1.1.1 集合的概念
课时过关·能力提升
1下列指定的对象,不能构成集合的是( )
A.一年中有31天的月份
B.数轴上到原点的距离等于1的点
C.满足方程x2-2x-3=0的x
D.某校高一(1)班性格开朗的女生
答案D
2若集合A中只含有一个元素a,则下列关系表示正确的是( )
A.a∈A B.a?A
C.a=A D.A=?
答案A
3已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m的值为( )
A.2 B.3
C.0或3 D.0或2或3
解析由题意,知m=2或m2-3m+2=2,
解得m=2或m=0或m=3.
经检验,当m=0或m=2时,不满足集合A中元素的互异性;当m=3时,满足题意.
综上可知,m=3.
答案B
4有下列命题:
①集合N中最小的正数是1;②若-a∈N,则a∈N;③x2-6x+9=0的解集中的元素为3,3;④由元素4,3,2与3,2,4构成的集合是同一个集合.其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析①④正确;②中若a取-1,有-a∈N,但a?N,故②错误;③中方程的解为x1=x2=3,根据集合中元素的互异性知其解集中的元素只有3,故③错误.
答案C
5已知集合A是无限集,且集合A中的元素为12,22,32,42,…,若m∈A,n∈A,则m??n∈A.其中“??”表示的运算可以是( )
A.加法 B.减法
C.乘法 D.除法
解析因为两个正整数的平方的乘积肯定是一个正整数的平方,所以选C.
答案C
6已知集合P中含有0,2,5三个元素,集合S中含有1,2,6三个元素.如果定义集合T中的元素是x+y,其中x∈P,y∈S,那么集合T中元素的个数是( )
A.6 B.7
C.8 D.9
解析因为0+1=1,0+2=2,0+6=6,2+1=3,2+2=4,2+6=8,5+1=6,5+2=7,5+6=11,所以T中含有8个元素1,2,6,3,4,8,7,11.
答案C
7由实数a,-a,|a|,组成的集合中最多含有 个元素,最少含有 个元素.?
答案2 1
8已知方程x2-4x+3=0和x2+4x-5=0的实数根组成的集合分别记为A和B,若x∈A,且x?B,则x= .?
解析由已知得集合A中含有1和3两个元素,集合B中含有1和-5两个元素,因此当x∈A,且x?B时,x=3.
答案3
9对于由元素2,4,6构成的集合,若a∈A,则6-a∈A.其中a的值是 .?
解析当a=2时,6-a=4∈A;当a=4时,6-a=2∈A;当a=6时,6-a=0?A.因此a的值为2或4.
答案2或4
10若x为实数,则由对象x,x2-x,x3-3x能构成一个集合吗?如果能构成集合,请说明理由;如果不能,请给出附加条件,使它们构成一个集合.
解由于x为实数,x,x2-x,x3-3x这三个实数有可能相等,此时不满足集合中元素的互异性,因此,它们不一定能构成集合.
由x=x2-x,得x=0或x=2;由x=x3-3x,得x=0或x=±2;由x2-x=x3-3x,得x=0或x=2或x=-1,故只有增加条件x≠0,且x≠-1,且x≠-2,且x≠2,由对象x,x2-x,x3-3x才能构成一个集合.
11方程ax2+2x+1=0,a∈R的根构成集合A.
(1)当A中有且只有一个元素时,求a的值,并求此元素;
(2)当A中至少有一个元素时,求a满足的条件.
解(1)A中有且只有一个元素,即ax2+2x+1=0有且只有一个根或有两个相等的实根.
①当a=0时,方程的根为x=-;
②当a≠0时,由Δ=4-4a=0,得a=1,此时方程的两个相等的根为x1=x2=-1.
综上可知,当a=0时,集合A中的元素为-;
当a=1时,集合A中的元素为-1.
(2)A中至少有一个元素,即方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实根或有两个相等的实根或有一个实根.
①当方程有两个不相等的实根时,a≠0,且Δ=4-4a>0,即a<1,且a≠0;
②当方程有两个相等的实根时,a≠0,且Δ=4-4a=0,即a=1;
③当方程有一个实根时,a=0,
此时2x+1=0,得x=-,符合题意.
由①②③可知,当A中至少有一个元素时,a满足的条件是a≤1.
★12已知集合A中的元素满足性质:若实数a∈A,a≠1,则∈A.
(1)若a=2∈A,试探究集合A中一定含有另外的元素;
(2)说明集合A不是单元素集合.
分析解此题的关键在于由已知a∈A,a≠1,得到∈A,∈A,然后逐步探究,再根据集合中元素的互异性,从而使问题得以解决.
解(1)若2∈A,则=-1∈A,
∈A,=2∈A.
故集合A中一定还含有两个元素-1,.
(2)若集合A是单元素集合,则a=,即a2-a+1=0,但此方程无实数解,故a≠.
又因为a与都为集合A中的元素,
所以集合A不是单元素集合.
1.1.2 集合的表示方法
课时过关·能力提升
1下列集合中,不同于另外三个集合的是( )
A.{x|x=2 017}
B.{y|(y-2 017)2=0}
C.{x=2 017}
D.{2 017}
解析选项A,B,D中都只有一个元素“2 017”,故它们都是相同的集合;而选项C中虽然只有一个元素,但元素是等式x=2 017,而不是实数2 017,故此集合与其他三个集合不同.
答案C
2集合A={1,3,5,7,…}用描述法可表示为( )
A.{x|x=n,n∈N}
B.{x|x=2n-1,n∈N}
C.{x|x=2n+1,n∈N}
D.{x|x=n+2,n∈N}
解析集合A是所有正奇数的集合,因此用描述法可表示为{x|x=2n+1,n∈N}.
答案C
3用列举法表示集合P={a|a的倒数是它本身}正确的是 ( )
A.P={1} B.P={-1}
C.P={1,-1,0} D.P={1,-1}
解析因为a的倒数是它本身,
所以a=,解得a=1或-1.
故P={1,-1}.
答案D
4下列说法正确的是( )
A.{?}是空集
B.是有限集
C.{x∈Q|x2+x+2=0}是空集
D.{1,2},{2,1}是不同的集合
解析选项A中的{?}是含有?的集合,不是空集;选项B中,当x∈Q时,x可以为,…此时∈N,故集合是无限集;选项D中,两个集合是同一个集合,集合中的元素与顺序无关;选项C中,方程x2+x+2=0的判别式Δ<0,故其解集是?.
答案C
5定义集合A-B={x|x∈A,且x?B},若A={1,3,5,7,8},B={3,5,8},则A-B等于( )
A.{3,5,8} B.{1,3,5} C.{5,7,8} D.{1,7}
解析由定义知集合A-B是由属于集合A且不属于集合B的元素构成的,因此只含有两个元素1和7,即A-B={1,7}.
答案D
6下列各组集合中,M,P表示同一个集合的是( )
A.M={3,-1},P={(3,-1)}
B.M={(3,1)},P={(1, 3)}
C.M={y|y=x2-1,x∈R},P={x|x=t2-1,t∈R}
D. M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R}
解析选项A中,M是由3,-1两个元素构成的集合,而集合P是由点(3,-1)构成的集合;选项B中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,故M≠P;选项D中,M是二次函数y=x2-1,x∈R的所有因变量构成的集合,而集合P是二次函数y=x2-1,x∈R图象上的所有点构成的集合.
答案C
7若集合A={1,2,3},集合B={y|y=3x,x∈A},则B= .?
解析当x=1,2,3时,y=3,6,9,
故B={3,6,9}.
答案{3,6,9}
8用描述法表示集合为 .?
答案
9集合A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},若点P(2,3)∈A,且P(2,3)?B同时成立,则m,n满足的条件应为 .?
解析因为A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},点P(2,3)∈A,且P(2,3)?B同时成立,
所以有2×2-3+m>0成立,且2+3-n≤0不成立,即m>-1成立,且n≥5不成立.
所以有m>-1成立,且n<5成立.
答案m>-1,n<5
10有下列说法:
①任意一个集合的正确的表示方法都是唯一的;
②集合{0,-1,2,-2}与集合{-2,-1,0,2}是同一个集合;
③若集合P是满足不等式0≤2x≤1的x的集合,则这个集合是无限集;
④已知a∈R,则a?Q;
⑤集合{x|x=2k-1,k∈Z}与集合{y|y=2s+1,s∈Z}表示的是同一个集合.
其中正确说法的序号是 .?
解析本题涉及集合的概念、集合的分类、集合的表示方法和元素与集合的关系等一系列问题,应注意对照所学的相应概念对各种说法进行逐一判断.
因为集合{1}也可以表示为{x|x-1=0},所以①是错误的;④中当a为实数时,a有可能是有理数,所以④是错误的;从无限集、集合中元素的无序性来分析,可知②③是正确的;而⑤中的两个集合,它们都表示由全体奇数组成的集合,故两个集合表示的是同一个集合,即⑤是正确的.
答案②③⑤
11用适当的方法表示下列对象构成的集合:
(1)绝对值不大于2的所有整数;
(2)方程组的解;
(3)函数y=图象上的所有点.
解(1)因为|x|≤2,且x∈Z,所以x的值为-2,-1,0,1,2.所以绝对值不大于2的所有整数组成的集合为{-2,-1,0,1,2}.
(2)解方程组
故用列举法表示方程组的解集为{(0,1)}.
(3)函数y=图象上的点可以用坐标(x,y)表示,其满足的条件是y=,所以用描述法表示为.
★12已知A={x|x2+px+q=x},B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+1},当A={2}时,求集合B.
分析要正确理解A={2}的含义,一是2∈A,即方程x2+px+q=x有解x=2;二是x=2是x2+px+q=x的两个相等的实根.
解由A={2},得x=2是方程x2+px+q=x的两个相等的实根,
从而有
解得
从而B={x|(x-1)2-3(x-1)+4=x+1}.
解方程(x-1)2-3(x-1)+4=x+1,得x=3±.故B={3-,3+}.
1.2.1 集合之间的关系
课时过关·能力提升
1集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}的子集的个数是( )
A.9 B.8 C.7 D.6
解析因为x∈N,n∈N,
所以x=5-2n的值为5,3或1.
所以集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}={1,3,5}.
所以其子集的个数是23=8.
答案B
2若集合P={x|x<4},Q={x|-2
A.Q∈P B.Q?P
C.P?Q D.P=Q
解析因为Q={x|-2答案B
3已知集合M={x|x>3},N={x|x>2},则M与N的关系可用Venn图表示为( )
解析由已知得M?N,故D选项正确.
答案D
4已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1 B.3 C.5 D.9
解析当x,y取相同的数时,x-y=0;当x=0,y=1时,x-y=-1;当x=0,y=2时,x-y=-2;当x=1,y=0时,x-y=1;当x=2,y=0时,x-y=2;其他则重复.故集合B中有0,-1,-2,1,2,共5个元素,应选C.
答案C
5已知集合M=,N=,则集合M,N的关系是( )
A.M?N B.M?N
C.N?M D.N?M
解析设n=2m或n=2m+1,m∈Z,则有
N=
=或x=m+.
又因为M=,所以M?N.
答案B
6若非空数集A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使A?B成立的所有实数a的取值集合是 ( )
A.{a|1≤a≤9} B.{a|6≤a≤9}
C.{a|a≤9} D.?
解析∵A为非空数集,∴2a+1≤3a-5,即a≥6.
又∵A?B,∴∴1≤a≤9.
综上可知,实数a的取值集合是{a|6≤a≤9}.
答案B
7已知集合A={1,3,6},集合B={3,a-2},若B?A,则实数a的值为 .?
解析依题意,得a-2=1或a-2=6,解得a=3或a=8.
答案3或8
8已知A={a, 0,-1},B=,若A=B,则a= ,b= ,c= .?
解析由A=B,可知b+c=0,a=1,=-1,
解得a=1,b=-2,c=2.
答案1 -2 2
9已知集合P={1,2,3,4},Q={0,2,4,5},则满足A?P,且A?Q的集合A为 .?
解析若A=?,则满足A?P且A?Q;
若A≠?,由A?P且A?Q知集合A是由属于P且属于Q的元素构成,此时A可以为{2},{4},{2,4},故满足条件的集合A为?,{2},{4},{2,4}.
答案?,{2},{4},{2,4}
10已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|(m-1)·x-1=0},且B?A,则以实数m为元素所构成的集合M为 .?
解析A={x|x2-5x+6=0}={2,3}.
因为B?A,所以B=?或{2}或{3}.
当B=?时,??A,满足题意,则m-1=0,即m=1;
当B={2}时,=2,得m=;
当B={3}时,=3,得m=.
所以M=.
答案
★11已知集合A={x|0分析集合B是关于x的不等式m解因为B?A,所以B=?或B≠?.
当B=?时,??A,满足题意,
则有m≥4-m,此时m≥2;
当B≠?时,则有解得1≤m<2.
综上可知,实数m满足的条件是1≤m<2或m≥2,即m≥1.
第1课时 交集与并集
课时过关·能力提升
1若集合M={-1,0,1},N={x|0≤x≤1},则M∩N等于( )
A.{0} B.{0,1}
C.{-1,1} D. {-1,0,1}
答案B
2若集合M={x|-35},则M∪N等于( )
A.{x|-5B.{x|x<-5或x>-3}
C.{x|-3D.{x|x<-3或x>5}
答案B
3若集合A={0},B={2,m},且A∪B={-1,0,2},则实数m等于( )
A.-1 B.1
C.0 D.2
解析由于A∪B={-1,0,2},则-1∈A或-1∈B.
因为A={0},则-1?A,
所以必有-1∈B.
又因为B={2,m},所以m=-1.
答案A
4若集合A={2,4,6},B={1,3,6},则图中阴影部分表示的集合是( )
A.{2,4,6} B.{1,3,6}
C.{1,2,3,4,6} D.{6}
解析阴影部分表示的集合是A∪B={1,2,3,4,6}.
答案C
5若集合A={y|y=x2-1,x∈R},B={y|y=x-1,x∈R},则A∩B等于( )
A.{(0,-1),(1,0)} B.{0,1}
C.{-1,0} D.{y|y≥-1}
解析由已知得A={y|y=x2-1,x∈R}={y|y≥-1},B={y|y=x-1,x∈R}=R,
故A∩B={y|y≥-1}.
答案D
6设A={x|2x2-px+q=0},B={x|6x2+(p+2)·x+5+q=0},若A∩B=,则A∪B等于( )
A. B.
C. D.
解析因为A∩B=,所以∈A,∈B.
将分别代入方程2x2-px+q=0及6x2+(p+2)x+5+q=0.
联立,得
所以
所以A={x|2x2+7x-4=0}=,
B={x|6x2-5x+1=0}=,
所以A∪B=.
答案A
7若集合A={菱形},B={平行四边形},C={矩形},则A∩(B∪C)= .?
解析因为B∪C={平行四边形},所以A∩(B∪C)={菱形}=A.
答案A
8已知集合A={x|x≥5},B={x|x≤m},且A∩B={x|5≤x≤6},则实数m等于 .?
解析用数轴表示集合A,B,如图所示.
因为A∩B={x|5≤x≤6},所以m=6.
答案6
9满足{3,5}∪P={2,3,4,5}的集合P的个数是 .?
解析依题意,集合P可以为{2,4},{2,3,4},{2,4,5},{2,3,4,5},共有4个.
答案4
10定义集合运算A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},若A={-1,0,1},B={2 016,2 017},则集合A×B中的元素个数为 .?
答案6
11已知集合A={-1,a2+1,a2-3},B={-4,a-1,a+1},且A∩B={-2},求A∪B.
解因为A∩B={-2},所以-2∈A,且-2∈B.
又因为-1≠-2,a2+1≥1≠-2,
所以a2-3=-2,解得a=±1.
当a=1时,A={-1,2,-2},B={-4,0,2},则A∩B={2},不符合题意;
当a=-1时,A={-1, 2,-2},B={-4,-2,0},则A∩B={-2},符合题意.
故A∪B={-1,2,-2,-4,0}.
★12设关于x的方程x2-mx+m2-19=0的解集为A,x2-5x+6=0的解集为B,x2+2x-8=0的解集为C,且A∩B≠?,A∩C=?,试求m的值.
解由已知可得,B={2,3},C={2,-4},再由A∩B≠?及A∩C=?可知,3∈A,
所以3是方程x2-mx+m2-19=0的根,
所以9-3m+m2-19=0,得m=5或m=-2.
当m=5时,A={2,3}与已知A∩C=?矛盾;
当m=-2时,A={-5,3},满足题意.
综上可知,m的值为-2.
第2课时 补集
课时过关·能力提升
1已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则?UA∩B等于( )
A.{2} B.{4}
C.{1,3,4,5} D.{2,4,5}
解析由已知得A={1,2},B={2,4},所以?UA={3,4,5},故?UA∩B={4}.
答案B
2已知集合A={x|xA.a≤3 B.a<3 C.a≥5 D.a>5
解析由已知得?RB={x|x≤3或x≥5}.
因为A∪?RB=R,所以a≥5.
答案C
3
已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x|x≥2},则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{0,1,2} B.{1,2} C.{ 1} D.{0,1}
解析图中阴影部分所表示的集合为A∩?UB.因为B={x|x≥2},所以?UB={x|x<2}.
又因为A={1,2,3,4,5},所以A∩?UB={1}.
答案C
4已知集合A,B均是全集U的子集,且A?B,则以下结论正确的是( )
A.A∪?UB=U B.?UA∪?UB=U
C.?UB∩A=? D.?UA∩B=?
解析根据补集的性质并结合维恩图(如图所示)可知?UB∩A=?,而其他选项都不正确.故选C.
答案C
5已知全集U={x|-2 017≤x≤2 017},A={x|0A.a<2 017 B.a≤2 017
C.a≥2 017 D.0解析由题意知A≠?,且A?U,因此a>0,且a≤2 017.
故a的取值范围是0答案D
6设全集U={(x,y)|x∈R,y∈R},集合M={(x,y)|y≠x},N={(x,y)|y≠-x},则集合P={(x,y)|y2=x2}可表示为( )
A.?UM∩?UN B.?UM∪N
C.?UM∪?UN D.M∩?UN
解析此题关键是能弄清所给集合U,M,N,P所表示的意义,其中U是全集,是平面内的所有点组成的集合,M是平面内不在直线y=x上的点构成的集合,N是平面内不在直线y=-x上的点构成的集合,故?UM表示平面内直线y=x上的点构成的集合,?UN表示平面内直线y=-x上的点构成的集合,因此,P={(x,y)|y2=x2}={(x,y)|y=x或y=-x}=?UM∪?UN.
答案C
7已知全集U={x|x≤3},集合A={x|-1≤x≤2},则?UA= .?
解析结合数轴,可得?UA={x|x<-1或2答案{x|x<-1或28设全集为R,A={x|x<0或x≥1},B={x|x≥a},若?RA??RB,则a的取值范围是 .?
解析?RA={x|0≤x<1},?RB={x|x?RA??RB,结合数轴分析,可得a≥1.
答案a≥1
9设全集U为R,A={x|x2+px+12=0},B={x|x2-5x+q=0},若?UA∩B={2},A∩?UB={4},则A∪B= .?
解析因为?UA∩B={2},A∩?UB={4},
所以2∈B,2?A,4∈A,4?B.
根据元素与集合的关系,
可得解得
故A={x|x2-7x+12=0}={3,4},B={x|x2-5x+6=0}={2,3},经检验符合题意.
因此,A∪B={2,3,4}.
答案{2,3,4}
★10已知全集U={x∈P|-1≤x≤2},集合A={x∈P|0≤x<2},B={x∈P|-0.1(1)若P=R,求?UA中最大元素m与?UB中最小元素n的差m-n;
(2)若P=Z,求?AB和?UA中所有元素之和及?U(?BA).
解(1)因为?UA={x|-1≤x<0或x=2},所以m=2.
又因为?UB={x|-1≤x≤-0.1或1所以n=-1.故m-n=2-(-1)=3.
(2)因为P=Z,
所以U={-1,0,1,2},A={0,1},B={0,1}.
所以A=B.故?AB=?.又因为?UA={-1,2},
所以?AB和?UA中所有元素之和为1.
因为?BA=?,所以?U(?BA)=?U?=U={-1,0,1,2}.
★11已知集合A={x|x2+x+a=0},B={x|x2-x+2a-1=0},C={x|a≤x≤4a-9},若A,B,C中至少有一个不是空集,求a的取值范围.
解若A,B,C均为空集,则有
解得故当A,B,C至少有一个不是空集时,a的取值范围是a≤或a≥3.
第一章集合
检测(A)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.2016年1月第十三届全国冬季运动会在新疆维吾尔自治区举行,下列能构成集合的是( )
A.所有著名运动员
B.所有志愿者
C.所有喜欢甜食的运动员
D.参加开幕式表演的所有高个子演员
解析选项A,C,D中都没有一个确定的标准来判断,不满足集合中元素的确定性,因而都不能构成集合;选项B中,所有的志愿者能构成集合.
答案B
2.已知集合M={x|-2A.2.5∈M B.0?M
C.?∈M D.集合M是有限集
解析因为-2<2.5<3,所以2.5是集合M中的元素,即2.5∈M.
答案A
3.用列举法表示集合A={x∈Z|-2≤x<3}的结果是( )
A.{-1,0,1,2} B.{0,1,2}
C.{-2,-1,0,1,2} D.{-2,0,1,2,3}
解析A={x∈Z|-2≤x<3}={-2,-1,0,1,2}.
答案C
4.若集合A={x|x=(-1)m+(-1)n,m,n∈Z},则集合A的真子集的个数是( )
A.3 B.7 C.4 D.8
解析因为m,n∈Z,所以当m,n均为偶数时,x=2;当m,n均为奇数时,x=-2;当m和n中有一个是奇数,另一个是偶数时,x=0,故A={2,-2,0},共有3个元素,故有23-1=7个真子集.
答案B
5.设集合A={x|1A.a≥2 B.a>2 C.a≤1 D.a>1
解析借助数轴(如图所示),可知要使A?B成立,则需a≥2即可.
答案A
6.已知集合A={x|x2+x+1=0},若A∩R=?,则实数m的取值范围是( )
A.m<4 B.m>4 C.0≤m<4 D.0≤m≤4
解析由A∩R=?知A=?,即方程x2+x+1=0没有实数根,故Δ=m-4<0,即m<4.又因为有意义,所以m≥0,故0≤m<4.
答案C
7.
已知全集U=R,集合M={x|-2≤x-1≤3}和集合N={x|x=2k-1,k=1,2,3,…}的关系的维恩图如图所示,则阴影部分所示的集合中的元素的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.无穷多
解析由已知得M={x|-1≤x≤4},而集合N是所有正奇数的集合,阴影部分表示的集合是M∩N,故M∩N={1,3},有2个元素.
答案B
8.已知全集U={x|-2≤x≤1},A={x|-2A.C?A B.C??UA
C.?UB=C D.?UA=B
答案D
9.设集合U={a,b,c},则满足条件?U(M∪N)={c}的集合M和N有( )组
A.5 B.7 C.9 D.11
解析由题意,知M∪N={a,b},故集合M和N的情况为:①M=?,N={a,b};②M={a},N={a,b};③M={a},N={b};④M={b},N={a,b};⑤M={b},N={a};⑥M={a,b},N=?;⑦M={a,b},N={a};⑧M={a,b},N={b};⑨M={a,b},N={a,b}.共9组.
答案C
10.定义集合运算:A*B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},若集合A={0,1},B={2,3},则集合A*B的所有元素之和为 ( )
A.0 B.6 C.12 D.18
解析理解定义A*B是关键,得出A*B的元素为0,6,12.故所有元素之和为18.
答案D
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.用列举法表示集合{x|x=,a<25,x∈N}为 .?
解析因为0≤x<5,且x∈N,
所以{x|x=,a<25,x∈N}={0,1,2,3,4}.
答案{0,1,2,3,4}
12.已知集合P={(x,y)|x+y=a},Q={(x,y)|2x-3y=b},若P∩Q={(4,-2)},则a= ,b= .?
解析因为P∩Q={(4,-2)},所以(4,-2)∈P,(4,-2)∈Q,所以4+(-2)=a,且2×4-3×(-2)=b,解得a=2,b=14.
答案2 14
13.若集合A={x|-5≤x解析结合数轴(如图),可知b<-5.
答案{b|b<-5}
14.已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},?UB∩A={9},则A= .?
解析画出维恩(Venn)图如图所示.
由上图可知A={3,9}.
答案{3,9}
15.有15人到家电超市购物,其中有9人买了电视,有7人买了电脑,两种均买了的有3人,则这两种都没买的有 人.?
解析结合Venn图可知,
两种都没买的有2人.
答案2
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)已知全集U为R,集合A={x|01}.
求:(1)A∩B;
(2)?UA∩?UB;
(3)?U(A∪B).
解由题意,得?UA={x|x≤0或x>2},?UB={x|-3≤x≤1},A∪B={x|x<-3或x>0}.
(1)A∩B={x|1(2)?UA∩?UB={x|-3≤x≤0};
(3)?U(A∪B)={x|-3≤x≤0}.
17.(8分)已知M={x|x2-5x+6=0},N={x|ax=12},若N?M,求实数a所构成的集合A,并写出A的所有非空真子集.
分析先确定集合M,再由N?M得出集合N所有可能的情况进行讨论即可.
解因为M={x|x2-5x+6=0}={2,3},N={x|ax=12},且N?M,
所以N为?或{2}或{3}.
当N=?时,ax=12无解,此时a=0;
当N={2}时,则2a=12,得a=6;
当N={3}时,则3a=12,得a=4.
故A={0,4,6},从而A的所有非空真子集为{0},{4},{6},{0,4},{0,6},{4,6}.
18.(9分)已知集合A={x|-21},B={x|a≤x≤b}.
(1)若b=a+3,且B?A,求a的取值范围;
(2)若A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1解(1)因为b=a+3,
所以B={x|a≤x≤a+3}.
又因为B?A,所以应满足或a>1,解得a>1;
(2)在数轴中作出集合A={x|-21},如图所示.
因为A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1所以a=-1,b=3.
19.(10分)设集合A={x|x2-4x=0},B={x|ax2-2x+8=0}.
(1)若A∩B=B,求实数a的取值范围.
(2)是否存在实数a,使A∪B={0,2,4}?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
解(1)易知A={0,4}.因为A∩B=B,所以B?A.
当a=0时,B={4},满足题意;
当a≠0时,若B=?,
则方程ax2-2x+8=0无实根,
于是Δ=4-32a<0,即a>.
若B≠?,则B={0}或{4}或{0,4},
经检验a均无解.
综上所述,实数a的取值范围为
.
(2)要使A∪B={0,2,4},因为A={0,4},B={x|ax2-2x+8=0},
所以只有B={2}或{0,2}或{2,4}三种可能.
若B={2},则有a无解;
若B={0,2},则有a无解;
若B={2,4},则有a无解,
故不存在实数a,使A∪B={0,2,4}.
20.(10分)已知集合P={x∈R|x2-3x+b=0},Q={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}.
(1)若b=4,存在集合M使得P?M?Q,求这样的集合M.
(2)P能否成为Q的一个子集?若能,求b的取值范围;若不能,请说明理由.
解(1)当b=4时,方程x2-3x+b=0的判别式为Δ=(-3)2-4×1×4<0,故P=?,P?Q,且Q={-4,-1,1}.
由已知M应是一个非空集合,且是Q的一个真子集,用列举法可得这样的集合M共有6个,且为{-4},{-1},{1},{-4,-1},{-4,1},{-1,1}.
(2)当P=?时,P是Q的一个子集,此时Δ=9-4b<0,所以b>;
当P≠?时,Q={-4,-1,1},
当-1∈P时,此时(-1)2-3×(-1)+b=0,得b=-4,
P={x|x2-3x-4=0}={4,-1}.
因为4?Q,所以P不是Q的子集;
当-4∈P时,b=-28,P={7,-4},也不是Q的子集;
当1∈P时,b=2,P={1,2},也不是Q的子集.
综上可知,b的取值范围是.
第一章集合
检测(B)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若集合A={2 013,2 015},B={2 014,2 016},则集合M={z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析因为x∈A,y∈B,所以当x=2 013时,y=2 014,2 016,此时z=4 027,4 029;当x=2 015时,y=2 014,2 016,此时z=4 029,4 031,故M中有4 027,4 029,4 031共3个元素.
答案B
2.若集合P={y|y=-2x,0≤x<2},Q={y|y=3x,-1A.{x|0≤x<4} B.{x|-4C.{x|-3解析由已知得P={y|-4答案C
3.已知集合M与N中含有元素的个数相等,且M∪N={1,2,3,4},则所有可能的集合M的个数是( )
A.3 B.6 C.10 D.11
解析集合M可以是以下集合:{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},共11个.
答案D
4.已知全集为U,若M∩N=N,则下列关系式中成立的是( )
A.(?UM)?(?UN) B.M?(?UN)
C.(?UM)?(?UN) D.M?(?UN)
解析∵M∩N=N,∴N?M,∴(?UM)?(?UN).
答案C
5.已知全集U={0,1,2,3,4,5},集合M={0,3,5},M∩(?UN)={0,3},则满足条件的集合N共有( )
A.4个 B.6个 C.8个 D.16个
解析∵M={0,3,5},M∩(?UN)={0,3},
∴N中一定有元素5,没有元素0,3.结合U中元素知,N中的元素除了有5外,还可以在1,2,4中选出0个,1个,2个,3个元素,即集合N可以是{5},{5,1},{5,2},{5,4},{5,1,2},{5,1,4},{5,2,4},{5,1,2,4},共8个.
答案C
6.已知非空集合M满足:若x∈M,则∈M,则当4∈M时,集合M的所有元素之积等于( )
A.0 B. 1 C.-1 D.不确定
解析由已知4∈M得=-∈M,∈M,=4∈M.因此集合M中的所有元素分别是4,-,故4×=-1.
答案C
7.已知集合A={x|x=3n-2n,n∈N+,x≤100},则集合A中元素的个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.21
解析当n=1时,x=1∈A;当n=2时,x=5∈A;当n=3时,x=19∈A;当n=4时,x=65∈A;当n=5时,x=211?A.所以集合A有4个元素.
答案A
8.已知集合A={1,2,3,4,5},B=,则B中所含元素的个数为( )
A.3 B.6 C.8 D.10
解析因为x∈A,y∈A,∈A,所以当x=1时,y=1;当x=2时,y=1,2;当x=3时,y=1,3;当x=4时,y=1,2,4;当x=5时,y=1,5;故B中共含有(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4),(5,1),(5,5)10个元素.
答案D
9.已知集合A={x|x<-3或x>1},集合B={x|x≤-4或x>a},若A∩(?RB)中恰好含有2个整数,则实数a的取值范围是( )
A.3C.3解析由已知得?RB={x|-4答案B
10.设实数集R为全集,集合P={x|f(x) =0},Q={x|g(x)=0},H={x|h(x)=0},则方程=0的解集是( )
A.P∩Q∩(?RH) B.P∩Q
C.P∩Q∩H D.P∩Q∪H
解析方程=0的解应满足f(x)=0,且g(x)=0,且h(x)≠0,因此解集为P∩Q∩(?RH).
答案A
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.已知集合A={1,2},B={2,a,b},若A∪B={1,2,5,6},则a+b= .?
解析由题意知a=5,b=6或a=6,b=5,故a+b=11.
答案11
12.若集合P=,则集合P的真子集的个数是 .?
解析因为∈N,且n∈N,所以n只能取1,2,5,10,即P={1,2,5,10},故P有24-1=15个真子集.
答案15
13.已知集合A={x|x≤-2或x≥1},B={x|2a-3≤x解析由A∪B=R可得解得0≤a≤.
答案0≤a≤
14.已知在集合A={a1,a2,…,an}中,ai∈R(1≤i≤n,n≥2),f(A)表示ai+aj(1≤i解析1+2=3,1+3=4,1+4=5,2+3=5,2+4=6,3+4=7,故f(A)=5.
答案5
15.设全集I={(x,y)|x,y∈R},集合M=,N={(x,y)|y≠x+1},则?IM∩?IN= .?
解析由已知得?IM=,?IN={(x,y)|y=x+1},故?IM∩?IN={(2,3)}.
答案{(2,3)}
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)设全集为R,集合A={x|3≤x<6},B={x|2(1)分别求A∩B,?RB∪A;
(2)已知集合C={x|a解(1)易知A∩B={x|3≤x<6}.
∵?RB={x|x≤2或x≥9},
∴?RB∪A={x|x≤2或3≤x<6或x≥9}.
(2)∵C?B,结合数轴(如图所示),∴解得2≤a≤8,
∴实数a的取值范围为2≤a≤8.
17.(8分)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若?UA∩B=?,求实数m的值.
解易知A={-2,-1}.由?UA∩B=?,得B?A.
∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式
Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,
∴B≠?.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.
①若B={-1},则m=1;
②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)×(-2)=4,这两式不能同时成立,
故B≠{-2};
③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)×(-2)=2,由这两式得m=2.
经检验知m=1和m=2符合条件.
因此,m=1或m=2.
18.(9分)已知集合A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},若A∪B={3,5},A∩B={3},且A≠B,求实数a,b,c的值.
解由A∩B={3}知,3∈B,故32+3c+15=0,
解得c=-8,于是B={x|x2-8x+15=0}={3,5}.
又因为A∪B={3,5},A∩B={3},所以A={3},
所以解得
故a=-6,b=9,c=-8.
19.(10分)已知集合A={x|0(1)若a=4,求A∩B;
(2)若B?A,求实数a的取值范围.
解(1)当a=4时,A={x|0<4x+1≤5}=,
所以A∩B=.
(2)当a=0时,显然B?A;
当a<0时,结合数轴(如图所示),若B?A,
则∴-当a>0时,结合数轴(如图所示),若B?A,
则
∴∴0综上可知,当B?A时,实数a的取值范围是-20.(10分)已知集合A的元素全为实数,且满足若a∈A,则∈A.
(1)若a=-3,求出A中其他所有元素.
(2)0是不是集合A中的元素?请你设计一个实数a∈A,再求出A中的所有元素.
(3)根据(1)(2),你能得出什么结论?
解(1)由-3∈A,得=-∈A.
由-∈A,得∈A.
由∈A,得=2∈A.
由2∈A,得=-3∈A.
故A=.
故A中的其他元素为-,2.
(2)0不是A中的元素.若0∈A,则=1∈A,而当1∈A时,不存在,故0不是A中的元素.取a=3,可得A=.
(3)猜想:①A中没有元素-1,0,1;
②A中有4个元素,且有两组元素都互为负倒数.
①由(2)知:0,1?A.若-1∈A,则=0,而0?A,故-1?A;
②设a1∈A,则a1∈A?=a2∈A?a3==-∈A?a4=∈A?a5==a1∈A.
又由集合元素的互异性知,A中最多只有4个元素a1,a2,a3,a4,且a1a3=-1,a2a4=-1.若a1=a2,则=-1,无实数解,即a1≠a2;同理,a1,a2,a3,a4互不相等.故A中有4个元素,且有两组元素都互为负倒数.
