2018-2019版数学高二同步系列课堂讲义北师大版选修4-4试题：模块综合测评2

模块综合测评(二)
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)
A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2
B.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2
C.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=1
D.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=1
解析:由题意可知,圆ρ=2cos θ可化为普通方程为(x-1)2+y2=1.
所以圆垂直于x轴的两条切线方程分别为x=0和x=2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2,故选B.
答案:B
2.在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标可以是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.(1,0) D.(1,π)
解析:由题意得,圆的直角坐标方程为x2+(y+1)2=1,圆心直角坐标为(0,-1),即圆心的极坐标可以是.
答案:B
3.在极坐标系中,点到圆ρ=2cos θ的圆心的距离为(　　)
A.2 B.
C. D.
解析:圆ρ=2cos θ在直角坐标系中的方程为(x-1)2+y2=1,点的直角坐标为(1,).
故圆心(1,0)与(1,)的距离为d=.
答案:D
4.极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是(　　)
A.两个圆
B.两条直线
C.一个圆和一条射线
D.一条直线和一条射线
解析:ρ=1表示圆,θ=π(ρ≥0)表示一条射线.
答案:C
5.直线(t为参数)上与点P(3,4)的距离等于的点的坐标是(　　)
A.(4,3) B.(2,5)
C.(4,3)或(2,5) D.(-4,5)或(0,1)
解析:将化为普通方程得x+y-7=0,
由
解得
故所求点的坐标为(4,3)或(2,5).
答案:C
6.若动点(x,y)在曲线=1(b>0)上变化,则x2+2y的最大值为(　　)
A.
B.
C.+4
D.2b
解析:设动点的坐标为(2cos φ,bsin φ),代入x2+2y=4cos2φ+2bsin φ=-+4+,当0答案:A
7.设曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l距离为的点的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:曲线C的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,半径为3的圆,其中圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离d=且3-,故过圆心且与l平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点.
答案:B
8.直线3x-4y-9=0与圆(θ为参数)的位置关系是(　　)
A.相切
B.相离
C.直线过圆心
D.相交但直线不过圆心
解析:圆的参数方程可化为x2+y2=4,可求得该圆的圆心(0,0),半径r=2.显然圆心不在直线3x-4y-9=0上,又由点到直线的距离公式知,圆心到直线3x-4y-9=0的距离d=答案:D
9.曲线(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是(　　)
A. B.
C.1 D.
解析:曲线(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和为d=|sin θ|+|cos θ|,不妨设θ∈,则d=|sin θ|+|cos θ|=sin θ+cos θ=sin,故最大值为.
答案:D
10.经过点(1,1),倾斜角为135°的直线截椭圆+y2=1所得的弦长为(　　)
A. B.
C. D.
解析:过点(1,1),倾斜角为135°的直线的参数方程为(t为参数),代入椭圆的方程可得=1,化简得5t2+6t+2=0.
设两根为t1,t2.根据根与系数的关系可得t1+t2=-,t1t2=,
则弦长为|t1-t2|=.
答案:B
11.导学号73144050已知双曲线C的参数方程为
(θ为参数),在下列直线的参数方程中,
①
⑤(以上方程中,t为参数),可以作为双曲线C的渐近线方程的是(　　)
A.①③⑤ B.①②⑤
C.①②④ D.②④⑤
解析:由双曲线的参数方程知,a=3,b=4,且双曲线的焦点在x轴上,因此其渐近线方程是y=±x.检验所给直线的参数方程可知①③⑤适合条件.
答案:A
12.极坐标系内曲线ρ=2cos θ上的动点P与定点Q的最近距离等于(　　)
A.-1 B.-1
C.1 D.
解析:将曲线ρ=2cos θ化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点Q的直角坐标为(0,1),则点P到点Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径,即-1.
答案:A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.在极坐标系中,曲线ρ=cos θ+1与ρcos θ=1的公共点到极点的距离为　　　　　　　　.?
解析:联立方程组得ρ(ρ-1)=1?ρ=,又ρ≥0,故所求为.
答案:
14.已知圆的极坐标方程为ρ=4cos θ,圆心为点C,点P的极坐标为,则|CP|=　　　　　.?
解析:由圆的极坐标方程为ρ=4cos θ,得圆心C的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(2,2),所以|CP|=2.
答案:2
15.在平面直角坐标系xOy中,若直线l:(t为参数)过椭圆C:(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为　　　　　.?
解析:由题意知在直角坐标系下,直线l的方程为y=x-a,椭圆的方程为=1,所以其右顶点为(3,0).由题意知0=3-a,解得a=3.
答案:3
16.导学号73144051如图,若以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为　　　　　　　　　　.?
解析:由三角函数定义知=tan θ(x≠0),y=xtan θ,
由x2+y2-x=0得,x2+x2tan2θ-x=0,x==cos2θ,
则y=xtan θ=cos2θtan θ=sin θcos θ,
当θ=时,x=0,y=0也适合题意,
故参数方程为(θ为参数).
答案:(θ为参数)
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.
解如图,在ρsin=-中,令θ=0,得ρ=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).
因为圆C经过点P,所以圆C的半径PC==1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.
18.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.
解因为直线l的参数方程为(t为参数),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y-2=0.
同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.
联立方程组
解得公共点的坐标为(2,2),.
19.(本小题满分12分)已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),点M为PQ的中点.
(1)求点M的轨迹的参数方程;
(2)将点M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断点M的轨迹是否过坐标原点.
解(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
因此点M为(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).
点M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).
(2)点M到坐标原点的距离
d=(0<α<2π).
当α=π时,d=0,故点M的轨迹过坐标原点.
20.导学号73144052(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).点M是C1上的动点,点P满足=2,点P的轨迹为曲线C2.
(1)求曲线C2的参数方程;
(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=(ρ≥0)与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
解(1)设点P为(x,y),则由条件知点M为.
由于点M在C1上,所以
即
则曲线C2的参数方程为(α为参数).
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sin θ.
射线θ=(ρ≥0)与C1的交点A的极径为ρ1=4sin ,
射线θ=(ρ≥0)与C2的交点B的极径为ρ2=8sin.
所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.
21.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)写出☉C的直角坐标方程;
(2)点P为直线l上一动点,当点P到圆心C的距离最小时,求点P的直角坐标.
解(1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,
从而有x2+y2=2y,
所以x2+(y-)2=3.
(2)设P.
又C(0,),
则|PC|=,
故当t=0时,|PC|取得最小值,
此时,点P的直角坐标为(3,0).
22.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcos=2.
(1)求C1与C2交点的极坐标.
(2)设点P为C1的圆心,点Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R,且t为参数),求a,b的值.
解(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,
直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
解
得
所以C1与C2交点的极坐标为.
(注:极坐标系下点的表示不唯一)
(2)由(1)可得,点P与点Q的直角坐标分别为(0,2),(1,3).
故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.
由参数方程可得y=x-+1.
所以
解得a=-1,b=2.