[6.6 图形的位似]
一、选择题
1．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是( )
A．3 B．6 C．9 D．12
2．2018·滨州在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，8)，B(10，2)．若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为( )
A．(5，1) B．(4，3) C．(3，4) D．(1，5)
二、填空题
3．如图K－22－1，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AB∶DE＝________．
图K－22－1
4．2016·郴州如图K－22－2，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(2，0)，B(2，1)，C(0，1)，以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原来的2倍，记所得矩形为OA1B1C1，B的对应点为B1，且点B1在OB的延长线上，则点B1的坐标为________．
图K－22－2
5．如图K－22－3，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(0，)，则点E的坐标是________．
图K－22－3
三、解答题
6．如图K－22－4，已知△OAB与△ODC是位似图形．
(1)AB与CD平行吗？请说明理由．
(2)如果OB＝3，OC＝4，OD＝3.5，试求△OAB与△ODC的相似比及OA的长．
图K－22－4
7．如图K－22－5，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为1∶1.5.
图K－22－5
规律探究题正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn按图K－22－6所示的位置依次摆放，已知点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为(1，0)．
(1)写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn的位似中心的坐标；
(2)求正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标．
图K－22－6
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] D ∵△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1∶4，∴△A′B′C′的面积＝△ABC的面积×4＝12，故选D.
2．[解析] C 根据位似图形的性质，结合将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，得出点C的横、纵坐标分别为点A的横、纵坐标的.
3．[答案] 2∶3
[解析] ∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，
∴△ABC的面积∶△DEF的面积＝＝，
∴AB∶DE＝2∶3.
4．[答案] (4，2)
[解析] ∵点B的坐标为(2，1)，作位似变换后，点B的对应点为B1，且点B1在OB的延长线上，
∴点B1的坐标为(2×2，1×2)，即B1(4，2)．
故答案为(4，2)．
5．[答案] (3，3)
[解析] ∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶.
∴OA∶OD＝1∶.
∵点A的坐标为(0，)，
∴OA＝，∴OD＝3.
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE＝OD＝3，
∴点E的坐标为(3，3)．
故答案为(3，3)．
6．解：(1)AB∥CD.理由：
∵△OAB与△ODC是位似图形，
∴△OAB∽△ODC，
∴∠A＝∠D，
∴AB∥CD.
(2)∵△OAB∽△ODC，
∴＝，
∴＝，
∴OA＝，△OAB与△ODC的相似比为.
7．[解析] (1)△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，要画出点O，只要连接对应点，其交点即为所求；(2)要以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为1∶1.5，就是说OA1∶OA＝OB1∶OB＝OC1∶OC＝1∶1.5，从而分别确定了点A1，B1，C1，顺次连接A1B1，B1C1，C1A1即可．
解：(1)分别连接A′A，B′B，C′C，并分别延长交于点O，点O即为所求，如图．
(2)分别在OA，OB，OC上取点A1，B1，C1，使OA1∶OA＝OB1∶OB＝OC1∶OC＝1∶1.5，再顺次连接A1B1，B1C1，C1A1，则△A1B1C1即为所求的三角形，如图所示．
[素养提升]
[解析] (1)直接利用位似图形的性质得出对应点连线的交点为原点，进而得出答案；
(2)利用一次函数图像上点的坐标性质得出各线段的长，进而得出答案．
解：(1)如图所示：正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn的位似中心的坐标为(0，0)．
(2)∵点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为(1，0)，
∴OA1＝A1C1＝1，OA2＝A2C2＝2，则OA3＝A3C3＝4，
∴OA4＝A4C4＝8，∴OA5＝16，
故A4(8，0)，A5(16，0)，B4(16，8)，C4(8，8)．
第6章 图形的相似
6.6 图形的位似
知识点 1 位似图形的有关性质
1．2017·海安县一模 如图6－6－1，线段CD两个端点的坐标分别为C(－1，2)，D(－3，0)，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB.若点B的坐标为(－5，0)，则点A的坐标为( )
A．(－3，5) B．(－2，5)
C．(－2，6) D．(－，)
2．下列关于位似图形的4个表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
图6－6－1
图6－6－2
3．如图6－6－2所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( )
A．点P B．点O C．点M D．点N
知识点 2 位似作图
4．2017·兰州 如图6－6－3，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，＝，则＝________．
图6－6－3
5．如图6－6－4，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心．若OA＝2AA′，S△ABC＝8，则S△A′B′C′＝________．
图6－6－4
图6－6－5
6．2018·菏泽 如图6－6－5，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4，∠OCD＝90°，∠AOB＝60°，若点B的坐标是(6，0)，则点C的坐标是________．
7．教材“尝试与交流”变式 如图6－6－6，已知四边形ABCD，以AD的中点为位似中心将它放大，使放大前后的两个图形对应线段的比为1∶2.
图6－6－6
8．2017·南京期末 如图6－6－7，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出位似中心点O，△ABC与△A′B′C′的相似比是________．
(2)以点O为位似中心，在方格纸中再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比等于2∶1.
图6－6－7
9．如图6－6－8，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1)．
(1)以点O为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大为原来的两倍(即新图与原图的相似比为2∶1)，画出图形；
(2)分别写出B，C两点的对应点的坐标；
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，写出点M的对应点M′的坐标．
图6－6－8
10．2018·潍坊 在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大为原来的两倍，则点P的对应点的坐标为( )
A．(2m，2n)
B．(2m，2n)或(－2m，－2n)
C．(m，n)
D．(m，n)或(－m，－n)
图6－6－9
11．如图6－6－9，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大为原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，则点B的横坐标是________．
12．2017·滨州 在平面直角坐标系中，点C，D的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为________．
13．如图6－6－10，已知△ABC，在△ABC内部作正方形D1E1F1G1，使点G1，D1，E1分别落在边AB，BC上，连接BF1，并延长交AC于点F，过点F作FE⊥BC于点E，FG∥BC，交AB于点G，过点G作GD⊥BC于点D.
(1)求证：四边形DEFG为正方形；
(2)在△ABC中，如果BC＝120，BC边上的高为80，求正方形DEFG的边长；
(3)在(2)的条件下，将点G，F分别在AB，AC上移动，使正方形DEFG变为矩形，且GF＝DG，其他条件不变，此时，GF的长是多少？
图6－6－10
14．如图6－6－11，在正方形ABCD与正方形OEFG中，点D和点F的坐标分别为(－3，2)和(1，－1)，求这两个正方形的位似中心的坐标．
图6－6－11
6.6 图形的位似
1．D [解析] ∵D(－3，0)，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，且B(－5，0)，
∴线段CD与线段AB的相似比为5∶3.
∵C(－1，2)，∴点A的坐标为(－1×，2×)，即(－，)．故选D.
2．B [解析] 相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误；位似图形一定有位似中心，②正确；如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，③正确；位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于相似比，④错误．故选B.
3．A
4. [解析] ∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，∴＝＝，＝，∴＝.
5．18 [解析] 由OA＝2AA′，得出△ABC与△A′B′C′的相似比是2∶3，进而得出面积的比是4∶9.由S△ABC＝8，得出S△A′B′C′＝18.
6．(2，2 ) [解析] 如图，过点A作AE⊥x轴于点E.∵∠OCD＝90°，∴∠OAB＝90°.∵∠AOB＝60°，∴∠ABO＝∠OAE＝30°.∵点B的坐标是(6，0)，∴OA＝OB＝3，∴OE＝OA＝，∴AE＝＝＝，∴A(，)．∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4，∴点C的坐标为(×，×)，即(2，2 )．
7．解：(答案不唯一)如图所示，四边形A1B1C1D1即为所求．
8．解：(1)点O如图所示．
∵OA∶OA′＝6∶12＝1∶2，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2.
(2)△A1B1C1如图所示．
9．解：(1)如图，△OB′C′即为所求．
(2)点B，C的对应点的坐标分别为(－6，2)，(－4，－2)．
(3)点M的对应点M′的坐标为(－2x，－2y)．
10．B [解析] 当放大后的△A′OB′与△AOB在原点O的同侧时，点P对应点的坐标为(2m，2n)；当放大后的△A′OB′与△AOB在原点O的两侧时，点P对应点的坐标为(－2m，－2n)．故选B.
11．－ [解析] 分别过点B，B′作BD⊥x轴于点D，B′E⊥x轴于点E，∴∠BDC＝∠B′EC＝90°.
∵△ABC的位似图形是△A′B′C，点B，C，B′在一条直线上，
∴∠BCD＝∠B′CE，∴△BCD∽△B′CE，
∴＝＝.
又∵点B′的横坐标是2，点C的坐标是(－1，0)，
∴CE＝3，∴CD＝，∴OD＝，
∴点B的横坐标为－.
12．(4，6)或(－4，－6) [解析] ∵OB＝2，点B在x轴上，∴B(2，0)或(－2，0)．∵CD与AB关于原点位似，点D的对应点为点B，D(1，0)，∴AB与CD的相似比为2或－2.∵点C的对应点为点A，C(2，3)，∴A(2×2，3×2)或(－2×2，－2×3)，即(4，6)或(－4，－6)．
13．解：(1)证明：∵EF⊥BC，GD⊥BC，
∴∠FED＝∠EDG＝90°.
又∵FG∥BC，∴∠EFG＝90°，
∴四边形DEFG为矩形．
易知E1F1∥EF，F1G1∥FG，
∴＝，＝，∴＝.
又∵E1F1＝F1G1，∴EF＝FG，
∴矩形DEFG为正方形．
(2)过点A作AA1⊥BC，垂足为A1，交GF于点H，则AA1＝80.
设正方形DEFG的边长为x，则AH＝80－x.
∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝48，
故正方形DEFG的边长为48.
(3)过点A作AA1⊥BC，垂足为A1，交GF于点H，则AA1＝80.
设矩形DEFG的边DG的长为y，则AH＝80－y，GF＝y.
∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，
∴＝，即＝，解得y＝60，
∴GF＝y＝30.
14．解：当位似中心在两个正方形之间时，如图①，连接AF，DG，交于点H，则点H为其位似中心，且点H在x轴上．∵DC∥GO，∴△DCH∽△GOH，∴＝.∵DC＝2，GO＝1，∴CH＝2OH，即OH＝OC.又∵D(－3，2)∴C(－3，0)，∴OC＝3，∴OH＝1，∴其位似中心的坐标为(－1，0)．
当位似中心在正方形OEFG的右侧时，如图②，连接DE并延长，连接CF并延长，两条延长线交于点M，过点M作MN⊥x轴于点N，
∴△MEF∽△MDC，△CED∽△NEM，
∴＝，＝＝.
∵DC＝2，EF＝1，∴＝＝，
∴ED＝EM，∴EC＝EN，DC＝MN＝2.
∵OC＝3，OE＝1，∴EC＝4，
∴ON＝OE＋EN＝OE＋EC＝5，
∴位似中心点M的坐标为(5，－2)．
综上所述，这两个正方形的位似中心的坐标为(－1，0)或(5，－2)．
