选修3-1教师用书：第一章+静电场+微型专题2+Word版含答案

微型专题2　电场能的性质
[学科素养与目标要求]
物理观念：1.进一步理解电势、电势差、电势能的概念、公式，知道电场力做功与电势能变化的关系是一种普遍的功能关系.2.会用等分法确定等势面和电场方向.3.理解E－x、φ－x图象的意义，并会分析有关问题.
科学思维：1.通过分析电势、电势能及电场力做功的综合问题，提高逻辑思维和科学思维能力.2.通过方法的迁移，找到解决E－x、φ－x图象与其它图象问题共性的东西.
一、电势、电势能、电场力做功的综合问题
例1　在电场中把电荷量为2.0×10－9 C的正电荷从A点移到B点，电场力做功1.5×10－7 J，再把这个电荷从B点移到C点，克服电场力做功4.0×10－7 J.
(1)求A、C两点间的电势差；
(2)电荷从A经B移到C，电势能的变化怎样？
答案　(1)－125 V
(2)电荷从A经B移到C，电势能先减少1.5×10－7 J，再增加4.0×10－7 J，从A到C，电势能增加2.5×10－7 J
解析　(1)从A到C，电场力做的总功为：
WAC＝WAB＋WBC＝1.5×10－7 J－4.0×10－7 J
＝－2.5×10－7 J
故UAC＝＝＝－125 V
(2)在电场中把电荷量为2.0×10－9 C的正电荷从A点移到B点，电场力做功1.5×10－7 J，电势能减少1.5×10－7 J.再把这个电荷从B点移到C点，克服电场力做功4.0×10－7 J，电势能增加4.0×10－7 J.故从A到C，电势能增加2.5×10－7 J.
例2　如图1所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点.现有一质量为m、电荷量为－q、套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑.已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2.不计空气阻力，求：
图1
(1)小球滑到C点时的速度大小；
(2)若以C点为零电势点，试确定A点的电势.
答案　(1)　(2)－
解析　(1)因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中电场力做的总功为零.
由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝
根据动能定理有mg·＝－
解得vC＝.
(2)小球从A到C，重力和电场力均做正功，所以由动能定理有mg·3R＋W电＝，又根据电场力做功与电势能的关系：W电＝EpA－EpC＝－qφA－(－qφC).
又因为φC＝0，
可得φA＝－.
电场中的功能关系
1.合外力做的功等于物体动能的变化量，即W合＝ΔEk.
2.电场力做功决定物体电势能的变化量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp.这与重力做功和重力势能变化之间的关系类似.
3.只有电场力做功时，带电体电势能与动能的总量不变，即Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2.这与只有重力做功时，物体的机械能守恒类似.
二、用等分法确定等势面和电场方向
1.在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U＝Ed，其中d为两点沿电场线方向的距离.
由公式U＝Ed可以得到下面两个结论：
结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图2甲所示.
甲　　　　　　乙
图2
结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示.
2.确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面.
例3　(多选)(2018·山东济宁市高一下期末)一匀强电场的方向平行于xOy平面，电场中a、b、c三点的位置如图3所示，三点的电势分别为10 V、15 V、30 V，电子的电荷量为－1.6×
10－19 C，下列说法中正确的是(　　)
图3
A.坐标原点处的电势为5 V
B.坐标原点处的电势为－5 V
C.电子在a点的电势能比在b点的电势能小8×10－19 J
D.电子从b点移到c点，电场力做的功为2.4×10－18 J
答案　BD
解析　根据Uac＝UOb知，10 V－30 V＝φO－15 V得φO＝－5 V，B正确，A错误；
Wab＝qUab＝－1.6×10－19×(10－15) J＝8×10－19 J
Wab＝Epa－Epb＝8×10－19 J，C错误；Wbc＝qUbc＝－1.6×10－19×(15－30) J＝2.4×10－18 J，D正确.
例4　如图4所示，A、B、C表示匀强电场中的三点，它们的电势分别为φA＝－5 V，φB＝9 V，φC＝2 V.试在图中画出过A、B、C点的三条等势线，并画出一条过C点的电场线.
图4
答案　见解析图
解析　由题意知，UBA＝14 V，UBC＝7 V.由于是匀强电场，故AB连线的中点D与C点是等势点，而匀强电场中等势面为一平面，故DC连线为等势线，再过A、B点分别作平行于CD的直线即为所求的过A、B、C点的三条等势线，如图所示，过C作垂直于CD的直线即为过C点的电场线，且电场方向水平向左.
三、E－x、φ－x图象的分析
例5　(多选)在一静止点电荷的电场中，任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r的关系如图5所示.电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec和Ed.点a到点电荷的距离ra与点a的电势φa已在图中用坐标(ra，φa)标出，其余类推.现将一带正电的试探电荷由a点依次经b、c点移动到d点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为Wab、Wbc和Wcd.下列选项正确的是(　　)
图5
A.Ea∶Eb＝4∶1
B.Ec∶Ed＝2∶1
C.Wab∶Wbc＝3∶1
D.Wbc∶Wcd＝1∶3
答案　AC
解析　由题图可知，a、b、c、d到点电荷的距离分别为1 m、2 m、3 m、6 m，根据点电荷的场强公式E＝k可知，
＝＝，＝＝，故A正确，B错误；电场力做功W＝qU，a与b、b与c、c与d之间的电势差分别为3 V、1 V、1 V，所以＝，＝，故C正确，D错误.
1.φ－x图象反映电势φ随x的变化规律，其斜率大小表示场强大小.电场方向由电势变化情况判断(顺着电场线方向电势降低).
2.E－x图象反映场强E随x的变化规律，其正负表示场强的方向.
1.(电场中的功能关系)(多选)如图6所示，光滑绝缘细杆AB，水平放置于被固定的带负电荷的小球的正上方，小球的电荷量为Q，可视为点电荷，a、b是水平细杆上的两点，且在以带负电小球为圆心的同一竖直圆周上.一个质量为m、电荷量为q的带正电的小圆环(可视为质点)套在细杆上，由a点静止释放，不计空气阻力，在小圆环由a点运动到b点的过程中，下列说法中正确的是(　　)
图6
A.小圆环所受库仑力的大小先增大后减小
B.小圆环的加速度先增大后减小
C.小圆环的动能先增加后减少
D.小圆环与负电荷组成的系统电势能先增加后减少
答案　AC
2.(φ－x图象)(多选)在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图7所示.下列说法正确的有(　　)
图7
A.q1和q2带有异种电荷
B.x1处的电场强度为零
C.负电荷从x1移到x2，电势能减小
D.负电荷从x1移到x2，受到的电场力增大
答案　AC
3.(电势、电势能、电场力做功的综合问题)(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图8所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V.下列说法正确的是(　　)
图8
A.电场强度的大小为2.5 V/cm
B.坐标原点处的电势为1 V
C.电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D.电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
答案　ABD
解析　如图所示，设a、c之间的d点电势与b点电势相同，则＝＝，所以d点的坐标为(3.5 cm，6 cm)，过c点作等势线bd的垂线，电场强度的方向由高电势指向低电势.由几何关系可得，cf的长度为3.6 cm，电场强度的大小E＝＝＝2.5 V/cm，故选项A正确；因为Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb ，可知坐标原点O处的电势为1 V ，故选项B正确；a点电势比b点电势低7 V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，故选项C错误；b点电势比c点电势低9 V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV，故选项D正确.
4.(电场能的性质综合)如图9所示，一质量为m、电荷量为q的带正电微粒(重力不计)由A运动到B，在匀强电场中A点的速度大小为v，在B点的速度大小为3v，已知A、B两点在平行电场线方向上的距离为d，求：
图9
(1)A、B两点间的电压；
(2)电场强度的大小.
答案　(1)　(2)
解析　(1)由动能定理有：Uq＝m(3v)2－mv2
解得：U＝
(2)由U＝Ed
解得：E＝.
一、选择题
考点一　电场力做功与电势能的变化
1.电场中有A、B两点，A点的电势φA＝30 V，B点的电势φB＝10 V，一个电子由B点运动到A点的过程中，下面几种说法中正确的是(　　)
A.静电力对电子做功20 eV，电子的电势能减少了20 eV
B.电子克服静电力做功20 eV，电子的电势能增加了20 eV
C.静电力对电子做功20 eV，电子的电势能增加了20 eV
D.电子克服静电力做功20 eV，电子的电势能减少了20 eV
答案　A
解析　UAB＝φA－φB＝20 V，根据WAB＝qUAB得电子从A到B静电力做负功，为－20 eV，即电子从B到A静电力做正功，为20 eV，电势能减少20 eV，选项A正确.
2.(多选)一电子飞经电场中A、B两点，电子在A点的电势能为4.8×10－17 J，动能为3.2×
10－17 J，电子经过B点时电势能为3.2×10－17 J，如果电子只受静电力作用，则(　　)
A.电子在B点时动能为4.8×10－17 J
B.由A到B静电力做功为100 eV
C.电子在B点时动能为1.6×10－17 J
D.A、B两点间电势差为100 V
答案　AB
解析　电子由A点到B点电势能减少1.6×10－17 J，即静电力做正功WAB＝1.6×10－17 J＝100 eV，由动能定理得EkB＝WAB＋EkA＝4.8×10－17 J，选项A、B正确，C错误；由公式UAB＝得UAB＝ V＝－100 V，选项D错误.
3.(多选)(2018·山东济南市高一下期末)如图1所示，在真空中有两个等量的正电荷q1、q2，分别固定于A、B两点，DC为A、B连线的中垂线，现将一正电荷q3由C点沿CD移至无穷远，在此过程中，下列说法正确的是(　　)
图1
A.电势能逐渐减小
B.电势逐渐升高
C.q3受到的电场力逐渐减小
D.q3受到的电场力先逐渐增大，后逐渐减小
答案　AD
4.(2018·山东滨州市高一下期末)如图2所示，在等量异种点电荷形成的静电场中，O为两点电荷连线的中点，P、Q为该电场中的两点且关于O点对称.下列说法正确的是(　　)
图2
A.P点场强大于Q点场强
B.P点电势低于Q点电势
C.将电子从P点移动到Q点，其电势能增大
D.将电子从P点移动到Q点，电场力做正功
答案　C
5.(多选)如图3所示，带正电的点电荷固定于Q点，电子在只有库仑力作用下，做以Q为焦点的椭圆运动.M、P、N为椭圆上的三点，P点是轨道上离Q点最近的点.电子在从M经P到达N点的过程中(　　)
图3
A.速率先增大后减小 B.速率先减小后增大
C.电势能先减小后增大 D.电势能先增大后减小
答案　AC
解析　方法一：在正点电荷产生的电场中，离正点电荷越近电势越高，故在M→P→N的过程中，电势先升高后降低，P点电势最高，由Ep＝qφ知电子在P点的电势能最小，即电子电势能先减小后增大，C正确.又只有静电力做功，电势能和动能相互转化，故动能先增大后减小，速率也就先增大后减小，A正确.方法二：如图所示，可在图中画出M→P→N过程中各处的静电力(即库仑力)与该处速度方向，可知F与v的夹角先小于90°，后大于90°，也就知道静电力先做正功，后做负功，故电势能先减小后增大，动能先增大后减小，速率也就先增大后减小，A、C正确.
6.(多选)(2018·山东滨州市高一下期末)如图4所示，图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V.一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV(电子重力不计).下列说法正确的是(　　)
图4
A.平面c上的电势为零
B.该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
C.该电子经过平面b时的动能是经过d时的2倍
D.该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
答案　AC
解析　设相邻两个等势面间电势差为U，e·3U＝6 eV
所以：Ekd＝mvd2＝4 eV，同时U＝2 V.
从a至b的过程中－2 eV＝mvb2－mva2，得：Ekb＝mvb2＝8 eV，Ekb＝2Ekd，C正确，B错误.同理得Ekc＝6 eV.Epb＋Ekb＝Epc＋Ekc，得Epc＝0，所以φc＝0，A正确.同理得Epd＝2 eV，D错误.
考点二　等分法确定电势和电场强度
7.a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势分别为φa＝10 V，φb＝2 V，φc＝6 V，a、b、c三点在同一平面上，下列各图中电场强度的方向表示正确的是(　　)
答案　D
解析　由于是匀强电场，因此a、b连线的中点与c点电势相等，电场强度的方向垂直于等势面且由高电势处指向低电势处，所以D正确.
8.(多选)如图5所示，图中五点均在匀强电场中，它们刚好是一个圆的四个等分点和圆心.已知电场线与圆所在平面平行.下列有关圆心O和等分点a的电势、电场强度的相关描述正确的是(　　)
图5
A.a点的电势为6 V
B.a点的电势为－2 V
C.O点的场强方向指向a点
D.O点的场强方向指向电势为2 V的点
答案　AD
9.如图6所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　)
图6
A.200 V/m B.200 V/m
C.100 V/m D.100 V/m
答案　A
解析　在匀强电场中，沿某一方向电势降落，则在这一方向上电势均匀降落，故OA的中点C的电势φC＝3 V(如图所示)，因此B、C在同一等势面上.O点到BC的距离d＝sin α，而sin α＝＝，所以d＝＝1.5×10－2 m.根据E＝得，匀强电场的电场强度E＝＝ V/m＝200 V/m，故选项A正确.
考点三　φ－x图象和E－x图象
10.(多选)空间某一静电场的电势φ在x轴上的分布如图7所示，x轴上两点B、C的电场强度在x轴方向上的分量分别是EBx、ECx，下列说法中正确的有(　　)
图7
A.EBx的大小大于ECx的大小
B.EBx的方向沿x轴正方向
C.电荷在O点受到的电场力在x轴方向上的分量最大
D.负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功后做负功
答案　AD
解析　在B点和C点附近分别取很小的一段距离d，由题图可知，B点段对应的电势差大于C点段对应的电势差，若将这两段的电场看做匀强电场，则有E＝，可见EBx＞ECx，选项A正确；同理可知O点场强在x轴方向上的分量最小，电荷在该点受到的电场力在x轴方向上的分量最小，选项C错误；沿电场方向电势降低，在O点左侧，Ex的方向沿x轴负方向，在O点右侧，Ex的方向沿x轴正方向，所以选项B错误，D正确.
二、非选择题
11.如图8所示，A、B、C为一等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面.现将电荷量大小为10－8 C的正点电荷从A点移到B点，电场力做功为3×10－6 J，将另一电荷量大小为10－8 C的负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功3×10－6 J.若AB边长为2 cm，则电场强度的大小为多大？方向如何？
图8
答案　见解析
解析　正点电荷从A点移到B点时，电场力做正功，故A点电势高于B点，则UAB＝＝ V＝300 V.
负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功，A点电势高于C点电势，则UAC＝＝ V＝300 V.
因此B、C两点电势相等，UBC＝0.由于匀强电场中的等势线是一簇平行直线，因此BC为一等势线，故电场线方向垂直BC.设D为直线BC的中点，则电场方向为由A指向D.直线AB在电场方向的距离d等于线段AD的长度，故由匀强电场中电势差与电场强度的关系式可得：
E＝＝ V/m＝104 V/m.
12.一长为L的细线，一端固定于O点，另一端拴一质量为m、带电荷量为q的小球，处于如图9所示的水平向右的匀强电场中.开始时，将线与小球拉成水平，小球静止在A点，释放后小球由静止开始向下摆动，当细线转过60°角时，小球到达B点速度恰好为零.试求：(重力加速度为g，不计空气阻力)
图9
(1)A、B两点间的电势差UAB；
(2)匀强电场的场强大小.
答案　(1)　(2)
解析　(1)小球由A到B过程中，由动能定理得
mgLsin 60°－qUAB＝0，
所以UAB＝
(2)根据匀强电场中电势差与电场强度的关系，
可得E＝＝.
13.如图10所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正点电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q?Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为，g为重力加速度.不计空气阻力，求小球由A到C的过程中电场力做的功及A、C两点间的电势差.
图10
答案　见解析
解析　因为杆是光滑的，所以小球从A到B过程中只有两个力做功：电场力做功W和重力做功mgh，由动能定理得：
W＋mgh＝mvB2
代入已知条件vB＝得电场力做功
W＝m·3gh－mgh＝mgh
因Q为正点电荷，则B、C在同一等势面上，由B到C电场力做功为0，所以由A到C电场力做功WAC＝W＋0＝mgh.则UAC＝＝－.