2019届北师大版（文科数学） 简单几何体的侧面积 单元测试

2019届北师大版（文科数学） 简单几何体的侧面积 单元测试
一、选择题
1.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论．
【详解】设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，
∵圆柱的侧面展开图是一个正方形，
∴2πr=h，即 ．
∴圆柱的侧面积为2πrh=4π2r2，
圆柱的两个底面积为2πr2，∴圆柱的表面积为2πr2+2πrh=2πr2+4π2r2，
∴圆柱的表面积与侧面积的比为： ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查圆柱的侧面积和表面积公式的计算，利用圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到高和半径之间的关系是解决本题的关键．
2.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　)
A. 4π B. 3π C. 2π D. π
【答案】C
【解析】
【分析】
边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．
【详解】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，
则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，
故选：C．
【点睛】本题考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．是基础题.
3.如图所示，侧棱长为1的正四棱锥，若底面周长为4，则这个棱锥的侧面积为(　　)
学 学 学 学
A. 5 B.
C. D. ＋1
【答案】B
【解析】
【分析】
由正四棱锥的侧棱长为1，底面周长为4，知这个棱锥侧面积是四个边长为1的等边三角形的面积之和．
【详解】：∵正四棱锥的侧棱长为1，底面周长为4，
∴这个棱锥侧面积是四个边长为1的等边三角形的面积之和，
∴这个棱锥侧面积 ．
故选B．
【点睛】本题考查棱锥的侧面积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意熟练掌握棱锥的结构特征．
4.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为(　　)
A. 7 B. 6
C. 5 D. 3
【答案】A
【解析】
分析：设出上底面半径为r，利用圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，求出上底面半径，即可．
详解：设上底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，所以S侧面积=π（r+3r）l=84π，r=7
故选：A．
点睛：本题是基础题，考查 圆台的侧面积公式，考查计算能力，牢记圆台的侧面积公示，直接代入公式即可.
5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为(　　)

A. B. π＋ C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积．
【详解】由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．
又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为 ，底面积为
观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为，
则该几何体的表面积为：．
故选C.
【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
6.在正方体ABCD?A1B1C1D1中，三棱锥D1?AB1C的表面积与正方体的表面积的比为(　　)

A. 1∶1 B. 1∶
C. 1∶ D. 1∶2
【答案】C
【解析】
【分析】
设出正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长，求出正方体的表面积和三棱锥D1-AB1C的表面积即可．
【详解】设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为S2=6a2，且三棱锥D1-AB1C为各棱长均为 的正四面体，
其中一个面的面积为 所以三棱锥D1-AB1C的表面积为： 所以三棱锥D1-AB1C的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积之比为：
故选：C．
【点睛】本题考查了正方体与三棱锥的表面积公式的应用问题，是基础题目．
7.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的母线与轴所成的角为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设圆锥的母线长为，底面半径为，

∵圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，
∴，即，，又圆锥的侧面积公式，
∴，解得，即，，则，
∴，即圆锥的母线与圆锥的轴所成角的大小为，故选A.
8.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积等于(　　)

A. 8π cm2 B. 7π cm2
C. (5＋)π cm2 D. 6π cm2
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图得此几何体是简单的组合体：上面是一个圆锥、下面是一个圆柱，并由三视图求出相应的数据，由表面积公式求出答案．
【详解】由三视图得，此几何体是简单的组合体，
上面是一个圆锥：底面是以1cm为半径、2cm为母线长的圆锥，
下面是底面是以1cm为半径、2cm为母线长的圆柱，
所以此几何体的表面积S=π×1×2+2π×1×2+π×12=7π（cm2），
故选：B．
【点睛】本题考查由三视图求几何体的表面积，解题关键是判断几何体的形状及几何量所对应的数据，考查空间想象能力．
二、填空题
9.已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的侧面积是 .
【答案】
【解析】
【分析】
求出圆锥的底面半径，求出底面周长，然后求出圆锥的侧面积．
【详解】已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的底面半径为：1
圆锥的底面周长为：2π，
所以圆锥的侧面积为：
故答案为：2π
【点睛】本题考查圆锥的侧面积，考查计算能力，圆锥的高，底面半径，母线构成勾股定理，是解决圆锥问题的常用方法，是基础题．
10.正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2－9x＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面面积之和，则其侧面梯形的高为 .
【答案】
【解析】
【分析】
】解方程得出棱台的上下底面边长，根据面积关系和比例关系求出棱台的高和小棱锥的高．
【详解】解方程x2－9x＋18＝0得x=3或x=6，
∴棱台的上下底面边长分别为3，6．
设棱台的斜高为h
则 ，
∴h=．
即答案为．
【点睛】本题考查了棱台的结构特征，画出草图帮助观察各线段的关系比较重要．
11.如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为 .

【答案】
【解析】
【分析】
打孔后的几何体的表面积是棱长为4的正方体的表面积减去两个半径为1的圆的面积．再加上圆柱的侧面积，
【详解】打孔后的几何体的表面积是棱长为4的正方体的表面积减去两个半径为1的圆的面积．再加上圆柱的侧面积

即答案为.
【点睛】本题考查几何体的表面积的求法，是中档题．
12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 .

【答案】38
【解析】
【分析】
由几何体的三视图可知，该几何体是长方体中间挖去一个圆柱体，根据数据计算表面积即可．
【详解】由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体由几何体的三视图可知，该几何体是长方体中间挖去一个圆柱体．表面积应为长方体表面积减去圆柱底面积，再加上圆柱侧面积．
长方体长宽高分别为4，3，1，其表面积为（4×3+4×1+3×1）×2=38
圆柱底面半径为1，高为1
圆柱底面积为2×π×12=2π，侧面积为2π×1×1=2π
所以所求的表面积为38-2π+2π=38
及答案为38.
【点睛】本题考查由三视图求几何体的表面积，考查由三视图还原几何体直观图，考查柱体的表面积公式，本题是一个基础题．
三、解答题
13.如图所示是某几何体的三视图，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为正三角形.(长度单位：cm)

(1)该几何体是什么图形？
(2)画出该几何体的直观图(坐标轴如图所示)，并求它的表面积.(只需作出图形，不要求写作法)
【答案】（1）三棱柱；（2）
【解析】
【分析】
（1）由三视图我们易判断，该几何体是一个三棱柱；
（2）根据直二侧画法，我们易得到其直观图．由已知三视图中标识的数据，我们易判断底面边长为4的正三角形，高为5，代入柱体的表面积公式，即可求出答案．
【详解】(1)由三视图可知该几何体是三棱柱.
(2)直观图如图所示.

因为该几何体的底面是边长为4 cm的等边三角形，高为2 cm，
所以它的表面积S三棱柱＝2S底＋S侧＝2××42＋3×4×2＝(24＋8)(cm2).
【点睛】本题考查的知识点是由三视图求面积，其中根据已知条件判断几何体的形状是解答的关键．
四、探究与拓展
14.如图所示，在一个空间几何体的三视图中，主视图和左视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为(　　)

A. 1＋ B. 2＋2 C. D. 2＋
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知中的三视图，分析出几何体的形状，进而判断出各个面的形状及边长，代入三角形和正方形面积公式，求出各个面的面积，可得几何体的表面积．
【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱锥
底面是一个边长为1的正方形，故底面积S底=1
侧面有两个直角边长为1的等腰直角三角形，和两个边长分为 的直角三角形组成，故 ，
∴该几何体的表面积 .
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及各面的边长是解答的关键．
15.如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱.

(1)试用x表示圆柱的高；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？
【答案】（1）h＝3－3x（2）当 时，它的侧面积最大为π
【解析】
【分析】
(1)利用圆锥轴截面的特征可得圆柱的高h可表示为h＝3－3x.
(2)由题意可得S圆柱侧＝6π(x－x2)，利用二次函数的性质可得当圆柱的底面半径为时，它的侧面积最大为π.
【详解】(1)设所求的圆柱的底面半径为x，它的轴截面如图，

BO＝1，PO＝3，圆柱的高为h，
由图，得＝，即h＝3－3x.
(2)∵S圆柱侧＝2πhx＝2π(3－3x)x＝6π(x－x2)，
当x＝时，圆柱的侧面积取得最大值为π.
∴当圆柱的底面半径为时，它的侧面积最大为π.
【点睛】本题主要考查圆锥的空间结构特征，二次函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.