第五章图形与变换第35节相似三角形
■考点1比例线段
比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2.比例的基本性质 (1)基本性质：? ad＝bc ；（b、d≠0）
(2)合比性质：?＝；（b、d≠0）
(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)?
＝k .（b、d、···、n≠0）
3.平行线分线段成比例定理及推论
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.21世纪教育网版权所有
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
4.黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
■考点2.相似三角形的性质与判定
1.相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中
若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例.
2.相似三角形的性质
(1)对应角 相等 ，对应边 成比例 ．
(2)周长之比等于 相似比 ，面积之比等于 相似比的平方 ．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于 相似比 ．
3.相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.
■考点3.相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
■考点1比例线段
◇典例：
1.【2017兰州】
已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
【考点】比例的性质．
【分析】根据等式的性质，可得答案．
解：A、两边都除以2y，得=，故A符合题意；
B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；
C、两边都除以2y，得=，故C不符合题意；
D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；
故选：A．
2.【2017六盘水】矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A．a=4，b=+2 B．a=4，b=﹣2 C．a=2，b=+1 D．a=2，b=﹣1
【考点】黄金分割；矩形的性质．
【分析】根据黄金矩形的定义判断即可．
解：∵宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，
∴=，
∴a=2，b=﹣1，
故选D．
3.【2017长春】如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】由a∥b∥c，可得=，由此即可解决问题．
解：∵a∥b∥c，
∴=，
∴=，
∴EF=6，
故答案为6．
◆变式训练
1.【2017娄底】湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是 千米（结果精确到1千米）．
【考点】比例线段．
【分析】由比例尺的定义计算可得．
解：我国南北的实际距离大约是82.09×67000000=550003000（cm）≈5500（km），
故答案为：5500．
2.【2018甘肃】已知=（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A．= B．2a=3b C．= D．3a=2b
【考点】比例的性质
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
解：由=得，3a=2b，
A、由原式可得：3a=2b，正确；
B、由原式可得2a=3b，错误；
C、由原式可得：3a=2b，正确；
D、由原式可得：3a=2b，正确；
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
3.【2017铁岭】如图，△ABC的面积为S．点P1，P2，P3，…，Pn﹣1是边BC的n等分点（n≥3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且==，连接MP1，MP2，MP3，…，MPn﹣1，连接NB，NP1，NP2，…，NPn﹣1，线段MP1与NB相交于点D1，线段MP2与NP1相交于点D2，线段MP3与NP2相交于点D3，…，线段MPn﹣1与NPn﹣2相交于点Dn﹣1，则△ND1P1，△ND2P2，△ND3P3，…，△NDn﹣1Pn﹣1的面积和是 ．（用含有S与n的式子表示）
【考点】三角形的面积．
【分析】连接MN，设BN交MP1于O1，MP2交NP1于O2，MP3交NP2于O3．由==，推出MN∥BC，推出==，由点P1，P2，P3，…，Pn﹣1是边BC的n等分点，推出MN=BP1=P1P2=P2P3，推出四边形MNP1B，四边形MNP2P1，四边形MNP3P2都是平行四边形，易知S△ABN=?S，S△BCN=?S，S△MNB=?S，推出===?S，根据S阴=S△NBC﹣（n﹣1）?﹣计算即可；
解：连接MN，设BN交MP1于O1，MP2交NP1于O2，MP3交NP2于O3．
∵==，
∴MN∥BC，
∴==，
∵点P1，P2，P3，…，Pn﹣1是边BC的n等分点，
∴MN=BP1=P1P2=P2P3，
∴四边形MNP1B，四边形MNP2P1，四边形MNP3P2都是平行四边形，
易知S△ABN=?S，S△BCN=?S，S△MNB=?S，
∴===?S，
∴S阴=S△NBC﹣（n﹣1）?﹣=?S﹣（n﹣1）??S﹣S=?S，
故答案为?S．
■考点2.相似三角形的性质与判定
◇典例
1.【2017?随州】在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】若A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则=或=，分情况进行讨论后即可求出AE的长度．21教育网
解：当=时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
此时AE===；
当=时，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
此时AE===；
故答案为：或．
2.【2018兰州】如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．
（2）若GB=3，BC=6，BF=，求AB的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【分析】（1）由E是AC的中点知AE=CE，由AB∥CD知∠AFE=∠CDE，据此根据“AAS”即可证△AEF≌△CED，从而得AF=CD，结合AB∥CD即可得证；
（2）证△GBF∽△GCD得=，据此求得CD=，由AF=CD及AB=AF+BF可得答案．
解：（1）∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠CDE，
在△AEF和△CED中，
∵，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF=CD，
又AB∥CD，即AF∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）∵AB∥CD，
∴△GBF∽△GCD，
∴=，即=，
解得：CD=，
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴AF=CD=，
∴AB=AF+BF=+=6．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形、相似三角形及平行四边形的判定与性质．
◆变式训练
1.【2018乌鲁木齐】如图，在?ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质
【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，根据相似三角形的判定得出△BEF∽△DCF，根据相似三角形的性质和三角形面积公式求出即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为AB的中点，
∴AB=DC=2BE，AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴==，
∴DF=2BF，=（）2=，
∴=，
∴S△BEF=S△DCF，S△DCB=S△DCF，
∴==，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键．
2.【2018深圳】已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．
（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；
（2）求四边形ACDB的面积．
【考点】菱形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的性质和判定
【分析】（1）根据折叠和已知得出AC=CD，AB=DB，∠ACB=∠DCB，求出AC=AB，根据菱形的判定得出即可；
（2）根据相似三角形的性质得出比例式，求出菱形的边长和高，根据菱形的面积公式求出即可．
（1）证明：∵由已知得：AC=CD，AB=DB，
由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线，
∴∠ACB=∠DCB，
又∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AC=AB，
又∵AC=CD，AB=DB，
∴AC=CD=DB=BA∴四边形ACDB是菱形，
∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上，
∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；
（2）解：设菱形ACDB的边长为x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CE，
∴∠FAB=∠FCE，∠FBA=∠E，
△EAB∽△FCE
则：，
即，
解得：x=4，
过A点作AH⊥CD于H点，
∵在Rt△ACH中，∠ACH=45°，
∴，
∴四边形ACDB的面积为：．
【点评】本题考查了菱形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点，能求出四边形ABCD是菱形是解此题的关键．
■考点3.相似三角形的应用
◇典例
1.【2017兰州】如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE=BC=0.5米，A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为（ ）
A．8.5米 B．9米 C．9.5米 D．10米
【考点】相似三角形的应用．
【分析】只要证明△ACG∽△FEG，可得=，代入已知条件即可解决问题．
解：由题意∠AGC=∠FGE，∵∠ACG=∠FEG=90°，
∴△ACG∽△FEG，
∴=，
∴=，
∴AC=8，
∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米．
故选A．
◆变式训练
【2018岳阳】《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步．
【考点】相似三角形的应用
【分析】如图1，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论；如图2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值．
解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=ED，DE∥CF，
设ED=x，则CD=x，AD=12﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
x=，
如图2，四边形DGFE是正方形，
过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，
设ED=x，
S△ABC=AC?BC=AB?CP，
12×5=13CP，
CP=，
同理得：△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
x=，
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），
故答案为：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．
1.【2018宁夏】已知：=，则的值是 ．
【考点】比例的性质
【分析】根据等式的性质，可用a表示b，根据分式的性质，可得答案．
解：由=，得
b=a．
==﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出b=a是解题关键，又利用了分式的性质．
2.【2018舟山】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知=，则= ．
【考点】平行线分线段成比例
【分析】根据题意求出，根据平行线分线段成比例定理解答．
解：∵=，
∴=2，
∵l1∥l2∥l3，
∴==2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
3.【2018玉林】两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（ ）
A．： B．2：3 C．4：9 D．8：27
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
解：∵两三角形的相似比是2：3，
∴其面积之比是4：9，
故选：C．
4.【2018贵港】如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（ ）
A．16 B．18 C．20 D．24
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出则S△ABC的值．
解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AB=3AE，
∴AE：AB=1：3，
∴S△AEF：S△ABC=1：9，
设S△AEF=x，
∵S四边形BCFE=16，
∴=，
解得：x=2，
∴S△ABC=18，
故选：B．
5.【2018荆门】如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△ABG=（ ）
A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∵DE=EF=FC，
∴EF：AB=1：3，
∴△EFG∽△BAG，
∴=（）2=，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6.【2018成都】已知==，且a+b﹣2c=6，则a的值为 ．
【考点】比例的性质
【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b﹣2c=6，得出答案．
解：∵==，
∴设a=6x，b=5x，c=4x，
∵a+b﹣2c=6，
∴6x+5x﹣8x=6，
解得：x=2，
故a=12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
7.【2018临沂】如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
【考点】相似三角形的应用
【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出CD即可．
解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴=，即=，
∴CD=10.5（米）．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
8.【2018绥化】两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，他们的周长之差为12cm，那么大三角形的周长为（ ）
A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm
【考点】相似三角形的性质
【分析】利用相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比得到两三角形的周长的比为5：3，于是可设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，所以5x﹣3x=12，然后解方程求出x后，得出5x即可．
解：根据题意得两三角形的周长的比为5：3，
设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，
则5x﹣3x=12，
解得x=6，
所以5x=30，
即大三角形的周长为30cm．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
9.【2017铜仁】如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
求证：△ABC∽△AED．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】先证得=，然后根据相似三角形的判定定理即可证得结论．
证明：∵AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
∴==1.2，==1.2，
∴=，
∵∠BAC=∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
10.【2018杭州】如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△BDE∽△CAD．
（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．
【考点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】（1）想办法证明∠B=∠C，∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题；
（2）利用面积法：?AD?BD=?AB?DE求解即可；
解：（1）∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=∠ADC，
∴△BDE∽△CAD．
（2）∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADB中，AD===12，
∵?AD?BD=?AB?DE，
∴DE=．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用面积法确定线段的长．
一．选择题
1.【2018定西】已知=（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A．= B．2a=3b C．= D．3a=2b
【考点】比例的性质
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
解：由=得，3a=2b，
A、由原式可得：3a=2b，正确；
B、由原式可得2a=3b，错误；
C、由原式可得：3a=2b，正确；
D、由原式可得：3a=2b，正确；
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
2.【2018乐山】如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ ）
A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=GC D．EG=2GC
【考点】平行线分线段成比例
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．
解：∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，
∴．
故选：B．
【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键．
3.【2018内江】已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（ ）
A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9
【考点】相似三角形的性质
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可．
解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，
则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
4.【2018广东】在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理
【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，进而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．
解：∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=（）2=．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用三角形的中位线定理找出DE∥BC是解题的关键．
5.【2018永州】如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】只要证明△ADC∽△ACB，可得=，即AC2=AD?AB，由此即可解决问题；
解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴=，
∴AC2=AD?AB=2×8=16，
∵AC＞0，
∴AC=4，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
6.【2018梧州】如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ）
A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5
【考点】平行线分线段成比例
【分析】过点D作DF∥CA交BE于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由 DF∥CE得到==，则CE=DF，由DF∥AE得到==，则AE=4DF，然后计算的值．
解：过点D作DF∥CA交BE于F，如图，
∵DF∥CE，
∴=，
而BD：DC=2：3，
∴=，则CE=DF，
∵DF∥AE，
∴=
∵AG：GD=4：1，
∴=，则AE=4DF，∴=
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的 对应线段成比例
二．填空题
7.【2018吉林】如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB= m．
【考点】相似三角形的应用
【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．
解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴，，
解得：AB=（米）．
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
8.【2018安徽】矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为 ．
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质
【分析】根据勾股定理求出BD，分PD=DA、P′D=P′A两种情况，根据相似三角形的性质计算．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°，
∴BD==10，
当PD=DA=8时，BP=BD﹣PD=2，
∵△PBE∽△DBC，
∴=，即=，
解得，PE=，
当P′D=P′A时，点P′为BD的中点，
∴P′E′=CD=3，
故答案为：或3．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质、勾股定理和矩形的性质，掌握相似三角形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
9.【2018常州】如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是 ．
【考点】相似三角形的性质
【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围．
解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
此时0＜AP＜4；
如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，
此时0＜AP≤4；
如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，
此时，△CPG∽△CBA，
当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，
∴CP=1，AP=3，
∴此时，3≤AP＜4；
综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4．
故答案为：3≤AP＜4．
10.【2018上海】如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是 ．
【考点】相似三角形的判定和性质
【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得=，然后解关于x的方程即可．
解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
∵△ABC的面积是6，
∴BC?AH=6，
∴AH==3，
设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴=，即=，解得x=，
即正方形DEFG的边长为．
故答案为．
11.【2017?江西】如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG=90°．求证：△EBF∽△FCG．21教育名师原创作品
【分析】先根据正方形的性质得∠B=∠C=90°，再利用等角的余角相等得∠BEF=∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判定△EBF∽△FCG．21*cnjy*com
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BEF+∠BFE=90°，
∵∠EFG=90°，
∴∠BFE+∠CFG=90°，
∴∠BEF=∠CFG，
∴△EBF∽△FCG．
12.【2018自贡】如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）
【考点】作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质
【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于E，作EO⊥AC交AB于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可解决问题；
（2）作OH⊥BC于H．首先求出OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得=，解决问题；
解：（1）⊙O如图所示；
（2）作OH⊥BC于H．
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，
∴四边形ECHO是矩形，
∴OE=CH=，BH=BC﹣CH=，
在Rt△OBH中，OH==2，
∴EC=OH=2，BE==2，
∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°，
∴△BCE∽△BED，
∴=，
∴=，
∴DE=．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13.【2018福建】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．
（1）求∠BDF的大小；
（2）求CG的长．
【考点】旋转的性质，平移的性质，相似三角形的判定与性质
【分析】（1）由旋转的性质得，AD=AB=10，∠ABD=45°，再由平移的性质即可得出结论；
（2）先判断出∠ADE=∠ACB，进而得出△ADE∽△ACB，得出比例式求出AE，即可得出结论．
解：（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴∠DAB=90°，AD=AB=10，
∴∠ABD=45°，
∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，
∴AB∥EF，
∴∠BDF=∠ABD=45°；
（2）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，
∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°，
∵∠DAB=90°，
∴∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AB=8，AB=AD=10，
∴AE=12.5，
由平移的性质得，CG=AE=12.5．
14.【2018上海】已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．
（1）求证：EF=AE﹣BE；
（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质
【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；
（2）利用=和AF=BE得到=，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．
证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABE和△DAF中
，
∴△ABE≌△DAF，
∴BE=AF，
∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；
（2）如图，∵=，
而AF=BE，
∴=，
∴=，
∴Rt△BEF∽Rt△DFA，
∴∠4=∠3，
而∠1=∠3，
∴∠4=∠1，
∵∠5=∠1，
∴∠4=∠5，
即BE平分∠FBP，
而BE⊥EP，
∴EF=EP．
15.【2018乌鲁木齐】如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．
【考点】切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC，证明OD⊥CB，可得结论；
（2）在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，证明△ACD∽△ADE，表示a=，由平行线分线段成比例定理得：，代入可得结论．
（1）证明：连接OD，
∵AG是∠HAF的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠ACD=90°，
∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，
∵D在⊙O上，
∴直线BC是⊙O的切线；（4分）
（2）解：在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，
连接DE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，
∴△ACD∽△ADE，
∴，
即，
∴a=，
由（1）知：OD∥AC，
∴，即，
∵a=，解得BD=r．
【点评】此题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程解决问题是关键．
第五章图形与变换第35节相似三角形
■考点1比例线段
比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2.比例的基本性质 (1)基本性质：? ad＝ ；（b、d≠0）
(2)合比性质：?＝；（b、d≠0）
(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)?
＝ .（b、d、···、n≠0）
3.平行线分线段成比例定理及推论
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.21世纪教育网版权所有
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
4.黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
■考点2.相似三角形的性质与判定
1.相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中
若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例.
2.相似三角形的性质
(1)对应角 ，对应边 ．
(2)周长之比等于 ，面积之比等于 ．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于 ．
3.相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.
■考点3.相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
■考点1比例线段
◇典例：
1.【2017兰州】
已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
【考点】比例的性质．
【分析】根据等式的性质，可得答案．
解：A、两边都除以2y，得=，故A符合题意；
B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；
C、两边都除以2y，得=，故C不符合题意；
D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；
故选：A．
2.【2017六盘水】矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A．a=4，b=+2 B．a=4，b=﹣2 C．a=2，b=+1 D．a=2，b=﹣1
【考点】黄金分割；矩形的性质．
【分析】根据黄金矩形的定义判断即可．
解：∵宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，
∴=，
∴a=2，b=﹣1，
故选D．
3.【2017长春】如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】由a∥b∥c，可得=，由此即可解决问题．
解：∵a∥b∥c，
∴=，
∴=，
∴EF=6，
故答案为6．
◆变式训练
1.【2017娄底】湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是 千米（结果精确到1千米）．
2.【2018甘肃】已知=（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A．= B．2a=3b C．= D．3a=2b
3.【2017铁岭】如图，△ABC的面积为S．点P1，P2，P3，…，Pn﹣1是边BC的n等分点（n≥3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且==，连接MP1，MP2，MP3，…，MPn﹣1，连接NB，NP1，NP2，…，NPn﹣1，线段MP1与NB相交于点D1，线段MP2与NP1相交于点D2，线段MP3与NP2相交于点D3，…，线段MPn﹣1与NPn﹣2相交于点Dn﹣1，则△ND1P1，△ND2P2，△ND3P3，…，△NDn﹣1Pn﹣1的面积和是 ．（用含有S与n的式子表示）
■考点2.相似三角形的性质与判定
◇典例
1.【2017?随州】在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】若A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则=或=，分情况进行讨论后即可求出AE的长度．21教育网
解：当=时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
此时AE===；
当=时，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
此时AE===；
故答案为：或．
2.【2018兰州】如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．
（2）若GB=3，BC=6，BF=，求AB的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【分析】（1）由E是AC的中点知AE=CE，由AB∥CD知∠AFE=∠CDE，据此根据“AAS”即可证△AEF≌△CED，从而得AF=CD，结合AB∥CD即可得证；
（2）证△GBF∽△GCD得=，据此求得CD=，由AF=CD及AB=AF+BF可得答案．
解：（1）∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠CDE，
在△AEF和△CED中，
∵，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF=CD，
又AB∥CD，即AF∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）∵AB∥CD，
∴△GBF∽△GCD，
∴=，即=，
解得：CD=，
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴AF=CD=，
∴AB=AF+BF=+=6．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形、相似三角形及平行四边形的判定与性质．
◆变式训练
1.【2018乌鲁木齐】如图，在?ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（ ）
A． B． C． D．
2.【2018深圳】已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．
（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；
（2）求四边形ACDB的面积．
■考点3.相似三角形的应用
◇典例
1.【2017兰州】如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE=BC=0.5米，A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为（ ）
A．8.5米 B．9米 C．9.5米 D．10米
【考点】相似三角形的应用．
【分析】只要证明△ACG∽△FEG，可得=，代入已知条件即可解决问题．
解：由题意∠AGC=∠FGE，∵∠ACG=∠FEG=90°，
∴△ACG∽△FEG，
∴=，
∴=，
∴AC=8，
∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米．
故选A．
◆变式训练
1.【2018宁夏】已知：=，则的值是 ．
2.【2018舟山】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知=，则= ．
3.【2018玉林】两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（ ）
A．： B．2：3 C．4：9 D．8：27
4.【2018贵港】如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（ ）
A．16 B．18 C．20 D．24
5.【2018荆门】如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△ABG=（ ）
A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1
6.【2018成都】已知==，且a+b﹣2c=6，则a的值为 ．
7.【2018临沂】如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
8.【2018绥化】两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，他们的周长之差为12cm，那么大三角形的周长为（ ）
A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm
9.【2017铜仁】如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
求证：△ABC∽△AED．
10.【218杭州】如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△BDE∽△CAD．
（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．
一．选择题
1.【2018定西】已知=（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A．= B．2a=3b C．= D．3a=2b
2.【2018乐山】如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ ）
A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=GC D．EG=2GC
3.【2018内江】已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（ ）
A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9
4.【2018广东】在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5.【2018永州】如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6.【2018梧州】如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ）
A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5
二．填空题
7.【2018吉林】如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB= m．
8.【2018安徽】矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为 ．
9.【2018常州】如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是 ．
10.【2018上海】如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是 ．
11.【2017?江西】如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG=90°．求证：△EBF∽△FCG．21教育名师原创作品
12.【2018自贡】如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）
13.【2018福建】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．
（1）求∠BDF的大小；
（2）求CG的长．
14.【2018上海】已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．
（1）求证：EF=AE﹣BE；
（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．
15.【2018乌鲁木齐】如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．
