沪科版初中数学八年级下册第十八章 勾股定理 达标测试卷（含答案）

第十八章 勾股定理 达标测试卷
时间：100分钟　满分：120分
一、选择题(每题3分，共30分)
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
2．下列四组数中不能构成直角三角形三边长的一组是(　　)
A．1，2， B．3，5，4 C．5，12，13 D．4，13，15
3．直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的，斜边长为10，则它的面积为(　　)
A．10 B．15 C．20 D．30
4．如图，P是第一象限的角平分线上一点，且OP＝2，则P点的坐标为(　　)
A．(2，2) B．(，) C(2，) D．(，2)

(第4题)　　　　 (第5题)
5．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为(　　)
A．9 B．6 C．4 D．3
6．有一个三角形的两边长分别是4和5，若这个三角形是直角三角形，则第三边长为(　　)
A．3 B. C．3或 D．无法确定
7．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为(　　)
A．7.5平方千米 B．15平方千米
C．75平方千米 D．750平方千米
8．在Rt△ABC中，斜边c＝10，两直角边a≤8，b≥8，则a＋b的最大值是(　　)
A．10 B．14 C．8 D．16
9．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线上D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为(　　)
A. B．3 C．1 D.

(第9题)　　　　 　 (第10题)
10．欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax＝b2的方程的图解法是：如图，画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝.则该方程的一个正根是(　　)
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
二、填空题(每题3分，共12分)
11．如图是八里河公园水上风情园一角的示意图，A，B，C，D为四个养有珍稀动物的小岛，连线代表连接各个小岛的晃桥(各岛之间也可以通过乘船到达)，如果黄芳同学想从A岛到C岛，至少要经过____________m.

(第11题)　　　　 (第13题)　　　　 (第14题)
12．三角形一边长为10，另两边长是方程x2－14x＋48＝0的两根，则这是一个____________三角形，面积为____________．
13．如图，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过路径的长为________．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝16 cm，现点P从点B出发，沿BC向C点运动，运动速度为cm/s，若点P的运动时间为t s，则当△ABP是直角三角形时，时间t的值可能是________．
三、(每题5分，共10分)
15．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，若∠A＝60°，求BC，AC的长．
16．如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AD＝13，CD＝12，∠B＝90°，求该四边形的面积．
(第16题)
四、(每题6分，共12分)
17．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲渔船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙渔船沿南偏东30°方向以每小时15海里的速度前进，两小时后，甲船到达M岛，乙船到达P岛．求P岛与M岛之间的距离．
(第17题)
18．如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，D，在对岸选取一个参照点C，测得∠CAD＝30°；小丽沿河岸向前走30 m选取点B(点A，B，D在一条直线上)，并测得∠CBD＝60°.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．
(第18题)
五、(每题6分，共12分)
19．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若EF＝10，求CE2 ＋ CF2的值．
(第19题)
20．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．
(第20题)
六、(8分)
21．阅读下列解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，①
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．②
∴c2＝a2＋b2.③
∴△ABC是直角三角形．
回答下列问题：
(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步代码为________；
(2)错误的原因为________________________________________________________________；
(3)请你将正确的解答过程写下来．
七、(8分)
22．如图，要在某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知点C周围200 m范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600 m到达B处，测得C在B的北偏西60°方向上．
(1)MN是否穿过原始森林保护区？为什么？(参考数据：≈1.732)
(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？
(第22题)
八、(8分)
23．如图，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m>0)，点D(m，1)在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.
(1)当m＝3时，点B的坐标为________，点E的坐标为________；
(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
(第23题)
答案
一、1. A　2. D
3．B　点拨：设较短直角边长为x(x>0)，则有x2＋(3x)2＝102，解得x＝，∴直角三角形的面积S＝x·3x＝15.
4．B　5.D
6．C　点拨：此题要考虑两种情况：当两直角边长是4和5时，斜边长为；当一直角边长是4，斜边长是5时，另一直角边长是3.故选C.
7．A　点拨：由题意可得三角形沙田的三边长为2.5千米，6千米，6.5千米，因为2.52＋62＝6.52，所以这个三角形为直角三角形，直角边长为2.5千米和6千米，所以S＝×6×2.5＝7.5(平方千米)，故选A.
8．B　点拨：由勾股定理，可知a＋b＝.当2a取最大值时a＋b取最大值．令＝2a，则y＝4a2(100－a2)＝－4(a4－100a2)＝－4(a2－50)2＋10 000.∵b≥8，∴b2≥64，∴a2≤36.当a2＝36，即a＝6时，y取最大值，此时b＝8.故a＋b的最大值为14.故选B.
9．A　点拨：在Rt△ABC中，AC＝＝＝5.设ED＝x，则D′E＝x，AD′＝AC－CD′＝2，AE＝4－x，在Rt△AD′E中，根据勾股定理可得方程22＋x2＝(4－x)2，再解方程即可．
10．B　点拨：可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长，即可发现结论．将方程x2＋ax＝b2整理得x2＋ax－b2＝0，由求根公式可得x＝，方程的两根为x1＝，x2＝，∵∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，∴AB＝＝，∴AD＝AB－BD＝－＝，∴AD的长就是方程的正根．故选B.
二、11. 370
12．直角；24　点拨：解方程得x1＝6，x2＝8.∵x＋x＝36＋64＝100＝102，∴这个三角形为直角三角形，从而求出面积．
13. 　点拨：如图，设这一束光与x轴交于点C，作点B关于x轴的对称点B′，过B′作B′D⊥y轴于点D，连接B′C.易知A，C，B′这三点在同一条直线上，再由轴对称的性质知B′C＝BC，则AC＋CB＝AC＋CB′＝AB′.由题意得AD＝5，B′D＝4，由勾股定理，得AB′＝.所以AC＋CB＝.
(第13题)
14．32或50　点拨：如图①，当∠APB＝90°时，AP⊥BC，∵AB＝AC，AP⊥BC，∴BP＝CP＝BC＝8 cm，∴t＝8，解得t＝32；如图②，当∠PAB＝90°时，过点A作AE⊥BC交BC于点E，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝8 cm，∴PE＝BP－BE＝cm，在Rt△AEC中，AE2＝AC2－CE2，即AE2＝102－82，解得AE＝6 cm，在Rt△PAB中，AP2＝BP2－AB2，在Rt△AEP中，AP2＝PE2＋AE2，∴－100＝＋36，解得t＝50.综上所述，t的值为32或50.
(第14题)
三、15. 解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－90°－60°＝30°.
∴AC＝AB＝×20＝10.
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝＝＝10.
16．解：在Rt△ABC中，AC＝＝5，∴AC2＝25，CD2＝122＝144，AD2＝132＝169.
∵25＋144＝169，
∴AC2＋CD2＝AD2，
∴△ACD是以∠ACD为90°角的直角三角形．
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·CD＝×4×3＋×5×12＝36.
四、17. 解：由题意可知△BMP为直角三角形，BM＝8×2＝16(海里)，BP＝15×2＝30(海里)，∴MP＝＝34海里．
答：P岛与M岛之间的距离为34海里．
18．解：过点C作CE⊥AD于点E，由题意得AB＝30 m，∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，
∴∠ACB＝∠CAB＝∠BCE＝30°，∴AB＝BC＝30 m，∴BE＝15 m.
在Rt△BCE中，根据勾股定理可得CE＝＝＝15(m)．
答：小河的宽度为15 m．　
五、19. 解：∵ B、C、D三点在一条直线上，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF＝∠ECA＋∠FCA＝∠ACB＋∠ACD＝×180°＝90°.
∴CE2 ＋ CF2＝EF2 .
∵EF＝10，
∴CE2＋CF2＝102＝100.
20．解：如图，过B点作BM⊥FD于点M.
(第20题)
在△ACB中，
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝20，
∴BC＝＝＝10.
∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°，
∴BM＝BC＝5，
∴CM＝＝
＝15.
在△EFD中，
∵∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5，
∴CD＝CM－MD＝15－5.
六、21. 解：(1)③
(2)忽略了a2－b2＝0的可能
(3)∵a2c2－b2c2＝a4－b4，
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)，
∴c2(a2－b2)－(a2－b2)(a2＋b2)＝0，
∴(a2－b2)[c2－(a2＋b2)]＝0，
∴a2－b2＝0或c2－(a2＋b2)＝0.∴a＝b或c2＝a2＋b2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
七、22. 解：
(1)MN不会穿过原始森林保护区．理由如下：
过点C作CH⊥AB于点H.
设CH＝x m.
由题意知∠EAC＝45°，∠FBC＝60°，则∠CAH＝45°，∠CBA＝30°.
在Rt△ACH中，AH＝CH＝x m，
在Rt△HBC中，BC＝2x m．由勾股定理，得HB＝＝x m.
∵AH＋HB＝AB＝600 m，∴x＋x＝600.解得x＝≈220＞200.
∴MN不会穿过原始森林保护区．
(2)设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成这项工程需要(y－5)天．根据题意，得
＝(1＋25%)×.
解得y＝25.
经检验，y＝25是原方程的根．
∴原计划完成这项工程需要25天．
八、23.解：(1)(3，4)；(0，1)
(2)点E能恰好落在x轴上．
理由如下：
∵四边形OABC为长方形，
∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCO＝90°，
由折叠的性质可得DE＝BD＝BC－CD＝4－1＝3，AE＝AB＝OC＝m.
如图，假设点E恰好落在x轴上．在Rt△CDE中，由勾股定理可得EC＝＝＝2，则有OE＝OC－CE＝m－2.
在Rt△AOE中，OA2＋OE2＝AE2，即42＋(m－2)2＝m2，解得m＝3.
(第23题)