1.1.1 构成空间几何体的基本元素
1下列叙述中,一定是平面的是( )
A.一条直线平行移动形成的面
B.三角形经过延展得到的面
C.组成圆锥的面
D.正方形围绕一条边旋转形成的面
解析：直线平行移动可以形成平面或曲面,只有在方向不变的情况下才能得到平面.
答案：B
2下列说法中,正确的是( )
A.直线平移只能形成平面
B.直线绕定直线旋转一定形成柱面
C.固定射线的端点让其绕着一个圆弧转动可以形成锥面
D.曲线平移一定形成曲面
解析：A中,将直线平移时,可以形成柱面,故A错;B中,直线绕定直线旋转可以形成锥面,也可以形成柱面,故B错;C正确;D中,将一条平面内的曲线平移时,这个平面就可以看作是这条曲线平移所形成的平面,故D错.因此选C.
答案：C
3下面空间图形的画法中,错误的是( )
解析：被遮住的地方应该画成虚线或不画,故选项D中的图形画法有误.
答案：D
4如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q分别是线段C1D1,A1D1,BD1,BC的中点,给出下面四个命题:
①MN∥平面APC;②B1Q∥平面ADD1A1;③A,P,M三点共线;④平面MNQ∥平面ABCD.
其中正确的序号为( )
A.①② B.①④
C.②③ D.③④
解析：平面APC即为平面ACC1A1,很容易看出MN与平面ACC1A1无公共点,即MN∥平面ACC1A1;同理B1Q与平面ADD1A1也没有公共点,故B1Q∥平面ADD1A1;A,P,M三点不共线;平面MNQ与平面ABCD是相交的.故选A.
答案：A
5如图,折纸中纸面α比纸面β靠近自己的图形是( )
A.①② B.②③
C.①②③ D.②③④
解析：图①中纸面α在β里面,图②③④中的纸面α都在β的外面,故②③④中纸面α较β靠近自己.
答案：D
★6纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,得到右侧的表面展开图,则标“△”的面的方位是( )
A.南 B.北
C.西 D.下
解析：如下图所示的正方体展开成已知中的平面图,可知标“△”的面的方位为北.
答案：B
7如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,和棱A1B1不相交的棱有 .?
解析：长方体中一共有12条棱,除去与棱A1B1相交的4条棱和它本身外,还剩下7条.
答案：7条
8若空间三个平面两两相交,则它们的交线条数是 .?
解析：若三个平面经过同一条直线,则有1条交线;若三个平面不过同一条直线,则有3条交线(共点或互相平行).
答案：1或3
★9
如图是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A,B,C为其上三点,则在正方体盒子中,∠ABC= .?
解析：由展开图可知,折成无盖盒子如图
所示(上面无盖).
可知在△ABC中,因为AB,AC,BC均为正方体的面对角线,所以AB=AC=BC,所以△ABC为等边三角形,故∠ABC=60°.
答案：60°
10指出下列几何体的构成.
解顶点A,B,C,D,M,N;棱AB,BC,CD,DA,MA,MB,MC,MD,NA,NB,NC,ND;平面MAD;平面MAB,平面MBC,平面MDC,平面NAB,平面NAD,平面NDC,平面NBC.
★11如图是边长为1 m的正方体,有一只蜘蛛潜伏在A处,B处有一条小虫被蜘蛛网粘住,请制作出实物模型,将正方体剪开,描述蜘蛛爬行的最短路线.
解制作实物模型(略).通过正方体的展开图(如图所示),可以发现,AB间的最短距离为A,B两点间的线段的长,为(m).由展开图可以发现,点C为其中一条棱的中点.
蜘蛛爬行的最短路线如图①~⑥.
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1过正棱台两底面中心的截面一定是( )
A.直角梯形 B.等腰梯形
C.一般梯形或等腰梯形 D.矩形
答案：C
2如图是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折叠即可还原),则这个多面体的顶点数为( )
A.6 B.7
C.8 D.9
解析：还原几何体,如图.由图观察知,该几何体有7个顶点.
答案：B
3一个正四面体的各条棱长都是a,则这个正四面体的高是( )
A.a B.a C.a D.
解析：因为正四面体底面外接圆半径为a,所以正四面体的高为h=a.
答案：B
4有四种说法:
①底面是矩形的平行六面体是长方体;
②棱长相等的直四棱柱是正方体;
③有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.
以上说法中,正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：①不正确,除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体;②不正确,当底面是菱形时就不是正方体;③不正确,两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面,故不一定是直平行六面体;④正确,因为对角线相等的平行四边形是矩形,由此可以推测此时的平行六面体是直平行六面体,故选A.
答案：A
5如果正四棱台两底面边长分别为3 cm和5 cm,那么它的中截面(过各侧棱中点的截面)面积为( )
A.2 cm2 B.16 cm2
C.25 cm2 D.4 cm2
解析：如图,取A'A,B'B的中点分别为E,F,
所以EF=×(3+5)=4(cm).
则S中截面=42=16(cm2).
答案：B
★6如图,几何体①~⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,几何体⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从几何体①~⑤中选出三个放到几何体⑥上,使得几何体⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列几何体中,能够完成任务的为( )
A.几何体①②⑤ B.几何体①③⑤
C.几何体②④⑤ D.几何体③④⑤
解析：本题主要考查正方体的结构特征等知识,同时考查分析问题和解决问题的能力.
观察得先将⑤放入⑥中的空缺处,然后上面可放入①②,其余可以验证不合题意.故选A.
答案：A
7一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱的长为 .?
解析：n棱柱有2n个顶点,由于此棱柱有10个顶点,那么此棱柱为五棱柱.
又棱柱的侧棱长都相等,五条侧棱长的和为60 cm,可知每条侧棱的长为12 cm.
答案：12 cm
8下列关于四棱柱的四个命题:
①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;
④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.
其中真命题的序号是 .?
解析：根据直四棱柱的性质判断.
答案：②④
9在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,则这些几何形体是 .(写出所有正确结论的序号)?
①矩形;
②不是矩形的平行四边形;
③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;
④每个面都是等边三角形的四面体;
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
解析：如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABC1D1、四边形A1B1CD等都是矩形,故①正确;A1-ABD是有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体,故③正确;A1-BC1D是每个面都是等边三角形的四面体,故④正确;B1-BCD是每个面都是直角三角形的四面体.因此①③④⑤都符合条件.
答案：①③④⑤
10已知长方体的表面积为11,12条棱的长度之和为24,求这个长方体的对角线长.
解设长方体从同一顶点出发的3条棱长分别为a,b,c,对角线长为l,则有
即
由②平方,得a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=36,
所以a2+b2+c2=25,
即=5,所以l=5.
所以这个长方体的对角线的长为5.
★11如图,正六棱锥的底面周长为24,O为底面中心, H是BC的中点,∠SHO=60°.
求:(1)斜高;(2)棱锥的高;(3)侧棱长.
解因为正六棱锥的底面周长为24,所以正六棱锥的底面边长为4.在正六棱锥S-ABCDEF中,
因为H是BC的中点,所以SH⊥BC.
(1)在Rt△SOH中,OH=BC=2,
因为∠SHO=60°,所以SHcos 60°=OH,
所以斜高SH==2OH=4.
(2)在Rt△SOH中,高SO=SHsin 60°=6.
(3)如图,连接OB,在Rt△SOB中,SO=6,OB=BC=4,所以侧棱长SB==2.
★12一个棱台的上、下底面面积之比为4∶9,若棱台的高是4 cm,求截得这个棱台的原棱锥的高.
解如图,将棱台还原为棱锥,设PO是原棱锥的高,O1O是棱台的高.
∵棱台的上、下底面面积之比为4∶9,∴它们的底面对应边之比A1B1∶AB=2∶3,∴PA1∶PA=2∶3.
∵A1O1∥AO,∴,
即.
∴PO=12 cm,即原棱锥的高是12 cm.
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
1关于下列几何体,说法正确的是( )
A.图①是圆柱 B.图②和图③是圆锥
C.图④和图⑤是圆台 D.图⑤是圆台
解析：因为图①与图④中几何体两个底面不互相平行,所以它们不是圆柱和圆台.因为图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形,所以它们不是圆锥.图⑤是圆台.
答案：D
2下列判断正确的是( )
A.平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形
B.平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形
C.过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D.过圆台上底面中心的截面是等腰梯形
解析：根据圆锥与圆台的定义和图形进行判断即可.
答案：C
3若一条直线被一个半径为13的球截得的线段长为24,则球心到这条直线的距离为( )
A.13 B.12 C.5 D.24
解析：如图,d==5.
答案：C
4上、下底面面积分别为36π和49π,母线长为5的圆台,则其两底面之间的距离为( )
A.4 B.3 C.2 D.2
解析：圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r,R满足关系式l2=h2+(R-r)2,求得h=2,即两底面之间的距离为2.
答案：D
5已知某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm,则该地球仪的半径是( )
A.4 cm B.6 cm
C.2 cm D.12 cm
解析：如图,∵2πr=12π,∴r=6 cm.
设地球仪半径为R cm,
则=sin 60°,
∴R=4 cm.
答案：A
6设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的半径为( )
A.a B.a
C.a D.a
解析：据题意可知,球的直径等于长方体的体对角线长,所以球半径r=a.
答案：B
★7圆柱的轴截面(经过圆柱的轴所作的截面)是边长为5 cm的正方形ABCD,则圆柱侧面上从A到C的最短路线长为( )
A.10 cm B. cm
C.5 cm D.5 cm
解析：如图①,四边形ABCD是圆柱的轴截面,且其边长为5 cm,设圆柱的底面圆半径为r,则r= cm.
所以底面圆的周长为l=2πr=5π(cm).
将圆柱的侧面沿母线AD剪开后平放在一个平面内,如图②,则从A到C的最短路线长即为图中AC的长.
因为AB= cm,BC=AD=5 cm,
所以AC=(cm).故选B.
答案：B
8已知一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆,则这个圆锥的高为 .?
解析：设圆锥的底面半径为r,母线长为l,
则π·l2=4π,且2πr=π·l,
所以l=2,且l=2r,
所以r=.则圆锥的高h=.
答案：
9已知A,B,C是球O表面上的三点,弦(连接球面上两点的线段)AB=18 cm,BC=24 cm,AC=30 cm,球心O到平面ABC的距离恰好为球的半径的一半,则球的半径为 .?
答案：10 cm
10在半径为25 cm的球内有一个截面,它的面积是49π cm2,求球心到这个截面的距离.
解设球半径为R cm,截面圆的半径为r cm,球心到截面的距离为d cm,如图.
因为S=πr2=49π cm2,
所以r=7 cm,
所以d==24(cm),
即球心到这个截面的距离为24 cm.
★11已知一圆台的上底周长是下底周长的,轴截面面积等于392,母线与底面的夹角为45°,求此圆台的高、母线长及两底面的半径.
解设圆台上、下底面半径分别为r,R,母线长为l,高为h.
由题意,得2πr=·2πR,即R=3r. ①
(2r+2R)·h=392,即(R+r)h=392. ②
又因为母线与底面的夹角为45°,则h=R-r=l. ③
联立①②③,得R=21,r=7,h=14,l=14.
★12已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同侧,且距离等于1,求这个球的半径.
解如图所示,设这两个截面的半径分别为r1,r2,球心到截面的距离分别为d1,d2,球半径为R,则π=5π,π=8π,∴=5,=8.
又∵R2=,
∴=8-5=3.
即(d1-d2)(d1+d2)=3.
又d1-d2=1,
∴解得
∴R==3.
∴这个球的半径为3.
1.1.4 投影与直观图
1在原来的图形中,两条线段平行且相等,则在直观图中对应的两条线段( )
A.平行且相等 B.平行不相等
C.相等不平行 D.既不平行也不相等
答案：A
2晚上放学后,小华走路回家,在经过一盏路灯时,他发现自己的身影( )
A.变长 B.变短
C.先变长后变短 D.先变短后变长
答案：D
3如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形是( )
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形
答案：C
4如图为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是下图中的( )
解析：根据斜二测画法的规则:平行于x轴或在x轴上的线段的长度在新坐标系中不变,在y轴上或平行于y轴的线段的长度在新坐标系中变为原来的,并注意到∠xOy=90°,∠x'O'y'=45°,因此由直观图还原成原图形为选项C.
答案：C
5如图,水平放置的正方形ABCO,在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则由斜二测画法画出的这个正方形的直观图中,则顶点B'到x'轴的距离为( )
A. B.1 C. D.2
解析：如图,由斜二测画法可知,在新坐标系x'O'y'中,B'C'=1,∠x'C'B'=45°,过B'作x'轴的垂线,垂足为D,在Rt△B'DC'中,B'D=B'C'sin 45°=1×.
答案：A
6如图,正方形O'A'B'C'的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为( )
A.6 cm B.8 cm
C.(2+3)cm D.(2+2)cm
解析：如图,原图形为OABC,且OA=O'A'=1 cm,OB=2O'B'=2 cm,
于是OC=AB==3(cm),故OABC的周长为2(1+3)=8(cm).
答案：B
7如图是水平放置的△ABC的斜二测直观图,已知A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线的实际长度是 .?
解析：在直观图中,∠A'C'B'=45°,则在原图形中∠ACB=90°,AC=3,BC=4,则斜边AB=5,故斜边上的中线长为.
答案：
8给出下列说法:
①正方形的直观图是一个平行四边形,其相邻两边长的比为1∶2,有一内角为45°;②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变,高为原三角形高的一半的三角形;③水平放置的不等边三角形的直观图是不等边三角形;④水平放置的平面图形的直观图是平面图形.
写出其中正确说法的序号 .?
解析：对于①,若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴,则结论正确;但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴,由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上且不与坐标轴平行,则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变,纵减半”的规则;对于②,水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变,高比原三角形高的一半还要短的三角形;对于③,只要坐标系选取的恰当,水平放置的不等边三角形的直观图可以是等边三角形.
答案：④
9如图为水平放置的△ABC的直观图,A'B'∥y'轴,B'C'∥x'轴,若D是△ABC中BC边的中点,则AB,AD,AC三条线段中最长的是 ,最短的是 .?
答案：AC AB
10画出一个正三棱台的直观图(尺寸:上、下底面边长分别为1 cm,2 cm,高2 cm).
解(1)画轴.以底面△ABC的垂心O为原点,OC所在直线为y轴,平行于AB的直线为x轴,建立平面直角坐标系,以上底面△A'B'C'的垂心O'与O的连线为z轴,建立空间坐标系.
(2)画下底面.在xOy平面上画△ABC的直观图,在y轴上量取OC= cm,OD= cm.过点D作AB∥x轴,且AB=2 cm,以点D为中点,则△ABC为下底面三角形的直观图.
(3)画上底面.在z轴上截取OO'=2 cm,过点O'作x'轴∥x轴,y'轴∥y轴,在y'轴上量取O'C'= cm,O'D'= cm,过点D'作A'B'∥x'轴,A'B'=1 cm,且以点D'为中点,则△A'B'C'为上底面三角形的直观图.
(4)连线成图.连接AA',BB',CC',并擦去辅助线,则三棱台ABC-A'B'C'即为所要画的正三棱台的直观图.
11一水平放置的边长为2的正方形A'B'C'D'(如图),其中对角线A'C'位于水平位置.已知该正方形是某个平行四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出原平行四边形,并求其面积.
解平行四边形ABCD如图.
因为A'C'在水平位置,A'B'C'D'为正方形,所以在四边形ABCD中,DA⊥AC,AC⊥CB.
又DA=2D'A'=4,AC=A'C'=2,BC=2B'C'=4,
所以S四边形ABCD=AC·AD=8.
★12如图,四边形OABC是上底长为2,下底长为6,底角为45°的等腰梯形,用斜二测画法,画出这个梯形的直观图O'A'B'C',求在直观图中梯形的高.
解按斜二测画法得梯形的直观图O'A'B'C',如图,原图形中梯形的高CD=2,在直观图中C'D'=1,且∠C'D'A'=45°,作C'E'垂直x'轴于点E',则C'E'即为直观图中梯形的高,故C'E'=C'D'sin 45°=.
★13某地夏季中午,当太阳移到屋顶上方偏南时,光线与地面成60°角,房屋向南的窗户AB的高为1.6 m,现要在窗子外面的上方安装一个水平遮阳篷AC,如图.求:
(1)当遮阳篷AC的取值在什么范围时,太阳光线可直接射入室内?
(2)当遮阳篷AC的取值在什么范围时,太阳光线不能直接射入室内?(精确到0.01 m)
解连接AB,则得到Rt△ABC,若能直接射入室内,则遮阳篷的取值小于或等于Rt△ABC中AC的值;若不能,则遮阳篷的取值大于Rt△ABC中AC的值.
(1)在Rt△ABC中,∠ACB=60°,AB=1.6 m,则AC2=BC2-AB2.
∵BC=2AC,∴AC2=4AC2-1.62.
∴AC=≈0.92(m).
当0≤AC≤0.92 m时,太阳光线可直接射入室内.
(2)当AC>0.92 m时,太阳光线不能直接射入室内.
1.1.5 三视图
1若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形,俯视图是带有圆心的圆,则这个几何体可能是( )
A.圆柱 B.三棱柱 C.圆锥 D.球体
答案：C
2如果用表示1个立方体,用表示2个立方体叠加,用表示3个立方体叠加,那么如图所示由7个立方体叠成的几何体,从正前方观察,可画出的平面图形是( )
解析：下面是3个立方体叠加,上面是2个立方体叠加,左、右各1个立方体,故选B.
答案：B
3若一个圆锥的主视图和左视图都是一个底边长为8,腰长为5的等腰三角形,则其俯视图的面积等于( )
A.64π B.16π C.25π D.32π
解析：依题意知俯视图是一个圆,其半径为×8=4,故面积为S=π×42=16π.
答案：B
4已知一物体和它的三视图如图,其中错误的视图是( )
A.主视图 B.俯视图
C.左视图 D.无错误
解析：主视图错了,主视图中看到的应该是线段BC.
答案：A
5一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的主视图与左视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为( )
解析：由几何体的主视图、左视图,结合题意,可知选C.
答案：C
6如图是一个建筑物的主视图、左视图、俯视图,则其为 ( )
A.圆柱和圆锥的组合体
B.正方体和圆锥的组合体
C.正四棱柱和圆锥的组合体
D.正方形和圆的组合体
解析：直接画出符合条件的组合体可以得解,但从选项来考虑会比较简单.
答案：C
7如图是某个圆锥的三视图,根据主视图中所标尺寸,则俯视图中圆的面积为 ,圆锥母线长为 .?
解析：由主视图的底边可知俯视图的半径为10,则面积为100π.由主视图知圆锥的高为30,又底面半径为10,所以母线长为=10.
答案：100π 10
8如图是一个几何体的三视图,则该几何体是一个 ,且其底面为 .?
解析：由于俯视图是梯形,则底面是梯形,又主视图、左视图是矩形,故此立体图形为底面是梯形的一个直棱柱.
答案：四棱柱 梯形
9如图是正四棱锥P-ABCD的三视图,其中主视图是边长为1的正三角形,则这个四棱锥的侧棱长为 .?
解析：由条件知,正四棱锥底面边长AB=1,高PO=(O是底面中心),OB=AB=,故侧棱长PB=.
答案：
10一个几何体的主视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的 .(填入所有可能的编号)?
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱
⑤圆锥 ⑥圆柱
解析：只要判断主视图可以不可以是三角形就行了,画出图形容易知道三棱锥、四棱锥、圆锥一定可以,对于三棱柱,只需要倒着放就可以了,所以①②③⑤均符合题目要求.
答案：①②③⑤
11画出下图中的纺锤体的三视图.
解纺锤体的三视图如图.
★12如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体,数据如图(单位:cm),试画出它的三视图.
解这个几何体是由一个长方体和一个圆柱体构成的.
三视图如下图.
俯视图
★13一个棱长均为6的正三棱锥,其俯视图如图,求其主视图的面积和左视图的面积.
解作出正三棱锥的直观图(如图),E为BD的中点,AO为三棱锥的高,由三棱锥的放置方式知,其主视图为三角形,底面边长为BD=6,其高等于AO,其左视图为三角形,底面边长等于CE(中线)的长,其高等于AO.
在Rt△BCE中,BC=6,BE=3,
得CE=3,CO=×CE=2.
在Rt△ACO中,AC=6,CO=2,
则AO==2,
故主视图面积为×6×2=6,
左视图的面积为×3×2=9.
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1若圆锥的底面直径为6,高是4,则它的侧面积为( )
A.12π B.24π C.15π D.30π
解析：由已知得圆锥的母线长l==5,
于是它的侧面积S侧=π·3·5=15π.
答案：C
2已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则该圆台的侧面积为( )
A.672π B.224π C.100π D.π
解析：圆台的轴截面如图,设上底半径为r,则下底半径为4r,高为4r.
因为母线长为10,所以在轴截面等腰梯形中,102=(4r)2+(4r-r)2,解得r=2,所以S圆台侧=π(r+4r)·10=100π.
答案：C
3若正三棱锥的斜高是高的倍,则该棱锥的侧面积是底面积的( )
A. B.2倍 C.倍 D.3倍
解析：设该正三棱锥的底面边长为a,高为h,斜高为h',则h'=h.
因为h2+=(h')2,
所以h2+,
所以h2=a2,即h=a.
又S侧=·3a·h'=·3a·h=a2,S底=a2,所以S侧=2S底.
答案：B
4已知长方体的一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( )
A.25π B.50π C.125π D.都不对
解析：因为长方体的体对角线的长是球的直径,所以可求得这个球的直径是,然后代入球的表面积公式S=4πR2即可.
答案：B
5若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )
A. B. C. D.
解析：设圆柱的底面半径为r,高为h,
则由题设知h=2πr,
所以S全=2πr2+(2πr)2=2πr2(1+2π),S侧=h2=(2πr)2=4π2r2.所以.
答案：A
6已知某三棱锥的三视图如图,则该三棱锥的表面积是 ( )
A.28+6 B.30+6
C.56+12 D.60+12
解析：根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为此几何体是底面为直角三角形,高为4的三棱锥,因此表面积为S=×(2+3)×4+×4×5+×4×(2+3)+×2=30+6.
答案：B
7已知正四棱台两底面边长分别为4 cm,8 cm,侧棱长为8 cm,则它的侧面积为 .?
解析：作出正四棱台的一个侧面如图,设E,F分别为AD,BC的中点,过D作DG⊥BC于点G.
由题知AD=4 cm,BC=8 cm,CD=8 cm,
得DE=2 cm,FC=4 cm,则GC=2 cm,
在Rt△DGC中,DG==2(cm),
即斜高为2 cm,所以所求侧面积为×(16+32)×2=48(cm2).
答案：48 cm2
8正方体的表面积与其内切球表面积的比为 .?
解析：设正方体的棱长为a,则其表面积S1=6a2,
而其内切球的半径为,
故内切球表面积S2=4π·=πa2,
从而S1∶S2=6∶π.
答案：6∶π
9如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,将该正方体沿对角面BB1D1D切成两块,再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱,则所得四棱柱的表面积为 .?
解析：由题意可知,组成的棱柱是直四棱柱,且满足条件的直四棱柱只有一种,即组成新的四棱柱的表面积是由原来的正方体中的四个相同的正方形的面积和两个对角面的面积组成.四棱柱的全面积等于侧面积与两个底面面积之和,则所得的四棱柱的全面积为4a2+a·a·2=(4+2)a2.
答案：(4+2)a2
10一个几何体的三视图如图,若图中圆的半径为1,等腰三角形的腰长为3,则该几何体的表面积为 .?
解析：该几何体是一个圆锥和半个球的组合体,圆锥的侧面积是S1=π×1×3=3π,球的表面积是4π×12=4π,所以几何体表面积S=3π+×4π=5π.
答案：5π
11设计一个正四棱锥形冷水塔,高是0.85 m,底面边长是1.5 m,求制造这种水塔需要多少铁板.
解如图,S表示塔的顶点,O表示底面的中心,则SO是高,设SE是斜高.
在Rt△SOE中,根据勾股定理,得
SE=≈1.13(m).
故S正棱锥侧=ch'
=×(1.5×4)×1.13≈3.4(m2).
答:制造这种水塔需要铁板约3.4 m2.
★12已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5,圆心角为216°的扇形,在这个圆锥中有一个高为x的内接圆柱.如图所示.则当x为何值时,圆柱的侧面积最大?并求出这个最大值.
解画出组合体的轴截面并给相关点标上字母,如图,由于圆锥的侧面展开图是一个半径为5,圆心角为216°的扇形,设OC=R,
则2πR=2π×5×,解得R=3.
所以AO==4.
再设OF=r,又因为O'O=x,
则由相似比得,
即r=3-x,
所以S圆柱侧=2π·x=-π(x-2)2+6π,
因为0所以当x=2时,(S圆柱侧)最大=6π.
因此当x=2时,圆柱的侧面积最大,最大值为6π.
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
1若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径,则圆锥、圆柱、球的体积之比为( )
A.1∶3∶4 B.1∶3∶2
C.1∶2∶4 D.1∶4∶2
解析：设球的半径为R,则V圆锥=πR2(2R)=πR3,V圆柱=πR2·2R=2πR3,V球=πR3.
所以V锥∶V柱∶V球=∶2∶=1∶3∶2.
答案：B
2正方体的内切球的体积为36π,则此正方体的表面积是 ( )
A.216 B.72 C.108 D.648
解析：设内切球半径为R,则πR3=36π,解得R=3.
于是正方体棱长为6,表面积为6×62=216.
答案：A
3在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,则三棱锥A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1的体积之比为( )
A.1∶1∶1 B.1∶1∶2
C.1∶2∶4 D.1∶4∶4
解析：由棱锥的体积公式即可推知选项C正确.
答案：C
4一空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( )
A.2π+2 B.4π+2 C.2π+ D.4π+
解析：该空间几何体为正四棱锥和圆柱的组合体.如图.
由题意知,圆柱的底面半径为1,高为2.
正四棱锥的底面边长为,侧棱长为2,高为.
所以V=π×12×2+×()2×=2π+.
答案：C
5如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )
A.6 B.9 C.12 D.18
解析：由三视图可推知,几何体的直观图如图,可知AB=6,CD=3,PC=3,CD垂直平分AB,且PC⊥平面ACB,故所求几何体的体积为×3=9.
答案：B
6如图,在三棱锥A-BCD中,VA-BPQ=2,VC-APQ=6,VC-DPQ=12,则VA-BCD等于( )
A.20 B.24 C.28 D.56
解析：由,
所以.
所以VB-PDQ=VC-PDQ=4,
因而VA-BCD=2+6+12+4=24.
答案：B
★7已知某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 ( )
A. B.3π C. D.6π
解析：将三视图还原为实物图求体积.
由三视图可知,此几何体(如图)是底面半径为1,高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的,
所以V=×π×12×4=3π.
答案：B
8如图,一个三棱锥的三视图是三个直角三角形(单位:cm),则该三棱锥的外接球的体积等于 .?
解析：该三棱锥可以看作是一个长、宽、高分别等于1 cm,2 cm,3 cm的长方体的一部分,其外接球就是长方体的外接球.
长方体的体对角线长为(cm),此即为外接球的直径2R,于是外接球体积V=(cm3).
答案： cm3
9某圆台的体积为52,上、下底面面积之比为1∶9,则截得该圆台的圆锥的体积为 .?
解析：设圆台的上、下底面半径分别为r,R,
则r∶R=1∶3.
设圆锥的高为h',圆台的高为h,
则,
所以h=h'.而V台=πh(r2+Rr+R2)=52,
所以h·=52.
所以h'×R2=52.
所以πR2h'==162.
所以V锥=πR2h'=×162=54.
答案：54
10圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是 .?
解析：设球的半径为r cm,
则由3V球+V水=V柱,得
6r·πr2=8πr2+3×πr3,解得r=4.
答案：4 cm
★11正方形ABCD的边长为1,分别取边BC,CD的中点E,F,连接AE,EF,AF,以AE,EF,FA为折痕,折叠这个正方形,使B,C,D重合于一点P,得到一个三棱锥如图,求此三棱锥的体积.
解因为∠D=∠C=∠B=90°,
所以翻折后∠APE=∠EPF=∠APF=90°.
所以Rt△PEF可以看作是三棱锥的底面,
而AP可以看作是三棱锥的高.
比较发现:AP=1,PE⊥PF,PE=PF=,
故VA-PEF=S△PEF·AP=×1=.
★12直角梯形的一个内角为45°,下底长为上底长的,此梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的旋转体的表面积为(5+)π,求此旋转体的体积.
解画出旋转体的轴截面如图,
设BC=a,则DC=a,
AE=a,ED=2a,AC=3a.
S表=πa2+2πa·2a+πa·a=(5+)π,
得a=1,
故V=πa2·2a+a·πa2=πa3=.
1.2.1 平面的基本性质与推论
1下面四个条件中,能确定一个平面的条件是( )
A.空间任意三点 B.空间两条直线
C.两条平行线 D.一条直线和一个点
答案：C
2经过同一直线上的三个点,可以作平面( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.无数个
答案：D
3下列图形中,满足α∩β=AB,a?α,b?β,a∥AB,b∥AB的图形是( )
解析：可以根据图形的特点及直线与平面的位置关系进行判断.
答案：C
4下列四种叙述:
①空间四点共面,则其中必有三点共线;
②空间四点不共面,则其中任何三点不共线;
③空间四点中有三点共线,则此四点必共面;
④空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面.
其中正确叙述的序号是( )
A.②③④ B.②③
C.①②③ D.①③
解析：因为四棱柱中每个面都有四个点,但这四个点中没有三点是共线的,所以①错;因为三点不共线但四点可以共面,所以④错.
答案：B
5如果平面α和平面β有三个公共点A,B,C,那么平面α和平面β的位置关系为( )
A.平面α和平面β只能重合
B.平面α和平面β只能交于过A,B,C三点的一条直线
C.如果点A,B,C不共线,则平面α和平面β重合;如果点A,B,C共线,则平面α和平面β重合或相交于过点A,B,C的一条直线
D.以上都不对
解析：应分点A,B,C共线与不共线两种情况讨论.
答案：C
6在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线( )
A.不存在 B.有且只有两条
C.有且只有三条 D.有无数条
解析：如图所示,在A1D1上任取一点P.
过点P与直线EF作一个平面α.
因为CD与平面α不平行,所以它们相交.
设α∩CD=Q.连接PQ,则PQ与EF必然相交,
即PQ为所求直线.
由P点的任意性知,有无数条直线与A1D1,EF,CD都相交.
由于点P是任取的一点,则有无数条,故选D.
答案：D
7已知点A,直线a,平面α,
①A∈a,a∈α?A∈α;
②A?a,a?α?A?α;
③A∈a,a?α?A?α.
以上命题中正确的个数为 .?
解析：①中“a∈α”符号不对;②中A可以在α内,也可以在α外,故不正确;③中“A?α”符号不对.
答案：0
8有下列命题:
①空间三点确定一个平面;
②有3个公共点的两个平面必重合;
③空间两两相交的三条直线确定一个平面;
④等腰三角形是平面图形;
⑤垂直于同一直线的两条直线平行;
⑥一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交.
其中正确命题的序号是 .?
解析：由平面的基本性质2知,不共线的三点才能确定一个平面,所以命题①②均错,②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时).③中空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三条直线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面.因为在正方体ABCD-A'B'C'D'中,直线BB'⊥AB,BB'⊥BC,但AB与BC不平行,所以⑤错.因为在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AB∥CD,BB'∩AB=B,但BB'与CD不相交,所以⑥错.
答案：④
9两条异面直线在同一个平面内的正投影是?
.?
解析：要判断两异面直线在同一平面内的正投影的情况,即判断两条异面直线在同一平面内的投影的各种情形,如图①可知正投影是两条相交直线;如图②可知正投影是两条平行直线;如图③可知正投影是一个点和一条直线.
答案：两条相交直线或两条平行直线或一个点和一条直线
10已知:a,b,c,d是两两相交且不共点的四条直线.求证:a,b,c,d共面.
分析：四条直线两两相交且不过同一点,又可分成两种情况:一是有三条直线共点;二是任何三条直线都不共点.因而本题需分类后进行各自的证明.需要注意的是,要根据条件画出满足条件的所有图形的情况进行证明.
证明(1)有三线共点的情况,如图.
设b,c,d三线相交于点K,
与a分别交于点N,P,M,且K?a.
因为K?a,所以K和a确定一个平面,设为α.
因为N∈a,a?α,
所以N∈α,
所以NK?α,即b?α.
同理,c?α,d?α,所以a,b,c,d共面.
(2)无三线共点情况,如图.
设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R, b∩c=S.
因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α.
因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α.
所以NQ?α,即b?α.
同理,c?α.所以a,b,c,d共面.
由(1)(2)知a,b,c,d共面.
11如图,已知平面α,β,且α∩β=l.设在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB?α,CD?β,求证:AB,CD,l共点(相交于一点).
证明∵在梯形ABCD中,AD∥BC,
∴AB,CD是梯形ABCD的两腰,
∴AB,CD必相交于一点.设AB∩CD=M,
又AB?α,CD?β,
∴M∈α,M∈β,
∴M在α与β的交线上.
又∵α∩β=l,∴M∈l,即AB,CD,l共点.
★12正方体是常见的并且重要的多面体,对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是所在棱的中点,请思考并回答下列问题:
(1)直线EF,GH,DC能交于一点吗?
(2)若E,F,G,H四点共面,怎样才能画出过四点E,F,G,H的平面与正方体的截面?
(3)若正方体的棱长为a,那么(2)中的截面面积是多少?
分析：: (1)要证三线共点,可先证两条直线共点,然后证明另一条直线也通过这一点.
(2)作截面的关键在于作出截面与各个侧面的交线(或者是作出截面与正方体的各棱的交点),而要确定两个平面的交线,要找到同时在两个平面上的至少两个点.
解(1)如图,能交于一点.理由如下:
因为E,F分别为棱AB,BC的中点,易得E,F∈平面ABCD,且EF与CD相交,设交点为P.
由△EBF≌△PCF,
可得PC=BE= AB.
同理,GH与CD相交,设交点为P1,
同样可得P1C=C1G=C1D1=AB.
所以P1与P重合,因此直线EF,GH,DC能交于一点.
(2)如图,延长HG,DD1,相交于点R,延长FE交DA的延长线于点Q,则点R,Q是截面与侧面ADD1A1的公共点,连接RQ与A1D1,A1A分别交于点M,T,连接GM,TE,可得截面与正方体各面的交线分别为EF,FH,HG,GM,MT,TE.截面如图中的阴影部分.
(3)截面为正六边形,
其面积为6×a2.
第一课时 平行直线、直线与平面平行
1在空间中,互相平行的两条直线是指( )
A.在空间没有公共点的两条直线
B.分别在两个平面内的两条直线
C.分别在两个平面内,但没有公共点的两条直线
D.在同一平面内没有公共点的两条直线
答案：D
2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1D1上的动点,则直线MD与平面AA1C1C的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.直线在平面内 D.相交或平行
解析：如图,若点M与点D1重合,因为D1D∥A1A,D1D?平面AA1C1C,A1A?平面AA1C1C,
所以D1D∥平面AA1C1C,即DM∥平面AA1C1C.
若点M与点D1不重合,
设DM∩AA1=P,则DM∩平面AA1C1C=P.
答案：D
3过平面α外的直线l,作一组平面与α相交,若所得的交线为a,b,c,…,则这些交线的位置关系为( )
A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或都相交于同一点
解析：若直线l∥平面α,则过l作平面与α相交所得的直线a,b,c,…都平行;若l∩α=P,则直线a,b,c,…都相交于同一点P.
答案：D
4经过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )
A.4条 B.6条 C.8条 D.12条
解析：如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N,P,Q分别为相应棱的中点,容易证明平面EFGH、平面MNPQ分别与平面DBB1D1平行.由平面EFGH、平面MNPQ中分别有6条直线满足题意,则共有12条直线符合要求.故选D.
答案：D
5对于直线m,n和平面α,下面命题中的真命题是( )
A.如果m?α,n?α,m,n是异面直线,那么n∥α
B.如果m?α,n?α,m,n是异面直线,那么n与α相交
C.如果m?α,n∥α,m,n共面,那么m∥n
D.如果m∥α,n∥α,m,n共面,那么m∥n
解析：如果m?α,n∥α,m,n共面,根据线面平行的性质定理,则m∥n,故选项C正确.在选项A中,n与α可能相交.在选项B中,n与α可能平行.在选项D中,m与n可能相交.
答案：C
6a,b是两条异面直线,下列结论正确的是( )
A.过不在a,b上的任一点,可作一个平面与a,b平行
B.过不在a,b上的任一点,可作一条直线与a,b相交
C.过不在a,b上的任一点,可作一条直线与a,b都平行
D.过a可以并且只可以作一个平面与b平行
解析：A项错,若点与a所确定的平面与b平行,就不能使这个平面与a平行了.
B项错,若点与a所确定的平面与b平行,就不能作一条直线与a,b相交.
C项错,假如这样的直线存在,根据基本性质4就可有a∥b,这与a,b异面矛盾.
D项正确,在a上任取一点A,过A点作直线c∥b,则c与a确定一个平面与b平行,这个平面是唯一的.所以应选D.
答案：D
7在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,CC1,C1D1,D1A1的中点,则四边形EFGH的形状是 .?
答案：梯形
8如图,直线a∥平面α,点B,C,D∈a,点A与a在α的异侧.线段AB,AC,AD交α于点E,F,G.若BD=4,CF=4,AF=5,则EG= .?
解析：因为a∥α,EG=α∩平面ABD,
所以a∥EG.又因为点B,C,D∈a,则BD∥EG.
所以.
故EG=.
答案：
9在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,若AC+BD=a,AC·BD=b,则EF2+EH2= .?
解析：由已知AC+BD=a,AC·BD=b,
所以,
即EF+EH=,EF·EH=,
故EF2+EH2=(EF+EH)2-2EF·EH=.
答案：
10在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与过A,C,E的平面的位置关系是 .?
解析：如图,连接AC交BD于点O.
则O为BD的中点.
又E为DD1的中点,连接EO,
所以OE为△BDD1的中位线.所以OE∥BD1.
又因为BD1?平面ACE,OE?平面ACE,
所以BD1∥平面ACE.
答案：BD1∥平面ACE
11如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=a,点E在棱PC上,问点E在何处时,PA∥平面EBD,并加以证明.
解当E为PC的中点时,PA∥平面EBD.
证明:连接AC,设AC∩BD=O,连接OE.因为四边形ABCD为正方形,
所以O为AC的中点.
又E为PC的中点,
所以OE为△ACP的中位线.所以PA∥EO.
因为PA?平面EBD,所以PA∥平面EBD.
12如图,已知P是?ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.
求证:(1)l∥BC;
(2)MN∥平面PAD.
证明(1)∵BC∥AD,BC?平面PAD,
∴BC∥平面PAD.
又∵平面PBC∩平面PAD=l,∴BC∥l.
(2)如图,取PD的中点E,连接AE,NE,则NE∥CD,且NE=CD,
又AM∥CD,且AM=CD,
∴NE∥AM,且NE=AM.
∴四边形AMNE是平行四边形.
∴MN∥AE.
∵AE?平面PAD,MN?平面PAD,
∴MN∥平面PAD.
★13如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的点,EC=2FB=2,则当点M在什么位置时,MB∥平面AEF?试给出证明.
解当点M为AC的中点时,MB∥平面AEF.
证明如下:因为M为AC的中点,取AE的中点D,连接MD,DF,
则MD为△AEC的中位线,
所以MD∥EC,且MD=EC.
因为FB∥EC,且FB=EC,
所以MD∥FB,且MD=FB.
所以四边形DMBF为平行四边形.
所以MB∥DF.
又MB?平面AEF,DF?平面AEF,
所以MB∥平面AEF.
第二课时 平面与平面平行
1若不共线的三点到平面α的距离相等,则这三点确定的平面β与α之间的关系为( )
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.无法确定
解析：若三点在平面α的同侧,则三点确定的平面与已知平面平行;若三点在α的异侧,则三点确定的平面与已知平面相交.
答案：C
2下列结论正确的是( )
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行;
②过平面外两点不能作平面与已知平面平行;
③若一条直线和一个平面平行,则经过这条直线的任何平面都与已知平面平行;
④平行于同一平面的两平面平行.
A.①②④ B.①③ C.②④ D.①④
解析：②中当平面外两点的连线与已知平面平行时,过此两点能作一个平面与已知平面平行.③中若一条直线与一个平面平行,则经过这条直线的平面中只有一个与已知平面平行.
答案：D
3已知a,b,c是三条不重合的直线,α,β,γ是三个不重合的平面,下面六个命题:
①a∥c,b∥c?a∥b;②a∥γ,b∥γ?a∥b;③c∥α,c∥β?α∥β;④γ∥α,β∥α?β∥γ;⑤a∥c,c∥α?a∥α;⑥a∥γ,α∥γ?a∥α.
其中正确的命题是( )
A.①④ B.①④⑤ C.①②③ D.②④⑥
解析：①根据平行线的传递性,可得①正确;②和同一平面平行的两条直线可相交、平行或异面,故②不正确;③若α∩β=l,c∥l,也可满足条件,故③不正确;④由平面平行的传递性知④正确;⑤也可能是a?α,故⑤不正确;⑥也可能是a?α,故不正确.故选A.
答案：A
4如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,线段PA,PB,PC分别交α于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则△A'B'C'与△ABC面积的比为( )
A.2∶5
B.3∶8
C.4∶9
D.4∶25
解析：由题意知,△A'B'C'∽△ABC,
从而.
答案：D
5夹在两个平面间的若干条线段,它们互相平行且相等,则这两个平面的位置关系为 .?
答案：平行或相交
6α,β,γ是三个两两平行的平面,且α与β之间的距离是3,α与γ之间的距离是4,则β与γ之间的距离是 .?
解析：当β与γ位于α的两侧时,β与γ间的距离等于7;当β与γ位于α同侧时,β与γ间的距离等于1.
答案：1或7
7长方体被一个平面所截,得到如图所示的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为 .?
解析：由于原来的几何体是长方体,所以平面ABFE∥平面DCGH,从而可得EF∥HG,同理可得HE∥GF,故EFGH是平行四边形.
答案：平行四边形
8如图,A,B,C为不在同一直线上的三点,AA1??BB1,CC1??BB1,求证:平面ABC∥平面A1B1C1.
证明因为AA1??BB1,
所以四边形ABB1A1是平行四边形.所以A1B1∥AB.
又因为A1B1?平面ABC,AB?平面ABC,
所以A1B1∥平面ABC.同理可证B1C1∥平面ABC.
又因为A1B1?平面A1B1C1,B1C1?平面A1B1C1,A1B1∩B1C1=B1,所以平面ABC∥平面A1B1C1.
9已知:平面α∥平面β,AB,CD是夹在这两个平面之间的线段,且AE=EB,CG=GD,AB与CD异面,如图.求证:EG∥平面α,EG∥平面β.
证明过点A作AH∥CD交平面β于点H,设F是AH的中点,
连接EF,FG和BH,HD.
因为E,F分别是AB,AH的中点,
所以EF∥BH,且BH?平面β,
所以EF∥平面β.
因为平面ACDH与α,β交于AC,HD,
所以AC∥HD.
又因为F,G分别是AH,CD的中点,
所以FG∥HD.所以FG∥平面β.
因为EF∩FG=F,所以平面EFG∥平面β.
又因为平面α∥平面β,所以平面EFG∥平面α.
因为EG?平面EFG,所以EG∥平面α,EG∥平面β.
★10如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点, M,N分别是AB,PC的中点.
(1)求证:MN∥平面PAD;
(2)在PB上确定一点Q,使平面MNQ∥平面PAD.
(1)证明如图,取PD的中点H,连接AH,NH.
∵N是PC的中点,H是PD的中点,
∴NH∥DC,NH=DC.
∵M是AB的中点,∴AM∥DC,AM=DC.
∴NH∥AM,NH=AM.
∴四边形AMNH为平行四边形.
∴MN∥AH.∵MN?平面PAD,AH?平面PAD,
∴MN∥平面PAD.
(2)解若平面MNQ∥平面PAD,则应有MQ∥PA,
∵M是AB的中点,∴Q是PB的中点.
即当Q为PB的中点时,平面MNQ∥平面PAD.
第一课时 直线与平面垂直
1若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b的关系是( )
A.a⊥b,且a与b相交
B.a⊥b,且a与b不相交
C.a⊥b
D.a与b不一定垂直
解析：因为b∥α,则在平面α内存在一条直线c,使得b∥c,因为直线a⊥平面α,c?α,所以a⊥c.
因为b∥c,所以a⊥b.
当b与a相交时为相交垂直,当b与a不相交时为异面垂直,故选C.
答案：C
2如图,BC是Rt△ABC的斜边,PA⊥平面ABC,PD⊥BC,则图中直角三角形的个数是( )
A.8
B.7
C.6
D.5
解析：易知PA⊥AC, PA⊥AD,PA⊥AB,BC⊥AD,BC⊥PD,AC⊥AB.图中的直角三角形分别为△PAC,△PAD,△PAB,△ADC,△ADB,△PCD,△PDB,△ABC,共8个,故选A.
答案：A
3设α表示平面,a,b,l表示直线,给出下列四个命题:
①?l⊥α;②?b⊥α;
③?b⊥α;④?a⊥α.
其中正确的命题是( )
A.①② B.②③
C.③④ D.②
解析：①中当a,b相交时才成立;③中由a∥α,a⊥b知b∥α或b?α或b⊥α或b与α相交;④中当a垂直于平面α内的两条相交直线时,有a⊥α,若a只垂直于平面α内的一条直线,则不能得出a⊥α,从而不正确.
答案：D
4已知直线a,b与平面α,给出下列四个命题:
①若a∥b,b?α,则a∥α;
②若a∥α,b?α,则a∥b;
③若a∥α,b∥α,则a∥b;
④若a⊥α,b∥α,则a⊥b.
其中正确命题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：A
5在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2和G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE,SF和EF把这个正方形折起,使点G1,G2,G3重合,重合后的点记为G,则下列结论成立的是( )
A.SD⊥平面EFG
B.SG⊥平面EFG
C.GF⊥平面SEF
D.GD⊥平面SEF
解析：折起后SG⊥GE,SG⊥GF,又GF与GE相交于点G,
所以SG⊥平面EFG.
答案：B
6如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是( )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A-BEF的体积为定值
D.△AEF的面积与△BEF的面积相等
答案：D
7对于四面体ABCD,给出下列四个命题:
①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;
②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;
③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;
④若AB⊥CD,BD⊥AC,则BC⊥AD.
其中真命题的序号是 .?
解析：对于命题①,取BC的中点E.
连接AE,DE,则BC⊥AE,BC⊥DE,
所以BC⊥AD.
对于命题④,过A向平面BCD作垂线AO,如图,连接BO并延长与CD交于点G,则CD⊥BG,同理CH⊥BD.
所以O为△BCD的垂心,连接DO,则BC⊥DO,BC⊥AO,
所以BC⊥AD.
答案：①④
8如图,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于 .?
解析：因为PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥QD.又因为PQ⊥QD,PA∩PQ=P,
所以QD⊥平面PAQ.
所以AQ⊥QD,
即Q在以AD为直径的圆上,
当圆与BC相切时,点Q只有一个,
故BC=2AB=2.
答案：2
9如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 .?
解析：正方体中,一个面有四条棱与之垂直,六个面,共构成24个“正交线面对”;而正方体的六个对角面中,每个对角面又有两条面对角线与之垂直,共构成12个“正交线面对”,所以共有36个“正交线面对”.
答案：36
10如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2, AB∥DC,∠BCD=90°.
(1)求证:PC⊥BC;
(2)求点A到平面PBC的距离.
(1)证明因为PD⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,
所以PD⊥BC.由∠BCD=90°,得BC⊥DC.
又因为PD∩DC=D,PD?平面PCD,
DC?平面PCD,所以BC⊥平面PCD.
因为PC?平面PCD,所以PC⊥BC.
(2)解连接AC,设点A到平面PBC的距离为h.
因为AB∥DC,∠BCD=90°,所以∠ABC=90°.
从而由AB=2,BC=1,得△ABC的面积S△ABC=1.
由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积V=S△ABC·PD=.
因为PD⊥平面ABCD,DC?平面ABCD,
所以PD⊥DC.又PD=DC=1,
所以PC=.
由PC⊥BC,BC=1,得△PBC的面积S△PBC=,
由V=S△PBC·h=·h=,得h=.
因此,点A到平面PBC的距离为.
★11如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,M,N,G分别是棱CC1,AB,BC的中点,且CC1=AC.
求证:(1)CN∥平面AMB1;
(2)B1M⊥平面AMG.
证明(1)设AB1的中点为P,连接NP,MP.
因为CM∥AA1,且CM=AA1,NP∥AA1,且NP=AA1,
所以CM∥NP,且CM=NP.
所以四边形CNPM是平行四边形.
所以CN∥MP.
因为CN?平面AMB1,MP?平面AMB1,
所以CN∥平面AMB1.
(2)因为CC1⊥平面ABC,
所以CC1⊥AG.
由△ABC是正三角形得AG⊥BC,
又因为BC∩CC1=C,
所以AG⊥平面CC1B1B.所以B1M⊥AG.
因为CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AC.
设AC=2a,则CC1=2a.
在Rt△MCA中,AM=a.
同理,B1M=a.
因为BB1∥CC1,所以BB1⊥平面ABC.
所以BB1⊥AB.
所以AB1==2a.
所以AM2+B1M2=A.
所以B1M⊥AM.
又因为AG∩AM=A,AG?平面AMG,AM?平面AMG,
所以B1M⊥平面AMG.
第二课时 平面与平面垂直
1如果直线l,m与平面α,β,γ满足l=β∩γ,l∥α,m?α,m⊥γ,那么必有( )
A.α⊥γ和l⊥m
B.α∥γ和m∥β
C.m∥β和l⊥m
D.α∥β和α⊥γ
解析：由m⊥γ,l?γ,可得m⊥l.由m?α,m⊥γ,可得α⊥γ.
答案：A
2已知直线l和平面α,β,且l?α,l?β,给出以下3个论断:①l⊥α;②l∥β;③α⊥β.从中任取两个作为条件,剩下的一个作为结论,则( )
A.一共可以写出6个命题,其中有2个命题正确
B.一共可以写出3个命题,其中有2个命题正确
C.一共可以写出6个命题,这6个命题都正确
D.一共可以写出3个命题,这3个命题都正确
解析：(1)①②?③;(2)②③?①;(3)①③?②,其中(1)(3)为真命题.
答案：B
3如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是 ( )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
解析：因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理得DE⊥AC,而BE∩DE=E,所以AC⊥平面BDE.因为AC?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC?平面ADC,所以平面ADC⊥平面BDE.故选C.
答案：C
4下列命题正确的是( )
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;
②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行;
③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直;
④如果两个平面互相垂直,经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.
A.①③ B.②③ C.②③④ D.④
解析：过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直,所以①不对;若α⊥β,a⊥α,则a?β或a∥β,所以②不对;当平面外的直线是平面的垂线时,能作无数个平面与已知平面垂直,否则只能作一个,所以③也不对.
答案：D
5如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列命题正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
解析：在题图①中,因为∠BAD=90°,AD=AB,
所以∠ADB=∠ABD=45°.
因为AD∥BC,所以∠DBC=45°.
又因为∠BCD=45°,
所以∠BDC=90°,即BD⊥CD.
在题图②中,此关系仍成立.
因为平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD.
因为BA?平面ADB,所以CD⊥AB.
因为BA⊥AD,所以BA⊥平面ACD.
因为BA?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.
答案：D
6三个平面两两垂直,它们的交线交于一点O,且一点P到这三个平面的距离分别为3,4,5,则OP的长为 .?
解析：OP可看作以3,4,5为棱长的长方体的体对角线.
答案：5
7如图,PA垂直于圆O所在平面,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,则图中互相垂直的面共有 对.?
答案：3
8设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
③设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直.
其中真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号)?
解析：①由面面平行的判定定理可得,该命题正确.
②由线面平行的判定定理可得,该命题正确.
③如图(举反例),a?α,α∩β=l,a⊥l,但α与β不垂直.
答案：①②
9已知平面α⊥平面β,在α,β的交线上取线段AB=4 cm,AC,BD分别在平面α和β内,它们都垂直于AB,并且AC=3 cm,BD=12 cm,则CD的长为 .?
解析：如图,连接AD,CD.在Rt△ABD中,AB=4 cm,BD=12 cm,
∴AD==4(cm).
又∵α⊥β,CA⊥AB,CA?α,
∴CA⊥β,CA⊥AD.
∴△CAD为直角三角形.
∴CD==13(cm).
答案：13 cm
10如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.
证明:平面ABM⊥平面A1B1M.
证明在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,BB1∩C1B1=B1,
则A1B1⊥平面BCC1B1.
因为BM?平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM. ①
由AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点,可计算出B1M=,BM=,B1B=2,
所以B1M2+BM2=B1B2,从而B1M⊥BM. ②
又因为A1B1∩B1M=B1,所以BM⊥平面A1B1M.
而BM?平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.
11如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,G分别是AA1,D1C,AD的中点.求证:
(1)MN∥平面ABCD;
(2)设α是过MN的任一平面,求证:α⊥平面B1BG.
证明(1)取CD的中点E,连接NE,AE.
?NE∥MA,且NE=MA,
所以四边形MAEN为平行四边形.
所以MN∥AE.
?MN∥平面ABCD.
(2)在正方形ABCD中,易证△BAG≌△ADE,
所以∠DAE+∠AGB=∠ABG+∠AGB=90°.
所以AE⊥BG.
?B1B⊥AE.
?AE⊥平面B1BG.
又因为MN∥AE,所以MN⊥平面B1BG.
?α⊥平面B1BG.
★12在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,且AB=BC,能否在侧棱BB1上找到一点E,恰使截面A1EC⊥侧面AA1C1C?若能,指出点E的位置,并说明为什么;若不能,请说明理由.
解如图,作EM⊥A1C于点M,
∵截面A1EC⊥平面AA1C1C,
∴EM⊥平面AA1C1C.
取AC的中点N,连接BN,MN.
∵AB=BC,∴BN⊥AC.
而AA1⊥平面ABC,AA1?平面AA1C1C,
∴平面ABC⊥平面AA1C1C,且交于AC,
∴BN⊥平面AA1C1C.
∴BN∥EM,BN⊥MN.
又BE∥平面AA1C1C,平面BEMN∩平面AA1C1C=MN,
∴BE∥MN∥A1A.
∴四边形BEMN为平行四边形.
∵AN=NC,
∴A1M=MC.
∴BE=MN=A1A,即当E为BB1的中点时,平面A1EC⊥平面AA1C1C.
第一章立体几何初步
检测(A)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1下列说法中正确的是( )
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.由6个大小一样的正方形所组成的平面图形是正方体的展开图
C.正方体的各条棱长都相等
D.棱柱的各条棱长都相等
解析：根据棱柱的定义可知,棱柱的侧面都是平行四边形,侧棱长相等,但是侧棱和底面内的棱长不一定相等,而正方体的所有棱长都相等.
答案：C
2如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A.棱柱
B.棱台
C.棱柱与棱锥的组合体
D.不能确定
答案：A
3将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括( )
A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱
C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥
答案：D
4给出下列四个命题:
①三点确定一个平面;②一条直线和一个点确定一个平面;③若四点不共面,则每三点一定不共线;④三条平行线确定三个平面.正确的结论个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：①中不共线的三点确定一个平面;②中一条直线和直线外一点确定一个平面;③中若四点不共面,则每三点一定不共线,故③正确;④中不共面的三条平行线确定三个平面.
答案：A
5一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的侧面积为 ( )
A.48 B.64 C.80 D.84
解析：由三视图可知,该几何体是底面边长为8,斜高为5的正四棱锥,所以此几何体的侧面积为S侧=×8×5×4=80,故选C.
答案：C
6表面积为16π的球的内接正方体的体积为( )
A.8 B. C. D.16
答案：C
7已知直线l⊥平面α,直线m?平面β,有下面四个命题:
①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l∥m?α⊥β;④l⊥m?α∥β.
其中正确的命题是( )
A.①与② B.①与③ C.②与④ D.③与④
答案：B
8如图所示,梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图(斜二测),若A1D1∥y'轴,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=1,则四边形ABCD的面积是( )
A.10 B.5 C.5 D.10
解析：平面图形还原如图.
CD=C1D1=3,AD=2A1D1=2,AB=A1B1=2,∠ADC=90°.
故SABCD=(2+3)×2=5.
答案：B
9如图,四边形BCDE是一个正方形,AB⊥平面BCDE,则图中互相垂直的平面共有( )
A.4组 B.5组 C.6组 D.7组
答案：B
10棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应的截面面积分别为S1,S2,S3,则( )
A.S1C.S2解析：由截面性质可知,设底面积为S.
?S1=S;
?S2=S;
?S3=S.
可知S1答案：A
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,DD1的中点,则过D,E,F三点截正方体所得截面的形状是 .?
解析：取A1B1的中点G,则截面应为DD1GE,易证为矩形.
答案：矩形
12正六棱柱的一条最长的对角线是13,侧面积为180,则该棱柱的体积为 .?
解析：如图,设正六棱柱的底面边长为a,侧棱长为h,易知CF'是正六棱柱的一条最长的对角线,即CF'=13.
因为CF=2a,FF'=h,
所以CF'=
==13.①
又因为正六棱柱的侧面积S侧=6a·h=180,②
联立①②解得
故正六棱柱的体积V正六棱柱=6×a2×h=270.
答案：270
13圆台的上下底面半径分别为1,2,母线与底面的夹角为60°,则圆台的侧面积为 .?
解析：由已知母线长为2,则S侧=π(r+r')l=π(1+2)×2=6π.
答案：6π
14一圆台上底半径为5 cm,下底半径为10 cm,母线AB长为20 cm,其中A在上底面上,B在下底面上,从AB的中点M拉一条绳子,绕圆台的侧面一周转到B点,则这条绳子最短为 .?
解析：画出圆台的侧面展开图,并还原成圆锥展开的扇形可得.
答案：50 cm
15设a,b是两条不同直线,α,β是两个不同平面,给出下列四个命题:
①若a⊥b,a⊥α,b?α,则b∥α;
②若a∥α,α⊥β,则a⊥β;
③若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a?α;
④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.
其中正确命题的序号是 .?
答案：①③④
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(本小题满分8分)如图,四边形BCC1B1是圆柱的轴截面.AA1是圆柱的一条母线,已知AB=2,AC=2,AA1=3.
(1)求证:AC⊥BA1;
(2)求圆柱的侧面积.
(1)证明依题意AB⊥AC.
因为AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥AC.
又因为AB∩AA1=A,
所以AC⊥平面AA1B1B.
因为BA1?平面AA1B1B,所以AC⊥BA1.
(2)解在Rt△ABC中,AB=2,AC=2,∠BAC=90°,
所以BC=2.
S侧=2π×3=6π.
17(本小题满分8分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,主视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,左视图是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.求:
(1)该几何体的体积V;
(2)该几何体的侧面面积S.
解由题意知该几何体是一个四棱锥,记P-ABCD,如图所示.
由已知,知AB=8,BC=6,高h=4.
由俯视图知,底面ABCD是矩形,连接AC,BD交于点O,连接PO,
则PO=4,即为棱锥的高.
作OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,连接PM,PN.
因为PA=PB=PC,M,N为AB,BC的中点,
所以PM⊥AB,PN⊥BC.
故PM==5,
PN==4.
(1)V=Sh=×(8×6)×4=64.
(2)S侧=2S△PAB+2S△PBC=AB·PM+BC·PN=8×5+6×4=40+24.
18(本小题满分9分)如图,在五面体中,四边形ABCD是矩形,AD⊥平面ABEF,AB∥EF,且AD=1,AB=EF=2,AF=BE=2,P,Q,M分别为AE,BD,EF的中点.
求证: (1)PQ∥平面BCE;
(2)AM⊥平面ADF.
证明(1)连接AC.因为四边形ABCD是矩形,且Q为BD的中点,
所以Q为AC的中点.
又因为P为AE的中点,所以PQ∥EC.
又因为PQ?平面BCE,EC?平面BCE,
所以PQ∥平面BCE.
(2)因为AB∥EM,且AB=EM=2,
所以四边形ABEM为平行四边形,
所以AM∥BE,且AM=BE=2.
在△AMF中,AM=AF=2,MF=2.
所以AM2+AF2=MF2,所以AM⊥AF.
由AD⊥平面ABEF,得AD⊥AM,
因为AD∩AF=A,所以AM⊥平面ADF.
19(本小题满分10分)一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,G分别是AB,DF的中点.
(1)求证:CM⊥平面FDM;
(2)在线段AD上(含A,D端点)确定一点P,使得GP∥平面FMC,并给出证明.
解由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC=a.
(1)证明:因为FD⊥平面ABCD,CM?平面ABCD,
所以FD⊥CM.
在矩形ABCD中,
因为CD=2a,AD=a,M为AB中点,DM=CM=a,所以DM2+CM2=CD2.
所以CM⊥DM.
因为FD?平面FDM,DM?平面FDM,且FD∩DM=D,
所以CM⊥平面FDM.
(2)点P在A点处.
证明:取DC中点S,连接AS,GS,GA,
因为G是DF的中点,M为AB的中点,
所以GS∥FC,AS∥CM,
所以平面GSA∥平面FMC.
而GA?平面GSA,
所以GA∥平面FMC,
即GP∥平面FMC.
20(本小题满分10分)如图,在△ABC中,AC=BC=AB,四边形ABED是边长为a的正方形,平面ABED⊥平面ABC,若G,F分别是EC,BD的中点.
(1)求证:GF∥平面ABC;
(2)求证:平面EBC⊥平面ACD;
(3)求几何体ADEBC的体积V.
解(1)证法一:如图,取BE的中点H,连接HF,GH.
因为G,F分别是EC和BD的中点,
所以HG∥BC,HF∥DE.
又因为四边形ADEB为正方形,
所以DE∥AB,从而HF∥AB.
所以平面HGF∥平面ABC.
因为GF?平面HGF,
所以GF∥平面ABC.
证法二:如图,取BC的中点M,AB的中点N,连接GM,FN,MN.
因为G,F分别为EC和BD的中点,
所以GM∥BE,且GM=BE,NF∥DA,且NF=DA.
又因为四边形ADEB为正方形,
所以BE∥AD,BE=AD.
所以GM∥NF,且GM=NF.
所以四边形MNFG为平行四边形.
所以GF∥MN.
又因为MN?平面ABC,GF?平面ABC,
所以GF∥平面ABC.
(2)证明:因为四边形ADEB为正方形,
所以EB⊥AB.
又因为平面ABED⊥平面ABC,
所以BE⊥平面ABC.所以BE⊥AC.
又因为CA2+CB2=AB2,所以AC⊥BC.
因为BE∩BC=B,
所以AC⊥平面BCE.
所以平面EBC⊥平面ACD.
(3)如(1)证法二中的图,连接CN,因为AC=BC,
所以CN⊥AB,且CN=AB=a.
又因为平面ABED⊥平面ABC,
所以CN⊥平面ABED.
因为C-ABED是四棱锥,
所以VC-ABED=SABED·CN=a2·a=a3.
第一章立体几何初步
检测(B)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1若直线l不平行于平面α,且l?α,则( )
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α内存在唯一的直线与l平行
D.α内的直线与l都相交
解析：依题意,直线l∩α=A(如图),α内的直线若经过点A,则与直线l相交;若不经过点A,则与直线l是异面直线,故选B.
答案：B
2某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( )
A.16+8π
B.8+8π
C.16+16π
D.8+16π
解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.
V半圆柱=π×22×4=8π,V长方体=4×2×2=16.
所以所求体积为16+8π.故选A.
答案：A
3某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为( )
A.180 B.200 C.220 D.240
解析：由三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱,
如图,S上=2×10=20,
S下=8×10=80,
S前=S后=10×5=50,
S左=S右=(2+8)×4=20,
所以S表=S上+S下+S前+S后+S左+S右=240,
故选D.
答案：D
4设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面 ( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m∥n,m⊥α,则n⊥α
D.若m∥α,α⊥β,则m⊥β
解析：A选项中,直线m,n可能平行,也可能相交或异面;B选项中,α与β也可能相交,此时直线m平行于α,β的交线;D选项中,m也可能平行于β.故选C.
答案：C
5如图,△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图,则△OAB的面积是( )
A.6
B.3
C.6
D.12
解析：△OAB是直角三角形,其两条直角边的长分别是4和6,则其面积是12.
答案：D
6一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均是半径为2的圆,则这个几何体的体积是( )
A. B.8π C. D.32π
解析：由三视图可知该几何体是将一个球切割而得到的几何体,切去的部分是球的,已知该球的半径为2,所以该几何体的体积V==8π,故选B.
答案：B
7平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为( )
A.π B.4π C.4π D.6π
解析：设球O的半径为R,则R=,故V球=πR3=4π.
答案：B
8如图是一个多面体的三视图,则其表面积为( )
A. B.+6
C.+6 D.+4
解析：由几何体的三视图可得,此几何体是平放的三棱柱,底面是正三角形,侧面是正方形,其表面积为S=3×()2+2××()2=6+.故选C.
答案：C
9已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )
A. B.2 C. D.3
解析：过C点作AB的平行线,过B点作AC的平行线,交点为D,同理过C1作A1B1的平行线,过B1作A1C1的平行线,交点为D1,连接DD1,则ABCD-A1B1C1D1恰好成为球的一个内接长方体,故球的半径r=.故选C.
答案：C
10如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:
①BD⊥AC;
②△BAC是等边三角形;
③三棱锥D-ABC是正三棱锥;
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的是( )
A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④
解析：由题意知,BD⊥平面ADC,则BD⊥AC,①正确;
因为AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,所以△BAC是等边三角形,②正确;易知DA=DB=DC,又由②知③正确;由①知④错.故选B.
答案：B
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;
④若a?平面α,b?平面β,则a,b一定是异面直线.
上述命题中正确的命题是 .(写出所有正确命题的序号)?
解析：由平行公理知①正确;
当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行、异面,故②错;
当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③错;
a?α,b?β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④错.
答案：①
12已知圆锥的底面周长为6π,体积为12π,则该圆锥的侧面积为 .?
解析：设圆锥的底面半径为R,高为h,由已知得2πR=6π,所以R=3.
于是12π=π·32·h,解得h=4,
于是母线l==5,
所以侧面积S=π×3×5=15π.
答案：15π
13如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2= .?
解析：由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为1∶2,S△ADE∶S△ABC=1∶4.
因此V1∶V2==1∶24.
答案：1∶24
14如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 .?
解析：作FO⊥平面CED,则EO⊥CD,FO与正方体的侧棱平行,所以平面EOF一定与正方体的左、右侧面平行,而与其他四个面相交.
答案：4
15已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为 .?
解析：如图所示,在正四棱锥O-ABCD中,VO-ABCD=×S正方形ABCD·OO1=×()2×OO1=,
∴OO1=,AO1=,
在Rt△OO1A中,OA=,即R=,
∴S球=4πR2=24π.
答案：24π
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(本小题满分8分)某几何体的三视图如图,其中俯视图的内外均为正方形,边长分别为2和4,几何体的高为3,求此几何体的表面积和体积.
解由三视图可知该几何体是一个正四棱台.
其上、下底面边长分别为2和4,又高为3,所以其斜高h'=,
于是其表面积S=(8+16)×+22+42=20+12;
其体积V=(22+2×4+42)×3=28.
17(本小题满分8分)如图,PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=,AD=,点F是PB的中点,点E是边BC上的动点.
(1)当点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;
(2)求证:无论点E在边BC的何处,都有PE⊥AF.
(1)解EF与平面PAC平行.理由如下:
当E为BC的中点时,
∵F为PB的中点,∴EF∥PC.
∵EF?平面PAC,PC?平面PAC,
∴EF∥平面PAC.
(2)证明∵PA=AB,F为PB的中点,∴AF⊥PB.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.
又BC⊥AB,PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB.
又AF?平面PAB,∴BC⊥AF.
又PB∩BC=B,∴AF⊥平面PBC.
∵无论点E在边BC的何处,都有PE?平面PBC,
∴PE⊥AF.
18(本小题满分9分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,
所以AB∥DE,且AB=DE.
所以ABED为平行四边形.所以BE∥AD.
又因为BE?平面PAD,AD?平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形,
所以BE⊥CD,AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.
所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点,
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.
所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.
19(本小题满分10分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.
(1)证明:BC1∥平面A1CD;
(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.
(1)证明连接AC1交A1C于点F,则F为AC1的中点.
由D是AB的中点,连接DF,则BC1∥DF.
因为DF?平面A1CD,BC1?平面A1CD,
所以BC1∥平面A1CD.
(2)解因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.
由已知AC=CB,D为AB的中点,则CD⊥AB.
因为AA1∩AB=A,所以CD⊥平面ABB1A1.
由AA1=AC=CB=2,AB=2,得∠ACB=90°,CD=,A1D=,DE=,A1E=3,
则A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.
故=1.
20(本小题满分10分)如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为AE的中点.现在沿AE将三角形ADE向上折起,在折起的图形中解答下列两问:
(1)在线段AB上是否存在一点K,使BC∥平面DFK?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由;
(2)若平面ADE⊥平面ABCE,求证:平面BDE⊥平面ADE.
(1)解线段AB上存在一点K,且当AK=AB时,BC∥平面DFK.
证明如下:
设H为AB的中点,连接EH,则BC∥EH,
又∵AK=AB,F为AE的中点,
∴KF∥EH,∴KF∥BC.
∵KF?平面DFK,BC?平面DFK,
∴BC∥平面DFK.
(2)证明∵在折起前的图形中E为CD的中点,
AB=2,BC=1,
∴在折起后的图形中,AE=BE=,
从而AE2+BE2=4=AB2,
∴AE⊥BE.
∵平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,
∴BE⊥平面ADE,
∵BE?平面BDE,
∴平面BDE⊥平面ADE.
