3.1.1 随机现象
3.1.2 事件与基本事件空间
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1从8个同类产品(其中有6个正品、2个次品)中任取3个,是必然现象的是( )
A.3个都是正品
B.至少有1个是次品
C.2个正品1个次品
D.至少有1个是正品
解析由于8个同类产品中有2个是次品,若从中任取3个,则至少有1个是正品.因此,“至少有1个是正品”是必然现象.故选D.
答案D
2下列事件中是不可能事件的是( )
A.在标准大气压下,水在70 ℃开始沸腾
B.金融危机影响汽车工业的发展
C.夏季的某一天,北京的气温超过33 ℃
D.立春过后,某地下起了大雪
答案A
3一个家庭先后育有两个小孩,则所有可能的基本事件有 ( )
A.(男,女),(男,男),(女,女)
B.(男,女),(女,男)
C.(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)
D.(男,男),(女,女)
答案C
4先后抛掷2枚均匀的面值分别为一分、二分的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则下列事件包含3个基本事件的是( )
A.“至少一枚硬币正面向上”
B.“只有一枚硬币正面向上”
C.“两枚硬币都是正面向上”
D.“两枚硬币一枚正面向上,另一枚反面向上”
解析“至少一枚硬币正面向上”包括“一分正面向上,二分正面向上”,“一分正面向上,二分正面向下”,“一分正面向下,二分正面向上”三个基本事件.
答案A
5已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4, 6,8},从集合A中选取不相同的两个数,构成平面直角坐标系中的点,观察点的位置则事件“点落在x轴上”包含的基本事件共有( )
A.7个 B.8个
C.9个 D.10个
解析点落在x轴上所包含的基本事件的特征是(x,0),又依题意,x≠0,且A中有9个非零常数,所以共包含9个基本事件.
答案C
6有下列事件:
①某射击运动员射击一次命中10环;
②太阳从西方落下;
③明天会下雨;
④从若干把外形相同的不同钥匙中随意取出一把,恰好打开门锁.
其中是随机事件的有 .(填序号)?
解析①③④是随机事件,②是必然事件.
答案①③④
7投掷两枚骰子,点数之和为8的所含的基本事件有 种.?
解析所求的基本事件有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2).
答案5
8“从标有数字0,1,2,3,4的5个球(质地均匀)中不放回地取两次,每次取一个球,构成有序实数对(x,y),x表示第一次取出的球上的数字,y表示第二次取出的球上的数字”,则这个事件的基本事件空间是?
.?
答案Ω={(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,0),(1,2),(1,3),(1,4),(2,0),(2,1),(2,3),(2,4),(3,0),(3,1),(3,2),(3,4),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3)}
9一套分上、中、下三册的选集,随机地放到书架上.
(1)写出这个试验的基本事件空间;
(2)求这个试验基本事件的总数;
(3)写出“上册在三册中的最左边”这一事件所包含的基本事件.
解(1)基本事件空间Ω={(上,中,下),(上,下,中),(中,上,下),(中,下,上),(下,中,上),(下,上,中)}.
(2)这个试验基本事件的总数为6.
(3)“上册在三册中的最左边”这一事件包含下列2个基本事件:(上,中,下),(上,下,中).
10同时抛掷两枚骰子,点数之和为n.当n为何值时,是随机事件?当n为何值时,是不可能事件?
解同时掷两枚骰子,点数和的所有可能情况如下表:
和
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
因此点数和的范围为2到12(包括2和12)的正整数,因此当n为2到12(包括2和12)的任意正整数时,“点数之和为n”这个事件为随机事件;当n不在2到12(包括2和12)这个范围内时,“点数之和为n”是不可能事件.
★11若P(x,y)是坐标平面内的一点,其中x,y分别取1,2,3,4,5中的两个不同值.
(1)写出点P坐标的基本事件空间;
(2)其中“点P落在圆x2+y2=12内”包括哪几个基本事件?
解(1)Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4)}.
(2)包括(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)4个基本事件.
3.1.3 频率与概率
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1下列说法:①频率反映随机事件发生的频繁程度,概率反映随机事件发生的可能性大小;②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析①③④均正确.
答案C
2某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次,正面朝上的情形出现了6次,则正面朝上的( )
A.概率为0.6 B.频率为0.6
C.频率为6 D.概率接近于0.6
解析正面向上的频率.
答案B
3下列结论正确的是( )
A.对事件A的概率P(A)必有0
B.若事件A的概率P(A)=0.999,则事件A是必然事件
C.用某种药物治疗患有胃溃疡的500名病人,结果有380人有明显的疗效.现有胃溃疡的病人服用此药,则估计其会有明显疗效的可能性为76%
D.某奖券中奖率为50%,则某人购买此奖券10张,一定有5张中奖
解析A项中,应有0≤P(A)≤1;B项中,若A为必然事件,则P(A)=1;D项中,某人购买此奖券10张,有可能都不中奖,也有可能部分或全部中奖,故选C.
答案C
4某厂生产的产品的次品率为2%,估算该厂生产的4 000件产品中合格品的件数约为( )
A.80 B.3 920 C.3 900 D.3 890
解析次品率是2%,则合格品率是1-2%=98%,因此合格品的件数大约是4 000×98%=3 920.
答案B
5某气象台的天气预报中预测某地明天降雨的概率为10%,则( )
A.该地明天降雨的可能性是10%
B.10%太小,该地明天不可能降雨
C.该地明天有10%的区域降雨
D.降雨概率为10%没有什么意义
解析降雨的概率为10%是说明降雨的可能性是10%.
答案A
6在给病人动手术之前,外科医生会告知病人或家属一些情况,其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%.下列解释正确的是( )
A.100个手术有99个手术成功,有1个手术失败
B.这个手术一定成功
C.99%的医生能做这个手术,另外1%的医生不能做这个手术
D.这个手术成功的可能性是99%
解析成功率大约是99%,说明手术成功的可能性是99%.
答案D
72014年12月份,某市共有7天为雨雪天气,设雨雪天气为事件A,则事件A出现的频数为 ,事件A出现的频率为 .?
解析由题意知,12月份共31天,事件A出现的天数为7,即为频数,故事件A出现的频率为fn(A)
答案7
8如果袋中装有数量差别很大的白球和黑球(除颜色外其他都相同),从中任取一球,取了10次有9次是白球,估计袋中数量最多的是 .?
解析取了10次有9次是白球,则取出白球的频率,因此,估计袋中数量最多的是白球.
答案白球
9在高考数学试题中,有12道选择题,每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的,则随机选择其中一个选项正确的概率
解析把解答一个选择题作为一次试验,答对的概率12道选择题,即进行了12次试验,每个结果都是随机的,那么答对3道题的可能性较大,但是并不一定答对3道题.也可能都选错,或有1,2,3,4,…甚至12个题都选择正确.
答案错误
10某市2012~2015年新生儿出生数及其中女婴数(单位:人)如下表:
时 间
2012年
2013年
2014年
2015年
出生婴儿数
21 840
23 070
20 090
19 982
出生女婴数
11 453
12 031
10 297
10 242
(1)试计算女婴各年出生的频率(精确到0.001);
(2)该市女婴出生的概率约是多少?
解(1)2012年女婴出生的频率≈0.524.
同理可求得2013年、2014年和2015年女婴出生的频率分别约为0.521,0.513,0.513;
(2)各年女婴出生的频率在0.51~0.53之间,故该市女婴出生的概率约为0.52.
11今天电视台的天气预报说:今晚阴有雨,明天白天降雨概率是60%.请回答下列问题:
(1)明天白天运输部门能否抢运粮食?
(2)如果明天抢运的是石灰和白糖,能否在白天进行?
分析利用概率的大小来作出决定.
解(1)在降雨概率为60%时,仍可以抢运粮食,毕竟还有40%的无雨概率,不过要采取防雨措施.
(2)因为石灰和白糖属于易溶物质,最好暂时不运,否则必须采取严密的防雨措施.
★12在如图两个转盘进行“配紫色”的游戏,规则如下:分别旋转两个转盘,当一个转盘转出“红色”,另一个转出“蓝色”,则可配成紫色.若能配成紫色,甲得1分,否则乙得1分.这个游戏对双方公平吗?为什么?若认为不公平,如何修改规定才能使该游戏对双方公平?
解“配紫色”游戏成功的条件:只有当其中一个转盘转出了“红色”,另一个转盘转出“蓝色”,才可以配成紫色.由图可见配成紫色的概率1分,否则乙得1分,因此该游戏对甲不公平.要想使游戏对双方公平,可重新规定若配成紫色甲得2分,否则乙得1分.
3.1.4 概率的加法公式
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1把红、黑、绿、白4张纸牌随机地发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A.对立事件 B.不可能事件
C.互斥但不对立事件 D.以上答案均不对
解析由题意只有1张红牌,甲、乙、丙、丁四人均可能得到,故两事件是互斥但不对立事件.
答案C
2打靶三次,事件Ai表示“击中i次”,i=0,1,2,3,则事件A=A1∪A2∪A3表示( )
A.全部未击中 B.至少有一次击中
C.全部击中 D.至多有一次击中
解析事件A0,A1,A2,A3彼此互斥,∪A2∪A3=A,故A表示至少有一次击中.
答案B
3在第3,6,16路公共汽车的同一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车),有一位乘客需在5 min之内乘上公共汽车赶到厂里.他可乘3路或6路公共汽车到厂里,已知3路车、6路车在5 min之内到此车站的概率分别为0.20和0.60,则该乘客在5 min内能乘上所需车的概率为( )
A.0.20 B.0.60 C.0.80 D.0.12
解析∵乘客上3路车和上6路车这两个事件是彼此互斥的,∴所求的概率为0.20+0.60=0.80.
答案C
4若事件A与B是互斥事件,且事件A∪B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率为( )
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
解析由已知得P(A)+P(B)=0.8,又P(A)=3P(B),于是P(A)=0.6.
答案C
5某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲、乙两队夺取冠军的概率分别
A
解析设事件A,B分别表示该市的甲、乙队夺取冠军,则P(A)A,B互斥.该市球队夺得冠军即事件A∪B发生.于是P(A∪B)=P(A)+P(B)
答案D
6某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对产品抽查一件,抽得正品的概率为 .?
解析由题意抽得正品的概率为1-0.03-0.01=0.96.
答案0.96
7若A,B是互斥事件,P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,则P(B)= .?
解析∵A,B是互斥事件,∴P(A∪B)=P(A)+P(B),
∴P(B)=0.7-0.4=0.3.
答案0.3
8不透明的盒子中有大小、形状相同的一些黑球、白球和黄球.从中摸出一个球,摸出黑球的概率为0.42,摸出黄球的概率为0.18,则摸出白球的概率为 ,摸出的球不是黄球的概率为 ,摸出黄球或者黑球的概率为 .?
解析摸出白球的概率为1-0.42-0.18=0.4;不是黄球的概率为1-0.18=0.82;摸出的球是黄球或黑球的概率为1-0.4=0.6.
答案0.4 0.82 0.6
9猎人在100 m处射击一野兔,击中的概率
解析设距离为d,命中的概率为P,则有Pd=100,Pk=5 000,故P
设第一、二、三次射击击中野兔分别为事件A,B,C,
则有P(A)P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
答
10(1)抛掷一枚骰子,观察出现的点数,设事件A为“出现1点”,B为“出现2点”.已知P(A)=P(B)
(2)盒子里装有6个红球,4个白球,从中任取3个球.设事件A表示“3个球中有1个红球,2个白球”,B表示“3个球中有2个红球,1个白球”.已知P(A)
分析(1)抛掷骰子,事件“出现1点”和“出现2点”是彼此互斥的,可运用概率的加法公式求解.(2)本题是求A∪B的概率,而A与B是互斥事件,
故P(A∪B)=P(A)+P(B).
解(1)设事件C为“出现1点或2点”.∵事件A,B是互斥事件,由C=A∪B可得P(C)=P(A)+P(B)1点或2点的概率
(2)P(A∪B)=P(A)+P(B)
11一个不透明的盒中装有红、黑、白、绿4种颜色的球(除颜色外其他均相同),共12个球.从中任取一球,得到红球、黑球、白球和绿球的概率分别
(1)取出的球是红球或黑球的概率;
(2)取出的球是红球或黑球或白球的概率.
分析取出的球是红球、黑球、白球为互斥事件,可直接考虑,用概率的加法公式;也可以间接考虑,利用对立事件的概率公式.
解(方法一)利用互斥事件的概率加法公式求概率.
记事件A1:从12个球中任取1球得红球;
A2:从12个球中任取1球得黑球;
A3:从12个球中任取1球得白球;
A4:从12个球中任取1球得绿球,
则P(A1)
(1)根据题意,A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率加法公式得取出红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)
(2)由互斥事件的概率加法公式得取出红或黑或白球的概率为
P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)
(方法二)利用对立事件的概率公式求概率.
(1)取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球,即A1∪A2的对立事件为A3∪A4,
则取出红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1
(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4.
P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1.
★12某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至
16件
17件
及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)
解(1)由已知得x+30=45,25+y+10=55,则x=15,y=20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值).
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2,A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率得P(A1)
因为A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件,
所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)2分钟的概率
3.2 古典概型
课时过关·能力提升
1从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是( )
A
C
解析随机选取的a,b组成实数对(a,b),有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共15种,其中b>a的有(1,2),(1,3),(2,3),共3种,
故b>a的概率
答案D
2从1,2,3,4,…,30这30个数中任意取出一个数,则事件“是偶数或能被5整除的数”的概率是( )
A
C
解析记A=“是偶数”,B=“能被5整除的数”,
则A∩B={10,20,30},
∴P(A)∩B)
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
答案B
3先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为x,y,则log2xy=1的概率为( )
A
C
解析由log2xy=1?2x=y,x∈{1,2,3,4,5,6},y∈{1,2,3,4,5,6}.
.
故所求概率
答案C
4在200瓶饮料中,有4瓶已过保质期,从中任取一瓶,则取到的是已过保质期的概率是( )
A.0.2 B.0.02
C.0.1 D.0.01
解析所求概率
答案B
5袋中有红球、黄球、白球各1个,每次任取一个,有放回地抽取3次,则下列事件中概率
A.颜色全相同
B.颜色不全相同
C.颜色全不同
D.颜色无红色
解析有放回地抽取,共有27个基本事件,颜色全相同的情况为全红,全黄,全白,共3种情况,因此颜色全相同的概率,所求事件应该为该事件的对立事件,因此选B.
答案B
6下列概率模型中,是古典概型的有 .(填序号)?
①从区间[1,10]内任意取出一个数,求取到1的概率;②从含有1的10个整数中任意取出一个数,求取到1的概率;③向一个正方形ABCD内投掷一点P,求P恰好与A点重合的概率;④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币,求正面朝上的概率.
解析根据古典概型的定义进行考虑,①③中基本事件有无限多个,因此不属于古典概型.④中硬币不均匀,则“正面朝上”“反面朝上”出现的可能性不相等,不是古典概型.
答案②
7从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),选到的2名都是女同学的概率为 .?
解析从3男3女中任选两名,共有15种基本情况,而从3名女同学中任选2名,则有3种基本情况,故所求事件的概率
答
8从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 .?
解析从四条线段中任取三条的所有可能是2,3,4;2,3,5;2,4,5;3,4,5,共4种,可构成三角形的有2,3,4;2,4,5;3,4,5,共3种,
故可以构成三角形的概率
答
9甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出一个球,每个小球被取出的可能性相等.
(1)求取出的两个球上的标号为相邻整数的概率;
(2)求取出的两个球上的标号之和能被3整除的概率.
解利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的所有可能结果:
可以看出,试验的所有可能结果数为16种.
(1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有“1,2”“2,1”“2,3”“3,2”“3,4”“4,3”,共6种.
故所求概率
答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率
(2)所取两个球上的标号之和能被3整除的结果有“1,2”“2,1”“2,4”“3,3”“4,2”,共5种.
故所求概率
答:取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率
10一个口袋内装有形状、大小相同、编号为a1,a2,a3的3个白球和1个黑球b.
(1)从中摸出2个球,求摸出2个白球的概率;
(2)从中连续取两次,每次取一球后放回,求取出的两个球中恰好有1个黑球的概率.
分析先判断是否为古典概型,然后由放回、不放回求出基本事件的个数,最后用P(A).
解(1)摸2个球,其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b),(a2,b),(a3,b)}.
Ω由6个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的.
用A表示“摸出2个白球”这一事件,则A={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3)}.
事件A由3个基本事件组成,因而P(A)
(2)有放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件空间为
Ω={(a1,a1),(a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a1),(a2,a2),(a2,a3),(a2,b),(a3,a1),(a3,a2),(a3,a3),(a3,b),(b,a1),(b,a2),(b,a3),(b,b)}.
其中小括号左边的字母表示第1次取出的球,右边的字母表示第2次取出的球,Ω由16个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的.
用B表示“连续取出的两球恰好有1个黑球”这一事件,则B={(a1,b),(a2,b),(a3,b),(b,a1),(b,a2),(b,a3)},事件B由6个基本事件组成,则P(B)
11从1,2,3,4,…,30这30个自然数中任选1个数,求下列事件的概率:
(1)取出的数能被3或5整除;
(2)取出的数是能被3整除的偶数;
(3)取出的数是偶数或能被7整除.
解基本事件空间中含n=30个基本事件.
记事件A=“取出的数为偶数”,记事件B=“取出的数能被3整除”,记事件C=“取出的数能被5整除”,记事件D=“取出的数能被7整除”,则P(A)
(1)既能被3整除,又能被5整除的数能被15整除,1到30中能被15整除的数有2个,
则P(B∩C)
故事件F=“取出的数能被3或5整除”的概率为
P(F)=P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(B∩C)
(2)能被3整除的偶数即且能被6整除的数,
1到30中能被6整除的数有5个,
所以其概率为P
(3)取出的数既是偶数又能被7整除时,一定能被14整除,则有14,28,共2个.所以P(A∩D)
故事件G=“取出的数是偶数或能被7整除”的概率P(G)=P(A∪D)=P(A)+P(D)-P(A∩D)
★12已知关于x的一元二次方程x2-2(a-2)x-b2+16=0.若a,b是一枚骰子掷两次所得的点数.
(1)求方程有两个正根的概率;
(2)求方程没有实根的概率.
解(1)基本事件(a,b)共有36个,方程有正根等价A,则事件A包含的基本事件为(6,1),(6,2),(6,3),(5,3),共4个,故所求的概率为P(A)
(2)方程没有实根等价于Δ<0,即(a-2)2+b2<16.设“方程没有实根”为事件B,则事件B包含的基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2), (2,3),(3,1),( 3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),共14个,故所求的概率为P(B)
3.3 随机数的含义与应用
课时过关·能力提升
1下列关于几何概型的说法错误的是( )
A.几何概型是古典概型的一种,基本事件都具有等可能性
B.几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关
C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
解析几何概型与古典概型是两种不同的概率模型,无包含关系.
答案A
2取一根长为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是( )
A
解析如图所示,记剪得两段绳长都不小于1 m为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长A发生的概率P(A)
答案B
3一只蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体六个表面的距离都大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A
解析依题意,当蜜蜂在正方体内的棱长为2的小正方体内飞行时,可以安全飞行,因此所求概率
答案A
4已知某运动员每次投篮命中的概率都等于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 357 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( )
A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15
解析三次投篮恰有两次命中时,对应的三个随机数有191,271,932,812,393,共5组,因此所求概率P
答案B
5如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率
A
解析利用几何概型的概率计算公式
故S
答案B
6在区间[0,1]内任取两个数,则这两个数的平方和在区间[0,1]内的概率是( )
A
解析
设在[0,1]中任取出的数为a,b,若a2+b2也在[0,1]中,则有0≤a2+b2≤1(如图所示),试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形,满足a2+b2在[0,1]内的点(阴影部分),故所求概率P
答案A
7在面积为S的△ABC内部任取一点P,则△PBC的面积大
解析
如图所示,在△ABC中,在AB上取点D,使BDD点作l∥BC交AC于点E.
P为△ABC内任一点,则使S△PBCP落在△ADE中,
∴所求的概率
答
8
在圆心角为90°的扇形中,以圆心O为起点作射线OC,使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为 .?
解析作∠AOE=∠BOD=30°,如图所示,射线OC可能落在∠AOB内任意一条射线上,而要使∠AOC和∠BOC都不小于30°,则OC落在∠DOE内,故所求的概率
答
9
如图,射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的圆环,从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色,靶心为金色,金色靶心叫“黄心”.若某比赛中靶面直径为122 cm,黄心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭,假设每箭都射中靶,且射中靶面任何一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少?
解记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机落在面积cm2的大圆内,而当中靶点落在面积cm2的黄心内时,事件B发生,则事件B发生的概率P(B)
故射中黄心的概率是0.01.
10
利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(曲线y=2x与x轴、x=±1围成的部分)的面积.
分析在坐标系中画出正方形,用随机模拟方法可以求出阴影部分与正方形面积之比,从而求得阴影部分面积的近似值.
解步骤:(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数a1=rand(),b1=rand().
(2)进行平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)?? 2,b=b1?? 2,得到一组[-1,1]内的均匀随机数和一组[0,2]内的均匀随机数.
(3)统计试验总数N和落在阴影内的点数N1(满足条件b<2a的点(a,b)的个数).
(4)计算频.
(5)设所求的阴影部分面积为S,则用几何概型概率公式求得点落在阴影部分的概率
S≈N=4,
所以阴影部分面积的近似值为N1.
★11假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30至7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00至8:00之间,则你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
分析如图所示,送报人到达的时间是6:30至7:30之间的任一时刻,父亲离开家去工作的时间是7:00至8:00之间的任一时刻,如果在平面直角坐标系内以x轴表示报纸送到的时间,y轴表示父亲离开家的时间,因为报纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的,所以随机试验的所有结果(x,y)是正方形内的任意一点(等可能).事件A(父亲能拿到报纸)发生的条件是x≤y,即对应正方形内阴影部分,事件A发生的概率只与阴影部分的面积大小有关,这符合几何概型的条件.
解设事件A“父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内,以x和y分别表示报纸送到和父亲离开家的时间,则父亲能得到报纸的条件是x≤y.设(x,y)的所有可能结果是边长为1的正方形,能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示,这是一个几何概型问题,μA=12
故P(A)
3.4 概率的应用
课时过关·能力提升
1盒中有1个黑球和9个白球,它们除颜色不同外,其他方面没有什么差别.现由10人依次有放回地摸出1个球,设第1个人摸出黑球的概率为P1,第10个人摸出黑球的概率是P10,则( )
A.P10
C.P10=0 D.P10=P1
解析因为是有放回地摸球,所以每个人摸出黑球的概率均
答案D
2假设1台机器在1天内随机发生一次故障,那么,这台机器在晚上8:00~11:00间发生故障的概率为( )
A
解析所求概率为P
答案B
3某单位电话总机室内有2部外线电话:T1和T2.在同一时间内,T1打入电话的概率是0.4,T2打入电话的概率是0.5,两部同时打入电话的概率是0.2,则至少有一部电话打入的概率是( )
A.0.9 B.0.7 C.0.6 D.0.5
解析利用概率的一般加法公式,得所求的概率为0.4+0.5-0.2=0.7.
答案B
4某娱乐节目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏,游戏规则如下:在20个商标中,有5个商标的背面注明了一定的奖金额,其余商标的背面是一张苦脸,若翻到苦脸就不得奖.参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会.某观众前两次翻牌均得若干奖金,如果翻过的牌不能再翻,那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是( )
A
解析第三次翻牌时,一共有18个商标,其中有奖的是3个,故所求概率为P
答案B
5如图所示,A是圆上固定的一点,在圆上其他位置任取一点A',连接AA',它是一条弦,它的长度大于或等于半径长度的概率为( )
A
C
解析设试验的基本事件的区域长度为圆的周长l.记事件A={弦的长度大于或等于半径长度},则事件A的区域为优P(A)
答案B
6经临床验证,一种新药对某种疾病的治愈率为54%,显效率为22%,有效率为12%,其余均无效,则某人患该病后使用此药无效的概率为 .?
解析无效的概率P=1-54%-22%-12%=12%.
答案12%
7如图为竖直平面内一些通道,图中线条均表示通道,一钢珠从入口处自上而下沿通道自由落下,落入B处的概率是 .?
解析根据古典概型的公式求解,基本事件总数为8条路,能够到达B处的有3条路,可画出树状图考虑.所以一钢珠从入口处自上而下沿通道自由落下,落入B处的概率
答
8小王从他的钱包里取出一张百元钞票,钞票上的号码由两个英文字母和八个阿拉伯数字组成,除去开头的两个英文字母,则事件
(1)钞票上的号码是奇数的概率为 ;?
(2)钞票上的号码是5的倍数的概率为 ;?
(3)钞票上的号码是10的倍数的概率为 .?
解析(1)因为钞票上的号码是奇数还是偶数是由个位数字决定的,所以号码是奇数的概率
(2)因为个位数字是0或5时,号码是5的倍数,所以号码是5的倍数的概率
(3)因为个位数字是0时,号码是10的倍数,所以号码是10的倍数的概率
答案(1
9如图所示,有两个可以自由转动的均匀转盘A,B.转盘A被平均分成3等份,分别标上1,2,3三个数字;转盘B被平均分成4等份,分别标上3,4,5,6四个数字.有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则:自由转动转盘A与B,转盘停止后,指针各指向一个数字,将指针所指的两个数字相加,如果和是6,那么甲获胜,否则乙获胜.你认为这样的游戏规则公平吗?如果公平,请说明理由.
解列表如下:
B
A
3
4
5
6
1
4
5
6
7
2
5
6
7
8
3
6
7
8
9
由表可知,等可能的结果有12种,和为6的结果只有3种.因为P(和为6),所以这个游戏规则不公平.
10从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:g)的频数分布表如下:
分组(重量)
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100)
频数/个
5
10
20
15
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率.
(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个?
(3)在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.
解(1)苹果的重量在[90,95)的频率
(2)重量在[80,85)的有4);
(3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1,[95,100)分段的为2,3,4,从中任取两个,可能的情况有:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种.任取2个,重量在[80,85)和[95,100)中各有1个记为事件A,则事件A包含有(1,2),(1,3),(1,4),共3种,
故P(A)
★11深夜,一辆出租车被牵涉到一起交通事故中.该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司,其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证人说,事故现场的出租车是红色.对证人的辨别能力作了测试后,测得他辨认的正确率为80%,于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平吗?试说明理由.
分析先根据题意求出概率,然后进行判断.
解设该市有出租车1 000辆,那么依题意可得如下信息:
证人所说的颜色(正确率80%)
真
实
颜
色
辨认为蓝
辨认为红
合计
蓝色(85%)
680
170
850
红色(15%)
30
120
150
合 计
710
290
1 000
从表中可以看出,当证人说出租车是红色时,且它确实是红色的概率≈0.41,而它是蓝色的概率≈0.59.在这种情况下,以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的.
第三章概率
检测(A)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1下列事件是随机事件的个数是( )
①同性电荷,互相排斥;②明天天晴;③自由下落的物体做匀速直线运动;④函数y=logax(a>0,且a≠1)在定义域上是增函数.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析②④是随机事件;①是必然事件;③是不可能事件.
答案C
2从四双不同的鞋中任意摸出4只,事件“4只全部成对”的对立事件是( )
A.至多有两只不成对
B.恰有两只不成对
C.4只全部不成对
D.至少有两只不成对
解析从四双不同的鞋中任意摸出4只,可能的结果为“恰有2只成对”“4只全部成对”“4只都不成对”,故事件{4只全部成对}的对立事件是{恰有2只成对}+{4只都不成对}={至少有两只不成对},故选D.
答案D
3某城市2016年的空气质量状况如下表所示:
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中当污染指数T≤50时,空气质量为优;当50A
解析该城市2016年空气质量达到良或优的概率
答案A
4有四个游戏盘,如图所示,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖.小明希望中奖机会大,他应当选择的游戏盘为( )
解析四个游戏盘中,小明中奖的概率分别A.
答案A
5袋中装有质地、形状、大小相同的白球和黑球各3个,从中任取2个,则至多有一个黑球的概率是( )
A
C
解析从袋中任取2个球,有15种等可能取法(不妨将黑球编号为黑1、黑2、黑3,将白球编号为白1、白2、白3).取出的两个球都是白球有3种等可能取法,取出的两个球是一白一黑有9种等可能取法,故事件A=“取出的两个球至多有一个黑球”,共有9+3=12(种)取法,因此,P(A)
答案B
6从1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于40的概率是( )
A
解析可以构成的两位数有20种,因为是“任取”两个数,所以每个数被取到的概率相同,可以采用古典概型公式求解,其中大于40的两位数有以4开头的:41,42,43,45共4种;以5开头的:51,52,53,54共4种.故所求概率
答案B
7利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品,其中一等品有20件,合格品有70件,其余为不合格品.现在这个工厂随机抽查一件产品,设事件A=“是一等品”,B=“是合格品”,C=“是不合格品”,则下列结果错误的是( )
A.P(B)
B.P(A∪B)
C.P(A∩B)=0
D.P(A∪B)=P(C)
解析根据事件的关系及运算求解,A,B,C为互斥事件,故C项正确.因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件,则A,B两项正确,D项错误.
答案D
8把12个人平均分成两组,每组任意指定正、副组长各1人,则甲被指定为正组长的概率为( )
A
解析12个人被平均分成两组,每组6个人,则甲必被分到其中一组,则只需研究该组即可.该组6个人中,甲被指定为正组长的概率
答案B
9若以连续两次掷骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标(m,n),则点P在圆x2+y2=25外的概率是( )
A
C
解析本题中涉及两个变量的平方和,类似于两变量的和或积的情况,可以用列表法(如图),使x2+y2>25的次数与总试验次数的比就近似为本题结果,
答案B
10在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为a,b,则函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为( )
A.1
B.1
C.1
D.1
解析由函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点,可得Δ=(2a)2-4(-b2+π2)≥0,即得a2+b2≥π2.又,故函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为PB.
答案B
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11一种计算机芯片可以正常使用的概率为0.994,则它不能正常使用的概率为 .?
解析所求概率为1-0.994=0.006.
答案0.006
12已知甲盒内有外形和质地相同的1个红球和2个黑球,乙盒内有外形和质地相同的2个红球和2个黑球.现从甲、乙两个盒内各取1个球,则取出的2个球中恰有1个红球的概率是 .?
解析从甲、乙两个盒内各取1个球,共有12种不同的取法.其中,从甲盒内取1个红球,从乙盒内取1个黑球,有2种取法;从甲盒内取1个黑球,从乙盒内取1个红球,有4种取法.故取出的2个球中恰有1个红球的概率
答
13在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多12人.从这些教师中随机挑选一人表演节目,若选到男教师的概率
解析本题为古典概型概率题目,设参加联欢会的男教师为x人,则女教师为(12+x)人.因为男教师被挑选出一人的概率x=54.即参加联欢会的教师共有12+2x=120(人).
答案120
14有以下说法:
①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率
根据我们所学的概率知识,其中说法正确的序号是 .?
答案①③
15在区间[-1,1]上任取两数x和y,组成有序数对(x,y),记事件A为“x2+y2<1”,则P(A)= .?
解析[-1,1]上任取的x和y组成有序数对(x,y),构成基本事件空间Ω,区域Ω是边长为2的正方形,子区域A为圆面,故P(A)
答
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(8分)对一批U盘进行抽检,结果如下表:
抽取件数(a)
50
100
200
300
400
500
次品件数(b)
3
4
5
5
8
9
次品
(1)计算表中各次品率.
(2)从这批U盘中任取一个是次品的概率约是多少?
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,则销售2 000个U盘,至少需进多少个U盘?
解(1)表中次品率分别为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.
(3)设至少需要进x个U盘,为保证其中有2 000个正品U盘,则x(1-0.02)≥2 000,解得x>2 040.因为x是正整数,所以x至少为2 041,即至少需进2 041个U盘.
17(8分)如图所示,在长为52,宽为42的大矩形内有一个边长为18的小正方形,现向大矩形内随机投掷一枚半径为1的圆片,求:
(1)圆片落在大矩形内部时,其圆心形成的图形面积;
(2)圆片落在大矩形内部,且圆片与小正方形及内部有公共点的概率.
解(1)当小圆片落在大矩形内部时,其圆心形成的图形为一个长为50,宽为40的矩形,故其面积为S=50×40=2 000.
(2)当小圆片与小正方形及内部有公共点时,其圆心形成的图形面积:S'=(18+2)×(18+2)-4×1×1+4
18(9分)连续抛掷两枚骰子,设第一枚骰子出现的点数为m,第二枚骰子出现的点数为n,则求:
(1)m·n为偶数的概率;
(2)点P(m,n)在圆x2+y2=16内的概率.
分析本题为古典概型问题,求解时可先求出基本事件总数,再求出各事件包含的基本事件数,最后求得结果.
解(m,n)总的个数为36.
(1)事件A={m·n为偶数}含基本事件为(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共有27个.故P(A)
(2)事件B={点P(m,n)在圆x2+y2=16内}包含基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共8个,则P(B)
19(10分)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标
(x,y,z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标
(x,y,z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,
①用产品编号列出所有可能的结果;
②设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.
解(1)计算10件产品的综合指标S,如下表:
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率0.6.
(2)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4,A7},{A4,A9},{A5,A7},{A5,A9},{A7,A9},共15种.
②在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,则事件B发生的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共6种.所以P(B)
20(10分)如下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组的记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示.
(1)如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;
(2)如果X=9,分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率.
解(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是8,8,9,10,所以平均数
方差为s2
(2)记甲组四名同学为A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为9,9,11,11;
乙组四名同学为B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为9,8,9,10.
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有16个,它们是:
(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),
(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),
(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),
(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4).
用C表示:“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件,
则C中的结果有4个,它们是:(A1,B4),(A2, B4),(A3,B2),(A4,B2),故所求概率为P(C)
第三章概率
检测(B)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1掷一枚质地均匀的骰子,观察所得的点数a,设事件A=“a为3”,B=“a为4”,C=“a为奇数”,则下列结论正确的是( )
A.A与B为互斥事件
B.A与B为对立事件
C.A与C为对立事件
D.A与C为互斥事件
解析事件A与B不可能同时发生,但也可能都不发生,因此A与B为互斥事件,但不是对立事件.
答案A
2某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其男婴数如下表:
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5 544
9 013
13 520
17 191
男婴数
2 716
4 899
6 812
8 590
这一地区男婴出生的概率约是( )
A.0.4 B.0.5
C.0.6 D.0.7
解析由表格可知,男婴出生的频率依次为0.49,0.54,0.50,0.50,故这一地区男婴出生的概率约为0.5.故选B.
答案B
3从1,2,3,4这4个数中,任意抽取两个数,则抽到的两个数都是偶数的概率是( )
A
C
解析不放回地抽取2个数,共有6种取法,两个数字均为偶数只有(2,4)这一种情况,因此所求概率A.
答案A
4若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为 ( )
A
解析五人录用三人共有10种不同方式,分别为:{丙,丁,戊},{乙,丁,戊},{乙,丙,戊},{乙,丙,丁},{甲,丁,戊},{甲,丙,戊},{甲,丙,丁},{甲,乙,戊},{甲,乙,丁},{甲,乙,丙}.
其中含甲或乙的情况有9种,故选D.
答案D
5从一批产品中随机抽两次,每次抽1件.以A表示事件“两次都抽得正品”,B表示事件“至少抽得一件次品”,则下列关系式中正确的是( )
A.A?B B.B?A
C.A=B D.A
解析事件B的对立事件为至多抽到0件次品,即两次都抽到正品,因此选项D正确.
答案D
6袋里装有大小相同的黑、白两色的手套,黑色手套3只,白色手套2只.现从中随机地取出两只手套,如果两只是同色手套则甲获胜,两只手套颜色不同则乙获胜,则甲、乙获胜的机会是( )
A.一样大
B.甲大
C.乙大
D.不能确定
解析共有10种取法,两只手套颜色不同的情况共有6种,因此乙获胜的概率.故选C.
答案C
7从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
A
C
解析如图所示,正六边形ABCDEF,从6个顶点中随机选择4个顶点有ABCD,ABCE,ABCF,ABDE,ABDF,ABEF,ACDE,ACDF,ACEF,ADEF,BCDE,BCDF,BCEF,BDEF,CDEF,共15种选法,基本事件总数为15,其中四边形是矩形的有ABDE,BCEF,ACDF 3种,故所求概率为PD.
答案D
8将一枚骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b,设两条直线l1:ax+by=2,l2:x+2y=3平行的概率为P1,相交的概率为P2,则点P(36P1,36P2)与圆C:x2+y2=1 098的位置关系是( )
A.点P在圆C上
B.点P在圆C外
C.点P在圆C内
D.不能确定
解析因为l1∥l2,所以b=2a,满足此条件的(a,b)有(1,2),(2,4),(3,6),故P1
又因为两直线l1∥l2与l1与l2相交是对立事件,
所以P2=1-P1=1
所以P(3,33).
因为32+332=9+1 089=1 098,
所以点P在圆C上.
答案A
9如图所示,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是( )
A.1
B
C.2
D
解析S矩形ABCD=1×2=2,S扇形ADE=S扇形CBF
P
答案A
10节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
A
B
C
D
解析设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,则由题意可得,0≤x≤4,0≤y≤4;而所求事件“两串彩灯同时通电后,第一次闪亮相差不超过2秒”={(x,y)||x-y|≤2},由图示得,该事件概率P
答案C
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则事件“3a-1<0”发生的概率为 .?
解析由题意知0≤a≤1,事件“3a-1<0”发生时,a0≤a,取区间长度为测度,由几何概型的概率公式得其概率P
答
12若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为 .?
解析甲、乙、丙三人随机站在一排有:
甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共6种.
若甲、乙两人相邻而站则有甲乙丙、丙甲乙、乙甲丙、丙乙甲,共4种,故所求的概率
答
13在区间[-2,4]上随机地取一个数x,若x满足|x|≤m的概率
解析由题意[-2,4]的区间长度为6,而满足条件的x取值范围的区间长度为5,故m取3,x∈[-2,3].
答案3
14抛掷甲、乙两枚质地均匀,且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体,其底面落于桌面,记底面上的数字分别为x,y,
解析基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16种情况.
,则
当x=1时,y=1;
当x=2时,y=1,2;
当x=3时,y=1,3;
当x=4时,y=1,2,4.
共有8种情况.
故所求概率
答
15如图所示,图②中实线围成的部分是长方体(图①)的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向图②中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率
解析设长方体的高为h,由几何概型的概率计算公式可知,质点落在长方体的平面展开图内的概率P
解得h=3或h=),
故长方体的体积为1×1×3=3.
答案3
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(8分)甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数则算甲赢,否则算乙赢.
(1)若以A表示和为6的事件,求P(A).
(2)现连玩三次,以B表示“甲至少赢一次”的事件,C表示“乙至少赢两次”的事件,试问:B与C是否为互斥事件?为什么?
(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.
解(1)基本事件空间与点集S={(x,y)|x∈N+,y∈N+,1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一对应.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
因为S中点的总数为25,所以基本事件总数n=25.
事件A包含的基本事件数共5个,即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),故P(A)
(2)B与C不是互斥事件.因为事件B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意.
(3)这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基本事件数为13个,即甲赢的概率.
17(8分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率;
(2)求此人在该市停留时间只有1天时空气重度污染的概率;
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结果不要求证明)
解(1)在3月1日至3月13日这13天中,1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率
(2)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日,或5日,或7日,或8日”.
所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
18(9分)某人在如图所示的直角边长为4 m的等腰直角三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1 m.
(1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;
Y
51
48
45
42
频数
4
(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48 kg的概率.
解(1)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为2的作物有4株,“相近”作物株数为3的作物有6株,“相近”作物株数为4的作物有3株.列表如下:
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为
=46.
(2)由(1)知,
P(Y=51)
故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为48 kg的概率为
P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)
19(10分)有一个不透明的袋子,装有三个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3.
(1)若逐个不放回取球两次,求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率;
(2)若先从袋中随机取一个球,该球的编号为a,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为b,求直线ax+by+1=0与圆x2+y2
解(1)用(a,b)(a表示第一次取到球的编号,b表示第二次取到球的编号)表示先后两次取球构成的基本事件,则基本事件有(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),共6个.
设“第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除”为事件A,则事件A包含的基本事件有(2,1),共1个,故P(A)
(2)由题意得,所有基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3, 3),共9个.
设“直线ax+by+1=0与圆x2+y2B,由题意a2+b2≥9,
则事件B包含的基本事件有(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共5个,故P(B)
20(10分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3).
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数,以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.
甲的频数统计表(部分)
运行
次数n
输出y的值
为1的频数
输出y的值
为2的频数
输出y的值
为3的频数
30
14
6
10
…
…
…
…
2 100
1 027
376
697
乙的频数统计表(部分)
运行
次数n
输出y的值
为1的频数
输出y的值
为2的频数
输出y的值
为3的频数
30
12
11
7
…
…
…
…
2 100
1 051
696
353
当n=2 100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.
解(1)变量x是在1,2,3,…,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.
当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故P1
当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故P2
当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3
所以,输出y的值为1的概率y的值为2的概率y的值为3的概率
(2)当n=2 100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:
输出y的值
为1的频率
输出y的值
为2的频率
输出y的值
为3的频率
甲
乙
比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.
