3.1.1 两角和与差的余弦
课时过关·能力提升
1.sin 75°cos 45°+sin 15°sin 45°的值为( )
A.- B.
C. D.-1
解析:原式=cos 15°cos 45°+sin 15°sin 45°=cos(15°-45°)=.
答案:C
2.若sin(π+θ)=-,θ是第二象限的角,sin=-,φ是第三象限的角,则cos(θ-φ)的值是( )
A.- B.
C. D.
解析:由已知得sin θ=,cos θ=-,cos φ=-,sin φ=-,于是cos(θ-φ)=cos θcos φ+sin θsin φ=.
答案:B
3.若sin α-sin β=1-,cos α-cos β=-,则cos(α-β)的值为( )
A. B. C. D. 1
解析:由已知得(sin α-sin β)2+(cos α-cos β)2==2-,即2-2cos αcos β-2sin αsin β=2-,于是2cos(α-β)=,从而cos(α-β)=.
答案:B
4.下列命题中的假命题是( )
A.存在这样的α和β的值,使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
B.不存在无穷多个α和β的值,使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
C.对任意的α和β,有cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
D.不存在这样的α和β的值,使得cos(α+β)≠cos αcos β-sin αsin β
解析:若cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β,则cos αcos β-sin αsin β=cos αcos β+sin αsin β,因此sin αsin β=0,因此α=kπ或β=kπ(k∈Z),有无穷多个α和β的值使之成立.
答案:B
5.已知向量a=(cos 18°,sin 18°),b=(2cos 63°,2sin 63°),则a与b的夹角为( )
A.18° B.63° C.81° D.45°
解析:由已知得a·b=2cos 18°cos 63°+2sin 18°sin 63°=2cos(18°-63°)=2cos 45°=,|a|==1,同理|b|=2,所以cos
=,故a与b的夹角是45°.
答案:D
6.在△ABC中,若sin Asin B解析:由已知得cos Acos B-sin Asin B>0,即cos(A+B)>0,所以-cos C>0,cos C<0,即C为钝角,故△ABC为钝角三角形.
答案:钝角
7.已知α,β均为锐角,且sin α=,cos β=,则α-β的值为 .?
解析:由已知得cos α=,sin β=,
于是cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,
又sin α==sin β,且α,β均为锐角,
∴α<β,即-<α-β<0,故α-β=-.
答案:-
8.函数y=sin x+cos x的值域为 .?
解析:由于y=sin x+cos x=2=2cos,因此该函数的值域是[-2,2].
答案:[-2,2]
9.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-<α+β<2π,<α-β<π,求cos 2α的值.
解:cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β).
∵<α+β<2π,
∴sin(α+β)=-.
又<α-β<π,
∴sin(α-β)=.
∴cos 2α==-.
★10.已知tan α=4,cos(α+β)=-,α,β均为锐角,求cos β的值.
解:∵tan α=4,α为锐角,
∴sin2α=48cos2α=48(1-sin2α).
∴sin α=.∴cos α=.
又cos(α+β)=-,且0<α+β<π,
∴sin(α+β)=.
∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-.
11.已知sin α-sin β=-,cos α-cos β=,且α,β均为锐角,求tan(α-β)的值.
解:∵sin α-sin β=-, ①
cos α-cos β=, ②
∴由①2+②2,
得cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=.
∵α,β均为锐角,∴-<α-β<.
由①知α<β,∴-<α-β<0,
∴sin(α-β) =-,
∴tan(α-β)==-.
★12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0, |φ|<.
(1)若coscos φ-sinsin φ=0,求φ的值;
(2)在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,求函数f(x)的解析式.
解:(1)由coscos φ-sinsin φ=0,得coscos φ-sinsin φ=0,即cos=0.
又|φ|<,所以φ=.
(2)由(1),得f(x)=sin.
依题意,得.
所以T=.
由T=,得ω=3.
所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin.
3.1.2 两角和与差的正弦
课时过关·能力提升
1.cos 23°sin 53°-sin 23°cos 53°等于( )
A. B.- C.- D.
解析:原式=sin 53°cos 23°-cos 53°sin 23°=sin(53°-23°)=sin 30°=.
答案:A
2.如果α∈,且sin α=,那么sincos α等于( )
A. B.- C. D.-
解析:sincos α=sin αcos+cos αsincos α=sin α=.
答案:A
3.函数f(x)=5sin x-12cos x(x∈R)的最小值是( )
A.-5 B.-12 C.-13 D.0
解析:由于f(x)=5sin x-12cos x=sin(x+φ)=13sin(x+φ),其中,sin φ=-,cos φ=.由于x∈R,所以x+φ∈R,故f(x)的最小值是-13.
答案:C
4.设a=2sin 24°,b=sin 85°-cos 85°,c=2(sin 47°·sin 66°-sin 24°sin 43°),则( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.b>a>c
解析:b=sin 85°-cos 85°=2sin(85°-60°)=2sin 25°,
c=2(sin 47°sin 66°-sin 24°sin 43°)
=2(sin 47°cos 24°-cos 47°sin 24°)= 2sin(47°-24°)=2sin 23°,
而a=2sin 24°,且sin 23°所以必有b>a>c.
答案:D
5.在△ABC中,若sin B=2sin Acos C,则△ABC一定是 ( )
A.等腰直角三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
解析:由于A+B+C=π,所以B=π-(A+C).
于是sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
因此sin Acos C+cos Asin C=2sin Acos C,
于是sin Acos C-cos Asin C=0,即sin(A-C)=0,
必有A=C,△ABC是等腰三角形.
答案:B
6.已知向量a=(cos x,sin x),b=(),a·b=,则cos等于( )
A.- B.- C. D.
解析:由a·b=,得cos x+sin x=,
∴cos x+sin x=,即cos ,故选D.
答案:D
7.若α,β都为锐角,则sin(α+β)与sin α+sin β的值满足 ( )
A.sin(α+β)> sin α+sin β
B.sin(α+β)C.sin(α+β)=sin α+sin β
D.sin(α+β)≥sin α+sin β
解析:将sin(α+β)利用两角和的正弦公式展开,注意锐角条件,则有sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β答案:B
8.已知tan(α+β)=2,则= .?
解析:原式==3.
答案:3
9.要使sin α-cos α=2m+1有意义,则m的取值范围是 .?
解析:由于sin α-cos α=2=2sin,
因此-2≤2m+1≤2,即-≤m≤.
答案:
★10.已知cos,sin,其中<α<,0<β<,求sin(α+β)的值.
解:∵α+β++β-,
∴sin(α+β)=-cos
=-cos
=-coscos-sinsin.
∵<α<,0<β<,
∴--α<0,+β<π.
∴sin=-,cos=-.
∴sin(α+β)=-.
★11.已知函数f(x)=-1+2sin 2x+mcos 2x的图象经过点A(0,1),求此函数在上的最值.
解:∵点A(0,1)在函数f(x)的图象上,
∴1=-1+2sin 0+mcos 0,解得m=2.
∴f(x)=-1+2sin 2x+2cos 2x=2(sin 2x+cos 2x)-1=2sin-1.
∵0≤x≤,∴≤2x+.
∴-≤sin≤1.
∴-3≤f(x)≤2-1.
∴函数f(x)的最大值为2-1,最小值为-3.
3.1.3 两角和与差的正切
课时过关·能力提升
1.已知tan(α+β)=,tan,则tan等于( )
A. B. C. D.
解析:tan=tan.
答案:C
2.已知β∈,满足tan(α+β)=,sin β=,则tan α等于( )
A. B. C. D.
解析:由已知可得cos β=,从而tan β=,于是tan α=tan[(α+β)-β]=.
答案:B
3.在△ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两根,则tan C等于( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
答案:A
4.在△ABC中,C=,3tan A+3tan B=2,则tan Atan B的值为( )
A. B. C. D.
解析:由C=得A+B=,
于是tan(A+B)=.
即,因此tan Atan B=.
答案:B
5.在△ABC中,tan A=,cos B=,则tan C等于 ( )
A.-1 B.1 C. D.-2
解析:∵cos B=,且0∴sin B=.
∴tan B=,
∴tan C=-tan=-
=-=-1.
故选A.
答案:A
6.设tan α和tan β是关于x的方程mx2+(2m-3)x+(m-2)=0的两根,则tan(α+β)的最小值是( )
A. B. C.- D.不确定
解析:依题意tan α+tan β=-,tan αtan β=,于是tan(α+β)=-m.
又方程有两根,所以Δ=(2m-3)2-4m(m-2)≥0,
即m≤,因此-m≥-,即tan(α+β)的最小值为-.
答案:C
7.已知sin 2α=,tan(α-β)=,则tan(α+β)= .?
解析:∵sin 2α=,∴cos 2α=±.
又∵<α<,∴<2α<π,∴cos 2α=-,
∴tan 2α=-.
又∵tan(α-β)=,
∴tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]
==-2.
答案:-2
8.已知tan=2,则的值为 .?
答案:
★9.在△ABC中,若(1+cot A)(1+cot C)=2,则log2sin B= .?
解析:由(1+cot A)(1+cot C)=2,得=2,∴(tan A+1)(tan C+1)=2tan Atan C.
∴1+tan A+tan C=tan Atan C.
∴tan(A+C)=-1.
又A,B,C是△ABC的内角,
∴A+C=.∴B=.∴sin B=.
∴log2sin B=log2=-.
答案:-
10.已知α为第二象限的角,sin α=,β为第一象限的角,cos β=,求tan(2α-β)的值.
解:∵α为第二象限的角,且sin α=,
∴cos α=-,∴tan α=-.
∵β为第一象限的角,且cos β=,∴sin β=,
∴tan β=.∴tan(α-β)=
=.
∴tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]
=.
★11.如图,在矩形ABCD中,AB=a,BC=2a,在BC上取一点P,使AB+BP=PD,求tan ∠APD的值.
解:由AB+BP=PD,得a+BP=,解得BP=.
设∠APB=α,∠DPC=β,
则tan α=,tan β=.
从而tan(α+β)==-18.
∵∠APD+(α+β)=π,
∴tan∠APD=tan[π-(α+β)]=-tan(α+β)=18.
3.2.1 倍角公式
课时过关·能力提升
1.已知α为第二象限的角,sin α=,则sin 2α等于( )
A.- B.- C. D.
解析:由已知得cos α=-=-,于是sin 2α=2sin αcos α=2×=-.
答案:A
2.等于( )
A.-sin 50° B.sin 50°
C.-cos 50° D.cos 50°
解析:cos 50°.
答案:D
3.已知向量a=(3,-2),b=(cos α,sin α),若a∥b,则tan 2α的值为( )
A. B.- C. D.-
解析:由a∥b得3sin α=-2cos α,于是tan α=-,从而tan 2α==-.
答案:B
4.已知sin,则sin 2α等于( )
A.- B. C.- D.
解析:由已知得sin αcos+cos αsin,于是(sin α+cos α)=,sin α+cos α=,从而(sin α+cos α)2=,即1+sin 2α=,故sin 2α=-.
答案:C
5.函数y=2sin x(sin x+cos x)的最大值为( )
A.1+ B.-1
C. D.2
解析:y=2sin x(sin x+cos x)=2sin2x+2sin xcos x=1-cos 2x+sin 2x=sin+1,
因此当sin=1时,函数取最大值+1.
答案:A
★6.已知,则tan α+=( )
A.-8 B.8 C. D.-
解析:∵
=cos α-sin α=,
∴1-2sin αcos α=,即sin αcos α=-.
则tan α+
==-8.故选A.
答案:A
7.已知sin α=,则sin= .?
解析:sin=sin=-cos 2α
=-(1-2sin2α)=2×-1=2-.
答案:2-
8.sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值等于 .?
解析:sin 10°sin 50°sin 70°=
=
=.
故sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=.
答案:
9.已知=-5,则3cos 2θ+sin 2θ= .?
解析:由=-5,得
2sin θ+cos θ=-5sin θ+15cos θ,
∴7sin θ=14cos θ.
∴tan θ=2.
∴3cos 2θ+sin 2θ=3(cos2θ-sin2θ)+2sin θcos θ
=
=3·
==-1.
答案:-1
10.已知α为锐角,且sin α=.
(1)求的值;
(2)求tan的值.
解:(1)∵α为锐角,且sin α=,
∴cos α=.
∴
==20.
(2)由(1),得tan α=,
故tan.
★11.已知向量m=(sin x,-1),向量n=,函数f(x)=(m+n)·m.
(1)求f(x)的最小正周期T;
(2)已知f(A)恰是f(x)在上的最大值,求锐角A.
解:(1)f(x)=(m+n)·m=sin2x+sin xcos x+sin 2x+sin 2x-cos 2x+2=sin+2,
所以函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)由(1),知f(x)=sin+2.
当x∈时,-≤2x-.
由正弦函数的图象可知,当2x-时,f(x)取得最大值3,即f(A)=3,此时2A-,
所以A=.
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
课时过关·能力提升
1.若sin θ=<θ<π,则sin的值等于( )
A. B.-
C. D.-
解析:由sin θ=<θ<π可得cos θ=-.
又,
所以sin.
答案:C
2.tan 15°+cot 15°等于( )
A.2 B.2
C.4 D.
解析:tan 15°+cot 15°==4.
答案:C
3.设α∈(π,2π),则等于( )
A.sin B.cos
C.-sin D.-cos
解析:由α∈(π,2π)知,
所以
==sin.
答案:A
4.若,则sin α+cos α的值是( )
A. B. C.1 D.
解析:由,结合sin2α+cos2α=1可得sin α= (sin α=0舍去),于是cos α=,从而sin α+cos α=.
答案:A
5.若θ∈,sin 2θ=,则sin θ等于( )
A. B. C. D.
解析:由θ∈,得2θ∈.
又sin 2θ=,故cos 2θ=-.
故sin θ=.
答案:D
6.化简等于( )
A.tan 2θ B.cot 4θ
C.tan 4θ D.cot 2θ
解析:=tan 4θ.
答案:C
7.已知α为三角形的内角,sin α=,则tan= .?
解析:由已知得cos α=±,且,于是tan=3或.
答案:3或
★8.若<α<2π,且cos α=,则的值是 .?
解析:.
答案:
9.已知0°<α<β<90°,sin α与sin β是方程x2-(cos 40°)x+cos240°-=0的两根,则cos(2α-β)= .?
解析:由已知,得Δ=2cos240°-4cos240°+2=2sin240°,
∴x=cos 40°±sin 40°.
∴x1=sin 45°cos 40°+cos 45°sin 40°=sin 85°,
x2=sin 45°cos 40°-cos 45°sin 40°=sin 5°.
又由0°<α<β<90°,知β=85°,α=5°,
∴cos(2α-β)=cos(-75°)
=cos 75°=cos(45°+30°)=.
答案:
10.已知sinsin,α∈,求2sin2α+tan α--1的值.
解:∵sinsin,
∴2sincos,
即sin.∴cos 4α=.
而2sin2α+tan α--1
=-cos 2α+=-.
∵α∈,∴2α∈.
∴cos 2α=-=-,
∴tan 2α=-=-.
∴-=-,
即2sin2α+tan α--1的值为.
★11.已知向量a=(sin x,-cos x),b=(cos x,cos x),函数f(x)=a·b+.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)当0≤x≤时,求函数f(x)的值域.
解:(1)f(x)=sin xcos x-cos2x+
=sin 2x-(cos 2x+1)+
=sin 2x-cos 2x=sin.
故f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤,
∴-≤2x-,
∴-≤sin≤1,
即f(x)的值域为.
3.3 三角函数的积化和差与和差化积
课时过关·能力提升
1.式子sin 15°sin 105°的值等于( )
A. B.- C. D.-
解析:sin 15°sin 105°=- [cos 120°-cos(-90°)]=-.
答案:A
2.式子sin 20°+cos 10°可化简为( )
A.sin 50° B.cos 50°
C.sin 50° D.cos 50°
解析:sin 20°+cos 10°=sin 20°+sin 80°=2sin 50°cos 30°=sin 50°.
答案:C
3.若cos(α+β)cos(α-β)=,则cos2α-sin2β等于( )
A.- B.- C. D.
解析:由cos(α+β)cos(α-β)=(cos αcos β-sin αsin β)·(cos αcos β+sin αsin β)
=cos2αcos2β-sin2αsin2β
=cos2α(1-sin2β)-sin2αsin2β
=cos2α-cos2αsin2β-sin2αsin2β
=cos2α-sin2β(cos2α+sin2α)
=cos2α-sin2β,知cos2α-sin2β=.
答案:C
★4.已知直角三角形中两锐角为A和B,则sin Asin B( )
A.有最大值和最小值0
B.有最大值,但无最小值
C.既无最大值,也无最小值
D.有最大值1,但无最小值
解析:sin Asin B=- [cos(A+B)-cos(A-B)]=-cos(A-B).又0答案:B
5.cos 72°-cos 36°等于( )
A.3-2 B.
C.- D.-
解析:cos 72°-cos 36°=-2sin 54°sin 18°=-2sin 18°cos 36°
=
=
==-=-.
答案:C
6.已知α-β=,且cos α-cos β=,则cos(α+β)等于 ( )
A. B. C. D.
解析:由于cos α-cos β=-2sinsin=-2sinsin=-sin,因此sin=-,于是cos(α+β)=1-2sin2=1-2×.
答案:C
7.cos 20°+cos 60°+cos 100°+cos 140°的值为 .?
解析:cos 20°+cos 60°+cos 100°+cos 140°
=cos 20°+cos 100°+cos 140°+
=2cos 60°cos(-40°)+cos 140°+
=cos 40°+cos 140°+
=cos 40°-cos 40°+.
答案:
8.若cos2α-cos2β=m,则sin(α+β)sin(α-β)= .?
解析:sin(α+β)sin(α-β)=- (cos 2α-cos 2β)=- [(2cos2α-1)-(2cos2β-1)]=cos2β-cos2α=-m.
答案:-m
9.若x为锐角三角形的内角,则函数y=sin+sin x的值域为 .?
解析:y=2sincossin.
由条件,知所以所以y∈.
答案:
10.化简:.
解:原式=
=
==cot 4α.
★11.已知△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,=-,求cos的值.
解:由题设条件知B=60°,A+C=120°,
∴-=-=-2,
∴=-2.
将上式化简为cos A+cos C=-2cos Acos C,
则2coscos=-[cos(A+C)+cos(A-C)].
将cos=cos 60°=,cos(A+C)=cos 120°=-代入上式,得coscos(A-C).
将cos(A-C)=2cos2-1代入上式并整理,
得4cos2+2cos-3=0,
即=0.
∵2cos+3≠0,
∴2cos=0.
∴cos.
第三章三角恒等变换
检测(A)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.sin 15°cos 165°的值是( )
A.- B.
C.- D.
答案:A
2.已知sin 2α=,则cos2等于( )
A. B.
C. D.
答案:A
3.设向量a=(sin 15°,cos 15°),b=(cos 15°,sin 15°),则a,b的夹角为( )
A.90° B.60°
C.45° D.30°
答案:B
4.函数y=sinsin的最小正周期是( )
A. B.
C.3π D.6π
解析:y=sinsin
=sin
=-sin,
其最小正周期为.
答案:A
5.若cos α=-,α是第三象限的角,则sin等于 ( )
A.- B.
C.- D.
答案:A
6.tan 17°+tan 28°+tan 17°tan 28°等于( )
A.-1 B.1 C. D.-
答案:B
7.tan αtan 2α-等于( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析:原式=tan 2α
=tan 2α·=-2.
答案:A
8.使f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)为奇函数且在上是减函数的一个φ值是( )
A. B.
C. D.
答案:B
9.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则cos等于( )
A. B.-
C. D.-
答案:C
10.已知sin α=,α是第二象限的角,且tan(α+β)=,则β的最大负值为( )
A.- B.-
C.- D.-π
解析:由题意得cos α=-,所以tan α=-,tan β=tan[(α+β)-α]=1,故β=kπ+(k∈Z),故β的最大负值为-π+=-.
答案:A
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.已知a=cos 20°cos 15°+sin 20°sin 15°,b=sin 40°sin 5°-cos 40°cos 5°,则a,b的大小关系是 .?
答案:a>b
12.函数f(x)=sin2的最小正周期是 .?
答案:
13.若向量a=(1,sin θ),b=(5,4),θ∈,且a∥b,则cos= .?
解析:由a∥b,得4=5sin θ,即sin θ=,
于是cos θ=-.
又,
所以cos.
答案:
14.设f(x)=2cos2x+sin 2x+a,当x∈时,f(x)有最大值4,则a= .?
答案:1
15.已知函数f(x)=cos xsin x(x∈R),下列四个命题中,真命题的序号是 .?
①若f(x1)=-f(x2),则x1=-x2;
②f(x)的最小正周期是2π;
③f(x)在区间上是增函数;
④f(x)的图象关于直线x=对称.
答案:③④
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)求证:.
证明左边=
=
==右边,
所以等式成立.
17.(8分)已知cos α=-,tan β=,π<α<,0<β<,求α-β的值.
解:由cos α=-,π<α<,
得sin α=-,tan α=2.
又tan β=,
∴tan(α-β)==1.
又由π<α<,0<β<可得<α-β<,
因此α-β=.
18.(9分)已知tan=-,
(1)求tan α的值;
(2)求的值.
解:(1)由tan=-,得=-,
解得tan α=-3.
(2)
=2cos α.
∵<α<π,且tan α=-3,
∴cos α=-.
∴原式=2=-.
19.(10分)已知函数f(x)=tan.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)设α∈,若f=2cos 2α,求α的大小.
解:(1)由2x++kπ(k∈Z),
得x≠(k∈Z),
所以f(x)的定义域为.
f(x)的最小正周期为.
(2)由f=2cos 2α,
得tan=2cos 2α,
即=2(cos2 α-sin2 α).
整理,得=2(cos α+sin α)(cos α-sin α).
因为α∈,
所以sin α+cos α≠0.
因此(cos α-sin α)2=,即sin 2α=.
由α∈,得2α∈.
所以2α=,所以α=.
20.(10分)已知函数f(x)=cos xcos.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若x∈时,f(x)≤m恒成立,求m的取值范围.
解:(1)f(x)=cos xcos
=cos x
=cos x
=sin xcos x+cos2x
=sin 2x+
=sin 2x+cos 2x+
=
=sin.
(1)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)当x∈时,2x+,
因此当2x+,即x=0时,
f(x)取最大值.
因为当x∈时,f(x)≤m恒成立,所以m的取值范围是.
第三章三角恒等变换
检测(B)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.cos 76°cos 16°+cos 14°cos 74°-2cos 75°cos 15°等于( )
A.0 B.
C.1 D.-
解析:原式=cos 76°cos 16°+sin 76°sin 16°-2sin 15°cos 15°=cos(76°-16°)-sin 30°=cos 60°-sin 30°==0.
答案:A
2.函数f(x)=cos-cos是( )
A.周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数
C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的奇函数
解析:f(x)=cos xcos-sin xsin-cos xcos-sin xsin=-sin x,它是周期为2π的奇函数.
答案:D
3.已知tan θ+,0<θ<,则tan 2θ的值等于 ( )
A. B.
C.- D.-
解析:由tan θ+可解得tan θ=2或,但由于0<θ<,所以tan θ∈(0,1),故tan θ=,因此tan 2θ=.
答案:B
4.在△ABC中,若cos Acos B=-cos2+1,则△ABC一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
解析:由已知,得 [cos(A+B)+cos(A-B)]=1- (1+cos C),即cos(A-B)=,于是A-B=0,A=B,即△ABC是等腰三角形.
答案:C
5.函数f(x)=(1+tan x)cos x的最小正周期为( )
A.2π B. C.π D.
解析:依题意,得f(x)=cos x+sin x=2sin,因此其最小正周期是2π.
答案:A
6.已知cos+sin α=,则sin等于 ( )
A.- B.
C.- D.
解析:由cos+sin α=cos α+sin α=,得sin,所以sin=-sin=-.
答案:C
7.已知sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于( )
A.- B.-
C. D.
解析:∵sin α+sin β=2sincos,cos β-cos α=-2sinsin,∴cossin,
∴tan.
∵α∈(0,π),β∈(0,π),
∴-,
∴,α-β=.
答案:D
8.已知=tan β,且β-α=,则m等于 ( )
A.1 B.-1
C. D.-
解析:由于=tan β=tan,因此m=1.
答案:A
9.若函数f(x)=sincos+cos·sin(ω>0)的最小正周期为24π,则f(π)等于 ( )
A. B.
C. D.
解析:∵f(x)=sin=sin 2ωx的最小正周期为24π,∴T==24π,∴ω=,则f(π)=sin=sin=sincos-cossin.
答案:A
10.已知向量a=,b=,且x∈.若|a+b|=2a·b,则sin 2x+tan x等于 ( )
A.-1 B.0
C.2 D.-2
解析:|a+b|==2cos x.
又a·b=cos 2x,由|a+b|=2a·b,
得2cos x=2cos 2x,
所以2cos2x-cos x-1=0,
解得cos x=1或cos x=-(舍去).
当cos x=1时,sin x=0,tan x=0,
所以sin 2x+tan x=0,故选B.
答案:B
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.若sin,则sin= .?
解析:由已知得cos α=,于是sin=-cos 2α=1-2cos2α=1-2×.
答案:
12.已知α是第二象限的角,tan(π+2α)=-,则tan α= .?
解析:由已知得tan 2α=-,即=-,
解得tan α=2或-.
又α是第二象限的角,tan α<0,
故tan α=-.
答案:-
13.函数f(x)=(1+cos 2x)sin2x的最小正周期为 .?
解析:f(x)=(1+cos 2x)sin2x=(1+cos 2x)·(1-cos22x)=cos 4x,其最小正周期T=.
答案:
14.函数f(x)=2sin2cos 2x的最大值为 .?
解析:f(x)=2·cos 2x=1+sin 2x-cos 2x=2sin+1.
因为≤x≤,
所以≤2x-,
所以当2x-时,f(x)取最大值3.
答案:3
15.已知13sin α+5cos β=9,13cos α+5sin β=15,则sin(α+β)的值为 .?
解析:两式等号两边分别平方并相加,得132+130(sin αcos β+cos αsin β)+52=92+152,即130sin(α+β)=112,故sin(α+β)=.
答案:
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若f,求cos α的值.
解:(1)由cos x≠0,得x≠+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的定义域为.
(2)f(x)==sin x+cos x
=sin,
fsincos α=,
所以cos α=.
17.(8分)求证:.
证明左边=
=
=
==右边.
故原等式成立.
18.(9分)已知函数f(x)=2cos(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值;
(2)设α,β∈,f=-,f,求cos(α+β)的值.
解:(1)由=10π,得ω=.
(2)∵f=2cos
=2cos=-2sin α=-,
∴sin α=.
∵f=2cos
=2cos β=,
∴cos β=.
∵α,β∈,
∴cos α=,
sin β=.
故cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β==-.
19.(10分)已知cos α=,cos(α+β)=-,且α∈,α+β∈,求tan及β的值.
解:∵α∈,cos α=,∴sinα=.
tan
=.
又α+β∈,cos(α+β)=-,
∴sin(α+β)=,
∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-.
又α∈,α+β∈,
∴-<-α<0,则0<β<π,∴β=.
20.(10分)设函数f(x)=(sin ωx+cos ωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.
(1)求ω的值;
(2)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到的,求y=g(x)的单调递增区间.
解:(1)f(x)=(sin ωx+cos ωx)2+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+sin 2ωx+1+cos 2ωx=sin 2ωx+cos 2ωx+2=sin+2.
依题意得,故ω=.
(2)依题意得g(x)=sin+2=sin+2.
由2kπ-≤3x-≤2kπ+(k∈Z),
解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),故y=g(x)的单调递增区间为(k∈Z).
