1.2.1《三角函数线》(课件)

1.2.1 任意角的三角函数
三角函数线
1. 角α的三角函数是怎样定义的？
2、三角函数的定义域：
三角函数 定义域
sinα
cosα
tanα
2、三角函数的定义域：
三角函数 定义域
sinα R
cosα R
tanα
3. 三角函数在各象限的函数值符号分别如何？
一全正，二正弦，三正切，四余弦.
终边相同的角的同名三角函数值相等.
诱导公式一
角是一个几何概念, 同时角的大小也具有数量特征. 我们从数的观点定义了三角函数, 如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一. 下面我们再从图形角度认识一下三角函数。
三角函数线
角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，根据三角函数定义，我们有
M
正弦线
余弦线
像OM、MP这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段.
有向线段：带有方向的线段.
如: 有向线段OM,始点为O点，终点为M点，方向为：由O点指向M点
根据实际需要，我们规定：
OM与X轴同向时，方向为正向；
OM与X轴反向时，方向为负向.
（2）你能借助单位圆，找到一条如OM、MP一样的线段来表示角α的正切吗？
思 考
探究3、正切线
正切线
过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与α的终边(或其反向延长线)相交于点T.
有向线段AT叫角α的正切线
A
T
思考：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？
α
思考：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？
A
T
思考：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的含义如何？
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.
【例1】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
变式 在0～ 内，求使 成立的α的取值范围.
思考：观察下列不等式：
你有什么一般猜想？
引申：对于不等式 sinα<α（其中α为锐角），你能用数形结合思想证明吗？
1. 三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具.
1. 三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具.
2. 正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点O和点A（1，0）.