3.1.1 实数指数幂及其运算
课时过关·能力提升
1根式等于( )
A. B. C. D.-
解析原式=(a-2.
答案A
2化简的结果是( )
A. B.
C.3 D.5
解析原式=.
答案B
3()4()4等于( )
A.a16 B.a8
C.a4 D.a2
解析原式==a2a2=a2+2=a4.
答案C
4若xy≠0,则等式=-2xy成立的条件是 ( )
A.x>0,y>0 B.x>0,y<0
C.x<0,y>0 D.x<0, y<0
解析因为=2=2|x|·|y|·=-2xy,所以y>0,且x<0.
答案C
5若ab+a-b=2,则ab-a-b的值等于( )
A. B.±2
C.-2 D.2
解析∵(ab-a-b)2=(ab+a-b)2-4,
∴(ab-a-b)2=8-4=4,∴ab-a-b=±2.
答案B
6有下列结论:
①当a<0时,(a2=a3;②=|a|;③在代数式y=(x-2-(3x-7)0中x的取值范围为(2,+∞);④若100a=5,10b=2,则 2a+b=1.其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析只有④正确,由100a=102a=5,10b=2,得102a+b=5×2=10,故2a+b=1.
而①中(a2应为-a3,②中③中x的取值范围由确定,得x∈.
答案B
7计算的值等于 ( )
A.1+ B.1-
C.2+ D.2-
解析∵
=
=
==1-.
∴原式=×2=2-.
答案D
8+3的值等于 .?
解析+3=2+.
答案
9若x>0,则(2)(2)-4·(x-)= .?
解析原式=4-33-4+4=-27+4=-23.
答案-23
10已知=0,则yx= .?
解析∵=|x-1|+|y+3|=0,
∴|x-1|=|y+3|=0,∴x=1,y=-3.
∴yx=(-3)1=-3.
答案-3
11若m-=5,则m2+m-2= .?
解析由m-=5可得=25,即m2+m-2-2=25,故m2+m-2=27.
答案27
12求下列各式的值:
(1); (2)(a>0).
解(1)原式=[34×(=(=3;
(2)原式=.
★13已知ax3=by3=cz3,且=1,求证:(ax2+by2+cz2.
证明设ax3=by3=cz3=k,则ax2=,by2=,cz2=.
因为=1,
所以左边=,右边=,
所以左边=右边,即等式成立.
3.1.2 指数函数
课时过关·能力提升
1函数y=的定义域是( )
A.[0,+∞) B.(-∞,0]
C.[1,+∞) D.(-∞,+∞)
解析要使函数有意义,必须1-3x≥0,
即3x≤1,即3x≤30,于是x≤0.
故函数的定义域为(-∞,0].
答案B
2设y1=40.9,y2=80.48,y3=,则( )
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3
C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
解析因为y1=40.9=21. 8,y2=21.44,y3=21.5,
且y=2x在R上是增函数,所以y1>y3>y2.
答案D
3函数f(x)=的值域为( )
A.(0,1] B.[1,+∞) C.(0,+∞) D.
解析f(x)=.因为x2≥0,所以∈(0,1].
答案A
4已知<1,则有( )
A.0
解析由已知得.因为y=在R上是减函数,所以m>n>0.
答案A
5若函数f(x)=在R上是增函数,则实数a的取值范围为( )
A.(1,+∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8)
解析由f(x)在R上是增函数,知
解得a∈[4,8).
答案D
6已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=+b的图象是( )
解析由f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图象可知,a>1,-1故g(x)=+b的图象可以理解为由函数y=的图象向下平移|b|个单位长度所得,再结合0<<1及过定点(0,1+b),且1+b>0,可知选A.
答案A
7定义运算a*b:a*b=若1*2=1,则函数f(x)=2x*2-x的值域为( )
A.R B.(0,+∞)
C.(0,1] D.[1,+∞)
解析由题意得,f(x)=2x*2-x=
f(x)的图象如图所示,
故函数f(x)的值域为(0,1].
答案C
8若函数f(x)=+a为奇函数,则a的值为 .?
解析因为f(x)的定义域为R,所以f(0)=0,
即+a=0,解得a=-.
答案-
9函数f(x)=a3-x+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 .?
解析当x=3时,对于a>0,且a≠1,总有f(3)=a0+1=2,故函数f(x)的图象恒过定点(3,2).
答案(3,2)
10已知指数函数f(x)=(1-2a)x,且满足f(6)解析由已知得,f(x)在R上是减函数,故0<1-2a<1,解得0答案
★11方程2|x|+x=2的实根的个数为 .?
解析由2|x|+x=2,得2|x|=2-x.在同一坐标系中作出y=2|x|与y=2-x的图象如图所示,可观察到两个函数的图象有且仅有两个交点,故方程有两个实根.
答案2
12若函数f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a的值.
解当a>1时,函数f(x)=ax-1在[0,2]上是增函数,
由题意可知,解得a=.
当0由题意可知,此时a无解.
综上可知,a=.
★13已知函数f(x)=a-(x∈R),
(1)用定义证明:不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)内为增函数;
(2)若f(x)为奇函数,求a的值;
(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,5]上的最小值.
(1)证明f(x)的定义域为R,
设x1,x2是R上的任意两个不相等的实数,且x1则f(x1)-f(x2)=a--a+.
∵x10,
∴f(x1)-f(x2) <0,即f(x1)∴不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)内为增函数.
(2)解∵f(x)为奇函数,且x∈R,
∴f(0)=0,即a-=0,解得a=.
(3)解由(2)知,f(x)=,
由(1)知,f(x)在(-∞,+∞)内为增函数,
故f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1).
∵f(1)=,
∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为.
3.2.1 对数及其运算
课时过关·能力提升
1若loga=2c,则a,b,c满足的关系式是( )
A.a2c=b B.3a2c=b
C.a6c=b D.=b
解析因为loga=2c,所以a2c=,所以(a2c)3=b,即a6c=b.
答案C
2lo的值等于( )
A. B.- C.6 D.-6
解析lo=lo3-3=log33=6.
答案C
3若ln x-ln y=a,则ln-ln等于( )
A. B.a C. D.3a
解析ln-ln=3=3(ln x-ln 2-ln y+ln 2)=3(ln x-ln y)=3a.
答案D
4已知lg 2=a,lg 3=b,则log36等于( )
A. B. C. D.
解析由换底公式,得
log36=.
答案B
5在对数式loga-4(6-a)中,实数a的取值范围是( )
A.a>6或a<4 B.4C.4解析依题意应有故4答案C
6已知f(x)=lg x,若f(ab) =,则f(a2)+f(b2)等于 ( )
A. B. C. D.
解析由f(ab)=,可得lg(ab)=,故f(a2)+f(b2)=lg a2+lg b2=lg a2b2=2lg ab=2×.
答案B
7如果关于lg x的方程lg2x+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2·lg 3=0的两根为lg x1,lg x2,那么x1·x2的值为( )
A.lg 2·lg 3 B.lg 2+lg 3
C. D.-6
解析由已知,得
lg x1+lg x2=-(lg 2+lg 3)=-lg 6=lg.
∵lg x1+lg x2=lg(x1·x2),
∴lg(x1·x2)=lg,∴x1·x2=.
答案C
8已知x>0,且x≠1,logx=-4,则x= .?
解析∵logx=-4,
∴x-4=.
∴x4=16=24.
∵x>0,且x≠1,
∴x=2.
答案2
9计算(0.008 1-10×0.02+lg-lg 25= .?
解析原式=-10×+lg-3-2=-.
答案-
10已知loga2=m,loga3=n,则a2m+n= .?
解析∵loga2=m,loga3=n,
∴am=2,an=3.
∴a2m+n=(am)2·an=22×3=12.
答案12
11已知正数a,b,c满足a2+b2=c2.
求证:log2+log2=1.
证明因为左边=log2+log2
=log2
=log2
=log2
=log22=1=右边,
所以原式成立.
★12已知lg a和lg b是关于x的方程x2-x+m=0的两个根,而关于x的方程x2-(lg a)x-(1+lg a)=0有两个相等的实数根,求实数a,b和m的值.
解由题意,得
由③,得(lg a+2)2=0,
故lg a=-2,
即a=.
代入①,得lg b=1-lg a=3,
即b=103=1 000.
代入②,得m=lg a·lg b=(-2)×3=-6.
故a=,b=1 000,m=-6.
★13设a>0,a≠1,x,y满足logax+3logxa-logxy=3,用logax表示logay,并求出当x为何值时,logay取得最小值.
解由换底公式,得logax+3·=3,
整理得lox+3-logay=3logax,
于是logay=lox-3logax+3=.
故当logax=,即x=时,logay取最小值.
3.2.2 对数函数
课时过关·能力提升
1函数f(x)=的定义域是( )
A.{x|x>0} B.{x|x≥e}
C.{x|x≥1,且x≠e} D.{x|x>0,且x≠e}
解析因为
所以即x≥1,且x≠e,故定义域为{x|x≥1,且x≠e}.
答案C
2若loga<-1,则实数a的取值范围是( )
A.1C.1解析若a>1,则由loga综上可知,a的取值范围是1答案A
3若a=lo2,b=lo3,c=,则( )
A.aC.b解析∵0<<1,-1∴b答案D
4函数y=ax与y=-logax(x>0,且a≠1)在同一坐标系中的图象形状只能是( )
解析两个函数应具有相反的单调性,且分别过定点(0,1)和(1,0),故只有A项相符.
答案A
5已知函数f(x)=lo(2x2+x),则f(x)的单调递增区间为( )
A. B.
C.(0,+∞) D.
解析结合二次函数y=2x2+x的图象(如图所示),复合函数的单调性及f(x)的定义域可知f(x)的单调递增区间为.
答案B
6函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b-a的最小值为( )
A.2 B. C. D.1
解析由题知函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],当f(x)=0时,x=1;当f(x)=1时,x=3或.
故要使值域为[0,1],定义域可以为[x,3],也可以为(1≤x≤3),因此,b-a的最小值为.故选B.
答案B
7函数y=log2(x+)(x∈R)的奇偶性为( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
解析当x∈R时,f(-x)=log2(-x+)=log2(-x)=log2=log2=-log2(+x)=-f(x).故函数是奇函数.
答案A
8函数f(x)=2loga(x+4)+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,则点A的坐标为 .?
解析令x+4=1,得x=-3,则f(-3)=2loga1+1=1,
即f(x)的图象过定点(-3,1).
答案(-3,1)
9方程log5(2x+1)=log5(x2-2)的解为 .?
解析由题意,知解得x=3.
答案x=3
★10函数f(x)=ax+loga(x+1)(a>0,且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为 .?
解析当0当a>1时,y=ax和y=loga(x+1)在[0,1]上都是增函数.
故f(x)在[0,1]上的最大值与最小值之和为f(0)+f(1).
而f(0)+f(1)=(a0+loga1)+(a1+loga2)=a,
即1+loga2=0,故a=.
答案
11设a>0,且a≠1,函数f(x)=loga(x2-2x+3)有最小值,则不等式loga(x-1)>0的解集为 .?
解析由函数f(x)=loga(x2-2x+3)有最小值可知a>1,故x-1>1,即x>2.
答案(2,+∞)
12若a2>b>a>1,试比较loga,logb,logba,logab的大小.
解∵b>a>1,∴logab>logaa=1,0<<1.
∴loga<0,logb∈(0,1),logba∈(0,1).
∵a>>1,且b>1,∴logb∴loga13已知函数f(x)=loga(a>0,且a≠1),
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性.
解(1)由题意,得>0,即
解得x<-2或x>2.
故函数的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞).
(2)由(1)知,函数的定义域关于原点对称.
∵f(-x)=loga=loga
==-loga=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
★14已知函数f(x)=loga在区间[1,2]上的值恒为正,求实数a的取值范围.
解(1)当a>1时,只需x+1>1,
即x>0.
因为1≤x≤2,所以-2>0,
即a<,这与a>1矛盾.
(2)当0①当a=时,g(x)=1,f(x)=0,不符合题意;
②当00,g(x)是增函数,只要g(1)>0,且g(2)<1,
解得③当0,且g(1)<1,
解得综上可知,a的取值范围是.
3.2.3 指数函数与对数函数的关系
课时过关·能力提升
1函数f(x)=4-5x的反函数是( )
A.y=4+5x B.y=5-4x
C.y=x D.y=x
解析由y=4-5x,得5x=4-y,即x=y.
故它的反函数为y=x.
答案D
2若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)等于 ( )
A.log2x B. C.lox D.2x-2
解析函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数f(x)=logax.因为f(2)=1,所以loga2=1,即a=2,故f(x)=log2x.
答案A
3若函数f(x)=ax (a>0,且a≠1)的反函数是g(x),且g=-1,则f等于( )
A. B.2 C. D.
解析由已知得g(x)=logax.因为g=loga=-1,所以a=4,所以f(x)=4x,故f.
答案C
4若函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则有( )
A.f(2x)=e2x(x∈R)
B.f(2x)=ln 2·ln x(x>0)
C.f(2x)=2ex(x∈R)
D.f(2x)=ln x+ln 2(x>0)
解析由题意,知f(x)=ln x.
故f(2x)=ln(2x)=ln x+ln 2.
答案D
5函数y=1+ax(0解析先画出y=1+ax的图象,由反函数的图象与原函数的图象关于直线y=x对称可画出反函数的图象.
答案A
6设函数f(x)=ax,g(x)=,h(x)=logax,正实数a满足a0.51时必有( )
A.h(x)B.h(x)C.f(x)D.f(x)解析∵由a0.5∴当x>1时,01,logax<0.
∴h(x)答案B
7已知f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(1)g(2)<0,则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是( )
解析由f(1)g(2)<0,f(1)=a1>0,得g(2)<0,即loga2<0,故0因此,f(x)与g(x)都是减函数,故选C.
答案C
8若函数f(x)的图象与函数y=的图象关于直线y=x对称,则f(x)= .?
答案lox
9若函数y=2+log3x(x≥1),则该函数的反函数的定义域是 .?
解析当x≥1时,y=2+log3x≥2,即该函数的值域为[2,+∞),因此其反函数的定义域为[2,+∞).
答案[2,+∞)
10函数f(x)=loga(3x-1)(a>0,且a≠1)的反函数的图象过定点 .?
解析令3x-1=1得x=,f=0,即f(x)图象过定点,故它的反函数图象过定点.
答案
11已知f(x)=,则f-1= .?
解析令,得3x=,即x=-2,
故f-1=-2.
答案-2
★12已知函数f(x)=的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称,令h(x)=g(1-|x|),则关于h(x)有下列命题:
①h(x)的图象关于原点对称;
②h(x)为偶函数;
③h(x)的最小值为0;
④h(x)在(0,1)内为减函数.
其中正确命题的序号为 .?
解析∵根据题意,得g(x)=lox,
∴h(x)=g(1-|x|)=lo(1-|x|)(-1∴h(x)是偶函数,h(x)的图象不关于原点对称.
∴①不正确;②正确.
∵h(x)=lo(1-|x|)≥lo1=0,
∴③正确.
∵u=1-|x|在(0,1)内为减函数,y=lou为减函数,
∴h(x)为增函数.∴④不正确.
答案②③
3.3 幂函数
课时过关·能力提升
1已知函数f(x)=(a+2)x-2是幂函数,则f(a)的值为 ( )
A.1 B.-1 C.±1 D.0
解析因为f(x)是幂函数,所以a+2=1,即a=-1.所以f(x)=x-2,故f(-1)=(-1)-2=1.
答案A
2下列幂函数中,定义域和值域不同的是( )
A.y= B.y= C.y=x3 D.y=
解析在幂函数y=中,定义域为R,值域为[0,+∞),定义域和值域不同.
答案D
3关于函数y=x|x|,x∈R的下列说法正确的是( )
A.是奇函数又是减函数 B.是偶函数又是增函数
C.是奇函数又是增函数 D.是偶函数又是减函数
解析y=x|x|=画出该函数图象如图所示,易知函数是奇函数,也是增函数.
答案C
4函数y=|x(n∈N,n>9)的图象可能是( )
解析因为y=|x为偶函数,所以排除选项A,B.
又因为n>9,所以<1.
由幂函数在(0,+∞)内幂指数小于1的图象可知,只有选项C符合题意.
答案C
5下列各式正确的是( )
A.43<33 B.log0.54C. D.lg 1.6解析借助指数函数的单调性可知正确.
答案C
6如图所示是函数y=(m,n∈N+,且互质)的图象,则( )
A.m,n是奇数,且<1
B.m是偶数,n是奇数,且>1
C.m是偶数,n是奇数,且<1
D.m是奇数,n是偶数,且>1
解析因为图象关于y轴对称,所以m为偶数,n为奇数.又根据y=x与y=在第一象限的图象判断可知<1.
答案C
7设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间为( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
解析作出两个函数在同一平面直角坐标系内的图象如图所示,即可观察得出.
答案B
8已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则这个函数的解析式为 .?
解析设f(x)=xα(α∈R),将点(2,)代入,得=2α,
即α=,故f(x)=.
答案y=
9若(1+2m>(3-m,则m的取值范围是 .?
解析由题意,知1+2m>3-m,解得m>.
答案
10设函数f1(x)=,f2(x)=x-1,f3(x)=x2,则f1{f2[f3(2 017)]}= .?
解析∵f1{f2[f3(x)]}=f1[f2(x2)]=f1(x-2)=x-1,
∴f1{f2[f3(2 017)]}=2 017-1=.
答案
★11已知幂函数f(x)=(m∈Z)是偶函数,且在区间(0,+∞)内是减函数.求函数f(x)的解析式.
解∵f(x)是偶函数,∴m2-2m-3是偶数.
∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,
∴m2-2m-3<0,即-1∵m∈Z,∴m=0,1,2.
当m=0时,m2-2m-3=-3不是偶数,舍去;
当m=1时,m2-2m-3=-4是偶数,符合题意;
当m=2时,m2-2m-3=-3不是偶数,舍去.
故m=1,故f(x)=x-4.
12下面六个幂函数的图象如图所示,试建立函数与图象之间的对应关系.
(1)y=;(2) y=;(3)y=;
(4)y=x-2;(5)y=x-3;(6)y=.
解六个幂函数的定义域、奇偶性、单调性如下:
(1)y=的定义域为[0,+∞),既不是奇函数也不是偶函数,在[0,+∞)内是增函数;
(2)y=的定义域为R,是奇函数,在[0,+∞)内是增函数;
(3)y=的定义域为R,是偶函数,在[0,+∞)内是增函数;
(4)y=x-2=的定义域为{x|x≠0},是偶函数,在(0,+∞)内是减函数;
(5)y=x-3=的定义域为{x|x≠0},是奇函数,在(0,+∞)内是减函数;
(6)y=的定义域为{x|x>0},既不是奇函数也不是偶函数,在(0,+∞)内是减函数.
通过上面分析,可以得出(1)?A,(2)?F,(3)?E,(4)?C,(5)?D,(6)?B.
★13已知函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且f(3)解因为f(x)为偶函数,
所以-2m2+m+3应为偶数.
又因为f(3)所以,
整理,得<1,
所以-2m2+m+3>0,
解得-1因为m∈Z,
所以m=0或1.
当m=0时,-2m2+m+3=3,3为奇数(舍去);
当m=1时,-2m2+m+3=2,2为偶数.
故m的值为1,f(x)的解析式为f(x)=x2.
3.4 函数的应用(Ⅱ)
课时过关·能力提升
1某公司为了适应市场需求,对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )
A.一次函数
B.二次函数
C.指数型函数
D.对数型函数
答案D
2当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是 ( )
A.y=100x B.y=log100x
C.y=x100 D.y=100x
解析由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数y=100x的增长速度最快.
答案D
3化学上通常用pH来表示溶液酸碱性的强弱:pH=-lg{c(H+)},其中c(H+)表示溶液中H+的浓度.若一杯胡萝卜汁的pH比一杯葡萄汁的pH小2,则胡萝卜汁中c(H+)是葡萄汁中c(H+)的倍数为( )
A.2 B.10
C.100 D.200
解析设胡萝卜汁中的c(H+)和葡萄汁中的c(H+)分别为a和b,依题意有lg b-lg a=-2,因此lg=-2,即a=100b.
答案C
4今有一组数据如下表所示:
t
1.993
3.002
4.001
5.032
6.121
s
1.501
4.413
7.498
12.04
17.93
现准备用下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律,其中接近的一个是( )
A.s=2t-3+1 B.s=log2t
C.s=t2- D.s=2t-2
解析画出散点图如图所示.
由散点图可知,此函数是增函数,但增长速度较慢,则排除选项A;函数的图象不是直线,排除选项D;函数的图象不符合对数函数的图象,排除选项B.
答案C
5春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了( )
A.10天 B.15天
C.19天 D.2天
解析荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y=2x,当x=20时,长满水面,故生长19天时,布满水面一半.
答案C
6某种动物繁殖数量y(单位:只)与繁殖时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,则第七年它们发展到( )
A.300只 B.400只
C.500只 D.600只
解析由题意,知当x=1时,y=100,即100=alog22,
即a=100,故y=100log2(x+1).
于是当x=7时,y=100log28=300(只).
答案A
7某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )
A.y=100x B.y=50x2-50x+100
C.y=50×2x D.y=100log2x+100
解析由所给数据,再根据不同函数的不同增长特点可知最好的模型为指数型函数,故选C.
答案C
★8有浓度为a%的酒精一满瓶共m升,每次倒出n升,再用水加满,一共倒了10次,则加了10次水后瓶中的酒精浓度是 .?
解析第一次加满水时,瓶中酒精的浓度为·a%,
第二次加满水时,瓶中酒精的浓度为
a%=·a%,
依次可得第n次加满水时,瓶中酒精的浓度为
·a%.
答案·a%
9某化工企业生产一种溶液,按市场要求杂质含量不能超过0.1%,若最初含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,则至少应该过滤 次才能达到市场要求.(取lg 2≈0. 301 0,lg 3≈0.477 1,lg 5≈0.699 0)?
解析设该过滤n次,则2%≤0.1%,即n≥≈7.4,即n>7.4,因此至少应经过8次过滤才能达到市场要求.
答案8
10有时可用函数f(x)=描述学习次数对某学科知识的掌握程度,其中x(x∈N+)表示对某学科知识的学习次数,f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.
(1)证明:当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降;
(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127],(127,133].当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科.
(1)证明当x≥7时,f(x+1)-f(x)=.
当x≥7时,函数y=(x-3)(x-4)是单调递增的,且(x-3)(x-4)> 0.故f(x+1)-f(x)是单调递减的.
因此,当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降.
(2)解由题意,知0.1+15ln=0.85,整理得=e0.05,解得a=·6≈123,123∈(121,127].
故该学科是乙学科.
★11据预测,我国在“十三五”期间某产品的市场价格与市场供应量P的关系近似地满足:P(x)=其中t为关税的税率,且t∈,x(单位:元)为市场价格,b,k为正常数,当t=时的市场供应量曲线如图所示.
(1)根据图象求k,b的值;
(2)若市场需求量为Q,它近似满足Q(x)=,当P=Q时,市场价格称为均衡价格,为使均衡价格控制在不低于9元的范围内,求税率t的最小值.
解(1)由题图可知当t=时,图象过点(5,1),(7,2),
故
解得
(2)当P=Q时,得,
解得t=
=
=-.
令m=,因为x≥9,
所以m∈,
在t=-(17m2-m-2)中,
对称轴为直线m=,且函数图象开口向下,
故当m=时,t取得最小值,此时x=9.
第三章基本初等函数（Ⅰ）
检测(A)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1设α,β是方程2x2+3x+1=0的两根,则的值为 ( )
A.8 B. C.-8 D.-
解析由题意可知α+β=-,
得=8.
答案A
2函数y=的定义域为 ( )
A.{x|-4B.{x|-4C.{x|-4≤x≤3}
D.{x|-4解析由题意,知解得-4答案D
3下列计算正确的是( )
A.log312-log34=log38 B.log312-log34=1
C.log416=4 D.log84=
解析log312-log34=log3=log33=1,故B项正确.
答案B
4设a=log23,b=log43,c=0.5,则( )
A.c答案A
5
如图所示,曲线C1,C2,C3,C4分别是指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象,则a,b,c,d与1之间的大小关系是( )
A.aB.aC.bD.b答案D
6函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( )
解析由f(0)=0可知函数图象经过原点.
因为f(-x)=f(x),所以函数图象关于y轴对称,
故选A.
答案A
7函数y=lo(x2-5x+6)的单调递增区间为( )
A. B.(3,+∞)
C. D.(-∞,2)
解析因为x2-5x+6>0,所以x>3或x<2.
所以原函数的单调递增区间为(-∞,2).故选D.
答案D
8若0A.3y<3x B.log4xC.logx3解析选项A,D可看成y=3x与y=两个指数函数,x,y作为两个变量,显然是错误的.选项C可通过logax(0答案B
9函数y=的值域为( )
A. B.
C. D.(0,2]
解析令t=2x-x2,则t=2x-x2=-(x-1)2+1≤1.因为y=是减函数,所以y=,故函数值域为.
答案A
10若方程mx-x-m=0(m>0,m≠1)有两个不同的实数根,则m的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(0,1) C.(0,+∞) D.(2,+∞)
解析方程mx-x-m=0有两个不同的实数根,即函数y=mx与y=x+m的图象有两个不同的交点.显然,当m>1时,两图象有两个不同交点;当0答案A
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11若幂函数f(x)=xα的图象经过点,则其定义域为 .?
解析因为4α=,所以α=-,即f(x)=,故其定义域为(0,+∞).
答案(0,+∞)
12设f(x)是定义在R上的奇函数,若当x≥0时,f(x)=log3(1+x),则f (-2)= .?
解析f(-2)=-f(2)=-log3(1+2)=-1.
答案-1
13关于x的方程=2m-3有负根,则实数m的取值范围是 .?
解析方程有负根,即当x<0时,=2m-3有解.
∵当x<0时,>1,∴2m-3>1,∴m>2.
答案(2,+∞)
14函数y=2+loga(3x-2)(a>0,且a≠1)的图象所过定点的坐标是 .?
答案(1,2)
15已知y=log4(-ax+3)在[0,1]上是关于x的减函数,则a的取值范围是 .?
解析由题意知解得0答案(0,3)
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(8分)计算下列各题:
(1)()6--(-2 017)0;
(2)lg 500+lglg 64+50(lg 2+lg 5)2.
解(1)原式=()6--1
=22--1=4-1-1=2.
(2)原式=lg(5×100)+lg 8-lg 5-lg 82+50(lg 10)2
=lg 5+2+lg 8-lg 5-lg 8+50=52.
17(8分)如果方程lg2x+(lg 7+lg 5)lg x+lg 7·lg 5=0的两根是α,β,求αβ的值.
分析将lg x看作是一个整体,所以方程lg2x+(lg 7+lg 5)·lg x+lg 7·lg 5=0可以看作是关于lg x的二次方程.
解因为α,β是原方程的根,所以lg α,lg β可以看作是关于lg x的二次方程的根,由根与系数的关系,得lg α+lg β=-(lg 7+lg 5)=-lg 35=lg,即lg(αβ)=lg,故αβ=.
18(9分)已知函数f(x)=-a.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若f(x)为奇函数,求实数a的值.
解(1)∵4x-1≠0,∴4x≠1,∴x≠0.
∴f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
即-a=-+a.
∴2a==-1,∴a=-.
19 (10分)一种放射性元素最初的质量为500 g,按每年20%衰减.
(1)求t(t∈N+)年后,这种放射性元素的质量y与t的函数关系式;
(2)求这种放射性元素的半衰期质量变为原来的时所经历的时间.(取lg 2≈0.3)
解(1)最初的质量为500 g,
经过1年,y=500(1-20%)=500×0.8,
经过2年,y=500(1-20%)2=500×0.82,
……
故经过t年,y=500(1-20%)t=500×0.8t.
即所求函数关系式为y=500×0.8t(t∈N+).
(2)依题意有500×0.8t=500×,
两边取常用对数得tlg 0.8=lg 0.5,
故t==3,
即这种放射性元素的半衰期约为3年.
20(10分)已知函数f(x)=3x,且f-1(18)=a+2,g(x)=3ax-4x的定义域为[0,1].
(1)求g(x)的解析式;
(2)求g(x)的值域.
解(1)因为f(x)=3x,所以f-1(x) =log3x,f-1(18)=log318=2+log32,所以a=log32.所以g(x)=-4x=2x-4x,所以g(x)=-4x+2x,x∈[0,1].
(2)令t=2x∈[1,2],g(x)=-t2+t=-,g(x)max=g(1)=0,g(x)min=g(2)=-2,故g(x)的值域为[-2,0].
第三章基本初等函数（Ⅰ）
检测(B)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1下列函数中,是偶函数且图象经过点(0,0)和点(1,1)的是( )
A.y= B.y=x4 C.y=x-2 D.y=
解析函数y=x4是偶函数,图象经过点(0,0)和点(1,1).
答案B
2函数f(x)=的图象( )
A.关于原点对称 B.关于直线y=x对称
C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
解析f(x)==3x-3-x的定义域为R,且f(-x)=3-x-3x=-f(x),即f(x)是奇函数.故其图象关于原点对称.
答案A
3已知函数f(x)=则f=( )
A.- B. C.-8 D.8
解析因为f=log3=-3,
所以f=f(-3)==8.
答案D
4四人赛跑,假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x.假设他们一直跑下去,最终跑在最前面的人对应的函数关系是( )
A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4x
C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x
解析由指数函数的增长特点知,最终跑在最前面的人应具有的函数关系是f4(x)=2x.
答案D
5若x∈(e-1,1),a=ln x,b=,c=eln x,则a,b,c的大小关系为( )
A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.b>a>c
解析由x∈(e-1,1),知a=ln x∈(-1,0),b=∈(1,2),c=eln x=x∈(e-1,1),因此b>c>a.
答案B
6函数y=(0解析因为函数的定义域为{x|x≠0},所以y=当x>0时,函数是指数函数,其底数0答案D
7若函数f(x)=logax(a>0,a≠1),已知f(x1·x2·…·x2 017)=2 017,则f()+f()+…+f()=( )
A.2 017 B.4 034 C.2 0172 D.
解析由已知得loga(x1·x2·…·x2 017)=2 017,故f()+f()+…+f()=loga+loga+…+loga=2(logax1+logax2+…+logax2 017)=2loga(x1·x2·…·x2 017)=2×2 017=4 034.
答案B
8某市2016年底人口为500万,人均住房面积为6平方米,如果该城市人口平均每年增长率为1%,为使2026年年底该城市人均住房面积增加到7平方米,平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)( )
A.90万平方米 B.87万平方米
C.85万平方米 D.80万平方米
解析由已知得平均每年新增住房面积至少为≈86.61(万平方米)≈87(万平方米).
答案B
9函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点也就是方程2x|log0.5x|-1=0的根,即2x|log0.5x|=1,整理得|log0.5x|=.令g(x)=|log0.5x|,h(x)=,画出g(x),h(x)的图象如图所示.因为两个函数图象有两个交点,所以f(x)有两个零点.
答案B
10当0A. B. C.(1,) D.(,2)
解析由题意得,当0当x=时,=2,即函数y=4x的图象过点,把点代入函数y=logax,得a=,若在区间上函数y=4x的图象在函数y=logax图象的下方,则需当a>1时,不符合题意,舍去.
综上可知,a的取值范围是.
答案B
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11函数f(x)=4-x的反函数是 .?
解析因为f(x)=4-x=,所以其反函数是y=lox.
答案y=lox
12若lg(x-y)+lg(x+2y)=lg 2+lg x+lg y,则= .?
解析由题意,得lg[(x-y)(x+2y)]=lg(2xy),
故
解得x=2y,即=2.
答案2
13函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是 .?
解析在同一坐标系下分别画出函数g(x)=2x-2,h(x)=-x3的图象如图所示,由图象可知两图象仅有1个交点在(0,1)内,即f(x)在(0,1)内仅有1个零点.
答案1
14若函数f(x)=loga(x+1)的定义域和值域均为[0,1],则a的值为 .?
解析∵x∈[0,1],
∴x+1≥1.∵f(x)=loga(x+1)≥0,∴a>1.
∴函数f(x)在[0,1]上为增函数.
∴f(x)max=f(1)=loga2=1.∴a=2.
答案2
15对于给定的函数f(x)=ax-a-x(x∈R,a>0,a≠1),下面说法正确的是 .(只填序号)?
①函数f(x)的图象关于原点对称;
②函数f(x)在R上不具有单调性;
③函数f(|x|)的图象关于y轴对称;
④当0⑤当a>1时,函数f(|x|)的最大值是0.
解析∵f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,f(x)的图象关于原点对称,①正确;当a>1时,f(x)在R上为增函数,当01时,f(x)在(-∞,0)内为减函数,在[0,+∞)内为增函数,故当x=0时,y=f(x)的最小值为0,⑤错误.综上可知,正确的是①③④.
答案①③④
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(8分)计算下列各式的值:
(1)0.06+1+0.2;
(2)log216+2log36-log312.
解(1)原式=(0.43-1+(24+(0.52=0.4-1-1+8++7+=10.
(2)原式=log224+log362-log312=4+log3=4+1=5.
17(8分)已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),且f(3)-f(2)=1.
(1)若f(3m-2)(2)求使f=lo成立的x的值.
解(1)因为f(3)-f(2)=1,所以loga3-loga2=1,即loga=1,解得a=,所以f(x)=lox,且f(x)在(0,+∞)上是增函数.当f(3m-2)(2)当f=lo时,有lo=lo,所以解得x=4或x=-.
故x的值为4或-.
18(9分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)若f(3-4t)+f(2t+1)≤0,求实数t的取值范围.
解(1)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即=0,解得b=1,所以f(x)=.又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2.
(2)由(1)知f(x)==-.由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.又因为f(x)是奇函数,所以不等式f(3-4t)+f(2t+1)≤0可化为f(2t+1)≤-f(3-4t)=f(4t-3),所以2t+1≥4t-3,解得t≤2.故t的取值范围是(-∞,2].
19(10分)
某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与时间t(单位:时)之间的关系近似满足如图所示的曲线.
(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);
(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.
解(1)由图象,设y=
当t=1时,由y=4得k=4,
由=4得a=3.故y=
(2)由y≥0.25得
解得≤t≤5.
故服药一次后治疗疾病有效的时间是5-(时).
20(10分)设函数f(x)=,a为常数,且f(3)=.
(1)求a的值;
(2)求使f(x)≥4的x的取值范围;
(3)设g(x)=- x+m,对于区间[3,4]上每一个x值,不等式f(x)>g(x)恒成立,求实数m的取值范围.
解(1)由f(3)=,得,
即10-3a=1,解得a=3.
(2)由(1)知f(x)=,若f(x)≥4,则≥4=,即10-3x≤-2,解得x≥4,
故x的取值范围是[4,+∞).
(3)不等式f(x)>g(x),即>-x+m,故m