北师大版九年级下册第二章 二次函数单元测试卷（解析版）

九年级二次函数1

题号 一 二 三 总分
得分


一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
抛物线y=（x-2）2-3的顶点坐标是（　　）
A. B. C. D.
二次函数的图象是一条抛物线，下列说法中正确的是　 　
A. 抛物线开口向下 B. 抛物线经过点
C. 抛物线的对称轴是直线 D. 抛物线与x轴有两个交点
若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（??? ）
A. B. C. D.
抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为?y=x2-2x-3，则b、c的值为（　　）
A. ， B. ， C. ， D. ，
若二次函数y=（a-1）x2+3x+a2-1的图象经过原点，则a的值必为?（　　）
A. 1或 B. 1 C. D. 0
下列函数中，对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＜y2的是（　　）
A. B. C. D.
已知抛物线y=-2x2+2kx-3的顶点在x轴的负半轴上，则k值等于（　　）
A. B. C. 6 D.
抛物线y＝x2-2x+m2+2（m是常数）的顶点在（??? ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
直线与抛物线的交点个数是（　　）
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 互相重合的两个
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b＜2a；②a+2c-b＞0；③b＞a＞c；④b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4



如图是二次函数的图象，有下面四个结论：；；；，其中正确的结论是???．

A. B. C. D.
如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（　　）
A.
B.
C.
D.




二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
如果抛物线y=2x2与抛物线y=ax2关于x轴对称，那么a的值是______．
函数y=-（x+11）2+12图象与x轴有______个交点．
抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+bx+c=0的解为______．





若二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=______．
已知二次函数y=mx2+（m-1）x+m-1有最小值0，则m的值是______．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
写出下面抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．
（1）y=-2x2+6x
（2）．







已知二次函数?y=a（x-1）2-4?的图象经过点（0，-3）．
（1）求这个二次函数的函数解析式；
（2）当x取何值时，函数y的值随着?x?的增大而增大；
（3）当x取何值时，函数的值为?0．







如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）若点P（m，m）在该函数图象上，求m的值．















抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴交于点（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标．















已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），且经过直线y=x-2与x轴的交点B及与y轴的交点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）若点M在第四象限内的抛物线上，且tan∠MOC=1，求M点的坐标及四边形OBMC面积．







在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．
（1）当m=4时，求n的值；
（2）设m=-2，当-3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；
（3）当-3≤x≤0时，若二次函数-3≤x≤0时的最小值为-4，求m、n的值．








答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了二次函数顶点式的性质：抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k）.已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标即可.
【解答】
解：∵的是抛物线的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，-3）.
故选B.

2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它的顶点坐标是（-，），对称轴为直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小．根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2-3=0解的情况对D进行判断．
【解答】
解：A、a=2，则抛物线y=2x2-3的开口向上，所以A选项错误；
B、当x=2时，y=2×4-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以B选项错误；
C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；
D、当y=0时，2x2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确．
故选D．
3.【答案】A
【解析】
解：y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，
得到的新抛物线的表达式为y=5（x-2）2+1，
故选：A．
根据平移规律，可得答案．
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
4.【答案】D
【解析】
解：由题意得新抛物线的顶点为（1，-4），
∴原抛物线的顶点为（-1，-1），
设原抛物线的解析式为y=（x-h）2+k代入得：y=（x+1）2-1=x2+2x，
∴b=2，c=0．
故选D．
易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b，c的值．
主要考查了函数图象的平移，抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．
5.【答案】C
【解析】
解：把（0，0）代入y=（a-1）x2+3x+a2-1，
得a2-1=0，解得a=1或a=-1，
因为a-1≠0，
所以a≠1，即a=-1．
故选：C．
先把原点坐标代入二次函数解析式得到a的方程，解方程得到a=1或a=-1，根据二次函数的定义可判断a=-1．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）图象上的点的坐标满足其解析式，同时考查了二次函数的定义．
6.【答案】A
【解析】
解：A、y=-3x+2中k=-3，
∴y随x值的增大而减小，
∴A选项符合题意；
B、y=2x+1中k=2，
∴y随x值的增大而增大，
∴B选项不符合题意；
C、y=2x2+1中a=2，
∴当x＜0时，y随x值的增大而减小，当x＞0时，y随x值的增大而增大，
∴C选项不符合题意；
D、y=-中k=-1，
∴当x＜0时，y随x值的增大而增大，当x＞0时，y随x值的增大而增大，
∴D选项不符合题意．
故选：A．
A、由k=-3可得知y随x值的增大而减小；B、由k=2可得知y随x值的增大而增大；C、由a=2可得知：当x＜0时，y随x值的增大而减小，当x＞0时，y随x值的增大而增大；D、由k=-1可得知：当x＜0时，y随x值的增大而增大，当x＞0时，y随x值的增大而增大．此题得解．
本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质以及反比例函数的性质，根据一次（二次、反比例）函数的性质，逐一分析四个选项中y与x之间的增减性是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】
解：∵抛物线y=-2x2+2kx-3的顶点在x轴的负半轴上，
∴
解得：k=-，
故选B．
根据二次函数的顶点坐标公式解答即可．抛物线的顶点在x轴上，即=0，解之即可得出答案；
本题考查了二次函数的最值及图象上点的坐标特征，属于基础题，关键是掌握二次函数上点的坐标特征及二次函数的性质．
8.【答案】A
【解析】
解：∵y=x2-2x+m2+2=（x-1）2+（m2+1），
∴顶点坐标为：（1，m2+1），
∵1＞0，m2+1＞0，
∴顶点在第一象限．
故选：A．
先根据抛物线的顶点式求出抛物线y=x2-2x+m2+2（m是常数）的顶点坐标，再根据各象限内点的坐标特点进行解答．
本题考查的是二次函数的性质及各象限内点的坐标特点，根据题意得出抛物线的顶点坐标是解答此题的关键．
9.【答案】C
【解析】
解：直线y=x-2与抛物线y=x2-x的交点求法是：
令x-2=x2-x，
∴x2-3x+2=0，
∴x1=1，x2=2，
∴直线y=x-2与抛物线y=x2-x的个数是2个．
故选C．
根据直线与二次函数交点的求法得出一元二次方程的解，即可得出交点个数．
此题主要考查了一元二次方程的性质，根据题意得出一元二次方程的解的个数是解决问题的关键．
10.【答案】D
【解析】
解：由图象可知，a＞0，b＞0，c＞0，
∵-＞-1，
∴b＜2a，故①正确，
∵|a-b+c|＜c，且a-b+c＜0，
∴-a+b-c＜c，
∴a-b+2c＞0，故②正确，
∵-＜-，
∴b＞a，
∵x1＜-1，x2＞-，
∴x1?x2＜1，
∴＜1，
∴a＞c，
∴b＞a＞c，故③正确，
∵b2-4ac＞0，
∴2ac＜b2，
∵b＜2a，
∴＜3ab，
∴b2=b2+b2＞b2+2ac，
b2+2ac＜b2＜3ab，
∴b2+2ac＜3ab．故④正确．
故选D．
根据抛物线的图象，对称轴的位置，利用二次函数的性质一一判断即可．
本题考查二次函数的性质、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象信息解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．根据抛物线开口方向得到a＞0；根据对称轴得到，则b＜0；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＞0，可判断①正确；当自变量为-1时对应的函数图象在x轴上方，则a-b+c＞0，可判断②正确；根据抛物线对称轴方程得到，则2a+3b=0，可判断③错误；当自变量为2时对应的函数图象在x轴上方，则4a+2b+c＞0，把2a=-3b代入可对④进行判断．
【解答】
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0；
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴，
∴b＜0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵x=-1时，y＞0，
∴a-b+c＞0，所以②正确；
∵，
∴2a+3b=0，所以③错误；
∵x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，
把2a=-3b代入得-6b+2b+c＞0，
∴c-4b＞0，所以④正确．
故选C．
12.【答案】C
【解析】
解：∵Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，
∴4=a×（-2）2，
解得：a=1
∴解析式为y=x2，
∵Rt△OAB的顶点A（-2，4），
∴OB=OD=2，
∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴CD∥x轴，
∴点D和点P的纵坐标均为2，
∴令y=2，得2=x2，
解得：x=±，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为：（，2）
故选：C．
首先根据点A在抛物线y=ax2上求得抛物线的解析式和线段OB的长，从而求得点D的坐标，根据点P的纵坐标和点D的纵坐标相等得到点P的坐标即可；
本题考查了二次函数的综合知识，解题过程中首先求得直线的解析式，然后再求得点D的纵坐标，利用点P的纵坐标与点D的纵坐标相等代入函数的解析式求解即可．
13.【答案】-2
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化求解更简便.根据关于x轴对称，抛物线开口大小不变，方向相反解答.
【解答】
解：∵抛物线y=2x2与抛物线y=ax2关于x轴对称，
∴两抛物线开口大小不变，方向相反，
∴a=-2.
故答案为-2.
14.【答案】2
【解析】
解：令y=0，即-（x+11）2+12=0，
∴x2+22x+109=0，
△=222-4×1×109=48＞0，
∴函数y=-（x+11）2+12图象与x轴有2个交点；
故答案是：2．
根据一元二次方程-（x+11）2+12=0的根的判别式的符号可判断出二次函数y=-（x+11）2+12的图象与x轴交点的个数．
本题考查了抛物线与x轴的交点．解答此题需要熟悉二次函数的性质及与一元二次方程根的关系．
15.【答案】x1=1，x2=-3
【解析】
解：观察图象可知，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x=-1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（-3，0），
∴一元二次方程2x2-4x+m=0的解为x1=1，x2=-3．
故本题答案为：x1=1，x2=-3．
直接观察图象，抛物线与x轴交于1，对称轴是x=-1，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程-x2+bx+c=0的解．
本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法．一元二次方程-x2+bx+c=0的解实质上是抛物线y=-x2+bx+c与x轴交点的横坐标的值．
16.【答案】4
【解析】
解：y=x2-4x+n中，a=1，b=-4，c=n，
b2-4ac=16-4n=0，
解得n=4．
故答案是：4．
二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则b2-4ac=0，据此即可求得．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
17.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的最值问题，熟记最大值（最小值）公式是解题的关键，同时考查了二次函数的性质.先根据二次函数y=mx2+（m-1）x+m-1有最小值，得出二次项系数m＞0，再根据最小值是0列式计算即可得解.
【解答】
解：∵y=mx2+（m-1）x+m-1有最小值0，
∴=0，m＞0，
解得m=1.
故答案为1.
18.【答案】解：（1）y=-2x2+6x=-2（x2-3x）=-2（x2-3x+）+=2（x-）2+，
开口向下，对称轴是直线x=，顶点坐标为（，）；

（2）y=x2+2x-3=（x2+4x）-3=（x2+4x+4）-2-3=（x+2）2-5，
开口向上，对称轴是直线x=-2，顶点坐标为（-2，-5）．
【解析】

先运用配方法将二次函数的一般式改写成顶点式，再根据顶点式的坐标特点求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．
本题考查的是二次函数的性质：对于二次函数y=a（x+h）2+k，当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下；对称轴是直线x=-h，顶点坐标为（-h，k），运用配方法将二次函数改写成顶点式，是解题的关键．
19.【答案】解：（1）因为二次函数y=a（x-1）2-4 的图象经过点（0，-3），
∴-3=a（0-1）2-4，得a=1，
即这个二次函数的解析式是：y=（x-1）2-4；
（2）∵y=（x-1）2-4，1＞0，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大；
（3）将y=0代入y=（x-1）2-4，得
0=（x-1）2-4，
解得，x1=-1，x2=3，
即当x=-1或x=3时，函数的值为 0．
【解析】

（1）二次函数y=a（x-1）2-4 的图象经过点（0，-3），可以求得a的值，从而可以求得这个二次函数的解析式；
（2）根据（1）中的结果可以求得当x取何值时，函数y的值随着 x 的增大而增大；
（3）将y=0代入（1）中的解析式，可以求得x的值．
本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
20.【答案】解：（1）将A（-1，-1），B（3，-9）代入，
得，
∴a=1，c=-6，
∴y=x2-4x-6；
（2）对称轴：直线x=2，
顶点坐标：（2，-10）；
（3）∵点P（m，m）在函数图象上，
∴m2-4m-6=m，
∴m=6或-1．
【解析】

（1）由条件可知点A和点B的坐标，代入解析式可得到关于a和c的二元一次方程组，解得a和c，可写出二次函数解析式；
（2）利用对称轴为x=-，顶点坐标为（-，）计算出其顶点坐标即可；
（3）把点的坐标代入可求得m的值．
本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的对称轴、顶点坐标，掌握二次函数的性质及待定系数法是解题的关键．
21.【答案】解：（1）把（0，3）代入y=-x2+（m-1）x+m得，m=3，
故抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

（2）当y=0时，0=-x2+2x+3，
解得，x=1或x=3，
则抛物线与x轴的交点是（-1，0）、（3，0），
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴抛物线的顶点是（1，4）．
【解析】

（1）把点（0，3）坐标代入即可求出m的值；
（2）由（1）可知抛物线的解析式，进而可求出它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标．
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线和x轴交点坐标，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22.【答案】解：（1）直线y=x-2与坐标轴的交点坐标分别为B（2，0），C（0，-2），以A、B、C三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c中，得
解得
∴所求抛物线的解析式是y=x2-x-2；
（2）∵y=x2-x-2=（x-）2-，
∴抛物线的顶点坐标为（，-）；
（3）∵因为点M在第四象限内的抛物线上，且tan∠MOC=1，
∴设M（x，-x），
因为点M在抛物线上，∴x2-x-2=-x．
解得x1=，x2=，
因点M在第四象限，取x=，∴M（，-），
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
∵∠COM=45°，
∴∠ODC=90°，
即OM⊥BC，
得OM=2，BC=2，四边形OBMC的面积为OM?BC=2．
【解析】

（1）先根据坐标轴上点的坐标特征确定B（2，0），C（0，-2），然后利用待定系数法确定二次函数解析式；
（2）把（1）的解析式y=x2-x-2配成顶点式得y=（x-）2-，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标；
（3）由于△OBC为等腰直角三角形，而OM⊥BC，则OM的解析式为y=-x，可设M（x，-x），把它代入二次函数解析式得x2-x-2=-x，解得x1=，x2=．则M点坐标为（，-），然后计算出OM=2，BC=2，再利用三角形面积公式计算四边形OBMC的面积．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
23.【答案】解：（1）当y=x+3=0时，x=-3，
∴点A的坐标为（-3，0）．
∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A，
∴0=9-3m+n，即n=3m-9，
∴当m=4时，n=3m-9=3．
（2）抛物线的对称轴为直线x=-，
当m=-2时，对称轴为x=1，n=3m-9=-15，
∴当-3≤x≤0时，y随x的增大而减小，
∴当x=0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为-15．
（3）①当对称轴-≤-3，即m≥6时，如图1所示．
在-3≤x≤0中，y=x2+mx+n的最小值为0，
∴此情况不合题意；
②当-3＜-＜0，即0＜m＜6时，如图2，
有，
解得：或（舍去），
∴m=2、n=-3；
③当-≥0，即m≤0时，如图3，
有，
解得：（舍去）．
综上所述：m=2，n=-3．
【解析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出n=3m-9，代入m=4可求出n值；
（2）由m=-2可求出抛物线对称轴为x=1、n=-15，由当-3≤x≤0时，y随x的增大而减小，即可得出此时二次函数y=x2+mx+n的最小值；
（3）分m≥6、0＜m＜6和m≤0三种情况，结合二次函数的图象以及y在-3≤x≤0时的最小值为-4，即可求出m、n的值．
本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征找出n=3m-9；（2）根据二次函数的性质找出：当x=0时，二次函数y=x2+mx+n取得最小值；（3）分m≥6、0＜m＜6和m≤0三种情况考虑．

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