第7章 锐角三角函数
7.6 第1课时 与坡度和坡角有关的问题
知识点 坡度与坡角的概念
1．图7－6－1是一水库大坝横断面的一部分，坝高h＝6 m，迎水坡AB＝10 m，斜坡AB的坡角为α，则tanα的值为( )
A. B. C. D.
图7－6－1
图7－6－2
2．如图7－6－2为河坝横断面的一部分，迎水坡AB的坡度为1∶，坝高BC＝3 m，则坡面AB的长度是( )
A．9 m B．6 m
C．6 m D．3 m
3．如图7－6－3，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )
A．2 m B．2 m
C．(2 －2) m D．(2 －2) m
图7－6－3
图7－6－4
4．如图7－6－4是河坝横断面的一部分，迎水坡AB的坡度是1∶，坝高BC＝5米，则坝底AC的长度是________米．
图7－6－5
5．如图7－6－5，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B.若AB＝2000米， 则他实际上升了________米．
6．2018·杨浦区一模 如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1∶________．
图7－6－6
7．教材第113页问题1变式 如图7－6－6，水库大坝的横截面是梯形，坝顶AD宽5米，坝高10米，斜坡CD的坡角为45°，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，那么坝底BC的长度为________米．
8．2017·海南 为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图7－6－7所示．已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)
图7－6－7
9．2017·长春 如图7－6－8，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求自动扶梯的水平距离AC的长．(结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.515，cos31°≈0.857，tan31°≈0.601)
图7－6－8
图7－6－9
10．如图7－6－9，水平面上有一个坡度i为1∶2的斜坡AB，矩形货柜DEFG放置在斜坡上．已知DE＝2.5 m，EF＝2 m，BF＝3.5 m，则点D离地面的高为________m．(结果保留根号)
11．某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图7－6－10)．如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长．
图7－6－10
12．2018·徐州 如图7－6－11，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽．(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.414，≈1.732)
图7－6－11
13．某地的一座人行天桥如图7－6－12所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶.
(1)求新坡面的坡角α；
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
图7－6－12
14．如图7－6－13，已知斜坡AB的长为60米，坡角(即∠BAC)为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)，修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.解答下面的问题：(下面两个小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732)
(1)若修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)不大于45°，则平台DE的长最多为多少米？
(2)一座建筑物GH距离坡脚点A27米远(即AG＝27米)，小明在点D测得∠HDM为30°.点B，C，A，G，H在同一个平面上，点C，A，G在同一条直线上，且GH⊥CG，建筑物GH的高为多少米？
图7－6－13
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第7章 锐角三角函数
7.6 第1课时 与坡度和坡角有关的问题
1．D 2.B
3．B [解析] 在Rt△ABD中，
∵sin∠ABD＝，
∴AD＝AB·sin∠ABD＝4sin60°＝2 (m)．
在Rt△ACD中，∵sin∠ACD＝，
∴AC＝＝2 ÷sin45°＝2 (m)．故选B.
4．5 [解析] ∵迎水坡AB的坡度是1∶，
∴BC∶AC＝1∶.∵BC＝5米，∴AC＝5 米．
5．1000
6．2.4 [解析] 由题意及勾股定理，得水平距离＝＝120(米)，则该斜坡的坡度i＝50∶120＝1∶2.4.
7．30
8．解：设BC＝x米．在Rt△ABC中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，
AB＝≈＝x.
在Rt△EBD中，∵i＝BD∶EB＝1∶1，
∴BD＝EB，∴CD＋BC＝AE＋AB，
即2＋x＝4＋x，
解得x＝12，∴BC＝12.
答：水坝原来的高度BC约为12米．
9．解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴AC＝AB·cos∠BAC≈12×0.857≈10.3(米)．
即自动扶梯的水平距离AC的长约为10.3米．
10．2 [解析] 过点D作DH⊥BC，垂足为H，且与AB相交于点S.∵∠DGS＝∠BHS，∠DSG＝∠BSH，∴∠GDS＝∠SBH，
∴tan∠GDS＝tan∠SBH，即＝.∵GD＝EF＝2 m，∴GS＝1 m，∴DS＝＝ m，BS＝BF＋FS＝3.5＋(2.5－1)＝5(m)．设HS＝x m，则BH＝2x m，∴x2＋(2x)2＝52，解得x＝，∴DH＝DS＋HS＝＋＝2 (m)．
11．解：在Rt△ADC中，∵AD∶DC＝1∶2.4，AC＝13米，∴DC＝2.4AD.
由AD2＋DC2＝AC2，得AD2＋(2.4AD)2＝132，∴AD＝5(米)(负值不合题意，舍去)，
∴DC＝12米．
在Rt△ABD中，∵AD∶BD＝1∶1.8，
∴BD＝5×1.8＝9(米)，
∴BC＝DC－BD＝12－9＝3(米)．
答：改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米．
12．解：在Rt△CDE中，∵sinC＝，cosC＝，∴DE＝sin30°·CD＝×14＝7(m)，CE＝cos30°·CD＝×14＝7 ≈12.124≈12.12(m)．∵四边形AFED是矩形，∴EF＝AD＝6 m，AF＝DE＝7 m．在Rt△ABF中，∵∠B＝45°，∴BF＝AF＝7 m，∴BC＝BF＋EF＋CE≈7＋6＋12.12＝25.12≈25.1(m)．
答：该坝的坝高为7 m，坝底宽约为25.1 m.
13．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶，
∴tanα＝tan∠CAB＝，∴∠α＝30°.
答：新坡面的坡角α为30°.
(2)文化墙PM不需要拆除．理由如下：
过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝6米．
∵坡面BC的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶，∴BD＝CD＝6米，AD＝6 米，
∴AB＝AD－BD＝(6 －6)米＜8米，
∴文化墙PM不需要拆除．
14．[解析] (1)依题意，当∠BEF＝45°时，可求得EF＝BF，而BF＝BD＝AB＝15米，所以DF＝15 米，所以DE＝15 －15≈10.98≈11.0(米)；(2)要求建筑物GH的高，可过点D作DP⊥AC，垂足为P，进而利用锐角三角函数求解．
解：(1)当∠BEF＝45°时，平台DE的长最大，此时EF＝BF，而BF＝BD＝AB＝15米，
所以DF＝15 米，
所以DE＝15 －15≈10.98≈11.0(米)．
答：平台DE的长最多约为11.0米．
(2)过点D作DP⊥AC，垂足为P.在Rt△DPA中，DP＝AD＝×30＝15(米)，PA＝AD·cos30°＝×30＝15 (米)．
在矩形DPGM中，MG＝DP＝15米，DM＝PG＝(15 ＋27)米．
在Rt△DMH中，HM＝DM·tan30°＝(15 ＋27)×＝(15＋9 )米，
所以GH＝MG＋HM＝15＋15＋9 ≈45.6(米)．
答：建筑物GH的高约为45.6米．
[7.6 第1课时 与坡度、坡角有关的问题]
一、选择题
1．图K－32－1是一水库大坝横断面的一部分，坝高h＝6 m，迎水斜坡AB＝10 m，斜坡AB的坡角为α，则tanα的值为( )
图K－32－1
A. B. C. D.
2．2017·温州如图K－32－2，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是( )
图K－32－2
A．5米 B．6米
C．6.5米 D．12米
3．如图K－32－3，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两棵树在坡面上的距离AB为( )
图K－32－3
A．5cosα米 B.米
C．5sinα米 D.米
4．某水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽AD＝6 m，坝高为24 m，斜坡AB的坡角是45°，斜坡CD的坡比i＝1∶2，则坝底BC的长是( )
A．(30＋8 )m B．(30＋24 )m
C．42 m D．78 m
二、填空题
5．如图K－32－4，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他距离地面高度h＝2米，则这个土坡的坡角∠A＝________°
图K－32－4
6．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2 米，则这个坡面的坡度为________．
7．2017·天门为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图K－32－5，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD，已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12 米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE＝，则CE的长为________米.
图K－32－5
三、解答题
8．2018·徐州如图K－32－6，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽(精确到0.1 m，参考数据：≈1.414，≈1.732)．
图K－32－6
9．某学校校园内有一小山坡，如图K－32－7所示，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB的长为12米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3(即CD与BC的长度之比)，A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.
图K－32－7
10．如图K－32－8，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC＝6米，坝高3.2米，迎水坡CD的坡度为i＝1∶2.为了提高水坝的拦水能力，需将水坝加高2米，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i＝1∶2变成i′＝1∶2.5(有关数据在图上已注明)，求加高后的坝底HD的长．
图K－32－8
11．如图K－32－9，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数，参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24)
图K－32－9
12．某地的一座天桥如图K－32－10所示，天桥的高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶.
(1)求新坡面的坡角α；
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
图K－32－10
建模思想2018·泰州日照间距系数反映了房屋日照情况．如图K－32－11①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L∶(H－H1)，其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．
如图②，山坡EF朝北，EF长为15 m，坡度为i＝1∶0.75(即EH∶FH＝1∶0.75)，山坡顶部平地EM上有一高为22.5 m的楼房AB，底部A到点E的距离为4 m.
(1)求山坡EF的水平宽度FH；
(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9 m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
图K－32－11
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] D 过点A作AC⊥BC于点C，可求得BC＝8 m，所以tanα＝，故选D.
2．[解析] A 如图，设AC＝13，过点C作CB⊥AB于点B.
∵cosα＝＝，∴AB＝12，
∴BC＝＝＝5，
∴小车上升的高度是5米．
故选A.
3．[解析] B 合理选择三角函数是解决问题的关键．
4．[解析] D 画出草图，作AF⊥BC于点F，DE⊥BC于点E，由条件分别求出BF，CE的长即可．
5．[答案] 30
[解析] sinA＝＝＝，所以∠A＝30°.
6．1∶2
7．[答案] 8
[解析] 过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥BC于点G，AF＝AB·sinB＝6 ，∴DG＝6 .在Rt△DCG中，利用勾股定理，得CG＝18.在Rt△DEG中，tanE＝＝＝，∴GE＝26，∴CE＝GE－CG＝26－18＝8(米)．
8．解：如图，分别过点A，D作AF⊥BC，DE⊥BC，垂足分别为F，E，则四边形AFED是矩形．
在Rt△CDE中，
∵sinC＝，cosC＝，
∴DE＝sin30°·CD＝×14＝7(m)，
CE＝cos30°·CD＝×14＝7 ≈12.124≈12.12(m)．
∵四边形AFED是矩形，
∴EF＝AD＝6 m，AF＝DE＝7 m.
在Rt△ABF中，
∵∠B＝45°，
∴BF＝AF＝7 m，
∴BC＝BF＋EF＋CE≈7＋6＋12.12＝25.12≈25.1(m)．
答：该坝的坝高为7 m，坝底宽约为25.1 m.
9．[解析] 因为AD＝AC－CD，故欲求AD，只需先求AC，CD.为此可先解Rt△ABC，求出BC，再根据坡比即可求出CD.
解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝6米，BC＝AB·cos∠ABC＝12×＝6 (米)．
∵斜坡BD的坡比是1∶3，
∴CD＝BC＝2 米，
∴AD＝AC－CD＝(6－2 )米．
答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6－2 )米．
10．[解析] 应把所求的HD进行合理分割，过点E作EF⊥HD于点F，过点M作MN⊥HD于点N，HD＝HN＋NF＋FD，可利用Rt△HMN和Rt△DEF来求解．
解：过点M作MN⊥HD，过点B作BG⊥HD，过点E作EF⊥HD，垂足分别为N，G，F.
∵BG＝3.2米，
∴加高后MN＝EF＝5.2米，
ME＝NF＝BC＝6米．
在Rt△HMN和Rt△DEF中，
＝，＝，
∴HN＝MN＝13米，FD＝2EF＝10.4米，∴HD＝HN＋NF＋FD＝13＋6＋10.4＝29.4(米)．
答：加高后的坝底HD的长为29.4米．
11．[解析] 假设点D移到D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，过点D′作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE，CE，CE′的长，进而可得出结论．
解：假设点D移到D′的位置时，∠α＝39°.如图，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，过点D′作D′E′⊥AC，交AC的延长线于点E′.
∵CD＝12米，∠DCE＝60°，
∴DE＝CD·sin60°＝12×＝6 (米)，CE＝CD·cos60°＝12×＝6(米)．
∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，
∴四边形DEE′D′是矩形，
∴D′E′＝DE＝6 米．
∵∠D′CE′＝39°，
∴CE′＝≈≈12.8，
∴EE′＝CE′－CE≈12.8－6＝6.8≈7(米)．
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
12．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶，
∴tanα＝tan∠CAB＝＝，∴α＝30°.
答：新坡面的坡角α为30°.
(2)文化墙PM不需要拆除．理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝6.
∵坡面BC的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶，
∴BD＝CD＝6，AD＝6 ，
∴AB＝AD－BD＝6 －6＜8，
∴文化墙PM不需要拆除．
[素养提升]
解：(1)∵iEF＝1∶0.75＝＝，∴可设EH＝4x m，FH＝3x m，则EF＝＝5x＝15 m，
∴x＝3，∴FH＝9 m，即山坡EF的水平宽度FH为9 m.
(2)如图，延长BA，FH交于点G，则AG＝EH＝12 m，GH＝AE＝4 m，∴BG＝AB＋AG＝22.5＋12＝34.5(cm)．
设CF＝y m，则CG＝CF＋FH＋GH＝y＋9＋4＝(y＋13)m.
由题意知CG∶(BG－CP)≥1.25，
∴≥1.25，解得y≥29，
∴底部C距F处至少29 m远．
第7章 锐角三角函数
7.6 第2课时 与圆有关的问题
知识点 与圆有关的问题
1．如图7－6－14，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA＝30°，则OB的长为( )
A．4 B．4 C．2 D．2
图7－6－14
图7－6－15
2．某资料曾记载一种计算地球与月球之间距离的方法，如图7－6－15，假设赤道上有一点C，∠ACB＝90°，可以测量∠A的度数，则AB等于( )
A. B．AC·cosA
C. D．AC·sinA
3．小李到公园游玩时去坐大型摩天轮，摩天轮的半径为20 m，匀速转动一周需要12 min，小李乘坐最底部的车厢(离地面1 m)，经过2 min后到达点Q(如图7－6－16所示)，则此时他离地面的高度是( )
A．10 m B．11 m
C. m D．(＋1)m
图7－6－16
图7－6－17
4．如图7－6－17，某航天飞船在地球表面点P的正上方A处，从A处观测地球上的最远点Q，若∠QAP＝α，地球半径为R，则航天飞船距离地球的最近距离AP及P，Q两点间的地面距离分别是( )
A.， B.－R，
C.－R， D.，
5．小聪有一块含有30°角的三角尺，他想只利用量角器来测量较短直角边的长度，于是他采用如图7－6－18的方法，小聪发现点A处的三角尺读数为12 cm，点B处的量角器的读数为74°，由此可知三角尺的较短直角边的长度约为________cm.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
图7－6－18
图7－6－19
6．林业员为调查树木的生长情况，常用一种角卡为工具，可以很快测出大树的直径，其工作原理如图7－6－19.现已知∠BAC＝53°8′，AB＝0.5米，则这棵大树的直径约为________米．(参考数据：tan53°8′≈1.33，tan26°34′≈0.50，结果精确到0.1米)
7．如图7－6－20是放置在桌面上的地球仪截面图，半径OC所在的直线与桌面垂直，垂足为E，点A，B为地球仪的南、北极，直线AB与桌面交于点D，所成的∠EDB为53°，量得DE＝15 cm，AD＝14 cm，求半径OA的长．(参考数据： sin53°≈0.80, cos53°≈0.60, tan53°≈1.33)
图7－6－20
8．如图7－6－21，图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图②.已知铁环的半径为25 cm，设铁环中心为O，铁环钩与铁环的相切点为M，铁环与地面的接触点为A，∠MOA＝α，且sinα＝.若人站立点C与点A的水平距离AC等于55 cm，则铁环钩MF的长度为( )
图7－6－21
A．46 cm B．48 cm C．50 cm D．52 cm
9．如图7－6－22表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，点A距桌面的高度为10厘米．如图②，若此钟面显示3点45分时，点A距桌面的高度为16厘米，则钟面显示3点50分时，点A距桌面的高度为________厘米．
图7－6－22
图7－6－23
10．一颗位于地球上空的气象卫星S，对地球上某区域的天气情况进行监测，如图7－6－23，当卫星S位于地球表面上点A的正上方时，其监测区域的最远点为B.已知被监测区域中，A，B两点间的地表距离(即的长)约为1730 km，则卫星S距地球表面的高度SA约是________km.(结果取整数，π取3.14，地球的半径约为6400 km)
11．某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图7－6－24所示，秋千拉绳OB的长为3 m，静止时，踏板到地面的距离BD的长为0.6 m(踏板厚度忽略不计)．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为h m，成人的“安全高度”为2 m．(计算结果精确到0.1 m)
(1)当摆绳OA与OB成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h≈________m；
(2)某成人在玩秋千时，摆绳OC与OB的最大夹角为55°，此人是否安全(参考数据：≈1.41, sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)?
图7－6－24
12．如图7－6－25，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离点O80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以点P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近，噪声影响越大．已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．
(1)求对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；
(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．
图7－6－25
13．五一期间，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20 m，旋转1周需要10 min.小明乘坐最底部的车厢(离地面约0.5 m)开始1周的观光．
请探索下列问题：
(1)摩天轮启动多长时间后，小明到达观光的最高点？此时小明离地面的高度是多少？
(2)从最底部开始，经过多长时间，小明离地面的高度第一次达到10 m(精确到0.01 min)?
(3)在旋转一周的过程中，小明有多长时间保持在离地面20 m以上的空中(精确到0.01 min)?
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第7章 锐角三角函数
7.6 第2课时 与圆有关的问题
1．B
2．A [解析] 在Rt△ABC中，因为∠C＝90°，所以cosA＝，所以AB＝.
3．B [解析] 过点Q作QB⊥EF，交EF于点B，作QC⊥AO于点C.
∵QB⊥EF，QC⊥AO，OA⊥EF，
∴∠ACQ＝∠ABQ＝∠OAB＝90°，
∴四边形ACQB是矩形，∴AC＝BQ.
∵转动一周需要12 min，
∴∠COQ＝×360°＝60°，
∴∠CQO＝30°，
∴OC＝OQ＝10 m，
∴BQ＝AC＝OA－OC＝20＋1－10＝11(m)．
故选B.
4．B [解析] 连接OQ，根据切线的性质可知OQ⊥AQ.在Rt△AOQ中，sin∠QAP＝，所以AO＝，所以AP＝AO－PO＝－R，l＝＝.
5．9 [解析] 如图所示，连接圆心O和点B，则OA＝OB.由题意可知∠BOC＝2∠CAB＝74°，∴在Rt△ABC中，∠BAC＝37°.∵AB＝12，tan∠BAC＝，∴BC＝ABtan37°≈12×0.75＝9.∴短直角边的长度约为9 cm.
6．0.5 [解析] 由题意可知∠OAB＝∠BAC＝26°34′，
∴OB＝AB·tan∠OAB＝0.5·tan26°34′≈0.25(米)，
∴这棵大树的直径为2OB≈0.5(米)．
7．解：在Rt△ODE中，DE＝15 cm，∠ODE＝53°，
∵ cos∠ODE＝，
∴OD≈＝25(cm)，
∴OA＝OD－AD≈25－14＝11(cm)．
答：半径OA的长约为11 cm.
8．C [解析] 过点M作与AC平行的直线，与OA，FC分别相交于点H，N.在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OM＝25，HM＝OM·sinα＝15，∴OH＝20，MB＝HA＝25－20＝5.
∵铁环钩与铁环相切，∴∠MOH＋∠OMH＝∠OMH＋∠FMN＝90°，∴∠FMN＝∠MOH＝α，∴＝sinα＝，∴FN＝MF.
在Rt△FMN中，∠FNM＝90°，MN＝BC＝AC－AB＝55－15＝40.
∵△FMN为直角三角形，∴MF2＝FN2＋MN2，即MF2＝(MF)2＋402，解得FM＝50(负值已舍去)，
∴铁环钩MF的长度为50 cm，故选C.
9．19 [解析] ∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，点A距桌面的高度为10厘米，
∴AD＝10厘米．
∵钟面显示3点45分时，点A距桌面的高度为16厘米，
∴A′C＝16厘米，∴AO＝A″O＝6厘米．
∵钟面显示3点50分时，∠A″OA′＝30°，
∴FA″＝3厘米，∴点A″距桌面的高度为16＋3＝19(厘米)．故答案为19.
10．242
[解析] 如图所示，连接OB，可知OB⊥SB，即△BOS为直角三角形，要求出SA，必须先求SO.设∠BOS＝n°，由题意得1730＝，
即1730≈，
解得n≈15.5.
在Rt△OBS中，cos∠BOS＝，
∴OS≈＝≈6641.6(km)，
∴SA＝SO－AO≈242(km)，
即卫星S距地球表面的高度约是242 km.
11．解：(1)如图，过点A作AN⊥OB于点N.
在Rt△ANO中，∠ANO＝90°，
∴cos∠AON＝，
∴ON＝OA· cos∠AON.
∵OA＝OB＝3 m，∠AON＝45°，
∴ON＝3· cos45°≈2.12(m)，
∴ND＝OB＋BD－ON≈3＋0.6－2.12≈1.5(m)，
∴h＝ND≈1.5 m．故答案为1.5.
(2)如图，过点C作CM⊥FD，交FD的延长线于点M，作CE⊥OD于点E.
在Rt△CEO中，∠CEO＝90°，
∴cos∠COE＝，
∴OE＝OC·cos∠COE.
∵OC＝OB＝3 m，∠COE＝55°，
∴OE＝3·cos55°≈1.71(m)，
∴ED＝OB＋BD－OE≈3＋0.6－1.71≈1.9(m)，
∴CM＝ED≈1.9 m.
∵成人的“安全高度”为2 m，
∴此人是安全的．
12．解：(1)过点A作ON的垂线段，交ON于点P.
如图①，在Rt△AOP中，∠APO＝90°，∠POA＝30°，OA＝80米，
所以AP＝80×sin30°＝80×＝40(米)，
即对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离是40米．
(2)以点A为圆心，50米长为半径画弧，交ON于D，E两点．
如图②，在Rt△ADP中，∠APD＝90°，AP＝40米，AD＝50米，
所以DP＝＝＝30(米)．
同理可得EP＝30米，所以DE＝60米．
又因为18千米/时＝5米/秒，
所以＝12(秒)．
故卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．
13．[解析] (1)如图①，延长BO交⊙O于点E，则点E为观光的最高点，此时小明恰好旋转半个圆周，所以经过5 min，此时离地面40.5 m；
(2)由题意可知，摩天轮每分钟旋转36°，欲求旋转时间，需求旋转角∠BOC.在Rt△ODC中，OD＝20.5－10＝10.5(m)，OC＝20 m，故∠BOC的度数可求，进而求得旋转时间t＝；
(3)将第(2)题中的10 m 改为20 m，求得旋转时间为t′，故在20 m以上的空中的时间为(10－2t′)min.
解： (1)如图①，延长BO交⊙O于点E，则点E为观光的最高点，小明从点B到达点E恰好旋转了半个圆周，则摩天轮启动5 min后，小明到达观光的最高点，此时小明离地面的高度为40.5 m.
(2)如图②，设点C为小明离地面10 m 处的位置，过点C作CD⊥OB，垂足为D，
∴OD＝20＋0.5－10＝10.5(m)，
∴cos∠DOC＝＝，
解得∠DOC≈58.332°.
∵摩天轮每分钟旋转36°，
∴t＝≈1.62(min)．
则从最底部开始，经过约1.62 min后，小明离地面的高度第一次达到10 m.
(3)如图②，设点C为小明离地面20 m处的位置，
∴OD＝20＋0.5－20＝0.5(m)，
∴cos∠DOC＝＝，
解得∠DOC≈88.567°.
∴10－2×≈5.08(min)．
答：在旋转一周的过程中，小明约有5.08 min保持在离地面20 m以上的空中．
[7.6 第2课时 与圆有关的问题]
一、选择题
1．如图K－33－1所示，已知⊙O的半径为1，AB与⊙O相切于点A，OB与⊙O交于点C，CD⊥OA，垂足为D，则cos∠AOB的值等于( )
图K－33－1
A．OD B．OA C．CD D．AB
2．图K－33－2是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，O是横板AB的中点，AB可以绕着点O上下转动，当A端落地时，∠OAC＝20°，横板上下可转动的最大角度(即∠A′OA)是( )
图K－33－2
A．80° B．60° C．40° D．20°
3．如图K－33－3①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，点A距桌面的高度为10厘米．如图K－33－3②，若此钟面显示3点45分时，点A距桌面的高度为16厘米，则钟面显示3点50分时，点A距桌面的高度为( )
图K－33－3
A．(22－3 )厘米 B．(16＋π)厘米
C．18厘米 D．19厘米
二、填空题
4．林业工人为调查树木的生长情况，常用一种角卡工具测量大树的直径，其工作原理如图K－33－4.现已知∠BAC＝53°8′，AB＝0.5米，则这棵大树的直径约为________米．
(O为大树直径的中点，参考数据：tan26°34′≈0.5)
图K－33－4
5．某落地钟钟摆长为0.5 m，来回摆到最大，夹角为20°，已知在钟摆的摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为a m，最高高度为b m，则b－a＝________m．(结果精确到0.0001 m，参考数据：cos10°≈0.985)
6．小聪有一块含有30°角的三角尺，他想只利用量角器来测量较短直角边的长度，于是他采用如图K－33－5的方法，小聪发现点A处的三角尺读数为12 cm，点B处的量角器的读数为74°和106°，由此可知三角尺的较短直角边的长度约为________cm.(参考数据：tan37°≈0.75)
图K－33－5
7．一颗位于地球上空的气象卫星S，对地球上某区域天气系统的形成和发展进行监测．如图K－33－6，当卫星S位于地球表面上点A的正上方时，其监测区域的最远点为点B，已知被监测区域中A，B两点间距离(即的长)约为1730 km，则卫星S距地球表面的高度SA约是________km.(结果取整数，π取3.14，地球的半径约为6400 km)
图K－33－6
三、解答题
8．2018·河南模拟如图K－33－7，旗杆AB顶端系一根绳子AP，绳子底端离地面的距离为1 m，小明将绳子拉到AQ的位置，测得∠PAQ＝25°，此时点Q离地面的高度为1.5 m，求旗杆的高度．(参考数据：cos25°≈0.9)
图K－33－7
9．如图K－33－8，某幼儿园要在围墙的附近安装一套秋千．已知秋千顶端与地面的距离OA＝2米，秋千摆动时距地面的最低距离AB＝0.4米，秋千摆动到最高点C时，OC与铅垂线OA的夹角∠COA＝55°.使用时要求秋千摆动的最高点C与围墙DE之间的距离CD＝0.8米．那么秋千固定点A应距围墙DE多远？(提示：sin55°≈0.82)
图K－33－8
10．如图K－33－9①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景．图②是小明锻炼时上半身由EN位置运动到与地面垂直的EM位置时的示意图．已知BC＝0.64米，AD＝0.24米，α＝18°.(sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)
(1)求AB的长(精确到0.01米)；
(2)若测得EN＝0.8米，试计算小明头顶由N点运动到点M的路径()的长度(结果保留π)．
图K－33－9
某地质公园为了方便游客，计划修建一条栈道BC连接两条进入观景台OA的栈道AC和OB，其中AC⊥BC，同时为减少对地质地貌的破坏，设立一个圆形保护区⊙M(如图K－33－10所示)，M是OA上一点，⊙M与BC相切，观景台的两端A，O到⊙M上任意一点的距离均不小于80米．在直角坐标系中，经测量，OA＝60米，OB＝170米，tan∠OBC＝.
(1)求栈道BC的长；
(2)当点M位于何处时，可以使该圆形保护区的面积最大？
图K－33－10
详解详析
[课堂达标]
1．A 2.C
3．[解析] D
如图，过点A″作A″E⊥OA′于点E，过点A′作A′C⊥桌面于点C.∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10厘米，∴AD＝10厘米．∵钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16厘米，∴A′C＝16厘米，∴AO＝A″O＝6厘米．则钟面显示3点50分时，∠A″OA′＝30°，∴A″E＝3厘米，∴A″点距桌面的高度为16＋3＝19(厘米)．故选D.
4．[答案] 0.5
[解析] 由题意可知∠OAB＝∠OAC＝26°34′，且OB＝AB·tan∠OAB＝0.5·tan26°34′≈0.25(米)，∴树的直径为2OB≈0.5米．
5．[答案] 0.0075
[解析] 如图，作AC⊥OD于点C.依题意得OA＝OB＝0.5 m，∠AOB＝10°，AE＝b m，BD＝a m．在Rt△ACO中，OC＝OA·cos10°，∴b－a＝BC＝OB－OC＝0.5－OA·cos10°＝0.5－0.5cos10°≈0.0075(m)．
6．[答案] 16
7．[答案] 242
[解析] 如图所示，设O为所在圆的圆心，连接AO，BO，由题意可知OB⊥SB，即△OSB为直角三角形，要求出SA，必须先求SO，而SO的长度需借助OB，利用三角函数来解答．具体的解答过程如下：
设所在圆的圆心为点O，连接OA，OB，则O，A，S在同一直线上．
设∠BOS＝n°，由题意可知SB与⊙O相切，
∴SB⊥OB.
又∵1730＝，即1730≈，
解得n≈15.5.
在Rt△OBS中，∵cos∠BOS＝，
∴OS＝＝≈6642(km)，
∴SA＝OS－OA≈6642－6400＝242(km)，
即卫星S距地球表面的高度SA约是242 km.
8．解：如图，过点Q作QM⊥AP交AP于点M.
设AP＝x m，则AQ＝x m，AM＝(x－0.5) m.
在Rt△AMQ中，cos25°＝＝≈0.9，
解得x＝5，经检验，x＝5是分式方程的解，且符合题意，
∴x＋1＝6.
答：旗杆的高度为6 m.
9．[解析] 延长DC交OA于点F，在Rt△OFC中，利用已知条件求出CF的长即可得到DF，进而求出AE的长．
解：如图，延长DC交OA于点F.
∵CD⊥DE，AE⊥DE，OA⊥AE，
∴四边形DEAF是矩形，
∴CF⊥OB，DF＝AE.
∵AB＝0.4米，OA＝2米，
∴OC＝OB＝2－0.4＝1.6(米)．
∵sin∠COA＝，
∴CF＝OC·sin55°≈1.6×0.82＝1.312(米)，
∴AE＝DF＝CD＋CF≈0.8＋1.312＝2.112(米)．
答：秋千固定点A应距围墙DE2.112米．
10．解：(1)如图，过点A作AF⊥BC于点F，
∴BF＝BC－AD＝0.4米，
∴AB＝BF÷sin18°≈1.29(米)．
(2)∵∠NEM＝90°＋18°＝108°，
∴的长为＝0.48π(米)．
[素养提升]
解：(1)如图①，过点C作CE⊥OB于点E，过点A作AF⊥CE于点F.
∵∠ACB＝90°，∠BEC＝90°，
∴∠ACF＝∠OBC，
∴tan∠ACF＝tan∠OBC＝.
设AF＝4x，则CF＝3x.
∵∠AOE＝∠AFE＝∠OEF＝90°，
∴四边形OEFA为矩形，
∴OE＝AF＝4x，EF＝OA＝60，
∴CE＝3x＋60.
∵tan∠OBC＝＝，
∴BE＝CE＝x＋45，
从而OB＝OE＋BE＝4x＋x＋45，
即4x＋x＋45＝170，解得x＝20，
∴CE＝120，BE＝90，
∴BC＝＝150.
故栈道BC的长为150米．
(2)如图②，设BC与⊙M相切于点Q，延长QM交直线BO于点P.
∵∠POM＝∠PQB＝90°，
∴∠PMO＝∠OBC.
∵tan∠OBC＝，
∴tan∠PMO＝.
设OM＝x，则OP＝x，PM＝x，
∴PB＝x＋170.
在Rt△PQB中，tan∠PBQ＝＝，
∴＝，
∴PQ＝＝x＋136.
设⊙M的半径为R，
则R＝MQ＝x＋136－x＝136－x.
∵A，O到⊙M上任意一点的距离均不小于80米，
∴R－AM≥80，R－OM≥80，
∴
解得10≤x≤35，
∴当x＝10时，R取得最大值，
即OM＝10米时圆形保护区的面积最大．
第7章 锐角三角函数
7.6 第3课时 与仰角、俯角和方向角有关的问题
知识点 1 仰角和俯角
图7－6－26
1．2018·长春 如图7－6－26，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为( )
A．800sinα米 B．800tanα米
C.米 D.米
2．如图7－6－27所示，课外活动中，小芸在与旗杆AB的距离为10米的C处，用测角仪测得旗杆顶部A的仰角为45°.已知测角仪的高CD＝1.5米，则旗杆AB的高是________米．
图7－6－27
图7－6－28
3．2017·邵阳 如图7－6－28，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达点A时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，仰角是30°.n秒后，火箭到达点B，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度为________km.
4．2018·达州 在数学实验活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．如图7－6－29，用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得雕塑顶端点C的仰角为45°.则该雕塑有多高？(测角仪高度忽略不计，结果不取近似值)
图7－6－29
知识点 2 方向角
5．2017·百色 如图7－6－30，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上，10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这列动车的平均车速是( )
A．20(1＋)米/秒 B．20(－1)米/秒
C．200米/秒 D．300米/秒
图7－6－30
图7－6－31
6．如图7－6－31，一轮船由南向北航行到O处时，发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33°方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船________(填“有”或“没有”)触暗礁的危险．
7．2017·青岛 如图7－6－32，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520 km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．(结果保留整数)
(参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73)
图7－6－32
8．2018·潍坊 如图7－6－33，一艘渔船正以60海里/时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/时的速度继续航行________小时即可到达．(结果保留根号)
图7－6－33
图7－6－34
9．如图7－6－34所示，在甲楼的底部B处测得乙楼的顶部D点的仰角为α，在甲楼的顶部A处测得乙楼的顶部D点的俯角为β.如果甲、乙两楼之间的水平距离BC为10米，那么甲楼的高AB＝______________米．(用含α，β的代数式表示)
10．如图7－6－35，为了测出旗杆AB的高度，在旗杆前的平地上选择一点C，测得旗杆顶部A的仰角为45°，在C，B之间选择一点D(C，D，B三点共线)，测得旗杆顶部A的仰角为75°，且CD＝8 m.
(1)求点D到AC的距离；
(2)求旗杆AB的高．
(注：结果保留根号)
图7－6－35
11．2018·襄阳 为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处，此时测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图7－6－36所示，求建筑物P到赛道AB的距离．(结果保留根号)
图7－6－36
12．2017·连云港 如图7－6－37，湿地景区岸边有三个观景台A，B，C，已知AB＝1400米，AC＝1000米，点B位于点A的南偏西60.7°方向，点C位于点A的南偏东66.1°方向．
(1)求△ABC的面积；
(2)景区规划在线段BC的中点D处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD，试求A，D之间的距离(结果精确到0.1米)．
(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin60.7°≈0.87，cos60.7°≈0.49，sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，≈1.414)
图7－6－37
/ 教 师 详 解 详 析 /
第7章 锐角三角函数
7.6 第3课时 与仰角、俯角和方向角有关的问题
1．D [解析] 由题中条件可知，在Rt△ABC中，∠ABC＝α，AC＝800米，tanα＝，可得AB＝米．
2．11.5 [解析] ∵小芸在与旗杆AB的距离为10米的C处，用测角仪测得旗杆顶部A的仰角为45°，∴AE＝DE＝10米．
∵测角仪的高CD＝1.5米，∴旗杆AB的高是10＋1.5＝11.5(米)．
3．(20 －20) [解析] 在Rt△ALR中，先根据AR＝40 km，∠ARL＝30°，求出AL＝20 km和LR＝20 km，再在Rt△BLR中，求出BL＝LR＝20 km，所以火箭在这n秒中上升的高度AB＝BL－AL＝(20 －20)km.
4．解：设雕塑的高CD为x米．
在Rt△ACD中，AD＝米，在Rt△BCD中，BD＝＝x米，根据题意，得AD－BD＝4米，即－x＝4，解得x＝2 ＋2.
答：雕塑的高CD为(2 ＋2)米．
5．A [解析] 过点B作BD⊥AC于点D，则BD＝200，∠CBD＝45°，∠ABD＝60°，∴在Rt△ABD中，AD＝200 ；在Rt△BCD中，DC＝200，∴AC＝DC＋AD＝200＋200 ，∴动车的平均速度是(200＋200 )÷10＝20＋20 ＝20(1＋)米/秒．
6．没有 [解析] 过点A作轮船航线的垂线，垂足为B.∵OA＝40海里，∠AOB＝33°，∴AB＝40·sin33°≈21.79海里＞20海里，∴轮船没有触暗礁的危险．
7．解：过点B作BD⊥AC于点D.
在Rt△ABD中，AB＝520，∠ABD＝67°，
sin67°＝＝≈，解得AD≈480，
cos67°＝＝≈，解得BD≈200.
在Rt△CBD中，BD≈200，∠CBD＝30°，
tan30°＝≈＝≈，
解得DC≈115.
故AC＝AD＋DC≈480＋115＝595(km)．
答：A地到C地之间高铁线路的长约为595 km.
8. [解析] 过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，过点M作MN⊥AB，垂足为N.
由题意，得AB＝60×1.5＝90(海里)．
设PQ＝MN＝x海里，由点P在点A的东北方向，可知∠PAQ＝45°，∴AQ＝PQ＝x海里，BQ＝(x－90)海里．
在Rt△PBQ中，∠PBQ＝90°－30°＝60°，
∴tan60°＝，即＝，
解得x＝135＋45 .
在Rt△BMN中，∠MBN＝90°－60°＝30°，
∴BM＝2MN＝2×(135＋45 )＝(270＋90 )海里，
∴航行时间为＝(时)．
9．10(tanα＋tanβ)
[解析] 如图，过点A作AH⊥CD，交CD的延长线于点H，则AH＝BC＝10.
在Rt△DBC中， tan∠DBC＝，
∴CD＝BC·tan∠DBC＝10tanα.在Rt△AHD中， tan∠DAH＝，
∴DH＝AH·tan∠DAH＝10tanβ，∴AB＝CH＝CD＋DH＝10tanα＋10tanβ＝10(tanα＋tanβ)米．
10．解：(1)过点D作DE⊥AC于点E.在Rt△CDE中， sinC＝，∴DE＝CD·sinC＝8×sin45°＝4 (m)．
答：点D到AC的距离为4 m.
(2)在Rt△CDE中，∵∠C＝45°，∴△CDE为等腰直角三角形，∴CE＝DE＝4 m.
∵∠ADB＝75°，∠C＝45°，
∴∠EAD＝∠ADB－∠C＝30°.
在Rt△ADE中，tan∠EAD＝，
∴AE＝＝4 m，
∴AC＝AE＋CE＝(4 ＋4 )m.
在Rt△ABC中， sinC＝，
∴AB＝AC·sinC＝(4 ＋4 )·sin45°＝(4 ＋4)m.
答：旗杆AB的高为(4 ＋4)m.
11．解：过点P作PC⊥AB于点C，
由题意知∠PAC＝60°，∠PBC＝30°.
在Rt△PAC中，＝tan∠PAC，
∴AC＝PC.
在Rt△PBC中，＝tan∠PBC，
∴BC＝PC.
∵AB＝AC＋BC＝PC＋PC＝10×40＝400，
∴PC＝100 (米)．
答：建筑物P到赛道AB的距离为100 米．
12．解：(1)如图，过点C作CE⊥BA，交BA的延长线于点E.
在Rt△AEC中，∠CAE＝180°－60.7°－66.1°＝53.2°，
∴CE＝AC·sin53.2°≈1000×0.80＝800(米)，
∴S△ABC＝·AB·CE≈×1400×800＝560000(米2)．
(2)连接AD，过点D作DF⊥AB于点F，则DF∥CE.
∵BD＝CD，DF∥CE，
∴BF＝EF，DF＝CE≈400米．
∵AE＝AC·cos53.2°≈600米，
∴BE＝AB＋AE≈2000米，
∴AF＝BE－AE≈400米．
在Rt△ADF中，AD＝≈400 ≈565.6(米)．
[7.6 第3课时 与仰角、俯角和方向角有关的问题]
一、选择题
1．如图K－34－1，某飞机于空中A处探测到地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α＝30°，飞机的飞行高度AC＝1200米，则飞机到目标B的距离AB为( )
图K－34－1
A．1200米 B．2400米
C．400 米 D．1200 米
2.如图K－34－2，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C之间的距离是( )
图K－34－2
A．12 海里 B．6 海里
C．6海里 D．4 海里
3．2018·绵阳一艘在南北航线上的测量船，于A点测得海岛B在点A的南偏东30°的方向上，继续向南航行30海里到达点C时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向上，那么海岛B离此航线的最近距离是(结果保留小数点后两位，参考数据：≈1.732，≈1.414)( )
A．4.64海里 B．5.49海里
C．6.12海里 D．6.21海里
4．2017·重庆如图K－34－3，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( )
图K－34－3
A．29.1米 B．31.9米
C．45.9米 D．95.9米
二、填空题
5．2017年5月1日，某地国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图K－34－4，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点之间的距离是________米．
图K－34－4
6．如图K－34－5，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B之间的距离约是________海里．(结果精确到个位，≈1.4，≈1.7，≈2.4)
图K－34－5
7．2017·山西如图K－34－6，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测量仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度约为________米．(结果保留一位小数．参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)
图K－34－6
8.2017·葫芦岛如图K－34－7，一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向上，继续航行到达B处，测得灯塔P在它的东北方向上，若灯塔P正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为________海里(结果保留根号)．
图K－34－7
三、解答题
9．2018·南通如图K－34－8，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶12千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．(结果保留根号)
图K－34－8
10．2018·宿迁如图K－34－9，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进10 m到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C.
(1)求∠BPQ的度数；
(2)求树PQ的高度(结果精确到0.1 m，≈1.73).
图K－34－9
某水库大坝的横截面是如图K－34－10所示的四边形BADC，其中AB∥CD.瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M，N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角α＝31°，观测渔船N的俯角β＝45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，PE的长为30米．
(1)求两渔船M，N之间的距离(结果精确到1米)；
(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25.为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽3米，背水坡FH的坡度i＝1∶1.5，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？
(参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52)
图K－34－10
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] B 在Rt△ABC中，∠ABC＝α＝30°，AC＝1200米，
∴AB＝2AC＝2400米．故选B.
2．[解析] D 由已知得∠BAC＝90°－60°＝30°，在Rt△ABC中，BC＝AB·tan30°＝12×＝4 (海里)．故选D.
3．B [解析] 根据题意，作图如下，其中∠BAC＝30°，∠BCA＝15°，AC＝30海里．过点B作BE⊥AC，垂足为E，作BC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点F，所以DB＝DC，∠BDE＝30°.设BE＝x海里，则AE＝DE＝x海里，CD＝BD＝2x海里，根据AC＝30海里，可得2 x＋2x＝30，解得x＝≈5.49.
4．[解析] A 过点D作DE⊥BC，垂足为E，解直角三角形CDE，得DE＝75米，CE＝180米，根据BC＝306米可求得BE＝126米，过点A作AF⊥DE，所以AF＝BE＝126米．因为∠DAF＝20°，根据tan20°≈0.364，即＝≈0.364，求得DF≈45.864米，所以AB＝DE－DF≈75－45.864≈29.1(米)．
5．[答案] (200＋200 )
[解析] ∵∠CDA＝∠CDB＝90°，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴AD＝·CD＝200 ，BD＝CD＝200，
∴AB＝AD＋BD＝(200＋200 )米．
6．[答案] 24
[解析] 如图，过点B作BH⊥AC于点H.
∵∠BAC＝180°－70°－50°＝60°，∠ABC＝25°＋50°＝75°，
∴∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°.
在Rt△ABH中，AB＝20×1＝20(海里)，
∠BAC＝60°，BH＝AB·sin60°＝20×＝10 (海里)．
在Rt△BCH中，∠ACB＝45°，BC＝＝＝10 ≈24(海里)，故答案为24.
7．15.3
8．[答案] (4 －4)
[解析] 根据题意，得PC＝4海里，∠PBC＝90°－45°＝45°，∠PAC＝90°－60°＝30°.
在Rt△APC中，
∵∠PAC＝30°，∠C＝90°，
∴AC＝PC＝4 海里．
在Rt△BPC中，
∵∠PBC＝45°，∠C＝90°，
∴BC＝PC＝4海里，
∴AB＝AC－BC＝(4 －4)海里．
故答案为(4 －4)．
9．解：如图，过点B作BH⊥AC于点H.
由题意得，∠CBH＝45°，∠BAH＝60°.
在Rt△BAH中，BH＝AB·sin∠BAH＝6 千米．
在Rt△BCH中，BC＝＝＝6 (千米)．
答：B，C两地的距离为6 千米．
10．解：(1)∠BPQ＝90°－60°＝30°.
(2)设PC＝x m.
在Rt△APC中，∠PAC＝45°，
∴AC＝PC＝x m.
在Rt△BPC中，∵∠BPC＝30°，
∴BC＝PC＝x m.
∵AB＝AC－BC，
∴x－x＝10，解得x＝15＋5 ，
则BC＝(5 ＋5)m.
在Rt△BCQ中，∵∠QBC＝30°，
∴QC＝BC＝×(5 ＋5)＝(5＋ )m，
∴PQ＝PC－QC＝15＋5 －(5＋)＝10＋≈15.8(m)．
答：树PQ的高度约为15.8 m.
[素养提升]
解：(1)在Rt△PEN中，∵∠PNE＝45°，
∴EN＝PE＝30米．
在Rt△PEM中，∵∠PME＝31°，
∴ME＝≈50米，
∴MN＝ME－EN≈20米．
答：两渔船M，N之间的距离约为20米．
(2)过点F作FG∥AD交AH于点G，过点F作FK⊥AH交直线AH于点K，则四边形DFGA为平行四边形，∠FGA＝∠DAB，AG＝DF＝3米．
由题意知tan∠FGA＝tan∠DAB＝4，tanH＝.
在Rt△FKH中，KH＝＝＝36(米)．
在Rt△FKG中，KG＝＝＝6(米)，
故HG＝KH－KG＝36－6＝30(米)，
∴AH＝AG＋HG＝3＋30＝33(米)，
∴S梯形DAHF＝·FK·(DF＋AH)＝×24×(3＋33)＝432(米2)．
设L为坝长，则需要填筑的土石方V＝S梯形DAHFL＝432×100＝43200(米3)．
设原计划平均每天填筑x立方米，则原计划天完成，
增加机械设备后，现在平均每天填筑x立方米．
由题意，得12x＋(－12－20)·x＝43200，
解得x＝600.
经检验，x＝600是原分式方程的解，且满足实际意义．
答：该施工队原计划平均每天填筑600立方米的土石方．
