2018-2019学年高中物理人教版（京津琼鲁专用）选修3-1教师用书：第一章+静电场+6+Word版含答案

6　电势差与电场强度的关系
[学科素养与目标要求]
物理观念：理解匀强电场中电势差与电场强度的关系：U＝Ed或E＝，了解其适用条件.
科学思维：1.通过关系式U＝Ed的推理进一步加强逻辑思维能力.2.对比有关电场强度的三个表达式及适用条件，并在具体问题中准确选用公式解决有关问题.
一、匀强电场中电势差与电场强度的关系
1.在匀强电场中，两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积.
2.公式：UAB＝Ed.
3.适用条件
(1)匀强电场；
(2)d为两点沿电场方向的距离.
二、公式E＝的意义
1.意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点沿电场强度方向距离的比值.
2.电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势.
3.电场强度的另一个单位：由E＝可导出电场强度的另一个单位，即伏[特]每米，符号为V/m.1V/m＝1 N/C.
1.判断下列说法的正误.
(1)公式U＝Ed适用于所有电场.(　×　)
(2)由U＝Ed可知，匀强电场中两点间的电势差与这两点的距离成正比.(　×　)
(3)匀强电场的场强值等于沿电场线方向每单位长度上的电势差值.(　√　)
(4)在匀强电场中，任意两点间的电势差等于场强与这两点间距离的乘积.(　×　)
2.如图1所示，场强为E＝1.0×102 V/m的匀强电场中，有相距d＝2.0×10－2 m的A、B两点，A、B连线与电场方向的夹角为60°，则A、B两点间的电势差为 V.
图1
答案　1.0
解析　U＝Edcos 60°＝1.0×102×2.0×10－2× V＝1.0 V.
一、匀强电场中电势差与电场强度的关系
如图2所示的一个匀强电场，场强大小为E，A、B是沿电场方向上的两点，其电势差为UAB，A、B之间相距为d.现将一个电荷量为q的电荷由A移到B.
图2
(1)从力和位移的角度计算静电力所做的功；通过A、B间的电势差计算静电力做的功.
(2)比较两次计算的功的大小，说明电势差与电场强度有何关系.
(3)B、C在同一等势面上，UAC与电场强度有何关系？
答案　(1)WAB＝Fd＝qEd　WAB＝qUAB　
(2)UAB＝Ed　(3)UAC＝Ed
电场强度与电势差的关系
(1)大小关系：由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，电场强度是电势差对空间位置的变化率，电势随空间变化的快慢反映了电场强度的大小.
(2)方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向.
例1　如图3所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为(　　)
图3
A.UOP＝－10sin θ (V)
B.UOP＝10sin θ (V)
C.UOP＝－10cos θ (V)
D.UOP＝10cos θ (V)
答案　A
解析　由题知匀强电场的方向沿y轴负方向，沿着电场线的方向电势是降低的，所以P点的电势高于O点的电势，O、P两点的电势差UOP为负值.根据电势差与场强的关系可得UOP＝－Ed＝－E·Rsin θ＝－10sin θ (V)，所以A正确.
例2　如图4所示，P、Q两金属板间的电势差为50 V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10 cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4 cm.求：
图4
(1)P板及A点的电势.
(2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5 cm，则A点的电势将变为多少？
答案　(1)－50 V　－30 V　(2)－10 V
解析　板间场强方向水平向左，可见Q板电势最高.Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值.
(1)场强E＝＝ V·m－1＝5×102 V·m－1
Q、A间电势差UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2 V＝30 V
所以A点电势φA＝－30 V，同理可求得P板电势φP＝UPQ＝－50 V
(2)当Q板向左平移5 cm时，两板间距离d ″＝(10－5) cm＝5 cm
Q板与A点间距离变为d(＝(10－4) cm－5 cm＝1 cm
电场强度E′＝＝ V·m－1
＝1.0×103 V·m－1
Q、A间电势差UQA′＝E′d(＝1.0×103×1.0×10－2 V＝10 V
所以A点电势φA′＝－10 V.
在应用公式UAB＝Ed时可简化为U＝Ed，即只把电势差大小、场强大小通过公式联系起来，至于电势差的正负、电场强度的方向我们可根据题意另作判断.
二、非匀强电场中电势差与电场强度关系的定性分析
1.UAB＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题.由E＝可以得出结论：在等差等势面中等势面越密的地方场强就越大.
2.如图5所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于不知电场的性质，所以电势差Uab与Ubc的大小不能确定.
图5
例3　如图6所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50 V，φc＝20 V，则a、c连线中点b的电势φb为(　　)
图6
A.等于35 V B.大于35 V
C.小于35 V D.等于15 V
答案　C
解析　从电场线疏密可以看出Ea＞Eb＞Ec，由U＝Ed可以判断Uab＞Ubc，所以φb＜＝35 V.
三、关于场强的三个表达式的比较
区别
公式
物理含义
引入过程
适用范围
说明
E＝
电场强度大小的定义式
E与F、q无关，反映某点电场的性质
一切电场
q为试探电荷的电荷量
E＝k
真空中点电荷场强的决定式
由E＝和库仑定律导出
在真空中，场源电荷Q是点电荷
Q为场源电荷的电荷量
E＝
匀强电场中电场强度与电势差的关系
由F＝qE、W＝Fd和W＝qUAB导出
匀强电场
d为沿电场方向的距离
例4　如图7所示为一个水平的匀强电场，在电场内某水平面上作一个半径为10 cm的圆，在圆周上取如图所示的A、B、C三点，已知A、B两点间电势差为1 350 V，
图7
(1)求匀强电场的场强大小.
(2)若在圆心O处放置电荷量为10－8 C的正点电荷，求C点电场强度的大小和方向.(已知静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，结果保留三位有效数字)
答案　(1)9 000 V/m　(2)1.27×104 N/C，方向与水平方向成45°角斜向右上
解析　(1)由题图知A、B两点在匀强电场方向上的距离d＝r＋＝0.15 m，所以匀强电场场强E＝＝9 000 V/m.
(2)设正点电荷在C处产生的电场强度为E1，则
E1＝＝9×103 N/C，方向由O指向C.
C处另有匀强电场，场强E＝9×103 N/C，方向水平向右，与E1垂直，根据平行四边形定则，C处的合场强为E′＝≈1.27×104 N/C，方向与水平方向成45°角斜向右上.
针对训练　如图8所示，有竖直向下的匀强电场，A、B两等势面间距离为5 cm，电势差为25 V，在电场中P点(图中未画出)固定放置电荷量为5×10－9 C的负点电荷，此时电场中有一点场强为零，此点在P点的(　　)
图8
A.上方30 cm处 B.下方30 cm处
C.上方25 cm处 D.下方25 cm处
答案　B
解析　匀强电场的场强E＝＝ V/m＝500 V/m，设距P点L处的合场强为零，则k＝9×109× V/m＝500 V/m，故L＝0.3 m，负点电荷在距P点L处的电场竖直向上，故该点在电场中P点的下方，B正确.
1.(对公式E＝的理解)对公式E＝的理解，下列说法正确的是(　　)
A.此公式适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差
B.A点和B点间距离越大，则这两点间的电势差越大
C.匀强电场中A、B两点沿电场线的距离越大，则电场强度越小
D.公式中的d是匀强电场中A、B所在的两等势面之间的距离
答案　D
解析　此公式只适用于匀强电场中A、B两点间电势差的计算，A错误.A、B两点间的电势差不仅取决于距离的大小，还取决于电势降落的快慢程度，B错误.匀强电场中的电场强度大小与A、B两点间的距离无关，是恒定的，C错误.公式中的d是匀强电场中A、B所在的两等势面之间的距离，D正确.
2.(公式UAB＝Ed的应用)(2018·山东济南市高一下期末)如图9所示为沿x轴正方向的匀强电场，场强大小为E，有一动点A以O为圆心，以r为半径逆时针转动，θ为OA与x轴正方向间的夹角，则O、A两点间电势差(　　)
图9
A.U＝Er B.U＝Ersin θ
C.U＝Ercos θ D.U＝
答案　C
解析　OA两点沿场强方向的距离d＝rcos θ，由U＝Ed知，C正确.
3.(应用UAB＝Ed定性分析非匀强电场)如图10所示是某电场中的三条电场线，C点是A、B连线的中点.已知A点的电势是φA＝30 V，B点的电势φB＝－20 V，则下列说法正确的是(　　)
图10
A.C点的电势φC＝5 V
B.C点的电势φC＞5 V
C.C点的电势φC＜5 V
D.负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能
答案　C
解析　由题图看出，AC段电场线比CB段电场线密，则AC段场强较大，根据公式U＝Ed可知，AC间电势差UAC大于CB间电势差UCB，所以 UAC＞UAB＝25 V，即φA－φC＞25 V，又φA＝30 V，可知φC＜5 V，故C正确，A、B错误.而负电荷在电势低处电势能较大，故D错误.
4.(公式UAB＝Ed的应用)平行的带电金属板A、B间是匀强电场，如图11所示，两板间距离是5 cm，两板间的电压是60 V.
图11
(1)两板间的场强是 ；
(2)电场中有P1和P2两点，P1点离A板0.5 cm，P2点离B板也是0.5 cm，P1和P2两点间的电势差U12＝ .
答案　(1)1.2×103 V/m　(2)48 V
解析　(1)两板间是匀强电场，由UAB＝Ed可得两板间的场强E＝＝＝1.2×103 V/m.
(2)P1、P2两点间沿场强方向的距离：d′＝4 cm.
所以U12＝Ed′＝1.2×103×4×10－2 V＝48 V.
一、选择题
考点一　公式UAB＝Ed的理解
1.下列说法正确的是(　　)
A.由公式E＝得，电场强度E与电势差U成正比，与两点间距离d成反比
B.由公式E＝得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小
C.在匀强电场中，任意两点间电势差等于场强和这两点间距离的乘积
D.公式E＝只适用于匀强电场
答案　D
2.(2018·山东聊城市高一下期末)如图1所示，a、b、c是一条电场线上的三点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，用Uab、Ubc分别表示a、b和b、c两点的电势差，可以判定(　　)
图1
A.Ea＝Eb＝Ec B.Ea>Eb>Ec
C.φa>φb>φc D.Uab＝Ubc
答案　C
解析　沿电场线方向电势降低，φa>φb>φc，C正确；仅由一条电场线无法确定场强大小关系，A、B错误；只有匀强电场Uab＝Ubc，D错误.
考点二　公式UAB＝Ed和E＝的简单应用
3.在水深超过200 m的深海，光线极少，能见度极低.有一种电鳗具有特殊的适应性，能通过自身发出生物电，获取食物，威胁敌害，保护自己.若该电鳗的头尾相当于两个电极，它在海水中产生的电场强度达到103 V/m，可击昏敌害，身长50 cm的电鳗，在放电时产生的瞬间电压大约可达(　　)
A.10 V B.500 V
C.5 000 V D.10 000 V
答案　B
解析　根据电势差与电场强度的关系U＝Ed得：U＝Ed＝103×0.5 V＝500 V，故选B.
4.如图2所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面间的距离都是25 cm，由此可确定此电场的电场强度的方向及大小为(　　)
图2
A.竖直向下，E＝0.4 V/m
B.水平向右，E＝0.4 V/m
C.水平向左，E＝40 V/m
D.水平向右，E＝40 V/m
答案　D
解析　电场线与等势面垂直且沿电场线方向电势降低，故场强方向水平向右，场强大小E＝＝ V/m＝40 V/m，故D项正确.
5.如图3所示，A、B两点相距10 cm，匀强电场的场强E＝100 V/m，AB与电场线方向的夹角θ＝120°，则A、B两点间的电势差为(　　)
图3
A.5 V B.－5 V
C.10 V D.－10 V
答案　B
解析　A、B两点在场强方向上的距离d＝·cos(180°－120°)＝10× cm＝5 cm.由于φA<φB，则根据U＝Ed得UAB＝－Ed＝－100×5×10－2 V＝－5 V，故选B.
6.(多选)如图4所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN.P点在y轴右侧，MP⊥ON.则下列说法正确的是(　　)
图4
A.M点的电势比P点的电势高
B.将负点电荷由O点移动到P点，电场力做正功
C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差
答案　AD
解析　根据电场线和等势面的关系，可以判断出M点的电势比P点的电势高，A正确.将负点电荷由O点移到P点，电场力做负功，B错误.根据UAB＝Ed进行定性分析可知UMN＜UOM，C错误，D正确.
7.(多选)如图5所示，A、B两板间电压为600 V，A板带正电并接地，A、B两板间距离为
12 cm，C点离A板4 cm，下列说法正确的是(　　)
图5
A.E＝2 000 V/m，φC＝200 V
B.E＝5 000 V/m，φC＝－200 V
C.电子在C点具有的电势能为－200 eV
D.电子在C点具有的电势能为200 eV
答案　BD
解析　A板接地，则其电势为零，又因为A、B两板间的电压为600 V，则B板电势为－600 V，由此知C点电势为负值，则A、B两板间场强E＝＝＝50 V/cm＝5 000 V/m，φC＝－EdAC＝－50 V/cm×4 cm＝－200 V，A错误，B正确；电子在C点具有的电势能为200 eV，C错误，D正确.
考点三　匀强电场中的电场力做功与场强、电势差的关系
8.如图6所示的匀强电场场强为103 N/C，ab、cd平行于电场线，ac、bd垂直于电场线，ab＝cd＝4 cm，ac＝bd＝3 cm.则下述计算结果正确的是(　　)
图6
A.a、b之间的电势差为40 V
B.a、c之间的电势差为50 V
C.将q＝－5×10－3 C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，电场力做的功是－0.25 J
D.将q＝－5×10－3 C的点电荷沿abd从a移到d，电场力做的功是0.25 J
答案　A
解析　由U＝Ed得Uab＝103×0.04 V＝40 V，A正确；a、c在同一等势面上，所以Uac＝0，B错误；将电荷沿abdca移动一周，位移为0，故电场力做功为0，C错误；Wad＝Wab＝qUab＝－5×10－3×40 J＝－0.2 J，D错误.
9.如图7所示，在电场强度E＝2×103 V/m的匀强电场中有三点A、M和B，AM＝4 cm，MB＝3 cm，AB＝5 cm，且AM边平行于电场线，把一电荷量q＝2×10－9 C的正电荷从B点移动到M点，再从M点移动到A点，电场力做功为(　　)
图7
A.1.6×10－7 J B.1.2×10－7 J
C.－1.6×10－7 J D.－1.2×10－7 J
答案　C
解析　B、M在同一等势面上，正电荷由B到M电场力不做功.由M到A电场力做负功，W＝qU＝q·Ed＝2×10－9×2×103×4×10－2 J＝1.6×10－7 J.即电场力做功为－1.6×10－7 J.
10.(多选)细胞膜的厚度等于700 nm(1 nm＝10－9 m)，当膜的内外层之间的电压达0.4 V时，即可让一价钠离子渗透.设细胞膜内的电场为匀强电场，则(　　)
A.膜内电场强度为5.71×105 V/m
B.膜内电场强度为1.04×106 V/m
C.每个钠离子沿电场方向透过膜时电场力做的功等于6.4×10－20 J
D.每个钠离子沿电场方向透过膜时电场力做的功等于1.28×10－19 J
答案　AC
解析　E＝＝ V/m≈5.71×105 V/m，A正确，B错误；W＝qU＝1.6×10－19×0.4 J＝6.4×10－20 J，C正确，D错误.
二、非选择题
11.(2018·山东滨州市高一下期末)如图8所示，在匀强电场中把电荷量q＝2.0×10－9 C的正电荷放在A点，所受电场力为F＝2.0×10－7 N，把电荷从A点移到B点，静电力做功为W＝2.0×10－9 J，AB连线与电场强度方向的夹角为θ＝60°.求：
图8
(1)匀强电场的场强大小；
(2)A、B两点之间的电势差UAB；
(3)AB的长度.
答案　(1)100 N/C　(2)1 V　(3)2.0×10－2 m
解析　(1)根据电场强度定义式得：E＝
解得：E＝100 N/C
(2)根据电场力做功公式得W＝qUAB
得UAB＝1 V
(3)根据公式E＝
解得：d＝2.0×10－2 m
12.如图9所示，平行金属带电极板A、B间可看成匀强电场，场强E＝1.2×102 V/m，极板间距离d＝5 cm，电场中C点和D点分别到A、B两板的距离均为0.5 cm，B板接地，求：
图9
(1)C、D两点的电势和两点间的电势差UCD；
(2)将电荷量为q＝2×10－2 C的正点电荷从C点匀速移到D点时外力做的功.
答案　(1)－5.4 V　－0.6 V　－4.8 V　(2)9.6×10－2 J
解析　(1)因正极板接地，故板间各点电势均小于零，由U＝Ed得
UBD＝EdBD＝1.2×102×0.5×10－2 V＝0.6 V，
即φD＝－0.6 V.
由于dCB＝5 cm－0.5 cm＝4.5 cm＝4.5×10－2 m，
所以UCB＝－EdCB＝－1.2×102×4.5×10－2 V
＝－5.4 V＝φC.
所以UCD＝φC－φD＝－5.4 V－(－0.6 V)＝－4.8 V.
(2)因为点电荷匀速移动，外力所做的功等于克服电场力所做的功，W外＝|qUCD|＝2×10－2×
4.8 J＝9.6×10－2 J.
13.(2018·山东德州市高一下期末)如图10所示，A、B、C三点都在匀强电场中.已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20 cm，把一个电荷量q＝2×10－8 C的正电荷从A移到C电场力做功为－4×10－7 J，从C移到B电场力做功为4×10－7 J.求：
图10
(1)AB间的电势差UAB；
(2)该匀强电场的场强大小和方向.
答案　见解析
解析　(1)由：WAB＝WAC＋WCB，WAB＝qUAB
得：UAB＝＝ V＝0
(2)由WAC＝qUAC，得：UAC＝＝ V＝－20 V
由(1)知AB为等势面，电场线与等势面垂直，且φA<φC，所以电场线的方向与AB垂直斜向下
E＝
其中d为C到AB边的距离，d＝20sin 60° cm＝10 cm
求得：E＝×102 V/m