第6章 图形的相似
6.4 第1课时 利用平行证相似
知识点 1 平行线分线段成比例的基本事实
1．如图6－4－1，a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F.
(1)若AB＝BC，则DE________EF(填“＞”“＜”或“＝”)；
(2)＝________，＝________，＝________．
图6－4－1
图6－4－2
2．如图6－4－2，已知AB∥CD∥EF，则在下列关系式中一定成立的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
3．教材练习第1题变式 如图6－4－3，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE＝3，DA＝5，CF＝4，则FB的长为( )
A. B. C．5 D．6
图6－4－3
图6－4－4
4．2017·姜堰区一模 如图6－4－4所示，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，AE＝6，DF＝3，那么BD＝________．
图6－4－5
5．2018·嘉兴 如图6－4－5，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知＝，则＝________．
知识点 2 利用平行证三角形相似
6．如图6－4－6，已知AB∥CD，AC与BD交于点O，则下列比例式中成立的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
图6－4－6
图6－4－7
7．如图6－4－7，在△ABC中，DE∥BC，若＝，则的值为( )
A. B. C. D.
8．2018·云南 如图6－4－8，已知AB∥CD，若＝，则＝________．
图6－4－8
图6－4－9
9．2017·自贡 如图6－4－9，在△ABC中，MN∥BC，与AB，AC分别交于点M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为________．
10．如图6－4－10，在?ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，EF与CD交于点G.
(1)求证：BD∥EF；
(2)若＝，BE＝4，求CE的长．
图6－4－10
11．如图6－4－11，在△ABC中，AB＝AC＝12，AD⊥BC于点D，点E在AD上且DE＝2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF的长为( )
A．4 B．3 C．2.4 D．2
图6－4－11
图6－4－12
12．2017·无锡一模 如图6－4－12，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝2∶3∶4.若EG＝4，则AC＝________．
13．如图6－4－13，在△ABC中，D是AB上的一点，过点D作DE∥BC交边AC于点E，过点E作EF∥DC交AD于点F.已知AD＝2 cm，AB＝8 cm.
求：(1)的值；
(2)的值．
图6－4－13
14．如图6－4－14，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，l4，l5交于点O，且l1∥l2∥l3.已知EF∶DF＝5∶8，AC＝24.
(1)求AB的长；
(2)当AD＝4，BE＝1时，求CF的长．
图6－4－14
15．如图6－4－15，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，沿折线AB—BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动．点Q从点C出发，沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动．P，Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．
(1)求线段AQ的长(用含t的代数式表示)；
(2)连接PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值．
图6－4－15
/ 教 师 详 解 详 析 /
第6章 图形的相似
6.4 第1课时 利用平行证相似
1．(1)＝ (2)
2．C [解析] ∵AB∥CD∥EF，
∴＝，＝，＝，＝.
故选C.
3．B
4．1.5 [解析] ∵AB∥CD∥EF，
∴＝，即＝，
解得BD＝1.5.
5．2 [解析] ∵＝，∴＝2.∵l1∥l2∥l3，∴＝＝2.故答案为2.
6．A
7．C
8. [解析] ∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，
∴＝＝.故答案为.
9．1 [解析] ∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴AM∶AB＝MN∶BC.∵AB＝AM＋MB＝1＋2＝3，∴1∶3＝MN∶3，∴MN＝1.
10．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴DF∥BE.
又∵DF＝BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD∥EF.
(2)由题意，得DF＝BE＝4.
∵DF∥EC，∴△DFG∽△CEG，
∴＝＝，
∴CE＝6.
11．C [解析] 过点D作DH∥BF交AC于点H.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴FH＝HC.∵DH∥BF，∴＝＝2，∴AF＝AC＝2.4.故选C.
12．12 [解析] ∵DE∥FG∥BC，∴AE∶EG∶GC＝AD∶DF∶FB＝2∶3∶4.∵EG＝4，
∴AE＝，GC＝，∴AC＝AE＋EG＋GC＝12.故答案为12.
13．解：(1)∵DE∥BC，∴＝.
∵AD＝2 cm，AB＝8 cm，∴＝.
(2)∵EF∥DC，∴＝＝，
解得AF＝3 cm，∴＝.
14．[解析] (1)由平行线分线段成比例基本事实可以直接得出结论；(2)注意到条件中的AD，BE的长，则考虑运用三角形一边平行线的性质，转化已知条件．
解：(1)∵直线l1∥l2∥l3，EF∶DF＝5∶8，AC＝24，
∴＝＝，∴＝，
∴BC＝15，
∴AB＝AC－BC＝24－15＝9.
(2)∵直线l1∥l2，∴△OBE∽△OAD，
∴＝＝，
∴＝，∴OB＝3，
∴OC＝BC－OB＝15－3＝12.
∵直线l2∥l3，∴△OEB∽△OFC，
∴＝＝＝，
∴＝，∴CF＝4.
15．解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝＝8.
∵点Q从点C出发，沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动，
∴运动t秒后，CQ＝t，
∴AQ＝AC－CQ＝8－t.
(2)分两种情况讨论如下：
如图①，若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，
从而＝，即＝，解得t＝；
PC,BC)＝，
即＝，解得t＝3.
综上，当PQ与△ABC的一边平行时，t的值为或3.
[6.4 第1课时 利用平行证相似]
一、选择题
1．如图K－15－1，直线a，b被三条互相平行的直线l1，l2，l3所截，AB＝3，BC＝2，则DE∶EF＝( )
图K－15－1
A．2∶3 B．3∶2
C．2∶5 D．3∶5
2．如图K－15－2所示，E是?ABCD的边BC的延长线上的点，连接AE交CD于点F.图中的相似三角形有( )
图K－15－2
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3．2017·永嘉县二模如图K－15－3，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是( )
A．6 B．8 C．9 D．12
图K－15－3
4．如图K－15－4，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E.若AD＝4，DB＝2，则DE∶BC的值为( )
图K－15－4
A. B. C. D.
5．如图K－15－5，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G.若DE＝2，EG＝1，GF＝3，则( )
图K－15－5
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
二、填空题
6．如图K－15－6，BC∥DE，BD与CE交于点A，根据图中数据，计算AB＝________．
图K－15－6
7．如图K－15－7，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm，则线段BC＝________ cm.
图K－15－7
8．2018·舟山如图K－15－8，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，已知＝，则＝________．
图K－15－8
9．如图K－15－9所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC.若DE＝2AD，AE＝2，那么EC＝________．
图K－15－9
10．如图K－15－10，点D，E，F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD∶DB＝3∶2，那么BF∶FC＝________．
图K－15－10
11．2017·镇江如图K－15－11，△ABC中，AB＝6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点落在边BC上，已知BE′＝5，D′C＝4，则BC的长为________．
图K－15－11
三、解答题
12．如图K－15－12，直线l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5.求BC，BE的长.
图K－15－12
13．如图K－15－13，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.
求证：AD是AB和AF的比例中项．
图K－15－13
14．如图K－15－14，已知?ABCD，F是BC延长线上的一点，连接AF交CD于点E.若EF＝3，AE＝4，EC＝2，求AB的长．
图K－15－14
15．2018·江西如图K－15－15，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．
图K－15－15
拓展延伸阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图K－15－16①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝.下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E.…
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
(2)填空：如图③，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是________．
图K－15－16
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] B ∵l1∥l2∥l3，
∴AB∶BC＝DE∶EF＝3∶2，
故选B.
2．[解析] C 图中仅有3个三角形，△FCE，△FDA和△ABE，它们是两两相似的，所以共有3对相似三角形．
3．[解析] D ∵l1∥l2∥l3，
∴＝，即＝，
∴BC＝8，
∴AC＝AB＋BC＝12.
故选D.
4．[解析] A 由DE∥BC，得△ABC∽△ADE，所以＝＝＝.
5．[解析] D ∵直线l1∥l2∥l3，DE＝2，EG＝1，GF＝3，
∴＝＝＝，故A错误；
∴＝＝＝1，故B错误；
∴＝＝＝，故C错误；
∴＝＝＝，故D正确．
故选D.
6．[答案] 15
[解析] 由题意可知△EDA∽△CBA，所以＝，即＝，所以AB＝15.
7．[答案] 12
[解析] 如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D.
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴＝，即＝，
∴BC＝12 cm.
8．[答案] 2
[解析] ∵＝，∴＝2.
∵l1∥l2∥l3，∴＝＝2.
9．4
10．[答案] 3∶2
[解析] ∵DE∥BC，
∴＝.
∵AD∶DB＝3∶2，AB＝AD＋DB，
∴＝，
∴＝.
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE＝BF.
∵BC＝BF＋CF，＝，
∴＝，
∴BF∶CF＝3∶2.
故答案为3∶2.
11．[答案] 2＋
[解析] 由条件“DE∥AC”可得△BDE∽△BAC，∴＝.由题意可得BE＝BE′＝5，BD＝BD′＝BC－D′C＝BC－4，AB＝6.设BC＝x，则＝，解得x＝2＋(负值已舍去)，故BC的长为2＋.
12．[解析] 根据平行线分线段成比例定理得＝＝，则可计算出BC＝6，BF＝BE，然后利用BE＋BE＝7.5求BE的长．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝，即＝＝，
∴BC＝6，BF＝BE，
∴BE＋BE＝7.5，
∴BE＝5.
13．[解析] 由DE∥BC，EF∥CD，可得到对应边成比例．
证明：∵DE∥BC，∴＝.
∵EF∥CD，∴＝，
∴＝，
即AD2＝AB·AF，
∴AD是AB和AF的比例中项．
14．[解析] 四边形ABCD是平行四边形，则EC∥AB，得到△ABF∽△ECF，根据相似三角形对应边的比相等即可求解．
解：∵EF＝3，AE＝4，∴AF＝EF＋AE＝7.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EC∥AB，
∴△ECF∽△ABF，
∴＝，即＝，
解得AB＝.
[点评] 本题主要考查了平行于三角形一边的直线与另两边相交，形成的三角形与原三角形相似，以及相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等．
15．解：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD，
∴∠D＝∠CBD，
∴BC＝CD.
∵BC＝4，∴CD＝4.
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，∴＝，
∴AE＝2CE.
∵AC＝AE＋CE＝6，
∴AE＝4.
[素养提升]
[解析] (1)如题图②，过点C作CE∥DA.交BA的延长线于点E，利用平行线分线段成比例得到＝，利用平行线的性质得∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，由∠1＝∠2得∠ACE＝∠E，则AE＝AC，于是有＝；
(2)先利用勾股定理计算出AC＝5，再利用(1)中的结论得到＝，即＝，则可计算出BD＝，然后利用勾股定理计算出AD＝，从而可得到△ABD的周长．
解：(1)证明：过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E.
∵CE∥AD，
∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E.
∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴＝.
(2)∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC＝5.
∵AD平分∠BAC，
∴＝，即＝，
∴BD＝BC＝，
∴AD＝＝＝，
∴△ABD的周长＝＋3＋＝.
故答案为.
第6章 图形的相似
6.4 第2课时 利用两角证相似
知识点 利用两角证相似
命题角度1 判定两个三角形相似
图6－4－16
1．如图6－4－16所示，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，则△ABC与△AED相似吗？请说明理由．
解：相似．∵∠2＝∠1，∴∠2＋______＝∠1＋______，即________＝________．
又∵________＝________，∴△ABC∽△AED.
2．具备下列条件的各组三角形中，不一定相似的是( )
A．有一个角是40°的两个等腰三角形
B．两个等腰直角三角形
C．有一个角为100°的两个等腰三角形
D．两个等边三角形
3．如图6－4－17，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，则图中的相似三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
图6－4－17
图6－4－18
4．2017·姑苏区期末 如图6－4－18，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，要△ABC∽△DAC，还需添加一个条件，你添加的条件是________．(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)
5．教材例2变式 如图6－4－19，在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°.
求证：△ABC∽△DEF.
图6－4－19
6．2017·江西 如图6－4－20，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.
图6－4－20
命题角度2 判定两个三角形相似的运用
7．2017·陕西 如图6－4－21，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3.若E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，则BF的长为( )
A. B. C. D.
图6－4－21
图6－4－22
8．如图6－4－22，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A.已知BC＝2 ，AB＝3，则BD＝________．
9．已知：如图6－4－23，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且∠AED＝∠B.若AE＝5，AB＝9，CB＝6，求DE的长．
图6－4－23
图6－4－24
10．如图6－4－24，在△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则DC的长为( )
A. B.
C. D.
11．2017·深圳 如图6－4－25，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MDN中，∠MDN＝90°，点D在AC上，DM交AB于点E，DN交BC于点F，当DE＝2DF时，AD＝________．
图6－4－25
图6－4－26
12．如图6－4－26，在△ADE中，AD＝AE，C为DE延长线上一点，B为ED延长线上一点，∠DAE＝40°，则当∠BAC＝________°时，△BDA∽△AEC.
13．2018·杭州 如图6－4－27所示，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.
(1)求证：△BDE∽△CAD；
(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．
图6－4－27
14．如图6－4－28，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线．
求证：(1)△ABC∽△BDC；
(2)BC2＝AC·DC.
图6－4－28
15．如图6－4－29，△ABC是等边三角形，∠DAE＝120°.
(1)求证：△ABE∽△DCA；
(2)求证：BC2＝BE·CD；
(3)若BE＝4，CD＝9，求等边三角形ABC的边长．
图6－4－29
图6－4－30
16．在△ABC中，P是AB上的动点(点P异于点A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图6－4－30，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有________条．
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第6章 图形的相似
6.4 第2课时 利用两角证相似
1．∠CAD ∠CAD ∠BAC ∠EAD ∠C ∠D
2．A [解析] 我们可以计算出各选项中三角形的各个角．A项有两种情况：40°，40°，100°或40°，70°，70°.B项只有一种情况：45°，45°，90°.C项只有一种情况：100°，40°，40°.D项只有一种情况：60°，60°，60°.可以看出，A项中两个三角形可能是不相似的．
3．C [解析] ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD，∴有3对相似三角形．故选C.
4．答案不唯一，如∠BAC＝∠D [解析] ∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD.∵∠BAC＝∠D(或∠ABC＝∠DAC)，∴△ABC∽△DAC.
5．证明：在△ABC中，∠B＝180°－∠A－∠C＝79°.
在△ABC和△DEF中，
∵∠B＝∠E＝79°，∠C＝∠F＝54°，
∴△ABC∽△DEF.
6．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵∠EFG＝90°，
∴∠BFE＋∠CFG＝90°，
∴∠BEF＝∠CFG，
∴△EBF∽△FCG.
7．B [解析] 在矩形ABCD中，∵E是边CD的中点，CD＝AB＝2，∴DE＝1.在Rt△ADE中，AE＝＝.∵BF⊥AE，∴∠AFB＝∠D＝90°.又∵∠DAE＋∠BAE＝90°，∠ABF＋∠BAE＝90°，∴∠DAE＝∠ABF，∴△ADE∽△BFA，∴＝，∴＝，∴BF＝.
8. [解析] ∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，
∴△DCB∽△CAB，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝.
9．解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴＝.
∵AE＝5，AB＝9，CB＝6，
∴＝，解得DE＝.
10．A [解析] ∵AD∶DE＝3∶5，AE＝8，
∴AD＝3，DE＝5.
∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC∽△BDE，
∴＝，即＝，∴DC＝.
11．3 [解析] 如图，过点D作DQ⊥AB于点Q，DR⊥BC于点R，易得∠QDE＝∠RDF.
又∵∠DQE＝∠DRF＝90°，∴△QDE∽△RDF.∵DE＝2DF，∴QD＝2DR＝2BQ，显然△AQD∽△ABC，∴AQ∶QD∶AD＝AB∶BC∶AC＝3∶4∶5，设AQ＝3x，则QD＝4x，AD＝5x，DR＝BQ＝2x，∴AB＝AQ＋BQ＝3x＋2x＝5x＝3，解得x＝，∴AD＝5x＝5×＝3.
12．110 [解析] ∵AD＝AE，∠DAE＝40°，
∴∠ADE＝∠AED＝70°，
∴∠ADB＝∠AEC＝180°－70°＝110°.
在△ABD中，∵∠ADB＝110°，
∴∠B＋∠BAD＝180°－110°＝70°，
同理可得∠C＋∠EAC＝70°.
∵△BDA∽△AEC，
∴∠B＝∠EAC，∠C＝∠BAD，
∴∠B＋∠C＝∠EAC＋∠BAD＝∠B＋∠BAD＝70°，
∴∠BAC＝(∠EAC＋∠BAD)＋∠DAE＝70°＋40°＝110°.故答案为110.
13．解：(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC.
又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC＝90°，
∴△BDE∽△CAD.
(2)∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD.
∵BC＝10，∴BD＝BC＝5，
在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2＋BD2＝AB2，
∴AD＝＝12.
∵△BDE∽△CAD，∴＝，
即＝，∴DE＝.
14．证明：(1)∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)＝72°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°＝∠A.
又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.
(2)由△ABC∽△BDC，得BC∶DC＝AC∶BC，即BC2＝AC·DC.
15．解：(1)证明：因为△ABC是等边三角形，
所以∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
所以∠ACD＝∠EBA＝120°.
因为∠DAE＝120°，
所以∠EAB＋∠DAC＝∠DAE－∠BAC＝60°.
又因为∠AEB＋∠EAB＝∠ABC＝60°，
所以∠AEB＝∠DAC.
又因为∠EBA＝∠ACD，
所以△ABE∽△DCA.
(2)证明：因为△ABE∽△DCA，
所以＝.
因为△ABC是等边三角形，
所以BA＝BC＝CA，所以＝，
所以BC2＝BE·CD.
(3)因为BC2＝BE·CD，BE＝4，CD＝9，
所以BC2＝4×9，
所以BC＝6(负值已舍去)，
所以等边三角形ABC的边长为6.
16．3 [解析] 当PD∥BC时，△APD∽△ABC；
当PE∥AC时，
△BPE∽△BAC；
连接PC，
∵∠A＝36°，AB＝AC，点P在AC的垂直平分线上，
∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠ACP＝∠PAC＝36°，
∴∠PCB＝36°＝∠A.
又∵∠B＝∠B，
∴△CPB∽△ACB，
故过点P的△ABC的相似线最多有3条．
[6.4 第2课时 利用两角证相似]
一、选择题
1．在下列条件下，不能说明△ABC和△A′B′C′相似的是( )
A．∠A＝30°，∠B＝70°，∠A′＝30°，∠B′＝70°
B．∠A＝56°，∠B＝44°，∠A′＝56°，∠C′＝80°
C．∠A＝56°，∠C＝80°，∠B′＝44°，∠C′＝80°
D．∠A＝44°，∠B＝72°，∠A′＝44°，∠C′＝36°
2．2018·永州如图K－16－1，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为( )
图K－16－1
A．2 B．4 C．6 D．8
3．给出下面四个结论，其中正确的有( )
①两个等腰直角三角形相似；②有一个锐角相等的两个直角三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形相似；④有一个角为100°的两个等腰三角形相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．2017·贵州如图K－16－2，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为( )
图K－16－2
A. B. C. D.
二、填空题
5．如图K－16－3，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，应用本课所学知识，还需要添加一个条件，你添加的条件是__________________．
图K－16－3
6．如图K－16－4，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC.若AC＝2，AD＝1，则DB＝________．
图K－16－4
7．2017·杭州如图K－16－5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．
图K－16－5
三、解答题
8．如图K－16－6所示，D是△ABC内一点，在△ABC外取一点E，使∠CBE＝∠ABD，∠BDE＝∠BAC.试说明：△ABC∽△DBE.
图K－16－6
9．如图K－16－7，D是 △ABC的边AB上一点，连接CD.若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，求AC的长．
图K－16－7
10．如图K－16－8所示，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E.
试说明：△ABD∽△CBE.
图K－16－8
11．2018·滨州如图K－16－9，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB.
求证：(1)直线DC是⊙O的切线；
(2)AC2＝2AD·AO.
图K－16－9
12．如图K－16－10所示，△ABC是等边三角形，∠DAE＝120°.
(1)试说明：△ABE∽△DCA；
(2)试说明：BC2＝BE·CD；
(3)若BE＝4，CD＝9，求等边三角形的边长．
图K－16－10
动点问题如图K－16－11，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，移动△DEF，并满足：点E在边BC上沿从B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于点M.
(1)求证：△ABE∽△ECM.
(2)探究：在△DEF运动的过程中，重叠部分△AEM能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．
图K－16－11
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] D 选项A中，∠A＝∠A′＝30°，∠B＝∠B′＝70°，故△ABC∽△A′B′C′；选项B中，∵∠A′＝56°，∠C′＝80°，∴∠B′＝44°.∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′；选项C中，∵∠B′＝44°，∠C′＝80°，∴∠A′＝56°.∵∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，∴△ABC∽△A′B′C′；选项D中，∠C＝180°－∠A－∠B＝64°，∠B′＝180°－∠A′－∠C′＝100°.∵两个三角形中没有两对角相等，∴△ABC与△A′B′C′不相似．
2．[解析] B ∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴＝，∴＝，
∴AC＝4.
3．[解析] C ①正确，因为每一个等腰直角三角形的三个角分别等于45°，45°，90°.②正确，因为有一个锐角相等，还有一个隐含条件，直角也相等．③不正确，因为可能是一个等腰三角形的顶角与另一个等腰三角形的底角相等，显然这两个三角形不一定相似．④正确，因为100°的角只能是等腰三角形的顶角．
4．[解析] B 如图，过点O作OE⊥AD于点E.
∵BC切⊙O于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝∠OEA＝90°.
又∵OC∥AD，
∴∠EAB＝∠BOC，
∴△AOE∽△OCB，∴＝.
∵OC＝5，OA＝OB＝AB＝2，
即＝，解得EA＝.
∴AD＝2EA＝.故选B.
5．答案不唯一，如∠B＝∠DEF
6．[答案] 3
[解析] 由题意可知，△ABC∽△ACD，所以＝，即AC2＝AD·AB，所以4＝1×AB，
所以AB＝4，所以DB＝3.
7．[答案] 78
[解析] 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，DE⊥BC于点E，∴∠BAC＝∠DEC＝90°，
∴△EDC∽△ABC，
∴＝.在Rt△ABC中，由AB＝15，AC＝20，易知BC＝25，∴＝，故EC＝12.∴BE＝25－12＝13，∴△ABE的面积＝×△ABC的面积．∵△ABC的面积为×15×20＝150，∴△ABE的面积为×150＝78.
8．解：∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠ABD＋∠DBC＝∠CBE＋∠DBC，
即∠ABC＝∠DBE.
又∵∠BAC＝∠BDE，∴△ABC∽△DBE.
9．解：在△ACD和△ABC中，
∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，∴＝，
即AC2＝AD·AB＝AD·(AD＋BD)＝2×6＝12，∴AC＝2 (负值已舍去)．
10．[解析] 根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB＝∠CEB＝90°，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明．
解：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC.
∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.
又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.
[点评] 本题考查了相似三角形的判定、等腰三角形“三线合一”的性质，比较简单，确定出两组对应相等的角是解题的关键．
11．证明：(1)如图，连接OC.
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC.
由题意可知OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD.
又∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠OCD＝90°，
∴直线DC是⊙O的切线．
(2)连接BC.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°.
又∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，
∴＝，∴AC2＝AD·AB，
∴AC2＝2AD·AO.
12．解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠ACD＝∠EBA＝120°.
∵∠DAE＝120°，
∴∠EAB＋∠CAD＝∠DAE－∠BAC＝60°.
∵∠BEA＋∠EAB＝∠ABC＝60°，
∴∠CAD＝∠BEA.
又∵∠ACD＝∠EBA，∴△ABE∽△DCA.
(2)∵△ABE∽△DCA，∴＝.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝CA，∴＝，
∴BC2＝BE·CD.
(3)∵BC2＝BE·CD，
又BE＝4，CD＝9，∴BC2＝4×9，
解得BC＝6(负值已舍去)，
∴等边三角形的边长为6.
[素养提升]
解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF＝∠B.
又∵∠AEF＋∠CEM＝∠AEC＝∠B＋∠BAE，
∴∠CEM＝∠BAE，∴△ABE∽△ECM.
(2)能．∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM.
当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM，
∴EC＝AB＝5，
∴BE＝BC－EC＝6－5＝1.
当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA，
∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM，
即∠CAB＝∠CEA.
又∵∠C＝∠C，∴△EAC∽△ABC，
∴＝，∴EC＝＝，
∴BE＝6－＝.
综上可知，BE的长为1或.
第6章 图形的相似
6.4 第3课时 利用两边及夹角证相似
知识点 利用两边及夹角证相似
命题角度1 判定两个三角形相似
1．如图6－4－31，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，且AB＝9，AC＝6，AD＝3，BE＝7，△ADE与△ABC相似吗？请说明理由．
解：相似．理由：∵AB＝9，AC＝6，AD＝3，BE＝7，∴AE＝________，∴＝________＝________，＝________＝________，∴________＝________．又∵∠________＝∠________，∴△ADE∽△ABC.
图6－4－31
图6－4－32
2．2018·宜兴一模 已知△ABC如图6－4－32所示，则图6－4－33中与△ABC相似的是( )
图6－4－33
3．如图6－4－34，AB，CD交于点O，且OC＝45，OD＝30，OB＝36，当OA＝________时，△AOC∽△BOD；当OA＝________时，△AOC∽△DOB.
图6－4－34
图6－4－35
4．2017·潍坊 如图6－4－35，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，F为BC边上一点，添加一个条件：________________，使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)
5．如图6－4－36所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝4，在△ADE中，AD＝4，AE＝.
求证：△ADE∽△ABC.
图6－4－36
6．2017·南京期末 如图6－4－37，已知点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，且AD·AC＝AB·AE.求证：△ADE∽△ABC.
图6－4－37
命题角度2 判定两个三角形相似的运用
7．在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠D＝60°，∠E＝80°，＝，那么∠B的度数是( )
A．40° B．60°
C．80° D．100°
图6－4－38
8．如图6－4－38，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，且AD＝2，AC＝6，AE＝3，AB＝4，则DE∶BC＝________．
9．教材习题6.4第5题变式 如图6－4－39，在△ABC中，CD是边AB上的高，且＝.
(1)求证：△ACD∽△CBD；
(2)求∠ACB的大小．
图6－4－39
图6－4－40
10．教材练习第3题变式 如图6－4－40，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF＝3FD.则图中相似三角形的对数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
11．2017·随州 在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝________时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
12．如图6－4－41所示，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.
(1)写出图中的两对相似三角形(不得添加字母和辅助线)；
(2)请分别证明(1)中的两对三角形相似．
图6－4－41
13．如图6－4－42所示，在△ABC中，AD，BE是△ABC的高，连接DE，△DEC与△ABC相似吗？为什么？
图6－4－42
14．如图6－4－43，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B.射线AG与线段DE，BC分别交于点F，G，且＝.
(1)求证：△ADF∽△ACG；
(2)若＝，求的值．
图6－4－43
15．如图6－4－44，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.
(1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系；
(2)求∠ABD的度数．
图6－4－44
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第6章 图形的相似
6.4 第3课时 利用两边及夹角证相似
1．2 A A
2．C
3．54 37.5
4．答案不唯一，如：DF∥AC，∠DFB＝∠A，∠BDF＝∠ADE等
[解析] ∵AC＝3AD，AB＝3AE，∴＝＝.又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴∠AED＝∠B，
要使△FDB与△ADE相似，则还需一组角相等，如添加条件∠A＝∠BDF，∠A＝∠BFD，∠ADE＝∠BFD，∠ADE＝∠BDF，当然也可添加DF∥AC，若使用比例当作条件可添加：＝，＝.
5．证明：∵AB＝6，AC＝5，AD＝4，AE＝，
∴＝＝，＝＝，
∴＝.
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC.
6．证明：∵AD·AC＝AE·AB，∴＝.
在△ADE与△ABC中，∵＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.
7．B [解析] ∵在△DEF中，∠D＝60°，∠E＝80°，∴∠F＝40°＝∠A.又∵＝，∴△ABC∽△FDE，∴∠B与∠D是对应角，故∠B＝∠D＝60°.故选B.
8．1∶2 [解析] ∵AD＝2，AC＝6，AE＝3，AB＝4，∴＝，＝，
∴＝.
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE∶BC＝AD∶AB＝1∶2.
9．解：(1)证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°.
又∵＝，∴△ACD∽△CBD.
(2)∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD.
在△ACD中，∵∠ADC＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝90°，
∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.
10．C [解析] 有三对相似三角形，它们分别是Rt△ABE∽Rt△DEF，Rt△ABE∽Rt△EBF，Rt△EBF∽Rt△DEF.
理由：设正方形的边长为4a，则AE＝DE＝2a，DF＝a，CF＝3a，
在Rt△BCF中，BF＝＝5a，
在Rt△ABE中，BE＝＝2 a，
在Rt△DEF中，EF＝＝a.
∵BE2＋EF2＝BF2，
∴△BEF为直角三角形，且∠BEF＝90°.
∵＝＝2，＝＝2，∴＝.
又∵∠A＝∠D＝90°，
∴Rt△ABE∽Rt△DEF，
同理得Rt△ABE∽Rt△EBF，Rt△EBF∽Rt△DEF.
故选C.
11.或
[解析] 当＝时，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
此时AE＝＝＝；
当＝时，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
此时AE＝＝＝.
故答案为或.
12．解：(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE.
(2)①证明△ABC∽△ADE如下：
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE.
又∵∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE.
②证明△ABD∽△ACE如下：
∵△ABC∽△ADE，
∴AB∶AD ＝AC∶AE.
又∵∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE.
13．[解析] 要证△DEC与△ABC相似，可先证明△CDA∽△CEB，得到＝，再由∠C＝∠C，证明△CDE∽△CAB.
解：△DEC与△ABC相似．
理由：∵AD，BE是△ABC的高，
∴∠CDA＝∠CEB＝90°.
又∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CEB，
∴＝，∴＝.
又∵∠C＝∠C，∴△DEC∽△ABC.
14．解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，∴∠ADE＝∠C.
又∵＝，∴△ADF∽△ACG.
(2)∵△ADF∽△ACG，
∴＝＝，
∴＝1.
15．解：(1)∵AD＝BC＝，
∴AD2＝＝.
∵AC＝1，∴CD＝1－＝，
∴AD2＝AC·CD.
(2)∵AD2＝AC·CD，
∴BC2＝AC·CD，即＝.
又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，
∴＝.
又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD，
∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.
设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，
解得x＝36°，∴∠ABD＝36°.
[6.4 第3课时 利用两边及夹角证相似]
一、选择题
1．如图K－17－1，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )
图K－17－1
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC
C．AB2＝AD·AC D.＝
2．如图K－17－2，点P在△ABC的边AC上，要判定△ABP∽△ACB，需添加一个条件，下列添加条件中不正确的是( )
图K－17－2
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC
C.＝ D.＝
3．2017·枣庄如图K－17－3，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图K－17－4中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原来三角形不相似的是 ( )
图K－17－3
图K－17－4
4．如图K－17－5所示，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是( )
图K－17－5
A．△PAB∽△PCA B．△PAB∽△PDA
C．△ABC∽△DBA D．△ABC∽△DCA
二、填空题
5．在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′的长度为________时，△ABC∽△A′B′C′.
6．2017·随州在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝________时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
三、解答题
7．2017·南京期末如图K－17－6，已知AD·AC＝AB·AE.
求证：△ADE∽△ABC.
图K－17－6
8．如图K－17－7，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝EB.
求证：△AED∽△CBD.
图K－17－7
9.如图K－17－8所示，在矩形ABCD中，AB∶BC＝1∶2，点E在AD上，且DE＝3AE.
试说明：△ABC∽△EAB.
图K－17－8
10．如图K－17－9，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE.
求证：△ABC∽△CED.
图K－17－9
11．2016·福州如图K－17－10，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.
(1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系；
(2)求∠ABD的度数．
图K－17－10
12．如图K－17－11，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0＜t＜6)，那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？
图K－17－11
类比思想如图K－17－12①，在等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边向上作等边三角形EDC，连接AE.
(1)求证：AE∥BC；
(2)如图②，将(1)中的等边三角形ABC换成等腰三角形ABC，等边三角形EDC换成等腰三角形EDC，且△EDC∽△ABC，则是否仍有AE∥BC？请说明理由．
图K－17－12
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] D 在△ADB和△ABC中，∠A是它们的公共角，那么当＝时，才能使△ADB∽△ABC，不是当＝时．故选D.
2．[解析] D 选项A，当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项正确；
选项B，当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项正确；
选项C，当＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项正确；
选项D，无法得到△ABP∽△ACB，故此选项不正确．
3．[解析] C A项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两个三角形相似；B项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两个三角形相似；C项，两个三角形的两组边成比例，但其夹角不一定相等，故两个三角形不一定相似；D项，两个三角形的对应边成比例且夹角相等，故两个三角形相似．故选C.
4．[解析] C 若选择两个直角三角形，另两个锐角中没有对应的两个角相等，选项A，B不可能．选项C，D中，都有△ABC，考虑公共角∠ABC的两边是否对应成比例，故选C.
5．[答案] 3
[解析] 要使△ABC∽△A′B′C′，必有AB∶A′B′＝BC∶B′C′，所以A′B′＝3.
6．[答案] 或
[解析] ∵∠A＝∠A，分两种情况：(1)如图①，当＝时，△ADE∽△ABC，即＝，
解得AE＝；(2)如图②，当＝时，△ADE∽△ACB，即＝，解得AE＝.综上所述，当AE的长为或时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
7．证明：∵AD·AC＝AE·AB，
∴＝.
在△ABC与△ADE中，
∵＝，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC.
8．证明：∵△ABC为正三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，BC＝AB.
∵AE＝BE，∴CB＝2AE.
∵＝，∴CD＝2AD，
∴＝＝，
而∠A＝∠C，
∴△AED∽△CBD.
9．[解析] 这两个三角形有一组相等的直角，可寻找夹角的两边成比例．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝BC.
∵AB∶BC＝1∶2，DE＝3AE，
∴AE＝AB，
即AE∶AB＝1∶2，
∴＝.
又∵∠ABC＝∠EAB，∴△ABC∽△EAB.
10．[解析] 先利用勾股定理计算出AC＝2 ，则CE＝2 ，所以＝，再证明∠BAC＝∠DCE.然后根据相似三角形的判定方法可得△ABC∽△CED.
证明：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝＝2 .
∵CE＝AC，
∴CE＝2 .
∵CD＝5，＝＝，＝，
∴＝.
∵∠B＝90°，∠ACE＝90°，
∴∠BAC＋∠BCA＝90°，∠BCA＋∠ECD＝90°，
∴∠BAC＝∠ECD，
∴△ABC∽△CED.
11．解：(1)∵AD＝BC＝，
∴AD2＝＝.
∵AC＝1，∴CD＝1－＝，
∴AC·CD＝，
∴AD2＝AC·CD.
(2)∵AD2＝AC·CD，AD＝BC，
∴BC2＝AC·CD，
即＝.
又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，
∴＝.
又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD，
∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.
设∠A＝∠ABD＝x，
则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，
解得x＝36°，∴∠ABD＝36°.
12．[解析] 本题要分△POQ∽△AOB和△POQ∽△BOA两种情况进行求解，可根据相似得出比例式求出t的值．
解：①当运动t秒时，BQ＝t，OQ＝6－t，OP＝t.
若△POQ∽△AOB，则＝，
即＝，
整理，得12－2t＝t，
解得t＝4.
②若△POQ∽△BOA，则＝，
即＝.
整理，得6－t＝2t，解得t＝2.
∵0＜t＜6，
∴t＝4和t＝2均符合题意．
综上可知，当t＝4或t＝2时，△POQ与△AOB相似．
[素养提升]
解：(1)证明：∵△ABC和△EDC均为等边三角形，
∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠B＝60°，∠DCE＝60°，
∴∠BCA－∠DCA＝∠DCE－∠DCA，
即∠BCD＝∠ACE.
在△BCD和△ACE中，∵
∴△BCD≌△ACE，
∴∠B＝∠CAE＝60°，
∴∠CAE＝∠BCA，∴AE∥BC.
(2)仍有AE∥BC.理由：
由等腰三角形EDC∽等腰三角形ABC，得＝，∠DCE＝∠BCA，∠BCA－∠DCA＝∠DCE－∠DCA，
∴∠ECA＝∠DCB，
∴△ECA∽△DCB，
∴∠EAC＝∠B＝∠ACB，
∴AE∥BC.
第6章 图形的相似
6.4 第4课时 利用三边证相似
知识点 利用三边证相似
命题角度1 判定两个三角形相似
1．如图6－4－45，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20.在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．
解：相似．理由：∵＝______＝______，＝________＝________，＝________＝________，
∴________＝________＝________，
∴△ABC∽△ADE.
图6－4－45
2．如图6－4－46，在4×4的正方形网格中各有一个三角形，其中与图①中的三角形相似的是( )
图6－4－46
A．② B．③
C．②和④ D．③和④
3．在△ABC中，AB∶BC∶CA＝2∶3∶4，在△A′B′C′中，A′B′＝1，C′A′＝2，当B′C′＝______时，△ABC∽△A′B′C′.
4．如图6－4－47在△ABC和△DEF中，已知＝，再添加一个条件：________________，可使△ABC∽△DEF.
图6－4－47
5．已知一个三角形的三边长分别是6 cm，7.5 cm，9 cm，另一个三角形的三边长分别是8 cm，10 cm，12 cm，则这两个三角形________(填“相似”或“不相似”)．
6．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．
(1)∠A＝80°，AB＝10，AC＝20，∠A′＝80°，A′B′＝4，A′C′＝6；
(2)AB＝5，BC＝6，AC＝7，A′B′＝15，B′C′＝18，A′C′＝21.
7．如图6－4－48，格中每个方格都是边长为1的小正方形．若A，B，C，D，E，F都是小正方形的格点．
求证：△ABC∽△DEF.
图6－4－48
命题角度2 判定两个三角形相似的运用
8．2017·河北 若△ABC的每条边长都增加各自的10%得到△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比( )
A．增加了10% B．减少了10%
C．增加了(1＋10%) D．没有改变
图6－4－49
9．如图6－4－49，已知＝＝，∠BAD＝30°，则∠CAE＝________°.
10．教材练习第3题变式 2018·建湖县一模 如图6－4－50，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，且＝＝.
(1)∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？
(2)试判断△ABE与△ACD是否相似，并说明理由．
图6－4－50
11．2017·丹阳期中 在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，将△ABC沿图6－4－51中所示虚线剪开，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )
图6－4－51
12．已知在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6.
(1)如果DE＝10，那么当EF＝______，FD＝______时，△DEF∽△ABC；
(2)如果DE＝10，那么当EF＝______，FD＝______时，△FDE∽△ABC.
13．已知四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中的条件如图6－4－52所示，求证：△BDC∽△B′D′C′.
图6－4－52
14．如图6－4－53，O是△ABC内一点，D，E，F分别为OA，OB，OC上的点，且＝＝.求证：△DEF∽△ABC.
图6－4－53
15．如图6－4－54，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似．(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应的线段，不必说明理由)
图6－4－54
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第6章 图形的相似
6.4 第4课时 利用三边证相似
1.
2．A [解析] 已知图①中的三角形的三条边长分别是2，2 ，2 .图②中三角形的三条边长分别是2，，；
图③中三角形的三条边长分别是3，，；
图④中三角形的三条边长分别是3，，4 .
只有图②中的三角形的三条边与图①中的三角形的三条边对应成比例：＝＝＝.故选A.
3．1.5 [解析] 要使△ABC∽△A′B′C′，就需要AB∶BC∶CA＝A′B′∶B′C′∶C′A′，从而求得B′C′＝1.5.
4．答案不唯一，如∠B＝∠E，＝等
5．相似
6．解：(1)不相似．因为＝＝，＝＝，所以≠，所以△ABC与△A′B′C′不相似．
(2)相似．因为＝＝，＝＝，＝＝，所以＝＝.
因为△ABC与△A′B′C′的三条边对应成比例，
所以△ABC∽△A′B′C′.
7．证明：由图示及勾股定理，得
AC＝，BC＝，AB＝4，DF＝2 ，EF＝2，DE＝8，
∴＝＝＝，∴△ABC∽△DEF.
8．D [解析] ∵A′B′＝1.1AB，A′C′＝1.1AC，B′C′＝1.1BC，∴＝＝＝1.1，△A′B′C′∽△ABC，∴∠B′＝∠B.故选D.
9．30 [解析] ∵＝＝，
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC.
即∠BAD＝∠CAE.
∵∠BAD＝30°，∴∠CAE＝30°.
10．解：(1)∠BAE与∠CAD相等．
理由：∵＝＝，∴△ABC∽△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，∴∠BAE＝∠CAD.
(2)△ABE与△ACD相似．
理由：∵＝，∴＝.
又∵∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD.
11．D [解析] 在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6.A项，＝＝，对应边＝＝≠，∴沿虚线剪下的阴影三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B项，＝，对应边＝＝≠，∴沿虚线剪下的阴影三角形与△ABC不相似，故此选项错误；C项，＝＝，对应边＝＝≠，∴沿虚线剪下的阴影三角形与△ABC不相似，故此选项错误；D项，＝＝，对应边＝＝，∴沿虚线剪下的阴影三角形与△ABC相似，故此选项正确．故选D.
12．(1) 15 (2)12 8
[解析] 本题考查相似三角形顶点和边的对应关系．△DEF∽△ABC意味着＝＝，△FDE∽△ABC意味着＝＝.
13．证明：在△ABD和△A′B′D′中，＝＝2，∠A＝∠A′＝100°，
∴△ABD∽△A′B′D′，∴＝＝2.
在△BDC和△B′D′C′中，
∵＝＝＝2，
∴△BDC∽△B′D′C′.
14．证明：∵＝，∠DOE＝∠AOB，
∴△ODE∽△OAB，∴＝.
同理＝，＝.
∵＝，∴＝＝，
∴△DEF∽△ABC.
15．[解析] 要判断两个三角形是否相似，要么找到两个角相等，要么说明两边对应成比例及其夹角相等，要么说明各对应边的比值相等．作一个三角形与已知三角形相似也用同样的办法．
解：(1)△ABC和△DEF相似．
理由：根据勾股定理，得AB＝2 ，AC＝，BC＝5；DE＝4 ，DF＝2 ，EF＝2 .
∵＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF.
(2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可，如图．
△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，
△P4P5D，△P2P4P5，△P1FD.
[6.4 第4课时 利用三边证相似]
一、选择题
1．△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为( )
A. B. C. D.
2．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①＝；②＝；③∠B＝∠B′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定△ABC∽△A′B′C′的共有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
3．如图K－18－1，在边长为1的格点图形中，与△ABC相似的是( )
图K－18－1
图K－18－2
4．如图K－18－3所示，若A，B，C，P，Q，甲、乙、丙、丁都是方格纸上的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁4点中的( )
图K－18－3
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
二、填空题
5．若一个三角形的三边长之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边的边长为21 cm，则其余两边长的和为________cm.
6．如图K－18－4，在△ABC和△DEF中，已知＝，再添加一个条件：________________________________________________________________________，
使得△ABC∽△DEF.
图K－18－4
7．正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC边上，BF＝3CF.则下列结论：(1)△ABF∽△AEF；(2)△ECF∽△ADE；(3)△AEF∽△ADE；(4)△ABF∽△ADE；(5)△ECF∽△AEF.其中正确的有________(填写序号)．
8．如图K－18－5，在7×12的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，观察画面中由黑色阴影组成的五个三角形，则相似三角形有________对.
图K－18－5
三、解答题
9．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．
(1)∠B＝30°，AB＝3 cm，AC＝4 cm，∠B′＝30°，A′B′＝6 cm，A′C′＝8 cm；
(2)AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝5 cm，A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，A′C′＝15 cm.
10.如图K－18－6所示，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC，△DEF的顶点都在格点上，那么△ABC与△DEF相似吗？试说明理由.
图K－18－6
11．已知AD和A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的中线，且＝＝.
试判断△ABC与△A1B1C1是否相似，并说明你的理由．
12．如图K－18－7，在△ABC中，AD为边BC上的高，E，F分别为AB，AC的中点，△DEF与△ABC相似吗？说明你的理由．
图K－18－7
13．如图K－18－8，在△ABC和△ADE中，＝＝，点B，D，E在一条直线上．
求证：△ABD∽△ACE.
图K－18－8
类比思想学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到：“满足____________________________的两个直角三角形相似”．请结合下列所给图形，写出已知、求证，并完成说理过程．
图K－18－9
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] A 设第三边长为x，分类讨论：(1)＝＝，则x＝；(2)＝≠，故不成立；(3)≠＝，故不成立．
2．[解析] D 根据相似三角形的判定方法，知①②，②④，③④，①③满足条件，故选D.
3．[解析] A 根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．
已知给出的三角形的各边分别为，2，，
所以△ABC的三边之比为∶2∶＝1∶∶.
A项，三角形的三边分别为1，，，三边之比为1∶∶，故A选项正确；
B项，三角形的三边分别为，，3，三边之比为∶∶3，故B选项错误；
C项，三角形的三边分别为1，，2 ，三边之比为1∶∶2 ，故C选项错误；
D项，三角形的三边分别为2，，，三边之比为2∶∶，故D选项错误．故选A.
4．[解析] C 记方格纸上每一小格的边长为1，记甲、乙、丙、丁4点为X，Y，Z，W.则AB＝2，BC＝AC＝，PQ＝4.若△ABC∽△PQR，则PR＝2 .而PX，PY，PZ，PW中只有PZ的长为2 ，所以R应是丙点．
5．[答案] 24
[解析] 设另两边长分别为x cm，y cm(x6．答案不唯一，如∠B＝∠E或＝
7．(2)(3)(5)
8．[答案] 2
[解析] 如图，设一个小正方形的边长为1，则计算各个小三角形的各边长如下：
△ABC的各边分别为2，，；
△CDF的各边分别为，，3；
△EFG的各边分别为，，；
△HMN的各边分别为1，，；
△HPQ的各边分别为2，2 ，2 ；
可以得出△ABC与△EFG，△HMN与△HPQ的各边对应成比例，所以这两组三角形相似．
故答案为2.
9．解：(1)不一定相似．
理由：∵＝＝，＝＝，
∴＝，
但∠B不是边AB，AC两边的夹角，∠B′不是边A′B′，A′C′的夹角，不满足三角形相似的条件，∴△ABC与△A′B′C′不一定相似．
(2)相似．
理由：∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，
∴△ABC∽△A′B′C′.
10．解：不相似．理由：在△ABC中，AC＝4，由勾股定理，求得BC＝AB＝＝2 .
在△DEF中，由勾股定理，得
DF＝，DE＝EF＝，
∴＝＝＝，
而＝≠，∴＝≠，
∴△ABC与△DEF不相似．
11．解：相似．理由：如图，等倍延长中线AD和A1D1至M和M1，连接BM和B1M1，则AM＝2AD，A1M1＝2A1D1.易证△ADC≌△MDB，△A1D1C1≌△M1D1B1，则BM＝AC，B1M1＝A1C1.
∵＝＝，
∴＝＝，
∴△ABM∽△A1B1M1，
∴∠BAM＝∠B1A1M1，∠M＝∠M1.
由△ADC≌△MDB，得∠DAC＝∠M，
由△A1D1C1≌△M1D1B1，得∠D1A1C1＝∠M1，
∴∠DAC＝∠D1A1C1，
∴∠BAC＝∠B1A1C1.
又∵＝，
∴△ABC∽△A1B1C1.
12．[解析] 根据三角形的中位线性质可得EF＝BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝AB，DF＝AC，所以有＝＝＝，可证得△DEF与△ABC相似．
解：△DEF∽△ABC.理由：
∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF＝BC.
∵AD为边BC上的高，E，F分别为AB，AC的中点，∴DE＝AB，DF＝AC，
∴＝＝＝，∴△DEF∽△ABC.
13．[解析] 在△ABC和△ADE中，由＝＝，可证得△ABC∽△ADE，即可证得∠BAD＝∠CAE，又由＝，即可证得△ABD∽△ACE.
证明：∵在△ABC和△ADE中，＝＝，∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.
∵＝，∴＝，∴△ABD∽△ACE.
[素养提升]
解： 斜边和一条直角边对应成比例
已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′，且＝.
求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
证明：设＝＝k(k＞0)，
则BC＝k·B′C′，AB＝k·A′B′.
∵AC＝＝＝k＝k·A′C′，
∴＝k，从而＝＝＝k，
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
第6章 图形的相似
6.4 第5课时 圆中的相似、三角形的重心
知识点 1 圆中的相似
1．如图6－4－55，△ABC的角平分线AD的延长线交△ABC的外接圆于点E.则下列结论中不正确的是( )
A．△BAE∽△DBE B．△BAE∽△DAC
C．△DBE∽△DAC D．△BAD∽△DAC
图6－4－55
图6－4－56
2．如图6－4－56，⊙O的弦AB，CD相交于点P.若AP＝3，BP＝4，CP＝2，则CD的长为( )
A．6 B．12 C．8 D．不能确定
3．2018·滨州 如图6－4－57，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB.
求证：(1)直线DC是⊙O的切线；
(2)AC2＝2AD·AO.
图6－4－57
4．已知：如图6－4－58，AD是△ABC的边BC上的高，AE是△ABC外接圆的直径．
求证：AB·AC＝AD·AE.
图6－4－58
知识点 2 三角形的重心
5．三角形的重心是三角形的( )
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
6．如图6－4－59，在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AG＝6，那么线段DG的长为( )
A．2 B．3 C．6 D．12
图6－4－59
图6－4－60
7．如图6－4－60，△ABC的中线BE与CD交于点G，连接DE，下列结论正确的是( )
A．点G是△ABC的内心
B．BD＝2CE
C．S△BGC＝2S△DGE
D．S△BDG＝S△CEG
图6－4－61
8．如图6－4－61，若AD，BE是△ABC的中线，AD，BE相交于点F，FD＝2，则线段AD的长为________．
9．如图6－4－62，在△ABC中，AE，BF交于点D，且D是△ABC的重心，S△DEF＝2，求△AEC的面积．
图6－4－62
10．如图6－4－63，在△ABC中，点O是重心，BC＝10，连接AO并延长交BC于点D，连接BO并延长交AC于点E，AD⊥BE.若BE＝6，AO＝6，则AC的长为( )
A．8 B．4 C．12 D．14
图6－4－63
图6－4－64
11．如图6－4－64，已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G.若BC＝6 cm，则DE等于________ cm.
12．2018·遵义 如图6－4－65，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E，连接DE.若DE＝3，则AD的长为________．
图6－4－65
图6－4－66
13．如图6－4－66，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AD＝18，点E在AC上且CE＝AC，连接BE，与AD交于点F.若BE＝15，则△DBF的周长是________．
14．2017·姜堰期中 如图6－4－67，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，F为△ABC的重心，AB＝6，则EF＝________．
图6－4－67
15．2017·聊城 如图6－4－68，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)求证：△PBD∽△DCA；
(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．
图6－4－68
16．如图6－4－69，已知点G是△ABC的重心，AG⊥GC.
(1)若AC＝4 cm，求BG的长；
(2)若△ABC的面积为9 cm2，求△GBC的面积．
图6－4－69
17．如图6－4－70，已知矩形ABCD中，DE∥AC，DE与BC的延长线交于点E，AE交CD于点F，BF交AC于点G.
(1)求证：点G是△ABE的重心；
(2)已知＝，求证：∠BCG＝∠BGC.
图6－4－70
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第6章 图形的相似
6.4 第5课时 圆中的相似、三角形的重心
1．D
2．C [解析] 连接AC，BD，则△PAC∽△PDB，∴＝，
∴DP＝.
∵AP＝3，BP＝4，CP＝2，∴DP＝6，
∴CD＝CP＋DP＝2＋6＝8.故选C.
3．证明：(1)连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC.
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD.
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.
∵点C在⊙O上，∴直线DC是⊙O的切线．
(2)连接BC，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADC＝90°.
又∵∠BAC＝∠DAC，∴△ACB∽△ADC，
∴＝，∴AC2＝AD·AB，
∴AC2＝2AD·AO.
4．证明：∵AD是△ABC的边BC上的高，AE是△ABC外接圆的直径，
∴∠ADB＝∠ACE＝90°.
又∵∠B＝∠E，∴△ADB∽△ACE，
∴AB∶AE＝AD∶AC，
∴AB·AC＝AD·AE.
5．A
6．B [解析] 根据重心的性质，三角形的重心到一顶点的距离等于其到对边中点距离的2倍，可直接求得结果．
7．D [解析] 根据三角形重心的定义和性质对各选项分析判断，利用排除法求解．
8．6 [解析] ∵AD，BE是△ABC的中线，AD，BE相交于点F，FD＝2，∴点F是△ABC的重心，∴AF＝2FD＝2×2＝4，∴AD＝AF＋FD＝4＋2＝6.
9．解：∵D是△ABC的重心，
∴AD＝2DE，F为AC的中点，
∴S△ADF＝2S△DEF＝4，
∴S△EFC＝S△AEF＝6，∴S△AEC＝12.
10．B [解析] ∵O是△ABC的重心，
∴E是AC的中点，OE＝BE＝×6＝2.
∵AD⊥BE，∴AE＝＝2，
∴AC＝2AE＝2×2＝4.
故选B.
11．4 [解析] 连接AG并延长交BC于点N.∵G是△ABC的重心，DE∥BC，∴△ADG∽△ABN，BN＝CN，DG＝EG，∴＝＝.∵BC＝6 cm，∴BN＝3 cm，∴DG＝2 cm，∴DE＝4 cm.
12．2 [解析] 连接BE，因为∠DAE＝∠DBE，∠DAE＝∠ACB，所以∠DBE＝∠ACB.因为BD是直径，所以∠BED＝90°.又因为∠ABC＝90°，所以∠BED＝∠ABC，所以△BED∽△CBA，所以＝，得到EB＝6.Rt△BED中，根据勾股定理得BD＝3 .在Rt△ADB中，根据勾股定理得AD＝2 .
13．24 [解析] 根据等腰三角形三线合一的性质得出BD＝CD，又由CE＝AC，可知F是△ABC的重心，根据重心的性质，得BF＝BE＝10，DF＝AD＝6.在Rt△BDF中利用勾股定理求得BD＝8，进而得出△DBF的周长为24.
14．1
15．解：(1)证明：如图，连接OD.
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝90°.
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠BOD＝90°.
∵PD∥BC，∴∠PDO＋∠BOD＝180°，
∴∠PDO＝90°，即PD⊥OD.
又∵点D在⊙O上，∴PD是⊙O的切线．
(2)证明：∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠ABD＋∠DCA＝180°.
又∵∠PBD＋∠ABD＝180°，
∴∠PBD＝∠DCA.
∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠P＝∠ADC，∴△PBD∽△DCA.
(3)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝＝10，
∴OB＝OC＝OD＝5.
又∵OD⊥BC，∴DB＝DC＝5 .
∵△PBD∽△DCA，∴＝，
即＝，
∴PB＝＝.
16．解：(1)如图，延长BG交AC于点D.
∵G是△ABC的重心，
∴BD为△ABC的中线．
又∵AG⊥GC，
∴GD为Rt△AGC斜边上的中线，
∴GD＝AC.
又∵G是△ABC的重心，
∴BG＝2GD＝AC＝4 cm.
(2)∵BD为△ABC的中线，
∴S△CBD＝S△ABC＝ cm2.
∵G是△ABC的重心，
∴BD＝3GD，∴S△GBC＝S△CBD＝3 cm2.
17．证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，BC＝AD.
又∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AF＝EF，AD＝CE.
∵BC＝AD，∴BC＝CE，
∴点G是△ABE的重心．
(2)∵∠ABE＝90°，AF＝EF，
∴BF＝AE＝AF.
∵点G是△ABE的重心，
∴BG＝BF＝AF.
∵＝，∴BC＝AD＝AF，
∴BC＝BG，
∴∠BCG＝∠BGC.
第6章 图形的相似
6.4 第5课时 圆中的相似、三角形的重心
知识点 1 圆中的相似
1．如图6－4－55，△ABC的角平分线AD的延长线交△ABC的外接圆于点E.则下列结论中不正确的是( )
A．△BAE∽△DBE B．△BAE∽△DAC
C．△DBE∽△DAC D．△BAD∽△DAC
图6－4－55
图6－4－56
2．如图6－4－56，⊙O的弦AB，CD相交于点P.若AP＝3，BP＝4，CP＝2，则CD的长为( )
A．6 B．12 C．8 D．不能确定
3．2018·滨州 如图6－4－57，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB.
求证：(1)直线DC是⊙O的切线；
(2)AC2＝2AD·AO.
图6－4－57
4．已知：如图6－4－58，AD是△ABC的边BC上的高，AE是△ABC外接圆的直径．
求证：AB·AC＝AD·AE.
图6－4－58
知识点 2 三角形的重心
5．三角形的重心是三角形的( )
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
6．如图6－4－59，在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AG＝6，那么线段DG的长为( )
A．2 B．3 C．6 D．12
图6－4－59
图6－4－60
7．如图6－4－60，△ABC的中线BE与CD交于点G，连接DE，下列结论正确的是( )
A．点G是△ABC的内心
B．BD＝2CE
C．S△BGC＝2S△DGE
D．S△BDG＝S△CEG
图6－4－61
8．如图6－4－61，若AD，BE是△ABC的中线，AD，BE相交于点F，FD＝2，则线段AD的长为________．
9．如图6－4－62，在△ABC中，AE，BF交于点D，且D是△ABC的重心，S△DEF＝2，求△AEC的面积．
图6－4－62
10．如图6－4－63，在△ABC中，点O是重心，BC＝10，连接AO并延长交BC于点D，连接BO并延长交AC于点E，AD⊥BE.若BE＝6，AO＝6，则AC的长为( )
A．8 B．4 C．12 D．14
图6－4－63
图6－4－64
11．如图6－4－64，已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G.若BC＝6 cm，则DE等于________ cm.
12．2018·遵义 如图6－4－65，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E，连接DE.若DE＝3，则AD的长为________．
图6－4－65
图6－4－66
13．如图6－4－66，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AD＝18，点E在AC上且CE＝AC，连接BE，与AD交于点F.若BE＝15，则△DBF的周长是________．
14．2017·姜堰期中 如图6－4－67，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，F为△ABC的重心，AB＝6，则EF＝________．
图6－4－67
15．2017·聊城 如图6－4－68，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)求证：△PBD∽△DCA；
(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．
图6－4－68
16．如图6－4－69，已知点G是△ABC的重心，AG⊥GC.
(1)若AC＝4 cm，求BG的长；
(2)若△ABC的面积为9 cm2，求△GBC的面积．
图6－4－69
17．如图6－4－70，已知矩形ABCD中，DE∥AC，DE与BC的延长线交于点E，AE交CD于点F，BF交AC于点G.
(1)求证：点G是△ABE的重心；
(2)已知＝，求证：∠BCG＝∠BGC.
图6－4－70
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第6章 图形的相似
6.4 第5课时 圆中的相似、三角形的重心
1．D
2．C [解析] 连接AC，BD，则△PAC∽△PDB，∴＝，
∴DP＝.
∵AP＝3，BP＝4，CP＝2，∴DP＝6，
∴CD＝CP＋DP＝2＋6＝8.故选C.
3．证明：(1)连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC.
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD.
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.
∵点C在⊙O上，∴直线DC是⊙O的切线．
(2)连接BC，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADC＝90°.
又∵∠BAC＝∠DAC，∴△ACB∽△ADC，
∴＝，∴AC2＝AD·AB，
∴AC2＝2AD·AO.
4．证明：∵AD是△ABC的边BC上的高，AE是△ABC外接圆的直径，
∴∠ADB＝∠ACE＝90°.
又∵∠B＝∠E，∴△ADB∽△ACE，
∴AB∶AE＝AD∶AC，
∴AB·AC＝AD·AE.
5．A
6．B [解析] 根据重心的性质，三角形的重心到一顶点的距离等于其到对边中点距离的2倍，可直接求得结果．
7．D [解析] 根据三角形重心的定义和性质对各选项分析判断，利用排除法求解．
8．6 [解析] ∵AD，BE是△ABC的中线，AD，BE相交于点F，FD＝2，∴点F是△ABC的重心，∴AF＝2FD＝2×2＝4，∴AD＝AF＋FD＝4＋2＝6.
9．解：∵D是△ABC的重心，
∴AD＝2DE，F为AC的中点，
∴S△ADF＝2S△DEF＝4，
∴S△EFC＝S△AEF＝6，∴S△AEC＝12.
10．B [解析] ∵O是△ABC的重心，
∴E是AC的中点，OE＝BE＝×6＝2.
∵AD⊥BE，∴AE＝＝2，
∴AC＝2AE＝2×2＝4.
故选B.
11．4 [解析] 连接AG并延长交BC于点N.∵G是△ABC的重心，DE∥BC，∴△ADG∽△ABN，BN＝CN，DG＝EG，∴＝＝.∵BC＝6 cm，∴BN＝3 cm，∴DG＝2 cm，∴DE＝4 cm.
12．2 [解析] 连接BE，因为∠DAE＝∠DBE，∠DAE＝∠ACB，所以∠DBE＝∠ACB.因为BD是直径，所以∠BED＝90°.又因为∠ABC＝90°，所以∠BED＝∠ABC，所以△BED∽△CBA，所以＝，得到EB＝6.Rt△BED中，根据勾股定理得BD＝3 .在Rt△ADB中，根据勾股定理得AD＝2 .
13．24 [解析] 根据等腰三角形三线合一的性质得出BD＝CD，又由CE＝AC，可知F是△ABC的重心，根据重心的性质，得BF＝BE＝10，DF＝AD＝6.在Rt△BDF中利用勾股定理求得BD＝8，进而得出△DBF的周长为24.
14．1
15．解：(1)证明：如图，连接OD.
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝90°.
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠BOD＝90°.
∵PD∥BC，∴∠PDO＋∠BOD＝180°，
∴∠PDO＝90°，即PD⊥OD.
又∵点D在⊙O上，∴PD是⊙O的切线．
(2)证明：∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠ABD＋∠DCA＝180°.
又∵∠PBD＋∠ABD＝180°，
∴∠PBD＝∠DCA.
∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠P＝∠ADC，∴△PBD∽△DCA.
(3)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝＝10，
∴OB＝OC＝OD＝5.
又∵OD⊥BC，∴DB＝DC＝5 .
∵△PBD∽△DCA，∴＝，
即＝，
∴PB＝＝.
16．解：(1)如图，延长BG交AC于点D.
∵G是△ABC的重心，
∴BD为△ABC的中线．
又∵AG⊥GC，
∴GD为Rt△AGC斜边上的中线，
∴GD＝AC.
又∵G是△ABC的重心，
∴BG＝2GD＝AC＝4 cm.
(2)∵BD为△ABC的中线，
∴S△CBD＝S△ABC＝ cm2.
∵G是△ABC的重心，
∴BD＝3GD，∴S△GBC＝S△CBD＝3 cm2.
17．证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，BC＝AD.
又∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AF＝EF，AD＝CE.
∵BC＝AD，∴BC＝CE，
∴点G是△ABE的重心．
(2)∵∠ABE＝90°，AF＝EF，
∴BF＝AE＝AF.
∵点G是△ABE的重心，
∴BG＝BF＝AF.
∵＝，∴BC＝AD＝AF，
∴BC＝BG，
∴∠BCG＝∠BGC.
