4x和2x+y-9=0 D.y=4x和x+2y-9=0
解析：当直线经过坐标原点时,直线在x轴、y轴上的截距都是0,符合题意,设其方程为y=kx,又直线经过点A(1,4),所以4=k,即方程为y=4x.当直线不经过坐标原点时,设其方程为=1,又直线经过点A(1,4),所以=1,解得a=,此时直线方程为=1,即x+2y-9=0.故所求直线方程为y=4x或x+2y-9=0.
答案：D
7若一条直线经过点M(2,1),且在两坐标轴上的截距之和是6,则该直线的方程为 .?
解析：由题意,设直线在x轴上的截距为a,则其在y轴上的截距为6-a.于是我们可列出此直线的截距式方程为=1,代入点M的坐标(2,1),得到关于a的一元二次方程,解得a=3或a=4,从而得到直线的方程为=1或=1,化为一般式方程即为x+y-3=0或x+2y-4=0.
答案：x+y-3=0或x+2y-4=0
8已知直线l过点P(-2,3),且与x轴、y轴分别交于A,B两点.若P点恰为线段AB的中点,则直线l的方程为 .?
解析：设直线l的斜率为k,则其方程为y-3=k(x+2).令y=0得x=--2;令x=0,得y=2k+3,因此A,B(0,2k+3).因为P是AB的中点,所以=-2,且=3,解得k=.因此l的方程为3x-2y+12=0.
答案：3x-2y+12=0
9经过点(-2,1),且斜率与直线y=-2x-1的斜率相等的直线方程为 .?
解析：由直线y=-2x-1的斜率为-2,则所求直线的斜率也是-2,故其方程为y-1=-2(x+2),即2x+y+3=0.
答案：2x+y+3=0
10若直线2x+3y+m=0经过第一、二、四象限,则实数m的取值范围是 .?
解析：直线方程可化为y=-x-m,则-m>0,即m<0.
答案：m<0
11设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.
(1)经过定点P(2,-1);
(2)在y轴上的截距为6;
(3)与y轴平行;
(4)与x轴平行.
解(1)点P在直线l上,即P(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,把点P的坐标(2,-1)代入,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=.
(2)令x=0,得y=,
由题意知=6,
解得m=-或m=0.
(3)与y轴平行,则有
解得m=.
(4)与x轴平行,则有
解得m=3.
★12已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;
(2)为使直线l不经过第二象限,求a的取值范围.
(1)证明(方法一)将直线l的方程整理为y-=a,
∴l的斜率为a,且过定点A,
而点A在第一象限,故不论a为何值,直线l恒过第一象限.
(方法二)直线l的方程可化为(5x-1)a-(5y-3)=0.
由于上式对任意的a总成立,必有
则有
即l过定点A,以下同方法一.
(2)解直线OA的斜率为k==3.
要使l不经过第二象限,需它在y轴上的截距不大于零,即令x=0时,y=-≤0,故a≥3.
★13已知点A(2,5)与点B(4,-7),试在y轴上求一点P,使得|PA|+|PB|的值最小,并求出最小值.
解如图,作点A(2,5)关于y轴的对称点A',则其坐标为(-2,5),在y轴上任取一点P,由对称的知识易知|PA'|=|PA|.
则求|PA|+|PB|的最小值,即求|PA'|+|PB|的最小值.
由平面几何知识知,当A',P,B三点共线时,|PA'|+|PB|最小,由两点式得A'B所在直线的方程为,即2x+y-1=0.
令x=0,得y=1,故所求点P的坐标为(0,1).
此时,(|PA|+|PB|)min=|A'B|
==6.
2.2.3 两条直线的位置关系
1若直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1与l2只有一个公共点,则( )
A.A1B1-A2B2=0
B.A1B2-A2B1≠0
C.
D.
答案：B
2如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么a等于( )
A.-3 B.-6
C.- D.
答案：B
3已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A.4x+2y=5
B.4x-2y=5
C.x+2y=5
D.x-2y=5
解析：可以先求出AB的中点坐标为,又因为直线AB的斜率k==-,所以线段AB的垂直平分线的斜率为2.由点斜式方程,可得所求垂直平分线的方程为y-=2(x-2),即4x-2y=5.
答案：B
4已知点A(7,-4)关于直线l的对称点为B(-5,6),则直线l的方程是( )
A.5x+6y-11=0
B.5x-6y+1=0
C.6x+5y-11=0
D.6x-5y-1=0
答案：D
5已知l平行于直线3x+4y-5=0,且l和两坐标轴在第一象限内所围成的三角形的面积是24,则直线l的方程是( )
A.3x+4y-12=0
B.3x+4y+12=0
C.3x+4y-24=0
D.3x+4y+24=0
解析：设直线l的方程是3x+4y-c=0,c>0,由题意,知=24,所以c=24.
答案：C
6若过点A(4,m),B(m,-2)的直线与直线x+2y+2=0垂直,则m的值为 .?
解析：因为直线AB垂直于直线x+2y+2=0,
又因为直线x+2y+2=0的斜率为-,
所以直线AB的斜率kAB==2,
即m=2.
答案：2
7设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=x+b},且A∩B={(2,5)},则a= ,b= .?
答案：2 3
8若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则的值等于 .?
解析：由于点A在第一象限,点B在x轴上,点C在y轴上,因此三点所在的直线斜率存在,因此直线AB的斜率与直线BC的斜率相等,从而将题意转化为关于a和b的等式,再进一步整理求出的值.根据题意,得2a=b(a-2),整理得.
答案：
9直线l与直线3x-2y=6平行,且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,则直线l的方程为 .?
解析：由题意知直线l的斜率k=,
设直线l的方程为y=x+b.令y=0,得x=-,∴--b=1,解得b=-.
∴直线l的方程为y=x-,即15x-10y-6=0.
答案：15x-10y-6=0
10直线l过直线x+y-2=0和直线x-y+4=0的交点,且与直线3x-2y+4=0平行,求直线l的方程.
解(方法一)联立方程
解得即直线l过点(-1,3),
由直线l与直线3x-2y+4=0平行得直线l的斜率为,故直线l的方程为y-3=(x+1),
即3x-2y+9=0.
(方法二)因为直线x+y-2=0不与3x-2y+4=0平行,所以可设符合条件的直线l的方程为x-y+4+λ(x+y-2)=0,
整理得(1+λ)x+(λ-1)y+4-2λ=0.
因为直线l与直线3x-2y+4=0平行,
所以,解得λ=,
故直线l的方程为x-y+=0,
即3x-2y+9=0.
★11光线沿着直线x-2y+1=0射入,遇到直线l:3x-2y+7=0即发生反射,求反射光线所在的直线方程.
解设直线x-2y+1=0上任一点P(x0,y0)关于直线l的对称点为P'(x,y),因为PP'⊥l,所以=-.
所以=-. ①
又因为PP'的中点M在l上,
所以3-2+7=0. ②
由方程①②,可得点P的坐标为
.
所以x-2y+1=0关于直线l的对称直线的方程为-2+1=0.
整理得29x-2y+85=0.
故反射光线所在的直线方程为29x-2y+85=0.
★12已知A(-3,5),B(2,15),直线l:3x-4y+4=0,在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|的值最小,并求出最小值.
解如图,设点A关于直线l的对称点为A'(x0,y0).
∵AA'⊥l,∴AA'的中点在直线l上,
∴
即
解得
∴点A'的坐标为(3,-3).
由|PA|=|PA'|知|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|.又当B,P,A'三点共线时,|PA'|+|PB|的值最小,即使|PA|+|PB|的值最小.
由两点式可得A'B的方程为,
即为18x+y-51=0.
又∵点P应是A'B与l的交点,
∴解方程组
得∴所求点P的坐标为.
最小值为|A'B|==5.
2.2.4 点到直线的距离
1点(3,1)到直线y=2x的距离为( )
A.5 B. C. D.
解析：直线方程化为2x-y=0,故所求距离d=.
答案：B
2已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值是( )
A. B.2- C.-1 D.+1
解析：由点到直线的距离公式,得=1,
因为|a+1|=,所以a=±-1.
又因为a>0,所以a=-1.
答案：C
3已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,那么它们之间的距离是( )
A.4 B. C. D.
解析：因为两直线平行,所以3m=12,即m=4,6x+my+1=0可化为3x+2y+=0,由两平行直线间的距离公式得d=.
答案：D
4已知点P(a,b)是第二象限的点,那么它到直线x-y=0的距离是( )
A.(a-b) B.b-a C.(b-a) D.
解析：因为P(a,b)是第二象限的点,所以a<0,b>0.
所以a-b<0.
所以点P到直线x-y=0的距离d=(b-a).
答案：C
5若P,Q分别为3x+4y-12=0与3x+4y+3=0上任一点,则|PQ|的最小值为( )
A. B. C.3 D.6
解析：|PQ|的最小值即两条平行线间的距离,
则根据两条平行线间的距离公式得|PQ|==3.
答案：C
6已知x,y满足3x+4y-10=0,则x2+y2的最小值为 ( )
A.2 B.4 C.0 D.1
解析：因为x2+y2视为原点到直线上的点P(x,y)的距离的平方,所以x2+y2的最小值为原点到直线3x+4y-10=0的距离的平方.因为d==2,所以x2+y2的最小值为4.
答案：B
7过点M(1,5)和点N(-2,9)分别作两条平行直线,使它们之间的距离等于5,则满足条件的直线共有( )
A.0组 B.1组 C.2组 D.3组
解析：因为|MN|==5,所以满足条件的直线有且仅有1组,它们与线段MN所在的直线垂直.
答案：B
8已知定点A(0,1),点B在直线x+y=0上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是 .?
解析：可设B(x,-x),
所以d(A,B)=,
又d(A,B)min=,
这时x=-,点B的坐标为.
答案：
9已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m= .?
解析：由已知可得=3,即|m+3|=3,解得m=0或m=.
答案：0或
10与直线l:5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的直线m的方程为 .?
解析：设所求直线为5x-12y+c=0,则由两平行直线间的距离公式得2=,解得c=32或c=-20.故所求直线的方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.
答案：5x-12y+32=0或5x-12y-20=0
11已知直线l过直线y=-x+1和y=2x+4的交点,
(1)若直线l与直线x-3y+2=0垂直,求直线l的方程;
(2)若原点O到直线l的距离为1,求直线l的方程.
解(1)由得交点(-1,2),
因为直线x-3y+2=0的斜率是,直线l与直线x-3y+2=0垂直,所以直线l的斜率为-3,
所以所求直线l的方程为y-2=-3(x+1),
即3x+y+1=0.
(2)如果l⊥x轴,则l的方程为x=-1符合要求.
如果l不垂直于x轴,设l的方程为y-2=k(x+1),
即kx-y+2+k=0,
原点O到直线l的距离=1,
解之,得k=-,此时l:y-2=-(x+1).
综上,直线l的方程为3x+4y-5=0或x=-1.
12两条互相平行的直线分别过A(6,2),B(-3,-1)两点,并且各自绕着A,B点旋转(但始终保持平行关系).如果两条平行线间的距离为d.
(1)求d的变化范围;
(2)求当d取得最大值时两条直线的方程.
解(1)根据题意可知,当两平行线均与线段AB垂直时,距离d=|AB|=3最大;当两平行线重合,即都过A,B点时,距离d=0最小.但平行线不能重合,
所以0(2)当d=3时,所求的两条直线的斜率相同,且k=-3,所以两条直线的方程分别为3x+y-20=0和3x+y+10=0.
★13已知点P(2,-1),求:
(1)过点P且与原点O距离为2的直线l的方程;
(2)过点P且与原点O距离最大的直线l的方程,并求此最大距离.
解(1)点P的坐标为(2,-1),由题意知可分两种情况:
①若直线l的斜率不存在,则其方程为x=2,原点到直线x=2的距离为2,满足题意;
②若直线l的斜率存在,设为k,则l的方程为y+1=k(x-2),
即kx-y-2k-1=0.
由已知,得=2,解得k=.
此时l的方程为3x-4y-10=0.
综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
(2)过点P且与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,故设直线l、直线OP的斜率分别为kl,kOP.
由题意知kOP=-,由l⊥OP,得kl·kOP=-1,即kl=-=2.
由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.
即直线l:2x-y-5=0是过点P且与原点O距离最大的直线,且最大距离为.
★14已知在△ABC中,A(1,1),B(m,)(1解∵A(1,1),C(4,2),
∴|AC|=.
又直线AC的方程为x-3y+2=0,
根据点到直线的距离公式可得点B(m,)到直线AC的距离d=,
∴S=|AC|·d=|m-3+2|
=.
∵1∴0≤,
∴S=.
∴当=0,即m=时,S最大.
故当m=时,△ABC的面积S最大.
2.3.1 圆的标准方程
1圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是( )
A.π B.2π C.2π D.2π
解析：该圆的半径为,故周长为2π·=2π.
答案：B
2圆(x-2)2+(y+3) 2=2上的点与点(0,-5)的最大距离为( )
A. B.2 C.4 D.3
解析：圆心为(2,-3),点(0,-5)与圆心的距离为=2,又圆的半径为,故所求最大距离为2=3.
答案：D
3从点P(3,b)向圆(x+2)2+(y+2)2=1作切线,则切线长的最小值为( )
A.5 B.4 C.5.5 D.2
解析：切线长d=,故当b=-2时,d取最小值2.
答案：D
4三颗地球通讯卫星发射的信号即可覆盖全球,若设赤道大圆的方程为x2+y2=R2(R为地球半径),三颗卫星均可分布于赤道上空,则三颗卫星所在位置确定的圆的方程为( )
A.x2+y2=2R2 B.x2+y2=4R2
C.x2+y2=8R2 D.x2+y2=9R2
解析：由题意知卫星距地面高度为R,则方程为x2+y2=4R2.故选B.
答案：B
5方程y=-表示的曲线是( )
A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆
解析：由方程可得y2=12-x2,于是x2+y2=12,但y≤0,故该方程表示的曲线是一个半圆,即圆x2+y2=12位于x轴下方的部分.
答案：D
6圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为 .?
解析：设圆心C(a,b),则
即且|AC|=|BC|=r=.
故(x-2)2+(y+3)2=5为所求.
答案：(x-2)2+(y+3)2=5
7圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+2y-3=0对称的圆的方程是 .?
解析：关于直线x+2y-3=0对称的两圆半径相等,圆心连线被直线x+2y-3=0垂直平分.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1.
由题意得
解得
故所求圆的方程为=1.
答案：=1
8已知线段AB的端点B的坐标为(4,0),端点A在圆x2+y2=1上运动,则线段AB的中点的轨迹方程为 .?
答案：(x-2)2+y2=
9若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y=x(x≥0)相切,试求这个圆的标准方程.
解由题意可设圆的圆心为(1,b)(b>0).根据该圆与直线y=x相切,得=1??b=,故所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2=1.
10已知点A(0,2)和圆C:(x-6)2+(y-4)2=,一条光线从点A出发射到x轴上后沿圆的切线方向反射,求这条光线从点A到切点所经过的路程.
解设反射光线与圆相切于点D,点A关于x轴的对称点的坐标为A1(0,-2),则光线从点A到切点所走的路程为|A1D|.
在Rt△A1CD中,|A1D|2=|A1C|2-|CD|2=(-6)2+(-2-4)2-.
所以|A1D|=,即光线从A点到切点所经过的路程是.
11已知点P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的任意一点,点A(-1,0),B(1,0),试求|PA|2+|PB|2的最大值和最小值.
分析：利用数形结合,转化为求圆C上的点与原点距离的最值.
解设P(x,y),则有|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2x2+2y2+2=2()2+2=2[]2+2=2|OP|2+2,
由题意得|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4.
所以|PA|2+|PB|2的最大值是2×62+2=74,最小值是2×42+2=34.
★12有一种大型商品,A,B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后,回运的费用是:每单位距离A地的运费是B地运费的3倍,已知A,B两地距离10千米,顾客选A或B地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低,求A,B两地售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.
解如图,以A,B所确定的直线为x轴,A,B中点O为坐标原点,建立直角坐标系,则A(-5,0),B(5,0).
设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购买商品便宜并设A地的运费为3a元/千米,B地的运费为a元/千米.
价格+每单位距离运费×到A地的距离≤价格+每单位距离运费×到B地的距离,
即3a≤a,
∵a>0,∴3,
即+y2≤.
∴以点C为圆心,为半径的圆是这两地购货的分界线.
圆C内的居民从A地购货便宜.
圆C外的居民从B地购货便宜.
圆C上的居民从A,B两地购货的总费用相等,因此,可随意从A,B两地之一购货.
2.3.2 圆的一般方程
1曲线x2+y2+2x-2y=0关于( )
A.直线x=2对称 B.直线y=-x对称
C.点(-2,2)中心对称 D.点(-2,0)中心对称
解析：将圆方程化为标准方程得(x+)2+(y-)2=4.圆心(-)在直线y=-x上,故圆关于直线y=-x对称.故选B.
答案：B
2若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值是( )
A.-1 B.2 C.-1或2 D.1
解析：由可得a=-1或a=2(舍).
答案：A
3过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是( )
A.y=x B.y=-x C.y=x D.y=-x
解析：设直线方程为y=kx,因为圆心(-2,0)到直线kx-y=0的距离等于圆的半径1,所以=1,解得k=±.又因为切点在第三象限,所以k=-舍去.所以所求直线的方程为y=x.
答案：C
4点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=1 D.(x+2)2+(y-1)2=1
解析：设圆上任意一点的坐标为(x1,y1),其与点P连线的中点为(x,y),则代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.
答案：A
5圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是( )
A.36 B.18 C.6 D.5
解析：x2+y2-4x-4y-10=0?(x-2)2+(y-2)2=18,即圆心为(2,2),半径为3.由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为=5,由数形结合思想可得:该圆上的点到已知直线的距离的最小值为2,最大值为8,故所求距离之差为6.
答案：C
6已知A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点,则这四点( )
A.共线 B.不共面 C.共圆 D.不共圆
解析：设经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有解得所以经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0,将点D(4,3)的坐标代入上述方程有42+32-2×4+2×3-23=0,所以点D在此圆上,故A,B,C,D四点共圆.
答案：C
7已知A(-2,0),B (0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积的最大值为( )
A.3- B.4- C. D.3+
解析：要使△ABC的面积最大,即要求点C到AB的距离最大,亦即求圆上的点到直线AB距离的最大值,应为圆心到直线AB的距离d与半径r之和.由于圆心C(1,0)到直线AB:x-y+2=0的距离d为,即C到AB的距离的最大值为+1,故△ABC的面积的最大值为×|AB|×=3+.
答案：D
8设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1),则直线AB的方程是 .?
解析：直线AB与点P和圆心所确定的直线垂直,由点斜式可得.
答案：x+y-4=0
9圆x2+y2-2x-K2+2K-2=0的面积的最小值是 .?
解析：圆的方程可化为(x-1)2+y2=K2-2K+3,因此其半径为,圆的面积S=π()2=(K2-2K+3)π=[(K-1)2+2]π,故当K=1时,圆的面积最小,最小值为2π.
答案：2π
10判断下列方程表示什么图形.
(1)x2+y2=0;
(2)x2+y2-2x-2y-3=0;
(3)x2+y2+2ax+2by=0.
解(1)因为x2+y2=0,所以x=0,且y=0.
即方程表示一个点(0,0).
(2)原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=5,
即方程表示圆心为(1,1),半径为的圆.
(3)原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=a2+b2,
当a=b=0时,方程表示一个点(0,0);
当a2+b2≠0时,方程表示圆心为(-a,-b),半径为的圆.
11已知过点M(-1,1)的直线l被圆C:x2+y2-2x+2y-14=0所截得的弦长为4,求直线l的方程.
解由圆的方程可求得圆心C的坐标为(1,-1),半径为4,
因为直线l被圆C所截得的弦长为4,
所以圆心C到直线l的距离为2.
(1)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,此时点C到l的距离为2,可求得弦长为4,符合题意.
(2)若直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y-1=k(x+1),
即kx-y+k+1=0,
因为圆心C到直线l的距离为2,
所以=2,所以k2+2k+1=k2+1,
所以k=0,所以直线l的方程为y=1.
综上(1)(2)可得:直线l的方程为x=-1或y=1.
★12
某圆拱桥的示意图如图,该圆拱的跨度AB是16 m,拱高OP是4 m,在建造时,每隔2 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度.
分析：建立适当的坐标系,以线段AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系,设出圆的一般方程,代入点的坐标即可求出.
解以线段AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系,那么点A,B,P的坐标分别为(-8,0),(8,0),(0,4),
设圆拱所在的圆的方程为
x2+y2+Dx+Ey+F=0.
∵点A,B,P在所求的圆上,
则代入坐标得
解得
∴圆拱所在的圆的方程为x2+y2+12y-64=0.
将点P2的横坐标x=2代入圆的方程,
解得y1=-6-4(舍)或y2=-6+4.
答:支柱A2P2的长为(4-6) m.
2.3.3 直线与圆的位置关系
1直线m(x+1)+n(y+1)=0(m≠n)与圆x2+y2=2的位置关系是( )
A.相切 B.相离
C.相交 D.不确定
解析：直线方程可化为mx+ny+m+n=0.
因为圆心(0,0)到该直线的距离为,
又因为-2=-<0(m≠n),
所以圆心到直线的距离小于半径,即直线与圆相交.
答案：C
2若直线y=kx+1与圆x2+y2=1交于P,Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为( )
A. B.
C.- D.-
解析：因为∠POQ=120°,所以∠OPQ=30°,取PQ中点为M,则△OPM是直角三角形,且|OM|=,由点到直线距离公式可得,解得k=±.
答案：D
3已知实数r是常数,如果M(x0,y0)是圆x2+y2=r2内异于圆心的一点,那么直线x0x+y0y=r2与圆x2+y2=r2的位置关系是( )
A.相交但直线不经过圆心
B.相交且直线经过圆心
C.相切
D.相离
解析：由于M在圆内,所以而圆x2+y2=r2的圆心到直线x0x+y0y-r2=0的距离d==r,故直线与圆相离.
答案：D
4圆(x+1)2+(y+2)2=8上与直线x+y+1=0的距离等于的点共有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析：因为圆心到直线的距离d=,r=2,所以直线与圆相交.
又因为r-d=,所以劣弧上到直线的距离等于的点只有1个,在优弧上到直线的距离等于的点有2个,所以满足条件的点共3个.
答案：C
5若曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个交点,则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：如图,因为直线y=k(x-2)+4过定点(2,4),且点C的坐标为(-2,1),所以k的最大值为,而曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4相切时,k的值为或不存在,所以k的取值范围为答案：B
6已知圆C:(x-1)2+y2=1与直线l:x-2y+1=0相交于A,B两点,则|AB|= .?
解析：因为圆心C到直线l的距离d=,
所以|AB|=2=2.
答案：
7过点(1,)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k= .?
解析：由数形结合思想可知满足题设条件的直线与过圆心(2,0)和点(1,)的直线垂直,由两点间连线的斜率公式可得过两点(2,0)和(1,)的直线的斜率为=-,故所求直线的斜率为.
答案：
8由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为 .?
解析：因为∠APB=60°,所以∠APO=30°,
设P(x,y),因为sin∠APO=,
即,
所以x2+y2=4.
答案：x2+y2=4
9已知圆x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0(m∈R).
(1)求证:不论m为何值,圆心总在同一条直线l上.
(2)与l平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离?
(1)证明将圆的方程配方得
(x-3m)2+[y-(m-1)]2=25.
设圆心为(x,y),
则
消去m得l:x-3y-3=0.
故圆心恒在直线l:x-3y-3=0上.
(2)解设与l平行的直线是l':x-3y+b=0,圆心(3m,m-1)到直线l'的距离为
d=.
因为半径r=5,
所以当d即-5-3当d=r,即b=±5-3时,直线与圆相切;
当d>r时,即b<-5-3或b>5-3时,直线与圆相离.
10已知直线l被两平行直线l1:2x-5y=-9与l2:2x-5y-7=0所截线段AB的中点恰在直线x-4y-1=0上,已知圆C:(x+4)2+(y-1)2=25.
(1)求两平行直线l1与l2的距离;
(2)求证:直线l与圆C恒有两个交点;
(3)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程.
(1)解两平行直线l1与l2的距离d=.
(2)证明设线段AB的中点P的坐标为(a,b),由P到l1,l2的距离相等,得
,
整理,得2a-5b+1=0,
因为点P在直线x-4y-1=0上,
所以a-4b-1=0.
解方程组
得
即点P的坐标为(-3,-1),
所以直线l恒过点P(-3,-1).
将点P(-3,-1)代入(x+4)2+(y-1)2中,可得(-3+4)2+(-1-1)2<25,
所以点P(-3,-1)在圆内,从而过点P的直线l与圆C恒有两个交点.
(3)解当PC与直线l垂直时,弦长最小,kPC=-2,
所以直线l的斜率为,
所以直线l的方程为x-2y+1=0.
★11在平面直角坐标系xOy中,已知圆Q:x2+y2-12x+32=0,过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q交于不同的两点A,B.
(1)求k的取值范围;
(2)设AB的中点为M,是否存在常数k,使得直线OM∥直线PQ?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
解(1)圆Q的方程可写成(x-6)2+y2=4,则Q(6,0),
设过点P(0,2)且斜率为k的直线方程为y=kx+2.
代入圆的方程得x2+(kx+2)2-12x+32=0,
整理,得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0. ①
又直线与圆Q交于不同的两点A,B,
所以Δ=[4(k-3)]2-4×36(1+k2)=16(-8k2-6k)>0,即16k(8k+6)<0,解得-即k的取值范围为.
(2)假设存在满足题意的常数k.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则M.
由方程①得x1+x2=,
所以y1+y2=k(x1+x2)+4=,
而kPQ==-,kOM=,
要使OM∥PQ,则kPQ=kOM==-,
即=-,
解得k=-.
由(1)知没有符合题意的常数k.
2.3.4 圆与圆的位置关系
1已知0
A.外切 B.相交 C.外离 D.内含
解析：设圆(x-1)2+(y+1)2=2的圆心为O',则O'(1,-1).两圆的圆心距离d(O,O')=.显然有|r-|<+r,故两圆相交.
答案：B
2内切两圆的半径长是方程x2+px+q=0的两根,已知两圆的圆心距为1,其中一圆的半径为3,则p+q= ( )
A.1 B.5
C.1或5 D.以上都不对
解析：由x2+px+q=0,得因为有一圆半径为3,不妨设x2=3,因为两圆内切,所以|x1-3|=1.所以x1=4或x1=2.当x1=4时,p=-7,q=12,p+q=5;当x1=2时,p=-5,q=6,p+q=1.
答案：C
3已知圆C1:x2+y2-4x+6y=0和圆C2:x2+y2-6x=0交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线方程为( )
A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
解析：由平面几何知识,知线段AB的垂直平分线即为两圆心所在的直线,把两圆分别化为标准式可得两圆心分别为C1(2,-3),C2(3,0),因为C1C2所在直线的斜率为3,所以直线方程为y-0=3(x-3),即3x-y-9=0.
答案：C
4点M在圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,点N在圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,则|MN|的最大值是( )
A.5 B.7 C.9 D.11
解析：因为C1为(x+3)2+(y-1)2=4, C2为(x-1)2+(y+2)2=4,所以圆心分别为(-3,1),(1,-2),所以两圆圆心距为5.
又因为两圆半径分别为2,2,所以两圆外离,
所以|MN|的最大值是5+2+2=9.
答案：C
5若集合A={(x,y)|x2+y2≤16},B={(x,y)|x2+(y-2)2≤a-1},且A∩B=B,则a的取值范围是( )
A.a≤1 B.a≥5 C.1≤a≤5 D.a≤5
解析：由A∩B=B知B?A,
则0≤a-1≤4,即1≤a≤5.
答案：C
6若圆(x-a)2+(y-b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长,则a,b应满足的关系式是( )
A.a2-2a-2b-3=0
B.a2+2a+2b+5=0
C.a2+2b2+2a+2b+1=0
D.3a2+2b2+2a+2b+1=0
解析：利用两圆的公共弦始终经过圆(x+1)2+(y+1)2=4的圆心即可求得.把两圆分别化成一般式方程,作差可得公共弦方程为(2a+2)x+(2b+2)y-a2-1=0,它经过圆心(-1,-1),代入后有a2+2a+2b+5=0.
答案：B
7两圆x2+y2=4和x2+y2-2x+4y+1=0关于直线l对称,则直线l的方程为 .?
解析：由题意知,两圆的圆心分别为C1(0,0),C2(1,-2).
若要两圆关于直线l对称,则C1,C2关于l对称.
因为C1C2的中点为=-2,
所以直线l的方程为y+1=,
即2x-4y-5=0.
答案：2x-4y-5=0
8两圆相交于两点(1,3),(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c的值为 .?
解析：由两圆的公共弦的垂直平分线为两圆心所在的直线,可得=-1,则m=5.因为两公共点(1,3)和(5,-1)的中点(3,1)在直线x-y+c=0上,所以c=-2.所以m+c=3.
答案：3
9求圆心在直线x+y=0上,且过两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0交点的圆的方程.
解(方法一)将两圆的方程联立得
解这个方程组求得两圆的交点坐标为A(-4,0),B(0,2).
因为所求圆的圆心在直线x+y=0上,所以设所求圆的圆心坐标为(x,-x),所以它到两交点(-4,0)和(0,2)的距离相等,
故有,
即4x=-12,
所以x=-3,y=-x=3,
从而所求圆的圆心坐标是(-3,3).
又所求圆的半径r=,
故所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.
(方法二)设所求圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),
即x2+y2-x+y-=0.
可知所求圆的圆心坐标为.
因为所求圆的圆心在直线x+y=0上,
所以=0,解得λ=-2.
将λ=-2代入所设方程并化简,求得圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.
10已知动圆M与y轴相切且与定圆A:(x-3)2+y2=9外切,求动圆的圆心M的轨迹方程.
解设点M(x,y),动圆的半径为r,由题意,得|MA|=r+3,且r=|x|,
所以=|x|+3.
当x>0时,两边平方化简得y2=12x;
当x<0时,两边平方化简得y=0.
综上,动圆的圆心M的轨迹方程为y2=12x(x>0),y=0(x<0).
★11求过直线2x+y+4=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且满足下列条件之一的圆的方程.
(1)过原点;
(2)有最小面积.
分析：利用圆系方程设出待求方程,再根据条件代入求出待定系数即可.
解设所求圆的方程为
x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0,
即x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+1+4λ=0.
(1)∵此圆过原点,∴1+4λ=0,λ=-.
故所求圆的方程为x2+y2+x-y=0.
(2)当圆心在直线2x+y+4=0上时,圆的面积最小.
易求得圆心坐标为,
代入直线方程得-2(1+λ)-+4=0,
解得λ=,故当λ=时,此圆面积最小,满足条件的圆的方程为x2+y2+x-y+=0.
2.4 空间直角坐标系
1在空间直角坐标系中,P(2,3,4),Q(-2,3,-4)两点的位置关系是( )
A.关于x轴对称 B.关于yOz平面对称
C.关于坐标原点对称 D.关于y轴对称
解析：因为P,Q两点的y坐标相同,x,z坐标分别互为相反数,它们的中点在y轴上,并且PQ与y轴垂直,故P,Q关于y轴对称.
答案：D
2已知三点A(-1,0,1),B(2,4,3),C(5,8,5),则( )
A.三点构成等腰三角形
B.三点构成直角三角形
C.三点构成等腰直角三角形
D.三点不能构成三角形
解析：因为|AB|=,|BC|=,|AC|==2,
所以|AC|=|AB|+|BC|.
所以三点不能构成三角形.
答案：D
3已知空间一点P在xOy平面上的射影为M(1,2,0),在xOz平面上的射影为N(1,0,3),则P在yOz平面上的射影Q的坐标为( )
A.(1, 2,3) B.(0,0,3) C.(0,2,3) D.(0,1,3)
解析：由P点在xOy平面上的射影,知xP=1,yP=2,在xOz平面上的射影为N(1,0,3),知xP=1,zP=3.
故P(1,2,3)在yOz平面上的射影为Q(0,2,3).
答案：C
4已知A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A,B两点间距离的最小值是( )
A. B. C. D.
解析：因为d(A,B)
=
=
=,
所以A,B两点间距离的最小值是.
答案：C
5如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,棱长为1,点P在对角线BD'上,且BP=BD',则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：点P在坐标平面xDy上的射影落在BD上.
因为BP=BD',所以Px=Py=,Pz=.
故点P的坐标为.
答案：D
6在空间直角坐标系中,若点P在x轴上,它到P1(0,,3)的距离为2,则点P的坐标为 .?
解析：设P(x,0,0),则=2,解得x=±1,故P点坐标为(±1,0,0).
答案：(±1,0,0)
7在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,-2),B(1,-3,1),点B关于坐标平面xOy的对称点为B1,则|AB1|= .?
答案：
8若半径为r的球在第Ⅲ卦限内,且与各坐标平面均相切,则球心的坐标是 .?
解析：由第Ⅲ卦限内的各坐标的符号正负可得.
答案：(-r,-r,r)
9若点P(x,y,z)到A(1,0,1),B(2,1,0)两点的距离相等,则x,y,z满足的关系式是 ,猜想它表示的图形是 .?
解析：由两点间距离公式得(x-1)2+y2+(z-1)2=(x-2)2+(y-1)2+z2,化简得2x+2y-2z-3=0,由几何图形的性质知这个方程表示线段AB的中垂面.
答案：2x+2y-2z-3=0 线段AB的中垂面
10已知A(3,3,1),B(1,0,5),求:
(1)d(A,B);
(2)线段AB的中点坐标;
(3)到A,B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件.
解(1)由空间两点间的距离公式,得
d(A,B)=.
(2)线段AB的中点坐标为,
即为.
(3)点P(x,y,z)到A,B的距离相等,
则
=,化简得4x+6y-8z+7=0,即到A,B距离相等的点P的坐标(x,y,z)满足的条件是4x+6y-8z+7=0.
11如图,在长方体OABC-D'A'B'C'中,OA=3,OC=4,OD'=3,A'C'与B'D'相交于点P,分别写出点C,B',P的坐标.
解根据题意,得点C在y轴上,因为OC=4,所以点C的坐标为(0,4,0);点B'的横坐标与点A的横坐标相同,因为OA=3,所以点B'的横坐标为3,点B'的纵坐标与点C的纵坐标相同,所以点B'的纵坐标为4,点B'的竖坐标与点D'的竖坐标相同,因为OD'=3,所以点B'的竖坐标为3,所以点B'的坐标为(3,4,3).点P的横坐标为点A横坐标的一半,纵坐标为点C纵坐标的一半,竖坐标与点D'的竖坐标相同,因此,点P的坐标为.
综上所述:C(0,4,0),B'(3,4,3),P.
★12如图,AF,DE分别是☉O,☉O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8,BC是☉O的直径,AB=AC=6,OE∥AD,试建立适当的空间直角坐标系,求出点A,B,C,D,E,F的坐标.
解因为AD与两圆所在的平面均垂直,OE∥AD,
所以OE⊥平面ABC,
又因为AF?平面ABC,BC?平面ABC,
所以OE⊥AF,OE⊥BC,
又因为BC是圆O的直径,所以OB=OC,
又因为AB=AC=6,所以OA⊥BC,BC=6,
所以OA=OB=OC=OF=3.
如图,以O为原点,以OB,OF,OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,-3,0),B(3,0,0),C(-3,0,0),D(0,-3,8),E(0,0,8),F(0,3,0).
★13如图,以正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上.
(1)当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值;
(2)当点Q为棱CD的中点,点P在对角线AB上运动时,探究|PQ|的最小值;
(3)当点P在对角线AB上运动,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值.
由以上问题,你得到了什么结论,你能证明你的结论吗?
解设正方体的棱长为a.
(1)当点P为对角线AB的中点时,点P的坐标是.因为点Q在线段CD上,设Q(0,a,z),
|PQ|=
=.
当z=时,|PQ|的最小值为a,即点Q为棱CD的中点时,|PQ|有最小值a.
(2)因为P在对角线AB上运动,Q是定点,所以当PQ⊥AB时,|PQ|最短.因为当点Q为棱CD的中点时,|AQ|=|BQ|,△QAB是等腰三角形,所以当P是AB的中点时,|PQ|取得最小值a.
(3)当点P在对角线AB上运动,点Q在棱CD上运动时,|PQ|的最小值仍然是a.
证明如下:如图,设P(x,y,z1).由正方体的对称性,显然有x=y.设P在平面xOy上的射影是H.
在△AOB中,,所以,即有x=a-z1.则点P的坐标是(a-z1,a-z1,z1).
由已知,可设Q(0,a,z2),则
|PQ|=
=.
当z2=z1=时,|PQ|取得最小值,最小值是a.
第二章平面解析几何初步
检测(A)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1圆心为(1,-1),半径为2的圆的方程是( )
A.(x-1)2+(y+1)2=2
B.(x+1)2+(y-1)2=4
C.(x+1)2+(y-1)2=2
D.(x-1)2+(y+1)2=4
答案：D
2已知点A(1,2),B(-2,3),C(4,t)在同一条直线上,则t的值为( )
A. B. C.1 D.-1
解析：因为点A,B,C共线,
所以kAB=kBC,即,解得t=1.
答案：C
3直线ax+2y-1=0与直线x+(a-1)y+2=0平行,则a等于( )
A. B.2 C.-1 D.2或-1
解析：由a(a-1)-2=0得a=2或a=-1.
经检验a=2或a=-1均符合题意.
答案：D
4在空间直角坐标系Oxyz中,点M的坐标是(1,3,5),则其关于x轴的对称点的坐标是( )
A.(-1,-3, -5) B.(-1,-3,5)
C.(1,-3,-5) D.(1,3,-5)
解析：点M关于x轴对称的点的坐标,x坐标不变,y,z的新坐标与原来的坐标互为相反数.
答案：C
5若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-2) B.
C.(-2,0) D.
解析：由a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,即(3a-2)(a+2)<0,解得-2答案：D
6过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为 ( )
A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0
C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0
解析：由题意可设所求的直线方程为x-2y+m=0,将A(2,3)代入上式得2-2×3+m=0,即m=4,故所求的直线方程为x-2y+4=0.
答案：A
7过点P(5,4)作圆C:x2+y2-2x-2y-3=0的切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积是( )
A.5 B.10 C.15 D.20
解析：圆C的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=5,因此圆心C(1,1),半径r=,从而PC==5,在Rt△PAC中,PA==2,于是S四边形PACB=2S△PAC=2··2=10.
答案：B
8圆+y2=4与圆(x-1)2+(y-3)2=m2的公切线的条数为4,则m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为两圆有4条公切线,所以两圆相离,而两圆圆心距为,半径分别为2和|m|,于是|m|+2<,|m|<-2,故2-答案：D
9若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是( )
A.(x-)2+y2=5 B.(x+)2+y2=5
C.(x-5)2+y2=5 D.(x+5)2+y2=5
解析：设圆O的方程为(x-a)2+y2=5(a<0),
则O到直线x+2y=0的距离d=,得a=-5.
所以圆O的方程是(x+5)2+y2=5.
答案：D
10已知集合A={(x,y)|y=},B={(x,y)|y=x+m},且A∩B≠?,则m的取值范围是( )
A.-7≤m≤7 B.-7≤m≤7
C.-7≤m≤7 D.0≤m≤7
解析：∵A∩B≠?,
∴半圆弧y=与直线y=x+m有公共点.
如图,当直线与半圆相切时m=7,
当直线过点(7,0)时,m=-7,
∴m∈[-7,7].
答案：A
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案：填在题中的横线上)
11点P(-1,3)在直线l上的射影为Q(1,-1),则直线l的方程是 .?
解析：设直线l的斜率为k,因为PQ⊥l,
所以kPQk=-1,
所以k=,
所以直线l的方程是y+1=(x-1),
即x-2y-3=0.
答案：x-2y-3=0
12圆x2+y2-2x-6y+6=0与圆x2+y2-6x-10y+30=0的公共弦所在的直线方程是 .?
解析：两圆的方程相减得4x+4y-24=0,即公共弦所在的直线方程为x+y-6=0.
答案：x+y-6=0
13直线3ax-y-1=0与直线x+y+1=0垂直,则a的值是 .?
解析：由3a+(-1)×1=0,得a=-或a=1.
答案：-或1
14过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 .?
解析：易求得AB的中点为(0,0),直线AB的斜率为-1,从而其垂直平分线为直线y=x,根据圆的几何性质,这条直线应该过圆心,将它与直线x+y-2=0联立得到圆心O(1,1),半径r=|OA|=2,故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
答案：(x-1)2+(y-1)2=4
15已知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称,则a-b的取值范围是 .?
解析：因为圆方程化为(x+1)2+(y-2)2=5-a,
所以圆心为(-1,2),且5-a>0,即a<5.
又因为圆关于y=2x+b成轴对称,
所以点(-1,2)在直线y=2x+b上,
所以b=4,所以a-b<1.
答案：(-∞,1)
三、解答题 (本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(本小题满分8分)已知△ABC的顶点坐标分别为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3),M是BC边上的中点.
(1)求AB边所在直线的方程;
(2)求中线AM的长.
解(1)(方法一)由两点式得AB边所在直线的方程为,即6x-y+11=0.
(方法二)由题意可求得直线AB的斜率为k==6,则直线AB的方程为y-5=6(x+1),即6x-y+11=0.
(2)设点M的坐标为(x0,y0),
因为由中点坐标公式得
x0==1,y0==1,
所以M(1,1).
所以|AM|==2.
即中线AM的长为2.
17(本小题满分8分)三角形ABC的边AC,AB上的高所在直线的方程分别为2x-3y+1=0,x+y=0,顶点A(1,2),求BC边所在直线的方程.
解因为AC边上的高线为2x-3y+1=0,
所以kAC=-.
所以AC的方程为y-2=-(x-1),
即3x+2y-7=0,同理可求直线AB的方程为x-y+1=0.
下面求直线BC的方程,
由得顶点C(7,-7),
由得顶点B(-2,-1).
所以kBC=-,直线BC:y+1=-(x+2),
即2x+3y+7=0.
18(本小题满分9分)已知圆C的方程为x2+y2-4mx-2y+8m-7=0(m∈R).
(1)试求m的值,使圆C的面积最小;
(2)求与满足(1)中条件的圆C相切,且过点(4,-3)的直线方程.
解配方得圆的方程为(x-2m)2+(y-1)2=4(m-1)2+4.
(1)当m=1时,圆的半径最小,此时圆的面积最小.
(2)当m=1时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
当斜率存在时设所求直线的方程为y+3=k(x-4),即kx-y-4k-3=0.
由直线与圆相切,得=2,
解得k=-.
所以切线方程为y+3=-(x-4),
即3x+4y=0.
又经过点(4,-3),且与x轴垂直的直线方程为x=4,此时,直线也与圆相切.
所以所求直线方程为3x+4y=0或x=4.
19(本小题满分10分)已知圆C经过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,半径小于5.
求:(1)直线PQ与圆C的方程;
(2)求过点(0,5)且与圆C相切的直线方程.
解(1)直线PQ的方程为y-3=×(x+1),
即x+y-2=0,
由题意圆心C在PQ的中垂线y-=1×,即y=x-1上,
设C(n,n-1),则r2=|CQ|2=(n+1)2+(n-4)2,
由题意,有r2=(2)2+|n|2,
所以n2+12=2n2-6n+17,
解得n=1或n=5,
所以r2=13或r2=37(舍),
故圆C的方程为(x-1)2+y2=13.
(2)当切线斜率存在时,设其方程为y=kx+5,
则,解得k=或k=-,
所以方程为3x-2y+10=0或2x+3y-15=0,
当切线斜率不存在时,不满足题意,
故切线方程为3x-2y+10=0或2x+3y-15=0.
20(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.
解(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.
设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,
由题意,得=1,解得k=0或k=-,
故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.
(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.
设点M(x,y),因为|MA|=2|MO|,
所以=2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.
由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤|CD|≤2+1,
即1≤≤3.
由5a2-12a+8≥0,得a∈R;
由5a2-12a≤0,即a(5a-12)≤0,
得0≤a≤.
故点C的横坐标a的取值范围为.
第二章平面解析几何初步
检测(B)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1若直线2x+by-4=0经过点,则其斜率等于 ( )
A.-2 B.2 C. D.-
解析：由已知得2·+b·(-3)-4=0,则b=-1,故直线方程为2x-y-4=0,斜率等于2.
答案：B
2已知直线ax+y+5=0与直线y=2x平行,则它们之间的距离等于( )
A. B. C. D.
解析：因为两直线平行,所以a=-2,两直线即为:2x-y-5=0与2x-y=0,它们之间的距离为d=.
答案：D
3已知点A(1,2,2),B(1,-3,1),点C在yOz平面上,且点C到点A,B的距离相等,则点C的坐标可以为( )
A.(0,1,-1) B.(0,-1,6) C.(0,1,-6) D.(0,1,6)
解析：由题意设点C的坐标为(0,y,z),则,即(y-2)2+(z-2)2=(y+3)2+(z-1)2,亦即5y+z+1=0,经检验知,只有选项C满足.
答案：C
4已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=( )
A.- B.1 C.2 D.
解析：由题意知点P(2,2)在圆(x-1)2+y2=5上,设切线的斜率为k,则k·=-1,解得k=-,直线ax-y+1=0的斜率为a,其与切线垂直,所以-a=-1,解得a=2,故选C.
答案：C
5一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的主视图时,以zOx平面为投影面,则得到的主视图可以为( )
解析：如图,该四面体在空间直角坐标系Oxyz的图象为下图:
则它在平面zOx上的投影即主视图为,故选A.
答案：A
6设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为( )
A.6 B.4 C.3 D.2
解析：∵由圆(x-3)2+(y+1)2=4知,圆心的坐标为(3,-1),半径r=2,
∴圆心到直线x=-3的距离d=|3-(-3)|=6.
∴|PQ|min=d-r=6-2=4,故选B.
答案：B
7直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为( )
A.1 B.2 C.4 D.4
解析：由圆的一般方程可化为圆的标准方程:
(x-1)2+(y-2)2=5,可知圆心坐标为(1,2),半径为,圆心到直线的距离为=1,
由勾股定理可得弦长一半为=2.
故弦长为4.
答案：C
8已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1内,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
解析：∵点M(a,b)在圆x2+y2=1内,
∴点M(a,b)到圆心(0,0)的距离要小于半径,
即a2+b2<1,
而圆心(0,0)到直线ax+by=1的距离为d=>1,
∴直线与圆相离.
答案：C
9垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )
A.x+y-=0 B.x+y+1=0
C.x+y-1=0 D.x+y+=0
解析：由于所求切线垂直于直线y=x+1,可设所求切线方程为x+y+m=0.由圆心到切线的距离等于半径得=1,解得m=±.
由于与圆相切于第一象限,则m=-.
答案：A
10直线l:mx+(m-1)y-1=0(m为常数),圆C:(x-1)2+y2=4,则下列说法正确的是( )
A.当m变化时,直线l恒过定点(-1,1)
B.直线l与圆C有可能无公共点
C.对任意实数m,圆C上都不存在关于直线l对称的两点
D.若直线l与圆C有两个不同交点M,N,则线段MN的长的最小值为2
解析：直线l可化为m(x+y)-(y+1)=0,令则l过定点(1,-1),故A错;因为(1-1)2+(-1)2=1<4,所以点(1,-1)在☉C内部,因此l与☉C恒相交,故B错;当l过圆心C(1,0),即m=1时,圆心上存在关于直线l对称的两点,故C错.
答案：D
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案：填在题中的横线上)
11点M(2,1)到直线l:x-y-2=0的距离是 .?
解析：由点到直线的距离公式得d=.
答案：
12直线l与圆x2+y2+2x-4y+1=0相交于A,B两点,若弦AB的中点(-2,3),则直线l的方程为 .?
解析：由圆x2+y2+2x-4y+1=0整理得(x+1)2+(y-2)2=4,得到圆心的坐标为(-1,2),由题意知圆心C与弦AB中点的连线与直线l垂直,因为弦AB的中点为(-2,3),圆心C的坐标为(-1,2),所以圆心与弦AB中点连线的斜率为=-1,所以直线l的斜率为1,因为直线l过(-2,3),所以直线l的方程为y-3=x+2,即x-y+5=0.
答案：x-y+5=0
13若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是 .?
解析：由题意知圆心在直线x=2上,则切点坐标为(2,1).
设圆心坐标为(2,t),由题意,可得4+t2=(1-t)2,
所以t=-,半径r2=.
故圆C的方程为(x-2)2+.
答案：(x-2)2+
14直线y=2x-7被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于 .?
解析：圆的圆心为(3,4),半径是5,圆心到直线的距离d=,可知弦长l=2=4.
答案：4
15过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为 .?
解析：如图,当AB所在直线与AC垂直时弦BD最短,AC=,CB=r=2,
则BA=,故BD=2BA=2.
答案：2
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(本小题满分8分)已知在△ABC中,A(3,2),B(-1,5),点C在直线3x-y+3=0上,若△ABC的面积为10,求点C的坐标.
解|AB|==5,
∵S△ABC=10,∴AB边上的高为4,即点C到直线AB的距离为4.
设C(a,b),∵直线AB的方程为3x+4y-17=0,
∴解得
∴点C的坐标为(-1,0)或.
17(本小题满分8分)如图,在Rt△ABC中,已知A(-2,0),直角顶点B(0,-2),点C在x轴上.
(1)求Rt△ABC外接圆的方程;
(2)求过点(-4,0)且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程.
解(1)由题意可知点C在x轴的正半轴上,可设其坐标为(a,0),因为AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1,即=-1,解得a=4.所以所求圆的圆心为(1,0),半径为3,故所求圆的方程为(x-1)2+y2=9.
(2)由题意知直线的斜率存在,故设所求直线方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0.
当圆与直线相切时,有d==3,解得k=±,
故所求直线方程为y=(x+4)或y=-(x+4),即3x-4y+12=0或3x+4y+12=0.
18(本小题满分9分)已知A(4,-3),B(2,- 1)和直线l:4x+3y-2=0,求一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离等于2.
解(方法一)设点P(x,y),因为|PA|=|PB|,
所以. ①
又点P到直线l的距离等于2,
所以=2. ②
由①②联立方程组,解得P(1,-4),或P.
(方法二)设点P(x,y),因为|PA|=|PB|,
所以点P在线段AB的垂直平分线上.
由题意知kAB=-1,线段AB的中点为(3,-2),所以线段AB的垂直平分线的方程是y=x-5.
设点P(x,x-5),因为点P到直线l的距离等于2,所以=2.
解得x=1,或x=,
所以P(1,-4),或.
19(本小题满分10分)圆C与y轴切于点(0,2),与x轴正半轴交于两点M,N(点M在点N的左侧),且|MN|=3.
(1)求圆C的方程;
(2)过点M任作一直线与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,连接AN,BN,求证:kAN+kBN=0.
(1)解因为圆C与y轴切于点(0,2),可设圆心坐标为(m,2)(m>0),则圆的半径为m,所以m2=4+,得m=,故所求圆的方程为+(y-2)2=;
(2)证明由(1)可得M(1,0),则可设AB:x=1+ty,代入x2+y2-4=0,并整理,得(t2+1)y2+2ty-3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1≠4,x2≠4,
则因为N(4,0),
所以kAN+kBN==0.
20(本小题满分10分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0).
(1)若l1与圆相切,求l1的方程;
(2)若l1与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证:AM·AN为定值.
(1)解①若直线l1的斜率不存在,即直线方程为x=1,符合题意.
②若直线l1斜率存在,设直线l1为y=k(x-1),即kx-y-k=0.
由题意知,圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2,即=2,解得k=.
此时l1的方程为y=(x-1),即3x-4y-3=0.
综上直线l1的方程是x=1或3x-4y-3=0.
(2)证明直线l1与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线l1的方程为kx-y-k=0.
由,得N.
因为直线CM与l1垂直,由得M.
所以AM·AN=|yM-0|·|yN-0|=|yM·yN|=6,为定值.
