1.1.1 角的概念的推广
课时过关·能力提升
1.设集合A={小于90°的角},B={第一象限的角},则A∩B等于( )
A.{锐角} B.{小于90°的角}
C.{第一象限的角} D.以上都不对
答案:D
2.终边与两坐标轴重合的角α的集合是( )
A.{α|α=k·360°,k∈Z}
B.{α|α=k·180°,k∈Z}
C.{α|α=k·90°,k∈Z}
D.{α|α=k·180°+90°,k∈Z}
答案:C
3.已知角α,β的终边相同,则α-β的终边在( )
A.x轴的正半轴上 B.y轴的正半轴上
C.x轴的负半轴上 D.y轴的负半轴上
解析:由已知可得α-β=k·360°(k∈Z),所以α-β的终边落在x轴正半轴上.
答案:A
4.已知集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B等于( )
A.{-36°,54°}
B.{-126°,144°}
C.{-126°,-36°,54°,144°}
D.{-126°,54°}
解析:根据集合B确定集合A中的k的值.当k=-1,0,1,2时,求得相应α的值为-126°,-36°,54°,144°.
答案:C
5.如果θ∈(30°,65°),那么2θ是( )
A.第一象限的角 B.第二象限的角
C.小于180°的正角 D.第一或第二象限的角
解析:由于θ∈(30°,65°),所以2θ∈(60°,130°),因此2θ是小于180°的正角.
答案:C
6.若集合M={x|x=k·90°+45°,k∈Z},N={x|x=k·45°+90°,k∈Z},则( )
A.M=N B.M?N
C.M?N D.M∩N=?
解析:M={x|x=k·90°+45°,k∈Z}={x|x=45°·(2k+1),k∈Z},N={x|x=k·45°+90°,k∈Z}={x|x=45°·(k+2),k∈Z}.∵k∈Z,∴k+2∈Z,且2k+1为奇数,∴M?N,故选C.
答案:C
7.若时针走过2小时40分,则分针转过的角度是 .?
答案:-960°
8.若θ是第四象限的角,则θ+180°角是第 象限的角.?
解析:由于θ是第四象限的角,所以k·360°-90°<θ答案:二
9.已知角α和β的终边关于直线y=-x对称,且α=30°,则β= .?
解析:如图,OA为角α的终边,OB为角β的终边,由α=30°,得∠AOC=75°.根据对称性知∠BOC=75°,因此∠BOx=120°,所以β=k·360°-120°,k∈Z.
答案:k·360°-120°,k∈Z
10.表示出顶点在原点,始边重合于x轴的正半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(如图所示).
解:(1){α|k·360°-15°≤α≤k·360°+75°,k∈Z};
(2){β|k·360°-135°≤β≤k·360°+135°,k∈Z};
(3){γ1|k·360°+30°≤γ1≤k·360°+90°,k∈Z}∪{γ2|k·360°+210°≤γ2≤k·360°+270°,k∈Z}={γ1|2k·180°+30°≤γ1≤2k·180°+90°,k∈Z}∪{γ2|(2k+1)·180°+30°≤γ2≤(2k+1)·180°+90°,k∈Z}={γ|n·180°+30°≤γ≤n·180°+90°,n∈Z}.
★11.
如图,半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,按逆时针方向匀速沿单位圆周旋转.已知点P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2 s到达第三象限,经过14 s后又恰好回到出发点A,求角θ.
解:∵0°<θ<180°,且k·360°+180°<2θ∴必有k=0,于是90°<θ<135°.
又14θ=n·360°(n∈Z),
∴θ=(n∈Z).
∴90°<<135°,∴n=4或n=5.
故θ=或θ=.
★12.若角β的终边落在经过点(,-1)和原点的直线上,写出角β的集合;当β∈(-360°,360°)时,求角β.
解:∵角β的终边落在经过点(,-1)和原点的直线上,
∴在0°~360°范围内的角β为150°和330°.
∴角β的集合A={β|β=k·360°+150°,k∈Z}∪{β|β=k·360°+330°,k∈Z}={β|β=(2k+1)·180°-30°,k∈Z}∪{β|β=(2k+2)·180°-30°,k∈Z}={β|β=n·180°-30°,n∈Z},即满足要求的角β的集合A={β|β=n·180°-30°,n∈Z}.
令-360°得-∴n=-1,0,1,2.
∴当β∈(-360°,360°)时,β=-210°,-30°,150°,330°.
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
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1.已知扇形的半径为r,圆心角α所对的弧长为2r,则α的大小是( )
A.30° B.60°
C.1弧度 D.2弧度
解析:α的大小为=2弧度.
答案:D
2.下列各对角中,终边相同的是( )
A.和2kπ-(k∈Z) B.-
C.- D.
解析:由于-=-2π,
所以-的终边相同.
答案:C
3.已知圆的半径是6 cm,则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是( )
A. cm2 B. cm2
C.π cm2 D.3π cm2
解析:15°=15× rad,所以扇形面积S=×62×(cm2).
答案:B
4.已知角α的终边经过点P(-1,-1),则( )
A.α=kπ+(k∈Z) B.α=2kπ+(k∈Z)
C.α=kπ+(k∈Z) D.α=2kπ-(k∈Z)
解析:由终边过点P(-1,-1),知α为第三象限的角,故由终边相同的角,得α=2kπ-(k∈Z).
答案:D
5.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析:由于k∈Z,所以当k是偶数时,不妨设k=2m(m∈Z),这时集合为;当k是奇数时,不妨设k=2m+1(m∈Z),这时集合为.
由终边相同的角的表示方法知,集合中的角的范围是C项的阴影部分.
答案:C
★6.已知扇形的圆心角为,半径长为a,则扇形内切圆的面积与扇形的面积之比是( )
A.1∶3 B.2∶3
C.4∶3 D.4∶9
解析:如图,设扇形AOB的内切圆圆心为M,与切于点C,与半径OB切于点N.
设内切圆半径为r,
由于∠AOB=,
所以∠MON=,
于是OM=OC-MC=a-r,MN=r,
所以a-r=2r,解得r=,
从而扇形内切圆面积S1=π·a2.
而扇形面积为S2=·a2=a2.
故扇形内切圆的面积与扇形的面积之比S1∶S2=a2∶a2=2∶3.
答案:B
7.已知角α,β的终边关于x+y=0对称,且α=-,则β= .?
答案:
8.已知数集A={x|x=4kπ,k∈Z},B={x|x=2kπ,k∈Z},C=,D={x|x=kπ,k∈Z},则A,B,C,D四个数集之间的关系是 .?
答案:A?B?D?C
9.已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2弧度,则该扇形的面积为 cm2.?
答案:4
10.用弧度制表示,并分别写出下列集合:
(1)终边在x轴上的角的集合;
(2)终边在y轴上的角的集合.
解:(1)终边在x轴上的角的集合为{α|α=2k1π,k1∈Z}∪{α|α=2k2π+π,k2∈Z}={α|α=kπ,k∈Z}.
(2)终边在y轴上的角的集合为
.
★11.扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角为何值时,它的面积最大?并求出最大面积.
解:设扇形的圆心角为α,半径为r cm,面积为S cm2,
则弧长为l=(20-2r) cm.
由20-2r>0,r>0,得0由20-2r<2πr,得r>.
于是S=lr=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,r∈,
因此当r=5时,S取得最大值25,此时圆心角α==2 rad.
故当扇形的圆心角为2 rad时,它的面积最大,最大面积为25 cm2.
1.2.1 三角函数的定义
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1.已知点P(4,-3)是角α终边上一点,则下列三角函数值中正确的是( )
A.tan α=- B.cot α=-
C.sin α=- D.cos α=
答案:B
2.下列说法中,正确的个数是( )
①与角的终边相同的角有有限个;
②若cos α<0,tan α>0,则角α的终边在第四象限;
③cos 260°>0.
A.0 B.1
C.2 D.3
答案:A
3.若角α的终边经过点(-3,-2),则( )
A.sin αtan α>0 B.cos αtan α>0
C.sin αcos α<0 D.sin αcos α>0
解析:由已知,角α是第三象限的角,sin α<0,cos α<0,tan α>0,从而sin αtan α<0,cos αtan α<0,sin α·cos α>0.
答案:D
4.已知cos α=m,0<|m|<1,且tan α=,则角α的终边在( )
A.第一或第二象限 B.第三或第四象限
C.第一或第四象限 D.第二或第三象限
解析:因为cos α=m,0<|m|<1,
所以角α的终边不会落在坐标轴上.
又因为>0,
所以cos α与tan α同号,
所以角α的终边在第一或第二象限.
答案:A
5.若α是第二象限的角,则sin 2α,sin,tan 2α,tan 中必取正数的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:B
6.若60°角的终边上有一点P(4,a),则a的值为( )
A.-4 B.4
C.2 D.-2
解析:由已知可得tan 60°=,于是,a=4.
答案:B
7.若角α的终边上有一点P(m,m)(m∈R,且m≠0),则sin α的值是 .?
解析:因为x=m,y=m,
所以r=OP=±m.
所以sin α==±=±.
答案:±
8.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若点P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-,则y= .?
答案:-8
9.函数y=的定义域是 .?
答案:(k∈Z)
10.给出下列判断:
①sin 156°>0;②cos<0;③tan 2>0;④tan<0;⑤sin<0.
其中正确判断的序号是 .?
解析:156°是第二象限的角,故sin 156°>0,①正确;=2π+是第三象限的角,应有cos<0,故②正确;2 rad是第二象限的角,因此tan 2<0,故③错误;-=-2π-是第四象限的角,故tan<0,④正确;-=-4π+是第二象限的角,应有sin>0,⑤错误.
答案:①②④
★11.已知角θ的终边上有一点P(-,m),且sin θ=m,求cos θ与tan θ的值.
解:由已知,得m=,解得m=0或m=±.
当m=0时,cos θ=-1,tan θ=0;
当m=时,cos θ=-,tan θ=-;
当m=-时,cos θ=-,tan θ=.
★12.求证恒等式:=2.
证明设M(x,y)为角α终边上异于原点的一点,|OM|=r,由三角函数的定义,得sin α=,cos α=,sec α=,csc α=.
于是原等式的左边
=
=
=
=1+1=2=右边.
故原等式成立.
1.2.2 单位圆与三角函数线
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1.若角α的正切线位于第一象限,则角α是( )
A.第一象限的角 B.第一、二象限的角
C.第三象限的角 D.第一、三象限的角
解析:由正切线的定义知,当角α是第一、三象限的角时,正切线位于第一象限.
答案:D
2.设α是第四象限的角,则sin α和tan α的大小关系是 ( )
A.sin α>tan α B.sin αC.sin α=tan α D.不确定
解析:画出三角函数线即可判断.如图,在单位圆中,sin α=MP,tan α=AT,而MP>AT,所以sin α>tan α.
答案:A
3.下列关系中正确的是( )
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°解析:作三角函数线(如图),
由图可知sin 11°答案:C
4.若θ∈,则sin θ+cos θ的一个可能值是( )
A. B. C. D.1
解析:由θ∈及角θ的三角函数线,知sin θ+cos θ>1,四个选项中仅有>1,故选C.
答案:C
5.已知cos α≤sin α,则角α的终边落在第一象限内的范围是( )
A.
B.
C.,k∈Z
D.,k∈Z
答案:C
6.
如图,角α,β的终边关于y轴对称,则下面关系式:
①sin α=sin β;②sin α=-sin β;③cos α=cos β;④cos α=-cos β.
其中,正确关系式的序号是 .?
解析:通过三角函数线进行分析.
答案:①④
7.函数y=的定义域为 .?
解析:如图,因为1-2cos x≥0,所以cos x≤,
所以x∈(k∈Z).
答案:(k∈Z)
8.利用三角函数线分析点P(sin 3-cos 3,sin 3+cos 3)所在的象限.
解:<3<π,作出单位圆及3 rad的正弦线、余弦线如图所示.
由图可知,sin 3>0,cos 3<0,且|sin 3|<|cos 3|,
所以sin 3-cos 3>0,sin 3+cos 3<0.
故点P(sin 3-cos 3,sin 3+cos 3)在第四象限.
★9.已知关于x的方程(2sin α-1)x2-4x+4sin α+2=0有两个不相等的正根,试求角α的取值范围.
解:设方程的两根为x1,x2,方程有两个不相等的正根必须满足的条件为
即
化简,得
故如图,利用三角函数线,可知α的取值范围是<α<2kπ+.
★10.已知α为锐角,求证:1证明如图所示,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),过点P分别作PD⊥Ox,PE⊥Oy,D, E为垂足,连接AP,BP.
因为y=sin α,x=cos α,而在△POD中,|OD|+|DP|>|OP|,
所以sin α+cos α>1.
又因为S△POA=|OA|·|DP|
=y=sin α,
S△POB=|OB|·|PE|=x=cos α,
S扇形OAB=π×12=,
而S△POA+S△POB所以sin α+cos α<,
即sin α+cos α<.
故11.2.3 同角三角函数的基本关系式
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1.若cos α=,则(1+sin α)(1-sin α)等于( )
A. B. C. D.
解析:(1+sin α)(1-sin α)=1-sin2α=cos2α=.
答案:B
2.化简的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
解析:原式==-1.
答案:B
3.若角x的终边位于第二象限,则函数y=的值可化简为( )
A.1 B.2 C.0 D.-1
解析:原式==1-1=0.
答案:C
4.设sin,且α是第二象限的角,则tan等于( )
A. B. C.± D.±
解析:∵α是第二象限的角,
∴是第一、三象限的角.
∵sin>0,
∴是第一象限的角.
∴cos,
∴tan.
答案:A
5.如果tan θ=2,那么sin2θ+sin θcos θ+cos2θ的值是 ( )
A. B. C. D.
解析:sin2θ+sin θcos θ+cos2θ=1+sin θcos θ=1+=1+=1+.
答案:B
6.已知α∈,且sin αcos α=-,则sin α+cos α的值是( )
A. B.- C.± D.±
解析:由于α∈,所以sin α>0,cos α<0,且|sin α|<|cos α|,从而sin α+cos α<0.又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+2×,从而sin α+cos α=-.
答案:B
7.化简的结果是 .?
解析:原式==-cos.
答案:-cos
8.已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则cot θ的值是 .?
解析:因为sin θ+cos θ=, ①
两边平方,得1+2sin θcos θ=,
所以2sin θcos θ=-.
因为θ∈(0,π),所以cos θ<0由于(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,
所以sin θ-cos θ=. ②
联立①②,解得sin θ=,cos θ=-,
所以cot θ==-.
答案:-
9.已知sin α-cos α=,则tan α的值为 .?
解析:∵sin α-cos α=,
∴(sin α-cos α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1-2sin αcos α=,∴sin αcos α=,
于是,即,
∴tan α=或tan α=3.
答案:3或
10.若sin α,cos α是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为 .?
解析:由一元二次方程根与系数的关系得且Δ=(2m)2-16m≥0,即m≤0或m≥4.
又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,
∴=1+2×,∴m=1±.
又m≤0或m≥4,∴m=1-.
答案:1-
11.化简:
.
解:原式=
=
=.
因此当α是第一、三象限的角时,原式=4;当α是第二、四象限的角时,原式=-4.
★12.已知sin θ,cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.
(1)求sin3θ+cos3θ的值;
(2)求tan θ+的值.
解:依题意,知Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,得a≤0或a≥4,
且
由①2-②×2,得a2-2a-1=0,
∴a=1-或a=1+(舍).
∴sin θ+cos θ=sin θcos θ=1-.
(1)sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.
(2)tan θ+
==--1.
★13.求证:.
证明左边=
=
=
==右边.
故原等式成立.
第1课时 诱导公式(1)
课时过关·能力提升
1.cos的值为( )
A. B.- C. D.
解析:cos=cos=cos.
答案:A
2.已知sin α=,则cos(2π-α)的值等于( )
A.或- B.-
C. D.
解析:cos(2π-α)=cos(-α)=cos α=±=±=±.
答案:A
3.已知tan 5°=t,则tan(-365°)等于( )
A.t B.360+t
C.-t D.与t无关
解析:tan(-365°)=-tan 365°=-tan(360°+5°)=-tan 5°=-t.
答案:C
4.已知函数f(x)=cos,则下列等式成立的是( )
A.f(4π-x)=-f(x) B.f(4π+x)=-f(x)
C.f(-x)=f(x) D.f(-x)=-f(x)
解析:f(-x)=cos=cos=f(x).
答案:C
5.若|sin(360°-α)|=sin(-α+720°),则α的取值范围是 ( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
D.[2kπ-π,2kπ](k∈Z)
解析:由已知可得|sin α|=-sin α,因此sin α≤0,所以2kπ-π≤α≤2kπ(k∈Z).
答案:D
6.化简的结果为( )
A.cos B.-cos C.sin D.sin
解析:=-cos.
答案:B
7.tan 2 205°= .?
解析:tan 2 205°=tan(6×360°+45°)=tan 45°=1.
答案:1
8.sin·cos(n∈Z)的值为 .?
解析:原式=sin·cos=-=-.
答案:-
★9.sinsinsinsin·…·sin的值等于 .?
解析:原式=sin·sin·sin·…·sin×…×=(-1)100×.
答案:
10.设f(x)=g(x)=
求g+f+g+f的值.
解:原式=cos+f+1+g+1+f+1=+sin+cos+sin+3=+3=3.
★11.已知=3+2,求cos2(-θ)+sin(2π-θ)·cos(-θ)+2sin2(2π+θ)的值.
解:由已知可得=3+2,解得tan θ=.
因此cos2(-θ)+sin(2π-θ)·cos(-θ)+2sin2(2π+θ)
=cos2θ-sin θcos θ+2sin2θ
=
=.
第2课时 诱导公式(2)
课时过关·能力提升
1.若sin(π+α)=,α∈,则tan α等于( )
A.- B.-
C.- D.-
解析:由已知得-sin α=,即sin α=-.
又因为α∈,
所以cos α=,于是tan α=-.
答案:D
2.已知|sin α|=,且α是第二象限的角,则sin等于( )
A.- B. C.- D.
解析:由已知得sin α=±,而α是第二象限的角,
所以sin α=,从而cos α=-=-,
于是sin=-sin=-cos α=.
答案:D
3.化简tan(27°-α)·tan(49°-β)·tan(63°+α)·tan(139°-β)的结果为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
解析:原式=tan(27°-α)·tan(49°-β)·tan[90°-(27°-α)]·tan[90°+(49°-β)]=tan(27°-α)·cot(27°-α)·tan(49°-β)·[-cot(49°-β)]=- 1.
答案:B
4.已知sin α是方程6x=1-的根,则的值等于( )
A.± B.± C.- D.
答案:A
5.已知cos 29°=m,则sin 241°tan 151°的值是( )
A. B.
C. D.-
解析:由于sin 241°=sin(180°+61°)=-sin 61°=-cos 29°=-m,tan 151°=tan(180°-29°)=-tan 29°=-=-,于是sin 241°tan 151°=(-m)·.
答案:B
6.如果cos α=,且α是第四象限的角,那么cos= .?
解析:cos=-sin α=-(-)=.
答案:
7.sin 315°-cos 135°+2sin 570°的值是 .?
解析:sin 315°-cos 135°+2sin 570°=-sin 45°+cos 45°+2sin 210°=-+2sin(180°+30°)=-1.
答案:-1
★8.若f(x)=sinx,则f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2 015)+f(2 017)= .?
答案:0
9.求证:.
证明∵左边=
=,
右边=,
∴左边=右边,
∴原等式成立.
10.已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α是第三象限的角,且cos,求f(α)的值;
(3)若α=-,求f(α)的值.
解:(1)f(α)==-cos α.
(2)∵cos=-sin α=,α是第三象限的角,
∴sin α=-,cos α=-,
∴f(α)=.
(3)∵-=-6×2π+,
∴f(α)=f=-cos
=-cos=-cos=-.
★11.已知sin(x+y)= 1,求证:tan(2x+y)+tan y=0.
证明∵sin(x+y)=1,
∴x+y=2kπ+,k∈Z.
∴x=2kπ+-y,k∈Z,
∴tan(2x+y)+tan y
=tan+tan y
=tan(4kπ+π-y)+tan y
=tan(π-y)+tan y
=-tan y+tan y=0.
第1课时 正弦函数的图象与性质
课时过关·能力提升
1.已知函数f(x)=-sin x,下列结论错误的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在区间上是减函数
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
解析:结合f(x)=-sin x的图象可知,f(x)的图象关于原点对称,不关于直线x=0对称,故C错.
答案:C
2.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是( )
A. B.(π,2π)
C. D.(0,π)
解析:画出y=|sin x|的图象(图略),易知其一个单调递增区间是.
答案:C
3.函数f(x)=-2sin x+1,x∈的值域是( )
A.[1,3] B.[-1,3]
C.[-3,1] D.[-1,1]
解析:当x∈时,sin x∈[-1,1],-2sin x+1∈[-1,3],即f(x)的值域是[-1,3].
答案:B
4.若f(x)=4sin(ω>0)的最小正周期是π,则f的值等于( )
A.4 B.0 C.-4 D.2
解析:由已知得=π,所以ω=2,即f(x)=4sin,于是f=4sin=4.
答案:A
★5.已知函数f(x)=2sin x,对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为( )
A. B. C.π D.2π
解析:由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立,不难发现f(x1),f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的最小值为函数f(x)=2sin x的半个周期.
∵f(x)=2sin x的周期为2π,
∴|x1-x2|的最小值为π.
答案:C
6.若f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x2-sin x,则当x<0时,f(x)= .?
解析:当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sin x.
又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴当x<0时,f(x)=-x2-sin x.
答案:-x2-sin x
7.当函数f(x)=2sin(0≤x≤2π)取最大值时,x= .?
解析:当f(x)取最大值时,x-=2kπ+(k∈Z),
∴x=2kπ+(k∈Z).
又∵0≤x≤2π,∴x=.
答案:
8.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的周期函数,若f(x)=则f= .?
解析:由题意,得f=f
=f=sin=sin=sin.
答案:
9.求函数f(x)=sin2x+6sin x-1在上的最值.
解:f(x)=sin2x+6sin x-1=(sin x+3)2-10.
因为x∈,所以0≤sin x≤1,
因此当sin x=0时,f(x)取最小值-1;当sin x=1时,f(x)取最大值6.
10.若f(x)=asin x+b-1的最大值是5,最小值是-1,求a,b的值.
解:因为x∈R,所以-1≤sin x≤1.
当a>0时,sin x=1时,f(x)取最大值,sin x=-1时,f(x)取最小值,即
当a<0时,sin x=1时,f(x)取最小值, sin x=-1时,f(x)取最大值,即
综上,a=3,b=3或a=-3,b=3.
★11.设函数f(x)=3sin,ω>0,x∈(-∞,+∞),且以为最小正周期.
(1)求f(0);
(2)求f(x)的解析式;
(3)已知f,求sin α的值.
解:(1)由题设可知f(0)=3sin.
(2)∵f(x)的最小正周期为,ω>0,∴ω==4.
∴f(x)=3sin.
(3)∵f=3sin=3cos α=,
∴cos α=.
∴sin α=±=±.
第2课时 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)
课时过关·能力提升
1.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )
A.关于点对称 B.关于直线x=对称
C.关于点对称 D.关于直线x=对称
解析:由已知得=π,所以ω=2,
即f(x) =sin.
又f=0,所以f(x)的图象关于点对称.
答案:A
2.为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析:y=siny=sin=sin.
答案:B
3.函数y=2sin的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案:B
4.已知正弦函数在一个周期内的图象如图所示,则它的表达式应为( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
答案:A
5.先将函数y=f(x)图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,再将整个图象沿x轴向左平移个单位长度,得到的曲线与y=sin x的图象相同,则y=f(x)的表达式为( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
解析:根据题意,将y=sin x的图象沿x轴向右平移个单位长度后得到y=sin的图象,再将此函数图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到y=sin的图象,即得y=f(x)的解析式.
答案:D
6.对于函数f(x)=sin,有下列命题:
①函数的图象关于直线x=-对称;
②函数的图象关于点对称;
③函数的图象可看作是把y=sin 2x的图象向左平移个单位长度而得到;
④函数的图象可看作是把y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)而得到.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:C
★7.已知函数f(x)=sin,其中k≠0,当自变量x在任何两个整数间(包括整数本身)变化时,至少含有1个周期,则最小的正整数k是( )
A.60 B.61 C.62 D.63
解析:∵k≠0,∴函数f(x)=sin的周期T=.又T≤1,∴|k|≥20π>62.8.
∴最小的正整数k=63.
答案:D
8.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象中最高点(距原点最近)的坐标是(2,),由这个最高点到相邻最低点的曲线与x轴交于点(6,0),则此函数的解析式应为 .?
答案:y=sin
★9.设ω>0,且函数f(x)=sin ωx在上单调递增,则ω的取值范围是 .?
解析:因为x∈,ω>0,ωx∈,∴∴0<ω≤.
答案:
10.关于函数f(x)=4sin(x∈R)有下列命题:
①由f(x1)=f(x2)=0,可得x1-x2必是π的整数倍;
②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos;
③y=f(x)的图象关于点对称;
④y=f(x)的图象关于直线x=-对称.
其中真命题的序号是 (注:把你认为正确的命题的序号都填上).?
解析:如图所示为y=4sin的图象.
函数图象与x轴的交点均匀分布,相邻的两个交点的距离为,故命题①不是真命题;函数f(x)的图象与x轴的每一个交点,都是函数图象的一个对称中心,所以③是真命题;函数图象的对称轴都必须经过图象的最高点或最低点,所以直线x=-不是对称轴,故④不是真命题;由诱导公式可知4cos=4sin=4sin,所以命题②是真命题.所以应填②③.
答案:②③
11.已知函数f(x)=2sin.
(1)求f(x)的最大值M、最小值N和最小正周期T;
(2)写出函数f(x)图象的对称轴和对称中心.
解:(1)M=2,N=-2,T==π.
(2)令2x+=kπ+(k∈Z),得x=(k∈Z),即对称轴是直线x=(k∈Z).
令2x+=kπ(k∈Z),得x=(k∈Z),
即对称中心是(k∈Z).
★12.已知f(x)=-2asin+2a+b,x∈,是否存在常数a,b∈Q,使得f(x)的值域为{y|-3≤y≤-1}?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
解:因为≤x≤,所以≤2x+,
所以-1≤sin.
若存在这样的有理数a,b,则
当a>0时,
所以
当a<0时,所以
综上,a,b存在,且a=-1,b=1.
第1课时 余弦函数的图象与性质
课时过关·能力提升
1.函数y=-5cos(3x+1)的最小正周期为( )
A. B.3π C. D.
答案:C
2.函数f(x)=sincos(2x-π)( )
A.是奇函数 B.是偶函数
C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
解析:f(x)=sincos(2x-π)=cos x·(-cos 2x)=-cos x·cos 2x,于是f(-x)=-cos(-x)·cos(-2x)=-cos x·cos 2x=f(x),故f(x)是偶函数.
答案:B
3.函数y=-cos的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析:令2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),解得4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z),所以所求函数的增区间为(k∈Z).
答案:D
4.先把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,最后向下平移1个单位长度,得到的图象是( )
解析:y=cos 2x+1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得y1=cos x+1的图象,再向左平移1个单位长度,得y2=cos(x+1)+1的图象,再向下平移1个单位长度得y3=cos(x+1)的图象,故相应的图象为A.
答案:A
5.下列函数中,图象的一部分如图所示的是( )
A.y=sin B.y=sin
C.y=cos D.y=cos
答案:D
6.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为( )
A. B. C. D.
解析:由y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称知,f=0,即3cos=0.
∴+φ=kπ+(k∈Z).
∴φ=kπ+(k∈Z).
∴|φ|的最小值为.
答案:A
7.函数y=4cos2x+4cos x-1的值域是 .?
解析:y=4cos2x+4cos x-1=4-2.
由于-1≤cos x≤1,
所以当cos x=-时,ymin=-2;
当cos x=1时,ymax=7,
因此函数的值域是[-2,7].
答案:[-2,7]
8.已知f(n)=cos,n∈N+,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)= .?
答案:-1
★9.一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周,它的最低点离地面2 m(如图所示),则风车翼片的一个端点离地面的距离h(m)与时间t(min)之间(h(0)=2)的函数关系式为 .?
解析:首先考虑建立直角坐标系,以最低点的切线作为x轴,最低点作为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
那么,风车上翼片端点所在位置P可由函数x(t),y(t)来刻画,而且h(t)=y(t)+2,所以只需要考虑y(t)的解析式.又设P的初始位置在最低点,即y(0)=0.
在Rt△O1PQ中,cos θ=,
所以y(t)=-8cos θ+8.
而,所以θ=t,
所以y(t)=-8cost+8,
所以h(t)=-8cost+10.
故填h(t)=-8cost+10.
答案:h(t)=-8cost+10
10.已知函数f(x)=2cos ωx(ω>0),且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)先将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.
解:(1)由题意知f(x)的周期T=π,故=π,∴ω=2.
∴f(x)=2cos 2x.∴f=2cos.
(2)将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到y=f的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到y=f的图象,
所以g(x)=f
=2cos=2cos.
当2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),
即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减,因此g(x)的单调递减区间为
(k∈Z).
★11.已知函数f(x)=-+acos x+sin2x
的最大值为2,求实数a的值.
解:f(x)=-,且0≤cos x≤1.
当0≤≤1,即0≤a≤2时,cos x=时,函数f(x)可取得最大值,此时f(x)max=.
由=2,解得a=3或a=-2,均不合题意,舍去.
当<0,即a<0时,cos x=0时,函数f(x)可取得最大值,此时f(x)max=-.
由=2,解得a=-6.
当>1,即a>2时,cos x=1时,函数f(x)可取得最大值,此时f(x)max=-.
由=2,解得a=.
综上,a的值为-6或.
★12.求函数y=sin+cos的周期、单调区间和最值.
解:y=sin+cos
=cos+cos
=cos+cos=2cos,
故周期T=.
令2kπ≤4x-≤2kπ+π,k∈Z,
解得≤x≤,k∈Z,
因此,所求函数的单调递减区间为
(k∈Z).
同理可求得单调递增区间为
(k∈Z).
因为-1≤cos≤1,
所以-2≤2cos≤2.
故所求函数的最大值为2,最小值为-2.
第2课时 正切函数的图象与性质
课时过关·能力提升
1.函数y=tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析:由已知应有x-≠kπ+(k∈Z),
即x≠kπ+(k∈Z),
故定义域为.
答案:D
2.函数y=3tan的一个对称中心是( )
A. B.
C. D.(0,0)
解析:令x+(k∈Z),解得x=kπ-(k∈Z).
取k=0,可得函数的一个对称中心为.
答案:C
3.如图,函数y=tan在一个周期内的图象是 ( )
解析:函数y=tan的周期为2π,故选项B,D错误;又函数图象过点,故选项C错误.
答案:A
4.直线y=a与函数y=tan的图象相邻两交点之间的距离等于( )
A. B.π
C. D.与a有关
解析:相邻两交点之间的距离恰好为函数y=tan的一个周期T,即T=.
答案:C
★5.若将函数y=tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=tan的图象重合,则ω的最小值为( )
A. B. C. D.
解析:将函数y=tan(ω>0)的图象向右平移个单位,得y=tan.
又∵平移后函数的图象与y=tan的图象重合,
∴=kπ(k∈Z),
即=kπ(k∈Z).
∴ 当k=0时,ωπ=,
即ω的最小值为.故选D.
答案:D
6.在区间内,函数y=tan x与函数y=sin x的图象交点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:C
7.函数y=tan的周期是 .?
解析:周期为T=.
答案:
8.若函数y=tan ωx在区间上是增函数,则ω的取值范围是 .?
解析:显然应有ω>0,且其最小正周期≥π,即≥π,所以0<ω≤1.
答案:0<ω≤1
9.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ),y=f(x)的部分图象如图所示,则f= .?
解析:由题图,知,
∴T=,∴ω=2,∴f(x)=Atan(2x+φ).
将代入,得Atan=0,
即tan=0.
又|φ|<,∴φ=,
∴f(x)=Atan.
又f(0)=1,∴Atan=1,∴A=1.
∴f(x)=tan.
∴f=tan=tan.
答案:
10.下面命题中,正确命题的序号是 .?
①y=的最小正周期是;
②y=4tan的图象向右平移个单位长度,可得y=4tan 2x的图象;
③函数f(x)=3tan在区间内是增函数.
答案:②③
11.已知函数f(x)=3tan.
(1)求f(x)的定义域、值域;
(2)讨论f(x)的周期性、奇偶性和单调性.
解:(1)由x-+kπ,k∈Z,
解得x≠+2kπ,k∈Z.
故所求函数的定义域为,值域为R.
(2)f(x)为周期函数,周期T==2π.
∵f(x)的定义域不关于原点对称,
∴f(x)为非奇非偶函数.
由-+kπ解得-+2kπ∴函数的单调递增区间为
(k∈Z),无单调递减区间.
★12.若x∈,求函数y=+2tan x+1的最值及相应的x值.
解:y=+2tan x+1=+2tan x+1=tan2x+2tan x+2=(tan x+1)2+1.
∵x∈,∴tan x∈[-,1].
故当tan x=-1,即x=-时,y取最小值1;
当tan x=1,即x=时,y取最大值5.
1.3.3 已知三角函数值求角
课时过关·能力提升
1.arccos的值等于( )
A. B. C. D.-
解析:由于cos=-,且∈(0,π),
因此arccos.
答案:C
2.若sin x=-
A. B. C. D.
解析:由于sin,所以sin=-sin=-,因此x=.
答案:C
3.满足tan x=-的角x的集合是( )
A.
B.
C.
D.
解析:当x∈时,由tan x=-,可得x=arctan(-)=-,因此所有满足tan x=-的角x=kπ-(k∈Z).
答案:D
4.下列各式中正确的是( )
A.sin
B.sin
C.arccos(-x)=arccos x
D.arctan
解析:arcsin中,>1,故无意义,A错;当x=时,arccos,而arccos.故arccos(-x)≠arccos x,C错;arctan=arctan(-)=-,故D错.
答案:B
5.已知函数y=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则( )
A.ω=,φ=
B.ω=,φ=-
C.ω=2,φ=
D.ω=2,φ=-
答案:C
6.使得等式2cos=1成立的角x的集合是( )
A.
B.
C.
D.
解析:由已知得cos.因此=2kπ±,故x=4kπ±(k∈Z).
答案:C
7.在式子arcsin(2x-5)中,x的取值范围是 .?
解析:由-1≤2x-5≤1,得2≤x≤3.
答案:{x|2≤x≤3}
8.若x=是关于x的方程2cos(x+α)=1的解,其中α∈(0, 2π),则α= .?
解析:由已知得cos.
又因为α∈(0,2π),所以α+,故α=.
答案:
9.下列说法正确的个数为 .?
①若点P(a,2a)(a≠0)为角α终边上一点,则sin α=;
②同时满足sin α=,cos α=的角α有且只有一个;
③当|a|<1时,tan(arcsin a)的值恒为正;
④方程tan的解集为{x|x=kπ,k∈Z}.
答案:1
★10.已知集合A=,集合B=,求A∩B.
解:∵A=,
∴A=.
∵B=,
∴B=
=.
∴A∩B=.
★11.设sin θ,cos θ是关于x的方程4x2-4mx+2m-1=0的两个根,且<θ<2π,求m和θ的值.
解:由一元二次方程根与系数的关系,得
②代入①的平方,得1+2×=m2,
解得m=或m=.
∵<θ<2π,
∴sin θcos θ<0,
∴m<,故m=,
则原方程变为4x2-2(1-)x-=0.
∵sin θ<0,cos θ>0,
∴cos θ=,∴θ=.
第一章基本初等函数（Ⅱ）
检测(A)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若α=-6,则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:α=-6≈-(6×57.30)°=-343.8°,故角α的终边在第一象限.
答案:A
2.若β∈[0,2π],且=sin β-cos β,则β的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:∵=|sin β|+|cos β|=sin β-cos β,∴sin β≥0,cos β≤0,
又β∈[0,2π],∴β∈.
答案:B
3.已知角α的终边经过点P(,-1),则( )
A.cos α=-
B.sin α+cos α=2
C.tan α+cot α=1
D.cos α+tan α=
解析:因为x=,y=-1,r=2,所以sin α=-,cos α=,tan α=-,从而cos α+tan α=.
答案:D
4.记cos(-80°) =k,则tan 100°等于( )
A. B.-
C. D.-
解析:由cos(-80°)=k,得cos 80°=k,所以sin 80°=,
于是tan 100°=-tan 80°=-=-.
答案:B
5.已知a∈R,函数f(x)=sin x-|a|,x∈R为奇函数,则a等于( )
A.0 B.1
C.-1 D.±1
解析:由f(x)=sin x-|a|,x∈R为奇函数,得f(0)=0,可得|a|=0,即a=0.
答案:A
6.
已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,f=-,则f(0)=( )
A.- B.-
C. D.
解析:由图象可知所求函数的周期为,故ω=3.将代入解析式得+φ=+2kπ(k∈Z),
所以φ=-+2kπ(k∈Z).
令φ=-,代入解析式得f(x)=Acos.
因为f=-Asin=-,
所以f(0)=Acos=Acos.故选C.
答案:C
7.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该函数表达式为( )
A.y=2sin
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
解析:易知A=2,函数周期为T=2(5-1)=8,即=8,所以ω=,这时y=2sin.又函数图象过点(1,2),代入得φ=,故所求函数解析式为y=2sin.
答案:C
8.函数y=sin 3x的图象可以由函数y=cos 3x的图象 ( )
A.向右平移个单位长度得到
B.向左平移个单位长度得到
C.向右平移个单位长度得到
D.向左平移个单位长度得到
解析:由于y=cos 3x=sin=sin,因此应将函数y=cos 3x图象向右平移个单位长度才能得到函数y=sin 3x的图象.
答案:A
9.给出下列三个条件:①在区间上是增函数;②最小正周期是π;③是偶函数.同时满足以上三个条件的函数是( )
A.y=sin x B.y=2-cos x
C.y=sin|x| D.y=|sin x|
答案:D
10.函数f(x)=lg sin的一个单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
解析:由sin>0,得sin<0,故π+2kπ<2x-<2π+2kπ(k∈Z).
又f(x)=lg sin的单调递增区间即为sin在定义域内的单调递增区间,即sin在定义域内的单调递减区间,故π+2kπ<2x-+2kπ(k∈Z),化简得+kπ答案:C
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.函数y=tan的最小正周期是 .?
解析:最小正周期是T==2.
答案:2
12.计算:arcsin 0+arcsin+arcsin+arcsin+arcsin 1= .?
解析:原式=0+.
答案:
13.若f(x)=3cos是奇函数,则φ的最小正值为 .?
解析:依题意有φ-=kπ+(k∈Z),解得φ=kπ+(k∈Z),因此当k=0时,φ取最小正值.
答案:
14.函数y=sin2x+sin x-1的值域为 .?
解析:y=sin2x+sin x-1=,因为sin x∈[-1,1],所以y∈,即值域为.
答案:
15.若不等式tan x>a在x∈时恒成立,则实数a的取值范围是 .?
解析:由于函数y=tan x在上单调递增,因此tan x>-1,故要使不等式恒成立,应有a≤-1.
答案:a≤-1
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)已知cos=a(|a|≤1),求cos和sin的值.
解:cos=cos
=-cos=-a;
sin=sin
=cos=a.
17.(8分)若f(x)=-cos2x+cos x+m的最小值为5,求其最大值.
解:因为f(x)=-cos2x+cos x+m
=-+m,
而-1≤cos x≤1,所以当cos x=-1时,f(x)取最小值-2+m,
即-2+m=5,所以m=7.
因此,当cos x=时,f(x)取最大值+7=.
18.(9分)已知f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ;
(2)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.
解:(1)∵x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴,
∴sin=±1,
∴+φ=kπ+,k∈Z.
∵-π<φ<0,∴φ=-.
(2)由(1)得f(x)=sin.列表如下:
x
0
π
y
-
-1
0
1
0
-
故函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象如图所示.
19.(10分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R的周期为π,且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈时,求f(x)的最值.
解:(1)由最低点为M,得A=2.
由T=π,得ω==2.
由点M在图象上,得2sin=-2,
即sin=-1,
∴+φ=2kπ-,k∈Z,
∴φ=2kπ-,k∈Z.
又φ∈,∴φ=.
∴f(x)=2sin.
(2)∵x∈,∴2x+.
∴当2x+,即x=0时,f(x)取得最小值1;
当2x+,即x=时,f(x)取得最大值.
20.(10分)已知函数f(x)=3sin(ω∈Z,ω>0)的最小正周期为T,且满足T∈(1,3).
(1)求ω的所有取值;
(2)当ω取最小值时,求函数f(x)的单调区间.
解:(1)依题意,得T=,
所以1<<3,即<ω<2π.
因为ω∈Z,且ω>0,所以ω的所有取值为3,4,5,6.
(2)当ω=3时,f(x)=3sin.
令2kπ-≤3x+≤2kπ+(k∈Z),解得≤x≤(k∈Z).
令2kπ+≤3x+≤2kπ+(k∈Z),解得≤x≤(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z),单调递减区间是(k∈Z).
第一章基本初等函数（Ⅱ）
检测(B)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.-cos250°-sin250°的值等于( )
A.0 B.1 C.-1 D.
解析:-cos250°-sin250°=-(sin250°+cos250°)=-1.
答案:C
2.已知sin θ=-,θ∈,则sin(θ-5π)·sin的值是( )
A. B.- C.- D.
解析:由sin θ=-,θ∈知cos θ=.
又sin(θ-5π)=sin(θ-π)=-sin θ,sin=-cos θ,
故sin(θ-5π)sin=sin θcos θ=-=-.
答案:B
3.若cos θ=-,且θ∈(2π,3π),则θ等于( )
A.arccos B.arccos
C.2π+arccos D.π-arccos
解析:由于cos θ=-,所以arccos∈(0,π),而cos(2π+θ)=cos θ=-,所以当θ∈(2π,3π)时,θ=2π+arccos.
答案:C
4.函数y=-xcos x的部分图象是( )
解析:在y=-xcos x的图象上取点,排除A,B;又取点,排除C,故选D.
答案:D
5.cos,sin,-cos的大小关系是( )
A.cos>sin>-cos
B.cos>-cos>sin
C.cosD.-cos解析:sin=cos,-cos=cos,0<π-<π,又y=cos x在区间[0,π]上是减函数,故cos答案:C
6.已知cos=-,且角φ的终边上有一点(2,a),则a等于( )
A.- B.2 C.±2 D.
解析:由cos=-,得sin φ=,则,解得a=2.
答案:B
7.已知函数f(x)=sin x在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-1,f(b)=1,则cos等于( )
A.0 B. C.-1 D.1
解析:不妨令a=-,b=,则cos=cos 0=1,故选D.
答案:D
8.已知函数y=sin ωx(ω>0)在区间上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,则ω的取值集合为( )
A. B.
C. D.
解析:由题意知,其中k∈Z,则ω=或ω=或ω=1.
答案:A
9.函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,若将其图象向左平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象,且g(x)为奇函数,则函数f(x)的图象( )
A.关于点对称 B.关于点对称
C.关于直线x=对称 D.关于直线x=对称
解析:由已知得T==π,则ω=2,
所以f(x)=sin(2x+φ),
所以g(x)=sin
=sin.
又g (x)为奇函数,则+φ=kπ(k∈Z),
则φ=-,即f(x)=sin.
把x=代入得sin=1,
所以直线x=为f(x)图象的对称轴.故选C.
答案:C
10.为得到函数y=sin的图象,可将函数y=sin x的图象向左平移m个单位长度,或向右平移n个单位长度(m,n均为正数),则|m-n|的最小值是( )
A. B. C. D.2π
解析:由题意可得m=2k1π+,n=2k2π+(k1,k2∈N),|m-n|=,易知当k1-k2=1时,|m-n|min=.
答案:B
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.点P(sin 2 017°,tan 2 017°)位于平面直角坐标系的第 象限.?
解析:2 017°=5×360°+217°,因此2 017°是第三象限的角,sin 2 017°<0,tan 2 017°>0,故点P在第二象限.
答案:二
12.函数y=的最小正周期是 .?
解析:y==|cos 2x|,其周期为y=cos 2x周期的一半,等于.
答案:
13.设函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β∈R.若f(2 016)=5,则f(2 017)= .?
解析:因为f(2 016)=asin(2 016π+α)+bcos(2 016π+β)=asin α+bcos β=5,
所以f(2 017)=asin(2 017π+α)+bcos(2 017π+β)=-asin α-bcos β=-(asin α+bcos β)=-5.
答案:-5
14.若函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象中相邻的两支截直线y=所得线段的长为,则f的值为 .?
解析:依题意知T=.
因为T=,所以,即ω=4,
所以f(x)=tan 4x,所以f=tan
=tan=tan.
答案:
15.
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则关于函数f(x)的性质的结论正确的有 (填序号).?
①f(x)的图象关于点
对称;
②f(x)的图象关于直线x=对称;
③f(x)在区间上为增函数;
④把f(x)的图象向右平移个单位长度,得到一个偶函数的图象.
解析:由图象得A=2,,
故T=2,则ω=π.
又ω+φ=+2kπ(k∈Z),
由|φ|<,解得φ=,∴f(x)=2sin.
∵f=0,∴f(x)的图象关于点对称,①正确;∵f=-2,∴f(x)的图象关于直线x=对称,②正确;由-≤x≤,得-≤πx+,∴f(x)在区间上为增函数,③正确;f=2sin=2sin=-2cos πx是偶函数,④正确.故答案为①②③④.
答案:①②③④
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)在△ABC中,sin A+cos A=,求tan A的值.
解:∵sin A+cos A=, ①
①式两边平方,得2sin Acos A=-,知cos A<0,A∈,
∴sin A-cos A
=. ②
由①②,可得sin A=,cos A=,
∴tan A=-2-.
17.(8分)(1)已知cos(π+α)=-,计算sin(2π-α)-tan(α-3π)的值;
(2)求的值.
解:(1)∵cos(π+α)=-,
∴cos α=,sin α=±,
∴sin(2π-α)-tan(α-3π)=-sin α-tan α
=
(2)原式=
=
=tan α·=1.
18.(9分)已知函数f(x)=Asin(3x+φ)(A>0,x∈(-∞,+∞),0<φ<π)在x=时取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若g(x)=f(-x),求函数g(x)的单调区间.
解:(1)由已知得
即A=4,φ=2kπ+(k∈Z).
因为φ∈(0,π),所以φ=,
于是f(x)=4sin,最小正周期T=.
(2)由(1)知g(x)=4sin=-4sin,
由2kπ-≤3x-≤2kπ+,k∈Z,
解得≤x≤,k∈Z,
故g(x)的减区间是(k∈Z);
由2kπ+≤3x-≤2kπ+,k∈Z,解得≤x≤,k∈Z,
故g(x)的增区间是(k∈Z).
19.(10分)已知函数f(x)=1+2sin(0<ω<10)的图象过点.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若y=t在x∈上与f(x)恒有交点,求实数t的取值范围.
解:(1)∵函数f(x)=1+2sin的图象过点,∴f=-1,
∴1+2sin=-1,
∴sin=-1,
∴-ω-=2kπ-(k∈Z),
解得ω=-24k+2(k∈Z).
∵0<ω<10,∴ω=2,
∴f(x)=1+2sin.
(2)∵x∈,∴≤2x-,
∴1-≤1+2sin≤3,
即1-≤f(x)≤3.
由题意可知1-≤t≤3,即实数t的取值范围为[1-,3].
20.(10分)设x∈R,函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f.
(1)求ω和φ的值;
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象;
(3)若f(x)>,求x的取值范围.
解:(1)∵函数f(x)的最小正周期T==π,
∴ω=2.
∵f=cos=cos=-sin φ=,且-<φ<0, ∴φ=-.
(2)由(1)知f(x)=cos,列表如下:
x
0
π
2x-
-
0
π
f(x)
1
0
-1
0
作图象如图所示.
(3)∵f(x)>,即cos,
∴2kπ-<2x-<2kπ+(k∈Z),
即kπ+∴x的取值范围是.
