第五章图形与变换第32节轴对称与中心对称
■考点1．图形的轴对称
(1)定义：
①轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说 ，这条直线叫做 ，两个图形中重合的点叫做 ，重合的线段叫做 .
②轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做 ，这条直线叫做 .
(2)性质：
①成轴对称的两个图形，
②如果两个图形关于某条直线对称．那么连接对应点的线段 垂直平分，
③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在 .
■考点2．图形的中心对称
(1)定义
①中心对称：平面内一个图形绕着某个点旋转180。后能和另一个图形重合，那么这两个图形 ，这个点叫做它的 ，旋转前后的点叫做 .
②中心对称图形：一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做 ，这个点叫做它的 ．
(2)性质：
①关于某点成中心对称的两个图形 ．
②成中心对称的两个图形和中心对称图形的对应点连线都通过对称中心，并且被对称中心 __
■考点3.关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′ ．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
■考点1．图形的轴对称
◇典例：
1.【2018重庆】下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【2017?天津】如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BC B．CE C．AD D．AC
【考点】轴对称-最短路线问题；等腰三角形的性质．
【分析】如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．2·1·c·n·j·y
解：如图连接PC， ∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴PB=PC， ∴PB+PE=PC+PE， ∵PE+PC≥CE， ∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度， 故选B．
◆变式训练
1.【2018桂林】下列图形是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.【2017?营口】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
■考点2．图形的中心对称
◇典例
【2018天津】下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【考点】中心对称图形
【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．
◆变式训练
【2018北海】下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
■考点3.关于原点对称的点的坐标特点
◇典例
【2017?宜宾】在平面直角坐标系中，点M（3，-1）关于原点的对称点的坐标是 _________
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数解答．
解：点M（3，-1）关于原点的对称点的坐标是（-3，1）． 故答案为：（-3，1）．
◆变式训练
【2017?湖州】在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点的对称点P'的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（-1，2） C．（1，-2） D．（-1，-2）
【2018赤峰】下列符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【2018广州】如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（??? ）
A.1条 B.3条 C.5条 D.无数条
【2018通辽】如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是 ．
【2017?潍坊】小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【2018成都】在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）
【2017枣庄】如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（ ）
A．2 B． C． D．1
【2018攀枝花】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为 ．
【2017河池】点A（2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标是 ．
【2017潜江】如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影．
（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形；
（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．
【2017金华】如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣4，﹣1），C（﹣4，﹣4）．
（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）作出点A关于x轴的对称点A′，若把点A′向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部（不包括顶点和边界），求a的取值范围．
选择题
【2018牡丹江】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【2018天津】如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【2018吉林】如图，将△ABC折叠，使点A与BC边中点D重合，折痕为MN，若AB=9，BC=6，则△DNB的周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【2018新疆】如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【2018贵港】若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1
【2017?枣庄】如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为
MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（ ）
A．2 B． C． D．1
填空题
【2018大庆】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab= ．
【2017?泰安】如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上的一动点，PQ
⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为 ．
【2017内江】如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．
【2017?朝阳】如图，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为（8，4），点P
是对角线OB上的一个动点，点D（0，2）在y轴上，当CP+DP最短时，点P的坐标为 ．
解答题
【2018广东】如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：△DEF是等腰三角形．
【2018绥化】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是斜边AB、直角边BC上的点，把△ABC沿着直线DE折叠．
（1）如图1，当折叠后点B和点A重合时，用直尺和圆规作出直线DE；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
（2）如图2，当折叠后点B落在AC边上点P处，且四边形PEBD是菱形时，求折痕DE的长．
【2017六盘水】如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点．
（1）利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置（不写作法，但要保留作图痕迹）．
（2）求PA+PB的最小值．
【2018眉山】在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（﹣4，﹣2），请直接写出直线l的函数解析式．
【2018荆门】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．
（1）求证：△ADE≌△CDB；
（2）若BC=，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．
第五章图形与变换第32节轴对称与中心对称■考点1．图形的轴对称
(1)定义：
①轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形是成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段.
②轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．21教育名师原创作品
(2)性质：
①成轴对称的两个图形全等，
②如果两个图形关于某条直线对称．那么连接对应点的线段对称轴垂直平分，
③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
■考点2．图形的中心对称
(1)定义
①中心对称：平面内一个图形绕着某个点旋转180。后能和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，这个点叫做它的对称中心，旋转前后的点叫做对应点.
②中心对称图形：一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．21*cnjy*com
(2)性质：
①关于某点成中心对称的两个图形全等．
②成中心对称的两个图形和中心对称图形的对应点连线都通过对称中心，并且被对称中心平分
■考点3.关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
■考点1．图形的轴对称
◇典例：
1.【2018重庆】下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【2017?天津】如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BC B．CE C．AD D．AC
【考点】轴对称-最短路线问题；等腰三角形的性质．
【分析】如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．2·1·c·n·j·y
解：如图连接PC， ∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴PB=PC， ∴PB+PE=PC+PE， ∵PE+PC≥CE， ∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度， 故选B．
◆变式训练
1.【2018桂林】下列图形是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【考点】轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2.【2017?营口】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】轴对称-最短路线问题；等腰直角三角形．
【分析】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．由DC=1，BC=4，得到BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，于是得到∠CBC′=90°，然后根据勾股定理即可得到结论．
解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP． 此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．
∵BD=3，DC=1 ∴BC=4， ∴BD=3， 连接BC′，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°， ∴∠CBC′=90°， ∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°， ∴BC=BC′=4， 根据勾股定理可得DC′===5． 故选B．【出处：21教育名师】
■考点2．图形的中心对称
◇典例
【2018天津】下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【考点】中心对称图形
【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．
◆变式训练
【2018北海】下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
解：A、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
■考点3.关于原点对称的点的坐标特点
◇典例
【2017?宜宾】在平面直角坐标系中，点M（3，-1）关于原点的对称点的坐标是 _________
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数解答．
解：点M（3，-1）关于原点的对称点的坐标是（-3，1）． 故答案为：（-3，1）．
◆变式训练
【2017?湖州】在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点的对称点P'的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（-1，2） C．（1，-2） D．（-1，-2）
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
解：点 P（1，2）关于原点的对称点 P'的坐标是（-1，-2）， 故选：D．
【2018赤峰】下列符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形；中心对称图形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义即可求出答案．
解：轴对称图形是指平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合
故选：D．
【点评】本题考查中心对称图形与轴对称图形，解题的关键是正确理解中心对称图形与轴对称图形的定义，本题属于基础题型．
【2018广州】如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（??? ）
A.1条 B.3条 C.5条 D.无数条
【考点】轴对称图形
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形,这条直线叫做对称轴.由此定义即可得出答案.
解：五角星有五条对称轴.
故答案为：C.
【2018通辽】如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是 ．
【考点】平行线的性质，轴对称的性质
【分析】首先证明∠EDO=∠AOB=37°45′，根据∠EDB=∠AOB+∠EDO计算即可解决问题；
解：∵CD∥OB，
∴∠ADC=∠AOB，
∵∠EDO=∠CDA，
∴∠EDO=∠AOB=37°45′，
∴∠EDB=∠AOB+∠EDO=2×37°45′=75°30′（或75.5°），
故答案为75°30′（或75.5°）．
【2017?潍坊】小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【考点】坐标与图形变化﹣对称；坐标确定位置．
【分析】首先确定x轴、y轴的位置，然后根据轴对称图形的定义判断．
解：棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，则这点所在的横线是x轴，右下角方子的位置用（0，﹣1），则这点所在的纵线是y轴，则当放的位置是（﹣1，1）时构成轴对称图形．
故选B．
【2018乌鲁木齐】在平面直角坐标系xOy中，将点N（﹣1，﹣2）绕点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）
【考点】坐标与图形变化﹣旋转
【分析】根据题意可知点N旋转以后横纵坐标都互为相反数，从而可以解答本题．
解：在平面直角坐标系xOy中，将点N（﹣1，﹣2）绕点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（1，2），
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解答本题的关键是明确题意，利用旋转的知识解答．
【2017枣庄】如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（ ）
A．2 B． C． D．1
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据翻折不变性，AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值．
解：∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，
∴FB=AB=2，BM=1，
则在Rt△BMF中，
FM=，
故选：B．
【2018攀枝花】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为 ．
【考点】矩形的性质；轴对称﹣最短路线问题
【分析】首先由S△PAB=S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．
解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB=S矩形ABCD，
∴AB?h=AB?AD，
∴h=AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，
∴BE===4，
即PA+PB的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
【2018青海 】如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接AD，若，则______．
【考点】旋转的性质
【分析】根据旋转的性质可得，再判断出是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出，由可得答案．
解：绕其直角顶点C按顺时针方向旋转后得到，
，
是等腰直角三角形，
，
则，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
【2018宁夏】在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（5，1）．
（1）把△ABC平移后，其中点 A移到点A1（4，5），画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2 B2C2．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可；
（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的△A2 B2C2即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2 B2C2即为所求．
【2017长春】如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E是菱形ABCD内一点，连结CE绕点C顺时针旋转110°，得到线段CF，连结BE，DF，若∠E=86°，求∠F的度数．
【考点】旋转的性质；菱形的性质．
【分析】由菱形的性质有BC=CD，∠BCD=∠A=110°，根据旋转的性质知CE=CF，∠ECF=∠BCD=110°，于是得到∠BCE=∠DCF=110°﹣∠DCE，根据全等三角形的判定证得△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：∵菱形ABCD，
∴BC=CD，∠BCD=∠A=110°，
由旋转的性质知，CE=CF，∠ECF=∠BCD=110°，
∴∠BCE=∠DCF=110°﹣∠DCE，
在△BCE和△DCF中，，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠F=∠E=86°．
选择题
【2018牡丹江】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】轴对称图形；中心对称图形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别分析得出答案．
解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，正五边形，是轴对称图形，不是中心对称图形，
正方形和正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，
故选：C．
【点评】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．
【2018天津】如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【考点】折叠的性质
【分析】由折叠的性质知，BC=BE．易得.
解：由折叠的性质知，BC=BE．
∴.．
故选：D．
【点睛】本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【2018吉林】如图，将△ABC折叠，使点A与BC边中点D重合，折痕为MN，若AB=9，BC=6，则△DNB的周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【考点】翻折变换
【分析】由D为BC中点知BD=3，再由折叠性质得ND=NA，从而根据△DNB的周长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD可得答案．
解：∵D为BC的中点，且BC=6，
∴BD=BC=3，
由折叠性质知NA=ND，
则△DNB的周长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD=3+9=12，
故选：A．
【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【2018新疆】如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【考点】轴对称﹣最短路线问题，菱形的性质
【分析】先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1．
解：如图
，
作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．
∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴M′是AD的中点，
又∵N是BC边上的中点，
∴AM′∥BN，AM′=BN，
∴四边形ABNM′是平行四边形，
∴M′N=AB=1，
∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
【2018贵港】若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1
【考点】关于x、y轴的对称点的坐标特点
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m=3、1﹣n=2，
解得：m=2、n=﹣1，
所以m+n=2﹣1=1，
故选：D．
【2017?枣庄】如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为
MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（ ）
A．2 B． C． D．1
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据翻折不变性，AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值．
解：∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，
∴FB=AB=2，BM=1，
则在Rt△BMF中，
FM=，
故选：B．
填空题
【2018大庆】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab= ．
【考点】关于原点对称点的性质
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
解：∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，
∴a=﹣4，b=﹣3，
则ab=12．
故答案为：12．
【2017?泰安】如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上的一动点，PQ
⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【分析】本题作点M关于AB的对称点N，根据轴对称性找出点P的位置，如图，根据三角函数求出MN，∠N，再根据三角函数求出结论．www.21-cn-jy.com
解：作点M关于AB的对称点N，过N作NQ⊥AC于Q交AB于P，
则NQ的长即为PM+PQ的最小值，
连接MN交AB于D，则MD⊥AB，DM=DN，
∵∠NPB=∠APQ，
∴∠N=∠BAC=30°，
∵∠BAC=30°，AM=2，
∴MD=AM=1，
∴MN=2，
∴NQ=MN?cos∠N=2×=，
故答案为：．
【2018南通】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点O是BC中点，将△ABC绕点O旋转得△A′B'C，则在旋转过程中点A、C′两点间的最大距离是 ．
【考点】旋转的性质
【分析】连接OA，AC′，如图，易得OC=2，再利用勾股定理计算出OA=，接着利用旋转的性质得OC′=OC=2，根据三角形三边的关系得到AC′≤OA+OC′（当且仅当点A、O、C′共线时，取等号），从而得到AC′的最大值．
解：连接OA，AC′，如图，
∵点O是BC中点，
∴OC=BC=2，
在Rt△AOC中，OA==，
∵△ABC绕点O旋转得△A′B'C′，
∴OC′=OC=2，
∵AC′≤OA+OC′（当且仅当点A、O、C′共线时，取等号），
∴AC′的最大值为2+，
即在旋转过程中点A、C′两点间的最大距离是2+．
故答案为2+．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
【2017?朝阳】如图，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为（8，4），点P
是对角线OB上的一个动点，点D（0，2）在y轴上，当CP+DP最短时，点P的坐标为 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质；菱形的性质．
【分析】如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．首先说明点P就是所求的点，再求出点B坐标，求出直线OB、DA，列方程组即可解决问题．21教育网
解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．
在Rt△OBK中，OB===4，
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=2，
设OA=OB=x，在Rt△ABK中，∵AB2=AK2+BK2，
∴x2=（8﹣x）2+42，
∴x=5，
∴A（5，0），
∵A、C关于直线OB对称，
∴PC+PD=PA+PD=DA，
∴此时PC+PD最短，
在RT△AOG中，AG===，
∴AC=2，
∵OA?BK=?AC?OB，
∴BK=4，AK==3，
∴直线OB解析式为y=x，直线AD解析式为y=﹣x+1，
由解得，
∴点P坐标（，），
故答案为（，）．
解答题
【2018温州】如图，P，Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形．
（1）画出一个面积最小的?PAQB．
（2）画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到．
【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣旋转变换
【分析】（1）画出面积是4的格点平行四边形即为所求；
（2）画出以PQ为对角线的等腰梯形即为所求．
解：（1）如图①所示：
（2）如图②所示：
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
【2018阜新】如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣2，5），C（﹣2，1）．
（1）平移△ABC，使点C移到点C1（﹣2，﹣4），画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；
（2）将△ABC绕点（0，3）旋转180°，得到△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2；
（3）求（2）中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长（结果保留π）．
【考点】轨迹；作图﹣平移变换；作图﹣旋转变换
【分析】（1）根据点C移到点C1（﹣2，﹣4），可知向下平移了5个单位，分别作出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可解决问题；
（2）根据中心对称的性质，作出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
（3）利用勾股定理计算CC2，可得半径为2，根据圆的周长公式计算即可．
解：（1）如图所示，则△A1B1C1为所求作的三角形，（2分）
∴A1（﹣4，﹣1），B1（﹣2，0）；（4分）
（2）如图所示，则△A2B2C2为所求作的三角形，（6分）
（3）点C经过的路径长：是以（0，3）为圆心，以CC2为直径的半圆，
由勾股定理得：CC2==4，
∴点C经过的路径长：×2πr=2π．
【点评】本题考查平移变换、旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出对应点解决问题，属于中考常考题型．
【2018枣庄】如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
【考点】图形变换
【分析】（1）根据中心对称的性质即可作出图形；
（2）根据轴对称的性质即可作出图形；
（3）根据旋转的性质即可求出图形．
解：（1）如图所示，
△DCE为所求作
（2）如图所示，
△ACD为所求作
（3）如图所示
△ECD为所求作
【点评】本题考查图形变换，解题的关键是正确理解图形变换的性质，本题属于基础题型．
【2018眉山】在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（﹣4，﹣2），请直接写出直线l的函数解析式．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；作图﹣平移变换；作图﹣旋转变换
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点得到△A1B1C1；
（2）根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）根据对称的特点解答即可．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，C1（﹣1，2）；
（2）如图，△A2B2C2为所作，C2（﹣3，﹣2）；
（3）因为A的坐标为（2，4），A3的坐标为（﹣4，﹣2），
所以直线l的函数解析式为y=﹣x，
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换和平移变换．
【2018荆门】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．
（1）求证：△ADE≌△CDB；
（2）若BC=，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．
【考点】坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题
【分析】（1）只要证明△DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明；
（2）如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．
（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，E为AB边的中点，
∴BC=EA，∠ABC=60°．
∵△DEB为等边三角形，
∴DB=DE，∠DEB=∠DBE=60°，
∴∠DEA=120°，∠DBC=120°，
∴∠DEA=∠DBC
∴△ADE≌△CDB．
（2）解：如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．
则点H即为符合条件的点．
由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°．
∴∠EAE'=60°，
∴△EAE'为等边三角形，
∴，
∴∠AE'B=90°，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，，
∴，，
∴，
∴BH+EH的最小值为3．
【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
