2.1.1 向量的概念
课时过关·能力提升
1.下列说法正确的是( )
A.零向量没有大小,没有方向
B.零向量是唯一没有方向的向量
C.零向量的长度为0
D.任意两个零向量方向相同
答案:C
2.若a为任一非零向量,b是模为1的向量,下列各式:
①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.
其中正确的是( )
A.①④ B.③ C.①②③ D.②③
解析:由于a是非零向量,所以|a|>0,只有③正确.
答案:B
3.若a与b均为非零向量,且a与b不共线,而a∥c,b∥c,则c( )
A.等于0 B.等于a
C.等于b D.不存在
解析:若a与b均为非零向量,且不共线,则只有当c=0时,才能满足a∥c且b∥c.
答案:A
4.如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,则向量中共线的向量有 ( )
A.1组 B.2组
C.3组 D.4组
解析:,共3组共线向量.
答案:C
5.已知四边形ABCD是菱形,下列可用同一条有向线段表示的两个向量是( )
A. B.
C. D.
解析:只有相等向量才能用同一条有向线段表示.在菱形ABCD中,,它们可用同一条有向线段表示.
答案:B
★6.如图所示,点O是正六边形ABCDEF的中心,以A,B,C,D,E,F,O七点中的任一点为始点,与始点不同的另一点为终点的所有向量中,设与相等的向量个数为m,模与的模相等的向量个数为n,则m,n的值分别是( )
A.3,23 B.3,11 C.3,24 D.2,23
解析:(1)与相等的向量有,故m=3.
(2)模与的模相等的向量有两类:一类是以O为始点,以正六边形的顶点为终点或以正六边形的顶点为始点,以O为终点的向量,有2×6-1=11(个);另一类是以正六边形的六条边为有向线段的向量,共有2×6=12(个),故n=11+12=23.
答案:A
7.在四边形ABCD中,若,且||≠||,则四边形ABCD的形状为 .?
答案:梯形
8.
如图,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
(1)与向量相等的向量为 ;?
(2)若||=3,则向量的模等于 .?
答案:(1) (2)6
9.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达乙地,再从乙地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达丙地,再从丙地按西南方向飞行1 000 km到达丁地,则丁地在甲地的 方向,丁地距甲地的距离为 km.?
解析:如图, A,B,C,D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地.
由题意,知△ABC是正三角形,
∴AC=2 000 km.
又∵∠ACD=45°,CD=1 000 km,
∴△ACD是直角三角形.
∴AD=1 000 km,∠CAD=45°.
∴丁地在甲地的东南方向,丁地距甲地1 000 km.
答案:东南 1 000
10.判断下列说法是否正确,并简要说明理由.
(1)若是共线向量,则P,Q,M,N四点共线;
(2)若表示共线向量的有向线段的始点不同,则终点一定不同;
(3)若两个向量相等,则它们的始点和终点都相同.
解:(1)不正确.若是共线向量,则直线MN与PQ可能重合,也可能平行,则P,Q,M,N四点不一定共线.
(2)不正确.共线的向量的始点不同,但终点却可能相同.如图中的共线,它们始点不同,但终点相同.
(3)不正确.两个向量只要长度相等、方向相同就是相等的向量,和始点、终点的位置无关.
★11.一个人从点A出发沿东北方向走了100 m到达点B,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m到达点C,求此人从点C走回点A的位移.
解:如图所示,||=100 m,||=100 m,∠ABC=45°+15°=60°,∴△ABC为等边三角形.
∴||=100 m,
即此人从点C返回点A所走的路程为100 m.
∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,
即此人行走的方向为西偏北15°.
故此人从点C走回点A的位移为沿西偏北15°方向100 m.
2.1.2 向量的加法
课时过关·能力提升
1.如图,等于( )
A.0
B.0
C.2
D.-2
答案:B
2.在四边形ABCD中,若,且||=||,则四边形ABCD为( )
A.梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
解析:由知四边形ABCD为平行四边形,又对角线AC=BD,故四边形ABCD为矩形.
答案:C
3.已知a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则( )
A.a∥b,且a与b方向相同
B.a,b是共线向量
C.a=-b
D.a,b无论什么关系均可
答案:A
4.设a,b为非零向量,下列说法不正确的是( )
A.若a与b反向,且|a|>|b|,则向量a+b与a的方向相同
B.若a与b反向,且|a|<|b|,则向量a+b与a的方向相同
C.若a与b同向,则向量a+b与a的方向相同
D.若a与b同向,则向量a+b与b的方向相同
答案:B
5.设()+()=a,而b是一个非零向量,则下列结论中,正确的有( )
①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|.
A.①③ B.②③
C.②④ D.①②
解析:由已知得a=0,所以a∥b,a+b=0+b=b.
答案:A
6.下列等式错误的是( )
A.a+0=0+a=a
B.=0
C.
D.()+()+
解析:=2,故B错.
答案:B
7.如图,在正六边形ABCDEF中,=( )
A.0
B.
C.
D.
解析:.
答案:D
8.如图,已知梯形ABCD,AD∥BC,则= .?
答案:
9.若|a|=4,|b|=5,则|a+b|的取值范围是 .?
解析:由于||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,
则1≤|a+b|≤9.
答案:[1,9]
10.已知||=|a|=3,||=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.
解:如图,以为邻边作平行四边形OACB,则=a+b.
∵||=||=3,
∴平行四边形OACB为菱形.
连接OC,AB,则OC⊥AB.
∵∠AOB=60°,
∴AB=||=3.
∴在Rt△BDC中,CD=.
∴|a+b|=||=×2=3.
★11.我们知道在△ABC中,=0,反过来,三个不共线的非零向量a,b,c满足什么条件时,顺次将它们的终点与始点相连可组成一个三角形?
解:当a+b+c=0时,顺次将它们的终点与始点相连可组成一个三角形.
可作=a,=b,则,
于是+c=0,即c与方向相反,大小相同,
也即c=.故a,b,c可构成一个三角形.
2.1.3 向量的减法
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1.若非零向量m与n是相反向量,则下列说法不正确的是 ( )
A.|m|=|n| B.m+n=0
C.m=n D.m与n共线
答案:C
2.对于非零向量a,b,下列命题正确的个数为( )
①|a|+|b|=|a+b|?a与b的方向相同;②|a|+|b|=|a-b|?a与b的方向相反;③|a+b|=|a-b|?a与b的模相等;④|a|-|b|=|a-b|?a与b的方向相同.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:C
3.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则等于( )
A. B.
C. D.
解析:由图可知,则.又由三角形中位线定理,知,故选D.
答案:D
4.已知?ABCD,O是?ABCD所在平面外任意一点,=a,=b,=c,则向量等于( )
A.a+b+c B.a-b+c
C.a+b-c D.a-b-c
解析:如图,有=a+c-b.
答案:B
★5.已知平面上有三点A,B,C,设m=,n=,若m,n的长度恰好相等,则( )
A.A,B,C三点必在同一条直线上
B.△ABC必为等腰三角形,且∠ABC为顶角
C.△ABC必为直角三角形,且∠ABC=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
解析:如图,作?ABCD,
则m=,
n=.
∵|m|=|n|,
∴||=||,
∴?ABCD为矩形.
∴△ABC为直角三角形,
∴∠ABC=90°.
答案:C
6.设M是线段BC的中点,点A在直线BC外,||=6,且||=||,则||=( )
A.12 B.6 C.3 D.1
解析:由于||=||,
所以∠BAC=90°,
而AM是Rt△ABC斜边BC上的中线,
所以||=|=×6=3.
答案:C
7.在边长为1的正方形ABCD中,设=a,=b,=c,则|a+b+c|= ,|a+c-b|= ,|c-a-b|= .?
答案:2 2 0
8.若|a|=1,|b|=3,则|a-b|的取值范围是 .?
解析:∵||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,
∴2≤|a-b|≤4.
答案:[2,4]
9.已知O是四边形ABCD所在平面内任一点,,且||=||,则四边形ABCD的形状为 .?
答案:平行四边形
10.如图,在五边形ABCDE中,若=m,=n,=p,=q,=r,求作向量m-p+n-q-r.
解:∵m-p+n-q-r=(m+n)-(p+q+r)=()-()=,
∴延长AC至F点,使||=||,则,
∴,
即向量即为所求作的向量m-p+n-q-r.
★11.
如图,在?ABCD中,=a,=b.
(1)用a,b表示.
(2)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在直线互相垂直?
(3)当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|?
(4)a+b与a-b有可能为相等向量吗?为什么?
解:(1)=a+b,=a-b.
(2)由(1)知,a+b=,a-b=.
∵a+b与a-b所在直线互相垂直,
∴AC⊥BD.
又四边形ABCD为平行四边形,
∴四边形ABCD为菱形,即a,b应满足|a|=|b|.
(3)|a+b|=|a-b|,即||=||.
∵矩形的两条对角线相等,∴当a与b所在直线互相垂直,即AD⊥AB时,满足|a+b|=|a-b|.
(4)不可能.因为?ABCD的两条对角线不可能平行,所以a+b与a-b不可能为共线向量,就更不可能为相等向量了.
2.1.4 数乘向量
课时过关·能力提升
1.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是 ( )
A.a与-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同 D.|-λa|=|λ|a
解析:由于λ≠0,所以λ2>0,因此a与λ2a方向相同.
答案:C
2.若=λ,则实数λ的值是( )
A. B.- C. D.-
解析:如图所示,由于,
所以,
即=4=-,即λ=-.
答案:D
3.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2=0,则( )
A. B.=2
C.=3 D.2
解析:由2=0,可知O是底边BC上的中线AD的中点,故.
答案:A
4.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,=a,=b,=c,=d,且E,F分别为AB,CD的中点,则( )
A.(a+b+c+d)
B.(a-b+c-d)
C.(c+d-a-b)
D.(a+b-c-d)
解析:如图,连接OF,OE,则)-)= (c+d)- (a+b).故(c+d-a-b).
答案:C
5.在四边形ABCD中,若,且||=||,则这个四边形是( )
A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
解析:由知DC∥AB,且|DC|=|AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.
答案:C
6.已知四边形ABCD为菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则等于( )
A.λ(),λ∈(0,1)
B.λ(),λ∈
C.λ(),λ∈(0,1)
D.λ(),λ∈
解析:由已知得,而点P在AC上,必有||<||,因此=λ(),且λ∈(0,1).
答案:A
★7.已知△ABC和点M满足=0.若存在实数m使得=m成立,则m等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:如图,在△ABC中,设D是BC边的中点,由=0,易知M是△ABC的重心,
∴=2.
又∵,
∴=2=3,∴m=3.故选B.
答案:B
8.已知O为?ABCD的中心,=4e1,=6e2,则3e2-2e1= .?
答案:(答案不唯一)
9.如图,已知,若用表示,则= .?
答案:-
10.给出下面四个结论:
①对于实数p和向量a,b,有p(a-b)=pa-pb;
②对于实数p,q和向量a,有(p-q)a=pa-qa;
③若pa=pb(p∈R),则a=b;
④若pa=qa(p,q∈R,a≠0),则p=q.
其中正确结论的序号为 .?
解析:①②正确;③当p=0时不正确;④可化为(p-q)a=0,∵a≠0,∴p-q=0,即p=q,∴④正确.
答案:①②④
11.如图,L,M,N是△ABC三边的中点,O是△ABC所在平面内的任意一点,求证:.
证明
=()+()
=()+)
=()+0
=.
故原式成立.
★12.已知在△ABC中,=a,=b.对于△ABC所在平面内的任意一点O,动点P满足 +λa+λb,λ∈[0,+∞).试问动点P的轨迹是否过某一个定点?并说明理由.
解:是.理由:如图,以为邻边作?ABDC,设对角线AD,BC交于点E,则(a+b).
由+λa+λb,得
=2λ·(a+b)
=2λ,λ∈[0,+∞).
故共线.
由λ∈[0,+∞)可知动点P的轨迹是射线AE,
故动点P的轨迹必过△ABC的重心.
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
课时过关·能力提升
1.已知e为x轴上的单位向量,若=-2e,且B点的坐标为3,则A点的坐标和AB中点的坐标分别为( )
A.2,1 B.5,4
C.4, 5 D.1,-2
答案:B
2.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么( )
A.k=1,且c与d同向
B.k=1,且c与d反向
C.k=-1,且c与d同向
D.k=-1,且c与d反向
答案:D
3.设a,b为不共线向量,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则下列关系式中正确的是( )
A. B.=2
C.=- D.=-2
解析:=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2.
答案:B
4.已知a≠0,λ∈R,下列叙述中,正确的个数是( )
①λa∥a;
②λa与a的方向相同;
③是单位向量;
④若|λa|>|a|,则λ>1.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
5.已知在△ABC中,D是BC的中点,E是DC的中点,F是EC的中点,若=a,=b,则等于( )
A. a+b B. a-b
C. a+b D. a-b
解析:由题意可得=a-b.
∵D是BC的中点,
∴(a-b),
同理(a-b),(a-b),∴=b+(a-b)=a+b.
答案:C
6.已知向量a,b,c中任意两个都不共线,且a+b与c共线,b+c与a共线,则向量a+b+c等于( )
A.a B.b C.c D.0
解析:因为a+b与c共线,
所以有a+b=mc(m∈R).
又b+c与a共线,
所以有b+c=na(n∈R),
即b=mc-a且b=-c+na.
因为a,b,c中任意两个都不共线,则有
所以b=mc-a=-c-a,
即a+b+c=0,故选D.
答案:D
★7.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
解析:上的单位向量,设为e1,上的单位向量,设为e2,则e1+e2的方向为∠BAC的平分线的方向.又λ∈[0,+∞),
∴λ(e1+e2)的方向与e1+e2的方向相同,而由题意,得=λ(e1+e2),∴点P在向量所在的直线上移动.
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
答案:B
8.已知数轴上两点A,B的坐标分别是-8,-3,则的坐标为 ,长度为 .?
答案:5 5
9.已知长度相等的三个非零向量满足=0,则由A,B,C三点构成的△ABC的形状是 三角形.?
解析:如图,以OA,OB为邻边作菱形OAFB,则,
∴=0,∴=-.
∴O,F,C三点共线.
∵四边形OAFB是菱形,
∴CE垂直平分AB.∴CA=CB.
同理,AB=AC.
∴△ABC为等边三角形.
答案:等边
10.如图,在△OAB中,点C是点B关于点A的对称点,OD=2DB,DC和OA交于点E,设=a,=b.
(1)用a和b表示向量;
(2)若=λ,求实数λ的值.
解:(1)依题意,得A是BC的中点,
∴2,
即=2=2a-b,
∴
=2a-b-b=2a-b.
(2)∵=λ,
∴=λa-(2a-b)=(λ-2)a+b.
∵共线,且≠0,
∴存在实数k,使=k,
即(λ-2)a+b=k,解得λ=.
∴实数λ的值为.
★11.如图,在△ABC中,E为边AC的中点,试问在边AC上是否存在一点D,使得?若存在,说明点D的位置;若不存在,请说明理由.
解:假设存在点D,使得.
由,
得)=,
所以,
即.
又,所以,
即在AC上存在一点D,使,且D点为AC上靠近C的一个三等分点.
2.2.1 平面向量基本定理
课时过关·能力提升
1.已知命题“若k1a+k2b=0,则k1=k2=0”是真命题,则下面对a,b的判断正确的是( )
A.a与b一定共线
B.a与b一定不共线
C.a与b一定都为0
D.a与b中至少有一个为0
解析:由平面向量基本定理知a与b一定不共线.
答案:B
2.在?ABCD中,交于点M.若设=a,=b,则以下各选项中,与-a+b相等的向量有( )
A. B.
C. D.
解析:- a+b= (b-a)=.
答案:D
3.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量a=e1+λe2(λ∈R)与b=-(e2-2e1)共线,则( )
A.λ=0 B.λ=-1
C.λ=-2 D.λ=-
解析:由已知得存在实数k使a=kb,即e1+λe2=-k(e2-2e1),于是1=2k且λ=-k,解得λ=-.
答案:D
4.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则= ( )
A. a+b B. a+b
C. a+b D. a+b
答案:D
5.设O,A,M,B为平面上四点,=λ+(1-λ),且λ∈(1,2),则( )
A.点M在线段AB上 B.点B在线段AM上
C.点A在线段BM上 D.O,A,B,M四点共线
解析:由=λ+(1-λ),得=λ(),即=λ.
又因为λ∈(1,2),所以点B在线段AM上.
答案:B
6.若AD与BE分别为△ABC的边BC,AC上的中线,且=a,=b,则等于( )
A. a+b B. a+b
C. a-b D.- a+b
解析:设AD与BE交于点F,则a,b.
由=0,得(a-b),
所以=2=2()=a+b.
答案:B
7.设e1,e2为一组基底,a=-e1+2e2,b=e1-e2,c=3e1-2e2,以a,b为基底将c表示为c=pa+qb,则实数p,q的值分别为 .?
解析:c=pa+qb,即3e1-2e2=(-pe1+2pe2)+(qe1-qe2)=(q-p)e1+(2p-q)e2,∴
答案:1,4
8.如图,在△ABC中,,P是BN上的一点,若=m,则实数m的值为 .?
解析:由,得.
设=n,
所以+n
=+n()
=(1-n)=m.
由n=,得m=1-n=.
答案:
9.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(1,1),B(-1,2),若点C满足=α+β,其中,α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为 .?
解析:由α+β=1,可知点C的轨迹是直线AB,通过直线的两点式求解直线AB的方程即可.
答案:x+2y-3=0
10.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM.
解:设=e1,=e2,则=-3e2-e1,=2e1+e2.
∵A,P,M与B,P,N分别共线,∴存在实数λ,μ,
使=λ=-λe1-3λe2,
=μ=2μe1+μe2,
∴=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2,
而=2e1+3e2,
∴由平面向量基本定理,得
∴,
∴AP∶PM=4∶1.
★11.如图,在△ABC中,=a,=b,=c,=λa(0<λ<1),=μb(0<μ<1),试用a,b表示c.
分析首先利用共线,假设=m=n,再根据向量减法的三角形法则,求出(用a,b,m,n,λ,μ表示),再借助解方程,从而得出用a,b表示c.
解:∵共线,共线,
∴假设=m=n,
∴=m=m()=m(μb-a).
∴=a+m(μb-a)=(1-m)a+mμb. ①
∴=n=n()=n(λa-b).
∴=b+n(λa-b)=nλa+(1-n)b. ②
由①②,得(1-m)a+mμb=nλa+(1-n)b.
∵a与b不共线,∴
解得代入①式,得
c=(1-m)a+mμb=a+μ·b
=[λ(1-μ)a+μ(1-λ)b].
★12.如图,在△ABC中,点M是AB边的中点,E是中线CM的中点,AE的延长线交BC于点F.MH∥AF交BC于点H,求证:.
证明设=a,=b,
则=a+b,
=-+2+2
=-a-b+2a+2b=a+b,
=-
=-b+
=-b+a+2
=-b+a+2b-b=a+b.
综上,得=a+b.
所以.
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
课时过关·能力提升
1.已知=(2,3),A(-1,2),则点B的坐标是( )
A.(1,1) B.(5,5)
C.(1,5) D.(1,3)
解析:设B(x,y),则有=(x+1,y-2),
因此x+1=2,y-2=3,得x=1,y=5.即B(1,5).
答案:C
2.已知M(3,-2),N(-5,-1),且,则点P的坐标为( )
A.(-8,-1) B.
C. D.(8,-1)
解析:由已知得=(-8,1),于是.
设P(x,y),则有x-3=-4,y+2=,
于是x=-1,y=-,故P.
答案:B
3.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于 ( )
A.- a+b B. a-b
C. a-b D.- a+b
解析:设c=xa+yb,于是有
即c=a-b.
答案:B
4.已知在?ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC,BD交于点O,则的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析:如图所示,=(-2,3)+(3,7)=(1,10),
∴.
∴.
答案:C
5.已知点A(3,-4),B(-1,2),点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为( )
A. B.(-5,8)
C.或(-4,7) D.或(-5,8)
解析:当点P在线段AB上时,由||=2||可得=2,
设P(x,y),
则(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),
因此
于是P.
当点P在线段AB的延长线上时,由||=2||可得.
设P(x,y),则(-4,6)=(x+1,y-2),
解得x=-5,y=8,于是P(-5,8).
答案:D
6.设点A,B,C,D的坐标依次为(-1,0),(3,1),(4,3),(0,2),则四边形ABCD的形状为 .?
解析:如图所示,=(0,2)-(-1,0)=(1,2),
=(4,3)-(3,1)=(1,2),
∴.
又||=,||=,
∴||≠||,
∴四边形ABCD为平行四边形.
答案:平行四边形
7.已知正方形ABCD的边长为1.若点A与坐标原点重合,边AB,AD分别落在x轴、y轴的正方向上,则向量4-3的坐标为 .?
解析:如图,各顶点的坐标为A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),
∴=(1,0),=(0,1),=(1,1).
∴4-3=(1,-2).
答案:(1,-2)
8.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若+λ(λ∈R),则当λ= 时,点P在第一、三象限的角平分线上;当λ 时,点P在第三象限内.?
解析:设点P的坐标为(x,y),
则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),
+λ=[(5,4)-(2,3)]+λ[(7,10)-(2,3)]
=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).
∵+λ,∴
∴
若点P在第一、三象限的角平分线上,
则5+5λ=4+7λ,∴λ=.
若点P在第三象限内,则∴λ<-1.
∴当λ=时,点P在第一、三象限的角平分线上;当λ<-1时,点P在第三象限内.
答案: <-1
9.(1)已知2a+b=(-4,3),a-2b=(3,4),求向量a,b的坐标.
(2)已知x轴的正方向与向量a的夹角为60°,且|a|=2,求向量a的坐标.
解:(1)
①×2+②,得5a=(-8+3,6+4)=(-5,10),
则a=(-1,2),故b=(-4,3) -2(-1,2)=(-4,3)-(-2,4)=(-2,-1).
(2)设a=(x,y).
∵x=|a|cos 60°=2×=1,
y=±|a|sin 60°=±2×=±,
∴a=(1,±).
10.已知平面上四点A(-2,2),B(0,4),C(1,3),D(-1,1),判断四边形ABCD是否为平行四边形?若是,请给予证明;若不是,请说明理由.
解:四边形ABCD为平行四边形.
证明如下:
∵A(-2,2),B (0,4),C(1,3),D(-1,1),
∴=(0,4)-(-2,2)=(2,2),=(1,3)-(-1,1)=(2,2),∴,
∴四边形ABCD为平行四边形.
★11.
已知O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用a和b表示c.
解:以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立如图所示的坐标系.由||=2,得=(2,0).
设点B的坐标为(x1,y1),点C的坐标为(x2,y2).
由∠AOB=150°,根据三角函数的定义可求出点B的坐标x1=1·cos 150°=-,y1=,
则B,
即.
同理,点C的坐标为,
即.
设=m+n,
则=m(2,0)+n,
即
故=-3-3,
即c=-3a-3b.
★12.
如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至E,使得DE=CD,连接AE.若动点P从点A出发,按如下路线运动:A→B→C→D→E→A→D,其中=λ+μ,
(1)当点P为BC的中点时,求λ+μ的值;
(2)满足λ+μ=1的点P有几个?
解:(1)连接AC,
因为点P为BC的中点,
所以, ①
因为DE=CD,所以=2,
所以+2-2.
因为=λ+μ,
所以=(λ-2μ)+μ. ②
因为不共线,由①②可得
解得所以λ+μ=2.
(2)若λ+μ=1,则λ=1-μ.
因为=λ+μ,
所以=(1-μ)+μ,
所以=μ(),
所以=μ,
所以B,P,E三点共线,
所以动点P运动至点B,E,以及BE与边AD的交点时满足条件,即满足λ+μ=1的点P有3个.
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
课时过关·能力提升
1.已知a=,b=,若a∥b,则锐角α等于( )
A.30° B.60° C.45° D.75°
答案:A
2.已知向量a=(1,3),b=(m-1,2m+3)在同一平面内,若对于这一平面内的任意向量c,有且只有一对实数λ,μ,使得c=λa+μb,则实数m满足( )
A.m≠-2 B.m≠6
C.m≠- D.m≠-6
解析:依题意知a与b是一组基底,因而它们不共线.而当它们共线时有1×(2m+3)=3(m-1),因此m=6,所以要使a,b不共线,则m≠6.
答案:B
3.设k∈R,下列向量中,与向量a=(-1,1)一定不平行的向量是( )
A.(k,k) B.(-k,-k)
C.(k2+1,k2+1) D.(k2-1,k2-1)
答案:C
4.已知平面上有A(-2,1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC并延长,取点E,使,则点E的坐标为( )
A.(0,1) B.(0,1)或
C. D.
答案:D
5.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb(mn≠0)与a-2b共线,则等于( )
A.- B. C.-2 D.2
解析:由于a,b不共线,而ma+nb与a-2b共线,
ma+nb=m(2,3)+n(-1,2)=(2m-n,3m+2n),
a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1),
所以-(2m-n)=4(3m+2n),
即n=-2m,故=-.
答案:A
6.已知=e1+2e2,=(3-x)e1+(4-y)e2,其中e1,e2的方向分别与x,y轴的正方向相同,且为单位向量.若共线,则点P(x,y)的轨迹方程为( )
A.2x-y-2=0
B.(x+1)2+(y-1)2=2
C.x-2y+2=0
D.(x-1)2+(y+1)2=2
解析:=(1,2), = (3-x,4-y).
又共线,
则有(4-y)-2(3-x)=0,即2x-y-2=0.
答案:A
7.已知a=(3, 2),b=(2,-1),若m=λa+b与n=a+λb(λ∈R)平行,则λ= .?
答案:1或-1
8.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则a+的值是 .?
解析:=(a-1,1),=(-b-1,2).
由于A,B,C三点共线,所以,
因此(a-1)×2=1×(-b-1),
即2(a-1)+b+1=0,
故a+.
答案:
★9.已知a=(1,2),b=(-3,2).
(1)求证:a和b是一组基底,并用它们表示向量c=(x0,y0);
(2)若(k2+1)a-4b与ka+b共线,求k的值.
(1)证明∵1×2≠2×(-3),
∴a与b不共线.
∴a和b是一组基底,可设c=ma+nb,
则(x0,y0)=m(1,2)+n(-3,2).
∴(x0,y0)=(m,2m)+(-3n,2n).
∴
∴c=a+b.
(2)解:依题意,得(k2+1)a-4b与ka+b平行,
∴.
∴k2+4k+1=0,解得k=-2±.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
课时过关·能力提升
1.已知a·b=-12,|a|=4,a和b的夹角为135°,则|b|=( )
A.12 B.3 C.6 D.3
解析:由已知得-12=4×|b|×cos 135°,
因此|b|=6.
答案:C
2.等边三角形ABC的边长为1,设=c,=a,=b,则a·b+b·c+c·a的值是( )
A. B. C.- D.-
解析:由已知可得a·b=b·c=c·a=1×1×cos 120°=-,所以a·b+b·c+c·a=-.
答案:C
3.对任意向量a和b,|a||b|与a·b的大小关系是( )
A.|a||b|≤a·b B.|a||b|>a·b
C.|a||b|≥a·b D.|a||b|
解析:由于a·b=|a||b|cos,而cos≤1,所以|a||b|≥a·b.
答案:C
4.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则a在b方向上的投影是( )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
解析:a在b方向上的投影是|a|cos θ==-4.
答案:A
5.已知下列结论:①a·0=0;②0a=0;③0-;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零向量b有a·b≠0;⑥若a·b=0,则a与b中至少有一个为0;⑦若a与b是两个单位向量,则a2=b2.
则以上结论正确的是( )
A.①②③⑥⑦ B.③④⑦
C.②③④⑤ D.③⑦
答案:D
6.已知=90°,c=3a,则b·c= .?
解析:由于a与b垂直,而c与a共线,所以c与b垂直,从而b·c=0.
答案:0
7.在等腰直角三角形ABC中,AC是斜边,且,则该三角形的面积等于 .?
解析:设Rt△ABC的直角边长为a,则斜边长为a,于是=a·a·=a2=,从而a=,于是S△ABC=.
答案:
8.若四边形ABCD满足=0,且=0,试判断四边形ABCD的形状.
解:∵=0,∴,即AB∥DC,且AB=DC,∴四边形ABCD为平行四边形.
又=0,∴,即AB⊥BC.
∴四边形ABCD为矩形.
★9.已知在△ABC中,=c,=a,=b,若|c|=m,|b|=n,=θ.
(1)试用m,n,θ表示S△ABC;
(2)若c·b<0,且S△ABC=,|c|=3,|b|=5,则为多少?
解:(1)S△ABC=AB·h=AB·AC·sin∠CAB=mnsin θ.
(2)∵S△ABC=|b||c|sin θ,
∴×5×3sin θ.∴sin θ=.
∵c·b<0,∴θ为钝角.
∴θ=150°,即=150°.
2.3.2 向量数量积的运算律
课时过关·能力提升
1.已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( )
A.a∥b B.a⊥b
C.|a|=|b| D.a+b=a-b
解析:|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2,
|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2.
因为|a+b|=|a-b|,
所以|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,
即2a·b=-2a·b,
所以a·b=0,
所以a⊥b.故选B.
答案:B
2.设向量a,b,c满足a+b+c=0,a⊥b,|a|=1,|b|=2,则|c|2等于( )
A.1 B.2 C.4 D.5
解析:由a+b+c=0得c=-(a+b),
于是|c|2=|-(a+b)|2=|a|2+2a·b+|b|2=1+4=5.
答案:D
3.已知|a|=3,|b|=4,且(a+kb)⊥(a-kb),则实数k的值为( )
A.± B.±
C.± D.±
解析:由(a+kb)⊥(a-kb)知(a+kb)·(a-kb)=0,
即|a|2-k2|b|2=0,
因此9-16k2=0,所以k=±.
答案:A
4.已知a,b是非零向量,满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是( )
A. B. C. D.
解析:由已知得(a-2b)·a=0,
因此|a|2-2a·b=0.
同理(b-2a)·b=0,即|b|2-2a·b=0,
于是有|a|=|b|,且a·b=|a|2,
从而cos=,
又∈[0,π],所以a与b的夹角为.
答案:B
5.如图,在菱形ABCD中,下列关系式不正确的是( )
A.
B.()⊥()
C.()·()=0
D.
解析:由于,
所以,故D项不正确.
答案:D
6.
如图,在△ABC中,AD⊥AB,,||=1,则等于 ( )
A.2 B. C. D.
解析:由图可得=()·.
∵AD⊥AB,∴=0.
又∵,
∴)·=0+|2=.∴=0+.
答案:D
7.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为,以a,b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条对角线的长度为 .?
答案:
8.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i·j=0,|i|=|j|=1,则a·b= .?
答案:-63
9.设O,A,B,C为平面上的四个点,=a,=b,=c,且a+b+c=0,a·b=b·c=c·a=-1,则|a|+|b|+|c|= .?
答案:3
10.在边长为1的等边三角形ABC中,设=2=3,则= .?
解析:由已知得),,
所以)·-||2-=-.
答案:-
★11.设a⊥b,且|a|=2,|b|=1,k,t是两个不同时为零的实数.
(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t);
(2)求出函数k=f(t)的最小值.
解:(1)∵a⊥b,∴a·b=0.
又x⊥y,∴x·y=0,
即[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0,
∴-ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0.
∵|a|=2,|b|=1,
∴-4k+t2-3t=0,
∴k=(t2-3t)(t≠0),
即k=f(t)=(t2-3t)(t≠0).
(2)由(1)知k=f(t)=(t2-3t)
=,
故函数k=f(t)的最小值为-.
★12.已知|a|=,|b|=1,向量a与b的夹角为45°,求使向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角为锐角的λ的取值范围.
解:设向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角为θ.
∵两向量的夹角为锐角,
∴>0,
∴(2a+λb)·(λa-3b)>0,
即2λa2+(λ2-6)a·b-3λb2>0.
∵a2=|a|2=2,b2=|b|2=1,
a·b=|a||b|cos 45°=×1×=1,
∴4λ+λ2-6-3λ>0,
即λ2+λ-6>0,∴λ<-3或λ>2.
设2a+λb=k(λa-3b)=kλa-3kb,
∴∴λ2=-6,则λ不存在,
即向量(2a+λb)与(λa-3b)不共线.
∴使向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角为锐角的λ的取值范围为λ<-3或λ>2.
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
课时过关·能力提升
1.已知a=(2,-3),b=(1,-2),且c⊥a,b·c=1,则c的坐标为( )
A.(3,-2) B.(3,2)
C.(-3,-2) D.(-3,2)
解析:设c=(x,y),则有
解得故c=(-3,-2).
答案:C
2.已知m=(a,b),向量n与m垂直,且|m|=|n|,则n的坐标为( )
A.(b,-a) B.(-a,b)
C.(-a,b)或(a,-b) D.(b,-a)或(-b,a)
答案:D
3.已知点A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),则四边形ABCD是( )
A.梯形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
解析:由已知得=(3,-2),=(4,6),=(-3,2),
所以,且=0,
即,所以四边形ABCD是矩形.
答案:B
4.已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(3,0),则|2a-b|的最大值为( )
A.4 B.2 C.25 D.5
解析:|2a-b|=,
因此当cos<2a,b>=-1时,|2a-b|取得最大值5.
答案:D
5.在Rt△ABC中,∠C=,AC=3,取点D使=2,则等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:以C为原点,分别以CA,CB所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设CB=a,
∴C(0,0),A(3,0),B(0,a).
设D点坐标为(m,n),
∵=2,
即(m,n-a)=2(3-m,-n),得m=2,n=.
∴·(3,0)=6,故选D.
答案: D
6.已知O为坐标原点,=(3,1),=(-1,2),,则满足的向量的坐标为 .?
答案:(11,6)
7.设O为原点,已知点A(a,0),B(0,a)(a>0),点P在线段AB上,且=t(0≤t≤1),则的最大值为 .?
解析:·()=·(+t)=+t=a2+t(a,0)·(-a,a)=a2+t(-a2+0)=(1-t)a2.
∵0≤t≤1,∴0≤1-t≤1,
∴的最大值为a2.
答案:a2
8.以原点及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使∠B=90°,求点B和向量的坐标.
解:如图,设点B的坐标为(x,y),则=(x,y),=(x-5,y-2).
∵,
∴x(x-5)+y(y-2)=0,
即x2+y2-5x-2y=0.
∵||=||,
∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2,
即10x+4y=29.
解方程组
得
∴点B的坐标为;
当点B的坐标为时,;
当点B的坐标为时,.
综上,点B的坐标为,
或点B的坐标为.
★9.已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且|ka+b|=|a-kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b;
(2)求a·b的最小值,并求此时a,b的夹角θ.
解:(1)由|ka+b|=|a-kb|,
得(ka+b)2=3(a-kb)2,
∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2.
∴(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0.
∵|a|=1,|b|=1,
∴k2-3+8ka·b+1-3k2=0,
∴a·b=.
(2)由(1),得a·b=,由函数的单调性的定义,易知f(k)=在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故当k=1时,a·b的最小值为f(1)=×(1+1)=.此时a,b的夹角为θ,则cos θ=,∴θ=60°.
★10.
如图,=(6,1),=(x,y),=(-2,- 3),.
(1)求x与y的关系式;
(2)若,求x,y的值及四边形ABCD的面积.
解:(1)∵=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2),
∴=-=(-x-4,2-y).
∵=(x,y),
∴x(2-y)-(-x-4)y=0,
∴x与y的关系式为x+2y=0.
(2)因为=(6,1) +(x,y)=(x+6,y+1),=(x,y)+(-2,-3)=(x-2,y-3).
∵,∴=0,
即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.
又由(1)的结论x+2y=0,
得(6-2y)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0.
化简,得y2-2y-3=0.
∴y=3或y=-1.
①当y=3时,x=-6,于是=(-6,3),=(0,4),=(-8,0).
∴||=4,||=8.
∴S四边形ABCD=|||=16.
②当y=-1时,x=2,
于是有=(2,-1),=(8,0),=(0,-4),
∴||=8,||=4.
∴S四边形ABCD=|||=16.
综上,四边形ABCD的面积为16.
2.4 向量的应用
课时过关·能力提升
1.若直线l与向量a=(2,-2)平行,则其倾斜角等于( )
A.45° B.135° C.60° D.120°
解析:由已知得l的斜率k==-1,而tan 135°=-1,所以l的倾斜角是135°.
答案:B
2.在△ABC中,有下列命题:
①;②=0;③若()·()=0,则△ABC为等腰三角形;④若>0,则△ABC为锐角三角形.
上述命题正确的是( )
A.①② B.①④
C.②③ D.②③④
解析:对于①,应有,故①错误;对于④,由>0,得||||cos A>0,∴cos A>0.∴A为锐角.但B,C是否为锐角,不能确定,故④错误;②③是正确的.
答案:C
3.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,则河水的流速为( )
A.2 km/h B.2 km/h
C. km/h D.3 km/h
答案:A
4.已知△ABC的三个顶点A,B,C和平面内一点P,且,则点P与△ABC的位置关系是 ( )
A.点P在△ABC内部
B.点P在△ABC外部
C.点P在AB边上或其延长线上
D.点P在AC边上
解析:∵,
∴,即=2.
∴A,C,P三点共线,即点P在AC边上.
答案:D
5.在四边形ABCD中,A(1,1),B,C(2,3),D,则该四边形的面积为( )
A. B.2 C.5 D.10
解析:因为=(1,2),=(-4,2),
所以=1×(-4)+2×2=0,
故,所以四边形ABCD的面积为=5,故选C.
答案:C
6.已知向量=(4,-5),=(-7,9)分别表示两个力f1,f2,则f1+f2的大小为 .?
解析:f1+f2==(-3,4),
∴|f1+f2|==5.
答案:5
7.在△ABC中,A(-1,2),B(3,1),C(2,-3),则AC边上的高所在的直线方程为 .?
解析:与AC边平行的向量为=(3,-5).设P(x,y)是所求直线上任意一点,则=(x-3,y-1),所以AC边上的高所在的直线方程为·(x-3,y-1)=0,即3x-5y-4=0.
答案:3x-5y-4=0
★8.若正方形ABCD的边长为1,点P在线段AC上运动,则·()的最大值是 .?
解析:如图,以A为原点建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(1,0),D(0,1),可设P(x,x)(0≤x≤1).
则有=(x,x),=(1-x,-x),=(-x,1-x),从而·()=-4x2+2x=-4,
故当x=时,·()取最大值.
答案:
9.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0).
(1)若c=5,求sin A的值;
(2)若A为钝角,求c的取值范围.
解:(1)=(-3,-4),=(c-3,-4).
若c=5,则=(2,-4),
故cos A=cos<>=,
所以sin A=.
(2)若A为钝角,则
即解得c>,
故c的取值范围是.
★10.在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,用向量法证明CD=AB.
分析找一组基底,分别表示,转化为证明||=|.
证明如图,设=a,=b,则a与b的夹角为90°,
故a·b=0.
∵=b-a,(a+b),
∴||=|a+b|
=
=,
||=|b-a|=
=.
∴||=|.
∴CD=AB.
第二章平面向量
检测(A)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列说法中正确的是( )
A.两个单位向量的数量积为1
B.若a·b=a·c,且a≠0,则b=c
C.
D.若b⊥c,则(a+c)·b=a·b
解析:由于b⊥c,所以b·c=0,因此(a+c)·b=a·b+c·b=a·b,故D项正确.
答案:D
2.设e是单位向量,=2e,=-2e,||=2,则四边形ABCD一定是( )
A.梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
解析:由=2e,=-2e知,所以四边形ABCD为平行四边形.
又||=||=||=2,
所以四边形ABCD为菱形.
答案:B
3.已知a=(-6,y),b=(-2,1),且a与b共线,则y等于 ( )
A.-6 B.6
C.3 D.-3
解析:由于a∥b,所以-6×1=-2y,y=3.
答案:C
4.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90°,且c=2a+3b,d=ka-4b,若c⊥d,则实数k的值为 ( )
A.6 B.-6
C.3 D.-3
解析:因为c⊥d,所以c·d=0,
即(2a+3b)·(ka-4b)=2k-12=0,解得k=6.
答案:A
5.已知|a|=1,|b|=,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角是( )
A.30° B.45° C.90° D.135°
解析:因为a⊥(a-b),
所以a·(a-b)=0,即|a|2-a·b=0,
于是1-1××cos=0,cos=,
故=45°.
答案:B
6.已知一物体在共点力F1=(lg 5,lg 2),F2=(lg 2,lg 2)的作用下产生位移s=(2lg 5,1),则此物体在共点力的作用下所做的功为( )
A.lg 2 B.lg 5
C.2 D.3
解析:所做的功W=(F1+F2)·s=(lg 5+lg 2,2lg 2)·(2lg 5,1)=(1,2lg 2)·(2lg 5,1)=2lg 5+2lg 2=2.
答案:C
7.在△ABC中,若()·=||2,则△ABC的形状一定是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析:()·=()·()=||2-||2,
于是||2-||2=||2,
所以||2=||2+||2,
故△ABC是直角三角形.
答案:C
8.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,若点P在AM上,且满足=2,则·()等于( )
A.- B.-
C. D.
解析:因为AM=1,=2,所以||=.
于是·()=·(2)==-||2=-.
答案:A
9.在△ABC中,AB边的高为CD,若=a,=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则等于( )
A. a-b B. a-b
C. a-b D. a-b
解析:因为a·b=0,所以∠ACB=90°,
于是AB=,CD=,
所以BD=,AD=,即AD∶BD=4∶1,
所以)=a-b.
答案:D
10.定义:|a※b|=|a||b|sin θ,其中θ为向量a与b的夹角.若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a※b|等于( )
A.-8 B.8
C.8或-8 D.6
解析:因为a·b=-6,
所以-6=2×5×cos θ,
于是cos θ=-,从而sin θ=,
故|a※b|=|a||b|sin θ=2×5×=8.
答案:B
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.已知单位向量e1,e2的夹角为60°,则|2e1-e2|= .?
解析:|2e1-e2|=.
答案:
12.已知|a|=10,|b|=8,a与b的夹角为120°,则向量b在向量a方向上的射影的数量等于 .?
解析:b在a方向上的射影的数量为=|b|cos=8×cos 120°=-4.
答案:-4
13.已知a=(1,1), b=(1,0),c满足a·c=0,且|a|=|c|,b·c>0,则c= .?
解析:设c=(x,y).
由a·c=0,得x+y=0. ①
由|a|=|c|,得x2+y2=2. ②
由①②,得
∵b·c>0,
∴x>0,∴c=(1,-1).
答案:(1,-1)
14.在菱形ABCD中,若AC=2,则= .?
解析:设两对角线AC与BD交于点O,则AO=OC=1,于是=2·()=2-2||2=0-2=-2.
答案:-2
15.若a=(sin θ,cos θ-2sin θ),b=(1,2),且|a|=|b|,则钝角θ等于 .?
解析:因为|a|=|b|,
所以,
即sin2θ+cos2θ+4sin2θ-4sin θcos θ=5,
于是sin2θ-sin θcos θ=1,
从而-sin θcos θ=cos2θ.
因为θ是钝角,所以cos θ≠0,
于是-sin θ=cos θ,tan θ=-1,故θ=.
答案:
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)已知向量a=(2,0),b=(1,4).
(1)求2a+3b,a-2b;
(2)若向量ka+b与a+2b平行,求k的值.
解:(1)∵a=(2,0),b=(1,4),
∴2a+3b=2(2,0)+3(1,4)=(4,0)+(3,12)=(7,12),a-2b=(2,0)-2(1,4)=(2,0)-(2,8)=(0,-8).
(2)依题意得ka+b=(2k,0)+(1,4)=(2k+1,4),
a+2b=(2,0)+(2,8)=(4,8).
∵向量ka+b与a+2b平行,
∴8(2k+1)-4×4=0,解得k=.
17.(8分)已知向量a=(sin θ-cos θ,2cos θ+sin θ),b=(1,2).
(1)若a∥b,求tan θ的值;
(2)若a⊥b,求θ的值.
解:(1)由a∥b,得2(sin θ-cos θ)=2cos θ+sin θ,
即2sin θ-2cos θ=2cos θ+sin θ,
所以sin θ=4cos θ,
于是tan θ==4.
(2)由a⊥b,得sin θ-cos θ+2(2cos θ+sin θ)=0,
即3sin θ+3cos θ=0,
即sin θ+cos θ=0,
从而tan θ=-1,故θ=kπ+(k∈Z).
18.(9分)如图,已知AC,BD是梯形ABCD的对角线,E,F分别是BD,AC的中点.求证:EF∥BC.
证明设=a,=b,
则=b-a.
∵,∴=λ=λb(λ∈R,λ≠0,且λ≠1).
∵E为BD的中点,
∴(b-a).
∵F为AC的中点,
∴
=)
=)=)=(λb-a),
∴(λb-a)-(b-a)
=b=.
∴EF∥BC.
19.(10分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;
(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.
解:(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),则
=(2,6),=(4,4).
所以||==2,||==4.
故所求的两条对角线的长分别为2,4.
(2)由题设知=(-2,-1),
-t=(3+2t,5+t).
由(-t)·=0,
得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,
从而5t=-11,所以t=-.
20.(10分)如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=BM.
(1)求证:M是CD的中点;
(2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求的最小值.
(1)证明设=m=n,
由题意知)=+m)=.
又+n+n()=(1-n)+n,
∴
∴=m,即M是CD的中点.
(2)解:以B为原点,AB所在直线为x轴,BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则由题意可设点H(-x,x),且0=(2-x,x),=(x,-x),
∴=(2-x)x-x2=2x-2x2
=-2.
又0∴当x=1,即H与M重合时,取得最小值,且最小值为0.
第二章平面向量
检测(B)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a与b共线;③向量相等;④若非零向量是共线向量,则A,B,C,D四点共线.则所有正确命题的序号是( )
A.① B.③
C.①③ D.①④
解析:根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同或相反,故两个单位向量不一定共线,故②错误;向量互为相反向量,故③错误;由于方向相同或相反的向量为共线向量,故AB与CD也可能平行,即A,B,C,D四点不一定共线,故④错误.故选A.
答案:A
2.已知向量a=(sin x,cos x),向量b=(1,),若a⊥b,则tan x等于( )
A.- B. C. D.-
解析:由a⊥b可得a·b=0,即sin x+cos x=0,于是tan x=-.
答案:A
3.若点M是△ABC的重心,则下列各向量中与共线的是( )
A. B.
C. D.3
解析:A中,=2,与不共线;B中,,与不共线;D中,3显然与不共线;C中,=0,0∥,故选C.
答案:C
4.已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb,λ,μ∈R,若A,B,C三点共线,则( )
A.λ+μ=2 B.λ-μ=1
C.λμ=-1 D.λμ=1
解析:∵A,B,C三点共线,∴,
∴存在m∈R,使得=m,
∴∴λμ=1,故选D.
答案:D
5.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于( )
A.(-6,21) B.(-2,7)
C.(6,-21) D.(2,-7)
解析:如图,=(1,5)-(4,3)=(-3,2),=(1,5)+(-3,2)=(-2,7),=3=(-6,21),故选A.
答案:A
6.已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m等于( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析:由已知得c=(m+4,2m+2).
因为cos=,cos=,
所以.
又由已知得|b|=2|a|,
所以2c·a=c·b,
即2[(m+4)+2(2m+2)]=4(m+4)+2(2m+2),解得m=2.故选D.
答案:D
7.已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且AB=,则等于( )
A. B.- C. D.-
解析:设AB的中点为P.
∵AB=,∴AP=.
又OA=1,∴∠AOP=.
∴∠AOB=.
∴=||||cos=-.
答案:B
8.已知|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影是4,则a·b等于( )
A.12 B.8
C.-8 D.2
解析:由已知得|a|cos==4,于是a·b=4×3=12.
答案:A
9.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则a,b的夹角为( )
A.150° B.120° C.60° D.30°
解析:设|a|=m(m>0),a,b的夹角为θ.
由题设,知(a+b)2=c2,
即2m2+2m2cos θ=m2,得cos θ=-.
又0°≤θ≤180°,所以θ=120°,
即a,b的夹角为120°,故选B.
答案:B
10.如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=3,点P是BC的中点,设=α+β(α,β∈R),则α+β等于( )
A. B.
C. D.
解析:建立如图所示的坐标系,B(3,0),D(0,1),C(1,1).
∵点P为BC的中点,∴P.
∵=α+β,
∴=α(0,1)+β(3,0)=(3β,α),
∴3β=2,α=,∴α+β=.故选D.
答案:D
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,则k= .?
解析:a-c=(3-k,-6).
由(a-c)∥b,得3(3-k)=-6,解得k=5.
答案:5
12.在?ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若=λ,则λ= .?
解析:由已知得=2,即λ=2.
答案:2
13.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则= .?
解析:=()·()=||2-=4-0+0-2=2.
答案:2
14.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则= .?
解析:建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1),则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),∴a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).
∵c=λa+μb,∴(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),
即
∴=4.
答案:4
15.已知向量的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ,且,则实数λ的值为 .?
解析:∵,∴=0,
∴(λ)·=0,
即(λ)·()=λ-λ=0.
∵向量的夹角为120°,||=3,||=2,
∴(λ-1)||||cos 120°-9λ+4=0,
解得λ=.
答案:
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.
(8分)如图,在?OADB中,设=a,=b,.试用a,b表示.
解:由题意知,在?OADB中,)= (a-b)= a-b,
则=b+a-b=a+b,
)=(a+b),
则(a+b)-a-b=a-b.
17.(8分)已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<α<β<π.
(1)求|a|的值;
(2)求证:a+b与a-b互相垂直.
(1)解:∵a=(cos α,sin α),∴|a|==1.
(2)证明∵(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0,
∴a+b与a-b互相垂直.
18.(9分)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
解:(1)因为c∥a,a=(1,2),
所以可设c=λa=(λ,2λ).
又|c|=2,所以λ2+4λ2=20,解得λ=±2.
所以c=(2,4)或c=(-2,-4).
(2)依题意,得(a+2b)·(2a-b)=0,
即2|a|2+3a·b-2|b|2=0.
又|a|2=5,|b|2=,
所以a·b=-,
所以cos θ==-1,
而θ∈[0,π],所以θ=π.
19.(10分)在△ABC中,,M是BC的中点.
(1)若||=||,求向量+2与向量2的夹角的余弦值;
(2)若O是线段AM上任意一点,且||=||=,求的最小值.
解:(1)设向量+2与向量2的夹角为θ,||=||=a,
∵,∴=0,
∴(+2)·(2)=2+5+2=4a2,
|+2|=
=a,
同理可得|2|=a,
∴cos θ=.
(2)∵,||=||=,
∴||=1.
设||=x(0≤x≤1),
则||=1-x,而=2,
∴·()=2=2||||cos π=-2x(1-x)=2x2-2x=2,
当且仅当x=时,取得最小值-.
20.(10分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足.
(1)求证:A,B,C三点共线;
(2)求的值;
(3)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x∈,f(x)=|的最小值为-,求实数m的值.
(1)证明∵,
∴),即.
∴.
又AC,AB有公共点A,
∴A,B,C三点共线.
(2)解:由(1)得),
∴,
∴=2,∴=2.
(3)解:=(1+cos x,cos x)-(1,cos x)=(cos x,0).
∵x∈,∴cos x∈[0,1].
∴||=|cos x|=cos x.
∵=2,
∴=2().
∴3=2=2(1+cos x,cos x)+(1,cos x)=(3+2cos x,3cos x),
∴.
∴f(x)=|
=1+cos x+cos2x-cos x
=(cos x-m)2+1-m2,cos x∈[0,1].
当m<0时,当且仅当cos x=0时,f(x)取得最小值1,与已知最小值为-相矛盾,即m<0不合题意;
当0≤m≤1时,当且仅当cos x=m时,f(x)取得最小值1-m2.
由1-m2=-,得m=±(舍去);
当m>1时,当且仅当cos x=1时,f(x)取得最小值2-2m,由2-2m=-,得m=>1.
综上所述,实数m的值为.
