江苏省盐城市2019届高三上学期期中考试数学试题（解析版）

盐城市2019届高三年级第一学期期中考试
数学试题
（总分160分，考试时间120分钟）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1．若全集U＝{1，2，3}，A＝{1，2}，则?UA＝ ．
考点：集合的运算。
答案：
解析：?UA就是在全集U中找出集合A没有的元素，所以，?UA＝
2．函数的定义域为 ．
考点：二次根式的定义，对数函数的性质。
答案：
解析：由二次根式的定义，得：0，所以，x≥1，定义域为
3．若钝角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(m，)，则tan＝
．
考点：三角函数的概念。
答案：
解析：点P在单位圆上，所以，，因为是钝角，所以，m＝－，
＝
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则角C＝ ．
考点：余弦定理。
答案：
解析：由余弦定理，得：cosC＝＝，所以，C＝
5．已知向量，，，，其中，，若∥，则＝ ．
考点：平面数量的数量积，平行（共线）向量的性质。
答案：
解析：因为∥，所以，sin＝－cos
即tan＝－1，故＝
6．设等差数列的前n项和为，若，，则公差d＝ ．
考点：等差数列的通项公式、前n项和公式，等差数列的性质。
答案：1
解析：，所以，＝7，　公差d＝7-6＝1
7．在平面直角坐标系中，曲线在x＝0处的切线方程是 ．
考点：导数及其应用，直线方程。
答案：
解析：，k＝3，切点为（0,2）
切线方程为：y－2＝3x，即
8．设函数，则k＝﹣1是函数为奇函数的 条件（选填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一）
考点：函数的性质，常用逻辑用语。
答案：充分不必要
解析：k＝﹣1时，＝，
＝＝－，＝－，所以，为奇函数，充分性成立；
当为奇函数时，－，所以，
＝－，即＝，
，化为
所以，，得，必要性不成立。
9．在△ABC中，AB＝2，AC＝1，A＝，点D为BC上一点，若，则AD＝ ．
考点：平面向量的数量积，余弦定理。
答案：
解析：因为
所以，
又AB＝2，AC＝1，可得＝30°
所以，AD为∠BAC的平分线，所以，有，
设AD＝y，CD＝x，则BD＝2x，由余弦定理，有
，解得：AD＝y＝

10．若函数的所有正零点构成公差为d(d＞0)的等差数列，则d＝ ．
考点：正弦函数的图象，函数的零点，等差数列。
答案：
解析：画出的图象，如图。
因为零点构成等差数列，所以，两图象交点的横坐标是等差数列，
在［0，］内，看成是6等分，故公差d＝

11．如图，在四边形ABCD中，A＝，AB＝2，AD＝3，分别延长CB、CD至点E、F，使得，，其中＞0，若，则的值为 ．

考点：平面向量的三角形法则，平面向量的数量积。
答案：
解析：如下图所示，＝＝，
，
，＝

12．已知函数在R上单调递增，则实数m的取值集合为 ．
考点：函数的导数及其应用，不等式恒成立问题，分类讨论的数学思想。
答案：
解析：函数在R上单调递增，所以，在R上恒成立，
即在R上恒成立，
（1）当x＞0时，，所以，恒成立，即
，所以，，
（2）当x＜0时，，所以，恒成立，即
，所以，，
（3）当x＝0时，，所以，，
综上可知，实数m的取值集合为

13．已知数列满足，其中，设，若为数列中唯一最小项，则实数的取值范围是 ．
考点：等差数列的概念，数列的综合应用。
答案：
解析：因为，
，
，
所以，＝2，＝2，
是以2为首项，2为公差的等差数列，
，，所以，＝，
当时，数列中唯一最小项，
即：，
14．在△ABC中，tanA＝﹣3，△ABC的面积S△ABC＝1，P0为线段BC上一定点，且满足CP0＝BC，若P为线段BC上任意一点，且恒有，则线段BC的长为 ．
考点：平面向量的坐标运算，三角函数，应用数学知识解决问题的能力。
答案：
解析：



二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分14分）
若函数(a＞0，b＞0)的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之同的距离为π．
（1）求a，b的値；
（2）求在[0，]上的最大值和最小值．







16．（本小题满分14分）
已知命题p：函数的图象与x轴至多有一个交点，命题q：．
（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若pq为假命题，求实数m的取值范围．








17．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求A的大小；
（2）若b＋c＝6，D为BC的中点，且AD＝，求△ABC的面积．












18．（本小题满分16分）
如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA＝CB，记道路CA、CB长之和为．
（1）①设∠ACO＝，求出关于的函数关系式；②设AB＝2x米，求出关于x的函数关系式．
（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．





19．（本小题满分16分）
已知正项数列的首项，前n项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列，若数列单调递增，求实数的取值范围；
（3）若数列、都是等比数列，且满足，试证明: 数列中只存在三项．









20．（本小题满分16分）
若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点．设函数，，a，b，kR．
（1）若为在x＝1处的切线．①当有两个极值点，，且满足·＝1时，求b的值及a的取值范围；②当函数与的图象只有一个交点，求a的值；
（2）若对满足“函数与的图象总有三个交点P，Q，R”的任意突数k，都有PQ＝QR成立，求a，b，k满足的条件．














盐城市2019届高三年级第一学期期中考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7.
8. 充分不必要 9. 10. 11.
12. 13. 14.
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．解：（1）因为图像与轴相切，且，所以的最小值为，即，又由最高点间距离为，故，即 …………4分
（2）由（1）得，当时，有 ………8分
当时，即，有最大值；
当时，即，有最小值 ………… …14分
（规范阅卷说明：求最值时不交代的值，各扣1分.）
16．（1）解：由，得， …………2分
所以，解得，又因为真命题，所以或. …………7分
（2）由函数图像与轴至多一个交点，所以，
解得， …………9分
所以当是假命题时，或， …………10分
由（1）为真命题，即是假命题，所以或，
又为假命题，所以命题都是假命题， …………12分
所以实数满足，解得或. …………14分
（阅卷说明：若第一问学生直接解得或,虽然错误，只扣2分，给5分；若第二问学生利用第一问的错误结论或进行运算的，只要根据是假命题求得或，第二问就再给4分.）
17．解:（1）由正弦定理知，所以,
即 …………2分
所以，化简得
， …………4分
因为中，，所以，即，
又， 所以 …………6分
（2）因为， …………8分
所以
，由，解得……12分
所以的面积 …………14分
（说明：用余弦定理处理的，仿此给分）
(阅卷规范说明：第一问中知值求角必须交代角的范围，否则扣1分.)
18．解：（1）①在中，，所以，所以……2分
在中，所以

其中 …………5分
②设，则在中，由与相似得，,
即，即，即，即即，化简得，其中 …………10分
（2）选择（1）中的第一个函数关系式研究.



令，得. …………14分
令,当时，，所以递减；
当时，，所以递增，所以当时，取得最小值，新建道路何时造价也最少 …………16分
（说明：本题也可以选择（1）中的第二个函数关系式求解，仿此给分）
(阅卷规范说明：第一问中有两个定义域，少交代或交代错误一个各扣1分；第二问中求最小值要交代单调性，否则扣2分，最后要交代结论，否则扣1分.)
19．解：（1） ，故当时，两式做差得， …………2分
由为正项数列知，，即为等差数列，故 …………4分
（2）由题意， ，化简得 ，所以 ，…………6分
所以，由题意知
恒成立，即恒成立，所以，解得 …………8分
（3）不妨设超过项，令，由题意，则有，
即 ………11分
带入，可得 （*），
若则，即为常数数列，与条件矛盾;
若，令得，令得，两式作商，可得，带入（*）得，即为常数数列，与条件矛盾，故这样的只有项 ……………16分
20．解：（1）①由，因函数有两个极值点，
所以两个不等的实数根， ……………2分
所以，即，又，所以，或. ……………4分
②因为函数在处的切线，
所以， ……………5分
联立方程组，即，
所以， ……………7分
整理得，解得或，
因与只有一个交点，所以，解得. ……………9分
（2）联立方程组，由②得，
即，方程有一根
因与有三个交点，
所以有两个不等实根， ……………11分
因与有三个交点且满足，
所以实数根满足，或，或， ……………12分
因为满足与有三个交点的任意实数，
令，则，解得，，
当时，得，，
此时，令，则，
解得，，不满足与，不符题意；
同理也不符题意； ……………14分
当时，由，得，
此时总满足，
为此只需有两个不等的实根即可，
所以，化简得，
综上所述，应满足条件与. ……………16分
（另解，仿解法一给分）
法二：同法一得有两个不等实根， ……11分
所以，
由，解得，，
此时，所以为常数，
不满足“为满足与有三个交点的任意实数”，故不符题意；
类似的也不符题意； ……………14分
余下同方法一.