沪科版初中数学九年级上册第23章 解直角三角形本章综合与测试含答案
文档属性
| 名称 | 沪科版初中数学九年级上册第23章 解直角三角形本章综合与测试含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 165.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-11-23 05:56:26 | ||
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文档简介
(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
解直角三角形
一、单选题（共11题；共33分）
1.计算：（ ）﹣1+tan30°?sin60°=（??? ）
A.?﹣ ????????????????????????????????B.?2????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
2.如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．下列结论正确的是（?? ）
A.?CE= ??????????????? B.?EF= ?????????????
C.?cos∠CEP= ???????????????????????D.?HF2=EF?CF
3.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（?? ）
A.?100sin35°米??????????B.?100sin55°米?????????????C.?100tan35°米???????????D.?100tan55°米
4.如图，在 中， ， ， ，则 等于（?? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
5.在 中， ，如果 ，那么 的值是 ?? )
A.??????????????????????????????B.?????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?3
6.在下列网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都在格点上，则∠A的正弦值是（?? ）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.??????????????????????????D.?
7.如图，四边形ABCD，A1B1BA，…，A5B5B4A4都是边长为1的小正方形．已知∠ACB=a，∠A1CB1=a1 ， …，∠A5CB5=a5 ． 则tana?tana1+tana1?tana2+…+tana4?tana5的值为（?? ）
A.????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????D.?
8.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α ， ∠ADC=β ， 则竹竿AB与AD的长度之比为（??? ）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
9.如图，小强从热气球上测量一栋高楼顶部B的仰角为30°，测量这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为45米，则这栋高楼高为（?? ）米
A.15 B.30 C.45 D.60
10.某测量队在山脚A处测得山上树顶仰角为45°（如图），测量队在山坡上前进600米到D处，再测得树顶的仰角为60°，已知这段山坡的坡角为30°，如果树高为15米，则山高为（?? ）（精确到1米， ?=1.732）．
A.585米 B.1014米 C.805米 D.820米
11.如图，在菱形ABCD中，点E是BC边的中点，动点M在CD边上运动，以EM为折痕将△CEM折叠得到△PEM，联接PA，若AB=4，∠BAD＝60°，则PA的最小值是（ ??）
A.??????????????????B.?2 ???????????????????????????C.????????????????????????????D.?
二、填空题（共5题；共15分）
12.如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是________．
13.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2 ，BC= ．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C′，连接B'C，则sin∠ACB′=________．
14.已知△ABC中，AB=10，AC=2 ，∠B=30°，则△ABC的面积等于________．
15.关于x的一元二次方程x2－ x＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α＝________．
16.如图，矩形ABCD中，AB=2 ，AD=6，P为边AD上一点，且AP=2，在对角线BD上寻找一点M，使AM+PM最小，则AM+PM的最小值为________．
三、计算题（共3题；共20分）
17.计算：
18.计算：（ ）﹣2+| ﹣2|﹣ +6cos30°+（π﹣3.14）0 ．
19.计算?????????????????????????????????????????????????
（1）计算：2﹣2+（3 ﹣ ）÷ ﹣3sin45°；
（2）解方程： +1= ．
四、解答题（共2题；共14分）
20.在Rt△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,∠C=90°,a+b=4,且tanB=1,求c的长.
21.先化简，再求值：（ ﹣x﹣1）÷ ，其中x=（ ）﹣1+ +4sin30°．
五、综合题（共3题；共35分）
22.如图，在矩形ABCD中， ， ，点E是BC边上的点， ，连接AE， 交于点F．
（1）求证： ≌ ；
（2）连接CF，求 的值；
（3）连接AC交DF于点G，求 的值．
23.如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路 ，已知 点周围200米范围内为原始森林保护区，在 上的点 处测得 在 的北偏东 方向上，从 向东走600米到达 处，测得 在点 的北偏西 方向上.
（1） 是否穿过原始森林保护区？为什么？（参数数据： ）
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高 ，则原计划完成这项工程需要多少天？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】（ ）﹣1+tan30°?sin60°=2+ =2+ = ，
故答案为：C．
【分析】根据负指数的意义，特殊锐角三角函数值，分别化简，再根据实数的运算法则，算出答案。
2.【答案】D
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，锐角三角函数的定义，同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：连接EH．
∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB，∵BE⊥AP，CH⊥BE，∴CH∥PA，
∴四边形CPAH是平行四边形，∴CP=AH，∵CP=PD=1，∴AH=PC=1，∴AH=BH，
在Rt△ABE中，∵AH=HB，∴EH=HB，∵HC⊥BE，∴BG=EG，
∴CB=CE=2，故答案为：项A不符合题意，
∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，∴△ABC≌△CEH，∴∠CBH=∠CEH=90°，
∵HF=HF，HE=HA，∴Rt△HFE≌Rt△HFA，∴AF=EF，设EF=AF=x，
在Rt△CDF中，有22+（2﹣x）2=（2+x）2 ， ∴x= ，∴EF= ，故B不符合题意，∵PA∥CH，
∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，∴cos∠CEP=cos∠BCH= = ，故C不符合题意．∵HF= ，EF= ，FC=
∴HF2=EF?FC，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】 连接EH．根据正方形的性质得出CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出CH∥PA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形CPAH是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得出AH=PC=1，故AH=BH，在Rt△ABE中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出EH=HB，根据等腰三角形的三线合一得出BG=EG，根据中垂线定理得出CB=CE=2；然后利用SSS判断出△ABC≌△CEH，根据全等三角形的性质得出∠CBH=∠CEH=90°，再利用HL判断出Rt△HFE≌Rt△HFA，得出AF=EF，设EF=AF=x，在Rt△CDF中，利用勾股定理建立方程，求解得出x的值，即EF的长；根据平行线的性质及等量代换得出∠CEP=∠ECH=∠BCH，根据等角的同名三角函数值相等得出cos∠CEP=cos∠BCH=，根据HF,EF,FC的长，即可判断出HF2=EF?FC是否成立。
3.【答案】C
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故答案为：C．
【分析】根据正切函数的定义，由PA=PCtan∠PCA即可算出答案。
4.【答案】A
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，∴BC= ，
∴sinA= .
故答案为：A．
【分析】首先根据勾股定理算出BC的长，再根据正弦函数的定义即可得出答案。
5.【答案】A
【考点】同角三角函数的关系，解直角三角形
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，
∴cosA= ，∴∠A+∠B=90°，∴sinB=cosA= ．
故答案为：A．
【分析】Rt△ABC中，∠C=90°，由已知条件和同角三角函数间的关系可得cosA=,即可求得 cosA的值，再根据直角三角形量锐角互余即可求解。
6.【答案】A
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：OC=2，AC=4，由勾股定理得：AO= =2 ，∴sinA= = ．故答案为：A．
【分析】延长AB与OC，两线相交于点C，根据方格纸的特点得出OC=2，AC=4，由勾股定理得AO，再根据锐角三角函数的定义即可得出答案。
7.【答案】A
【考点】代数式求值，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据锐角三角函数的定义，得：tana= =1，tana1= = ，tana2= = …，tana5= = ，则tana?tana1+tana1tana2+…+tana4tana5=1× + × + × + × + ×
=1﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ =1﹣ = ．
故答案为：A．
【分析】根据锐角三角函数的定义，依次算出tana，tana1，tana2，…，tana5的值，依次代入tana?tana1+tana1tana2+…+tana4tana5，并根据，进行化简计算即可。
8.【答案】B
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：设AC=x,
在Rt△ABC中，AB= ．在Rt△ACD中，AD= ，则 ，故答案为：B。
【分析】求AB与AD的比，就不必就求AB和AD的具体长度，不妨设AB=x，用含x的代数式分别表示出AB，AD的长，再求比。
9.【答案】D
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解? ：过A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，
∵∠BAD=30° ， AD=45m，∴BD=AD?tan30°=45×=m,
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=60°，AD=45m，∴CD=AD?tan60°=45×=mBC=+=60m
故答案为 ：D
【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，由BD=AD?tan30°得出BD，在Rt△ACD中，由CD=AD?tan60°得出CD,再根据BC=BD+CD得出答案。
10.【答案】C
【考点】含30度角的直角三角形，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】过点D作DF⊥AC于F,
在直角△ADF中,AF=AD?cos30°=300 米,DF= AD=300米,设FC=x,则AC=300 +x,在直角△BDE中,BE= DE= x,则BC=300+ x,在直角△ACB中,∠BAC=45°,∴这个三角形是等腰直角三角形,∴AC=BC,∴300 +x=300+ x,解得:x=300,∴BC=AC=300+300 ,∴山高是300+300 -15=285+300 ≈805（米）,故答案为：C.
【分析】过点D作DF⊥AC于F,在直角△ADF中,由∠DAF的余弦函数可得AF=AD?cos30°=300，由直接角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DF= AD=300，设FC=x，所以AC=300 +x,在直角△BDE中,同理可得BE= DE=?x,则BC=300+ x，在直角△ACB中,∠BAC=45°,根据等腰三角形的性质可得AC=BC,所以300?+x=300+?x,解得x=300，则BC=AC=300+300，所以山高=300+300?-15=285+300? ≈805。
11.【答案】C
【考点】菱形的性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：连接AE ， 过A作BC的垂线交CB的延长线于M ， 易知∠ABM=60°，AB=4， ∴MB=2，AM=2 ，在Rt△AME中， ，
∴AP的最小值为2 ，故答案为：C．
【分析】连接AE ， 过A作BC的垂线交CB的延长线于N，要使PA的值最小，当A、P、E三点在同一直线上时，AP=AE-EP最小，由题意解直角三角形ABN可得AN、BN的值，然后解直角三角形ANE即可求解。
二、填空题
12.【答案】2
【考点】菱形的性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AC⊥BD，OA= AC=3，BD=2OB．
在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，∴tan∠BAC= ，∴OB=1，∴BD=2．
故答案为2．
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，OA= AC=3，BD=2OB．在Rt△OAB中根据正切函数的定义得出tan∠BAC=，即可得出OB的长，进而得出BD的长。
13.【答案】
【考点】三角形的面积，勾股定理，矩形的判定与性质，锐角三角函数的定义，旋转的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC= =5，
过C作CM⊥AB′于M，过A作AN⊥CB′于N，
∵根据旋转得出AB′=AB=2 ，∠B′AB=90°，即∠CMA=∠MAB=∠B=90°，∴CM=AB=2 ，AM=BC= ，
∴B′M=2 ﹣ = ，
在Rt△B′MC中，由勾股定理得：B′C= = =5，
∴S△AB′C= = ，∴5×AN=2 ×2 ，解得：AN=4，
∴sin∠ACB′= = ，故答案为： ．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理算出AC的长，过C作CM⊥AB′于M，过A作AN⊥CB′于N，根据旋转得出AB′=AB=2 ，∠B′AB=90°，很容易判断出四边形ABCM是矩形，故CM=AB=2?，AM=BC=?，进而算出B′M，在Rt△B′MC中，由勾股定理算出B′C的长，根据三角形的面积法算出AN的长，根据正弦函数的定义即可算出答案。
14.【答案】15 或10
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，
①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5 ，
在Rt△ACD中，∵AC=2 ，∴CD= ，
则BC=BD+CD=6 ，∴S△ABC= ?BC?AD= ×6 ×5=15 ；
②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，
由①知，BD=5 ，CD= ，则BC=BD-CD=4 ，∴S△ABC= ?BC?AD= ×4 ×5=10 ．
综上，△ABC的面积是15 或10 ，故答案为15 或10 ．
【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，根据三角函数的定义，由AD=ABsinB，BD=ABcosB，算出AD，BD的长，在Rt△ACD中，根据勾股定理算出CD的长，根据相等的和差算出BC的长，根据三角形的面积计算方法算出△ABC的面积；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知BD,CD的长，根据BC=BD-CD算出BC的长，根据三角形的面积计算方法算出△ABC的面积。
15.【答案】30°
【考点】根的判别式，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】由题意得b2-4ac=0，即 ，∴ ，∴α=30°，故答案为：30°.
【分析】根据题意可知b2-4ac=0，建立方程求解即可。
16.【答案】
【考点】矩形的性质，轴对称的应用-最短距离问题，解直角三角形
【解析】【解答】解：作DH平分∠BDC交BC于H．连接AH交BD于M．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠BAD=∠ADC=90°，
∴tan∠ADB= ，
∴∠ADB=30°，
∴∠BDC=60°，
∴∠CDH=30°，
∵CD= AB=2 ，
∴CH= tan30 ?×2 =2，
∴DH=2CH=4，
∴DP=DH，
∵∠MDP=∠MDH，
∴P、H关于BD对称，连接AH交BD于M，则AM+PM的值最小，最小值=AH=
【分析】作DH平分∠BDC交BC于H．连接AH交BD于M，根据矩形的性质可得出∠C=∠BAD=∠ADC=90°，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，可求出∠ADB=30°，就可求出∠BDC、∠CDH的度数，再利用解直角三角形求出CH的长，就可得出DH的长，然后由P、H关于BD对称，连接AH交BD于M，则AM+PM的值最小，即求出AH的长即可。
三、计算题
17.【答案】解：原式=﹣3﹣2 + ﹣1+ ﹣1=﹣5
【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据负指数的意义，二次根式的性质，0指数的意义，绝对值的意义，特殊锐角三角函数值，分别化简，再根据实数的运算算出结果。
18.【答案】解：原式=9+2﹣ ﹣2 +6× +1=12
【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算乘方、开方运算、化简绝对值、代入特殊角的三角函数值，再算乘法，然后算加减法。
19.【答案】（1）解：原式=﹣ +（9 ﹣ ）÷ ﹣3× =﹣ + + ﹣ =3
（2）解：两边都乘以x﹣2，得：x﹣3+x﹣2=﹣3，解得：x=1，检验：x=1时，x﹣2=﹣1≠0，
所以分式方程的解为x=1
【考点】实数的运算，解分式方程，特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据负指数的意义，二次根式的性质，特殊锐角三角函数值，先分别化简，再根据二次根式的除法法则去括号，然后按实数的运算顺序及方法算出答案；
（2）方程两边都乘以x﹣2约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程，求出x的值，再检验即可得出原方程的解。
四、解答题
20.【答案】解:由∠C=90°,tanB=1知a=b.由a+b=4得a=b=2,再由勾股定理得c=? =2? .
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义，解直角三角形
【解析】【分析】在Rt△ABC中,由tanB=1,可得a=b，根据a+b=4即可求出a,b的值，再由勾股定理即可求出c的值。
21.【答案】解：（ ﹣x﹣1）÷ =（ ﹣x﹣1）÷
= ÷ =2﹣xx=（ ）﹣1+ +4sin30°=3﹣5+4× =0∴原式=2﹣0=2
【考点】实数的运算，分式的化简求值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值
【解析】【分析】首先化简（ ﹣x﹣1）÷ ，并根据x=（ ）﹣1+ +4sin30°，求出x的值是多少；然后把求出的x的值代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．
五、综合题
22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，AB=CD=4，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在Rt△ABE中，
∵AB=4，BE=3，
∴AE=5，
在△ABE和≌△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA（AAS）.
（2）解：连结DE交CF于点H，
∵△ABE≌△DFA，
∴DF=DC=4，AF=BE=3，
∴CE=EF=2，
∴DE⊥CF，
∴∠DCF+∠HDC=∠DEC+∠HDC=90°，
∴∠DCF=∠DEC，
在Rt△DCE中，
∵CD=4，CE=2，
∴DE=2 ，
∴sin∠DCF=sin∠DEC= .
（3）过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K，
∵DF⊥AE，
∴CK∥DF，
∴ ，
在Rt△CEK中，
∴EK=CE·cos∠CEK=CE·cos∠AEB=2× = ,
∴FK=FE+EK=2+ = ,
∴ = = .
【考点】矩形的性质，平行线分线段成比例，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由矩形的性质，垂直的性质，同角的余角相等可得∠BAE=∠ADF，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得AE=5，由全等三角形的判定AAS可得△ABE≌△DFA.（2）连结DE交CF于点H，由（1）中全等三角形的性质可知DF=DC=4，AF=BE=3，由同角的余角相等得∠DCF=∠DEC，在Rt△DCE中，根据勾股定理可得DE=2 ,根据锐角三角函数定义可得答案.（3）过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K，由平行线的推论知CK∥DF，根据平行线所截线段成比例可得 ，在Rt△CEK中，根据锐角三角函数定义可得EK= ,从而求出FK，代入数值即可得出答案.
23.【答案】（1）解：如图，过C作CH⊥AB于H，
设CH=x，由已知有∠EAC=45°, ∠FBC=60°
则∠CAH=45°, ∠CBA=30°，在RT△ACH中，AH=CH=x，在RT△HBC中， tan∠HBC=
∴HB= = = x，
∵AH+HB=AB
∴x+ x=600解得x≈220（米）>200（米）．∴MN不会穿过森林保护区．
（2）解：设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要y-5
根据题意得： =(1+25％)× ，解得：y=25，经检验知：y=25是原方程的根．
答：原计划完成这项工程需要25天
【考点】分式方程的实际应用，解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）如图，过C作CH⊥AB于H，设CH=x，由已知有∠EAC=45°, ∠FBC=60°，则∠CAH=45°, ∠CBA=30°，在Rt△ACH中，根据等腰直角三角形的性质得出AH=CH=x，在Rt△HBC中，由正切函数的定义得出HB的长，根据AH+HB=AB，列出方程，即可求出x的值，再与200比大小即可得出结论；
（2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要y-5，则实际的工效为或(1+25％)，从而列出方程，求解并检验即可得出答案。
24.【答案】（1）解：在四边形ABCD中，∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠BDE=15°，
∴∠ADE=30°，
在Rt△ADE中，AE=DE×sin30=2 ，AD=DE?cos30°=6，
∴AB=AD=6，
∴BE=6﹣2
（2）解：作DF⊥BC于F．则四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=6，DF=AB=6，
在Rt△DFC中，FC= =4 ，
∴BC=6+4 ，
∴S四边形DEBC=S△DEB+S△BCD= ×（6﹣2 ）×6+ （6+4 ）×6=36+6 ．
【考点】勾股定理，矩形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【分析】（1）由AD∥BC，∠ABC=90°，可得出∠BAD=90°，利用等腰三角形的性质可求出∠ADB的度数，再求出∠ADE的度数，利用解直角三角形求出AE、AD、AB的长，然后利用BE=AB-AE，即可解答。
（2）作DF⊥BC于F．则四边形ABFD是矩形，可求出DF的长，再利用勾股定理求出FC的长，然后根据S四边形DEBC=S△DEB+S△BCD ， 计算即可求解。
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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
解直角三角形
一、单选题（共11题；共33分）
1.计算：（ ）﹣1+tan30°?sin60°=（??? ）
A.?﹣ ????????????????????????????????B.?2????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
2.如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．下列结论正确的是（?? ）
A.?CE= ??????????????? B.?EF= ?????????????
C.?cos∠CEP= ???????????????????????D.?HF2=EF?CF
3.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（?? ）
A.?100sin35°米??????????B.?100sin55°米?????????????C.?100tan35°米???????????D.?100tan55°米
4.如图，在 中， ， ， ，则 等于（?? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
5.在 中， ，如果 ，那么 的值是 ?? )
A.??????????????????????????????B.?????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?3
6.在下列网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都在格点上，则∠A的正弦值是（?? ）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.??????????????????????????D.?
7.如图，四边形ABCD，A1B1BA，…，A5B5B4A4都是边长为1的小正方形．已知∠ACB=a，∠A1CB1=a1 ， …，∠A5CB5=a5 ． 则tana?tana1+tana1?tana2+…+tana4?tana5的值为（?? ）
A.????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????D.?
8.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α ， ∠ADC=β ， 则竹竿AB与AD的长度之比为（??? ）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
9.如图，小强从热气球上测量一栋高楼顶部B的仰角为30°，测量这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为45米，则这栋高楼高为（?? ）米
A.15 B.30 C.45 D.60
10.某测量队在山脚A处测得山上树顶仰角为45°（如图），测量队在山坡上前进600米到D处，再测得树顶的仰角为60°，已知这段山坡的坡角为30°，如果树高为15米，则山高为（?? ）（精确到1米， ?=1.732）．
A.585米 B.1014米 C.805米 D.820米
11.如图，在菱形ABCD中，点E是BC边的中点，动点M在CD边上运动，以EM为折痕将△CEM折叠得到△PEM，联接PA，若AB=4，∠BAD＝60°，则PA的最小值是（ ??）
A.??????????????????B.?2 ???????????????????????????C.????????????????????????????D.?
二、填空题（共5题；共15分）
12.如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是________．
13.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2 ，BC= ．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C′，连接B'C，则sin∠ACB′=________．
14.已知△ABC中，AB=10，AC=2 ，∠B=30°，则△ABC的面积等于________．
15.关于x的一元二次方程x2－ x＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α＝________．
16.如图，矩形ABCD中，AB=2 ，AD=6，P为边AD上一点，且AP=2，在对角线BD上寻找一点M，使AM+PM最小，则AM+PM的最小值为________．
三、计算题（共3题；共20分）
17.计算：
18.计算：（ ）﹣2+| ﹣2|﹣ +6cos30°+（π﹣3.14）0 ．
19.计算?????????????????????????????????????????????????
（1）计算：2﹣2+（3 ﹣ ）÷ ﹣3sin45°；
（2）解方程： +1= ．
四、解答题（共2题；共14分）
20.在Rt△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,∠C=90°,a+b=4,且tanB=1,求c的长.
21.先化简，再求值：（ ﹣x﹣1）÷ ，其中x=（ ）﹣1+ +4sin30°．
五、综合题（共3题；共35分）
22.如图，在矩形ABCD中， ， ，点E是BC边上的点， ，连接AE， 交于点F．
（1）求证： ≌ ；
（2）连接CF，求 的值；
（3）连接AC交DF于点G，求 的值．
23.如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路 ，已知 点周围200米范围内为原始森林保护区，在 上的点 处测得 在 的北偏东 方向上，从 向东走600米到达 处，测得 在点 的北偏西 方向上.
（1） 是否穿过原始森林保护区？为什么？（参数数据： ）
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高 ，则原计划完成这项工程需要多少天？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】（ ）﹣1+tan30°?sin60°=2+ =2+ = ，
故答案为：C．
【分析】根据负指数的意义，特殊锐角三角函数值，分别化简，再根据实数的运算法则，算出答案。
2.【答案】D
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，锐角三角函数的定义，同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：连接EH．
∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB，∵BE⊥AP，CH⊥BE，∴CH∥PA，
∴四边形CPAH是平行四边形，∴CP=AH，∵CP=PD=1，∴AH=PC=1，∴AH=BH，
在Rt△ABE中，∵AH=HB，∴EH=HB，∵HC⊥BE，∴BG=EG，
∴CB=CE=2，故答案为：项A不符合题意，
∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，∴△ABC≌△CEH，∴∠CBH=∠CEH=90°，
∵HF=HF，HE=HA，∴Rt△HFE≌Rt△HFA，∴AF=EF，设EF=AF=x，
在Rt△CDF中，有22+（2﹣x）2=（2+x）2 ， ∴x= ，∴EF= ，故B不符合题意，∵PA∥CH，
∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，∴cos∠CEP=cos∠BCH= = ，故C不符合题意．∵HF= ，EF= ，FC=
∴HF2=EF?FC，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】 连接EH．根据正方形的性质得出CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出CH∥PA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形CPAH是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得出AH=PC=1，故AH=BH，在Rt△ABE中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出EH=HB，根据等腰三角形的三线合一得出BG=EG，根据中垂线定理得出CB=CE=2；然后利用SSS判断出△ABC≌△CEH，根据全等三角形的性质得出∠CBH=∠CEH=90°，再利用HL判断出Rt△HFE≌Rt△HFA，得出AF=EF，设EF=AF=x，在Rt△CDF中，利用勾股定理建立方程，求解得出x的值，即EF的长；根据平行线的性质及等量代换得出∠CEP=∠ECH=∠BCH，根据等角的同名三角函数值相等得出cos∠CEP=cos∠BCH=，根据HF,EF,FC的长，即可判断出HF2=EF?FC是否成立。
3.【答案】C
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故答案为：C．
【分析】根据正切函数的定义，由PA=PCtan∠PCA即可算出答案。
4.【答案】A
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，∴BC= ，
∴sinA= .
故答案为：A．
【分析】首先根据勾股定理算出BC的长，再根据正弦函数的定义即可得出答案。
5.【答案】A
【考点】同角三角函数的关系，解直角三角形
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，
∴cosA= ，∴∠A+∠B=90°，∴sinB=cosA= ．
故答案为：A．
【分析】Rt△ABC中，∠C=90°，由已知条件和同角三角函数间的关系可得cosA=,即可求得 cosA的值，再根据直角三角形量锐角互余即可求解。
6.【答案】A
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：OC=2，AC=4，由勾股定理得：AO= =2 ，∴sinA= = ．故答案为：A．
【分析】延长AB与OC，两线相交于点C，根据方格纸的特点得出OC=2，AC=4，由勾股定理得AO，再根据锐角三角函数的定义即可得出答案。
7.【答案】A
【考点】代数式求值，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据锐角三角函数的定义，得：tana= =1，tana1= = ，tana2= = …，tana5= = ，则tana?tana1+tana1tana2+…+tana4tana5=1× + × + × + × + ×
=1﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ =1﹣ = ．
故答案为：A．
【分析】根据锐角三角函数的定义，依次算出tana，tana1，tana2，…，tana5的值，依次代入tana?tana1+tana1tana2+…+tana4tana5，并根据，进行化简计算即可。
8.【答案】B
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：设AC=x,
在Rt△ABC中，AB= ．在Rt△ACD中，AD= ，则 ，故答案为：B。
【分析】求AB与AD的比，就不必就求AB和AD的具体长度，不妨设AB=x，用含x的代数式分别表示出AB，AD的长，再求比。
9.【答案】D
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解? ：过A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，
∵∠BAD=30° ， AD=45m，∴BD=AD?tan30°=45×=m,
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=60°，AD=45m，∴CD=AD?tan60°=45×=mBC=+=60m
故答案为 ：D
【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，由BD=AD?tan30°得出BD，在Rt△ACD中，由CD=AD?tan60°得出CD,再根据BC=BD+CD得出答案。
10.【答案】C
【考点】含30度角的直角三角形，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】过点D作DF⊥AC于F,
在直角△ADF中,AF=AD?cos30°=300 米,DF= AD=300米,设FC=x,则AC=300 +x,在直角△BDE中,BE= DE= x,则BC=300+ x,在直角△ACB中,∠BAC=45°,∴这个三角形是等腰直角三角形,∴AC=BC,∴300 +x=300+ x,解得:x=300,∴BC=AC=300+300 ,∴山高是300+300 -15=285+300 ≈805（米）,故答案为：C.
【分析】过点D作DF⊥AC于F,在直角△ADF中,由∠DAF的余弦函数可得AF=AD?cos30°=300，由直接角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DF= AD=300，设FC=x，所以AC=300 +x,在直角△BDE中,同理可得BE= DE=?x,则BC=300+ x，在直角△ACB中,∠BAC=45°,根据等腰三角形的性质可得AC=BC,所以300?+x=300+?x,解得x=300，则BC=AC=300+300，所以山高=300+300?-15=285+300? ≈805。
11.【答案】C
【考点】菱形的性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：连接AE ， 过A作BC的垂线交CB的延长线于M ， 易知∠ABM=60°，AB=4， ∴MB=2，AM=2 ，在Rt△AME中， ，
∴AP的最小值为2 ，故答案为：C．
【分析】连接AE ， 过A作BC的垂线交CB的延长线于N，要使PA的值最小，当A、P、E三点在同一直线上时，AP=AE-EP最小，由题意解直角三角形ABN可得AN、BN的值，然后解直角三角形ANE即可求解。
二、填空题
12.【答案】2
【考点】菱形的性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AC⊥BD，OA= AC=3，BD=2OB．
在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，∴tan∠BAC= ，∴OB=1，∴BD=2．
故答案为2．
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，OA= AC=3，BD=2OB．在Rt△OAB中根据正切函数的定义得出tan∠BAC=，即可得出OB的长，进而得出BD的长。
13.【答案】
【考点】三角形的面积，勾股定理，矩形的判定与性质，锐角三角函数的定义，旋转的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC= =5，
过C作CM⊥AB′于M，过A作AN⊥CB′于N，
∵根据旋转得出AB′=AB=2 ，∠B′AB=90°，即∠CMA=∠MAB=∠B=90°，∴CM=AB=2 ，AM=BC= ，
∴B′M=2 ﹣ = ，
在Rt△B′MC中，由勾股定理得：B′C= = =5，
∴S△AB′C= = ，∴5×AN=2 ×2 ，解得：AN=4，
∴sin∠ACB′= = ，故答案为： ．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理算出AC的长，过C作CM⊥AB′于M，过A作AN⊥CB′于N，根据旋转得出AB′=AB=2 ，∠B′AB=90°，很容易判断出四边形ABCM是矩形，故CM=AB=2?，AM=BC=?，进而算出B′M，在Rt△B′MC中，由勾股定理算出B′C的长，根据三角形的面积法算出AN的长，根据正弦函数的定义即可算出答案。
14.【答案】15 或10
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，
①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5 ，
在Rt△ACD中，∵AC=2 ，∴CD= ，
则BC=BD+CD=6 ，∴S△ABC= ?BC?AD= ×6 ×5=15 ；
②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，
由①知，BD=5 ，CD= ，则BC=BD-CD=4 ，∴S△ABC= ?BC?AD= ×4 ×5=10 ．
综上，△ABC的面积是15 或10 ，故答案为15 或10 ．
【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，根据三角函数的定义，由AD=ABsinB，BD=ABcosB，算出AD，BD的长，在Rt△ACD中，根据勾股定理算出CD的长，根据相等的和差算出BC的长，根据三角形的面积计算方法算出△ABC的面积；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知BD,CD的长，根据BC=BD-CD算出BC的长，根据三角形的面积计算方法算出△ABC的面积。
15.【答案】30°
【考点】根的判别式，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】由题意得b2-4ac=0，即 ，∴ ，∴α=30°，故答案为：30°.
【分析】根据题意可知b2-4ac=0，建立方程求解即可。
16.【答案】
【考点】矩形的性质，轴对称的应用-最短距离问题，解直角三角形
【解析】【解答】解：作DH平分∠BDC交BC于H．连接AH交BD于M．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠BAD=∠ADC=90°，
∴tan∠ADB= ，
∴∠ADB=30°，
∴∠BDC=60°，
∴∠CDH=30°，
∵CD= AB=2 ，
∴CH= tan30 ?×2 =2，
∴DH=2CH=4，
∴DP=DH，
∵∠MDP=∠MDH，
∴P、H关于BD对称，连接AH交BD于M，则AM+PM的值最小，最小值=AH=
【分析】作DH平分∠BDC交BC于H．连接AH交BD于M，根据矩形的性质可得出∠C=∠BAD=∠ADC=90°，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，可求出∠ADB=30°，就可求出∠BDC、∠CDH的度数，再利用解直角三角形求出CH的长，就可得出DH的长，然后由P、H关于BD对称，连接AH交BD于M，则AM+PM的值最小，即求出AH的长即可。
三、计算题
17.【答案】解：原式=﹣3﹣2 + ﹣1+ ﹣1=﹣5
【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据负指数的意义，二次根式的性质，0指数的意义，绝对值的意义，特殊锐角三角函数值，分别化简，再根据实数的运算算出结果。
18.【答案】解：原式=9+2﹣ ﹣2 +6× +1=12
【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算乘方、开方运算、化简绝对值、代入特殊角的三角函数值，再算乘法，然后算加减法。
19.【答案】（1）解：原式=﹣ +（9 ﹣ ）÷ ﹣3× =﹣ + + ﹣ =3
（2）解：两边都乘以x﹣2，得：x﹣3+x﹣2=﹣3，解得：x=1，检验：x=1时，x﹣2=﹣1≠0，
所以分式方程的解为x=1
【考点】实数的运算，解分式方程，特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据负指数的意义，二次根式的性质，特殊锐角三角函数值，先分别化简，再根据二次根式的除法法则去括号，然后按实数的运算顺序及方法算出答案；
（2）方程两边都乘以x﹣2约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程，求出x的值，再检验即可得出原方程的解。
四、解答题
20.【答案】解:由∠C=90°,tanB=1知a=b.由a+b=4得a=b=2,再由勾股定理得c=? =2? .
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义，解直角三角形
【解析】【分析】在Rt△ABC中,由tanB=1,可得a=b，根据a+b=4即可求出a,b的值，再由勾股定理即可求出c的值。
21.【答案】解：（ ﹣x﹣1）÷ =（ ﹣x﹣1）÷
= ÷ =2﹣xx=（ ）﹣1+ +4sin30°=3﹣5+4× =0∴原式=2﹣0=2
【考点】实数的运算，分式的化简求值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值
【解析】【分析】首先化简（ ﹣x﹣1）÷ ，并根据x=（ ）﹣1+ +4sin30°，求出x的值是多少；然后把求出的x的值代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．
五、综合题
22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，AB=CD=4，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在Rt△ABE中，
∵AB=4，BE=3，
∴AE=5，
在△ABE和≌△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA（AAS）.
（2）解：连结DE交CF于点H，
∵△ABE≌△DFA，
∴DF=DC=4，AF=BE=3，
∴CE=EF=2，
∴DE⊥CF，
∴∠DCF+∠HDC=∠DEC+∠HDC=90°，
∴∠DCF=∠DEC，
在Rt△DCE中，
∵CD=4，CE=2，
∴DE=2 ，
∴sin∠DCF=sin∠DEC= .
（3）过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K，
∵DF⊥AE，
∴CK∥DF，
∴ ，
在Rt△CEK中，
∴EK=CE·cos∠CEK=CE·cos∠AEB=2× = ,
∴FK=FE+EK=2+ = ,
∴ = = .
【考点】矩形的性质，平行线分线段成比例，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由矩形的性质，垂直的性质，同角的余角相等可得∠BAE=∠ADF，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得AE=5，由全等三角形的判定AAS可得△ABE≌△DFA.（2）连结DE交CF于点H，由（1）中全等三角形的性质可知DF=DC=4，AF=BE=3，由同角的余角相等得∠DCF=∠DEC，在Rt△DCE中，根据勾股定理可得DE=2 ,根据锐角三角函数定义可得答案.（3）过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K，由平行线的推论知CK∥DF，根据平行线所截线段成比例可得 ，在Rt△CEK中，根据锐角三角函数定义可得EK= ,从而求出FK，代入数值即可得出答案.
23.【答案】（1）解：如图，过C作CH⊥AB于H，
设CH=x，由已知有∠EAC=45°, ∠FBC=60°
则∠CAH=45°, ∠CBA=30°，在RT△ACH中，AH=CH=x，在RT△HBC中， tan∠HBC=
∴HB= = = x，
∵AH+HB=AB
∴x+ x=600解得x≈220（米）>200（米）．∴MN不会穿过森林保护区．
（2）解：设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要y-5
根据题意得： =(1+25％)× ，解得：y=25，经检验知：y=25是原方程的根．
答：原计划完成这项工程需要25天
【考点】分式方程的实际应用，解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）如图，过C作CH⊥AB于H，设CH=x，由已知有∠EAC=45°, ∠FBC=60°，则∠CAH=45°, ∠CBA=30°，在Rt△ACH中，根据等腰直角三角形的性质得出AH=CH=x，在Rt△HBC中，由正切函数的定义得出HB的长，根据AH+HB=AB，列出方程，即可求出x的值，再与200比大小即可得出结论；
（2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要y-5，则实际的工效为或(1+25％)，从而列出方程，求解并检验即可得出答案。
24.【答案】（1）解：在四边形ABCD中，∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠BDE=15°，
∴∠ADE=30°，
在Rt△ADE中，AE=DE×sin30=2 ，AD=DE?cos30°=6，
∴AB=AD=6，
∴BE=6﹣2
（2）解：作DF⊥BC于F．则四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=6，DF=AB=6，
在Rt△DFC中，FC= =4 ，
∴BC=6+4 ，
∴S四边形DEBC=S△DEB+S△BCD= ×（6﹣2 ）×6+ （6+4 ）×6=36+6 ．
【考点】勾股定理，矩形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【分析】（1）由AD∥BC，∠ABC=90°，可得出∠BAD=90°，利用等腰三角形的性质可求出∠ADB的度数，再求出∠ADE的度数，利用解直角三角形求出AE、AD、AB的长，然后利用BE=AB-AE，即可解答。
（2）作DF⊥BC于F．则四边形ABFD是矩形，可求出DF的长，再利用勾股定理求出FC的长，然后根据S四边形DEBC=S△DEB+S△BCD ， 计算即可求解。
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