第6章 图形的相似
6.5 第1课时 相似三角形的周长、面积的性质
知识点 1 相似三角形(多边形)周长的比
1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3∶4，则△ABC与△DEF的周长之比为( )
A．4∶3 B．3∶4
C．16∶9 D．9∶16
2．已知两个五边形相似，其中一个五边形的周长为36，最短边长为4，另一个五边形的最短边长为3，则它的周长为( )
A．21 B．27 C．30 D．48
3．若两个相似三角形的周长之比为2∶3，则它们的相似比是________．
4．已知△ABC∽△DEF，其中AB＝5，BC＝6，CA＝9，DE＝3，那么△DEF的周长是________．
知识点 2 相似三角形(多边形)面积的比
5．2018·广东 在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为( )
A. B. C. D.
6．两个相似三角形的一组对应边长分别为5 cm和3 cm，如果它们的面积之和为136 cm2，则较大三角形的面积是( )
A．36 cm2 B．85 cm2
C．96 cm2 D．100 cm2
7．若△ABC与△DEF相似，且面积之比为25∶16，则△ABC与△DEF的周长之比为________．
8．如图6－5－1，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE与△EFC的面积分别为4 cm2和9 cm2，求△ABC的面积．
图6－5－1
9．如图6－5－2，点O是△ABC的重心，延长BO，交AC于点E，延长CO，交AB于点D，连接DE，则C△DOE∶C△BOC的值为( )
A. B. C. D.
图6－5－2
图6－5－3
10．如图6－5－3，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，则DF的长是________．
11．如图6－5－4，已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处．已知折痕与边BC交于点O.
(1)求证：△OCP∽△PDA；
(2)若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边AB的长．
图6－5－4
/ 教 师 详 解 详 析 /
第6章 图形的相似
6.5 第1课时 相似三角形的周长、
面积的性质
1．B 2.B 3.2∶3 4.12
5．C [解析] 相似三角形面积的比等于相似比的平方，由中位线性质知△ADE与△ABC的相似比为1∶2，所以△ADE与△ABC的面积之比为.
6．D [解析] 两个相似三角形的相似比为5∶3，则它们的面积比为25∶9.设这两个三角形的面积分别为25k cm2，9k cm2，则25k＋9k＝136，解得k＝4，所以较大三角形的面积是25×4＝100(cm2)．故选D.
7．5∶4 [解析] ∵△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，
∴△ABC与△DEF的相似比为5∶4，
∴△ABC与△DEF的周长之比为5∶4.
8．解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC＝∠EFC，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△EFC，∴＝＝＝，∴＝.
又∵△ADE∽△ABC，
∴＝()2＝，
∴S△ABC＝S△ADE＝25 cm2.
9．A [解析] 根据点O是△ABC的重心可知DE是△ABC的中位线，故可得出DE＝BC，再由重心的性质可知OD＝OC，OE＝OB，据此可得出结论．
10．7 [解析] ∵DE∥AB，∴△FEC∽△ABC，∴＝()2＝()2＝.∵△ABC和△DEC的面积相等，∴＝.又△CFE，△DEC在EF，DE边上的高相同，结合三角形的面积公式，得＝.∵EF＝9，∴DE＝16，∴DF＝DE－EF＝10－9＝7.故答案为7.
11．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠CPO＋∠COP＝90°.
由折叠的性质可得，∠APO＝∠B＝90°，
∴∠CPO＋∠DPA＝90°，∴∠COP＝∠DPA，
∴△OCP∽△PDA.
(2)∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，△OCP∽△PDA，
∴＝＝＝，
∴PA＝2OP，AD＝2PC.
∵AD＝8，∴PC＝4.
由折叠的性质可得OP＝OB，PA＝AB.
设OP＝x，则OB＝x，CO＝8－x.
在Rt△PCO中，
∵∠C＝90°，PC＝4，OP＝x，CO＝8－x，
∴x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，则OP＝5，
∴AB＝AP＝2OP＝10.
[6.5 第1课时 相似三角形周长、面积的性质]
一、选择题
1．2017·重庆已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比是( )
A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1
2．如果两个相似正五边形的边长比为1∶10，那么它们的面积比为( )
A．1∶2 B．1∶5
C．1∶100 D．1∶10
3．2018·自贡如图K－20－1，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为( )
图K－20－1
A．8 B．12 C．14 D．16
4．如图K－20－2，在?ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是( )
图K－20－2
A．m＝5 B．m＝4
C．m＝3 D．m＝10
5．如图K－20－3，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，有下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确的结论有( )
图K－20－3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．2016·宿迁若两个相似三角形的面积比为1∶4，则这两个相似三角形的周长比是________.
7．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为________．
8．若两个相似六边形的周长比是3∶2，其中较大六边形的面积为81，则较小六边形的面积为________．
9．如图K－20－4，在△ABC中，DE∥BC，＝，△ADE的面积为8，则△ABC的面积为________．
图K－20－4
10．如图K－20－5所示，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AD的中点，△BCD的周长为8 cm，则△DEO的周长为________ cm.
图K－20－5
11．2017·广东改编如图K－20－6，已知正方形ABCD，E是BC的中点，DE与AC相交于点F，连接BF.有下列结论：①S△ABF＝S△ADF ; ② S△CDF＝S△CEF ；③S△ADF＝S△CEF ; ④S△ADF＝2S△CDF .其中正确的是________．(填序号)
图K－20－6
三、解答题
12．已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为3∶4，AB∶BC∶AC＝2∶3∶4，△A1B1C1的周长是72 cm，求△ABC的三边长.
13.已知矩形ABCD的长和宽分别为8 cm，4 cm，与它相似的矩形A1B1C1D1的一条边长为12 cm，求矩形A1B1C1D1的面积．
14．如图K－20－7，在?ABCD中，E是AD边的中点，连接BE，并延长交CD的延长线于点F.
(1)求证：DF＝AB；
(2)当?ABCD的面积为8时，求△DFE的面积．
图K－20－7
阅读下面的短文：
如图K－20－8，甲、乙是两个形状相同，大小不相同的五棱柱．像这样，两个形状相同，大小不一定相同的几何体称为相似体．两个相似体的一切对应线段之比都等于相似比(a∶a′＝b∶b′＝c∶c′＝k)．
图K－20－8
解答下列问题：
(1)下列几何体中，一定属于相似体的是( )
A．两个正方体 B．两个圆锥
C．两个圆柱 D．两个长方体
(2)请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体一切对应线段(或弧)的长度比等于________；
②相似体表面积的比等于________________；
③相似体体积的比等于________________．
(3)2013年01月05日，江苏省异种器官移植重点实验室培育成功首批转基因克隆猪，标志着我国开展异种器官移植迈开了实质性步伐．这头克隆猪出生时体重为3.1 kg，假定在完全正常发育的条件下，不同时期的这头克隆猪的身体是相似体，经过若干年后，这头小克隆猪的身高为70 cm时，它的体重为40 kg.你能求出这头克隆猪出生时的身高吗？(精确到1 cm，不考虑不同时期克隆猪的身体平均密度的变化)
详解详析
[课堂达标]
1．A 2.C
3．[解析] D ∵在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC.
∵＝，∴＝.
∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为16.
故选D.
4．[解析] B ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵AB∥CD，∴△OCD∽△OEB.
又∵E是AB的中点，∴2BE＝AB＝CD，
∴＝，即＝，
解得m＝4 .
故选B.
5．[解析] B ∵BE，CD是△ABC的中线，即D，E分别是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，即＝，
∴△DOE∽△COB，
∴＝()2＝，＝＝＝，
故①正确，②错误，③正确．
如图，设△ABC的边BC上的高为AF，
则S△ABC＝BC·AF，S△ADC＝S△ABC＝BC·AF.
∵在△ODE中，DE＝BC，
∴DE边上的高是×AF＝AF，
∴S△ODE＝·BC·AF＝BC·AF，
∴＝＝，故④错误．
故正确的结论是①③.故选B.
6．[答案] 1∶2
[解析] ∵两个相似三角形的面积比为1∶4，
∴这两个相似三角形的相似比为1∶2，
∴这两个相似三角形的周长比是1∶2.
7．[答案] 9∶1
[解析] ∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，
∴△ABC与△DEF的相似比是3∶1，
∴△ABC与△DEF的面积之比为9∶1.
8．[答案] 36
[解析] ∵两个相似六边形的周长比是3∶2，
∴它们的面积比为9∶4.
∵较大六边形的面积为81，
∴较小六边形的面积为81×＝36.
9．[答案] 18
[解析] 因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以＝()2＝.因为△ADE的面积为8，所以△ABC的面积为18，故应该填18.
10．[答案] 4
[解析] 解法一：∵O是?ABCD对角线的交点，
∴O是BD的中点．
又∵E是AD的中点，在?ABCD中，AD＝BC，
∴＝＝＝.
又∵∠ADB＝∠DBC，
∴△DEO∽△BCD，
∴＝，
∴△DEO的周长＝△BCD的周长＝×8＝4(cm)，故填4.
解法二：∵O是?ABCD对角线的交点，
∴AC，BD互相平分于点O.
又∵E是AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE＝CD.
在?ABCD中，AD＝BC，
∴DE＝AD＝BC，
∴OE＋DE＋OD＝CD＋BC＋BD＝(CD＋BC＋BD)＝△BCD的周长＝×8＝4(cm)，故填4.
11．[答案] ①④
[解析] 由题意易得△ADF≌△ABF，则S△ABF＝S△ADF.
又AD∥CE，且AD＝BC＝2CE，
则△ADF∽△CEF，且相似比为2∶1，
因此＝2，
则S△ADF＝2S△CDF.
12．解：∵在△ABC中，AB∶BC∶AC＝2∶3∶4，
∴可设AB＝2k cm，BC＝3k cm，AC＝4k cm.
∵△ABC与△A1B1C1的相似比为3∶4，
∴A1B1＝AB＝×2k＝k(cm)，
B1C1＝BC＝×3k＝4k(cm)，
A1C1＝AC＝×4k＝k(cm)．
又∵△A1B1C1的周长是72 cm，
∴k＋4k＋k＝72，
解得k＝6.
∴AB＝2×6＝12(cm)，BC＝3×6＝18(cm)，AC＝4×6＝24(cm)．
13．[解析] 分别从当矩形A1B1C1D1的长为12 cm时与当矩形A1B1C1D1的宽为12 cm时去分析求解即可求得答案．
解：设矩形A1B1C1D1中与长为12 cm的边相邻的另一条边的长为x cm.
①当矩形A1B1C1D1的长为12 cm时，＝，
解得x＝6，
此时矩形A1B1C1D1的面积为12×6＝72(cm2)；
②当矩形A1B1C1D1的宽为12 cm时，＝，
解得x＝24，
此时矩形A1B1C1D1的面积为12×24＝288(cm2)．
综上所述，矩形A1B1C1D1的面积为72 cm2或288 cm2.
14．[解析] (1)利用已知得出△ABE≌△DFE，可得到DF＝AB；
(2)首先得出△FED∽△FBC，
进而得出＝，
进而求出S△FED即可．
解：(1)证明：∵在?ABCD中，E是AD边的中点，
∴AE＝DE，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠F.
在△ABE和△DFE中，
∴△ABE≌△DFE，
∴AB＝DF.
(2)方法一：∵DE∥BC，
∴△DFE∽△CFB.
∵△ABE≌△DFE，
∴BE＝FE，S△FBC＝S?ABCD＝8，
∴＝，
∴＝，
即＝，
∴△DFE的面积为2.
方法二：设平行线AD与BC之间的距离为h，
则S△ABE＝AE·h.
∵S?ABCD＝2AE·h＝8，
∴S△ABE＝AE·h＝2.
∵△ABE≌△DFE，
∴S△DFE＝S△ABE＝2.
[素养提升]
解：(1)A
(2)①相似比 ②相似比的平方 ③相似比的立方
(3)设这头克隆猪出生时的身高是x cm，则＝，
解得x≈30.
答：这头克隆猪出生时的身高约是30 cm.
[6.5 第2课时 相似三角形中对应线段的性质]
一、选择题
1．已知△ABC∽△DEF，且对应角平分线的比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长比等于( )
A．1∶2 B．1∶4
C．2∶1 D．4∶1
2．2017·重庆若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为( )
A．3∶2 B．3∶5
C．9∶4 D．4∶9
3．如图K－21－1，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影长为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝5 m，点P到CD的距离是3 m，则点P到AB的距离是( )
图K－21－1
A. m B. m
C. m D. m
4．如果两个相似三角形的对应中线的比为1∶2，且它们的面积之和为30，则其中较小三角形的面积为( )
A．6 B．10 C．24 D．20
二、填空题
5．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2∶3，则△ABC与△DEF对应中线的比为________.
6．若两个相似三角形的面积比为9∶25，两条对应中线的长度之差为2 cm，则这两条中线的长度之和为________．
7．两个相似三角形的对应高的比是1∶3，其中一个三角形的面积是9 cm2，则另一个三角形的面积为________cm2.
8．如图K－21－2，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则＝________．
图K－21－2
三、解答题
9．如图K－21－3，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD∶AC＝2∶3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F，求AG与GF的比．
图K－21－3
探究题现有一块直角三角形的铁皮ABC(如图K－21－4)，∠ACB＝90°，AC＝80，BC＝60.要在其中剪出一个面积尽可能大的正方形，小红和小亮各自想出了甲、乙两种方案，请你帮忙算一算哪一种方案剪出的正方形面积大？
图K－21－4
详解详析
[课堂达标]
1．A 2.A
3．[解析] C 因为AB∥CD，所以△PAB∽△PCD，所以＝＝，则＝，
所以点P到AB的距离为 m.
4．[解析] A ∵两个相似三角形的对应中线的比为1∶2，
∴这两个相似三角形的相似比为1∶2，
∴这两个相似三角形的面积比为1∶4.
设较小三角形的面积为x，则较大三角形的面积为4x.
由题意，得x＋4x＝30，解得x＝6.故选A.
5．2∶3 6.8 cm
7．[答案] 1或81
[解析] ∵两个相似三角形的对应高的比是1∶3，
∴它们的相似比是1∶3.
设另一个三角形的面积是x cm2，
则＝()2或＝32，
解得x＝1或x＝81.
故答案为1或81.
8．[答案]
[解析] ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
∵S△ADE＝S四边形BCED，
∴＝，∴＝＝.
9．解：∵△ABC的角平分线AF交DE于点G，
∴AG是△ADE的角平分线．
∵△ADE∽△ACB，
∴AG∶AF＝AD∶AC＝2∶3，
∴AG∶GF＝2∶1.
[素养提升]
[解析] 根据相似，求出各自正方形的边长，再比较大小．
解：方案甲：设正方形的边长为x.
∵∠ACB＝90°，AC＝80，BC＝60，
∴AB＝＝100.
又∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
∴CD＝48.
∵EH∥AB，
∴△CEH∽△CAB.
∵CM⊥EH，CD⊥AB，
∴＝，
∴＝，解得x＝.
方案乙：设正方形的边长为y.
∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ACB，∴＝，
即＝，解得y＝.
∵<，
∴乙种方案剪出的正方形面积较大．
第6章 图形的相似
6.5 第2课时 相似三角形的高、中线、角平分线的性质
知识点 相似三角形对应线段的比
1．已知△ABC∽△DEF，∠BAC，∠EDF的平分线的长度之比为1∶2，则△ABC与△DEF的相似比为( )
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
2．2017·重庆 若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应边上高的比为( )
A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶9
3．若△ABC∽△DEF，且对应中线的比为2∶3，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A．3∶2 B．2∶3
C．4∶9 D．9∶16
4．(1)若△ABC与△DEF相似，且相似比为2∶3，则这两个三角形的对应高之比为________；
(2)若△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的高，AD∶A′D′＝3∶4，△A′B′C′的一条中线B′E′＝16 cm，则△ABC的中线BE＝________cm.
5．如图6－5－5所示，△ABC∽△A′B′C′，AB＝3a cm，A′B′＝2a cm，AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，AD与A′D′的长度之和为15 cm，求AD和A′D′的长．
图6－5－5
图6－5－6
6．如图6－5－6，在菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD于点E，NF⊥AB于点F.若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
图6－5－7
7．在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC＝9，AD是BC边上的高．将△ABC按图6－5－7所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为( )
A．9.5 B．10.5
C．11 D．15.5
8．教材习题6.5第5题变式 如图6－5－8所示，在△ABC中，BC＝24 cm，高AD＝8 cm，它的内接矩形MNPQ的两邻边之比为5∶9，MQ交AD于点E，求此矩形的周长．
图6－5－8
9．已知锐角三角形ABC中，边BC的长为12，高AD的长为8.
(1)如图6－5－9，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC边上，EF交AD于点K.
①求的值；
②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值．
(2)若AB＝AC，正方形PQMN的两个顶点M，N在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．
图6－5－9
/ 教 师 详 解 详 析 /
第6章 图形的相似
6.5 第2课时 相似三角形的高、中线、
角平分线的性质
1．A 2.A
3．C [解析] ∵△ABC∽△DEF，对应中线的比为2∶3，∴△ABC与△DEF的相似比为2∶3，∴△ABC与△DEF的面积比为4∶9.故选C.
4．(1)2∶3 (2)12
[解析] (2)易得AD∶A′D′＝BE∶B′E′，∴BE＝＝16×＝12(cm)．
5．解：∵△ABC∽△A′B′C′，且AB＝3a cm，A′B′＝2a cm，∴＝.
∵AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，
∴＝.
∵AD＋A′D′＝15 cm，∴AD＝9 cm，A′D′＝6 cm.
6．B [解析] 在菱形ABCD中，∠EAM＝∠FAN.又∵ME⊥AD，NF⊥AB，
∴∠AEM＝∠AFN＝90°，
∴△AEM∽△AFN，
∴AM∶AN＝ME∶NF，
即(AN＋2)∶AN＝3∶2，解得AN＝4.
7．D
8．解：∵MN∶MQ＝5∶9，
∴设MN＝5x cm，则MQ＝9x cm，AE＝AD－DE＝(8－5x)cm.
∵四边形MNPQ为矩形，∴MQ∥BC，
∴△AMQ∽△ABC.
又∵AD⊥BC，∴AE⊥MQ，
∴＝，即＝，解得x＝1，
∴MN＝5 cm，MQ＝9 cm，
∴此矩形的周长为2×(5＋9)＝28(cm)．
9．解：(1)∵①四边形EFGH为矩形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.
∵AD⊥BC，∴AK⊥EF，
∴＝，∴＝＝.
②∵EH＝x，∴KD＝x，
∴AK＝AD－KD＝8－x.
由(1)知EF＝AK＝(8－x)，
∴S＝EH·EF＝－x2＋12x＝－(x－4)2＋24(0(2)①当正方形PQMN的两个顶点M，N在BC边上，点P在AB边上，点Q在AC边上时，PQ交AD于点K，如图①.
设正方形PQMN的边长为x，
则PQ＝KD＝x，AK＝AD－KD＝8－x.
∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC.
∵AK，AD分别是△AEF，△ABC的高，
∴＝，即＝，解得x＝.
②当正方形PQMN的两个顶点M，N在AB边上，点P在AC边上，点Q在BC边上时，过点C作AB边上的高CI交PQ于点E，如图②.
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝6.
由勾股定理得AB＝＝＝10.
∵S△ABC＝AD·BC＝CI·AB，
∴CI＝＝9.6.
设正方形PQMN的边长为x，
则PQ＝EI＝x，CE＝CI－EI＝9.6－x.
∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC.
∵CE，CI分别是△PQC，△ABC的高，
∴＝，即＝，解得x＝.
综上所述，正方形PQMN的边长为或.
