【备考2019】中考数学一轮复习学案 第34节 图形的相似与位似（原卷+解析卷）

第五章图形与变换第34节图形的相似与位似
■考点1.图形的相似
（1）相似图形我们把形状相同的图形称为相似形．（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
■考点2.相似多边的定义和性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
■考点3.图形的位似
（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．21·世纪*教育网
?注意：①两个图形必须是相似形；但相似图形不一定是位似图形②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．【出处：21教育名师】
（2）性质：①对应角相等，对应边之比等于位似比；②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的 ．
■考点1.图形的相似
◇典例：
下列各组图形一定相似的是（　　）
A．两个矩形
B．两个等边三角形
C．各有一角是80°的两个等腰三角形
D．任意两个菱形
【考点】相似图形
【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．
解：两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形相似对应边的比相等，对应角相等，一定相似；
各有一角是80°的两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似；
任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似；
故选：B．
【点评】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．
◆变式训练
下列说法中：
①所有的等腰三角形都相似；
②所有的正三角形都相似；
③所有的正方形都相似；
④所有的矩形都相似．
其中说法正确的序号是　 　．
■考点2.相似多边的定义和性质
◇典例
一个多边形的边长依次为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则这个多边形的最短边长为(　　)
A． 6 B． 8 C． 10 D． 12
【考点】相似多边形的性质
【分析】设这个多边形的最短边是x，则，解方程可得.
解：设这个多边形的最短边是x，则
，
解得x=8．
故选：B
【点睛】本题考核知识点：相似多边形性质.解题关键点：熟记相似多边形性质.
◆变式训练
【题目】彼此相似的矩形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（　　）
　
A． （2n﹣1，2n） B． （2n﹣，2n） C． （2n﹣1﹣，2n﹣1） D． （2n﹣1﹣1，2n﹣1）
■考点3.图形的位似
◇典例：
【题目】按如下方法，将△ABC的三边缩小的原来的，如图，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法正确的是（　　）
A． △ABC与△DEF不是位似图形 B． =
C． △ABC与△DEF的周长比为1：2 D． △ABC与△DEF的面积比为4：1
【考点】位似变换
【分析】根据位似图形的定义和相似三角形的判断和性质进行分析判断即可.
解：（1）∵根据题意由位似图形的定义可知：△ABC和△DEF是位似图形，
∴A中结论错误；
（2）∵点E是OB的中点，
∴，
∴，
∴B中结论错误；
（3）∵由已知条件可得△ABC∽△DEF，且AB：DE=2：1，
∴△ABC和△DEF的周长比为：2：1，
∴C中结论错误；
（4）∵由（3）可知△ABC和△DEF相似，且相似比为2：1，
∴△ABC和△DEF的面积比为4：1，
∴D中结论正确.
综上所述，上述4个选项中，只有D中结论正确.
故选D.
【点睛】这是一道考查“位似图形及其性质的题”，熟知“位似图形的定义和性质”是解答本题的关键.
◆变式训练
【题目】如图，已知是坐标原点，与是以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为，如果内部一点的坐标为，则在中的对应点的坐标为（ ）
A． (-x,?-y) B． (-2x,?-2y) C． (-2x,?2y) D． (2x,?-2y)
【2013?莆田】下列四组图形中，一定相似的是（　　）
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
【2018贵港】下列命题中真命题是（　　）
A．=（）2一定成立
B．位似图形不可能全等
C．正多边形都是轴对称图形
D．圆锥的主视图一定是等边三角形
【2017绥化】如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（　　）
A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9
【2016?烟台】如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O
为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（　　）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
故选：A
【2017兰州】如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，=，则=　 　．
【2017?长沙】如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），
以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是___________
【2017滨州】在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C（2，3）、D（1，0），现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB．若点D的对应点B在x轴上且OB=2，则点C的对应点A的坐标为　 　．
【2017长沙】如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是　 　．
【2017阿坝】如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=　 　．
【2017校级】如图，分别按下列要求画出变换后的图形．
（1）把△ABC向右平移3个单位得△A1B1C1（A与A1对应，B与B1对应）；（2）以A1为旋转中心，将△A1B1C1逆时针旋转90°得△A1B2C2（B1与B2对应）；（3）把A1B2C2的每一条边都扩大到原来的2倍得△DEF． 　
【2017凉山】如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．
【2017?河北】若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（　　）
A．增加了10% B．减少了10% C．增加了（1+10%） D．没有改变
【2018重庆】制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（　　）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
【2017校级】如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A.点O?????? B.点P????? C.点M????????? D.点N
【2018滨州】在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（　　）
A．（5，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（1，5）
【2018潍坊】在平面直角坐标系中,点是线段上一点,以原点为位似中心把放大到原来的两倍,则点的对应点的坐标为( )
A. B. 或C. D. 或
【2018邵阳】如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是（　　）
A．2 B．1 C．4 D．2
【2017烟台】如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是　 　．
【2017遂宁】如图，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为　 　．
【2018菏泽】如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是　　．
【2018抚顺】如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为　 　．
【2018锦州】如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B1的坐标为　 　．
【2017?凉山州】如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，
已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．
【2018宁夏】已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
【2018安徽】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1；
（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；
（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是　 　个平方单位．
【2018巴中】在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标：　 　；
（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标：　 　．

第五章图形与变换第34节图形的相似与位似/
■考点1.图形的相似
（1）相似图形我们把形状相同的图形称为相似形．（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
■考点2.相似多边的定义和性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
■考点3.图形的位似
（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．21·世纪*教育网
?注意：①两个图形必须是相似形；但相似图形不一定是位似图形②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．【出处：21教育名师】
（2）性质：①对应角相等，对应边之比等于位似比；②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的 平方．
/
■考点1.图形的相似
◇典例：
下列各组图形一定相似的是（　　）
A．两个矩形
B．两个等边三角形
C．各有一角是80°的两个等腰三角形
D．任意两个菱形
【考点】相似图形
【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．
解：两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形相似对应边的比相等，对应角相等，一定相似；
各有一角是80°的两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似；
任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似；
故选：B．
【点评】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．
◆变式训练
下列说法中：
①所有的等腰三角形都相似；
②所有的正三角形都相似；
③所有的正方形都相似；
④所有的矩形都相似．
其中说法正确的序号是　 　．
【考点】相似图形
【分析】根据正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形的性质进行判断即可．
解：①所有的等腰三角形都相似，错误；
②所有的正三角形都相似，正确；
③所有的正方形都相似，正确；
④所有的矩形都相似，错误．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般．
■考点2.相似多边的定义和性质
◇典例
一个多边形的边长依次为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则这个多边形的最短边长为(　　)
A． 6 B． 8 C． 10 D． 12
【考点】相似多边形的性质
【分析】设这个多边形的最短边是x，则
24
6
=
??
2
，解方程可得.
解：设这个多边形的最短边是x，则
24
6
=
??
2
，
解得x=8．
故选：B
【点睛】本题考核知识点：相似多边形性质.解题关键点：熟记相似多边形性质.
◆变式训练
彼此相似的矩形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（　　）
　 /
A． （2n﹣1，2n） B． （2n﹣
1
2
，2n）
C． （2n﹣1﹣
1
2
，2n﹣1） D． （2n﹣1﹣1，2n﹣1）
【考点】相似多边形的性质
【分析】根据矩形的性质求出点
??
1
、
??
2
的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出??、??，从而得到一次函数解析式，再根据一次函数图像上点的坐标特征求出
??
3
的坐标，然后求出
??
3
的坐标，...，最后根据点的坐标特征的变化规律写出
??
??
的坐标即可.
解：∵
??
1
1,2
，
∴相似矩形的长是宽的2倍，
∵点
??
1
、
??
2
的坐标分别为
1,2
，
3,4
，
∴
??
1
0,2
，
??
2
1,4
，
∵点
??
1
、
??
2
在直线??=????+??上，
∴
??=2
??+??=4
，
解得
??=2
??=2
，
∴ ??=2??+2，
∵点
??
3
在直线??=2??+2上，
∴ ??=2×3+2=8，
∴点
??
3
的坐标为
3,8
，
∴点
??
3
的横坐标为3+
1
2
×8=7，
∴点
??
3
7,8
，
…,
??
??
的坐标为
2
??
?1,
2
??
.
故选：??.
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，根据点??的系列坐标判断出相应矩形的长，再求出宽，然后得到点??的系列坐标的变化规律是解题的关键.
■考点3.图形的位似
◇典例：
【题目】按如下方法，将△ABC的三边缩小的原来的
1
2
，如图，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法正确的是（　　）
/
A． △ABC与△DEF不是位似图形 B．
????
????
=
1
3
C． △ABC与△DEF的周长比为1：2 D． △ABC与△DEF的面积比为4：1
【考点】位似变换
【分析】根据位似图形的定义和相似三角形的判断和性质进行分析判断即可.
解：（1）∵根据题意由位似图形的定义可知：△ABC和△DEF是位似图形，
∴A中结论错误；
（2）∵点E是OB的中点，
∴
????
????
=
1
1
，
∴
????
????+????
=
????
????
=
1
1+1
=
1
2
，
∴B中结论错误；
（3）∵由已知条件可得△ABC∽△DEF，且AB：DE=2：1，
∴△ABC和△DEF的周长比为：2：1，
∴C中结论错误；
（4）∵由（3）可知△ABC和△DEF相似，且相似比为2：1，
∴△ABC和△DEF的面积比为4：1，
∴D中结论正确.
综上所述，上述4个选项中，只有D中结论正确.
故选D.
【点睛】这是一道考查“位似图形及其性质的题”，熟知“位似图形的定义和性质”是解答本题的关键.
◆变式训练
【题目】如图，已知??是坐标原点，△??????与△??????是以0点为位似中心的位似图形，且△??????与△??????的相似比为1:2，如果△??????内部一点??的坐标为(??,???)，则??在△??????中的对应点??′的坐标为（ ）
/
A． (-x,?-y) B． (-2x,?-2y) C． (-2x,?2y) D． (2x,?-2y)
【考点】位似变换
【分析】由位似比及对称中心以及一点坐标，进而可求这一点关于对称中心在其位似图形中的坐标．
解：∵△OBC与△ODE是以0点为位似中心的位似图形，即关于原点对称，且其位似比为1：2，M的坐标为（x，y），
∴M在△ODE中的对应点M′的坐标为（-2x，-2y）．
故选B．
【点睛】本题主要考查了位似图形关于对称中心对称的问题，能够掌握位似的定义及性质并熟练运用．
/
【2013?莆田】下列四组图形中，一定相似的是（　　）
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
【考点】相似图形．
【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．故选：D．
【2018贵港】下列命题中真命题是（　　）
A．/=（/）2一定成立
B．位似图形不可能全等
C．正多边形都是轴对称图形
D．圆锥的主视图一定是等边三角形
【考点】命题与定理
【分析】根据二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念逐一判断即可得．
解：A、/=（/）2当a＜0不成立，假命题；
B、位似图形在位似比为1时全等，假命题；
C、正多边形都是轴对称图形，真命题；
D、圆锥的主视图一定是等腰三角形，假命题；
故选：C．
【2017绥化】如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（　　）
/
A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9
【考点】位似变换．
【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴△A′B′C′∽△ABC．
∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，
∴/=/
故选：A．
【2016?烟台】如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O
为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（　　）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
/
【考点】位似变换；坐标与图形性质；正方形的性质．
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，∴/，∵BG=6，∴AD=BC=2，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴/，∴/
解得：OA=1，∴OB=3，∴C点坐标为：（3，2），故选：A2017兰州】如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，/=/，则/=　 　．
/
【考点】位似变换．
【分析】直接利用位似图形的性质得出△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，进而得出答案．
解：如图所示：
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，
∴/=/=/，
∴/=/=/．
故答案为：/．
【2017?长沙】如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），
以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的/，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是___________
/
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据位似变换的性质进行计算即可．
解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的
/，∴点A′的坐标是（2×/，4×/），即（1，2），故答案为：（1，2）．
【2017滨州】在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C（2，3）、D（1，0），现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB．若点D的对应点B在x轴上且OB=2，则点C的对应点A的坐标为　 　．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据位似变换的定义，画出图形即可解决问题，注意有两解．
解：如图，
/
由题意，位似中心是O，位似比为2，
∴OC=AC，
∵C（2，3），
∴A（4，6）或（﹣4，﹣6），
故答案为（4，6）或（﹣4，﹣6）．
【2017长沙】如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的/，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是　 　．
/
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据位似变换的性质进行计算即可．
解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的/，
∴点A′的坐标是（2×/，4×/），即（1，2），
故答案为：（1，2）．
【2017阿坝】如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=　 　．
/
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据位似图形的性质得出AO，DO的长，进而得出/=/=/，求出DE的长即可．
解：∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A点坐标为（1，0），D点坐标为（3，0），
∴AO=1，DO=3，
∴/=/=/，
∵AB=1.5，
∴DE=4.5．
故答案为：4.5．
【2017校级】如图，分别按下列要求画出变换后的图形．
（1）把△ABC向右平移3个单位得△A1B1C1（A与A1对应，B与B1对应）；（2）以A1为旋转中心，将△A1B1C1逆时针旋转90°得△A1B2C2（B1与B2对应）；（3）把A1B2C2的每一条边都扩大到原来的2倍得△DEF． /　
【分析】直接根据平移和旋转的作图方法作图即可得△A1B1C1和△A1B2C2；把对应的边长放大为原来的2倍即可得到△DEF．解：（1）如图，△A1B1C1就是所要画的三角形． （2）如图，△A1B2C2就是所要画的三角形． （3）如图，△DEF就是所要画的三角形．
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【2017凉山】如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．
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【考点】作图﹣位似变换；作图﹣轴对称变换．
【分析】（1）画出A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1即可解决问题；
（2）连接OB延长OB到B2，使得OB=BB2，同法可得A2、C2，△A2B2C2就是所求三角形；
解：（1）如图所示，△A1B1C1就是所求三角形
（2）如图所示，△A2B2C2就是所求三角形
如图，分别过点A2、C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线，交点分别为E、F，
∵A（﹣1，2），B（2，1），C（4，5），△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，
∴A2（﹣2，4），B2（4，2），C2（8，10），
∴/=8×10﹣/×6×2﹣/×4×8﹣/×6×10=28．
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【2017?河北】若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（　　）
A．增加了10% B．减少了10% C．增加了（1+10%） D．没有改变
【考点】相似图形．
【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
解：∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，∴△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′=∠B．故选D．
【2018重庆】制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（　　）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
【考点】相似多边形的性质
【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．
解：3m×2m=6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【2017校级】如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
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A.点O?????? B.点P????? C.点M????????? D.点N
解：根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．点P在对应点M和点N所在直线上，
故选B．
【2018滨州】在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的/后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（　　）
A．（5，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（1，5）
【考点】位似图形的性质
【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的/后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，
又∵A（6，8），
∴端点C的坐标为（3，4）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
【2018潍坊】在平面直角坐标系中,点/是线段/上一点,以原点/为位似中心把/放大到原来的两倍,则点/的对应点的坐标为( )
A. / B. /或/C. / D. /或/
【考点】位似变换、坐标与图形的性质
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n），
故选B．
【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
【2018邵阳】如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的/，得到△COD，则CD的长度是（　　）
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A．2 B．1 C．4 D．2/
【考点】坐标与图形性质；位似变换
【分析】直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点C的坐标，即可得出答案．
解：∵点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的/，得到△COD，
∴C（1，2），则CD的长度是：2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．
【2017烟台】如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是　 　．
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【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】把B的横纵坐标分别乘以﹣/得到B′的坐标．
解：由题意得：△A′OB′与△AOB的相似比为2：3，
又∵B（3，﹣2）
∴B′的坐标是[3×/，﹣2×/]，即B′的坐标是（﹣2，/）；
故答案为：（﹣2，/）．
【2017遂宁】如图，直线y=/x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为　 　．
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【考点】位似变换；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】首先根据直线y=/x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，解得点A和点B的坐标，再利用位似图形的性质可得点B′的坐标．
解：∵y=/x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，
令x=0可得y=1；令y=0可得x=﹣3，
∴点A和点B的坐标分别为（﹣3，0）；（0，1），
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，
∴/=/=/，
∴O′B′=2，AO′=6，
∴当点B'在第一象限时，B′的坐标为（3，2）；
当点B'在第三象限时，B′的坐标为（﹣9，﹣2）．
∴B′的坐标为（﹣9，﹣2）或（3，2）．
故答案为：（﹣9，﹣2）或（3，2）．
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【2018菏泽】如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是　　．
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【考点】位似变换；坐标与图形性质
【分析】根据题意得出D点坐标，再解直角三角形进而得出答案．
解：分别过A作AE⊥OB，CF⊥OB，
∵∠OCD=90°，∠AOB=60°，
∴∠ABO=∠CDO=30°，∠OCF=30°，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0），
∴D（8，0），则DO=8，
故OC=4，
则FO=2，CF=CO?cos30°=4×/=2/，
故点C的坐标是：（2，2/）．
故答案为：（2，2/）．
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【点评】此题主要考查了位似变换，运用位似图形的性质正确解直角三角形是解题关键．
【2018抚顺】如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的/，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为　 　．
/
【考点】位似变换，坐标与图形的性质
【分析】分两种情形画出图形，即可解决问题；
解：如图，在Rt△AOB中，OB=/=10，
/
①当△A′OB′在第三象限时，MM′=/．
②当△A″OB″在第二象限时，MM′=/，
故答案为/或/．
【点评】本题考查位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【2018锦州】如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B1的坐标为　 　．
/
【考点】坐标与图形性质；位似变换
【分析】把B的横纵坐标分别乘以﹣/得到B′的坐标．
解：由题意得：△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：2，
又∵B（3，1）
∴B′的坐标是[3×（﹣/），1×（﹣/）]，即B′的坐标是（﹣2，﹣/）；
故答案为：（﹣2，﹣/）．
【点评】本题考查了位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负．
【2017?凉山州】如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，
已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．
/
【考点】作图﹣位似变换；作图﹣轴对称变换．
【分析】（1）画出A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1即可解决问题；
（2）连接OB延长OB到B2，使得OB=BB2，同法可得A2、C2，△A2B2C2就是所求三角形；
解：（1）如图所示，△A1B1C1就是所求三角形
（2）如图所示，△A2B2C2就是所求三角形
如图，分别过点A2、C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线，交点分别为E、F，
∵A（﹣1，2），B（2，1），C（4，5），△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，
∴A2（﹣2，4），B2（4，2），C2（8，10），
∴/=8×10﹣/×6×2﹣/×4×8﹣/×6×10=28．
/　
【2018宁夏】已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
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【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣位似变换
【分析】（1）利用关于y轴对称点的性质得出对应点得出即可；
（2）利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案．
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求：
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求； B2（10，8）
/
【点评】此题主要考查了位似变换与轴对称变换，得出对应点位置是解题关键．
【2018安徽】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1；
（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；
（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是　 　个平方单位．
/
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣位似变换
【分析】（1）以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，即可画出线段A1B1；
（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，即可画出线段A2B1；
（3）连接AA2，即可得到四边形AA1B1A2为正方形，进而得出其面积．
解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求；
（2）如图所示，线段A2B1即为所求；
/
（3）由图可得，四边形AA1B1A2为正方形，
∴四边形AA1B1A2的面积是（/）2=（/）2=20．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转的性质以及勾股定理等知识的运用，利用相似变换的性质得出对应点的位置是解题关键．
【2018巴中】在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标：　 　；
（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标：　 　．
/
【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣位似变换
【分析】（1）根据A、B、C三点坐标画出图形即可；
（2）作出A、B、C关于轴的对称点A1、B1、C1即可；
（3）延长OC到C2，使得OC2=2OC，同法作出A2，B2即可；
解：（1）△ABC如图所示；
（2）△A1B1C1如图所示；A1（﹣3，3），
（3）△A2B2C2如图所示；A2（6，6）．
/
故答案为（﹣3，3），（6，6）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
　
　
/