2.1.1 函数
课时过关·能力提升
1下列函数中,与函数y=有相同定义域的是( )
A.f(x)=x0 B.f(x)=
C.f(x)=|x| D.f(x)=
答案D
2对于函数y=f(x),下列命题正确的个数为( )
①y是x的函数;
②对于不同的x值,y值也不同;
③f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量.
A.1 B.2
C.3 D.0
解析①③显然正确;不同的x值可对应同一个y值,如y=x2,故②错误.
答案B
3已知f(x)=x2-3x,且f(a)=4,则实数a等于( )
A.4 B.-1
C.4或-1 D.-4或1
解析由已知可得a2-3a=4,即a2-3a-4=0,解得a=4或a=-1.
答案C
4若M={x|0≤x≤2},N={y|1≤y≤2},则下列图形中不能表示以M为定义域,N为值域的函数的是( )
解析四个选项中函数的定义域均为[0,2],且值域均为[1,2],但选项D不能构成函数,因为对于任意的x∈[0,2),对应的y值有2个,这不符合函数的定义,故选D.
答案D
5设集合A和集合B中的元素都属于N+,映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素为n2+n,则在映射f下,象20的原象是( )
A.4 B.5
C.4,-5 D.-4,5
解析由题意,令n2+n=20,得n=4或n=-5.
又因为n∈N+,所以n=-5舍去,所以n=4.
答案A
6函数y=的值域是( )
A.{y|y≠1} B.{y|y≠4}
C.{y|y≠-4} D.{y|y≠-1}
解析y==-4+,当x≠1时,≠0,即-4+≠-4,故函数的值域为{y|y≠-4}.
答案C
7函数y=的定义域为( )
A.(-∞,1]
B.(-∞,2]
C.
D.
解析要使函数有意义,应满足
即
所以x≤1,且x≠-,
即函数的定义域为.
答案D
8已知集合M={x|y=x2+1},N={y|y=x2+1},则M∩N等于 .?
解析根据集合中元素的特征性质及函数的定义域、值域的概念,得M=R,N=[1,+∞),
故M∩N=[1,+∞).
答案[1,+∞)
9已知f(+1)=x+2,则f(x)= .?
解析令t=+1,则x=(t-1)2,且t≥1.
由已知,得f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,
故f(x)=x2-1(x≥1).
答案x2-1(x≥1)
10若关于x的函数f(x)=的定义域是{x|x≤-2},则实数a= .?
解析要使f(x)有意义,应满足a-x≥0,即x≤a.
因为函数f(x)的定义域为{x|x≤-2},
所以a=-2.
答案-2
11若函数f(x)的定义域是{x|x≥-2},则函数y=f(-2x+1)的定义域是 .?
解析依题意,要使函数y=f(-2x+1)有意义,应满足-2x+1≥-2,
即x≤,故其定义域为.
答案
12已知f(x)=,x∈R,且x≠-1,g(x)=x2-1,x∈R.
(1)求f(2),g(3);
(2)求f(g(3)),f(g(x));
(3)求f(x),g(x)的值域.
解(1)因为f(x)=,所以f(2)==-.
又因为g(x)=x2-1,所以g(3)=32-1=8.
(2)f(g(3))=f(8)==-,
f(g(x))=,x≠0.
(3)f(x)==-1+.
因为x∈R,且x≠-1,所以≠0.
所以f (x)≠-1.
所以f(x)的值域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),
又因为g(x)=x2-1的定义域是R,x2-1≥-1,
所以g(x)的值域为[-1,+∞).
13已知A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f:A→B满足f(a)+f(b)=f(c).求映射f:A→B的个数.
解方法一:由于f(a),f(b),f(c)∈{-1,0,1},故符合f(a)+f(b)=f(c)的f(a),f(b),f (c)的取值情况如下表所示:
f(a)
f(b)
f(c)
0
0
0
1
0
1
0
1
1
-1
0
-1
0
-1
-1
1
-1
0
-1
1
0
由上表可知,所求的映射有7个.
方法二:(1)当A中三个元素都对应0时,
f(a)+f(b)=0+0=0,f(c)=0,则有f(a)+f(b)=f(c),有1个映射.
(2)当A中三个元素对应B中两个元素时,满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有4个,它们分别是
f(a)=1,f(b)=0,f(c)=1;f(a)=0,f(b)=1,f(c)=1;f(a)=-1,f(b)=0,f(c)=-1;f(a)=0,f(b)=-1,f(c)=-1.
(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时,有两个映射,它们分别是
f(a)=-1,f(b)=1,f(c)=0;f(a)=1,f(b)=-1,f(c)=0.
综上可知,满足条件的映射有7个.
★14已知函数f(x)=.
(1)求f(2)与f,f(3)与f;
(2)由(1)中求得的结果,你能发现f(x)与f的关系吗?并证明你的发现;
(3)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)+f+f+…+f.
解(1)∵f(x)=,∴f(2)=,
f,
f(3)=,
f.
(2)由(1)中的结果发现f(x)+f=1.
证明如下:
f(x)+f
==1.
(3)f(1)=.
由(2)知f(2)+f=1,
f(3)+f=1,
……
f(2 017)+f=1,
故原式=
=2 016+
=.
2.1.2 函数的表示方法
课时过关·能力提升
1已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则满足f(f(x))
A.1或3 B.2或3
C.3 D.1或2
解析当x=1时,f(f(1))=f(2)=1,g(g(1))=g(3)=1,不满足;
当x=2时,f(f(2))=f(1)=2,g(g(2))=g(2)=2,不满足;
当x=3时,f(f(3))=f(1)=2,g(g(3))=g(1)=3,满足.综上可知,x的值为3.
答案C
2已知某函数的图象如图所示,则该函数的值域为( )
A.(0,+∞) B.(-∞,-1]
C.(-∞,-1]∪(0,+∞) D.[-1,0)
解析由函数图象易知,当x>0时,y>0;
当x≤0时,y≤-1,
故该函数的值域为(-∞,-1]∪(0,+∞).
答案C
3函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,a=f(-1.01),b=f(-1),c=f(1.5),则a,b,c的大小关系是( )
A.aC.a=b解析因为a=[-1.01]=-2,b=[-1]=-1,c=[1.5]=1,所以a答案A
4已知f,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x2-x+1(x≠0)
B.f(x)=(x≠0)
C.f(x)=x2-x+1(x≠1)
D.f(x)=1+(x≠1)
解析设=t,则x=,t≠1,
则f(t)=+t-1=t2-t+1,t≠1.
故f(x)=x2-x+1(x≠1).
答案C
5已知f(x)=则f的值为( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析由已知,得f=f+1=f+1=f+2=f+2=3×+2+2=2.
答案A
6某学生从家去学校,因为怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.在下列选项中,纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下列四个选项中较符合该学生到校的图象的是( )
解析由题意,知学生离学校越来越近,故排除选项A,C;又由于开始跑步,后来步行,故体现在图象上是先“陡”后“缓”,故选D.
答案D
7已知一个函数的部分对应关系由下表给出:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
则此函数的解析式可能为 .?
答案f(x)=x-1(答案不唯一)
8已知函数f(x)满足f(x)+2f(3-x)=6x,则f(x)= .?
解析在f(x)+2f(3-x)=6x中,
令x取3-x,得f(3-x)+2f(x)=18-6x.
由
解得f(x)=12-6x.
答案12-6x
9函数y=的值域为 .?
解析因为当x≤-1时,y=;
当x>-1时,y=1,
所以值域为{y|y=1或y≥}.
答案{y|y=1或y≥}
10函数f(x)=若f(x)=3,则x的值的集合为 .?
解析(1)令x+2=3,得x=1.
因为1?(-∞,-1],
所以x=1不符合题意.
(2)令x2=3,得x=±.
因为-?(-1,2),∈(-1,2),
所以x=符合题意.
(3)令2x=3,得x=.因为?[2,+∞),
所以x=不符合题意.
综上可知,满足条件的x的值的集合为{}.
答案{}
11已知函数f(x)=
(1)画出函数的图象;
(2)求f(1),f(-1)的值;
(3)若f(m)=9,求m的值.
分析分别作出f(x)在x>0,x=0,x<0上的图象,合在一起即得函数f(x)的图象.
解(1)函数图象如图所示.
(2)f(1)=12=1,f(-1)=-=1.
(3)若m>0,则f(m)=m2=9,
解得m=3,m=-3(舍去);
若m<0,则f(m)=-=9,
解得m=-.
综上可知,m的值为3或-.
★12某人开车以52 km/h的速度从A地驶往260 km远处的B地,到达B地并停留1.5 h后,再以65 km/h的速度返回A地.试将此人驱车走过的路程s(单位:km)表示为时间t(单位:h)的函数.
分析本题中的函数是分段函数,要根据时间t属于哪个时间段,得到相应的解析式.
解从A地到B地,路上的时间为=5(h);
从B地回到A地,路上的时间为=4(h).
当0≤t<5时,s=52t;
当5≤t≤6.5时,s=260;
当6.5故走过的路程s与时间t的函数关系式为
s=
★13对a,b∈R,记max{a,b}=函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|},x∈R,求f(x)的最小值.
解在同一平面直角坐标系中分别画出y=|x+1|和y=|x-2|的图象,如图所示.
依题意,得函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}=
该函数的图象为图中的实线部分.
故f(x)的最小值为图中点P的纵坐标.
由解得
即点P的坐标为,故f(x)的最小值为.
2.1.3 函数的单调性
课时过关·能力提升
1函数f(x)= +1的单调递减区间是( )
A.(-∞,0)
B.(0,+∞)
C.(-∞,0)和(0,+∞)
D.(-∞,1)和(1,+∞)
解析由反比例函数的图象可知f(x)的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞).
答案C
2下列结论正确的是( )
A.函数y=-x在R上是增函数
B.函数y=x2在R上是增函数
C.y=|x|是减函数
D.y=-在区间(-∞,0)内是增函数
答案D
3若f(x)在(-∞,+∞)内是减函数,则有( )
A.f(a)>f(2a) B.f(a)>f(a2)
C.f(a+2)解析当a∈R时,总有a+2>a.因为f(x)在(-∞,+∞)内是减函数,所以f(a+2)答案C
4函数f(x)在定义域M内为增函数,且f(x)>0,则下列函数在M内不是增函数的是( )
A.y=4+3f(x) B.y=[f(x)]2
C.y=3+ D.y=2-
解析易知函数y=在M内为减函数,故y=3+也为减函数.
答案C
5若函数f(x)是定义在(0,+∞)内的增函数,且f(2m)>f(9-m),则实数m的取值范围是( )
A.(3,+∞) B.(0,3)
C.(3,9) D.(9,+∞)
解析依题意有
所以3答案C
6已知函数f(x)=则函数f(x)( )
A.在(0,+∞)内是减函数
B.在(-∞,0)内是增函数,在(0,+∞)内是减函数
C.不能判断单调性
D.在(-∞,+∞)内是增函数
解析画出函数f(x)的图象(如图所示),可知f(x)在(-∞,+∞)内是增函数.
答案D
7函数f(x)=|x-2|的单调递增区间是 .?
解析由图象可知,f(x)的单调递增区间是[2,+∞).
答案[2,+∞)
8设函数f(x)满足对任意的x1,x2∈R,都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,则f(-3)与f(-π)的大小关系是 .?
解析由题意,知f(x)是R上的增函数.
又因为-3>-π,所以f(-3)>f(-π).
答案f(-3)>f(-π)
9函数y=-(x-5)|x|的单调递增区间是 .?
解析由题意,得y=-(x-5)|x|=
作出图象如图所示.
由图象可知,函数的单调递增区间是.
答案
10已知f(x)=在区间(-2,+∞)内是增函数,则实数a的取值范围是 .?
解析设x1,x2是(-2,+∞)内的任意两个不相等的实数,且-2则f(x1)-f(x2)=.
因为-2所以x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0.
所以<0.
又因为f(x)在(-2,+∞)内是增函数,
所以f(x1)-f(x2)<0,所以2a-1>0,
所以a>.
故实数a的取值范围是.
答案
11已知函数f(x)=a-.
(1)若2f(1)=f(2),求实数a的值;
(2)判断f(x)在(-∞,0)内的单调性,并用定义证明.
解(1)∵2f(1)=f(2),
∴2(a-2)=a-1,∴a=3.
(2)f(x)在(-∞,0)内是增函数.
证明如下:
设x1,x2∈(-∞,0),且x1则f(x1)-f(x2)=.
∵x1,x2∈(-∞,0),∴x1x2>0.
又∵x1∴f(x1)-f(x2)< 0,
即f(x1)∴f(x)=a-在(-∞,0)内是增函数.
★12函数f(x)是[0,+∞)内的减函数,f(x)≠0,且f(2)=1,证明函数F(x)= f(x)+在[0,2]上是减函数.
分析函数f(x)没有给出解析式,因此对F(x)的函数值作差后,需由f(x)的单调性确定作差后的符号.
证明设x1,x2是[0,2]上的任意两个不相等的实数,
且0≤x10,
F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-
=f(x1)-f(x2)+
=[f(x1)-f(x2)].
∵0≤x1∴f(x1)>f(x2)≥f(2)=1.
∴f(x1)-f(x2)>0,f(x1)·f (x2)>1.
∴0<<1.
∴1->0.
∴F(x1)-F(x2)>0.
故F(x)在[0,2]上是减函数.
2.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图象(选学)
课时过关·能力提升
1下列函数是奇函数的是( )
A.y= B.y=-3x2
C.y=-|x| D.y=πx3-x
解析先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,C中函数的定义域均是R,且函数均是偶函数;选项D中函数的定义域是R,且f(-x)=-f(x),则此函数是奇函数.
答案D
2设函数f(x)=+1,则f(x)( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.是非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
解析由得-1≤x≤1,
即函数定义域为[-1,1],关于原点对称.
又因为f(-x)=+1=f(x),
所以f(x)是偶函数.
答案B
3若函数f(x)=是定义域为R的奇函数,则实数b的值为( )
A.1 B.-1
C.0 D.1或-1
解析由已知得f(0)=0,即=0,故b=0,且此时f(x)=,f(-x)==-=-f(x),
即f(x)是奇函数.
答案C
4已知偶函数y=f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,则下列不等式一定成立的是( )
A.f(3)>f(-2)
B.f(-π)>f(3)
C.f(1)>f(a2+2a+3)
D.f(a2+2)>f(a2+1)
解析因为y=f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,且f(x)为偶函数,
所以y=f(x)在区间[0,+∞)内是减函数.
因为a2+2a+3=(a+1)2+2>1,
所以f(a2+2a+3)答案C
5已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为( )
A.4 B.0
C.2m D.-m+4
解析由已知,得f(x)+f(-x)=4,
故f(-5)+f(5)=4.
答案A
6若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x-2)>0的解集为( )
A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4}
C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}
解析当x≥0时,令f(x)=2x-4>0,得x>2.
又因为函数f(x)为偶函数,
所以函数f(x)>0的解集为{x|x<-2或x>2}.
故f(x-2)>0的解集为{x|x<0或x>4}.
答案B
7若函数f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)等于 ( )
A.0 B.1 C. D.5
解析在f(x+2)=f(x)+f(2)中,令x=-1得f(1)=f(-1)+ f(2).因为f(1)=,f(x)是奇函数,
所以f(-1)=-,f(2)=1,
所以f(x+2)=f(x)+1,
故f(5)=f(3)+1=f(1)+1+1=+2=.
答案C
8设函数f(x)=为奇函数,则实数a= .?
解析因为f(x)是奇函数,
所以f(-1)==0=-f(1)=-=-2(1+a).
所以a=-1.当a=-1时,f(x)==x-(x≠0),f(x)为奇函数,故a=-1.
答案-1
9已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+4x+m,则当x<0时,f(x)= .?
解析因为f(x)是定义域为R的奇函数,
所以f(0)=0,即02+4×0+m=0,解得m=0,当x≥0时,f(x)=x2+4x.设x<0,则-x>0,
故f(-x)=(-x)2+4·(-x)=x2-4x.
又因为f(-x)=-f(x),
所以当x<0时,f(x)=-x2+4x.
答案-x2+4x
10已知奇函数f(x)(x∈R)满足f(x+4)=f(x)+f(2),且f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 016)等于 .?
答案0
11已知定义在(-1,1)内的奇函数f(x),在定义域上为减函数,且f(1-a)+f(1-2a) >0,求实数a的取值范围.
解∵f(1-a)+f(1-2a)>0,
∴f(1-a)>-f(1-2a).
∵f(x)是奇函数,∴-f(1-2a)=f(2a-1),
即f(1-a)>f(2a-1).
又f(x)在(-1,1)内是减函数,
∴
∴故a的取值范围是.
★12函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,函数的解析式为f(x)= -1.
(1)求f(-1)的值;
(2)求当x<0时函数的解析式;
(3)用定义证明f(x)在(0,+∞)内是减函数.
(1)解因为f(x)是偶函数,
所以f(-1)=f(1)=2-1=1.
(2)解当x<0时,-x>0,故f(-x)=-1.
因为f(x)为偶函数,
所以当x<0时,f(x)=f(-x)=-1=--1.
(3)证明设x1,x2是(0, +∞)内的任意两个不相等的实数,且0则Δx=x2-x1>0,Δy=f(x2)-f(x1)
=-1-.
因为x1-x2<0,x1x2>0,
所以Δy<0.
故f(x)=-1在(0,+∞)内是减函数.
★13(1)已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:f(x)为奇函数;
(2)已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2),求证: f(x)是偶函数;
(3)设函数f(x)定义在(-l,l)内,求证:f(x)+f(-x)是偶函数, f(x)-f(-x)是奇函数.
证明(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
设a=0,则f(b)=f(0)+f(b),故f(0)=0.
设a=-x,b=x,则f(0)=f(-x)+f(x),
即f(-x)=-f(x).因此,f(x)是奇函数.
(2)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
设x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x). ①
设x1=x,x2=0,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x). ②
由①②,得f(-x)=f(x).
故f(x)是偶函数.
(3)由于对任意的x∈(-l,l),也必有-x∈(-l,l),
可见,f(-x)的定义域也是(-l,l).
若设F (x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x),
则F(x)与G(x)的定义域也是(-l,l),显然是关于原点对称的区间.
∵F(-x)=f(-x)+f[-(-x)]=f(x)+f(-x)=F(x),G(-x)=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-G(x),
∴F(x)是偶函数,G(x)是奇函数,
即f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数.
2.2.1 一次函数的性质与图象
课时过关·能力提升
1已知函数y=x+4(x∈Z),其图象的形状为( )
A.一条直线 B.无数条直线
C.一系列点 D.不存在
答案C
2若函数f(x)=(2a-1)x+b是R上的减函数,则有 ( )
A.a≥ B.a≤
C.a> D.a<
解析由已知得2a-1<0,所以a<.
答案D
3如果a>1,b<-1,那么函数f(x)=ax+b的图象经过 ( )
A.第一、第二、第四象限 B.第二、第三、第四象限
C.第一、第二、第三象限 D.第一、第三、第四象限
解析因为a>1>0,b<-1<0,所以直线经过第一、第三、第四象限.
答案D
4汽车开始行驶时,油箱中有油4 L,如果每小时耗油0.5 L,那么油箱中剩余油量y(单位:L)与它工作的时间t(单位:h)之间的函数关系的图象是( )
答案D
5两条直线y1=ax+b与y2=bx+a在同一直角坐标系中的图象可能是( )
答案A
6已知一次函数y=2x+a与y=-x+b的图象都经过A (-2,0),且与y轴分别交于B,C两点,则△ABC的面积为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析由已知得0=2×(-2)+a,
即a=4.
同理-(-2)+b=0,即b=-2.
故两个一次函数分别是y=2x+4与y=-x-2.
与y轴交于点B(0,4),C(0,-2),故S△ABC=×6×2=6.
答案C
7若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是( )
A.2 B.-2 C.2或-2 D.0
解析显然有a≠0,当a>0时,y=ax+1在[1,2]上单调递增,
故(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;
当a<0时,y=ax+1在[1,2]上单调递减,
故(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.
综上可知,a=2或-2.
答案C
8若f(x)是一次函数,且f(f(x))=4x-1,则f(x)= .?
解析设f(x)=kx+b(k≠0),则k(kx+b)+b=4x-1,
即k2x+kb+b=4x-1,
即解得
故f(x)=2x-或f(x)=-2x+1.
答案2x-或-2x+1
9若函数y=ax-2与y=bx+3的图象与x轴交于同一点,则等于 .?
解析设交点为(m,0),
所以
所以=-.
答案-
10某航空公司规定乘客所携带行李的质量x (单位:kg)与其运费y(单位:元)由如图所示的一次函数确定,那么乘客可免费携带行李的最大质量为 kg.?
解析设一次函数为y=kx+b(k≠0),
依题意,得点(40,630)和(50,930)在直线y=kx+b(k≠0)上.
故解得
因此,一次函数为y=30x-570.
令y=0,得30x-570=0,解得x=19.
于是乘客可免费携带行李的最大质量为19 kg.
答案19
11画出函数y=2x+1的图象,利用图象求:
(1)方程2x+1=0的解;
(2)不等式2x+1≥0的解集;
(3)当y≤3时,求x的取值范围;
(4)当-3≤y≤3时,求x的取值范围;
(5)求图象与坐标轴的两个交点间的距离;
(6)求图象与坐标轴围成的三角形的面积.
解列表:
x
0
-
y
1
0
描点A(0,1),B,连线,如图所示,直线AB就是函数y=2x+1的图象.
(1)直线AB与x轴的交点是B.
从图象可以看出,当x=-时,y=0,即2x+1=0,
故x=-就是方程2x+1=0的解.
(2)从图象可以看出,射线BA在x轴的上方,它上面的点的纵坐标都不小于零,即y=2x+1≥0.
因为射线BA上点的横坐标满足x≥-,
所以不等式2x+1≥0的解集是.
(3)过点(0,3)作平行于x轴的直线CC',交直线AB于点C,点C的坐标为(1,3),直线CC'上点的纵坐标y均等于3,直线下方的点的纵坐标y均小于3,射线CB上点的横坐标满足x≤1,
故当y≤3时,x的取值范围为{x|x≤1}.
(4)过点(0,-3)作平行于x轴的直线,交直线AB于点D(-2,-3).
从图象可以看出,线段DC上的点的纵坐标满足-3≤y≤3,而横坐标满足-2≤x≤1,
故当-3≤y≤3时,x的取值范围为{x|-2≤x≤1}.
(5)图象与x轴的交点为B,与y轴的交点为A(0,1),故|OA|=1,|OB|=.
由勾股定理,得|AB|=
=.
于是图象与坐标轴的两个交点间的距离为.
(6)因为△AOB是直角三角形,
所以S△AOB=|OB|·|OA|=×1=.
故图象与坐标轴围成的三角形的面积为.
★12我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同,甲家每张球台每小时5元;乙家按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元,超过30小时的部分每张球台每小时2元.某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.
(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40),试求f(x)和g(x).
(2)选择哪家比较合算?为什么?
解(1)由题意可知,f(x)=5x,15≤x≤40;
g(x)=
即g(x)=
(2)①当15≤x≤30时,
令g(x)=f(x),即90=5x,得x=18,
因此,当15≤x<18时,f(x)当x=18时,f(x)=g(x);
当18g(x).
②当30即5x=2x+30,得x=10,不合题意,舍去;
令f(x)g(x),即5x>2x+30,得x>10,
因此,当30g(x).
综上可知,当开展活动时间不少于15小时,少于18小时时,选甲家合算;
当开展活动时间为18小时时,选两家均一样;
当开展活动时间多于18小时,不超过40小时时,选乙家合算.
★13对任意的k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x-2k+4的值恒大于零,求x的取值范围.
解把f(x)看成k的函数,设g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4),分类讨论如下:
(1)当x=2时,f(x)=0,
故x=2不满足f(x)>0.
(2)当x≠2时,有g(k)=f(x)=x2+(k-4)x-2k+4=(x-2)k+(x2-4x+4),k∈[-1,1].
f(x)的值(对k∈[-1,1])恒大于零,也就是g(k)(k∈[-1,1])恒大于零,当且仅当线段的两个端点的函数值大于零时,线段在横轴上方,g(k)>0恒成立.
由
解得x<1或x>3.
综上可知,x的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).
2.2.2 二次函数的性质与图象
课时过关·能力提升
1函数y=x2-2x+m的单调递增区间为( )
A.(-∞,+∞) B.[1,+∞)
C.(-∞,1] D.[-2,+∞)
解析因为二次函数的图象开口向上,且对称轴为x=1,
所以单调递增区间为[1,+∞).
答案B
2函数f(x)=x2-mx+4(m>0)在(-∞,0]上的最小值是( )
A.4 B.-4
C.与m的取值有关 D.不存在
解析因为函数f(x)的图象开口向上,且对称轴x=>0,
所以f(x)在(-∞,0]上为减函数,
所以f(x)min=f(0)=4.
答案A
3二次函数y=4x2-mx+5的对称轴为x=-2,则当x=1时,y的值为( )
A.-7 B.1
C.17 D.25
解析由已知得-=-2,解得m=-16,
故y=4x2+16x+5.当x=1时,y=4×12+16×1+5=25.
答案D
4已知二次函数f(x)=x2-ax+7,若f(x-2)是偶函数,则a的值为( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
解析由已知得f(x-2)=(x-2)2-a(x-2)+7=x2-(a+4)x+2a+11.
因为f(x-2)是偶函数,
所以其图象关于y轴对称,
即=0,所以a=-4.
答案B
5已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( )
答案D
6已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.[1,2)
C.[1,2] D.(-∞,2]
解析由于y=x2-2x+3=(x-1)2+2,其图象如图所示,且f(0)=3,f(1)=2,f(2)=3.结合图象可知m的取值范围是[1,2].
答案C
7已知二次函数f(x)=ax2+bx-1(a≠0).若f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则f(x1+x2)等于( )
A.- B.- C.-1 D.0
解析由f(x1)=f(x2)可得f(x)图象的对称轴为x=,
故=-,即x1+x2=-,
所以f(x1+x2)=f=a·+b·-1=-1=-1.
答案C
8已知f(x)=ax2-2x-6,且f(-1)=-6,则f(x)的单调递减区间是 .?
解析由已知得a×(-1)2-2×(-1)-6=-6,
即a=-2,故f(x)=-2x2-2x-6,
其图象开口向下,对称轴为x=-,故单调递减区间是.
答案
9已知二次函数的图象开口向上,且满足f(2 017+x)=f(2 017-x),x∈R,则f(2 013)与f(2 018)的大小关系为 .?
解析由题意知,二次函数图象的对称轴为x=2 017.
∵|2 013-2 017|>|2 018-2 017|,
∴f(2 013)>f(2 018).
答案f(2 013)>f(2 018)
10若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)= .?
解析f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数,则其图象关于y轴对称,
故2a+ab=0.又∵值域为(-∞,4],
∴b<0,2a2=4.
∴b=-2.∴f(x)=-2x2+4.
答案-2x2+4
11已知函数y=(m-2)+6x+2是一个二次函数,求m的值,并判断此抛物线的开口方向,写出它是由函数y=(m-2)通过怎样的平移得到的.
分析根据二次函数的定义确定二次函数的解析式,应注意二次函数的二次项系数不为零,且x的最高次数是2.
图象进行平移变换时,通常先将解析式配方为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,再由y=ax2(a≠0)通过左右(或上下)平移得到.
解由解得m=-1.
于是y=-3x2+6x+2=-3(x-1)2+5,抛物线开口向下.
它可由函数y=-3x2向右平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度得到.
★12已知a∈R,函数f(x)=x|x-a|.
(1)当a=2时,写出函数y=f(x)的单调递增区间;
(2)当a>2时,求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.
解(1)当a=2时,f(x)=x|x-2|=
当x≥2时,f(x)=x(x-2)=(x-1)2-1,单调递增区间是[2,+∞);
当x<2时,f(x)=x(2-x)=-(x-1)2+1,单调递增区间是(-∞,1].
(2)因为a>2,x∈[1,2],所以f(x)=x(a-x)=-x2+ax=-.
当1<,即2当≤2,即3f(x)min=f(1)=a-1.
当>2,即a>4时,f(x)min=f(1)=a-1.
故f(x)min=
★13若函数f(x)= x2-x+a的定义域和值域均为[1,m](m>1),求实数a,m的值.
解因为f (x)= x2-x+a= (x-1)2-+a,
所以f(x)图象的对称轴是x=1,
且f(x)在[1,m]上是单调递增的.
所以f(x)在[1,m]上的值域为[f(1),f(m)],
即
解得
故a=,m=3.
2.2.3 待定系数法
课时过关·能力提升
1反比例函数的图象经过点(-2,3),则其还经过点( )
A.(-2,-3) B.(3,2)
C.(3,-2) D.(-3,-2)
解析设反比例函数为f(x)= (k≠0),
则3=,k=-6,即f(x)=,
故其还经过点(3,-2).
答案C
2二次函数y=x2+ax+b,若a+b=0,则它的图象必经过点( )
A.(-1,-1) B.(1,-1)
C.(1,1) D.(-1,1)
解析当x=1时,y=12+a×1+b=a+b+1=1,因此图象一定经过定点(1,1).
答案C
3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(2,-1),与y轴的交点为(0,11),则( )
A.a=1,b=-4,c=11
B.a=3,b=12,c=11
C.a=3,b=-6,c=11
D.a=3,b=-12,c=11
解析由已知可设二次函数f(x)=a(x-2)2-1(a≠0).
因为点(0,11)在二次函数f(x)=a(x-2)2-1的图象上,
所以11=4a-1,解得a=3.
所以f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11.
故a=3,b=-12,c=11.
答案D
4已知x3+2x2-5x-6=(x+a)(x+b)(x+c),则a,b,c的值分别为( )
A.1,2,3 B.1,-2,-3
C.1,-2,3 D.1,2,-3
解析∵(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc=x3+2x2-5x-6,
∴
解得a=1,b=-2,c=3.
答案C
5设函数f(x)=若f(-1)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析由f(-1)=f(0),f(-2)=-2,
可得
解得
故f(x)=
令f(x)=x,解得x=2或x=-2.
答案B
6抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A与点B,与y轴相交于点C,如果OB=OC=OA,那么b的值为 ( )
A.-2 B.-1 C.- D.
解析由图象可知c>0,且B(c,0),A(-2c,0).
设f(x)=a(x-c)(x+2c),
则a(x-c)(x+2c)=ax2+bx+c,
即ax2+acx-2ac2=ax2+bx+c.
故即ac=-,b=-.
答案C
7已知一次函数的图象经过(5,-2)和(3,4),则这个函数的解析式为 .?
解析设一次函数为y=kx+b(k≠0),
则有解得
答案y=-3x+13
8如图所示为二次函数y=ax2+bx+c的图象,则该函数的解析式为 .?
解析设二次函数为y=a(x+1)(x-3).
∵点(0,-2)在图象上,
∴-2=a(0+1)(0-3).∴a=.
∴y=(x+1)(x-3)=x2-x-2.
答案y=x2-x-2
9已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴的两交点间的距离为6,则这个二次函数的解析式为 .?
解析由题意知,抛物线的对称轴为x=4,抛物线与x轴的两交点坐标是(1,0)与(7,0),如图所示.
设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由条件可得抛物线的顶点为(4,-3),且过点(1,0)和(7,0),将三个点的坐标代入,得
解得
故所求二次函数的解析式为f(x)=x2-x+.
答案f(x)= x2-x+
10抛物线经过点(2,-3),它与x轴交点的横坐标是-1和3.
(1)求出抛物线的解析式.
(2)用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标.
(3)画出草图.
(4)观察图象,x取何值时,函数值y小于零?x取何值时,y随x的增大而减小?
解(1)设抛物线的解析式为f(x)=a(x+1)(x-3)(a≠0).
因为抛物线经过点(2,-3),
所以-3=a(2+1)(2-3),解得a=1.
故抛物线的解析式为f(x)=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.
(2)f (x)=x2-2x-3=(x-1)2-4.
由此可知抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-4).
(3)抛物线的草图如图所示.
(4)由图象可知,当x∈(-1,3)时,函数值f(x)小于零;
当x∈(-∞,1]时,f(x)随x的增大而减小.
★11已知定义在[-6,6]上的奇函数f(x),在[0,3]上为一次函数,在[3,6]上为二次函数,且x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3,f(6)=2,求f(x)的解析式.
解当x∈[3,6]时,
∵f(x)≤f(5)=3,
∴设f(x)=a(x-5)2+3(a≠0).
又f(6)=2,
∴f(6)=a(6-5)2+3=2,解得a=-1.
∴f(x)=-(x-5)2+3,x∈[3,6].
∴f(3)=-(3-5)2+3=-1.
故x∈[0,3]和x∈[3,6]时,f(x)的图象均过点(3,-1).
∵当x∈[0,3]时,f(x)为一次函数,
∴设f(x)=kx+b(k≠0).
∵f(x)在[-6,6]上是奇函数,∴f(0)=0,
∴b=0,即f(x)=kx(k≠0).
将点(3,-1)代入,得-1=3k,即k=-.
故f(x)=-x,x∈[0,3].
因此,f(x)=
又f(x)为奇函数,
∴当x∈[-3,0]时,f(x)=-f(-x)=-x.
当x∈[-6,-3]时,f(x)=-f(-x)=(-x-5)2-3=(x+5)2-3.
∴f(x)=
★12已知直线AB过x轴上的一点A(2,0)且与抛物线y=ax2相交于点B(1,-1)与点C.
(1)求直线和抛物线的解析式.
(2)问抛物线上是否存在一点D,使S△OAD=S△OBC?若存在,求出点D坐标;若不存在,请说明理由.
解(1)设直线的解析式为y=kx+b.
∵直线过点A(2,0),B(1,-1),
∴解得k=1,b=-2,
∴直线的解析式为y=x-2.
又抛物线y=ax2过点B(1,-1),
∴a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-x2.
(2)直线与抛物线相交于B,C两点,故
解得B,C两点坐标为B(1,-1),C(-2,-4),
由图可知,S△OBC=S△OAC-S△OAB
=×|-4|×2-×|-1|×2=3.
假设抛物线上存在一点D,使S△OAD=S△OBC,
设D(m,-m2),
可得S△OAD=×2×m2=m2,即m2=3,
故m=或m=-,即存在这样的点D(,-3)或D(-,-3)满足题意.
2.3 函数的应用(Ⅰ)
课时过关·能力提升
1某债券市场发行三种债券,甲种面值为100元,一年到期本息和为103元;乙种面值为50元,半年到期本息和为51.4元;丙种面值为100元,但买入价为97元,一年到期本息和为100元.作为购买者,分析这三种债券的收益,从小到大排列为( )
A.乙,甲,丙 B.甲,丙,乙
C.甲,乙,丙 D.丙,甲,乙
解析假设这个人用100元购买债券,如果购买甲种,则一年后为103元;如果购买乙种,则半年后为102.8元,一年后为105.678 4元;如果购买丙种,则一年后为100×≈103.1元.
答案B
2商店某种货物的进价下降了8%,但销售价不变,于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r+10)%,则r的值等于( )
A.12 B.15 C.25 D.50
解析设原销售价为a,原进价为x,可以列出方程组:
解这个方程组,消去a,x,可得r=15.
答案B
3将进货单价为80元的商品按90元一件售出时,能卖出400件,已知该商品每件涨价1元时,其销售量就会减少20件,为了获得最大的利润,其售价应定为( )元/件
A.110 B.105
C.100 D.95
解析设每件涨价x元,利润为y元,
则销售量为(400-20x)件,
根据题意,有y=(10+x)(400-20x)
=-20x2+200x+4 000=-20(x-5)2+4 500.
故当x=5时,y取得最大值为4 500,
即当每件涨价5元,也就是售价为95元/件时,可以获得最大利润为4 500元.
答案D
4在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况:一种是即时价格曲线y=f(x),另一种是平均价格曲线y=g(x),如f(2)=3表示股票开始买卖2小时后的即时价格为3元;g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元,下面给出了四个图象,实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x),其中可能正确的是( )
解析根据即时价格与平均价格的相互依赖关系,可知,当即时价格升高时,对应平均价格也升高;反之,当即时价格降低时,对应平均价格也降低,故选项C中的图象可能正确.
答案C
5一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车,当他距汽车25 m时,交通灯由红变绿,汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走,则( )
A.人可在7 s内追上汽车
B.人可在10 s内追上汽车
C.人追不上汽车,两者最近距离为10 m
D.人追不上汽车,两者最近距离为7 m
解析如图所示,设汽车在C点开始运动,此时人到达A点,AC=25 m,经t s后,汽车到达D点,路程CD=at2,此时人追到B点,路程AB=vt,依题意,汽车与人的距离S=AC+CD-AB=25+at2-vt=25+t2-6t=7+ (t-6)2≥7.所以,人不能追上汽车,他与汽车最近的距离是在汽车开动6 s后的瞬间,两者最近距离为7 m,故选D.
答案D
6某工厂生产某种产品的固定成本为200万元,并且生产量每增加一单位产品,成本增加1万元,又知总收入R是单位产量Q的函数R(Q)=4Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是 万元,这时产品的生产数量为 .(总利润=总收入-总成本)?
解析L(Q)=4Q-Q2-(200+Q)=-(Q-300)2+250,则当Q=300时,总利润L(Q)取最大值250万元.
答案250 300
7某批发商批发某种商品的单价P(单位:元/千克)与一次性批发质量x(单位:kg)之间的函数图象如图所示.一零售商仅有现金2 700元,他最多可购买这种商品 kg(不考虑运输费等其他费用).?
解析由题意,可得批发这种商品所需费用y(元)与一次性批发质量x(kg)之间的函数关系式为
y=
从而易得30×50<2 700<30×100,故该零售商购买这种商品的质量应在50 kg与100 kg之间,故所购商品的质量最多为=90(kg).
答案90
8某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游.甲旅行社说:“若校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说:“包括校长在内,全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠.”若全票价为240元.
(1)设学生数为x人,甲旅行社收费为y甲元,乙旅行社收费为y乙元,分别写出两家旅行社的收费y甲,y乙与学生数x之间的解析式.
(2)当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样?
(3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠?
解(1)y甲=120x+240(x∈N+),
y乙=(x+1)×240×60%=144(x+1)(x∈N+).
(2)由120x+240=144x+144,
解得x=4,
即当学生数为4人时,两家旅行社的收费一样.
(3)当x<4时,乙旅行社更优惠;当x>4时,甲旅行社更优惠.
9某人定制了一批地砖,每块地砖(如图所示)是边长为1 m的正方形ABCD.点E,F分别在边BC和CD上,且CE=CF,△CFE,△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制成△CFE,△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元.问点E在什么位置时,每块地砖所需的材料费用最省?
解设每块地砖所需的材料费用为W元,CE=x m,则BE=(1-x)m.
由于制成△CFE,△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元,
则W=x2×30+×1× (1-x)×20+×10
=10x2-5x+15
=10.
当x=时,W有最小值,即所需材料费用最省.
即当点E在距点Cm时,每块地砖所需的材料费用最省.
10某公司试销一种新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件,又不高于800元/件,经试销调查,发现销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元/件)可近似看作一次函数y=kx+b(k≠0)的关系(图象如图所示).
(1)根据图象,求一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式.
(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为s元.
①求s关于x的函数表达式;
②求该公司可获得的最大毛利润,并求出此时相应的销售单价.
解(1)由题中图象,可知函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(600,400),(700,300),代入y=kx+b,
得解得
故y=-x+1 000(500≤x≤800).
(2)①由(1),知s=xy-500y=(-x+1 000)(x-500)=-x2+1 500x-500 000(500≤x≤800).
②由①可知,s=-(x-750)2+62 500,此函数图象开口向下,对称轴为x=750.
故当x=750时,smax=62 500.即该公司可获得的最大毛利润为62 500元,此时相应的销售单价为750元/件.
★11某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图所示).
(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系;
(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?
解(1)设投资债券等稳健型产品的收益与投资额的函数关系式为f(x)=k1x(k1≠0),投资股票等风险型产品的收益与投资额的函数关系式为g(x)=k2(k2≠0),
则依题意知f(1)==k1,g(1)==k2,
故f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).
(2)设投资债券等稳健型产品x万元,则投资股票等风险型产品为(20-x)万元.
依题意,得y=f(x)+g(20-x)
=x+(0≤x≤20).
令=t,则0≤t≤2,且x=20-t2,
即y=t=-(t-2)2+3(0≤t≤2).
故当t=2,即x=20-22=16时,收益最大,且最大收益为3万元.
因此,当投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时,总收益最大,最大收益为3万元.
2.4 函数与方程
2.4.1 函数的零点 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
课时过关·能力提升
1用二分法求函数f(x)=x3+5的零点时,可以取的初始区间为( )
A.[-2,1] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[1,2]
解析由于f(-2)=(-2)3+5=-3<0,f(1)=13+5=6>0,f(-2)·f(1)<0,因此可以将[-2,1]作为初始区间,故选A.
答案A
2函数f(x)=的零点是( )
A.0和-3 B.0
C.-3 D.0,-3和-2
解析令f(x)=0得x=0或-3,但当x=-3时,f(x)无意义,故f(x)只有一个零点0.
答案B
3已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)上零点的个数是( )
A.至多有一个 B.有一个或两个
C.有且仅有一个 D.一个也没有
解析由二次函数图象及零点的性质可知f(x)在(1,2)上有且只有一个零点.
答案C
4已知函数f(x)=mx2+8mx+21,当f(x)<0时,-7A.1 B.2 C.3 D.4
解析由题意可知,-1和-7分别是函数f(x)=mx2+8mx+21的两个零点,因此由根与系数的关系有=(-1)×(-7)=7,解得m=3.
答案C
5如图是函数f(x)的图象,它与x轴有4个不同的公共点,给出的下列四个区间中,存在不能用二分法求出的零点,则该零点所在的区间是( )
A.[-2.1,-1] B.[1.9,2.3]
C.[4.1,5] D.[5,6.1]
解析由不变号零点的特征易判断该零点在区间[1.9,2.3]上.
答案B
6若关于x的方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(1,+∞)
C.(-1,1) D.[0,1)
解析令f(x)=2ax2-x-1.
当a=0时,不符合题意;
当a≠0时,则有f(0)·f(1)=-1×(2a-2)<0,
故a>1.
答案B
7若f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析由题意,得解得答案C
8已知函数f(x)与g(x)满足的关系为f(x)-g(x)=-x-3,根据所给数表,判断f(x)的一个零点所在的区间为( )
x
-1
0
1
2
3
g(x)
0.37
1
2.72
7.39
20.39
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
解析由已知得f(x)=g(x) -x-3,
且f(-1)=g(-1)+1-3<0,
f(0)=g(0)-3=-2<0,
f(1)=g(1)-1-3<0,
f(2)=g(2)-2-3>0,
f(3)>0.
由f(1)·f(2)<0,故零点在区间(1,2)内.
答案C
9函数f(x)=x-的零点是 .?
解析令f(x)=0,即x-=0,解得x=2或x=-2.
答案2,-2
10若关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则a的取值范围是 .?
解析由题意知,两根之积x1·x2=<0,
故a<0.
答案(-∞,0)
11设函数f(x)=又g(x)=f(x)-1,则函数g(x)的零点是 .?
解析当x≥0时,g(x)=f(x)-1=2x-2,令g(x)=0,得x=1;当x<0时,g(x)=x2-4-1=x2-5,
令g(x)=0,得x=±(正值舍去),则x=-.
故g(x)的零点为1和-.
答案1,-
12二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则不等式ax2+bx+c>0的解集是 .?
解析由表可知f(-2)=f(3)=0,且当x∈(-2,3)时,y<0,故当x∈(-∞,-2)∪(3,+∞)时,ax2+bx+c>0.
答案{x|x<-2或x>3}
★13在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这是一条10 km长的线路,问如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查一个点要爬一次电线杆,10 km长,大约有200多根电线杆!想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?
解可以利用二分法的原理进行查找.
如图所示,他首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC段中点D查,这次发现BD段正常,可见故障在CD段,再到CD中点E来查.
这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,故经过7次查找,即可将故障发生的范围缩小到50 m~100 m之间,即一二根电线杆附近.
14已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b是常数,且a≠0)满足条件f(2)=0,方程f(x)=x有两个相等的实根.
(1)求f(x)的解析式.
(2)是否存在实数m,n,使得f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
解(1)由f(2)=0,得4a+2b=0.
由方程f(x)=x,得ax2+(b-1)x=0.
因为方程f(x)=x有两个相等的实根,所以Δ=(b-1)2=0.解方程组
故f(x)=-x2+x.
(2)由(1)知,f(x)=-x2+x=-(x-1)2+,即2n≤,解得n≤.故函数f(x)在[m, n]上是增函数.由
解得m=-2或m=0,n=-2或n=0.
因为m第二章 函数
检测(A)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1若函数g(x+2)=2x+3,则g(3)的值是( )
A.9 B.7 C.5 D.3
解析g(3)=g(1+2)=2×1+3=5.
答案C
2函数y=的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
解析由得x∈.
答案A
3若函数f(x)=|x-4|-|x+2m|是奇函数而不是偶函数,则实数m等于( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
解析f(x)定义域为R,且f(x)为奇函数,故f(0)=0,即|2m|=4,得m=±2.当m=-2时,f(x)=0既是奇函数又是偶函数,不合题意,故m=2.
答案C
4下列函数中,在区间(0,2)内为增函数的是( )
A.y=3-x B.y=x2+1
C.y= D.y=-x2
解析因为函数y=x2+1的单调递增区间是[0,+∞),所以在(0,2)内为增函数.
答案B
5已知函数f(x)=若f(f(0))=4a,则实数a等于( )
A.4 B.0 C.-2 D.2
解析因为f(0)=3×0+2=2,
所以f(f(0))=f(2)=22+2a=4+2a.
所以4+2a=4a,解得a=2.
答案D
6已知y=f(x)是偶函数,且图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是( )
A.4 B.2 C.1 D.0
解析因为f(x)是偶函数且图象与x轴有四个交点,所以这四个交点在y轴两侧各有两个,且关于原点对称.所以这四个交点的横坐标之和是0,即方程f(x)=0的所有实根之和是0.
答案D
7若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使<0成立的x的取值范围是 ( )
A.(-∞,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-2,2)
解析由函数f(x)的性质可画出草图如图所示.
由<0可得f(x)<0,
因此,当f(x)<0时,-2答案D
8函数y=3x+(x≥2)的值域是( )
A. B.[6+,+∞)
C.[6,+∞) D.[,+∞)
解析设t=.
∵x≥2,∴t≥,且x=.
∴y=3x+(t2+1)+t
=.
∵t≥,
∴当t=时,y最小,最小值为6+.
∴y=3x+(x≥2)的值域为[6+,+∞).
故选B.
答案B
9已知a≠0,b<0,一次函数是y=ax+b,二次函数是y=ax2,则下列图象中可以成立的是( )
解析选项A中,一次函数和二次函数中a的符号不一致;选项B中,b>0;选项D中,一次函数和二次函数中a的符号不一致,且b>0,故选C.
答案C
10
如图所示,从某幢建筑物10 m高的窗口A处用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直).如果抛物线的最高点M离墙1 m,离地面 m,则水流落地点B离墙的距离OB是 ( )
A.2 m B.3 m
C.4 m D.5 m
解析以OB所在直线为x轴,OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设抛物线方程是y=a(x-1)2+,由题意知点(0,10)在抛物线上,可得10=a+,得a=-,所以y=-(x-1)2+.设B(x0,0)(x0>1),代入方程得-(x0-1)2+=0,所以x0=3(x0=-1舍去),故选B.
答案B
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11若函数f(x)的定义域是[-1,2],则函数y=f(x+3)的定义域是 .?
解析由-1≤x+3≤2可得-4≤x≤-1,故y=f(x+3)的定义域是[-4,-1].
答案[-4,-1]
12若函数f(x)=x2-2ax-2在[1,2]上是单调函数,则a的取值范围是 .?
解析若函数f(x)在[1,2]上单调递减,则对称轴a≥2;若函数f(x)在[1,2]上单调递增,则对称轴a≤1.
答案(-∞,1]∪[2,+∞)
13若二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-3,2]上的最大值为4,则a的值为 .?
解析显然a≠0,有f(x)=a(x+1)2-a+1.
当a>0时,f(x)在[-3,2]上的最大值应为f(2)=8a+1,由8a+1=4,解得a=-不符合题意;
当a<0时,f(x)在[-3,2]上的最大值为f(-1)=1-a,由1-a=4,解得a=-3.
答案-3
14已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是 .?
答案f(x)=
15奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值是4,最小值是-1,则2f(-6)+f(-3)=.
解析由已知可得f(x)在[3,6]上单调递增,
故f (3)是最小值,f(6)是最大值,
即f(6)=4,f(3)=-1,
于是f(-6)=-4,f(-3)=1,
故2f(-6)+f(-3)=-8+1=-7.
答案-7
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(8分)已知f(x)=
(1)试比较f(f(-3))与f(f(3))的大小;
(2)求满足f(x)=3的x的值.
解(1)∵f(f(-3))=f(7)=72-2×7=35,f(f(3))=f(3)=32-2×3=3,∴f(f(-3))>f(f(3)).
(2)当x<1时,f(x)=3,即-2x+1=3,故x=-1;
当x≥1时,f(x)=3,即x2-2x=3,
故x2-2x-3=0,即(x-3)(x+1)=0.
故x=3(x=-1舍去).
综上可知,当x=-1或x=3时,f(x)=3.
17(8分)某商品进货单价为40元,若销售单价为50元,每天可卖出50件,如果销售单价每涨1元,每天的销售量就减少1件,一天中,为了获得最大利润,则此商品的最佳销售单价应为多少?并求出最大利润.
解设商品的销售单价为x元,利润为y元,则每件商品的利润为(x-40)元,销售单价涨了(x-50)元,每天少卖(x-50)件商品,每天能卖出50-(x-50)=(100-x)件商品.
因此,y=[50-(x-50)](x-40)=(100-x)(x-40)=-x2+140x-4 000.
又∵得50≤x≤100,
∴y=-x2+140x-4 000(50≤x≤100).
∵二次函数y的图象的对称轴为x=70∈[50,100],且开口向下,
∴当x=70时,ymax=-702+140×70-4 000=900.
故商品的销售单价定为70元时,每天的销售利润最大,最大利润为900元.
18(9分)已知f(x+2)=x2-3x+5,
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最大值.
解(1)令x+2=m,则x=m-2,m∈R,故f(m)=(m-2)2-3(m-2) +5=m2-7m+15.
因此,f(x)=x2-7x+15.
(2)利用二次函数的图象考虑,取区间中点与对称轴比较.
当t+,即t≤3时,f(x)max=f(t)=t2-7t+15;
当t+,即t>3时,f(x)max=f(t+1)=(t+1)2-7(t+1)+15=t2-5t+9.
19(10分)已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求f(-1)及实数m的值;
(2)在平面直角坐标系中画出函数y=f(x)的图象,并写出f(x)的单调区间.
解(1)由已知得f(1)=1.
∵f(x)为奇函数,
∴f(-1)=-f(1)=-1.
又f(-1)=1-m,∴1-m=-1,
∴m=2.
(2)y=f(x)的图象如图所示.由图象得,y=f(x)的单调递增区间为[-1,1],
单调递减区间为(-∞,-1)和(1,+∞).
20(10分)已知函数f(x)=,f(2)=2,且方程f(x)=2x有一个根为.
(1)求m, n的值;
(2)求f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f+f+f+f的值.
解(1)由已知,得f(2)==2. ①
由f(x)=2x有一个根为,
得2×=f,
即=2×=1. ②
由①②,可得m=n=.
(2)∵由(1)可得f(x)=,
∴f(x)+f
==3.
∴f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f+f+f+f+
=3×4=12.
第二章 函数
检测(B)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1设函数f(x)=则f(f(3))等于( )
A. B.3 C. D.
解析因为3>1,所以f(3)=.
又因为≤1,
所以f+1=.
所以f(f(3))=f,故选D.
答案D
2已知函数f(x)=,且f(1)=-1,则f(x)的定义域是( )
A.(0,2)
B.(-∞,0)∪(0,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)
解析由f(1)=-1可得=-1,解得m=-2,
故f(x)=.
令x2-2x≠0得x≠0,且x≠2,即f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞).
答案D
3若函数f(x)=(ax+1)(x-a)为偶函数,且当x∈(0,+∞)时,函数y=f(x)为增函数,则实数a的值为( )
A.±1 B.-1 C.1 D.0
解析∵函数f(x)=(ax+1)(x-a)=ax2+(1-a2)x-a为偶函数,
∴f(-x)=f(x),
即f(-x)=ax2-(1-a2)x-a=ax2+(1-a2)x-a.
∴1-a2=0,解得a=±1.
当a=1时,f(x)=x2-1,
在(0,+∞)内为增函数,满足条件.
当a=-1时,f(x)=-x2+1,在(0,+∞)内为减函数,不满足条件.故a=1.
答案C
4函数f(x)对于任意x∈R,都有f (x+1)=2f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则f(-1.5)的值是( )
A. B. C. D.-
解析2f(-1.5)=f(-1.5+1)=f(-0.5),2f(-0.5)=f(0.5).
又f(0.5)=0.5×(1-0.5)=,
∴f(-1.5)=f(0.5)=.
答案A
5设f(x)是奇函数且在(0,+∞)内为减函数,f(2)=0,则满足不等式<0的x的取值范围是( )
A.(-∞,-2)∪(0,2)
B.(-2,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-2,0)∪(0,2)
解析因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
所以<0,
即>0,
即x·f(x)>0.f(x)的函数图象示意图如图所示,
故xf(x)>0时,x的取值范围是(-2,0)∪(0,2).
答案D
6已知函数f(x)=,若f(1)=,f(2)=1,则函数f(x)的值域是( )
A.(-∞,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(-2,+∞)
解析由f(1)=,f(2)=1可得
解得
即f(x)=.
故f(x)==2-.
当x≠-1时,≠0,
即2-≠2.
故函数f(x)的值域是(-∞,2)∪(2,+∞).
答案C
7若aA.(a,b)和(b,c)内
B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内
D.(-∞,a)和(c,+∞)内
解析由题意a0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0.显然f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,故该函数在(a,b)和(b,c)上均有零点,故选A.
答案A
8某公司市场营销的个人月收入与其每月的销售量成一次函数,其图象如图所示,由图象中给出的信息知营销人员没有销售时的收入是( )
A.1 310元 B.1 300元
C.1 290元 D.1 320元
解析设一次函数关系式为y=kx+b,由得k=500,b=1 300.
y=500x+1 300,当x=0时,y=1 300.
答案B
9已知函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,设a=f,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>c>b D.b>a>c
解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上是减函数.
由a=f=f,故b>a>c.
答案D
10设f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,F(x)=则f(x)的最值是( )
A.最大值为3,最小值为-1
B.最大值为7-2,无最小值
C.最大值为3,无最小值
D.既无最大值,也无最小值
解析在同一坐标系下分别画出f(x),g(x)的图象,依题意知F(x)的图象是如图中的实线部分.
从而F(x)无最小值,在A点处取最大值.由解得A(2-,7-2),故F(x)的最大值为7-2.
答案B
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11若f(x)=f(a)=15,则a= .?
解析若当a≤0时,有f(a)=a2-1=15,
解得a=-4(a=4舍去);
若当a>0时,有f(a)=-3a=15,解得a=-5舍去.
综上可知,a=-4.
答案-4
12用二分法求方程x3+4=6x2的一个近似解时,已经将一个根锁定在区间(0,1)内,则下一步可断定此根所在的区间为 .?
解析设f(x)=x3-6x2+4,显然f(0)>0,f(1)<0.
又因为f-6×+4>0,
所以下一步可断定方程的根所在的区间为.
答案
13已知函数f(x)=x2-6x+8,x∈[1,a]的最小值为f(a),则实数a的取值范围是 .?
解析函数f(x)=x2-6x+8在(-∞,3]上是减函数,[3,+∞)上是增函数.
∵f(x)=x2-6x+8在[1,a]上最小值为f(a),
∴[1,a]?(-∞,3],∴1答案(1,3]
14在如图所示的锐角三角形空地上,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为 m.?
解析如图所示,设DE=x m,MN=y m,由三角形相似得,
,即,
得x+y=40,即y=40-x(0故S=xy=x(40-x)=-x2+40x,
当x=20时,S取最大值.
答案20
15已知函数f(x)=若f(4-5a)>f(3a),则实数a的取值范围是 .?
解析画出函数f(x)的图象如图所示,
由图象可知f(x)在R上是增函数,由f(4-5a)>f(3a)可得4-5a>3a,解得a<.
答案
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(8分)已知函数f(x)=x2+x+a.
(1)若a=,求f(x)的零点;
(2)若函数f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围.
解(1)当a=时,f(x)=x2+x+.
由f(x)=0得x2+x+=0,
故x=-,即f(x)的零点是x=-.
(2)若f(x)有两个不同的零点,即方程x2+x+a=0有两个不相等的实数根,因此Δ=1-4a>0,解得a<,即实数a的取值范围是.
17(8分)设函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(4)=1,对任意的x1,x2∈(0,+∞),有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x1≠x2时,有>0.
(1)求f(1)的值;
(2)若f(x+6)>2,求x的取值范围.
解(1)在f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)中,令x1=1,得f(x2)=f(1)+f(x2),故f(1)=0.
(2)在f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)中,令x1=x2=4,
得f(16)=f(4)+f(4)=2.
因为当x1≠x2时,>0,
所以f(x)在(0,+∞)内是增函数.
又因为f(x+6)>2,所以f(x+6)>f(16),
即x+6>16,解得x>10.
故x的取值范围是(10,+∞).
18(9分)已知函数f(x)=x|x-a|(a∈R).
(1)当a=2时,在给定的平面直角坐标系中作出f(x)的图象,并写出f(x)的单调区间;
(2)当a=-2时,求函数y=f(x)在区间(--1,2]上的值域.
解(1)当a=2时,f(x)=x|x-2|=
函数f(x)的图象如图所示,由图象可知,f(x)的单调递增区间是(-∞,1]和[2,+∞),单调递减区间是[1,2].
(2)当a=-2时,f(x)=x|x+2|=
画出f(x)的图象如图所示,由图象可知f(x)在(-∞,-2]和[-1,+∞)上是单调递增的,在[-2,-1]上是单调递减的.
而当x∈(--1,2]时,f(x)在(--1,-2]和[-1,2]上是单调递增的,在[-2,-1]上是单调递减的,
故当x=-1时,f(x)取最小值f(-1)=-1;
当x=2时,f(x)取最大值f(2)=8,故函数f(x)的值域为[-1,8].
19(10分)设f(x)是(-∞,+∞)内的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
解(1)由f(x+2)=-f(x)得,
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
故f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],
即f(1+x)=f(1-x).
故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点对称,则当-1≤x≤0时f(x)=x,则f(x)的图象如图所示.
当-4≤x≤4时,设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,
则S=4S△OAB=4×=4.
20(10分)某学校高一年级某班共有学生51人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元.若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水,经测算和市场调查,其年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用228元,其中,纯净水的销售价x(单位:元/桶)与年购买总量y(单位:桶)之间满足如图所示的关系.
(1)求y关于x的函数关系式.
(2)当a=120时,若该班每年需要纯净水380桶,请你根据提供的信息比较,该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用,哪一种更少?说明你的理由.
(3)当a至少为多少时,该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定不会超过该班全体学生购买饮料的年总费用?
解(1)设y=kx+b(k≠0).
∵当x=8时,y=400;当x=10时,y=320,
∴解得
∴y关于x的函数关系式为y=-40x+720(x>0).
(2)该班学生买饮料每年总费用为51×120=6 120(元),
当y=380时,380=-40x+720,得x=8.5,
该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×8.5+228=3 458(元),
故饮用桶装纯净水的年总费用少.
(3)设该班每年购买纯净水的费用为P元,则
P=xy=x(-40x+720)=-40(x-9)2+3 240,
故当x=9时,Pmax=3 240.
要使饮用桶装纯净水的年总费用一定不会超过该班全体学生购买饮料的年总费用,
则51a≥Pmax+228,解得a≥68,故a至少为68时全班饮用桶装纯净水的年总费用一定不会超过该班全体学生购买饮料的年总费用.
