江苏省无锡市2019届高三上学期期中考试数学试题（有答案）

无锡市2019届高三上学期期中考试
数学试题　2018.11

一、填空题
1、已知全集，集合则
2、函数的定义域为_______.
3、已知则实数
4、设函数若则
5、已知向量的夹角为，则的值为________.
6、若实数满足条件则的最大值为________.
7、已知定义在区间上的函数的最大值为4，最小值为，则
8、已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________.
9、已知则的值为_________.
10、《九章算术》中研究盈不足问题时，有一道题是“今有桓厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”题意即为“有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？”一古城墙某处厚33尺，大小老鼠按上述方式打洞，相遇时是第_______天.
11、在中，点是线段上任意一点，是线段的中点，且，则
12、设为正实数，且，则的最小值为________.
13. 定义为个正数的“均倒数”.若已知数列的前项的“均倒数”为又，则
14. 已知函数在上的零点为，函数在上的零点为则的范围为_________.

二、解答题
15、已知
（1）若与垂直，求实数的值；
（2）三点构成三角形，求实数的取值范围.


16、在四棱锥中，已知分别是的中点，若是平行四边形，
(1) 求证：平面
(2) 若平面，求证：



17、已知的三个内角的对边分别为，且
（1）求角的值；
（2）若边上的中线的长为，求面积的最大值.





18. 有一块圆心角为120度，半径为的扇形钢板(为弧的中点)，现要将其裁剪成一个五边形磨具，其下部为等腰三角形，上部为矩形.设五边形的面积为.
（1）写出关于的函数表达式，并写出的取值范围；
（2）当取得最大值时，求的值.


19、已知数列满足为正常数.
（1）求证：对于一切恒成立；
（2）若数列为等差数列，求的取值范围.





20、已知函数
（1）若求曲线在处的切线方程；
（2）若求函数的单调区间；
（3）若求证：










参考答案
1、｛0，2，4｝　　　　2、（－∞，2）　　　3、　　　　4、2　　　　　5、7
6、4　　　　　　　　　7、－　　　　　8、（0,1］　　9、　　10、6
11、－　　　　　　　12、27　　　　　　13、　　　　14、（1，）
15、（1）因为与垂直，所以，?＝0，
即（5，－5）（－6，k+1）＝0
即：－30－5（k+1）＝0，解得：k＝－7
（2）依题意，得A，B，C三点不共线，即与不共线，
即5（k+1）≠30，解得：k≠5
所以，实数的取值范围（－∞，5）U（5，＋∞）

16、（1）作PA中点E，连结BE，NE
因为N为PD中点，所以，EN∥AD，且EN＝AD，
又M为BC中点，是平行四边形，所以　BM∥AD，且BM＝AD，
所以，BM∥EN且BM＝EN
所以，四边形BMNE为平行四边形，
所以，MN∥BE，而MN平面PAB，BE平面PAB
所以，MN∥平面PAB。

（2）∵　　　∴AC⊥AB，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC
∵PA∩AB＝A，∴AC⊥平面PAB，
∵BE平面PAB，∴AC⊥BE
由（1）知，BE∥MN，∴AC⊥MN
17、（1）因为
由正弦定理，得：
即
化简，得：
即：，所以，A＝。
（2）因为BD为AC边上的中线，
所以，S△ABC＝2S△ABD＝AB?AD×sin＝AB?AD
又由余弦定理，得：BD2＝AB2+AD2－2AB?AD×cos＝AB2+AD2－AB?AD≥AB?AD
所以，AB?AD≤13
所以，S△ABC＝AB?AD≤×13＝
当AB＝AD时，面积有最大值

18、（1）如图，设OP与CD、AB交于M，N两点，

为弧的中点，则M为CD中点，OP⊥AB，
OM＝OCcosα＝Rcosα，CM＝OCsinα=Rsinα，则EF＝CD＝2CM＝2Rsinα
∠POB＝∠AOB＝60°，∠OBN＝30°，
所以，ON＝OB＝R，
CF＝MN＝OM－ON＝Rcosα－R
所以，S＝CD?CF+EF?ON＝2Rsinα×（Rcosα－R）+×2Rsinα×R
　　　　＝R2sinα（4cosα－1）（0＜α＜）

（2）设f（α）＝sinα（4cosα－1），则
＝＝0
因为0＜α＜，所以，

由表可知，当S取得最大值时，
19、（1）＝＝
当时，＝＝≥0
当时，＝＝＞0
当时，＝＝4＞0
综上所述，≥0，所以，
对于一切恒成立；

20、（1）当＝0时，，
切点（1,0），切线的斜率：k＝
所求的切线方程为：