微型专题2 两类竖直面内的圆周运动
知识目标
核心素养
1.掌握轻绳或轻杆约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析．
2．学会分析圆周运动问题的一般方法.
1.掌握竖直面内圆周运动的两种基本模型．
2．掌握竖直面内圆周运动到达最高点的临界条件.
一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
如图1所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例．
图1
(1)最低点运动学方程：FT1－mg＝m
所以FT1＝mg＋m
(2)最高点运动学方程：FT2＋mg＝m
所以FT2＝m－mg
(3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由FT2＋mg＝可知，当FT2＝0时，v2最小，最小速度为v2＝.
讨论：当v2＝时，拉力或压力为零．
当v2>时，小球受向下的拉力或压力．
当v2<时，小球不能到达最高点．
例1 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图2所示，水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm.(g取10 m/s2)
图2
(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)
(2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力大小．
答案 (1)2.24 m/s (2)4 N
解析 (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．
此时有：mg＝m，
则所求的最小速率为：v0＝≈2.24 m/s.
(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿第二定律有：FN＋mg＝m，
代入数据可得：FN＝4 N.
由牛顿第三定律，水对桶底的压力大小：FN′＝FN＝4 N.
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】竖直面内的“绳”模型
针对训练 (多选)如图3所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )
图3
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
答案 CD
解析 小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力充当，则可以使绳子的拉力为零，B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，mg＝，v＝，C正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，绳子的拉力一定大于小球的重力，故D正确．
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】竖直面内的“绳”模型
二、竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
如图4所示，细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球在重力和杆(管)的弹力作用下做圆周运动．
图4
(1)最高点的最小速度
由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.
(2)小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况
①v>，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或压力，mg＋F＝m，所以F＝m－mg，F随v 增大而增大．
②v＝，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0，mg＝m.
③0例2 长L＝0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2 kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图5所示．在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小(g＝10 m/s2)．
图5
(1)A的速率为1 m/s；
(2)A的速率为4 m/s.
答案 (1)16 N (2)44 N
解析 以A为研究对象，设其受到杆的拉力为F，
则有mg＋F＝m.
(1)代入数据v1＝1 m/s，可得F＝m(－g)＝2×(－10) N＝－16 N，即A受到杆的支持力为16 N．根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16 N.
(2)代入数据v2＝4 m/s，可得F′＝m(－g)＝2×(－10) N＝44 N，即A受到杆的拉力为44 N．根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44 N.
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】竖直面内的“杆”模型
例3 (多选)如图6所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，设小球经过最高点P时的速度为v，则( )
图6
A．v的最小值为
B．v若增大，球所需的向心力也增大
C．当v由逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小
D．当v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大
答案 BD
解析 由于小球在圆管中运动，在最高点速度可为零，A错误；根据向心力公式有F＝m，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v＝时，圆管受力为零，故v由逐渐减小时，轨道对球的弹力增大，C错误；v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大，D正确．
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】竖直面内的“杆”模型
1.(轻绳作用下物体的运动)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图7所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g＝10 m/s2)( )
图7
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
答案 B
解析 “水流星”在最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B.
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】竖直面内的“绳”模型
2．(轨道约束下小球的运动)(多选)如图8所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动．圆环半径为R，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是( )
图8
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力
C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
答案 BCD
解析 因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，满足mg＝m＝ma，即v＝，a＝g，选项B、C、D正确．
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】竖直面内的“绳”模型
3.(球在管形轨道中的运动)(多选)如图9所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是( )
图9
A．小球通过最高点时的最小速度是
B．小球通过最高点时的最小速度为零
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力
答案 BD
解析 小球通过最高点的最小速度为0，由于圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线ab以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，即外侧管壁对小球一定有作用力，故B、D正确．
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】竖直面内的“杆”模型
4.(轻杆作用下小球的运动)如图10所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动．当小球运动到最高点时，瞬时速度为v＝，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是( )
图10
A.mg的拉力 B.mg的压力
C．零 D.mg的压力
答案 B
解析 当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg＝m，解得：v′＝，而 <，故杆对球是支持力，即mg－FN＝m，解得FN＝mg，由牛顿第三定律，球对杆是压力，大小为mg，故选B.
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】竖直面内的“杆”模型
一、选择题
考点一 轻绳(过山车)模型
1．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点．则下列说法中正确的是( )
A．小球过最高点时速度为零
B．小球过最高点时速度大小为
C．小球开始运动时绳对小球的拉力为m
D．小球过最高点时绳对小球的拉力为mg
答案 B
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】竖直面内的“绳”模型
2.如图1所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体重力为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )
图1
A．0 B. C. D.
答案 C
解析 由题意知F＋mg＝2mg＝m，故速度大小v＝，C正确．
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】竖直面内的“绳”模型
3．某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速率v做匀速圆周运动，圆的半径为R，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面)( )
A．mg B．2mg
C．mg＋ D.
答案 B
解析 在最高点有：F1＋mg＝m，解得：F1＝m－mg；在最低点有：F2－mg＝m，解得：F2＝mg＋m.所以F2－F1＝2mg，B正确．
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】竖直面内的“绳”模型
4．在游乐园乘坐如图2所示的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，下列说法正确的是( )
图2
A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去
B．人在最高点时对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mg
C．人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
答案 D
解析 过山车上人经最高点及最低点时，受力如图，
在最高点，由mg＋FN＝m，可得：FN＝m(－g)①
在最低点，由FN′－mg＝m，可得：FN′＝m(＋g)②
由支持力(等于压力)表达式分析知：当v1较大时，在最高点无保险带也不会掉下，且还可能会对座位有压力，大小因v1而定，所以A、B错误．最高点、最低点两处向心力大小不等，向心加速度大小也不等(变速率)，所以C错误．由②式知最低点FN′>mg，根据牛顿第三定律得D正确．
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】竖直面内的“绳”模型
考点二 杆(管)模型
5．长度为1 m的轻杆OA的A端有一质量为2 kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，小球通过最高点时的速度为3 m/s，g取10 m/s2，则此时小球将( )
图3
A．受到18 N的拉力
B．受到38 N的支持力
C．受到2 N的拉力
D．受到2 N的支持力
答案 D
解析 设此时轻杆拉力大小为F，根据向心力公式有F＋mg＝m，代入数值可得F＝－2 N，表示小球受到2 N的支持力，选项D正确．
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】竖直面内的“杆”模型
6．(多选)如图4所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法中正确的是( )
图4
A．若v0＝，则小球对管内壁无压力
B．若v0>，则小球对管内上壁有压力
C．若0 D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力
答案 ABC
解析 在最高点，只有重力提供向心力时，由mg＝m，解得v0＝，因此小球对管内壁无压力，选项A正确．若v0＞，则有mg＋FN＝m，由牛顿第三定律知小球对管内上壁有压力，选项B正确．若0＜v0＜，则有mg－FN＝m，由牛顿第三定律知小球对管内下壁有压力，选项C正确．综上分析，选项D错误．
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】竖直面内的“杆”模型
7．如图5所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，则( )
图5
A．若盒子在最高点时，盒子与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为2π
B．若盒子以周期π做匀速圆周运动，则当盒子运动到图示球心与O点位于同一水平面位置时，小球对盒子左侧面的力为4mg
C．若盒子以角速度2做匀速圆周运动，则当盒子运动到最高点时，小球对盒子下面的力为3mg
D．盒子从最低点向最高点做匀速圆周运动的过程中，球处于超重状态；当盒子从最高点向最低点做匀速圆周运动的过程中，球处于失重状态
答案 A
解析 由mg＝mR可得，盒子运动周期T＝2π，A正确．由FN1＝mR，T1＝π，得FN1＝4mg，由牛顿第三定律可知，小球对盒子右侧面的力为4mg，B错误．由FN2＋mg＝mω2R得，小球以ω＝2做匀速圆周运动时，在最高点小球对盒子上面的力为3mg，C错误．盒子由最低点向最高点运动的过程中，小球的加速度先斜向上，后斜向下，故小球先超重后失重，D错误．
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】竖直面内的“杆”模型
8．(多选)如图6甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示．则( )
图6
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
答案 ACD
解析 当小球受到的弹力F方向向下时，F＋mg＝，解得F＝v2－mg，当弹力F方向向上时，mg－F＝m，解得F＝mg－m，对比F－v2图象可知，b＝gR，a＝mg，联立解得g＝，m＝，A正确，B错误．v2＝c时，小球受到的弹力方向向下，则小球对杆的弹力方向向上，C正确．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等，D正确．
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】竖直面内的“杆”模型
二、非选择题
9．(杆作用下小球的运动)如图7所示，长为L＝0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球，g取10 m/s2.
图7
(1)如果小球的速度为3 m/s，求在最低点时杆对小球的拉力的大小．
(2)如果在最高点杆对小球的支持力为4 N，求杆旋转的角速度．
答案 (1)56 N (2)4 rad/s
解析 (1)小球在最低点受力如图甲所示：
合力等于向心力：
FA－mg＝m
解得：FA＝56 N.
(2)小球在最高点受力如图乙所示：
则：mg－FB＝mω2L
解得：ω＝4 rad/s.
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】竖直面内的“杆”模型
10．(绳作用下物体的运动)在杂技节目“水流星”的表演中，碗的质量m1＝0.1 kg，内部盛水质量m2＝0.4 kg，拉碗的绳子长l＝0.5 m，使碗在竖直平面内做圆周运动，如果碗通过最高点的速度v1＝9 m/s，通过最低点的速度v2＝10 m/s，g＝10 m/s2，求碗在最高点时绳的拉力大小及水对碗的压力大小．
答案 76 N 60.8 N
解析 对水和碗：m＝m1＋m2＝0.5 kg，FT1＋mg＝，FT1＝－mg＝N＝76 N，以水为研究对象，设最高点碗对水的压力为F1，则F1＋m2g＝，解得F1＝60.8 N，根据牛顿第三定律可得水对碗的压力F1′＝F1＝60.8 N，方向竖直向上．
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】竖直面内的“绳”模型
11．(竖直面运动综合问题)如图8是小型电动打夯机的结构示意图，电动机带动质量为m＝50 kg的重锤(重锤可视为质点)绕转轴O匀速运动，重锤转动半径为R＝0.5 m．电动机连同打夯机底座的质量为M＝25 kg，重锤和转轴O之间连接杆的质量可以忽略不计，重力加速度g取10 m/s2.求：
图8
(1)重锤转动的角速度为多大时，才能使重锤通过最高点时打夯机底座刚好离开地面？
(2)若重锤以上述的角速度转动，当打夯机的重锤通过最低位置时，打夯机对地面的压力为多大？
答案 (1) rad/s (2)1 500 N
解析 (1)当拉力大小等于电动机连同打夯机底座的重力时，才能使打夯机底座刚好离开地面：有：FT＝Mg
对重锤有：mg＋FT＝mω2R
解得：ω＝＝ rad/s.
(2)在最低点，对重锤有：
FT′－mg＝mω2R
则：FT′＝Mg＋2mg
对打夯机有：
FN＝FT′＋Mg＝2(M＋m)g＝1 500 N
由牛顿第三定律得FN′＝FN＝1 500 N.
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】圆周运动中的超重问题
第二章 圆周运动
章末总结
第一节 匀速圆周运动
知识目标
核心素养
1.知道什么是匀速圆周运动，知道它是变速运动．
2．掌握线速度的定义式，理解线速度的大小、方向的特点．
3．掌握角速度的定义式，知道周期、转速的概念．
4．知道线速度、角速度和周期之间的关系.
1.了解弧度制，能以弧度作单位度量角的大小．
2．会应用线速度、角速度、周期间的关系，对两种传动装置进行分析．
3．通过对如何描述匀速圆周运动快慢的学习，体会对于同一个问题可以从不同的角度进行研究.
一、认识圆周运动
1．圆周运动：如果质点的运动轨迹是圆，那么这一质点的运动就叫做圆周运动．
2．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等时间内通过的圆弧长度相等，那么，这种运动就叫做匀速圆周运动．
二、如何描述匀速圆周运动的快慢
1．线速度
(1)定义：质点做匀速圆周运动通过的弧长l与通过这段弧长所用时间t的比值，v＝.
(2)意义：描述做圆周运动的质点运动的快慢．
(3)方向：线速度是矢量，方向与圆弧相切，与半径垂直．
2．角速度
(1)定义：质点所在半径转过的角度φ跟转过这一角度所用时间t的比值，ω＝.
(2)意义：描述物体绕圆心转动的快慢．
3．单位
(1)角的单位：国际单位制中，弧长与半径的比值表示角度，即φ＝，角度的单位为弧度，用rad表示．
(2)角速度的单位：弧度每秒，符号是rad/s或rad·s－1.
(3)周期T：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间，单位：秒(s)．
(4)转速n：单位时间内转过的圈数，单位：转每秒(r/s)或转每分(r/min)．
周期和转速的关系：T＝(n单位为r/s时)．
三、线速度、角速度、周期间的关系
1．线速度与周期的关系：v＝.
2．角速度与周期的关系：ω＝.
3．线速度与角速度的关系：v＝ωr.
1．判断下列说法的正误．
(1)匀速圆周运动是一种匀速运动．(×)
(2)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同．(×)
(3)做匀速圆周运动的物体，其合外力不为零．(√)
(4)做匀速圆周运动的物体，其线速度不变．(×)
(5)做匀速圆周运动的物体，其角速度不变．(√)
(6)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小．(√)
2．A、B两个质点，分别做匀速圆周运动，在相等时间内它们通过的弧长比lA∶lB＝2∶3，转过的圆心角比φA∶φB＝3∶2，那么它们的线速度之比vA∶vB＝________，角速度之比ωA∶ωB＝________.
答案 2∶3 3∶2
解析 由v＝知＝；由ω＝知＝.
一、线速度和匀速圆周运动
如图1所示为自行车的车轮，A、B为辐条上的两点，当它们随轮一起转动时，回答下列问题：
图1
(1)A、B两点的速度方向各沿什么方向？
(2)如果B点在任意相等的时间内转过的弧长相等，B做匀速运动吗？
(3)匀速圆周运动的线速度是不变的吗？匀速圆周运动的“匀速”同“匀速直线运动”的“匀速”一样吗？
(4)A、B两点哪个运动得快？
答案 (1)两点的速度方向均沿各自圆周的切线方向．
(2)B运动的方向时刻变化，故B做非匀速运动．
(3)质点做匀速圆周运动时，线速度的大小不变，方向时刻在变化，因此，匀速圆周运动只是速率不变，是变速曲线运动．而“匀速直线运动”中的“匀速”指的是速度不变，是大小、方向都不变，二者并不相同．
(4)B点运动得快．
1．对线速度的理解
(1)线速度是物体做圆周运动的瞬时速度，线速度越大，物体运动得越快．
(2)线速度是矢量，它既有大小，又有方向，线速度的方向在圆周各点的切线方向上．
(3)线速度的大小：v＝，l代表在时间t内通过的弧长．
2．对匀速圆周运动的理解
(1)匀中有变：由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周的切线方向，所以物体做匀速圆周运动时，速度的方向时刻在变化．
(2)匀速的含义
①速度的大小不变，即速率不变；
②转动快慢不变，即角速度大小不变．
(3)运动性质
线速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动是一种变速运动．
例1 (多选)某质点绕圆轨道做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．因为它的速度大小始终不变，所以它做的是匀速运动
B．该质点速度大小不变，但方向时刻改变，是变速运动
C．该质点速度大小不变，因而加速度为零，处于平衡状态
D．该质点做的是变速运动，具有加速度，故它所受合力不等于零
答案 BD
【考点】对匀速圆周运动的理解
【题点】对匀速圆周运动的理解
二、角速度、周期和转速
如图2所示，钟表上的秒针、分针、时针以不同的角速度做圆周运动．
图2
(1)秒针、分针、时针它们转动的快慢相同吗？如何比较它们转动的快慢？
(2)秒针、分针和时针的周期分别是多大？
答案 (1)不相同．根据角速度公式ω＝知，在相同的时间内，秒针转过的角度最大，时针转过的角度最小，所以秒针转得最快．
(2)秒针周期为60 s，分针周期为60 min，时针周期为12 h.
1．对角速度的理解
(1)角速度描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢，角速度越大，物体转动得越快．
(2)角速度的大小：ω＝，φ代表在时间t内物体与圆心的连线转过的角度．
(3)在匀速圆周运动中，角速度为恒量．
2．对周期和频率(转速)的理解
(1)周期描述了匀速圆周运动的一个重要特点——时间周期性．其具体含义是：描述匀速圆周运动的一些变化的物理量，每经过一个周期时，大小和方向与初始时刻完全相同，如线速度等．
(2)当单位时间取1 s时，f＝n.频率和转速对匀速圆周运动来说在数值上是相等的，但频率具有更广泛的意义，两者的单位也不相同．
3．周期、频率和转速间的关系：T＝＝.
例2 (多选)一精准转动的机械钟表，下列说法正确的是( )
A．秒针转动的周期最长
B．时针转动的转速最小
C．秒针转动的角速度最大
D．秒针的角速度为 rad/s
答案 BCD
解析 秒针转动的周期最短，角速度最大，A错误，C正确；时针转动的周期最长，转速最小，B正确；秒针的角速度为ω ＝ rad/s＝ rad/s，D正确．
【考点】线速度、角速度、周期(和转速)
【题点】对角速度、周期(和转速)的理解及简单计算
三、描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系
1．描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系
(1)v＝＝＝2πnr；
(2)ω＝＝＝2πn；
(3)v＝ωr.
2．描述匀速圆周运动的各物理量之间关系的理解
(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也确定了．
(2)线速度与角速度之间关系的理解：由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r.
例3 做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期．
答案 (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s
解析 (1)依据线速度的定义式v＝可得
v＝＝ m/s＝10 m/s.
(2)依据v＝ωr可得，ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s.
(3)T＝＝ s＝4π s.
【考点】线速度、角速度、周期(和转速)
【题点】线速度、角速度、周期(和转速)的关系
针对训练1 (多选)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°.在此10 s时间内，火车( )
A．运动路程为600 m B．加速度为零
C．角速度约为1 rad/s D．转弯半径约为3.4 km
答案 AD
解析 由s＝vt知，s＝600 m，A对．
在弯道做圆周运动，火车加速度不为零，B错．
由10 s内转过10°知，
角速度ω＝rad/s＝ rad/s≈0.017 rad/s，C错．
由v＝rω知，r＝＝ m≈3.4 km，D对．
【考点】线速度、角速度、周期(和转速)
【题点】线速度、角速度、周期(和转速)的关系
四、同轴转动和皮带传动问题
如图3为两种传动装置的模型图．
图3
(1)甲图为皮带传动装置，试分析A、B两点的线速度及角速度关系．
(2)乙图为同轴转动装置，试分析A、C两点的角速度及线速度关系．
答案 (1)皮带传动时，在相同的时间内，A、B两点通过的弧长相等，所以两点的线速度大小相同，又v＝rω，当v一定时，角速度与半径成反比，半径大的角速度小．
(2)同轴转动时，在相同的时间内，A、C两点转过的角度相等，所以这两点的角速度相同，又因为v＝rω，当ω一定时，线速度与半径成正比，半径大的线速度大．
常见的传动装置及其特点
同轴转动
皮带传动
齿轮传动
装置
A、B两点在同轴的一个圆盘上
两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点
两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点
角速度、周期相同
线速度大小相等
线速度大小相等
规律
线速度与半径成正比：
＝
角速度与半径成反比：＝.周期与半径成正比：＝
角速度与半径成反比：＝.周期与半径成正比：＝
例4 (多选)如图4所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的( )
图4
A．角速度之比为1∶2∶2
B．角速度之比为1∶1∶2
C．线速度大小之比为1∶2∶2
D．线速度大小之比为1∶1∶2
答案 AD
解析 A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等．
a、b比较：va＝vb
由v＝ωr得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2
b、c比较：ωb＝ωc
由v＝ωr得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2
所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
va∶vb∶vc＝1∶1∶2
故A、D正确．
【考点】传动问题分析
【题点】传动问题中各物理量的比值关系
传动问题是圆周运动部分的一种常见题型，在分析此类问题时，关键是要明确什么量相等，什么量不等，在通常情况下，应抓住以下两个关键点：
(1)绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v＝ωr与半径r成正比；
(2)链条和链条连接的轮子边缘线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝与半径r成反比．
针对训练2 (多选)如图5所示为一种齿轮传动装置，忽略齿轮啮合部分的厚度，甲、乙两个轮子的半径之比为1∶3，则在传动的过程中( )
图5
A．甲、乙两轮的角速度之比为3∶1
B．甲、乙两轮的周期之比为3∶1
C．甲、乙两轮边缘处的线速度之比为3∶1
D．甲、乙两轮边缘上的点相等时间内转过的弧长之比为1∶1
答案 AD
解析 这种齿轮传动，与不打滑的皮带传动规律相同，即两轮边缘的线速度相等，故C错误；根据线速度的定义v＝可知，弧长l＝vt，故D正确；根据v＝ωr可知ω＝，又甲、乙两个轮子的半径之比r1∶r2＝1∶3，故甲、乙两轮的角速度之比ω1∶ω2＝r2∶r1＝3∶1，故A正确；周期T＝，所以甲、乙两轮的周期之比T1∶T2＝ω2∶ω1＝1∶3，故B错误．
【考点】传动问题分析
【题点】传动问题中各物理量的比值关系
1．(对匀速圆周运动的认识)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中不正确的是( )
A．相等的时间内通过的路程相等
B．相等的时间内通过的弧长相等
C．相等的时间内通过的位移相同
D．在任何相等的时间内，连接物体和圆心的半径转过的角度都相等
答案 C
解析 匀速圆周运动是指速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过的路程相等，弧长相等，转过的角度也相等，A、B、D项正确；相等时间内通过的位移大小相等，方向不一定相同，故C项错误．
【考点】对匀速圆周运动的理解
【题点】对匀速圆周运动的理解
2．(描述圆周运动各物理量的关系)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，下列说法中不正确的是( )
A．角速度为0.5 rad/s
B．转速为0.5 r/s
C．运动轨迹的半径约为1.27 m
D．频率为0.5 Hz
答案 A
解析 由题意知v＝4 m/s，T＝2 s，根据角速度与周期的关系可知ω＝＝π rad/s≈3.14 rad/s.由线速度与角速度的关系v＝ωr得r＝＝ m≈1.27 m．由v＝2πnr得转速n＝＝ r/s＝0.5 r/s.又由频率与周期的关系得f＝＝0.5 Hz.故A错误，符合题意．
【考点】线速度、角速度、周期(和转速)
【题点】线速度、角速度、周期(和转速)的关系
3．(传动问题)某新型自行车，采用如图6甲所示的无链传动系统，利用圆锥齿轮90°轴交，将动力传至后轴，驱动后轮转动，杜绝了传统自行车“掉链子”问题．如图乙所示是圆锥齿轮90°轴交示意图，其中A是圆锥齿轮转轴上的点，B、C分别是两个圆锥齿轮边缘上的点，两个圆锥齿轮中心轴到A、B、C三点的距离分别记为rA、rB和rC(rA≠rB≠rC)．下列有关物理量大小关系正确的是( )
图6
A．B点与C点的角速度：ωB＝ωC
B．C点与A点的线速度：vC＝vA
C．B点与A点的线速度：vB＝vA
D．B点和C点的线速度：vB>vC
答案 B
解析 B点与C点的线速度大小相等，由于rB≠rC，所以ωB≠ωC，故A、D错误；B点的角速度与A点的角速度相等，所以＝，即vB＝vA，故C错误．B点与C点的线速度相等，所以vC＝vA，故B正确．
【考点】传动问题分析
【题点】皮带(或齿轮)传动问题分析
4．(圆周运动的周期性)如图7所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度及圆盘转动的角速度ω的大小．
图7
答案 R 2nπ(n＝1,2,3…)
解析 设球在空中运动时间为t，此圆盘转过θ角，则
R＝vt，h＝gt2
故初速度v＝R
θ＝n·2π(n＝1,2,3，…)
又因为θ＝ωt
则圆盘角速度ω＝＝2nπ(n＝1,2,3…)．
【考点】圆周运动与其他运动结合的问题
【题点】圆周运动与其他运动结合的多解问题
一、选择题
考点一 描述圆周运动的物理量的关系及计算
1．一质点做匀速圆周运动时，圆的半径为r，周期为4 s，那么1 s内质点的位移大小和路程分别是( )
A．r和 B.和
C.r和r D.r和
答案 D
解析 质点在1 s内转过了圈，画出运动过程的示意图可求出这段时间内的位移大小为r，路程为，所以选项D正确．
【考点】对匀速圆周运动的理解
【题点】对匀速圆周运动的理解
2．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是( )
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
答案 D
解析 由v＝ωr可知，当r一定时，v与ω成正比；v一定时，ω与r成反比，故A、C均错误．由v＝可知，只有当r一定时，v越大，T才越小，B错误．由ω＝可知，ω越大，T越小，故D正确．
【考点】线速度、角速度、周期(和转速)
【题点】线速度、角速度、周期(和转速)的关系
3．(多选)质点做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是( )
A．因为v＝ωr，所以线速度v与轨道半径r成正比
B．因为ω＝，所以角速度ω与轨道半径r成反比
C．因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比
D．因为ω＝，所以角速度ω与周期T成反比
答案 CD
解析 当ω一定时，线速度v才与轨道半径r成正比，所以A错误．当v一定时，角速度ω才与轨道半径r成反比，所以B错误．在用转速或周期表示角速度时，角速度与转速成正比，与周期成反比，故C、D正确．
【考点】线速度、角速度、周期(和转速)
【题点】线速度、角速度、周期(和转速)的关系
4．(多选)甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( )
A．它们的半径之比为2∶9
B．它们的半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3
D．它们的周期之比为1∶3
答案 AD
解析 由v＝ωr，得r＝，＝＝，A对，B错；由T＝，得T甲∶T乙＝∶＝1∶3，C错，D对．
【考点】线速度、角速度、周期(和转速)
【题点】圆周运动各物理量间的比值关系
考点二 传动问题
5．如图1所示是一个玩具陀螺．a、b和c是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )
图1
A．a、b和c三点的线速度大小相等
B．a、b和c三点的角速度大小相等
C．a、b的角速度比c的大
D．c的线速度比a、b的大
答案 B
解析 同一物体上的三点绕同一竖直轴转动，因此角速度相同，c的半径最小，故它的线速度最小，a、b的半径相同，二者的线速度大小相等，故选B.
【考点】传动问题分析
【题点】同轴转动问题分析
6．两个小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图2所示．当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则O点到小球2的距离是( )
图2
A. B.
C. D.
答案 B
解析 两球在同一杆上，旋转的角速度相等，均为ω，设两球的转动半径分别为r1、r2，则r1＋r2＝L.又知v1＝ωr1，v2＝ωr2，联立得r2＝，B正确．
【考点】传动问题分析
【题点】同轴转动问题分析
7．如图3所示的齿轮传动装置中，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数z2＝8，当主动轮以角速度ω顺时针转动时，从动轮的运动情况是( )
图3
A．顺时针转动，周期为
B．逆时针转动，周期为
C．顺时针转动，周期为
D．逆时针转动，周期为
答案 B
解析 主动轮顺时针转动，则从动轮逆时针转动，两轮边缘的线速度大小相等，由齿数关系知主动轮转一周时，从动轮转三周，故T从＝，B正确．
【考点】传动问题分析
【题点】皮带(或齿轮)传动问题分析
8．如图4所示的装置中，已知大轮的半径是小轮半径的3倍，A点和B点分别在两轮边缘，C点到大轮轴的距离等于小轮半径．若不打滑，则它们的线速度之比vA∶vB∶vC为( )
图4
A．1∶3∶3 B．1∶3∶1
C．3∶3∶1 D．3∶1∶3
答案 C
解析 A、C两点转动的角速度相等，由v＝ωr可知，vA∶vC＝3∶1；A、B两点的线速度大小相等，即vA∶vB＝1∶1，则vA∶vB∶vC＝3∶3∶1.
【考点】传动问题分析
【题点】传动问题中各物理量的比值关系
考点三 圆周运动的周期性
9．某机器内有两个围绕各自的固定轴匀速转动的铝盘A、B，A盘固定一个信号发射装置P，能持续沿半径向外发射红外线，P到圆心的距离为28 cm.B盘上固定一个带窗口的红外线信号接收装置Q，Q到圆心的距离为16 cm.P、Q转动的线速度相同，都是4π m/s.当P、Q正对时，P发出的红外线恰好进入Q的接收窗口，如图5所示，则Q每隔一定时间就能接收到红外线信号，这个时间的最小值应为( )
图5
A．0.56 s B．0.28 s
C．0.16 s D．0.07 s
答案 A
解析 根据公式T＝可求出，P、Q转动的周期分别为TP＝0.14 s和TQ＝0.08 s，根据题意，只有当P、Q同时转到题图所示位置时，Q才能接收到红外线信号，所以所求的最小时间应该是它们转动周期的最小公倍数，即0.56 s，所以选项A正确．
【考点】线速度、角速度、周期(和转速)
【题点】对周期(和转速)的理解及简单计算
10．如图6所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出(不计空气阻力)，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω.若飞镖恰好击中A点，则下列关系正确的是( )
图6
A．d＝
B．ω＝(n＝0,1,2,3，…)
C．v0＝ω
D．ω2＝(n＝0,1,2,3，…)
答案 B
解析 依题意飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间t＝(n＝0,1,2,3…)，平抛的时间t＝，则有＝(n＝0,1,2,3，…)，B正确，C错误；平抛的竖直位移为d，则d＝gt2，联立有dω2＝gπ2(2n＋1)2(n＝0,1,2,3，…)，A、D错误．
【考点】圆周运动与其他运动结合的问题
【题点】圆周运动与其他运动结合的多解问题
二、非选择题
11．(描述圆周运动的物理量)一汽车发动机的曲轴每分钟转2 400周，求：
(1)曲轴转动的周期与角速度的大小；
(2)距转轴r＝0.2 m的点的线速度的大小．
答案 (1) s 80π rad/s (2)16π m/s
解析 (1)由于曲轴每秒钟转＝40(周)，周期T＝ s；而每转一周为2π rad，因此曲轴转动的角速度ω＝2π×40 rad/s＝80π rad/s.
(2)已知r＝0.2 m，因此这一点的线速度v＝ωr＝80π×0.2 m/s＝16π m/s.
【考点】线速度、角速度、周期(和转速)
【题点】线速度、角速度、周期(和转速)的关系
12．(传动问题)如图7所示为皮带传动装置，皮带轮的圆心分别为O、O′，A、C为皮带轮边缘上的点，B为AO连线上的一点，RB＝RA，RC＝RA，当皮带轮匀速转动时，皮带与皮带轮之间不打滑，求A、B、C三点的角速度大小之比、线速度大小之比．
图7
答案 2∶2∶3 2∶1∶2
解析 由题意可知，A、B两点在同一皮带轮上，因此ωA＝ωB，又皮带不打滑，所以vA＝vC，
故可得ωC＝＝＝ωA，
所以ωA∶ωB∶ωC＝ωA∶ωA∶ωA＝2∶2∶3.
又vB＝RB·ωB＝RA·ωA＝，
所以vA∶vB∶vC＝vA∶vA∶vA＝2∶1∶2.
【考点】传动问题分析
【题点】综合传动问题
13．(圆周运动与其他运动的结合)如图8所示，半径为R的圆轮在竖直面内绕O轴匀速转动，圆轮最低点距地面的高度为R，轮上a、b两点与O的连线相互垂直，a、b两点均粘有一个小物体，当a点转至最低位置时，a、b两点处的小物体同时脱落，经过相同时间落到水平地面上．(不计空气阻力，重力加速度为g)
图8
(1)试判断圆轮的转动方向(说明判断理由)；
(2)求圆轮转动的角速度大小．
答案 见解析
解析 (1)由题意知，a物体做平抛运动，若与b点物体下落的时间相同，则b物体必须做竖直下抛运动，故知圆轮转动方向为逆时针方向．
(2)a平抛：R＝gt2①
b竖直下抛：2R＝v0t＋gt2②
由①②得v0＝③
又因ω＝④
由③④解得ω＝.
【考点】圆周运动与其他运动结合的问题
【题点】圆周运动与其他运动结合的问题
第三节 离心现象及其应用
知识目标
核心素养
1.知道离心现象及物体做离心运动的条件．
2．学会判断近心、离心运动．
3．了解离心运动的应用与防止.
1.通过实例认识离心现象，初步了解离心现象在生产、生活中的应用，以及如何有效防止离心现象的发生．
2．感受物理知识在生产、生活中的应用.
一、离心现象
1．离心现象：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就会做逐渐远离圆心的运动，这种现象称为离心现象．
2．离心运动的本质：由于物体具有惯性，物体做圆周运动时，总有沿切线方向飞出的趋势．
二、离心现象的应用和防止
1．离心机械：利用离心现象工作的机械．
2．离心现象的应用：离心干燥器、洗衣机的脱水筒、离心分离器．
3．离心现象的防止：转弯限速、砂轮加防护罩等．
判断下列说法的正误．
(1)做离心运动的物体一定受到离心力的作用．(×)
(2)离心运动是沿半径向外的运动．(×)
(3)离心运动是物体具有惯性的表现．(√)
(4)离心运动的轨迹一定是曲线．(×)
(5)脱水筒转速加快，附着力小于所需的向心力时，水滴做离心运动．(√)
一、离心现象的理解
绳拉球在光滑的水平面上做匀速圆周运动，角速度大小为ω，质量为m.此时球所受合外力F合＝mω2r，试分析在以下状态下，球的运动情况．
(1)当绳子突然断裂时．
(2)当绳子提供的向心力小于mω2r时．
答案 (1)绳子突然断裂，绳子的拉力为零，球沿切线方向飞出．
(2)绳子提供的向心力小于mω2r时，球将逐渐远离圆心，做离心运动．
1．对离心运动的理解
(1)离心运动并非沿半径飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动．
(2)离心运动的本质是物体具有惯性的表现，并不是受到了“离心力”的作用．
(3)物体做离心运动的原因：提供向心力的合外力突然消失，或者合外力不能提供足够的向心力．
注意：物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于合外力不能提供足够的向心力．所谓“离心力”实际上并不存在．
2．合外力与向心力的关系(如图1所示)．
图1
(1)若F合＝mrω2或F合＝，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”．
(2)若F合>mrω2或F合>，物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”．
(3)若0(4)若F合＝0，则物体做匀速直线运动．
例1 如图2所示是摩托车比赛转弯时的情形，转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动．关于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是( )
图2
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
答案 B
解析 摩托车受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A项错误；摩托车正常转弯时可看做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明合力小于需要的向心力，B项正确；摩托车将在线速度方向与沿半径向外的方向之间做离心曲线运动，C、D项错误．
【考点】离心运动问题
【题点】生活中的离心运动
合力与向心力的关系对圆周运动的影响
若F合＝mω2r，物体做匀速圆周运动．
若F合若F合＝0时，物体沿切线飞出．
若F合>mω2r，物体做近心运动．
针对训练 用绳子拴一个小球在光滑的水平面上做匀速圆周运动，当绳子突然断了以后，小球的运动情况是( )
A．沿半径方向接近圆心
B．沿半径方向远离圆心
C．沿切线方向做直线运动
D．仍维持圆周运动
答案 C
解析 当绳子断了以后，小球在光滑水平面上受力平衡，由于惯性，小球沿切线方向做匀速直线运动，选项A、B、D错误，选项C正确．
二、离心现象的应用和防止
1．请简述洗衣机脱水的原理．
答案 洗衣机脱水时，由于高速转动，水滴需要较大的向心力才能与衣服一起做圆周运动．当转速足够大时，衣服已无法向水滴提供足够大的附着力(作为向心力)，水滴便做离心运动，离开衣服，于是衣服被脱水．
2．如图3所示，汽车在平直公路上行驶，转弯时由于速度过大，会偏离轨道，造成交通事故，这是什么原因呢？
图3
答案 汽车转弯时所需要的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供的，汽车转弯时如果速度过大，所需要的向心力就会很大，如果超过了车轮与路面间的最大静摩擦力，汽车将做离心运动脱离轨道，造成交通事故．
1．几种常见离心运动的对比图示
项目
实物图
原理图
现象及结论
洗衣机脱水筒
当水滴受到的物体附着力F不足以提供向心力时，即F汽车在水平路面上转弯
当最大静摩擦力不足以提供向心力时，即fmax用离心机把体温计的水银甩回玻璃泡中
当离心机快速旋转时，缩口处对水银柱的阻力不足以提供向心力，水银柱做离心运动进入玻璃泡内
2.离心现象的防止
(1)汽车在公路转弯处限速：在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需要的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供的．如果转弯时速度过大，所需向心力F大于最大静摩擦力fmax，汽车将做离心运动而造成车体侧滑，因此在公路转弯处汽车必须限速．
(2)转动的砂轮、飞轮限速：高速转动的砂轮、飞轮等，都不得超过允许的最大转速，如果转速过高，砂轮、飞轮内部分子间的作用力不足以提供所需的向心力时，离心运动会使它们破裂，甚至酿成事故．
例2 下列有关洗衣机脱水筒的脱水原理说法正确的是( )
A．水滴受离心力作用，而沿背离圆心的方向甩出
B．水滴受到向心力，由于惯性沿切线方向甩出
C．水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出
D．水滴与衣服间的附着力小于它所需的向心力，于是沿切线方向甩出
答案 D
解析 物体做离心运动是因为实际所受合力小于向心力，物体沿切线方向飞出，故D正确．
三、圆周运动的临界问题
1．临界状态：当物体从某种特性变化为另一种特性时发生质的飞跃的转折状态，通常叫做临界状态，出现临界状态时，既可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”．
2．对于匀速圆周运动的临界问题，要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源，考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动的知识，列方程求解．通常碰到的是涉及如下三种力的作用：
(1)与绳的弹力有关的临界问题
此类问题要分析绳恰好无弹力这一临界状态下的角速度(或线速度)．
(2)与支持面弹力有关的临界问题
此类问题要分析恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度)．
(3)因静摩擦力而产生的临界问题
此类问题要分析静摩擦力达到最大时这一临界状态下的角速度(或线速度)．
例3 某游乐场里的赛车场地为圆形，半径为100 m，一赛车与车手的总质量为100 kg，轮胎与地面间的最大静摩擦力为600 N．(g取10 m/s2)
(1)若赛车的速度达到72 km/h，这辆车在运动过程中会不会发生侧滑？
(2)若将场地建成外高内低的圆形，且倾角为30°，赛车的速度为多大时，车手感觉不到自己有相对车的侧向的运动趋势？
答案 (1)不会发生侧滑 (2)24 m/s
解析 (1)赛车在场地上做圆周运动的向心力由静摩擦力提供．
赛车做圆周运动所需的向心力为F＝m＝400 N<600 N，所以赛车在运动过程中不会发生侧滑．
(2)由题意得车手不受座椅侧向的摩擦力，于是车手只受支持力和重力，由牛顿第二定律知mgtan θ＝m，解得v＝≈24 m/s
例4 如图4所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m.若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，才能使物体A随转盘转动而不滑动？(已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g)
图4
答案 ≤ω≤
解析 当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，
即F＋fmax＝mrω12①
由于B静止，故有F＝mg②
又fmax＝μFN＝μmg③
由①②③式可得ω1＝
当A将要沿转盘向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为
F－fmax＝mrω22④
由②③④式可得ω2＝
故要使A随转盘一起转动而不滑动，其角速度ω的范围为
ω2≤ω≤ω1，即≤ω≤.
【考点】水平面内的匀速圆周运动的动力学分析
【题点】水平面内的匀速圆周运动的动力学分析
1．(离心运动)在水平公路上行驶的汽车，当汽车以速度v运动时，车轮与路面的静摩擦力恰好等于汽车转弯所需要的向心力，汽车沿如图5所示的圆形路径(虚线)运动．如果汽车转弯速度大于v，则汽车最有可能沿哪条路径运动？( )
图5
A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
答案 B
【考点】离心运动问题
【题点】生活中的离心运动
2．(离心运动的应用及分析)(多选)洗衣机脱水的原理是利用了离心运动把附着在衣服上的水分甩干．如图6是某同学用塑料瓶和电机等自制的脱水实验原理图，但实验发现瓶内湿毛巾甩干效果不理想，为了能甩得更干，请为该同学设计改进建议( )
图6
A．增加转速 B．减小转速
C．增大塑料瓶半径 D．减小塑料瓶半径
答案 AC
解析 塑料瓶内湿毛巾需要的向心力F＝m＝mω2r＝4mπ2n2r，故要增强甩干效果，就要提高运动速度，即要提高需要的向心力，由以上表达式可知，可以提高转速或半径，故A、C正确，B、D错误．
3．(离心运动的分析)(多选)如图7所示，水平转台上放着A、B、C三个物体，质量分别为2m、m、m，离转轴的距离分别为R、R、2R，与转台间的动摩擦因数相同．当转台旋转时，下列说法中正确的是( )
图7
A．若三个物体均未滑动，则C物体的向心加速度最大
B．若三个物体均未滑动，则B物体受的摩擦力最大
C．若转速增加，则A物体比B物体先滑动
D．若转速增加，则C物体最先滑动
答案 AD
解析 三物体都未滑动时，角速度相同，设角速度为ω，根据向心加速度公式a＝ω2r，知C的向心加速度最大，选项A正确；三个物体受到的静摩擦力分别为：fA＝(2m)ω2R，fB＝mω2R，fC＝mω2(2R)，所以物体B受到的摩擦力最小，选项B错误；增加转速，可知C最先达到最大静摩擦力，所以C最先滑动，A、B的临界角速度相等，可知A、B一起滑动，选项C错误，D正确．
4．(汽车在水平路面上的转弯)高速公路转弯处弯道圆半径R＝100 m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ＝0.225.若路面是水平的(假设最大静摩擦力可近似看做与滑动摩擦力相等，g取10 m/s2)．问：
(1)汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所允许的最大速度vm为多大？
(2)当速度超过vm时，将会出现什么现象？
答案 (1)15 m/s (2)汽车将做离心运动，严重时将出现翻车事故
解析 (1)在水平路面上转弯，向心力只能由静摩擦力提供，设汽车质量为m，最大静摩擦力可近似看做与滑动摩擦力相等，则fm＝μmg，则有m＝μmg，vm＝，代入数据可得：vm＝15 m/s.
(2)当汽车的速度超过15 m/s时，需要的向心力m增大，大于提供的向心力，也就是说提供的向心力不足以维持汽车做圆周运动，汽车将做离心运动，严重时将会出现翻车事故．
5．(圆周运动的临界问题)如图8所示，水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：(重力加速度为g)
图8
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度．
(2)当角速度为时，绳子对物体拉力的大小．
答案 (1) (2)μmg
解析 (1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零时转速达到最大，设此时转盘转动的角速度为ω0，
则μmg＝mω02r，得ω0＝.
(2)当ω＝时，ω>ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，F＋μmg＝mω2r
即F＋μmg＝m··r，得F＝μmg.
【考点】水平面内的圆周运动的动力学分析
【题点】水平面内的圆周运动的动力学分析
一、选择题
考点一 离心现象
1．下列哪个现象利用了物体的离心运动( )
A．火车转弯时要限制速度
B．转速很高的砂轮半径不能做得太大
C．在修筑铁路时，转弯处轨道的内轨要低于外轨
D．离心水泵工作时
答案 D
2．试管中装了血液，封住管口后，将此管固定在转盘上，如图1所示，当转盘以一定角速度转动时( )
图1
A．血液中密度大的物质将聚集在管的外侧
B．血液中密度大的物质将聚集在管的内侧
C．血液中密度大的物质将聚集在管的中央
D．血液中的各物质仍均匀分布在管中
答案 A
3．世界一级方程式锦标赛新加坡大奖赛赛道单圈长5.067公里，共有23个弯道，如图2所示，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，则以下说法正确的是( )
图2
A．是由于赛车行驶到弯道时，运动员未能及时转动方向盘才造成赛车冲出跑道的
B．是由于赛车行驶到弯道时，运动员没有及时减速才造成赛车冲出跑道的
C．是由于赛车行驶到弯道时，运动员没有及时加速才造成赛车冲出跑道的
D．由公式F＝mω2r可知，弯道半径越大，越容易冲出跑道
答案 B
解析 赛车在水平路面上转弯时，静摩擦力提供向心力，而需要的向心力为.赛车在转弯前速度很大，转弯时做圆周运动所需要的向心力就大，运动员没有及时减速使所需的向心力超过最大静摩擦力就会造成赛车冲出跑道，B正确，A、C、D错误．
4．(多选)在人们经常见到的以下现象中，属于离心现象的是( )
A．舞蹈演员在表演旋转动作时，裙子会张开
B．在雨中静止的伞面上的雨水会很快地沿伞面运动，到达边缘后雨水将做曲线运动
C．满载黄沙或石子的卡车，在急转弯时，部分黄沙或石子会被甩出
D．守门员把足球踢出后，球在空中沿着弧线运动
答案 AC
解析 裙子张开属于离心现象；静止伞上的雨水受重力作用，沿伞面向下运动，到达边缘后将做斜下抛运动；黄沙或石子也是因为受到的力不足以提供所需要的向心力而做离心运动；守门员踢出足球，球在空中沿着弧线运动是因为足球在力的作用下运动，不是离心现象．
5．(多选)如图3所示，在匀速转动的洗衣机脱水筒内壁上，有一件湿衣服随圆筒一起转动而未滑动，则( )
图3
A．衣服随脱水筒做圆周运动的向心力由衣服的重力提供
B．水会从脱水筒甩出是因为水滴受到的向心力很大
C．加快脱水筒转动角速度，衣服对筒壁的压力也增大
D．加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好
答案 CD
解析 衣服受到竖直向下的重力、竖直向上的静摩擦力、指向圆心的支持力，重力和静摩擦力是一对平衡力，大小相等，故向心力是由支持力充当的，A错误．圆筒转速增大以后，支持力增大，衣服对筒壁的压力也增大，C正确．对于水而言，衣服对水滴的附着力提供其做圆周运动的向心力，而不是水滴受向心力，B错误．随着圆筒转速的增加，需要的向心力增加，当附着力不足以提供需要的向心力时，衣服上的水滴将做离心运动，故圆筒转动角速度越大，脱水效果会越好，D正确．
6.无缝钢管的制作原理如图4所示，竖直平面内，管状模型置于两个支撑轮上，支撑轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管．已知管状模型内壁半径为R，则下列说法正确的是( )
图4
A．铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上的
B．模型各个方向上受到的铁水的作用力相同
C．若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力
D．管状模型转动的角速度ω最大为
答案 C
解析 铁水是由于离心作用覆盖在模型内壁上的，模型对它的弹力和重力的合力提供向心力，选项A错误；模型最下部受到的铁水的作用力最大，最上部受到铁水的作用力最小，选项B错误；最上部的铁水如果恰好不离开模型内壁，则重力提供向心力，由mg＝mRω2，可得ω＝，故管状模型转动的角速度ω至少为，选项C正确，D错误．
考点二 圆周运动的临界问题
7．(多选)如图5所示，在水平转台上放一个质量M＝2 kg 的木块，它与转台间最大静摩擦力fmax＝6.0 N，绳的一端系在木块上，穿过转台的中心孔O(孔光滑，忽略小滑轮的影响)，另一端悬挂一个质量m＝1.0 kg 的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可能是(g取10 m/s2，M、m均视为质点)( )
图5
A．0.04 m B．0.08 m C．0.16 m D．0.32 m
答案 BCD
解析 当M有远离轴心运动的趋势时，有：mg＋fmax＝Mω2rmax
当M有靠近轴心运动的趋势时，有：
mg－fmax＝Mω2rmin
解得：rmax＝0.32 m，rmin＝0.08 m
即0.08 m≤r≤0.32 m，故木块到O点的距离可能是B、C、D.
8.(多选)如图6所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
图6
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
答案 AC
解析 最大静摩擦力相等，而b需要的向心力较大，所以b先滑动，A项正确；在未滑动之前，a、b各自受到的摩擦力等于其向心力，因此b受到的摩擦力大于a受到的摩擦力，B项错误；b处于临界状态时，kmg＝mω2·2l，ω＝，C项正确；当ω＝时，对a：f＝mlω2＝ml＝kmg，D项错误．
9.(多选)如图7所示，在水平圆盘上沿半径方向放置用细线相连的质量均为m的A、B两个物块(可视为质点)．A和B距轴心O的距离分别为rA＝R，rB＝2R，且A、B与转盘之间的最大静摩擦力都是fm，两物块A和B随着圆盘转动时，始终与圆盘保持相对静止．则在圆盘转动的角速度从0缓慢增大的过程中，下列说法正确的是( )
图7
A．B所受合外力一直等于A所受合外力
B．A受到的摩擦力一直指向圆心
C．B受到的摩擦力一直指向圆心
D．A、B两物块与圆盘保持相对静止的最大角速度为
答案 CD
解析 A、B都做匀速圆周运动，合力提供向心力，根据牛顿第二定律得F合＝mω2r，角速度ω相等，B的半径较大，所受合力较大，A错误．最初圆盘转动角速度较小，A、B随圆盘做圆周运动所需向心力较小，可由A、B与盘面间静摩擦力提供，静摩擦力指向圆心．由于B所需向心力较大，当B与盘面间静摩擦力达到最大值时(此时A与盘面间静摩擦力还没有达到最大)，若继续增大转速，则B将有离心运动的趋势，而拉紧细线，使细线上出现张力，转速越大，细线上张力越大，使得A与盘面间静摩擦力先减小后反向增大，所以A受到的摩擦力先指向圆心，后背离圆心，而B受到的摩擦力一直指向圆心，B错误，C正确．当A与盘面间静摩擦力恰好达到最大时，A、B将开始滑动，则根据牛顿第二定律得，对A有FT－fm＝mRωm2，对B有FT＋fm＝m·2Rωm2.解得最大角速度ωm＝，D正确．
【考点】水平面内的匀速圆周运动的动力学分析
【题点】水平面内的匀速圆周运动的动力学分析
二、非选择题
10．(圆周运动的临界问题)如图8所示，有一质量为m1的小球A与质量为m2的物块B通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板中央的竖直小孔O.当小球A在水平板上绕O点做半径为r的匀速圆周运动时，物块B刚好保持静止．求：(重力加速度为g)
图8
(1)轻绳的拉力大小；
(2)小球A运动的线速度大小．
答案 (1)m2g (2)
解析 (1)物块B受力平衡，故轻绳拉力FT＝m2g.
(2)小球A做匀速圆周运动的向心力由轻绳拉力FT提供，根据牛顿第二定律
m2g＝m1
解得v＝.
【考点】水平面内的匀速圆周运动的动力学分析
【题点】水平面内的匀速圆周运动的动力学分析
11.(圆周运动的临界问题)如图9所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小x＝0.4 m．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2.求：
图9
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0；
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ.
答案 (1)1 m/s (2)0.2
解析 (1)物块做平抛运动，在竖直方向上有
H＝gt2①
在水平方向上有
x＝v0t②
由①②式解得v0＝x
代入数据得v0＝1 m/s
(2)物块离开转台时，由最大静摩擦力提供向心力，有
fm＝m③
fm＝μN＝μmg④
由③④式得μ＝
代入数据得μ＝0.2
12.(圆周运动的临界问题)如图10所示装置可绕竖直轴OO′转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，当细线AB沿水平方向绷直时，细线AC与竖直方向的夹角θ＝37°.已知小球的质量m＝1 kg，细线AC长L＝1 m．(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
图10
(1)若装置匀速转动，细线AB刚好被拉直成水平状态，求此时的角速度ω1的大小；
(2)若装置匀速转动的角速度ω2＝ rad/s，求细线AB和AC上的张力大小FTAB、FTAC.
答案 (1) rad/s (2)2.5 N 12.5 N
解析 (1)当细线AB刚好被拉直，则AB的拉力为零，靠AC的拉力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有
mgtan 37°＝mLABω12
解得ω1＝＝ rad/s＝ rad/s
(2)若装置匀速转动的角速度ω2＝ rad/s
竖直方向上有FTACcos 37°＝mg
水平方向上有FTACsin 37°＋FTAB＝mLABω22
代入数据解得FTAC＝12.5 N，FTAB＝2.5 N.
【考点】水平面内的匀速圆周运动的动力学分析
【题点】水平面内的匀速圆周运动的动力学分析
第1课时 实验：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
知识目标
核心素养
1.理解向心力和向心加速度的概念.
2.知道向心力的大小与哪些因素有关，并能用来进行计算.
3.知道向心加速度和线速度、角速度的关系，能够用向心加速度公式求解有关问题.
1.体验向心力的存在，会设计相关探究实验，体会控制变量法在研究多个物理量关系中的应用.
2.培养学生科学思维能力、科学探究和分析问题的能力.
3.会用圆周运动的知识解决生活中的问题.
一、实验目的
1．定性感知向心力的大小与什么因素有关．
2．学会使用向心力演示器．
3．探究向心力与质量、角速度、半径的定量关系．
二、实验方法：控制变量法
三、实验方案
1．用细绳和物体定性感知向心力的大小．
(1)实验原理：如图1所示，细线穿在圆珠笔的杆中，一端拴住小物体，另一端用一只手牵住，另一只手抓住圆珠笔杆并用力转动，使小物体做圆周运动，可近似地认为作用在小物体上的细线的拉力，提供了圆周运动所需的向心力，而细线的拉力可用牵住细线的手的感觉来判断．
图1
(2)器材：质量不同的小物体若干，空心圆珠笔杆，细线(长约60 cm)．
(3)实验过程：
①在小物体的质量和角速度不变的条件下，改变小物体做圆周运动的半径进行实验．
②在小物体的质量和做圆周运动的半径不变的条件下，改变物体的角速度进行实验．
③换用不同质量的小物体，在角速度和半径不变的条件下，重复上述操作．
(4)结论：半径越大，角速度越大，质量越大，向心力越大．
2．用向心力演示器定量探究
(1)实验原理
如图2所示，匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也就随之做匀速圆周运动．这时，小球向外挤压挡板，挡板对小球的反作用力提供了小球做匀速圆周运动的向心力．同时，小球压挡板的力使挡板另一端压缩弹簧测力套筒里的弹簧，弹簧的压缩量可以从标尺上读出，该读数显示了向心力大小．
图2
(2)器材：向心力演示器．
(3)实验过程
①把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同．调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不一样，探究向心力的大小与角速度的关系．
②保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径．调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同，探究向心力的大小与半径的关系．
③换成质量不同的球，分别使两球的转动半径相同．调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同，探究向心力的大小与质量的关系．
④重复几次以上实验．
(4)数据处理
①m、r一定
序号
1
2
3
4
5
6
F向
ω
ω2
②m、ω一定
序号
1
2
3
4
5
6
F向
r
③r、ω一定
序号
1
2
3
4
5
6
F向
m
④分别作出F向－ω2、F向－r、F向－m的图象．
⑤实验结论
a．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比．
b．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比．
c．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比．
四、注意事项
1．定性感知实验中，小物体受到的重力与拉力相比可忽略．
2．使用向心力演示器时应注意：
(1)将横臂紧固螺钉旋紧，以防小球和其他部件飞出而造成事故．
(2)摇动手柄时应力求缓慢加速，注意观察其中一个测力计的格数．达到预定格数时，即保持转速均匀恒定.
一、影响向心力大小因素的定性分析
例1 如图3所示，同学们分小组探究影响向心力大小的因素．同学们用细绳系一纸杯(杯中有30 mL的水)在空气中甩动，使杯在水平面内做圆周运动，来感受向心力．
图3
(1)下列说法中正确的是________．
A．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
(2)如图甲，绳离杯心40 cm处打一结点A,80 cm处打一结点B，学习小组中一位同学用手表计时，另一位同学操作，其余同学记录实验数据：
操作一：手握绳结A，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小．
操作二：手握绳结B，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小．
操作三：手握绳结A，使杯在水平方向每秒运动2周，体会向心力的大小．
操作四：手握绳结A，再向杯中添加30 mL的水，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小．
①操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；
操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度的大小有关；
操作四与一相比较：____________________相同，向心力大小与________有关；
②物理学中此种实验方法叫________________法．
③小组总结阶段，在空中甩动，使杯在水平面内做圆周运动的同学谈感受时说：“感觉手腕发酸，感觉力的方向不是指向圆心的向心力而是背离圆心的离心力，跟书上说的不一样”．你认为该同学的说法是否正确，为什么？
答案 (1)BD
(2)①角速度、半径 质量
②控制变量
③说法不对，该同学受力分析的对象是自己的手，我们实验受力分析的对象是纸杯，细线的拉力提供纸杯做圆周运动的向心力，指向圆心．细线对手的拉力与向心力大小相等，方向相反，背离圆心．
解析 (1)由题意，根据向心力公式，F向＝mω2r，由牛顿第二定律，则有FT＝mω2r；保持质量、绳长不变，增大转速，根据公式可知，绳对手的拉力将增大，故A错误，B正确；保持质量、角速度不变，增大绳长，据公式可知，绳对手的拉力将变大，故C错误，D正确；
(2)根据向心力公式F向＝mω2r，由牛顿第二定律，则有FT＝mω2r；操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度的大小有关；操作四与一相比较：角速度、半径相同，向心力大小与质量有关；物理学中此种实验方法叫控制变量法．该同学受力分析的对象是自己的手，我们实验受力分析的对象是纸杯，细线的拉力提供纸杯做圆周运动的向心力，指向圆心．细线对手的拉力与“向心力”大小相等，方向相反，背离圆心．
二、影响向心力大小因素的定量研究
例2 用如图4所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关．
图4
(1)本实验采用的科学方法是________．
A．控制变量法 B．累积法
C．微元法 D．放大法
(2)图示情景正在探究的是________．
A．向心力的大小与半径的关系
B．向心力的大小与线速度大小的关系
C．向心力的大小与角速度大小的关系
D．向心力的大小与物体质量的关系
(3)通过本实验可以得到的结论是________．
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
答案 (1)A (2)D (3)C
解析 (1)在这两个装置中，控制半径、角速度不变，只改变质量，来探究向心力与质量之间的关系，故采用控制变量法，A正确；
(2)控制半径、角速度不变，只改变质量，来探究向心力与质量之间的关系，所以D选项正确；
(3)通过控制变量法，得到的结论为在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，所以C选项正确．
例3 一物理兴趣小组利用学校实验室的数学实验系统探究物体做圆周运动时向心力与角速度、半径的关系.
实验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
F/N
2.42
1.90
1.43
0.97
0.76
0.50
0.23
0.06
ω/(rad·s－1)
28.8
25.7
22.0
18.0
15.9
13.0
8.5
4.3
(1)首先，他们让一砝码做半径r＝0.08 m的圆周运动，数学实验系统通过测量和计算得到若干组向心力F和对应的角速度ω，如表，请你根据表中的数据在图5甲上绘出F－ω的关系图象．
图5
(2)通过对图象的观察，兴趣小组的同学猜测F与ω2成正比，你认为，可以通过进一步转换，作出____________关系图象来确定他们的猜测是否正确．
(3)在证实了F∝ω2之后，他们将砝码做圆周运动的半径r再分别调整为0.04 m、0.12 m，又得到了两条F－ω图象，他们将三次实验得到的图象放在一个坐标系中，如图乙所示，通过对三条图象的比较、分析、讨论，他们得出F∝r的结论．
你认为他们的依据是______________________________________________________．
(4)通过上述实验，他们得出：做圆周运动的物体受到的向心力F与角速度ω、半径r的数学关系式是F＝kω2r，其中比例系数k的大小为________，单位是________．
答案 (1)
(2)F－ω2
(3)作一条平行于纵轴的辅助线，观察和图象的交点中力的数值之比是否为1∶2∶3
(4)0.038 kg
解析 (1)由题中的数据描点，用平滑曲线连线，如图所示．
(2)若兴趣小组的同学猜测F与ω2成正比，则可画出F－ω2关系图象来确定，若F－ω2关系图线是一条过原点的倾斜直线，即可证明猜测是正确的．
(3)作一条平行于纵轴的辅助线，观察和图象的交点中力的数值之比是否为1∶2∶3，若与图象的交点中力的数值之比满足1∶2∶3，则他们可以得出F∝r的结论．
(4)由F、ω、r的单位可得出k的单位为kg，即是物体的质量，再由k＝，将F、ω的数据代入求解出k的平均值为0.038.
1．(向心力演示器)向心力演示器如图6所示，转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动．皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动．小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，标尺8上露出的等分格子的多少可以显示出两个球所受向心力的大小．
图6
(1)现将小球分别放在两边的槽内，为探究小球受到的向心力大小与角速度大小的关系，下列做法正确的是( )
A．在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的钢球做实验
B．在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的钢球做实验
C．在小球运动半径不等的情况下，用质量不同的钢球做实验
D．在小球运动半径不等的情况下，用质量相同的钢球做实验
(2)在该实验中应用了________(选填“理想实验法”“控制变量法”或“等效替代法”)来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系．
答案 (1)A (2)控制变量法
解析 (1)要探究小球受到的向心力大小与角速度的关系，需控制小球的质量和半径不变，所以A正确，B、C、D错误．
(2)由前面分析可以知道该实验采用的是控制变量法．
2．(影响向心力大小因素的定量研究)如图7所示，在验证向心力公式的实验中，质量相同的钢球①②分别放在转盘A、B上，它们到所在转盘转轴的距离之比为2∶1.a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮．a、b的轮半径之比为1∶2，用皮带连接a、b两轮转动时，钢球①②所受的向心力之比为( )
图7
A．8∶1 B．4∶1
C．2∶1 D．1∶2
答案 A
解析 皮带传动，边缘上的点线速度大小相等，所以va＝vb，a轮、b轮半径之比为1∶2，所以由v＝rω得＝＝，共轴的点角速度相等，两个钢球的角速度分别与共轴轮子的角速度相等，则＝.据向心加速度a＝rω2，则知＝.钢球的质量相等，由F＝ma得，向心力之比为＝，所以A正确，B、C、D错误．
3．(影响向心力大小因素的定性分析)两个同学做体验性实验来粗略地验证向心力公式F＝m和F＝mω2r.他们的做法如下：如图8甲，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，绳上离小沙袋重心40 cm的地方打一个绳结A,80 cm的地方打另一个绳结B.同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：
图8
操作一：手握绳结A，如图乙，使沙袋在水平方向上做匀速圆周运动，每秒运动1周，体会此时绳子拉力的大小．
操作二：手仍然握绳结A，但使沙袋在水平方向上每秒运动2周，体会此时绳子拉力的大小．
操作三：改为手握绳结B，使沙袋在水平方向上每秒运动1周，体会此时绳子拉力的大小．
根据以上操作步骤填空：操作一与操作三__________(填“线速度”或“角速度”)相同，同学乙感到____________(填“操作一”或“操作三”)绳子拉力比较大；操作二与操作三____________(填“线速度”或“角速度”)相同，同学乙感到____________(填“操作二”或“操作三”)绳子拉力比较大．
答案 角速度 操作三 线速度 操作二
解析 操作一和操作三，都是每秒转动一圈，则角速度相等，根据F＝mω2r知，半径大时所需的向心力大，则拉力大，知操作三感到向心力较大；操作三和操作二比较，操作三1 s内转过的弧长为2πr，操作二1 s内转过的弧长为2×2π×＝2πr，知线速度相同，根据F＝知，半径小时向心力大，则操作二感到向心力较大．
4．(影响向心力大小因素的定量研究)某兴趣小组用如图9甲所示的装置与传感器结合，探究向心力大小的影响因素．实验时用手拨动旋臂使其做圆周运动，力传感器和光电门固定在实验器上，测量角速度和向心力．
(1)电脑通过光电门测量挡光杆通过光电门的时间，并由挡光杆的宽度d、挡光杆通过光电门的时间Δt、挡光杆做圆周运动的半径r，自动计算出砝码做圆周运动的角速度，则其计算角速度的表达式为________________．
(2)图乙中取①②两条曲线为相同半径、不同质量下向心力与角速度的关系图线，由图可知：曲线①对应的砝码质量________(选填“大于”或“小于”)曲线②对应的砝码质量．
图9
答案 (1) (2)小于
解析 (1)物体转动的线速度v＝
由ω＝
计算得出ω＝.
(2)图中抛物线说明：向心力F和ω2成正比；若保持角速度和半径都不变，则质点做圆周运动的向心加速度不变，由牛顿第二定律F＝ma可以知道，质量大的物体需要的向心力大，所以曲线①对应的砝码质量小于曲线②对应的砝码质量．
5．(影响向心力大小因素的定量研究)如图10甲所示是一个研究向心力与哪些因素有关的DIS实验装置的示意图，其中做匀速圆周运动的圆柱体的质量为m，放置在未画出的圆盘上，圆周轨道的半径为r，力电传感器测定的是向心力，光电传感器测定的是圆柱体的线速度，以下是所得数据和图乙所示的F－v、F－v2、F－v3三个图象：
图10
v/(m·s－1)
1
1.5
2
2.5
3
F/N
0.88
2
3.5
5.5
7.9
(1)数据表和图乙的三个图象是在用实验探究向心力F和圆柱体线速度v的关系时保持圆柱体质量不变，半径r＝0.1 m的条件下得到的．研究图象后，可得出向心力F和圆柱体速度v的关系式：__________________.
(2)为了研究F与r成反比的关系，实验时除了保持圆柱体质量不变外，还应保持物理量________不变．
(3)若已知向心力的表达式为F＝m，根据上面的图线可以推算出，本实验中圆柱体的质量为____________．
答案 (1)F＝0.88v2 (2)线速度 (3)0.088 kg
解析 (1)研究数据表和图乙中B图不难得出F∝v2，进一步研究知图乙斜率k＝≈0.88，故F与v的关系式为F＝0.88v2.
(2)线速度v.
(3)由F＝m＝0.88v2，r＝0.1 m，所以m＝0.088 kg.
第2课时 向心力 向心加速度
一、向心力
1．定义：做匀速圆周运动的物体受到的方向沿半径指向圆心的力．
2．作用效果：不改变质点速度的大小，只改变速度的方向．
3．方向：沿半径指向圆心，和质点运动的方向垂直，其方向时刻在改变．
4．大小：F＝mω2r；F＝m.
二、向心加速度
1．定义：由向心力产生的指向圆心方向的加速度．
2．大小：a＝ω2r，a＝.
3．方向：与向心力方向一致，始终指向圆心，时刻在改变．
1．判断下列说法的正误．
(1)匀速圆周运动的向心力是恒力．(×)
(2)匀速圆周运动的合力就是向心力．(√)
(3)匀速圆周运动的加速度的方向始终不变．(×)
(4)匀速圆周运动是加速度方向不断改变的变速运动．(√)
(5)根据a＝ω2r知加速度a与半径r成正比．(×)
2．在长0.2 m的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以0.6 m/s的速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为________，向心加速度为________．
答案 3 rad/s 1.8 m/s2
解析 角速度ω＝＝ rad/s＝3 rad/s
小球运动的向心加速度a＝＝ m/s2＝1.8 m/s2.
【考点】向心加速度公式的有关计算
【题点】应用向心加速度公式的计算
一、向心力及其来源
1．向心力：使物体做圆周运动的指向圆心的合力．
2．向心力大小：F＝ma＝m＝mω2r＝m2r.
3．向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力．
4．向心力的作用效果——改变线速度的方向．由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小．
5．向心力的来源
向心力是根据力的作用效果命名的．它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供．
(1)当物体做匀速圆周运动时，由于物体沿切线方向的加速度为零，即切线方向的合力为零，物体受到的合外力一定指向圆心，以提供向心力产生向心加速度．
(2)当物体做非匀速圆周运动时，其向心力为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小．
例1 (多选)下列关于向心力的说法中正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B．向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合外力
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
答案 BC
解析 当物体所受的外力的合力始终有一分力垂直于速度方向时，物体将做圆周运动，该分力即为向心力，故先有向心力然后才使物体做圆周运动．因向心力始终垂直于速度方向，所以它不改变线速度的大小，只改变线速度的方向．匀速圆周运动所受合外力指向圆心，完全提供向心力．非匀速圆周运动中是合外力指向圆心的分力提供向心力．
【考点】对向心力的理解
【题点】对向心力的理解
例2 (多选)如图1所示，用长为L的细线拴住一个质量为M的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，关于小球的受力情况，下列说法中正确的是( )
图1
A．小球受到重力、线的拉力和向心力三个力
B．向心力是线对小球的拉力和小球所受重力的合力
C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D．向心力的大小等于Mgtan θ
答案 BCD
【考点】向心力来源的分析
【题点】圆锥摆运动的向心力来源分析
针对训练 如图2所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起运动——做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是( )
图2
A．木块A受重力、支持力和向心力
B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相反
C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向指向圆心
D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相同
答案 C
解析 由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡．而木块在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O，故选C.
二、向心加速度
1．请根据牛顿第二定律以及向心力的表达式推导向心加速度的表达式．
答案 由牛顿第二定律知，a＝，所以向心加速度的表达式为：a＝＝ω2r.
2．有人说：“匀速圆周运动的加速度恒定，所以是匀变速运动．”这种说法对吗？为什么？
答案 不对．匀速圆周运动的向心力大小不变，但方向时刻指向圆心，即方向始终变化．所以匀速圆周运动是加速度时刻变化的变速运动．
1．方向：不论向心加速度a的大小是否变化，a的方向始终指向圆心，是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动是一种变加速曲线运动．
2．向心加速度的大小：a＝＝＝ω2r＝＝4π2f2r＝ωv.
(1)当匀速圆周运动的半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比，随频率的增加或周期的减小而增大．
(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．
(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．
例3 (多选)下列说法正确的是( )
A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度
B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，所以必有加速度
C．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速(曲线)运动
D．匀速圆周运动的加速度大小虽然不变，但方向始终指向圆心，加速度的方向发生了变化，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动
答案 BD
解析 加速度恒定的运动才是匀变速运动，匀速圆周运动的向心加速度的方向时刻改变．匀速圆周运动是速度的大小不变而方向时刻变化的运动，所以B、D正确．
例4 如图3所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体上两点，下列几种说法中正确的是( )
图3
A．A、B两点具有相同的角速度
B．A、B两点具有相同的线速度
C．A、B两点的向心加速度的方向都指向球心
D．A、B两点的向心加速度之比为2∶1
答案 A
解析 A、B为球体上两点，因此，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A对；如图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错；设球的半径为R，则A运动的半径rA＝Rsin 60°，B运动的半径rB＝Rsin 30°，＝＝＝，B错；＝＝，D错．
【考点】向心加速度公式的有关计算
【题点】向心加速度有关的比值问题
1．(向心力的理解)(多选)下面关于向心力的叙述中，正确的是( )
A．向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力
B．做匀速圆周运动的物体，除了受到别的物体对它的作用力外，还一定受到一个向心力的作用
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力，或者是某一个力的分力
D．向心力只改变物体速度的方向，不改变物体速度的大小
答案 ACD
2．(对向心加速度公式的理解)如图4所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点P的图线是双曲线的一支，表示质点Q的图线是过原点的一条直线．由图线可知( )
图4
A．质点P的线速度不变
B．质点P的角速度不变
C．质点Q的角速度不变
D．质点Q的线速度不变
答案 C
解析 质点P的a－r图线是双曲线的一支，即a与r成反比，由a＝知质点P的线速度v的大小是定值，但方向变化，A错误．根据ω＝知质点P的角速度ω是变量，所以B错误．质点Q的a－r图线是一条直线，表示a∝r，由a＝rω2知角速度ω是定值，C正确．根据v＝ωr知质点Q的线速度v是变量，所以D错误．
3.(向心力来源分析)(多选)如图5所示，用细绳拴一小球在光滑桌面上绕一铁钉(系一绳套)做匀速圆周运动，关于小球的受力，下列说法正确的是( )
图5
A．重力、支持力、绳子拉力
B．重力、支持力、绳子拉力和向心力
C．重力、支持力、向心力
D．绳子拉力充当向心力
答案 AD
【考点】对向心力的理解
【题点】对向心力的理解
4．(传动装置中的向心加速度)如图6所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是( )
图6
A．aC＝aD＝2aE B．aC＝2aD＝2aE
C．aC＝＝2aE D．aC＝＝aE
答案 C
解析 同轴传动，C、E两点的角速度相等，由a＝ω2r，有＝2，即aC＝2aE；两轮边缘点的线速度大小相等，由a＝，有＝，即aC＝aD，故选C.
5．(向心加速度公式的应用)如图7所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S到转轴的距离是大轮半径的.当大轮边缘上P点的向心加速度是 12 m/s2 时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别是多少？
图7
答案 4 m/s2 24 m/s2
解析 同一轮上的S点和P点角速度相同：ωS＝ωP，由向心加速度公式a＝ω2r可得：＝，则aS＝aP·＝12× m/s2＝4 m/s2.
又因为皮带不打滑，所以传动皮带的两轮边缘各点线速度大小相等：vP＝vQ.
由向心加速度公式a＝可得：＝.
则aQ＝aP·＝12× m/s2＝24 m/s2.
一、选择题
考点一 向心加速度
1．关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．由a＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定
B．匀速圆周运动不属于匀速运动
C．向心加速度越大，物体速率变化越快
D．做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心
答案 B
解析 向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此向心加速度不是恒定的，所以A错；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动，存在向心加速度，B正确；向心加速度不改变速率，C错；只有做匀速圆周运动的物体的加速度才时刻指向圆心，D错．
【考点】对向心加速度的理解
【题点】向心加速度的意义
2.如图1所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么木块( )
图1
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
答案 D
解析 由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．
【考点】对向心加速度的理解
【题点】向心加速度的方向
3．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动的周期之比为3∶4，则它们的向心加速度之比为( )
A．1∶4 B．4∶1
C．4∶9 D．9∶4
答案 B
解析 根据题意＝，＝，由a＝r得：＝·2＝×＝4，B选项正确．
【考点】向心加速度公式的有关计算
【题点】向心加速度有关的比值问题
4．如图2所示为一磁带式放音机的转动系统，在倒带时，主动轮以恒定的角速度逆时针转动，P和Q分别为主动轮和从动轮边缘上的点，则( )
图2
A．主动轮上的P点线速度方向不变
B．主动轮上的P点线速度逐渐增大
C．主动轮上的P点的向心加速度逐渐增大
D．从动轮上的Q点的向心加速度逐渐增大
答案 D
解析 圆周运动的线速度方向时刻变化，A错误；P点线速度vP＝ωrP，因为ω不变，rP不变，故vP大小不变，B错误；由aP＝ω2rP知，C错误；由于主动轮边缘的线速度逐渐增大，则从动轮边缘的线速度也逐渐增大，而边缘的半径减小，故从动轮角速度增大，由aQ＝ω′2rQ知，aQ逐渐增大，D正确．
【考点】对向心加速度的理解
【题点】向心加速度的大小及对向心加速度公式的理解
5.如图3所示，A、B是两个摩擦传动轮(不打滑)，两轮半径大小关系为RA＝2RB，则两轮边缘上的( )
图3
A．角速度之比ωA∶ωB＝2∶1
B．周期之比TA∶TB＝1∶2
C．转速之比nA∶nB＝1∶2
D．向心加速度之比aA∶aB＝2∶1
答案 C
解析 两轮边缘上的线速度相等，由ω＝知，ωA∶ωB＝RB∶RA＝1∶2，A错．由T＝知，TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶1，B错．由ω＝2πn知，nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶2，C对．由a＝知，aA∶aB＝RB∶RA＝1∶2，D错．
【考点】与向心加速度有关的传动问题分析
【题点】与向心加速度有关的皮带(或齿轮)传动问题
6．(多选)如图4所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，向心加速度分别为a1、a2、a3，皮带不打滑，则下列比例关系正确的是( )
图4
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
答案 BD
解析 设A、B、C三点的线速度大小分别为v1、v2和v3，由于皮带不打滑，v1＝v2，a＝，故＝＝，A错，B对．由于右边两轮共轴转动，ω2＝ω3，a＝rω2，＝＝，C错，D对．
【考点】与向心加速度有关的传动问题分析
【题点】与向心加速度有关的综合传动问题
考点二 向心力
7．对做圆周运动的物体所受的向心力说法正确的是( )
A．做匀速圆周运动的物体，因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．向心力一定是物体所受的合外力
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
答案 B
解析 做匀速圆周运动的物体向心力大小恒定，方向总是指向圆心，是一个变力，A错；向心力只改变线速度方向，不改变线速度大小，B正确；只有做匀速圆周运动的物体其向心力是由物体所受合外力提供的，C错；向心力与向心加速度的方向总是指向圆心，是时刻变化的，D错．
【考点】对向心力的理解
【题点】对向心力的理解
8.如图5，一水平圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针)．某段时间圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受合力F的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是( )
图5
答案 C
解析 橡皮块做加速圆周运动，合力不指向圆心，但一定指向圆周的内侧；由于做加速圆周运动，速度不断增加，故合力与速度的夹角小于90°，故选C.
【考点】变速圆周运动问题
【题点】变速圆周运动问题
9.洗衣机的脱水筒在转动时有一衣物附着在筒壁上，如图6所示，则此时( )
图6
A．衣物受到重力、筒壁的弹力和摩擦力的作用
B．衣物随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C．筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而减小
D．筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而增大
答案 A
解析 衣物受到重力、筒壁的弹力和摩擦力三个力的作用，其中筒壁的弹力提供其做圆周运动的向心力，A正确，B错误；由于重力与静摩擦力保持平衡，所以摩擦力不随转速的变化而变化，C、D错误．
【考点】对向心力的理解
【题点】对向心力的理解
10.如图7所示，水平圆盘上叠放着两个物块A和B，当圆盘和物块绕竖直轴匀速转动时，物块与圆盘始终保持相对静止，则( )
图7
A．物块A不受摩擦力作用
B．物块B受5个力作用
C．当转速增大时，A所受摩擦力增大，B所受摩擦力减小
D．A对B的摩擦力方向沿半径指向转轴
答案 B
解析 物块A受到的摩擦力充当向心力，A错误；物块B受到重力、支持力、A对物块B的压力、A对物块B沿半径向外的静摩擦力和圆盘对物块B沿半径指向转轴的静摩擦力，共5个力的作用，B正确，D错误；当转速增大时，A、B所受摩擦力都增大，C错误．
【考点】向心力来源的分析
【题点】水平面内匀速圆周运动的向心力来源分析
11.一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的半圆形轨道滑行，如图8所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，则它在最低点时受到的摩擦力为( )
图8
A．μmg B.
C．μm(g＋) D．μm(g－)
答案 C
解析 在最低点由向心力公式得：FN－mg＝m，得FN＝mg＋m，又由摩擦力公式有f＝μFN＝μ(mg＋m)＝μm(g＋)，C选项正确．
【考点】向心力公式的简单应用
【题点】竖直面内圆周运动中的动力学问题
12．(多选)如图9所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的( )
图9
A．线速度突然增大为原来的2倍
B．角速度突然增大为原来的2倍
C．向心加速度突然增大为原来的2倍
D．悬线拉力突然增大为原来的2倍
答案 BC
解析 当悬线碰到钉子时，由于惯性球的线速度大小是不变的，以后以C为圆心，为半径做圆周运动．由ω＝知，小球的角速度增大为原来的2倍，A错，B对；由a＝可知，它的向心加速度a应加倍，C项正确．由F－mg＝可知，D错误．
二、非选择题
13.(向心加速度公式的应用)飞机由俯冲转为上升的一段轨迹可以看成圆弧，如图10所示，如果这段圆弧的半径r＝800 m，飞行员能承受的向心加速度最大为8g，则飞机在最低点P的速率不得超过多少？(g＝10 m/s2)
图10
答案 80 m/s
解析 飞机在最低点做圆周运动，其向心加速度最大不得超过8g才能保证飞行员安全，由a＝得v＝＝ m/s＝80 m/s.故飞机在最低点P的速率不得超过80 m/s.
【考点】向心加速度公式的有关计算
【题点】应用向心加速度公式的计算
14．(向心加速度公式的应用)滑板运动是深受运动员喜爱的运动，如图11所示，质量m＝60 kg的滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0 m的圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平光滑轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为2 m/s.
图11
(1)求运动员到达C点前、后瞬间的加速度(不计各种阻力)；
(2)运动员到达C点前瞬间对轨道的压力大小(g取10 m/s2)．
答案 (1)20 m/s2，方向竖直向上 0 (2)1 800 N
解析 (1)运动员到达C点前的瞬间做圆周运动，
加速度大小a＝＝ m/s2＝20 m/s2，
方向在该位置指向圆心，即竖直向上．
运动员到达C点后的瞬间做匀速直线运动，加速度为0.
(2)由FN－mg＝ma得
FN＝1 800 N
再由牛顿第三定律得，运动员到达C点前瞬间对轨道的压力大小为1 800 N.
第3课时 生活中的向心力
1．汽车转弯
路面种类
分析
汽车在水平路面上转弯
汽车在内低外高的路面上转弯
受力分析
向心力来源
静摩擦力f
重力和支持力的合力
向心力关系式
f＝m
mgtan θ＝m
2.荡秋千通过最低点时：底座对人的支持力与人的重力的合力提供向心力，即FN－mg＝m.
3．汽车通过拱桥顶部时：桥面对汽车的支持力FN与汽车的重力的合力提供向心力，即mg－FN＝m.
4．人坐过山车通过最高点时：座位对人的支持力FN和人的重力的合力提供向心力，即FN＋mg＝m.
1．判断下列说法的正误．
(1)高速公路的弯道处，内轨高于外轨．( × )
(2)汽车行驶至凸形桥顶部时，对桥面的压力等于车重．( × )
(3)汽车行驶至凹形桥底部时，对桥面的压力大于车的重力．( √ )
2．飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可看成一段圆弧，如图1所示，飞机做俯冲拉起运动时，在最低点附近做半径为r＝180 m的圆周运动，如果飞行员质量m＝70 kg，飞机经过最低点P时的速度v＝360 km/h，则这时飞行员对座椅的压力大小约为________．(g取10 m/s2)
图1
答案 4 589 N
解析 飞机经过最低点时，v＝360 km/h＝100 m/s.对飞行员进行受力分析，飞行员在竖直面内共受到重力mg和座椅的支持力FN两个力的作用，根据牛顿第二定律得FN－mg＝m，所以FN＝mg＋m＝70×10 N＋70× N≈4 589 N，由牛顿第三定律得，飞行员对座椅的压力为4 589 N.
【考点】向心力公式的简单应用
【题点】竖直面内圆周运动中的动力学问题
一、汽车转弯问题
1．物体做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心．
2．汽车在水平公路上转弯：车轮与路面间的静摩擦力f提供向心力，即f＝m.
3．汽车在倾斜的路面上转弯：若重力和路面的支持力的合力完全提供向心力，此时汽车不受侧向的摩擦力，则有mgtan θ＝m.由此可知：车速越快，弯道半径越小，汽车需要的向心力越大，倾斜的角度也越大．
4．火车转弯问题
(1)弯道的特点：在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，若火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝m，如图2所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角，v0为转弯处的规定速度．
图2
(2)速度与轨道压力的关系
①当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车无挤压作用．
②当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力．
③当火车行驶速度v例1 为获得汽车行驶各项参数，汽车测试场内有各种不同形式的轨道．如图3所示，在某外高内低的弯道测试路段汽车向左拐弯，汽车的运动可看成做半径为R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间垂直前进方向的摩擦力等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
图3
A. B.
C. D.
答案 B
解析 把路基看成斜面，设其倾角为θ，汽车在斜面上受到自身重力mg和斜面支持力FN，二者的合力提供向心力，即指向水平方向．根据几何关系可得合力为mgtan θ，即向心力，所以mgtan θ＝，v＝，根据路基的高度差和水平宽度得tan θ＝，所以v＝.选项B对．
针对训练1 (多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图4，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处( )
图4
A．路面外侧高、内侧低
B．车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值变小
答案 AC
解析 当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，即不受静摩擦力，此时由重力和支持力的合力提供向心力，所以路面外侧高、内侧低，选项A正确；当车速低于v0时，需要的向心力小于重力和支持力的合力，汽车有向内侧运动的趋势，受到的静摩擦力向外侧，并不一定会向内侧滑动，选项B错误；当车速高于v0时，需要的向心力大于重力和支持力的合力，汽车有向外侧运动的趋势，静摩擦力向内侧，速度越大，静摩擦力越大，只有静摩擦力达到最大以后，车辆才会向外侧滑动，选项C正确；由mgtan θ＝m可知，v0的值只与路面与水平面的夹角和弯道的半径有关，与路面的粗糙程度无关，选项D错误．
【考点】交通工具的转弯问题
【题点】倾斜面内的转弯问题
二、圆锥摆模型及其拓展
1.圆锥摆结构和运动模型
如图5所示，一根不可伸长的绳，一端固定在O点，另一端拴一小球(可视为质点)，给小球一水平初速度，不计空气阻力，小球在水平面内做匀速圆周运动．
图5
2．向心力来源
(1)可认为绳子对小球的拉力和小球的重力的合力提供向心力．
(2)也可认为是绳子拉力在水平方向的分力提供向心力．
3．动力学方程及线速度、角速度与绳长的关系
图6
如图6所示，设小球的质量为m，绳与竖直方向的夹角为θ，绳长为l，则小球做圆周运动的半径为r＝lsin θ.由牛顿第二定律得mgtan θ＝m或mgtan θ＝mω2r.
所以v＝＝.
ω＝＝.
4．拓展
(1)“飞车走壁”(光滑漏斗上小球的运动)(如图7)；
(2)飞机在水平面内做匀速圆周运动(如图8)；
(3)火车转弯(如图9)．
图7 图8 图9
例2 长为L的细线，一端固定于O点，另一端拴一质量为m的小球，让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图10所示，摆线与竖直方向的夹角为α，求：
图10
(1)线的拉力大小；
(2)小球运动的线速度的大小；
(3)小球运动的周期．
答案 (1) (2)sin α (3)2π
解析 (1)对小球受力分析如图所示，小球受重力mg和线的拉力FT作用，这两个力的合力mgtan α指向圆心，提供向心力，由受力分析可知，细线拉力FT＝.
(2)(3)由F＝m＝m＝mgtan α，
半径R＝Lsin α，
得v＝＝sin α，
T＝2π?.
圆锥摆模型是典型的匀速圆周运动，从圆锥摆模型可以看出匀速圆周运动问题的解题思路：
(1)知道物体做圆周运动轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个关键环节．
(2)分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力提供的．
(3)根据线速度、角速度的特点，选择合适的公式列式求解．
针对训练2 如图11所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是( )
图11
A．线速度vA＞vB
B．角速度ωA＞ωB
C．向心力FA＞FB
D．向心加速度aA＞aB
答案 A
解析 设漏斗的顶角为2θ，则小球受到的合力为F合＝，由F＝F合＝＝mω2r＝m＝ma，知向心力FA＝FB，向心加速度aA＝aB，选项C、D错误；因rA＞rB，又由于v＝和ω＝知vA＞vB、ωA＜ωB，故选项A对，B错误．
【考点】类圆锥摆模型
【题点】类圆锥摆的动力学问题分析
三、汽车过桥问题
1．汽车过拱形桥(如图12)
图12
汽车在最高点满足关系：mg－FN＝m，即FN＝mg－m.
(1)当0≤v<时，0(2)当v＝时，FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动，发生危险．
说明：汽车通过拱形桥的最高点时，向心加速度向下，汽车对桥的压力小于其自身的重力，而且车速越大，压力越小，此时汽车处于失重状态．
2．汽车过凹形桥(如图13)
图13
汽车在最低点满足关系：FN－mg＝，即FN＝mg＋.
说明：汽车通过凹形桥的最低点时，向心加速度向上，而且车速越大，压力越大，此时汽车处于超重状态．由于汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹形桥．
例3 如图14所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m，如果桥面承受的压力不超过3.0×105 N，则：(g取10 m/s2)
图14
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
答案 (1)10 m/s (2)1.0×105 N
解析 汽车驶至凹形桥面的底部时，合力向上，车对桥面的压力最大；汽车驶至凸形桥面的顶部时，合力向下，车对桥面的压力最小．
(1)汽车在凹形桥的底部时，由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的支持力FN1＝3.0×105 N，根据牛顿第二定律
FN1－mg＝m，即v＝＝10 m/s
由于v<＝10 m/s，故在凸形桥最高点处汽车不会脱离桥面，所以汽车允许的最大速率为10 m/s.
(2)汽车在凸形桥顶部时，由牛顿第二定律得
mg－FN2＝m，即FN2＝m(g－)＝1.0×105 N
由牛顿第三定律得，在凸形桥顶部汽车对桥面的压力为1.0×105 N，此即最小压力．
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】汽车过桥问题
针对训练3 在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增大摩擦，这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了．把这套系统放在电子秤上做实验，如图15所示，关于实验中电子秤的示数，下列说法正确的是( )
图15
A．玩具车静止在拱形桥顶端时的示数小一些
B．玩具车运动通过拱形桥顶端时的示数大一些
C．玩具车运动通过拱形桥顶端时处于超重状态
D．玩具车运动通过拱形桥顶端时速度越大(未离开拱形桥)，示数越小
答案 D
解析 玩具车运动到最高点时，受向下的重力和向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg－FN＝m，即FN＝mg－m【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】汽车过桥问题
1．(火车转弯问题)(多选)全国铁路大面积提速，给人们的生活带来便利．火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损．为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，以下措施可行的是( )
A．适当减小内外轨的高度差
B．适当增加内外轨的高度差
C．适当减小弯道半径
D．适当增大弯道半径
答案 BD
解析 设火车轨道平面的倾角为α时，火车转弯时内、外轨均不受损，根据牛顿第二定律有mgtan α＝m，解得v＝，所以，为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，可行的措施是适当增大倾角α(即适当增加内外轨的高度差)和适当增大弯道半径r.
【考点】交通工具的转弯问题
【题点】倾斜面内的转弯问题
2．(汽车过桥问题)如图16所示，质量为1 t的汽车驶上一个半径为50 m的圆形拱桥，当它到达桥顶(A点)时的速度为5 m/s，此时汽车对桥面的压力大小为________N．此时汽车处于________(填“超重”或“失重”)状态．若汽车接下去行驶遇到一段水平路面和凹形桥面，则在A、B、C三点中，司机为防止爆胎，需要在到达________(填“A”“B”或“C”)点前提前减速；为了防止汽车腾空离地，需要在到达________(填“A”“B”或“C”)点前提前减速．(g＝10 m/s2)
图16
答案 9 500 失重 C A
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】汽车过桥问题
3.(圆锥摆问题分析)如图17所示，已知绳长为L＝20 cm，水平杆长为L′＝0.1 m，小球质量m＝0.3 kg，整个装置可绕竖直轴转动．g取10 m/s2，问：(结果保留两位小数)
图17
(1)要使绳子与竖直方向成45°角，该装置必须以多大的角速度转动才行？
(2)此时绳子的张力为多大？
答案 (1)6.44 rad/s (2)4.24 N
解析 小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，对小球受力分析如图所示，设绳对小球拉力为FT，小球重力为mg，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力．
对小球利用牛顿第二定律可得：
mgtan 45°＝mω2r①
r＝L′＋Lsin 45°②
联立①②两式，将数值代入可得
ω≈6.44 rad/s
FT＝≈4.24 N.
【考点】圆锥摆模型
【题点】圆锥摆的动力学问题分析
一、选择题
考点一 交通工具的转弯问题
1.如图1所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙．以下说法正确的是( )
图1
A．f甲小于f乙
B．f甲等于f乙
C．f甲大于f乙
D．f甲和f乙的大小均与汽车速率无关
答案 A
解析 汽车在水平面内做匀速圆周运动，摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力，即f＝F向＝m，由于m甲＝m乙，v甲＝v乙，r甲＞r乙，则f甲＜f乙，A正确．
【考点】交通工具的转弯问题
【题点】水平路面内的转弯问题
2．汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大，当汽车速率增为原来的2倍时，若要不发生险情，则汽车转弯的轨道半径必须( )
A．减为原来的 B．减为原来的
C．增为原来的2倍 D．增为原来的4倍
答案 D
【考点】交通工具的转弯问题
【题点】水平路面内的转弯问题
3.摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，如图2所示．当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜；行驶在直轨上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样．假设有一摆式列车在水平面内行驶，以360 km/h的速度转弯，转弯半径为1 km，则质量为50 kg的乘客，在转弯过程中所受到的火车给他的作用力为(g取10 m/s2)( )
图2
A．500 N B．1 000 N
C．500 N D．0
答案 C
解析 乘客所需的向心力F＝m＝500 N，而乘客的重力为500 N，故火车对乘客的作用力大小FN＝＝500 N，C正确．
【考点】交通工具的转弯问题
【题点】倾斜面内的转弯问题
考点二 圆锥摆模型及其拓展分析
4．两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图3所示，A运动的半径比B的大，则( )
图3
A．A所需的向心力比B的大
B．B所需的向心力比A的大
C．A的角速度比B的大
D．B的角速度比A的大
答案 A
解析 小球的重力和绳子的拉力的合力充当向心力，设悬线与竖直方向夹角为θ，则F＝mgtan θ＝mω2lsin θ，θ越大，向心力F越大，所以A对，B错；而ω2＝＝，故两者的角速度相同，C、D错．
5.(多选)如图4所示，将一质量为m的摆球用长为L的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆，下列说法正确的是( )
图4
A．摆球受重力、拉力和向心力的作用
B．摆球受重力和拉力的作用
C．摆球运动周期为2π
D．摆球运动的转速为sin θ
答案 BC
解析 摆球受重力和绳子拉力两个力的作用，设摆球做匀速圆周运动的周期为T，则：mgtan θ＝mr，
r＝Lsin θ，T＝2π，转速n＝＝ ，B、C正确，A、D错误．
【考点】圆锥摆类模型
【题点】类圆锥摆的动力学问题分析
6．(多选)有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动．如图5所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h，下列说法中正确的是( )
图5
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越大
D．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
答案 BC
解析 对摩托车受力分析如图所示．
由于FN＝
所以摩托车受到侧壁的支持力与高度无关，保持不变，摩托车对侧壁的压力也不变，选项A错误；由F＝mgtan θ＝m＝mω2r＝mr知h变化时，向心力F不变，但高度升高，r变大，v＝，ω＝ ，所以线速度变大，角速度变小，周期变大，选项B、C正确，D错误．
7.如图6所示，一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，则空气对老鹰的作用力的大小等于(重力加速度为g)( )
图6
A．m
B．m
C．m
D．mg
答案 A
解析 对老鹰进行受力分析，其受力情况如图所示，老鹰受到重力mg、空气对老鹰的作用力F.由题意可知，力F沿水平方向的分力提供老鹰做圆周运动的向心力，且其沿竖直方向的分力与重力平衡，故F1＝，F2＝mg，则F＝＝＝m，A正确．
【考点】向心力公式的简单应用
【题点】水平面内圆周运动中的动力学问题
考点三 汽车过桥问题
8．城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥．如图7所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则( )
图7
A．小汽车通过桥顶时处于失重状态
B．小汽车通过桥顶时处于超重状态
C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FN＝mg－m
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于
答案 A
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】汽车过桥问题
9.如图8所示，汽车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球．当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时，弹簧长度为L1，当汽车以大小相同的速度匀速通过一个桥面为圆弧形的凸形桥的最高点时，弹簧长度为L2，下列选项中正确的是( )
图8
A．L1＝L2
B．L1>L2
C．L1D．前三种情况均有可能
答案 B
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】汽车过桥问题
10.(多选)一个质量为m的物体(体积可忽略)，在半径为R的光滑半球顶点处以水平速度v0运动，如图9所示，则下列说法正确的是( )
图9
A．若v0＝，则物体对半球顶点无压力
B．若v0＝，则物体对半球顶点的压力为mg
C．若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为mg
D．若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为零
答案 AC
解析 设物体受到的支持力为FN，若v0＝，则mg－FN＝m，得FN＝0，则物体对半球顶点无压力，A正确．若v0＝，则mg－FN＝m，得FN＝mg，则物体对半球顶点的压力为mg，B错误．若v0＝0，根据牛顿第二定律mg－FN＝m＝0，得FN＝mg，物体对半球顶点的压力为mg，C正确，D错误．
【考点】向心力公式的简单应用
【题点】竖直面内圆周运动中的动力学问题
二、非选择题
11.(秋千过最低点问题)如图10所示，质量为1 kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2 m/s，已知球心到悬点的距离为1 m，重力加速度g＝10 m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力的大小．
图10
答案 14 N
解析 小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg和绳的拉力FT提供(如图所示)，
即FT－mg＝
所以FT＝mg＋＝(1×10＋) N＝14 N
小球对绳的拉力与绳对小球的拉力是一对作用力和反作用力，所以小球在最低点时对绳的拉力大小为14 N.
【考点】向心力公式的简单应用
【题点】竖直面内圆周运动中的动力学问题
12．(交通工具的转弯问题)如图11所示为汽车在水平路面做半径为R的大转弯的后视图，悬吊在车顶的灯左偏了θ角，则：(重力加速度为g)
图11
(1)车正向左转弯还是向右转弯？
(2)车速是多少？
(3)若(2)中求出的速度正是汽车转弯时不打滑允许的最大速度，则车轮与地面间的动摩擦因数μ是多少？(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
答案 (1)向右转弯
(2)
(3)tan θ
解析 (2)对灯受力分析知
mgtan θ＝m得v＝
(3)车刚好不打滑，有
μMg＝M得μ＝tan θ.
【考点】交通工具的转弯问题
【题点】水平路面内的转弯问题
13．(汽车转弯与过桥问题)在用高级沥青铺设的高速公路上，对汽车的设计限速是30 m/s.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．(g＝10 m/s2)
(1)如果汽车在这种高速公路的水平弯道上转弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
(2)如果高速公路上设计了圆弧拱桥作立交桥，要使汽车能够安全通过(不起飞)圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？
(3)如果弯道的路面设计为倾斜(外高内低)，弯道半径为120 m，要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度是多少？
答案 (1)150 m (2)90 m (3)37°
解析 (1)汽车在水平路面上转弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其最大向心力等于车与路面间的最大静摩擦力，有0.6mg＝m
由速度v＝30 m/s，解得弯道的最小半径r＝150 m
(2)汽车过拱桥，可看成在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，有mg－FN＝m
为了保证安全，车对路面的压力FN必须大于等于零．
有mg≥m，代入数据解得R≥90 m
(3)设弯道倾斜角度为θ，汽车通过此弯道时向心力由重力及支持力的合力提供，有mgtan θ＝m
解得tan θ＝
故弯道路面的倾斜角度θ＝37°.
【考点】交通工具的转弯问题
【题点】倾斜面内的转弯问题
