实验：探究平抛运动的特点
知识目标
核心素养
1.学会用实验的方法描绘平抛运动的轨迹.
2.会判断平抛运动的轨迹是不是抛物线.
3.会根据平抛运动的轨迹计算平抛运动的初速度.
4.掌握描迹法、频闪照相法等探究实验的常用方法.
1.能设计不同的实验方案，并对方案进行可行性论证，根据学校现有条件，选择最优方案.
2.能获取信息，通过数据分析描绘平抛运动的轨迹，能根据两种情况求出平抛的初速度.
3.合作探究、交流、反思过程中提高实验能力.
一、描绘平抛运动的轨迹
1．实验原理
用描迹法(或喷水法或频闪照相法)得到物体做平抛运动的轨迹．
2．实验器材(以斜槽轨道实验为例)
斜槽、小球、方木板、图钉、刻度尺、铅垂线、铅笔、坐标纸、铁架台．
3．实验步骤
(1)按图1甲所示安装实验装置，使斜槽末端水平(小球在斜槽末端点恰好静止)．
图1
(2)固定方木板上的坐标纸，使方木板保持竖直状态，小球的运动轨迹与板面平行，坐标纸方格横线呈水平方向．
(3)以斜槽水平末端端口上小球球心在木板上的投影点为坐标原点O，过O点画出竖直的y轴和水平的x轴．
(4)使小球从斜槽上同一位置由静止滚下，把笔尖放在小球可能经过的位置上，如果小球运动中碰到笔尖，就用铅笔在该位置画上一点．用同样方法，在小球运动路线上描下若干点．
(5)将坐标纸从方木板上取下，从O点开始通过画出的若干点描出一条平滑的曲线，如图乙所示．
4．注意事项
(1)实验中必须调整斜槽末端的切线水平(将小球放在斜槽末端水平部分，若小球静止，则斜槽末端水平)．
(2)方木板必须处于竖直平面内，固定时要用铅垂线检查坐标纸竖线是否竖直．
(3)小球每次必须从斜槽上同一位置由静止释放．
(4)坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时球心在方木板上的投影点．
(5)小球开始滚下的位置高度要适中，以使小球做平抛运动的轨迹由坐标纸的左上角一直到达右下角为宜．
二、数据处理
1．判断平抛运动的轨迹是不是抛物线
方法一 公式法
(1)原理：若平抛运动的轨迹是抛物线，则当以抛出点为坐标原点，建立直角坐标系后，轨迹上各点的坐标应具有y＝ax2的关系，而且同一轨迹a是一个确定的值．
(2)验证方法
用刻度尺测量几个点的x、y两个坐标，分别代入y＝ax2中求出常量a，看计算得到的a值在误差允许的范围内是否是一个常数．
方法二 图象法
建立y－x2坐标系，根据所测量的各个点的x、y坐标值分别计算出对应的y值和x2值，在y－x2坐标系中描点，连接各点看是否在一条直线上，并求出该直线的斜率即为a值．
2．计算初速度
在小球平抛运动轨迹上任取一点，用刻度尺测出它的坐标(x，y)，利用公式y＝gt2和x＝v0t，求出小球做平抛运动的初速度v0(g已知)，多求几个点然后求出v0的平均值．
一、平抛运动实验的原理与实验操作
例1 在“探究平抛运动的特点”实验中．
(1)图2是横挡条卡住平抛小球，用铅笔标注小球最高点，确定平抛运动轨迹的方法，坐标原点应选小球在斜槽末端点时的________．
图2
A．球心
B．球的上端
C．球的下端
在此实验中，下列说法正确的是________．
A．斜槽轨道必须光滑
B．记录的点应适当多一些
C．用平滑曲线把所有的点连接起来
D．y轴的方向根据铅垂线确定
(2)图3是利用图2装置拍摄小球做平抛运动的频闪照片，由照片可判断实验操作错误的是________．
图3
A．释放小球时初速度不为0
B．释放小球的初始位置不同
C．斜槽末端切线不水平
(3)下图是利用稳定的细水柱显示平抛运动轨迹的装置，其中正确的是________．
答案 (1)B BD (2)C (3)B
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】实验操作、注意事项
1．为保证小球做平抛运动，必须使斜槽的末端水平．
2．为保证小球每次平抛的初速度相同，必须让小球从同一位置由静止释放．
二、计算平抛运动的初速度
计算平抛运动的初速度可以分为两种情况
(1)平抛轨迹完整(即含有抛出点)
在轨迹上任取一点，测出该点离坐标原点的水平位移x及竖直位移y，就可求出初速度v0.
因x＝v0t，y＝gt2，故v0＝x?.
(2)平抛轨迹残缺(即无抛出点)
在轨迹上任取三点A、B、C(如图4所示)，使A、B间及B、C间的水平距离相等，由平抛运动的规律可知A、B间与B、C间所用时间相等，设为t，则Δh＝hBC－hAB＝gt2
图4
所以t＝
所以初速度v0＝＝x .
例2 某同学在做“探究平抛运动的特点”实验时得到了如图5所示的运动轨迹，a、b、c三点的位置在运动轨迹上已标出，则：
图5
(1)小球平抛的初速度为________m/s.(g取10 m/s2)
(2)小球运动到b点时速度大小vb＝________，方向________．
(3)小球抛出点的位置坐标x＝________cm，y＝________cm.
答案 (1)2 (2)2.5 m/s 与x轴方向夹角为37° (3)－10 －1.25
解析 (1)由平抛运动公式，在x轴方向上xab＝v0T，在竖直方向上hbc－hab＝gT2，代入数据解得T＝0.1 s，v0＝2 m/s.
(2)小球经过b点时竖直分速度vby＝＝1.5 m/s，则vb＝＝2.5 m/s，与x轴方向的夹角为θ，tan θ＝，即θ＝37°.
(3)小球从开始运动到经过b点时历时tb＝＝0.15 s，说明小球经过a点时已经运动了ta＝0.05 s，所以小球抛出点的坐标x＝－v0ta＝－10 cm，y＝－gta2＝－1.25 cm.
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】用已知抛出点的轨迹求初速度
根据平抛运动轨迹测定初速度时，不要随便把题目所提供的第一个记录点当成平抛运动的抛出点．可利用自由落体运动在竖直方向上连续相同时间内下落高度之比为1∶3∶5…的关系来判断第一个记录点是否为抛出点，若不是，只能由Δh＝gT2求出时间间隔．
三、创新实验设计
例3 某同学设计了一个探究平抛运动的特点的实验．实验装置示意图如图6甲所示，A是一块平面木板，在其上等间隔地开凿出一组平行的插槽(图中P0P0′、P1P1′、…)，槽间距离均为d.把覆盖复写纸的白纸铺贴在平面硬板B上．实验时依次将B板插入A板的各插槽中，每次让小球从斜轨道的同一位置由静止释放．每打完一点后，把B板插入后一槽中并同时向纸面内侧平移距离d.实验得到小球在白纸上打下的若干痕迹点，如图乙所示．
图6
(1)实验前应对实验装置反复调节，直到________．每次让小球从同一位置由静止释放，是为了________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________.
(2)每次将B板向内侧平移距离d，是为了_________________________________________
________________________________________________________________________.
(3)在图乙中绘出小球做平抛运动的轨迹．
答案 见解析
解析 本实验把小球通过的水平相等位移(即槽间距离d)，巧妙转化为题图中x轴上通过相同的位移(即向纸内侧平移距离d)，而竖直方向确定的落点为竖直位置，因而可画出平抛运动的轨迹．
(1)根据实验设计方案，实验前应对实验装置进行调节，使斜轨道末端切线水平，以保证小球飞出时的速度沿水平方向，小球做平抛运动．每次让小球从同一位置由静止释放的目的是使小球每次做平抛运动的初速度相同，轨迹相同．
(2)每次将B板向内侧平移距离d是为了保持记录纸上每两点之间的水平距离相同．
(3)如图所示(注意要用平滑的曲线连接)．
【考点】研究平抛运动的创新性实验
【题点】研究平抛运动的创新性实验
1．本实验中，把小球的平抛运动的轨迹由纸面内转换到垂直纸面的平面内．
2．B板每向右平移距离d，同时向纸面内侧平移距离d，使转换具有等效性．
1．(实验操作)(多选)在做“探究平抛运动的特点”的实验时，下列说法正确的是( )
A．安装斜槽和木板时，一定要注意木板是否竖直
B．安装斜槽和木板时，只需注意小球不和木板发生摩擦
C．每次实验都要把小球从同一位置由静止释放
D．实验的目的是描绘出小球的运动轨迹，分析平抛运动的规律
答案 ACD
解析 安装斜槽和木板时，必须使斜槽末端切线水平，使木板竖直，以确保小球水平飞出和正确画出小球的运动轨迹，A正确，B错误；小球每次从斜槽上的同一位置由静止开始滚下，可保证小球初速度不变，C正确；由实验目的可知，D正确．
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】实验操作、注意事项
2．(实验方案设计)(多选)在探究平抛运动的规律时，可以选用如图7所示的各种装置图，则以下操作合理的是( )
图7
A．选用装置图甲研究平抛物体的竖直分运动时，应该用眼睛看A、B两球是否同时落地
B．选用装置图乙并要获得稳定的细水柱显示出平抛运动的轨迹，竖直管上端A一定要低于水面
C．选用装置图丙并要获得钢球做平抛运动的轨迹，每次不一定从斜槽上同一位置由静止释放钢球
D．除上述装置外，还可以用数码照相机每秒拍摄15帧钢球做平抛运动的照片以获得平抛运动的轨迹
答案 BD
解析 小球下落的速度很快，运动时间很短，用眼睛看很难准确判断出小球落地的先后顺序，应听声音，选项A错误；竖直管的上端A应低于水面，这是因为竖直管与空气相通，A处的压强始终等于大气压强，不受瓶内水面高低的影响，因此可以得到稳定的细水柱，选项B正确；只有每次从同一位置由静止释放钢球，钢球做平抛运动的初速度才相同，选项C错误；获得钢球做平抛运动时每秒15帧的照片就等同于做平抛运动实验时在方格纸上描点的方法，同样可以获得平抛运动的轨迹，选项D正确．
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】实验原理
3．(实验操作及速度的计算)如图8所示，在“探究平抛运动的特点”的实验中，可以描绘出小球平抛运动的轨迹，实验简要步骤如下：
图8
A．让小球多次从________释放，在一张印有小方格的纸上记下小球经过的一系列位置，如图中a、b、c、d所示．
B．安装好器材，注意______________，记下平抛初位置O点和过O点的水平线与竖直线．
C．取下方格纸，以O为原点，以水平线为x轴，竖直线为y轴建立平面直角坐标系，用平滑曲线画出小球做平抛运动的轨迹．
(1)完成上述步骤，将正确的答案填在横线上．
(2)上述实验步骤的合理顺序是____________．
(3)已知图中小方格的边长L＝1.25 cm，则小球平抛的初速度为v0＝________(用L、g表示)，其值是________．(取g＝9.8 m/s2)
(4)b点的速度vb＝________.(用L、g表示)
答案 (1)同一位置静止 斜槽末端切线水平 (2)BAC (3)2 0.7 m/s (4)
解析 (1)这种方法，需让小球重复同一个平抛运动多次，才能记录出小球的一系列位置，故必须让小球每次由同一位置静止释放．斜槽末端切线水平，小球才会做平抛运动．
(3)由Δy＝gT2得相邻两点之间的时间间隔T＝，所以小球的初速度v0＝＝2，代入数据得v0＝0.7 m/s.
(4)vby＝＝，由vb＝
得vb＝＝.
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】实验操作及用未知抛出点的轨迹求初速度
一、选择题
1．利用如图1所示的装置研究平抛运动的特点，让小球多次沿同一轨迹运动，通过描点法画小球做平抛运动的轨迹，为了能较准确地描绘运动轨迹，下列说法不正确的是( )
图1
A．通过调节使斜槽的末端保持水平
B．每次释放小球的位置必须不同
C．每次必须在斜槽上的同一位置由静止释放小球
D．小球运动时不应与木板上的白纸(或坐标纸)相接触
答案 B
解析 要使小球做平抛运动，斜槽轨道末端必须水平，A正确．要使小球每次抛出的初速度相等，释放小球时必须在斜槽上同一位置由静止释放，B不正确，C正确．小球离开轨道后，仅受重力作用，不能有摩擦，D正确．
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】实验操作、注意事项
2．在“探究平抛运动的特点”的实验中，为了求小球做平抛运动的初速度，需直接测的数据有(重力加速度g已知)( )
①小球开始滚下的高度
②小球在空中飞行的时间
③运动轨迹上某点P的水平坐标
④运动轨迹上某点P的竖直坐标
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
答案 C
解析 由平抛运动规律，竖直方向y＝gt2，水平方向x＝v0t，因此v0＝x，可见只要测得轨迹上某点P的水平坐标x和竖直坐标y，就可求出初速度v0，故C项正确．
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】求平抛运动的初速度
3.如图2所示，在粗糙水平桌面上用练习本做成一个斜面，使小钢球从斜面上某一位置滚下，钢球沿桌面飞出后做平抛运动．用刻度尺测出下列哪一组数据可以求出钢球离开水平桌面时的速度(重力加速度为g)( )
图2
A．钢球在练习本上滚下的距离、钢球释放点离桌面的高度
B．水平桌面的高度、钢球落地点与桌边的水平距离
C．钢球释放点离桌面的高度、钢球在水平桌面上运动的距离
D．钢球释放点离桌面的高度、钢球落地点与桌边的水平距离
答案 B
解析 钢球沿桌面飞出后做平抛运动，根据平抛运动规律得y＝gt2，x＝v0t，联立解得v0＝x，故要求出钢球离开水平桌面时的速度，需测量水平桌面的高度y、钢球落地点与桌边的水平距离x，B项正确．
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】实验原理
4．(多选)假设我国宇航员乘坐探月卫星登上月球，如图3所示是宇航员在月球表面水平抛出小球的频闪照片的一部分．已知照片上方格的实际边长为a，频闪周期为T，据此可以得出( )
图3
A．月球上的重力加速度为
B．小球平抛的初速度为
C．照片上A点一定是平抛的起始位置
D．小球运动到D点时速度大小为
答案 BC
解析 由频闪照片可知，在竖直方向，相邻相等时间内小球位移差为2a，由Δy＝gT2可得，月球上的重力加速度g＝，选项A错误；由小球在水平方向做匀速直线运动可得3a＝v0T，解得v0＝，选项B正确；小球在抛出后第1个T时间内竖直方向位移y1＝gT2＝××T2＝a，所以照片上A点一定是平抛的起始位置，选项C正确；小球运动到D点时竖直速度vy＝g·3T＝×3T＝，水平速度为v0＝，小球运动到D点时速度大小为v＝＝，选项D错误．
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】用未知抛出点的轨迹求初速度
二、非选择题
5．如图4甲是探究平抛运动的特点的实验装置图，图乙是实验后在白纸上作的图．
图4
(1)在图甲上标出O点及Ox、Oy轴，并说明这两条坐标轴是如何作出的．
(2)固定斜槽轨道时应注意使____________________________________________________．
(3)实验过程中需经过多次释放小球才能描绘出小球平抛运动的轨迹，实验中应注意________________________________________________________________________．
(4)计算小球平抛初速度的公式v0＝________，根据图乙给出的数据，可计算出v0＝______ m/s.(g取9.8 m/s2)
答案 (1)见解析
(2)轨道末端切线沿水平方向
(3)使小球每次都从同一位置由静止释放
(4)x 1.6
解析 (1)如图所示，斜槽末端小球球心在白纸上的投影为O点，从O点开始作平行于铅垂线向下的直线为Oy轴，再垂直于Oy作Ox轴．
(2)为了保证小球离开斜槽时的速度沿水平方向，应调整斜槽使轨道末端切线沿水平方向．
(3)为了保证小球每次做平抛运动的轨迹一致，要求它的初速度相同，故每次都让小球从斜槽的同一位置由静止释放．
(4)由于x＝v0t，y＝gt2，故初速度v0＝x，根据题图乙给出的数据，可计算出v0＝1.6 m/s.
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】实验操作及用已知抛出点的轨迹求初速度
6．在做“探究平抛运动的特点”的实验中，为了确定小球在不同时刻所通过的位置，实验时用如图5所示的装置，先将斜槽轨道的末端调成水平，在一块平木板表面钉上复写纸和白纸，并将该木板竖直立于紧靠槽口处．使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞到木板并在白纸上留下痕迹A.将木板向远离槽口平移距离x，再使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞在木板上得到痕迹B.又将木板再向远离槽口平移距离x，小球再从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，再得到痕迹C.若测得木板每次移动距离x＝10.00 cm，A、B间距离y1＝4.78 cm，B、C间距离y2＝14.58 cm.g取9.8 m/s2.
图5
(1)根据以上直接测量的物理量得小球初速度v0＝________(用题中所给字母表示)．
(2)小球初速度的测量值为________m/s.
答案 (1)x (2)1
解析 由于每次移动距离x＝10.00 cm，所以小球从打A点到打B点与从打B点到打C点的时间相同，设此时间为t.由于y2－y1＝gt2，且y1＝4.78 cm、y2＝14.58 cm，g＝9.8 m/s2，所以t＝＝0.1 s，故小球初速度v0＝＝x＝1 m/s.
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】用已知抛出点的轨迹求初速度
微型专题1 平抛运动规律的应用
知识目标
核心素养
1.能熟练运用平抛运动规律解决问题.
2.会分析平抛运动与其他运动相结合的问题.
3.会分析类平抛运动.
1.通过对“与斜面有关的平抛运动”的分析，体会两种典型模型的运动分解方法.
2.用类比法分析“类平抛运动”，在知识和规律的迁移中提高逻辑思维和综合分析问题的能力.
一、平抛运动的两个重要的推论及应用
平抛运动的两个推论
(1)某时刻速度、位移与初速度方向的夹角θ、α的关系为tan θ＝2tan α.
(2)做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
例1 如图1所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(空气阻力不计)( )
图1
A．tan φ＝sin θ B．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ
答案 D
解析 物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向夹角为θ，落到斜面上时速度方向与水平方向夹角为φ，由平抛运动的推论知tan φ＝2tan θ，选项D正确．
【考点】平抛运动推论的应用
【题点】平抛运动推论的应用
二、与斜面有关的两类平抛运动
与斜面有关的平抛运动，包括两种情况：
(1)物体从空中抛出落在斜面上；
(2)物体从斜面上抛出落在斜面上．
在解答该类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度方向的关系，从而使问题得到顺利解决．
两种情况的特点及分析方法对比如下：
方法
内容
斜面
飞行时间
总结
分解速度
水平方向：vx＝v0
竖直方向：vy＝gt
特点：tan θ＝＝
t＝
分解速度，构建速度三角形
分解位移
水平方向：x＝v0t
竖直方向：y＝gt2
特点：tan θ＝＝
t＝
分解位移，构建位移三角形
例2 如图2所示，以9.8 m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的固定斜面上，这段飞行所用的时间为(不计空气阻力，g取9.8 m/s2)( )
图2
A. s B. s
C. s D．2 s
答案 C
解析 如图所示，把末速度分解成水平方向的分速度v0和竖直方向的分速度vy，则有tan 30°＝，vy＝gt，联立得t＝＝＝ s，故C正确．
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】对着斜面水平抛物问题
本题中物体垂直落到斜面上，属于知道末速度方向的题目．此类题目的分析方法一般是将物体的末速度进行分解，由速度方向确定两分速度之间的关系．
例3 如图3所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点．求：(空气阻力不计，重力加速度为g)
图3
(1)A、B间的距离及小球在空中飞行的时间；
(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？
答案 (1) (2)
解析 (1)设飞行时间为t，则水平方向位移lABcos 30°＝v0t，
竖直方向位移lABsin 30°＝gt2，
解得t＝tan 30°＝，lAB＝.
(2)方法一(常规分解)
如图所示，小球的速度方向平行于斜面时，小球离斜面的距离最大，设经过的时间为t′，则此时有tan 30°＝＝
故运动时间为t′＝＝
此时小球的水平位移为x′＝v0t′＝
又此时小球速度方向的反向延长线交横轴于处，故小球离斜面的最大距离为H＝x′sin 30°＝.
方法二(结合斜抛运动分解)
如图所示，把初速度v0、重力加速度g都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量．在垂直斜面方向上，小球做的是以v0y为初速度、gy为加速度的“竖直上抛”运动．
小球到达离斜面最远处时，速度vy＝0，
由vy＝v0y－gyt′可得
t′＝＝＝tan 30°＝
小球离斜面的最大距离y＝＝＝.
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】从斜面顶端水平抛物问题
1．物体从斜面抛出后又落到斜面上，属已知位移方向的题目，此类题的解题方法一般是把位移分解，由位移方向确定两分位移的关系．
2．从斜面上开始又落于斜面上的过程中，速度方向与斜面平行时，物体到斜面的距离最大，此时已知速度方向，需将速度进行分解．
针对训练 两相同高度的固定斜面倾角分别为30°、60°，两小球分别由斜面顶端以相同水平速率v抛出，如图4所示，不计空气阻力，假设两球都能落在斜面上，则分别向左、右两侧抛出的小球下落高度之比为( )
图4
A．1∶2 B．3∶1
C．1∶9 D．9∶1
答案 C
解析 根据平抛运动的规律以及落在斜面上的特点可知，x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝，分别将30°、60°代入可得左右两球平抛所经历的时间之比为1∶3，两球下落高度之比为1∶9，选项C正确．
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】从斜面顶端水平抛物问题
三、类平抛运动
类平抛运动是指物体做曲线运动，其运动可以分解为互相垂直的两个方向的分运动：一个方向做匀速直线运动，另一个方向是在恒定合外力作用下的初速度为零的匀加速直线运动．
(1)类平抛运动的受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直．
(2)类平抛运动的运动规律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t.
合外力方向上：a＝，vy＝at，y＝at2.
例4 如图5所示的光滑固定斜面长为l、宽为b、倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：(重力加速度为g，不计空气阻力)
图5
(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
(2)物块由P点水平射入时的初速度大小v0；
(3)物块离开Q点时速度的大小v.
答案 (1) (2)b (3)
解析 (1)沿斜面向下的方向有mgsin θ＝ma，l＝at2
联立解得t＝.
(2)沿水平方向有b＝v0t
v0＝＝b .
(3)物块离开Q点时的速度大小
v＝＝.
【考点】类平抛物体的运动
【题点】类平抛物体的运动
1．(平抛运动规律的推论)如图6所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则( )
图6
A．当v1>v2时，α1>α2
B．当v1>v2时，α1<α2
C．无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D．α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
答案 C
解析 小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝＝＝，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值tan β＝＝，故可得tan β＝2tan θ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向的夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是β，故速度方向与斜面的夹角就总是相等，与v1、v2的关系无关，C选项正确．
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】从斜面顶端水平抛物问题
2．(类平抛运动)A、B两个质点以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1.B沿光滑斜面运动，落地点为P2，不计阻力，如图7所示，下列关于P1、P2在x轴方向上远近关系的判断正确的是( )
图7
A．P1较远 B．P2较远
C．P1、P2一样远 D．A、B两项都有可能
答案 B
解析 A质点水平抛出后，只受重力，做平抛运动，在竖直方向有h＝gt12.B质点水平抛出后，受重力和支持力，在斜面平面内所受合力为mgsin θ，大小恒定且与初速度方向垂直，所以B质点做类平抛运动．在沿斜面向下方向上＝gsin θ·t22，由此得t2＞t1，由于二者在水平方向(x轴方向)上都做速度为v0的匀速运动，由x＝v0t知x2＞x1.
【考点】类平抛物体的运动
【题点】类平抛物体的运动
3．(与斜面有关的平抛运动)如图8所示，运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上(未画出)获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆．设一位运动员由斜坡顶的A点沿水平方向飞出的速度v0＝20 m/s，落点在斜坡底的B点，斜坡倾角θ＝37°，斜坡可以看成一斜面，不计空气阻力．(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
图8
(1)运动员在空中飞行的时间t；
(2)A、B间的距离s.
答案 (1)3 s (2)75 m
解析 (1)运动员由A点到B点做平抛运动，则水平方向的位移x＝v0t
竖直方向的位移y＝gt2
又＝tan θ，联立得t＝＝3 s.
(2)由题意知sin θ＝＝
得A、B间的距离s＝＝75 m.
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】从斜面顶端水平抛物问题
4．(与斜面有关的平抛运动)如图9所示，小球以15 m/s的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上．不计空气阻力，在这一过程中，求：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
图9
(1)小球在空中的飞行时间；
(2)抛出点距撞击点的竖直高度．
答案 (1)2 s (2)20 m
解析 (1)将小球垂直撞在斜面上时的速度分解，如图所示．
由图可知θ＝37°，
tan θ＝，则t＝＝2 s.
(2)h＝gt2＝×10×22 m＝20 m.
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】对着斜面水平抛物问题
一、选择题
考点一 平抛运动推论的应用
1．如图1所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
图1
A．小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
答案 D
解析 速度、位移分解如图所示，vy＝gt，v0＝＝，故A错．设位移方向与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α，α≠，故B错．平抛运动的落地时间由下落高度决定，与水平初速度无关，故C错．由tan θ＝知，v0增大，则θ减小，D正确．
【考点】平抛运动推论的应用
【题点】平抛运动推论的应用
2．某军区某旅展开的实兵实弹演练中，某火箭炮在山坡上发射炮弹，所有炮弹均落在山坡上，炮弹轨迹简化为平抛运动，如图2所示，则下列选项说法正确的是( )
图2
A．若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上速度方向与斜面夹角不变
B．若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上速度方向与斜面夹角变小
C．若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面夹角变大
D．若将炮弹初速度减为，炮弹位移变为原来的
答案 A
解析 因为炮弹落在斜面上的位移方向不变，所以落在斜面上的速度方向不变，B、C项错误，A项正确．由tan θ＝得：t＝，而h＝gt2，故h∝v02，若将炮弹初速度减为，则炮弹下落高度变为原来的，位移也变为原来的，D项错误．
【考点】平抛运动推论的应用
【题点】平抛运动推论的应用
考点二 与斜面有关的平抛运动
3.如图3所示，在斜面顶端先后水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，从抛出到落至斜面上(忽略空气阻力)( )
图3
A．两次小球运动时间之比t1∶t2＝1∶
B．两次小球运动时间之比t1∶t2＝1∶2
C．两次小球抛出时初速度之比v01∶v02＝1∶2
D．两次小球抛出时初速度之比v01∶v02＝1∶4
答案 A
解析 平抛运动竖直方向为自由落体运动，h＝gt2，由题意可知两次平抛的竖直位移之比为1∶2，所以运动时间之比为t1∶t2＝1∶，A对，B错；水平方向为匀速直线运动，由题意知水平位移之比为1∶2，即v01t1∶v02t2＝1∶2，所以两次抛出时的初速度之比v01∶v02＝1∶，选项C、D错．
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】从斜面顶端水平抛物问题
4．如图4所示，从斜面上的A点以速度v0水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上的B点，已知＝75 m，α＝37°，不计空气阻力，g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )
图4
A．物体的位移大小为60 m
B．物体飞行的时间为6 s
C．物体的初速度v0大小为20 m/s
D．物体在B点的速度大小为30 m/s
答案 C
解析 物体的位移等于初、末位置的距离，位移大小s＝＝75 m，A错误．平抛运动的竖直位移h＝sin α＝75×0.6 m＝45 m，根据h＝gt2得，物体飞行的时间t＝＝ s＝3 s，B错误．物体的初速度v0＝＝ m/s＝20 m/s，C正确．物体落到B点的竖直分速度vBy＝gt＝10×3 m/s＝30 m/s，根据平行四边形定则知，物体落在B点的速度vB＝＝ m/s＝10 m/s，D错误．
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】从斜面顶端水平抛物问题
5．在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
答案 A
解析 如图所示，可知：
x＝vt，
xtan θ＝gt2，
则x＝·v2，即x∝v2，
vy＝gt＝2tan θ·v
甲、乙两球抛出速度为v和，则相应水平位移之比为4∶1，由相似三角形知，下落高度之比也为4∶1，由自由落体运动规律得，落在斜面上竖直方向速度之比为2∶1，则可得落至斜面时速率之比为2∶1.
6.斜面上有P、R、S、T四个点，如图5所示，PR＝RS＝ST，从P点正上方的Q点以速度v水平抛出一个物体，物体落于R点，若从Q点以速度2v水平抛出一个物体，不计空气阻力，则物体落在斜面上的( )
图5
A．R与S间的某一点
B．S点
C．S与T间的某一点
D．T点
答案 A
解析 平抛运动的时间由下落的高度决定，下落的高度越高，运动时间越长．如果没有斜面，增大水平抛出速度后物体下落至与R等高时恰位于S点的正下方，但实际当中斜面阻碍了物体的下落，物体会落在R与S点之间斜面上的某个位置，A项正确．
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】对着斜面水平抛物问题
7．如图6所示，B点位于斜面底端M点的正上方，并与斜面顶端A点等高，且高度为h，在A、B两点分别以速度va和vb沿水平方向抛出两个小球a、b(可视为质点)，若a球落到M点的同时，b球恰好落到斜面的中点N，不计空气阻力，重力加速度为g，则( )
图6
A．va＝vb
B．va＝vb
C．a、b两球同时抛出
D．a球比b球提前抛出的时间为(－1)
答案 B
解析 据题意，由于a球落到斜面底端M点时b球落到斜面中点，则可知a球的水平位移和竖直位移都是b球的两倍，即xa＝2xb，ha＝2hb，由h＝gt2和x＝vt得v＝x，故＝，va＝vb，故选项A错误，选项B正确；由于抛出时两球所在的高度相同，下落高度不同，如果同时抛出，b球应该先到达斜面中点，故选项C错误；a球的运动时间为：ta＝，b球的运动时间为：tb＝，a球先运动，Δt＝ta－tb＝(－1)，故选项D错误．
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】对着斜面水平抛物问题
考点三 平抛运动规律的综合应用
8．如图7所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道．已知重力加速度为g，则A、B之间的水平距离为( )
图7
A. B.
C. D.
答案 A
解析 如图所示，对在B点时的速度进行分解，小球运动的时间t＝＝，则A、B间的水平距离x＝v0t＝，故A正确，B、C、D错误．
【考点】平抛运动规律的综合应用
【题点】平抛运动和圆的结合
9．如图8所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，O为圆心，AB为沿水平方向的直径．若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中坑壁上的最低点D点；而在C点以初速度v2沿BA方向平抛的小球也能击中D点．已知∠COD＝60°，则两小球初速度大小之比为(小球视为质点，空气阻力不计)( )
图8
A．1∶2 B．1∶3
C.∶2 D.∶3
答案 D
解析 小球从A点平抛击中D点：R＝v1t1，R＝gt12；小球从C点平抛击中D点：Rsin 60°＝v2t2，R(1－cos 60°)＝gt22，联立解得＝，D正确．
【考点】平抛运动规律的综合应用
【题点】平抛运动和圆的结合
10．(多选)如图9所示，从半径为R＝1 m的半圆AB上的A点水平抛出一个可视为质点的小球，经t＝0.4 s小球落到半圆上，已知当地的重力加速度g＝10 m/s2，则小球的初速度v0可能为( )
图9
A．1 m/s B．2 m/s
C．3 m/s D．4 m/s
答案 AD
解析 由于小球经0.4 s落到半圆上，下落的高度h＝gt2＝0.8 m，位置可能有两处，如图所示，第一种可能：小球落在半圆左侧，v0t＝R－＝0.4 m，v0＝1 m/s，第二种可能：小球落在半圆右侧，v0′t＝R＋＝1.6 m，v0′＝4 m/s，选项A、D正确．
【考点】平抛运动规律的应用
【题点】平抛运动规律的应用
二、非选择题
11．(平抛运动规律的综合应用)如图10所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在平台前一倾角为α＝53°的固定斜面顶端并刚好沿斜面下滑，已知平台到斜面顶端的高度为h＝0.8 m，不计空气阻力，g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：
图10
(1)小球水平抛出的初速度大小v0；
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x.
答案 (1)3 m/s (2)1.2 m
解析 小球从平台运动到斜面顶端的过程中做平抛运动，由平抛运动规律有：x＝v0t，h＝gt2，vy＝gt
由题图可知：tan α＝＝
代入数据解得：v0＝3 m/s，x＝1.2 m.
【考点】平抛运动规律的综合应用
【题点】平抛运动规律的综合应用
12．(与斜面有关的平抛运动)如图11所示，在倾角为37°的斜面上从A点以6 m/s的初速度水平抛出一个小球，小球落在B点，求：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力)
图11
(1)A、B两点间的距离和小球在空中飞行的时间；
(2)小球刚碰到斜面时的速度方向与水平方向夹角的正切值．
答案 (1)6.75 m 0.9 s (2)
解析 (1)如图所示，设小球落到B点时速度的偏转角为α，运动时间为t.
则tan 37°＝＝＝t
又因为tan 37°＝，解得t＝0.9 s
所以x＝v0t＝5.4 m
则A、B两点间的距离s＝＝6.75 m.
(2)在B点时，tan α＝＝＝.
13．(与斜面有关的平抛运动)如图12所示，一个小球从高h＝10 m处以水平速度v0＝10 m/s抛出，撞在倾角θ＝45°的斜面上的P点，已知＝5 m．g＝10 m/s2，不计空气阻力，求：
图12
(1)P、C之间的距离；
(2)小球撞击P点时速度的大小和方向．
答案 (1)5 m (2)10 m/s 方向垂直于斜面向下
解析 (1)设P、C之间的距离为L，根据平抛运动规律有＋Lcos θ＝v0t，h－Lsin θ＝gt2
联立解得L＝5 m，t＝1 s.
(2)小球撞击P点时的水平速度v0＝10 m/s
竖直速度vy＝gt＝10 m/s
所以小球撞击P点时速度的大小v＝＝10 m/s
设小球撞击P点时的速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝1
解得α＝45°
故小球撞击P点时速度方向垂直于斜面向下．
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】对着斜面水平抛物问题
14．(平抛运动规律的综合应用)如图13所示，斜面体ABC固定在地面上，小球p从A点由静止下滑．当小球p开始下滑时，另一小球q从A点正上方的D点水平抛出，两球同时到达斜面底端的B处．已知斜面AB光滑，长度l＝2.5 m，斜面倾角θ＝30°.不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
图13
(1)小球p从A点滑到B点的时间；
(2)小球q抛出时初速度的大小．
答案 (1)1 s (2) m/s
解析 (1)设小球p从斜面上下滑的加速度为a，由牛顿第二定律得：a＝＝gsin θ①
设下滑所需时间为t1，根据运动学公式得
l＝at12②
由①②得
t1＝③
解得t1＝1 s④
(2)对小球q：水平方向位移x＝lcos θ＝v0t2⑤
依题意得t2＝t1⑥
由④⑤⑥得
v0＝＝ m/s.
【考点】平抛运动和直线运动的物体相遇问题
【题点】平抛运动和直线运动的物体相遇问题
第一章 抛体运动
章末总结
第一节 什么是抛体运动
知识目标
核心素养
1.知道什么是抛体运动.
2.知道曲线运动的速度方向，理解曲线运动的性质.
3.知道物体做直线或曲线运动的条件，会确定轨迹弯曲方向与受力方向的关系.
1.通过对抛体运动的认识，知道曲线运动的性质及特点.
2.对比分析曲线运动与直线运动的区别，体会力对运动性质的影响.
3.通过对物体做曲线运动的条件分析，提高对物理现象分析总结的能力.
一、抛体运动
1．定义：将物体以一定的初速度向空中抛出，仅在重力作用下所做的运动叫做抛体运动．
2．做抛体运动的条件：(1)有一定的初速度；(2)只受重力．
3．运动性质：由于物体只受重力作用，物体的加速度a＝g，故抛体运动是匀变速运动．
二、曲线运动的速度方向
1．速度方向：在曲线运动中，质点在某一时刻(或某一位置)的速度方向就是曲线上这点的切线方向．
2．曲线运动的性质：曲线运动的速度方向时刻在改变，曲线运动是一种变速运动．
3．曲线运动的分类
匀变速曲线运动：加速度恒定．
非匀变速曲线运动：加速度变化．
三、物体做直线或曲线运动的条件
1．物体做直线运动的条件：物体所受合力(加速度)的方向与速度方向在同一直线上．
2．物体做曲线运动的条件：物体所受合力(加速度)的方向与速度方向不在同一直线上．这包含三个层次的内容：
(1)初速度不为零；
(2)合力不为零(填“为零”或“不为零”)；
(3)合力与速度方向不共线．
3．曲线运动的轨迹特点
做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切且向合力方向弯曲，而且处在速度方向与合力方向构成的夹角之间(如图1所示)．即合力指向曲线的凹侧．
图1
1．判断下列说法的正误．
(1)做抛体运动的物体，速度可能不变．(×)
(2)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动．(√)
(3)物体的速度不断改变，它一定做曲线运动．(×)
(4)做曲线运动物体的位移大小可能与路程相等．(×)
(5)做曲线运动物体所受的合力一定是变力．(×)
(6)做曲线运动物体的加速度一定不为零．(√)
2．小文同学在探究物体做曲线运动的条件时，将一条形磁铁放在桌面的不同位置，让小钢珠在水平桌面上从同一位置以相同初速度v0运动，得到不同轨迹．图2中a、b、c、d为其中四条运动轨迹，磁铁放在位置A时，小钢珠的运动轨迹是__________(填轨迹字母代号)，磁铁放在位置B时，小钢珠的运动轨迹是__________(填轨迹字母代号)．实验表明，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向__________(选填“在”或“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动．
图2
答案 b c 不在
解析 因为磁铁对小钢珠只能提供引力，磁铁在A处时，F与v0同向，小钢珠做变加速直线运动，运动轨迹为b；当磁铁放在B处时，F与v0不在同一直线上，引力指向曲线的凹侧，运动轨迹为c.当合外力方向与速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动.
一、曲线运动的速度方向、抛体运动特点
1.如图3所示，砂轮上打磨下来的炽热的微粒沿砂轮的切线飞出，其速度方向不断变化，那么如何确定物体在某一点的速度方向？
图3
答案 从题图可以看出，从砂轮上打磨下来的炽热微粒沿脱落点的切线方向飞出，所以物体在某一点的速度方向沿曲线在这一点的切线方向．
2．曲线运动一定是变速运动吗？
答案 由于曲线运动的速度方向时刻在变化，不论其速度大小是否变化，其速度一定变化，因此曲线运动一定是变速运动．
3．曲线运动可能是匀变速运动吗？
答案 曲线运动是否是匀变速运动取决于物体所受的合外力．合外力为恒力，物体做匀变速曲线运动；合外力为变力，物体做非匀变速曲线运动．
4．物体做曲线运动时，加速度可以为零吗？为什么？
答案 不可以．物体做曲线运动时，速度不断变化，所以加速度一定不为零．
1．曲线运动的速度方向
做曲线运动的物体的速度方向在其轨迹的各点的切线方向上，物体的速度方向时刻发生变化．
2．抛体运动的理解
(1)抛体运动特点
①具有初速度，初速度的方向可以不确定．
②只受重力作用．当物体所受空气阻力与重力相比可忽略不计时，抛出物体的运动可视为抛体运动．
(2)运动性质：由于物体只受重力作用，抛出物体的加速度a＝g恒定，因此抛体运动一定是匀变速运动．
(3)轨迹：直线或曲线
①当物体的初速度方向竖直向上或向下时，物体做匀变速直线运动．
②当物体的初速度方向不在竖直方向上时，物体做匀变速曲线运动，并且抛体运动的轨迹总是向下弯曲的．
(4)抛体运动的几种形式(如图4所示)
图4
例1 下列关于抛体运动的说法正确的是( )
A．做抛体运动的物体，只有当做直线运动时才为匀变速运动
B．做抛体运动的物体，只有做曲线运动时速度才发生变化
C．物体无论做怎样的抛体运动，一定做匀变速运动
D．将物体沿某一倾斜方向抛出时，运动不一定是匀变速运动
答案 C
解析 做抛体运动的物体，由于只受重力作用，加速度恒为重力加速度，因此抛体运动不论其轨迹是直线还是曲线，均为匀变速运动，速度一定发生变化，故A、B、D错，C正确．
例2 如图5所示，物体沿曲线由a点运动至b点，关于物体在ab段的运动，下列说法正确的是( )
图5
A．物体的速度可能不变
B．物体的速度不可能均匀变化
C．a点的速度方向由a指向b
D．ab段的位移大小一定小于路程
答案 D
解析 做曲线运动的物体的速度方向时刻改变，即使速度大小不变，速度方向也在不断发生变化，故A项错误；做曲线运动的物体必定受到力的作用，当物体所受到的合力为恒力时，物体的加速度恒定，速度均匀变化，B项错误；a点的速度方向沿a点的切线方向，C项错误；做曲线运动的物体的位移大小必小于路程，D项正确．
1．曲线运动的速度方向发生变化，速度大小不一定变化，如旋转的砂轮、风扇，旋转稳定后，轮边缘上各点的速度大小不变．
2．做曲线运动的物体所受合外力一定不为零．因为曲线运动是变速运动，所以加速度不为零，物体受到的合外力不为零．
二、物体做曲线运动的条件
1．图6甲是抛出的石子在空中划出的弧线，图乙是某卫星绕地球运行的部分轨迹．请画出物体在A、B、C、D四点的受力方向和速度方向．
图6
答案 各点受力方向和速度方向如图所示
2．用一块磁铁，如何使小钢球做以下运动：①加速直线运动；②减速直线运动；③曲线运动．
答案 ①把磁铁放置在小钢球运动方向的正前方；②把磁铁放置在小钢球运动方向的正后方；③把磁铁放置在小钢球运动方向的某一侧．
3．物体做曲线运动的条件是什么？
答案 所受合力方向与速度方向不共线．
1．物体做曲线运动的条件
当物体受到的合力的方向与其速度方向不共线时，物体将做曲线运动，与其受到的合力大小是否变化无关．
2．物体运动性质的判断
(1)直线或曲线的判断
看合外力方向(或加速度的方向)和速度方向是否在一条直线上．
(2)匀变速或非匀变速的判断
合外力为恒力，匀变速运动；合外力为变力，非匀变速运动．
(3)运动的五种类型
轨迹特点
加速度特点
运动性质
直线
加速度为零
匀速直线运动
加速度不变
匀变速直线运动
加速度变化
非匀变速直线运动
曲线
加速度不变
匀变速曲线运动
加速度变化
非匀变速曲线运动
例3 曲线运动是自然界普遍的运动形式，下面关于曲线运动的说法中，正确的是( )
A．物体只要受到变力的作用，就会做曲线运动
B．物体在恒定的合外力作用下一定会做直线运动
C．物体在方向不断变化的合外力作用下一定会做曲线运动
D．物体在大小不变的合外力作用下必做匀变速曲线运动
答案 C
解析 当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动，A、B错误．物体所受的合外力方向不断变化，表明合外力不会与速度始终共线，故在该合外力作用下物体一定会做曲线运动，C正确．做匀变速曲线运动物体所受的合外力恒定不变，而不只是合外力大小不变，D错误．
【考点】曲线运动的条件
【题点】物体做曲线运动的条件
物体做曲线运动时，关于受力(加速度)的“一定”与“不一定”
1．“一定”：物体受到的合外力(加速度)一定不为零；物体所受合外力(加速度)的方向与其速度方向一定不在同一条直线上．
2．“不一定”：物体受到的合外力(加速度)不一定变化，即物体受到的合外力可以是恒力，也可以是变力．
三、合力方向与曲线运动轨迹及弯曲方向的关系
由于曲线运动的速度方向总是变化，合力不为零．合力垂直于速度方向的分力改变速度的方向，所以合外力总指向运动轨迹的凹侧，即曲线运动的轨迹总偏向合外力所指的一侧．
例4 汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶．图中分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，你认为正确的是( )
答案 D
解析 A选项中合力的方向与速度方向相同，B选项中合力的方向与速度方向相反，这两种情况下汽车会做直线运动，不符合实际，A、B错误；物体做曲线运动时，合力的方向指向运动轨迹的凹侧，故C错误，D正确．
【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系
【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹
针对训练 如图7所示为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在B点时的速度与加速度相互垂直，质点运动方向从A到E，则下列说法中正确的是( )
图7
A．在D点的速率比在C点的速率大
B．A点的加速度与速度的夹角小于90°
C．A点的加速度比D点的加速度大
D．从A到D加速度与速度的夹角先增大后减小
答案 A
解析 质点做匀变速曲线运动，合力的大小、方向均不变，加速度不变，故C错误；由B点速度与加速度相互垂直可知，质点所受合力方向与B点切线垂直且向下，故质点由C到D过程，合力方向与速度方向的夹角小于90°，速率增大，A正确；在A点的加速度方向与质点在A点的速度方向之间的夹角大于90°，B错误；从A到D加速度与速度的夹角一直变小，D错误．
【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系
【题点】曲线运动中速度大小的判断
1．(抛体运动的理解)关于抛体运动，下列说法中正确的是( )
A．将物体向空中抛出，物体就做抛体运动
B．物体只在重力作用下的运动就是抛体运动
C．在匀速直线飞行的飞机上跳下的伞兵，做抛体运动
D．物体有一定的初速度，仅在重力作用下的运动为抛体运动
答案 D
解析 将物体向空中抛出，若物体还受到空气的阻力，物体就不做抛体运动，故A错误；物体只在重力作用下的运动，若初速度为0，物体做自由落体运动，不是抛体运动，故B错误；伞兵在降落伞张开前后，空气阻力的作用都不能忽略，故伞兵不做抛体运动，C错误．
2．(曲线运动的速度方向)从高处水平抛出的物体在各个时刻的速度、加速度方向如图所示，其中正确的是( )
答案 C
解析 物体在飞行过程中只受重力，方向竖直向下，所以加速度的方向竖直向下，B、D图错；在曲线运动中，速度的方向时刻改变，而A图中速度的方向保持不变，A图错；C图中速度和加速度的方向都正确，应选C.
3．(曲线运动的受力、速度与轨迹的关系)(多选)如图8所示，一个质点沿轨道ABCD运动，图中画出了质点在各处的速度v和质点所受合力F的方向，其中可能正确的是( )
图8
A．A位置 B．B位置
C．C位置 D．D位置
答案 BD
【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系
【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹
4．(曲线运动的受力、速度与轨迹的关系)在光滑水平面上以速度v做匀速直线运动的小球，受到一个跟它的速度方向不在同一直线上的水平恒力F的作用后，获得加速度a.下列各图中，能正确反映v、F、a及小球运动轨迹(虚线)之间的关系的是( )
答案 C
解析 小球做匀速直线运动时，受力平衡，突然受到一个与运动方向不在同一直线上的恒力作用时，合外力方向与速度方向不在同一直线上，所以小球一定做曲线运动且合外力的方向指向运动轨迹的凹侧，根据牛顿第二定律可知，加速度方向与合外力方向相同，故C正确．
【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系
【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹
5．(物体运动性质的判断)(多选)在光滑水平面上有一质量为2 kg的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动．现突然将与速度反方向的2 N的力水平旋转90°，则关于物体运动情况的叙述正确的是( )
A．物体做速度大小不变的曲线运动
B．物体做加速度为 m/s2的匀变速曲线运动
C．物体做速度越来越大的曲线运动
D．物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大
答案 BC
解析 物体原来所受合外力为零，当将与速度反方向的2 N的力水平旋转90°后，其受力如图所示，
其中Fx＝Fy＝2 N，F是Fx、Fy的合力，即F＝2 N，且大小、方向都不变，是恒力，物体的加速度为a＝＝ m/s2＝ m/s2，恒定．又因为F与v的夹角θ<90°，所以物体做速度越来越大、加速度恒为 m/s2的匀变速曲线运动，故B、C正确．
【考点】曲线运动的条件
【题点】由曲线运动的条件判断曲线运动的性质
考点一 抛体运动的理解
1．下列运动属于抛体运动且轨迹是直线的是( )
A．水平射出的子弹
B．竖直向上抛出的石块
C．火箭的加速升空过程
D．宇宙飞船的返回舱安全软着陆过程
答案 B
解析 水平射出的子弹所受重力竖直向下，是曲线运动，A错；竖直向上抛出的石块，初速度与重力在一条直线上，运动轨迹是直线，B正确；火箭加速升空的过程中，受重力和竖直向上的推力，它的运动不属于抛体运动，C错；宇宙飞船的返回舱软着陆过程受重力和竖直向上的阻力作用，不属于抛体运动，故D错．
考点二 曲线运动的基本特点
2．质点在某一平面内沿曲线由P运动到Q，如果用v、a、F分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合外力．则下列选项中可能正确的是( )
答案 D
解析 质点做曲线运动时，在某点的速度方向沿曲线上该点的切线方向，选项A错误；质点所受合外力和加速度的方向指向运动轨迹的凹侧，选项B、C错误，D正确．
【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系
【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹
3．如图1所示，篮球沿优美的弧线穿过篮筐，图中能正确表示篮球在相应点速度方向的是( )
图1
A．v1 B．v2
C．v3 D．v4
答案 C
【考点】曲线运动的基本特点
【题点】曲线运动的轨迹和速度方向
4．关于曲线运动，下列说法中正确的是( )
A．做曲线运动的物体，在一段时间内运动的路程可能为零
B．曲线运动一定是匀速运动
C．在平衡力作用下，物体可以做曲线运动
D．在恒力作用下，物体可以做曲线运动
答案 D
解析 做曲线运动的物体，在一段时间内可能回到出发点，位移可能为零，但路程不为零，A错误；曲线运动的速度方向一定变化，所以一定是变速运动，B错误；由牛顿第一定律可知，在平衡力作用下，物体一定做匀速直线运动或处于静止状态，C错误；不论是否为恒力，只要物体受力方向与物体速度方向不共线，物体就做曲线运动，D正确．
【考点】曲线运动的基本特点
【题点】曲线运动的基本特点
5．做曲线运动的物体在运动过程中，下列说法正确的是( )
A．速度大小一定改变
B．加速度大小一定改变
C．速度方向一定改变
D．加速度方向一定改变
答案 C
解析 曲线运动中某点的速度方向沿轨迹在该点的切线方向，故曲线运动中速度方向一定改变，速度大小可以不变，A错误，C正确．曲线运动的加速度不一定变化，故B、D错误．
【考点】曲线运动的基本特点
【题点】曲线运动的基本特点
考点三 物体做曲线运动的条件
6．一个钢球在水平桌面上做直线运动，在其经过的路径旁放一块磁铁，则钢球的运动路径就发生改变，如图2所示，由此可知( )
图2
A．当物体受到合外力作用时，其运动方向一定发生改变
B．当物体受到合外力作用时，其惯性就消失了
C．当物体所受合力的方向与初速度方向不共线时，其运动方向发生改变
D．当物体所受合力的方向与初速度方向垂直时，其运动方向才发生改变
答案 C
解析 当物体受到合外力作用时，运动状态一定会发生变化，可能是速度的大小变化，也可能是速度的方向变化，故选项A错误；物体的惯性与受力情况和运动状态无关，故选项B错误；当物体所受合力的方向与初速度方向不共线(并不一定垂直)时，物体就做曲线运动，即运动方向要发生变化，故选项C正确，D错误．
【考点】曲线运动的条件
【题点】物体做曲线运动的条件
7．一个做匀速直线运动的物体突然受到一个与运动方向不在同一条直线上的恒力作用时，则物体( )
A．继续做直线运动
B．一定做曲线运动
C．可能做直线运动，也可能做曲线运动
D．运动的形式不能确定
答案 B
解析 当合外力方向与速度方向不在同一条直线上时，物体必做曲线运动，故选项B正确．
【考点】曲线运动的条件
【题点】物体做曲线运动的条件
考点四 曲线运动中力的方向、速度方向与轨迹的关系
8．若已知物体运动的初速度v0的方向及它受到的恒定的合力F的方向，如图所示．则可能的轨迹是( )
答案 B
解析 物体做曲线运动时，速度沿曲线的切线方向，合力方向和速度方向不共线，且指向曲线凹的一侧，则运动轨迹在合力与速度方向之间，且向合力的方向弯曲．
【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系
【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹
9．如图3所示，高速摄像机记录了一名擅长飞牌、射牌的魔术师的发牌过程，虚线是飞出的扑克牌的轨迹，则扑克牌所受合外力F与速度v关系正确的是( )
图3
答案 A
10．一运动物体经过P点时，其速度v与合力F的方向不在同一直线上，当物体运动到Q点时，突然使合力的方向与速度方向相同直至物体运动经过M点，若用虚线表示物体的运动轨迹，则下列图中可能正确的是(其中C、D选项中的QM段均是直线)( )
答案 C
解析 经过P点时，其速度v与合力F的方向不在同一直线上，物体做曲线运动，合力应指向运动轨迹的凹侧，当合力方向与速度方向相同时，物体做直线运动，所以从Q到M做直线运动，故C正确．
【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系
【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹
11．如图4所示，双人滑冰运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN.vM与vN正好成90°角，则此过程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的( )
图4
A．F1 B．F2
C．F3 D．F4
答案 B
【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系
【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹
12．“歼－20”是我国自主研发的一款新型隐形战机，图5中曲线是某次“歼－20”离开跑道加速起飞的轨迹，虚直线是曲线上过飞机所在位置的切线，则空气对飞机作用力的方向可能是( )
图5
A．沿F1方向
B．沿F2方向
C．沿F3方向
D．沿F4方向
答案 C
解析 飞机向上加速，空气作用力与重力的合力应指向曲线的凹侧，同时由于飞机加速起飞，故空气对飞机的作用力与速度的夹角应为锐角，故只有F3符合题意．
【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系
【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹
13.一个物体在光滑水平面上以初速度v0做曲线运动，已知在此过程中物体只受一个恒力F作用，运动轨迹如图6所示．则由M到N的过程中，物体的速度大小将( )
图6
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
答案 D
解析 判断做曲线运动的物体速度大小的变化情况时，应从下列关系入手：当物体所受合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动的速率增大；当物体所受合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率减小；当物体所受合外力方向与速度方向的夹角始终为直角时，物体做曲线运动的速率不变．在本题中，合力F的方向与速度方向的夹角先为钝角，后为锐角，故D选项正确．
14.如图7所示，物体在恒力F作用下沿曲线A运动到B，这时突然使它所受力反向，大小不变，即由F变为－F，在此力作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是( )
图7
A．物体可能沿曲线Ba运动
B．物体可能沿直线Bb运动
C．物体可能沿曲线Bc运动
D．物体可能沿原曲线由B返回A
答案 C
解析 根据曲线运动特点可知，AB曲线向下弯曲，说明力F沿某一方向指向AB弯曲的内侧；若换成－F，其方向指向外侧，故曲线要向上弯曲，物体可能沿曲线Bc运动，C正确．
考点五 物体运动性质的判断
15．(多选)关于物体的运动，以下说法中正确的是( )
A．物体在恒力作用下，一定做直线运动
B．物体若受到与速度方向不在一条直线上的合外力作用，一定做曲线运动
C．物体在变力作用下，一定做曲线运动
D．物体在变力作用下，可能做直线运动
答案 BD
解析 物体受到恒力作用，若恒力的方向与运动的方向不共线，则做曲线运动，所以A错误；物体受到的合外力与速度方向不在一条直线上，则物体一定做曲线运动，所以B正确；物体受到变力作用，若变力的方向与速度的方向共线，则做直线运动，若不共线，则做曲线运动，所以C错误，D正确．
【考点】曲线运动的条件
【题点】由曲线运动的条件判断物体运动的性质
16．(多选)质点在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去F1，保持其他力不变，则质点( )
A．一定做匀变速运动
B．一定做直线运动
C．一定做非匀变速运动
D．可能做曲线运动
答案 AD
解析 质点在恒力作用下产生恒定的加速度，加速度恒定的运动一定是匀变速运动．由题意可知，当突然撤去F1时，质点受到的合力大小等于F1的大小，方向与F1相反，故选项A正确，选项C错误；在撤去F1之前，质点保持平衡，有两种可能：一是质点处于静止状态，则撤去F1后，质点做匀变速直线运动；二是质点处于匀速直线运动状态，则撤去F1后，质点可能做直线运动(条件：F1的方向和速度方向在同一条直线上)，也可能做曲线运动(条件：F1的方向和速度方向不在同一条直线上)，故选项B错误，选项D正确．
第三节 竖直方向的抛体运动
知识目标
核心素养
1.理解竖直上抛运动和竖直下抛运动的规律，并能利用所学规律解决相关问题.
2.能用运动的合成与分解的方法研究竖直上抛运动和竖直下抛运动.
3.会用分段法和整体法研究竖直上抛运动.
1.通过对竖直上抛运动和竖直下抛运动的分析，进一步掌握匀变速直线运动的特点.
2.能用合成和分解的思想分析两种运动，体会竖直上抛运动的对称性.
一、竖直下抛运动
1．定义：把物体以一定的初速度v0沿着竖直方向向下抛出，仅在重力作用下物体所做的运动．
2．性质：初速度不为零，加速度a＝g的匀加速直线运动．
3．规律
(1)速度公式：vt＝v0＋gt.
(2)位移公式：s＝v0t＋gt2.
(3)位移、速度与加速度的关系v－v＝2gs.
二、竖直上抛运动
1．定义：把物体以一定的初速度v0沿着竖直方向向上抛出，仅在重力作用下物体所做的运动．
2．性质：初速度向上，加速度a＝g的匀变速直线运动．
3．研究方法
分段法具有对称性．
4．规律
(1)速度公式
(2)位移公式
(3)上升到最高点，所用时间t＝.
(4)上升的最大高度：h＝.
1．判断下列说法的正误．
(1)从正在上升的热气球上脱落的物体做自由落体运动．(×)
(2)物体做竖直上抛运动时，上升过程中速度、加速度都在减小．(×)
(3)下抛时要给物体一定的作用力，因此竖直下抛运动的加速度大于重力加速度．(×)
2．质量为2 kg的物体以10 m/s的初速度从距离地面15 m处竖直下抛，g取10 m/s2，则物体经过________ s到达地面，物体到达地面的速度为________ m/s.
答案 1 20
解析 根据s＝v0t＋gt2可知t＝1 s，
由vt＝v0＋gt可知vt＝20 m/s.
或根据vt2－v02＝2gs得vt＝＝20 m/s.
一、竖直下抛运动
在无风的雨天，水滴从房檐滴落，不计空气阻力，试问：
(1)水滴从离开房檐开始做什么运动？经过2 m高的窗口的运动是不是竖直下抛运动？
(2)做竖直下抛运动的物体在相等时间内速度的变化量相等吗？
(3)从运动的合成与分解看，竖直下抛运动可以看作在同一直线上哪两个分运动的合运动？
答案 (1)自由落体 是
(2)相等
(3)自由落体运动和竖直向下的匀速直线运动
1．做竖直下抛运动的条件
(1)具有竖直向下的初速度．
(2)只受重力作用．
2．规律：竖直下抛运动是初速度v0向下，加速度为g的匀加速直线运动，其规律如下：
(1)vt＝v0＋gt.
(2)s＝v0t＋gt2.
(3)vt2－v02＝2gs.
3．用运动的合成与分解分析竖直下抛运动
从运动的合成角度看，竖直下抛运动可以看成是自由落体运动和竖直向下的匀速直线运动的合运动．
例1 (多选)关于竖直下抛运动，下列说法正确的是( )
A．竖直下抛运动是匀变速直线运动，其加速度为重力加速度g
B．竖直向下投掷的悠悠球的运动是竖直下抛运动
C．竖直下抛运动可以看作自由落体运动和匀速直线运动两个分运动的合运动
D．物体在空气中下落一段时间后，物体的运动可看作竖直下抛运动
答案 AC
解析 竖直下抛运动的物体只受重力作用，其加速度为重力加速度g，是匀变速直线运动，故A正确．竖直向下投掷的悠悠球的运动虽然具有向下的初速度，但由于有线绕在悠悠球上，悠悠球不只受重力作用，故B错误．竖直下抛运动可以看作竖直方向的自由落体运动和沿初速度方向的匀速直线运动两个分运动的合运动，故C正确．如果物体在空气中下落受空气阻力作用，则物体的运动不是竖直下抛运动，D错误．
例2 一人站在30 m高的楼顶竖直向下投石块，假设石块出手时的位置靠近楼顶，石块到达地面所用的时间为2 s，不计空气阻力(g取10 m/s2)，求：
(1)石块出手时速度的大小．
(2)石块到达地面时速度的大小．
答案 (1)5 m/s (2)25 m/s
解析 (1)由题意知s＝30 m，t＝2 s，
由位移公式s＝v0t＋gt2
得v0＝－gt＝5 m/s.
(2)由速度公式vt＝v0＋gt，
得石块落地时速度的大小为
vt＝(5＋10×2) m/s＝25 m/s.
二、竖直上抛运动
1．给一纸片一个竖直向上的初速度，则纸片做的是竖直上抛运动吗？为什么？
答案 不是．因为纸片除受重力外还受不能忽略的空气阻力．
2．从运动合成的角度看，竖直上抛运动可以看作在同一直线上哪两个分运动的合运动？
答案 自由落体运动和竖直向上的匀速直线运动．
1．处理竖直上抛运动问题的思路和方法
(1)分段法
竖直上抛运动可分为上升阶段和下降阶段．
①上升过程是初速度为v0、加速度为a＝g的匀减速直线运动(以向上为正方向，不考虑空气阻力)：
vt＝v0－gt，s＝v0t－gt2.
②下降过程是自由落体运动(以向下为正方向，不考虑空气阻力)：
vt＝gt′，s′＝gt′2.
(2)整体法
①将全过程看作是初速度为v0、加速度为a＝g的匀变速直线运动，用匀变速直线运动规律进行计算(以向上为正方向)：vt＝v0－gt，s＝v0t－gt2.
②若vt>0，则物体在上升；vt<0，则物体在下降．s>0，物体在抛出点上方；s<0，物体在抛出点下方．
(3)利用竖直上抛运动的v－t图象，如图1所示．
图1
2．竖直上抛运动的对称性
(1)速度对称性：上升和下降经过同一位置时，速度等大反向，即v上＝v下．
(2)时间对称性：上升和下降经过同一竖直距离所用时间相等，即t上＝t下．
(3)过程对称性：从抛出点抛出到回到抛出点，上升阶段为匀减速到速度为零的过程，下降阶段为自由落体运动，上升阶段可看作下降阶段的逆过程．
例3 (多选)关于竖直上抛运动，以初速度方向为正方向，下列说法正确的是( )
A．从上升到下降的整个过程中，加速度保持不变
B．到达最高点时速度为零，物体处于静止状态
C．落回抛出点时的速度与初速度相同
D．在落回抛出点以前，物体的位移方向始终相同
答案 AD
解析 竖直上抛的物体，其加速度总等于重力加速度，A正确；在最高点速度为零，但加速度不为零，物体不是处于静止状态，B错误；速度是矢量，落回抛出点时速度方向与初速度方向相反，C错误；在落回抛出点以前，物体的位移方向始终向上，D正确．
例4 在离地面15 m的高处，以10 m/s的初速度竖直上抛一小球，求小球落地时的速度大小和小球从抛出到落地所用的时间．(忽略空气阻力的影响，取重力加速度g＝10 m/s2 )
答案 20 m/s 3 s
解析 解法一 (分段法)：取竖直向上的初速度方向为正方向．小球从竖直抛出到落地经历两个过程：上升过程和下落过程．上升过程的时间t1＝＝ s＝1 s，上升的高度s1＝＝ m＝5 m；下落的总高度s2＝15 m＋5 m＝20 m，自由下落的时间t2＝＝ s＝2 s
小球落回地面经历的总时间t＝t1＋t2＝1 s＋2 s＝3 s
小球落回地面时的速度方向竖直向下，为负方向
vt＝－＝－ m/s＝－20 m/s.
解法二 (全程法)：将小球竖直上抛运动的整个过程作为一个整体，取初速度的方向即竖直向上的方向作为正方向，加速度为重力加速度，方向竖直向下，所以a＝－g.已知v0＝10 m/s，s＝－15 m
小球落地时的速度vt＝±＝± m/s＝±20 m/s
由于小球落地时的速度方向竖直向下，所以取vt＝－20 m/s
小球从抛出到落地所用时间t＝＝ s＝3 s.
1．(竖直下抛运动的理解)关于竖直下抛运动，下列说法正确的是( )
A．从飞行中的轰炸机抛下的炸弹的运动是竖直下抛运动
B．从屋顶竖直向下抛出的铅球的运动是竖直下抛运动
C．竖直下抛运动是一种特殊的非匀变速直线运动
D．某同学站在窗前将衣服竖直向下抛给伙伴，他认为衣服的运动是竖直下抛运动
答案 B
解析 从轰炸机上抛下的炸弹具有水平初速度，不是竖直下抛运动，故A错；衣服向下运动时所受空气阻力太大，与其重力相比不可忽略，其运动不是竖直下抛运动，故D错；从屋顶竖直向下抛出的铅球具有竖直向下的初速度且其所受空气阻力可以忽略，其运动可以看作竖直下抛运动，故B正确；做竖直下抛运动的物体仅受重力作用，其加速度为重力加速度g，是匀加速直线运动，故C错．
2．(竖直下抛规律的应用)做竖直下抛运动的物体，第9 s内和第4 s内的位移之差为(g 取10 m/s2)( )
A．5 m B．10 m
C．25 m D.50 m
答案 D
解析 设下抛初速度为v0，第9 s内的位移大小
s＝s9－s8＝(9v0＋g×92)－(8v0＋g×82)＝v0＋g，第4 s内的位移大小
s′＝s4－s3＝(4v0＋g×42)－(3v0＋g×32)
＝v0＋g，
第9 s内和第4 s内的位移之差
Δs＝s－s′＝g－g＝5g＝50 m．D正确．
3．(竖直上抛运动的理解)关于竖直上抛运动，下列说法中正确的是( )
A．将物体以一定初速度竖直向上抛出，且不计空气阻力，则物体的运动为竖直上抛运动
B．做竖直上抛运动的物体，其加速度与物体重力有关，重力越大的物体，加速度越小
C．竖直上抛运动只包括上升阶段
D．竖直上抛运动其速度和加速度的方向都可以改变
答案 A
解析 竖直上抛运动是初速度向上，只在重力作用下的运动，加速度为g，所以将物体以一定初速度竖直向上抛出，且不计空气阻力，则物体的运动为竖直上抛运动，故A正确；竖直上抛运动是初速度向上，只在重力作用下的运动，加速度为g，加速度与物体重力无关，故B、C错误；竖直上抛运动速度方向会改变，加速度的方向始终向下，D错误．
4．(竖直上抛运动的分析与计算)从高出地面15 m的位置竖直向上抛出一个小球，它上升5 m后回落，最后到达地面．不计空气阻力．重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)小球抛出的初速度大小．
(2)从抛出到落地过程的平均速度．
答案 (1)10 m/s (2)5 m/s，方向竖直向下
解析 (1)由速度－位移公式得：
v02＝2gs
所以v0＝＝10 m/s，方向竖直向上．
(2)由速度－位移公式得：
vt2＝2g(15 m＋s)
所以落地速度大小为vt＝20 m/s(方向竖直向下)
所以全程平均速度为＝＝－5 m/s，
负号表示方向竖直向下．
一、选择题
考点一 对竖直方向抛体运动的理解
1．关于竖直下抛运动，下列说法正确的是( )
A．下落过程是加速运动，加速度越来越大
B．下落过程是匀速直线运动
C．在下抛时，由于给物体一定的作用力，所以在下落过程中的加速度大于重力加速度
D．下落过程中物体的运动是匀变速直线运动
答案 D
解析 竖直下抛运动中，物体具有一个竖直向下的初速度，在运动过程中，只受重力的作用，故物体做匀变速直线运动，D正确．
2．钢球自地面做竖直上抛运动后又落回地面，则( )
A．上升过程中，加速度方向向上，速度方向向上，相对于抛出点的位移方向向上
B．下落过程中，加速度方向向下，速度方向向下，相对于抛出点的位移方向向下
C．在最高点，加速度大小为零，速度大小为零
D．到达最高点后，加速度方向不变，速度方向改变
答案 D
解析 物体抛出后只受重力作用，加速度方向向下，大小恒定．落地前的位移相对于抛出点方向向上，A、B、C均错，D对．
3．将一物体以某一初速度竖直上抛，下图中能反映物体在整个过程中速率v与时间t的关系的是(不计空气阻力)( )
答案 B
解析 做竖直上抛运动的物体在上升过程中做匀减速直线运动，下降过程做自由落体运动，其加速度均为g，只有B符合题意．
4．(多选)在同一高度将质量相等的两球A、B以大小相等的初速度分别竖直上抛和竖直下抛，则下列说法中正确的是( )
A．A、B落地时位移相同
B．在运动过程中，A、B的加速度相同
C．A、B落地时速度相同
D．在整个运动过程中，A、B的速度变化量相同
答案 ABC
解析 两个小球的初位置和末位置都相同，故两个球落地时位移相同，故A正确；在运动过程中，A、B的加速度相同，均为g，故B正确；根据匀变速运动的规律知C正确；设向上为正，A球的速度变化量为－v－v0，B球的速度变化量为v－v0，故D错误．
考点二 竖直方向抛体运动的有关计算
5．从地面以大小为v1的初速度竖直向上抛出一个皮球，经过时间t皮球落回地面，落地时皮球的速度大小为v2.皮球在运动过程中受到的空气阻力忽略不计，重力加速度大小为g.下面给出时间t的四个表达式中只有一个是合理的，你可能不会求解t，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断．根据你的判断，t的合理表达式应为( )
A．t＝ B．t＝
C．t＝ D．t＝
答案 A
6．一个人站在楼顶竖直向下抛出一物块．已知物块离开手的速度是1.0 m/s，物块在最后1 s内通过的路程是整个楼高的，假设物块离开手的位置靠近楼顶，不计空气阻力，则整座楼的高度为(g取10 m/s2)( )
A．18 m B．20 m C．22 m D．无法计算
答案 C
解析 设物块落地时间为t，则楼高为s1＝v0t＋gt2，前(t－1 s)物块下落的高度为s2＝v0(t－1 s)＋g(t－1 s)2，由题意可知，s1－s2＝s1，则v0t＋gt2－＝.代入v0＝1.0 m/s解得t＝2 s(t＝0.55 s不符合题意舍去)，所以楼高s1＝v0t＋gt2＝ m＝22 m．故C正确．
7．物体甲自由下落1 s后，将物体乙在甲释放处以v0＝10 m/s竖直下抛，g取10 m/s2，不计空气阻力，则在两物体落地前有( )
A．乙离甲越来越远
B．乙离甲越来越近，最终超过甲
C．乙相对甲做加速运动
D．乙相对甲静止
答案 D
解析 以物体甲开始下落时刻为初始时刻，则对甲有h甲＝gt2，对乙有h乙＝v0(t－1 s)＋g(t－1 s)2，
则h甲－h乙＝gt2－v0t＋v0－gt2＋gt－，
代入数值得h甲－h乙＝5 m，即两物体的间距不变，它们保持相对静止，故D正确．
8．一个从地面上竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是5 s，两次经过一个较高点B的时间间隔是3 s，则A、B之间的距离是(g取10 m/s2)( )
A．80 m B．40 m
C．20 m D．初速度未知，无法确定
答案 C
解析 由题意知：从A到最高点的时间为 s，从B到最高点的时间为 s，因为sAB＝sA－sB，从最高点计算，所以sAB＝[×10×()2－×10×()2] m＝20 m.
9．(多选)把一个小球以20 m/s的初速度竖直向上抛出，若不计空气阻力，g取10 m/s2，则小球到达距抛出点上方15 m高处的时间可能为( )
A．1 s B．2 s C．3 s D．4 s
答案 AC
解析 竖直上抛运动的位移公式可以写成：
s＝v0t－gt2
整理得：gt2－v0t＋s＝0
代入数据解方程，得：t1＝1 s，t2＝3 s.
故A、C正确．
10．(多选)某升降机用绳子系着一个重物，以10 m/s的速度匀速竖直上升，当到达40 m高度时，绳子突然断开，从绳子断开到重物落地过程重物(不计空气阻力，g取10 m/s2)( )
A．距地面的最大高度为45 m
B．在空中的运动时间为5 s
C．落地速度的大小为10 m/s
D．落地速度的大小为30 m/s
答案 AD
解析 绳子断开后重物上升过程，根据速度位移关系公式，有：－v02＝2(－g)s，解得s＝＝ m＝5 m，故物体距离地面的最大高度为45 m，故A正确；根据位移时间关系公式，有：s＝v0t－gt2，
代入数据得：－40＝10t－×10×t2.
解得：t＝4 s(t＝－2 s不符合题意舍去)，故B错误；根据速度时间关系公式，有：v＝v0－gt＝－30 m/s，故C错误，D正确．
11．在离地高h处，沿竖直方向向上和向下抛出两个小球，它们的初速度大小均为v，不计空气阻力，两球落地的时间差为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设落地速度为v′，规定向下为正方向，
则无论竖直向下还是竖直向上抛出都满足
v′2－v2＝2gh
则v′＝，
所以落地时两球的速度大小相等．
对于竖直上抛的小球运动时间为
t1＝＝，
对于竖直下抛的小球运动时间t2＝，
故两球落地的时间差为：Δt＝t1－t2＝.
二、非选择题
12．(竖直上抛运动)一个氢气球以4 m/s2的加速度由静止从地面竖直上升，10 s末从气球中掉下一重物，此重物最高可上升到距地面多高处？此重物从氢气球中掉下后，经过多长时间落回地面？(忽略空气阻力，g取10 m/s2)
答案 280 m 11.48 s
解析 向上加速阶段：
H1＝a1t12＝×4×102 m＝200 m，v1＝a1t1＝4×10 m/s＝40 m/s，
竖直上抛阶段：
H2＝＝80 m，t2＝＝4 s.
自由下落阶段：
H1＋H2＝gt32
t3＝＝ s≈7.48 s
所以，此重物距地面的最大高度
Hmax＝H1＋H2＝280 m
重物从掉下到落地的总时间
t＝t2＋t3＝11.48 s.
13．(竖直上抛运动)一物体做竖直上抛运动，它经过抛出点上方0.4 m处时，速度是3 m/s，求它经过抛出点下方0.4 m处时的速度．(g取10 m/s2)
答案 5 m/s，方向竖直向下
解析 解法一 分段法
上升过程：设到达抛出点上方0.4 m处时还能上升的高度为s1，则s1＝＝ m＝0.45 m.
下降过程：从最高点处下落到抛出点下方0.4 m处时，下落高度s2＝0.45 m＋2×0.4 m＝1.25 m，由vt2＝2gs2得
vt＝ m/s＝5 m/s，方向竖直向下．
解法二 整体法
设以向上的方向为正方向，距抛出点上方0.4 m处的速度为v0，距抛出点下方0.4 m处的速度为vt，物体在该过程中发生的位移s＝－0.4 m－0.4 m＝－0.8 m，运动中加速度a＝－g.由vt2－v02＝2as得vt2＝v02＋2as即vt＝±5 m/s，由于是下落，故vt＝－5 m/s，大小为5 m/s，方向竖直向下．
第二节 运动的合成与分解
知识目标
核心素养
1.理解运动的独立性、合运动与分运动.
2.掌握运动的合成与分解的方法——平行四边形定则.
3.会用平行四边形定则分析速度、位移的合成与分解问题.
4.掌握“小船渡河”“绳联物体”问题模型的解决方法.
1.通过对合运动和分运动的分析，体会等效替代的思想在物理学中的应用.
2.体会平行四边形定则是一切矢量合成的普遍法则.
3.能运用合成和分解的思想分析两类典型的运动模型——“小船渡河”模型和“关联速度”模型.
一、分运动与合运动
1．分运动与合运动
(1)如果一个物体实际发生的运动产生的效果跟另外两个运动共同产生的效果相同，我们就把这一物体实际发生的运动叫做这两个运动的合运动，这两个运动叫做这一实际运动的分运动．
(2)实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度是它的分位移、分速度、分加速度．
2．合运动与分运动的特点
(1)等时性：合运动与分运动经历的时间一定相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，分运动各自独立进行，互不影响．
(3)等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动的总运动效果可以相互替代．
3．合运动与分运动的关系
一个复杂的运动可以看成是几个独立进行的分运动的合运动．
二、运动的合成与分解
1．已知分运动求合运动叫做运动的合成．已知合运动求分运动叫做运动的分解．
2．合位移是两分位移的矢量和，满足平行四边形定则．
3．实际速度和分速度的关系以及合加速度与分加速度的关系都满足平行四边形定则．(或三角形定则)
1．判断下列说法的正误．
(1)合运动与分运动是同时进行的，时间相等．(√)
(2)合运动一定是实际发生的运动．(√)
(3)合运动的速度一定比分运动的速度大．(×)
(4)互成角度的两个匀速直线运动的合运动，一定也是匀速直线运动．(√)
2．竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个蜡块能在水中以0.1 m/s的速度匀速上浮．在蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管沿水平方向匀速向右运动，测得蜡块实际运动方向与水平方向成30°角，如图1所示．若玻璃管的长度为1.0 m，在蜡块从底端上升到顶端的过程中，玻璃管水平方向的移动速度和水平运动的距离为( )
图1
A．0.1 m/s,1.73 m B．0.173 m/s,1.0 m
C．0.173 m/s,1.73 m D．0.1 m/s,1.0 m
答案 C
解析 设蜡块沿玻璃管匀速上升的速度为v1，位移为s1，蜡块随玻璃管水平向右移动的速度为v2，位移为s2，如图所示，v2＝＝ m/s≈0.173 m/s.蜡块沿玻璃管匀速上升的时间t＝＝ s＝10 s．由于合运动与分运动具有等时性，故玻璃管水平移动的时间为10 s．水平运动的距离s2＝v2t＝0.173×10 m＝1.73 m，故选项C正确.
一、运动的合成与分解
蜡块能沿玻璃管匀速上升(如图2甲所示)，如果在蜡块上升的同时，将玻璃管沿水平方向向右匀速移动(如图乙所示)，则：
图2
(1)蜡块在竖直方向做什么运动？在水平方向做什么运动？
(2)蜡块实际运动的性质是什么？
(3)求t时间内蜡块的位移和速度．
答案 (1)蜡块参与了两个运动：水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀速直线运动．
(2)蜡块实际上做匀速直线运动．
(3)经过时间t，蜡块水平方向的位移x＝vxt，竖直方向的位移y＝vyt，蜡块的合位移为s＝＝t，设位移与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝，蜡块的合速度v＝，合速度方向与vx方向的夹角θ的正切值为 tan θ＝.
1．合运动与分运动的关系
等效性
各分运动的共同效果与合运动的效果相同
等时性
各分运动与合运动同时发生，同时结束
独立性
各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
同体性
各分运动与合运动是同一物体的运动
2.合运动与分运动的判定方法：在一个具体运动中物体实际发生的运动往往是合运动．这个运动一般就是相对于地面发生的运动，或者说是相对于静止参考系的运动．
3．运动分解的应用
应用运动的分解，可以将曲线运动问题转化为直线运动问题．解题步骤如下：
(1)根据运动的效果确定运动的分解方向．
(2)根据平行四边形定则，画出运动分解图．
(3)应用运动学公式分析分运动，应用数学知识确定分矢量与合矢量的关系．
例1 雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下述说法中正确的是( )
①风速越大，雨滴下落时间越长 ②风速越大，雨滴着地时速度越大 ③雨滴下落时间与风速无关 ④雨滴着地速度与风速无关
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
答案 B
解析 将雨滴的运动分解为水平方向和竖直方向，两个分运动相互独立，雨滴下落时间与竖直高度有关，与水平方向的风速无关，故①错误，③正确．风速越大，落地时，雨滴水平方向分速度越大，合速度也越大，故②正确，④错误．故选B.
例2 (多选)质量为2 kg的质点在xOy平面内做曲线运动，在x方向的速度－时间图象和y方向的位移－时间图象如图3所示，下列说法正确的是( )
图3
A．质点的初速度大小为5 m/s
B．质点的初速度大小为7 m/s
C．2 s末质点速度大小为6 m/s
D．2 s内质点的位移大小约为12 m
答案 AD
解析 由x方向的速度－时间图象可知，在x方向的初速度v0x＝3 m/s，由y方向的位移－时间图象可知在y方向做匀速直线运动，速度为vy＝4 m/s.因此质点的初速度大小为5 m/s，A选项正确，B错误；2 s末质点速度应该为v＝ m/s＝2 m/s，C选项错误；2 s内，x＝ m＝9 m，y＝8 m，合位移s＝＝ m≈12 m，D选项正确．
三步走求解合运动或分运动
1．根据题意确定物体的合运动与分运动．
2．根据平行四边形定则作出矢量合成或分解的平行四边形．
3．根据所画图形求解合运动或分运动的参量，若两个分运动相互垂直，则合速度的大小v＝，合位移的大小s＝.
二、合运动性质和轨迹的判断方法
塔式起重机模型如图4所示，吊车P沿吊臂向末端M水平匀速运动，同时将物体Q从地面竖直向上匀加速吊起．
图4
请思考并回答以下问题：
(1)物体Q同时参与了几个分运动？
(2)合运动的性质是什么？
(3)合运动的轨迹是直线还是曲线？
(4)如果物体Q竖直向上被匀速吊起，其合运动是什么运动？
答案 (1)两个分运动：①水平方向上的匀速直线运动．
②竖直方向上的匀加速直线运动．
(2)匀变速运动．
(3)曲线．
(4)此时合运动的合加速度为0，因此合运动是匀速直线运动．
合运动的性质判断
分析两个直线运动的合运动性质时，应该根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断．
(1)是否为匀变速的判断
加速度(或合外力)
(2)曲、直的判断
加速度(或合外力)与速度方向
例3 如图5甲所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，现假使三角板沿刻度尺水平向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端，由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动，下列关于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断中，正确的有( )
图5
A．铅笔尖留下的痕迹可以是一条如图乙所示的抛物线
B．铅笔尖留下的痕迹可以是一条倾斜的直线
C．在运动过程中，笔尖运动的速度方向始终保持不变
D．在运动过程中，笔尖运动的加速度方向始终保持不变
答案 D
解析 由题可知，铅笔尖既随三角板向右做匀速运动，又沿三角板直角边向上做匀加速运动，其运动轨迹是向上弯曲的抛物线，故A、B错误．在运动过程中，铅笔尖运动的速度方向是轨迹的切线方向，时刻在变化，故C错误．铅笔尖水平方向的加速度为零，竖直方向加速度的方向向上，则根据运动的合成规律可知，笔尖运动的加速度方向始终竖直向上，保持不变，故D正确．
1．两直线运动合成，合运动的轨迹由合初速度与合加速度的方向关系决定．
2．两个直线运动的合运动不一定是直线运动．
针对训练1 在平面上运动的物体，其x方向分速度vx和y方向分速度vy随时间t变化的图线如图6(a)(b)所示，则下列选项中最能反映物体运动轨迹的是( )
图6
答案 C
解析 物体参与两个分运动，水平方向向右做匀速直线运动，竖直方向向上做匀加速运动；水平分运动无加速度，竖直分运动加速度向上，故物体合运动的加速度向上，故轨迹向上弯曲，故C正确，A、B、D错误．
三、小船渡河问题
1．小船的运动分析
小船渡河时，参与了两个分运动：一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动．
2．小船渡河的两类常见问题
(1)渡河时间t
①渡河时间t的大小取决于河岸的宽度d及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t＝.
②若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图7所示，此时t＝，船渡河的位移s＝，位移方向满足tan θ＝.
图7
(2)渡河位移最短问题
①若v水图8
②若v水>v船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d，寻找最短位移的方法：如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向．这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝，最短位移s短＝，渡河时间t＝.
例4 已知某船在静水中的速度为v1＝4 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，水流速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行．
(1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移有多大？
(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？
(3)若水流速度为v2′＝5 m/s，船在静水中的速度为v1＝4 m/s不变，船能否垂直河岸渡河？
答案 (1)25 s 125 m (2) s (3)不能
解析 (1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，则最短时间为t＝＝ s＝25 s.
如图甲所示，当船到达对岸时，船沿河流方向也发生了位移，由直角三角形的几何知识，可得船的位移为s＝，由题意可得x＝v2t＝3×25 m＝75 m，代入得s＝125 m.
(2)分析可知，当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v1＝4 m/s，大于水流速度v2＝3 m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸．如图乙所示，设船斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有v1cos θ＝v2，cos θ＝＝，
则sin θ＝＝，
所用的时间为t＝＝ s＝ s.
(3)当水流速度v2′＝5 m/s大于船在静水中的速度v1＝4 m/s时，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河．
【考点】小船渡河模型分析
【题点】小船渡河问题的综合分析
1．要使船垂直于河岸横渡，即路程最短，应使v船在水流方向的分速度和水流速度等大、反向，这种情况只适用于v船>v水的情形．
2．要使船渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即v船与水流方向垂直．
3．要区别船速v船及船的合运动速度v合，前者是发动机或划行产生的分速度，后者是合速度．
针对训练2 (多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线．则其中可能正确的是( )
答案 AB
解析 小船渡河的运动可看做水流的运动和小船运动的合运动．虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，即合速度的方向，小船合运动的速度方向就是其真实运动的方向，分析可知，实际航线可能正确的是A、B.
【考点】小船渡河模型分析
【题点】船头指向、速度方向与渡河轨迹问题
四、关联速度分解问题
关联速度分解问题指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一说“绳”)：
(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向．
(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等．
(3)常见的速度分解模型(如图9所示)
图9
例5 如图10所示，用船A拖着车B前进时，若船匀速前进，速度为vA，当OA绳与水平方向夹角为θ时，则：(与B相连的绳水平且定滑轮的质量及摩擦不计)
图10
(1)车B运动的速度vB为多大？
(2)车B是否做匀速运动？
答案 (1)vAcos θ (2)不做匀速运动
解析 (1)把vA分解为一个沿绳方向的分速度v1和一个垂直于绳的分速度v2，如图所示，所以车前进的速度vB大小应等于vA的分速度v1，即vB＝v1＝vAcos θ.
(2)当船匀速向前运动时，θ角逐渐减小，车速vB将逐渐增大，因此，车B不做匀速运动．
【考点】关联速度的分解模型
【题点】绳关联物体速度的分解
针对训练3 如图11所示，A物块以速度v沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过光滑轻质定滑轮拉动物体B在水平方向上运动．当细绳与水平面夹角为θ时，求物体B运动的速度vB的大小．
图11
答案 vsin θ
解析 物块A沿杆向下运动，有使细绳伸长和使细绳绕定滑轮转动的两个效果，因此细绳端点(即物块A)的速度可分解为沿细绳方向和垂直于细绳方向的两个分速度，如图所示．其中物体B的速度大小等于沿绳子方向的分速度vB.
则有vB＝vsin θ.
【考点】关联速度的分解模型
【题点】绳关联物体速度的分解
1．(合运动轨迹的判断)如图12所示，一玻璃管中注满清水，水中放一软木做成的木塞R(木塞的直径略小于玻璃管的直径，轻重大小适宜，使它在水中能匀速上浮)．将玻璃管的开口端用胶塞塞紧(图甲)．现将玻璃管倒置(图乙)，在木塞匀速上升的同时，使玻璃管水平向右由静止做匀加速直线运动．观察木塞的运动，将会看到它斜向右上方运动，经过一段时间，玻璃管移到图丙中虚线所示位置，木塞恰好运动到玻璃管的顶端，则能正确反映木塞运动轨迹的是( )
图12
答案 C
解析 木塞参与了两个分运动，竖直方向在管中以v1匀速上浮，水平方向向右做匀加速直线运动，速度v2不断变大，将v1与v2合成，如图，由于曲线运动的速度沿着曲线上该点的切线方向，又由于v1不变，v2不断变大，故θ不断变小，即切线方向与水平方向的夹角不断变小，故A、B、D均错误，C正确．
【考点】合运动性质的判断
【题点】由两分运动性质判断合运动轨迹
2．(两分运动的合成)(多选)一质量为2 kg的质点在如图13甲所示的xOy平面内运动，在x方向的速度－时间(v－t)图象和y方向的位移－时间(y－t)图象分别如图乙、丙所示，由此可知( )
图13
A．t＝0时，质点的速度大小为12 m/s B．质点做加速度恒定的曲线运动
C．前2 s，质点所受的合力大小为10 N D．t＝1 s时，质点的速度大小为7 m/s
答案 BC
解析 由v－t图象可知，质点在x方向上做匀减速运动，初速度大小为12 m/s，而在y方向上，质点做速度大小为5 m/s的匀速运动，故在前2 s内质点做匀变速曲线运动，质点的初速度为水平初速度和竖直初速度的合速度，则初速度大小：v0＝ m/s＝13 m/s，故A错误，B正确；由v－t图象可知，前2 s，质点的加速度大小为：a＝＝5 m/s2，根据牛顿第二定律，前2 s质点所受合外力大小为F＝ma＝2×5 N＝10 N，故C正确；t＝1 s时，x方向的速度大小为7 m/s，而y方向速度大小为5 m/s，因此质点的速度大小为 m/s＝ m/s，故D错误．
【考点】速度和位移的合成与分解
【题点】速度的合成与分解
3．(关联速度问题)(多选)如图14所示，一人以恒定速度v0通过光滑轻质定滑轮竖直向下拉绳使小车在水平面上运动，当运动到图示位置时，细绳与水平方向成45°角，则此时( )
图14
A．小车运动的速度为v0
B．小车运动的速度为v0
C．小车在水平面上做加速运动
D．小车在水平面上做减速运动
答案 BC
解析 将小车速度沿着绳方向与垂直绳方向进行分解，如图所示，
人拉绳的速度与小车沿绳方向的分速度大小是相等的，根据三角函数关系vcos 45°＝v0，则v＝＝v0，B正确，A错误．随着小车向左运动，小车与水平方向的夹角越来越大，设夹角为α，由v＝知v越来越大，则小车在水平面上做加速运动，C正确，D错误．
【考点】关联速度的分解模型
【题点】绳关联物体速度的分解
4．(小船渡河问题)小船在200 m宽的河中横渡，水流速度是2 m/s，小船在静水中的航速是4 m/s.
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？
(2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？
答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s
(2)船头偏向上游，与上游河岸成60°角，最短航程为200 m
解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin＝＝ s＝50 s.
(2)如图乙所示，航程最短为河宽d，即最短航程为200 m，应使v合′的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与上游河岸成α角，有cos α＝＝，解得α＝60°.
【考点】小船渡河模型分析
【题点】小船渡河问题的综合分析
一、选择题
考点一 运动的合成与分解
1．关于合运动、分运动的说法，正确的是( )
A．合运动的位移为分运动位移的矢量和
B．合运动的位移一定比其中的一个分位移大
C．合运动的速度一定比其中的一个分速度大
D．合运动的时间一定比分运动的时间长
答案 A
解析 位移是矢量，其运算遵循平行四边形定则，A正确；合运动的位移可大于分位移，也可小于分位移，还可等于分位移，B错误；同理可知C错误；合运动和分运动具有等时性，D错误．
【考点】合运动与分运动的特点
【题点】合运动与分运动的关系
2．如图1所示，在一次救灾工作中，一架离水面高为H、沿水平直线飞行的直升机A，用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中的伤员B，在直升机A和伤员B以相同的水平速率匀速运动的同时，悬索将伤员吊起．设经t时间后，A、B之间的距离为l，且l＝H－t2，则在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹可能是下列哪个图( )
图1
答案 A
解析 根据l＝H－t2，可知伤员B在竖直方向上是匀加速上升的，悬索中拉力大于重力，即表示拉力F的线段要比表示重力G的线段长，伤员在水平方向匀速运动，所以F、G都在竖直方向上；向上加速，运动轨迹向上偏转，只有A符合，所以在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是A.
【考点】合运动性质的判断
【题点】结合表达式判断合运动轨迹和合运动性质
3．如图2所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直且悬线总长度不变，则橡皮运动的速度( )
图2
A．大小和方向均不变 B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变 D．大小和方向均改变
答案 A
解析 设铅笔的速度为v，如图所示，橡皮的速度分解成水平方向的v1和竖直方向的v2.因该过程中悬线始终竖直，故橡皮水平方向的速度与铅笔移动速度相同，即v1＝v.因铅笔靠着线的左侧水平向右移动，故悬线竖直方向长度减小的速度大小与铅笔移动速度的大小相等，则橡皮竖直方向速度的大小也与铅笔移动速度的大小相等，又因v1和v2的大小、方向都不变，故合速度(即橡皮运动的速度)大小、方向都不变，选项A正确．
4．(多选)在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图3所示．关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是( )
图3
A．相对地面的运动轨迹为直线
B．相对地面做匀变速曲线运动
C．t时刻猴子相对地面的速度大小为v0＋at
D．t时间内猴子相对地面的位移大小为
答案 BD
解析 猴子在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，猴子相对地面的运动轨迹为曲线；因为猴子受到的合外力恒定(加速度恒定)，所以相对地面猴子做的是匀变速曲线运动；t时刻猴子对地的速度大小为v＝；t时间内猴子对地的位移大小为s＝.
【考点】速度和位移的合成与分解
【题点】速度和位移的合成与分解
5．物体在直角坐标系xOy所在平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图象如图4所示，则对该物体运动过程的描述正确的是( )
图4
A．物体在0～3 s内做匀变速直线运动
B．物体在0～3 s内做匀变速曲线运动
C．物体在3～4 s内做变加速直线运动
D．物体在3～4 s内做匀变速曲线运动
答案 B
解析 物体在0～3 s内，x方向做vx＝4 m/s的匀速直线运动，y方向做初速度为0、加速度ay＝1 m/s2的匀加速直线运动，合初速度v0＝vx＝4 m/s，合加速度a＝ay＝1 m/s2，所以物体的合运动为匀变速曲线运动，如图甲所示，A错误，B正确．
物体在3～4 s内，x方向做初速度vx＝4 m/s、加速度ax＝－4 m/s2的匀减速直线运动，y方向做初速度vy＝3 m/s、加速度ay＝－3 m/s2的匀减速直线运动，合初速度大小v＝5 m/s，合加速度大小a＝5 m/s2，v、a方向恰好相反，所以物体的合运动为匀减速直线运动，如图乙所示，C、D错误．
【考点】合运动性质的判断
【题点】由两分运动性质判断合运动性质
考点二 小船渡河问题
6．小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是( )
A．水速小时，位移小，时间也短
B．水速大时，位移大，时间也长
C．水速大时，位移大，但时间不变
D．位移大小、时间长短与水速大小无关
答案 C
解析 小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船以一定速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间一定．水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小．
【考点】小船渡河模型分析
【题点】小船渡河的最短时间问题
7．一只小船渡河，运动轨迹如图5所示．水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于岸边；小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度大小均相同、方向垂直于岸边，且船在渡河过程中船头方向始终不变．由此可以确定( )
图5
A．船沿AD轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动
B．船沿三条不同路径渡河的时间相同
C．船沿AB轨迹渡河所用的时间最短
D．船沿AC轨迹到达对岸前瞬间的速度最大
答案 D
解析 因为三种运动船的船头垂直河岸，相对于静水的初速度相同，垂直河岸方向运动性质不同，沿水流方向运动相同，河的宽度相同，渡河时间不等，B错误；加速度的方向指向轨迹的凹侧，依题意可知，AC径迹是匀加速运动，AB径迹是匀速运动，AD径迹是匀减速运动，从而知道AC径迹渡河时间最短，A、C错误；沿AC轨迹在垂直河岸方向是加速运动，故船到达对岸前瞬间的速度最大，D正确．
【考点】小船渡河模型分析
【题点】小船渡河问题的综合分析
8．(多选)一快艇从离岸边100 m远的河流中央向岸边行驶．已知快艇在静水中的速度－时间图象如图6甲所示；河中各处水流速度相同，且速度－时间图象如图乙所示．则( )
图6
A．快艇的运动轨迹一定为直线
B．快艇的运动轨迹一定为曲线
C．快艇最快到达岸边，所用的时间为20 s
D．快艇最快到达岸边，经过的位移为100 m
答案 BC
解析 两分运动一个是匀加速直线运动，另一个是匀速直线运动，知合速度的方向与合加速度的方向不在同一直线上，合运动为曲线运动，故A错误，B正确．当快艇船头垂直于河岸时，时间最短，垂直于河岸方向上的加速度a＝0.5 m/s2，由d＝at2，得t＝20 s，而位移大于100 m，选项C正确，D错误．
【考点】小船渡河模型分析
【题点】小船渡河的最短时间问题
考点三 绳关联速度问题
9.人用绳子通过光滑轻质定滑轮拉物体A，A穿在光滑的竖直杆上，当以速度v0匀速地拉绳使物体A到达如图7所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A实际运动的速度是( )
图7
A．v0sin θ B.
C．v0cos θ D.
答案 D
解析 由运动的合成与分解可知，物体A参与两个分运动：一个是沿着与它相连接的绳子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动．而物体A的实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运动就是物体A的合运动，它们的速度之间的关系如图所示．由几何关系可得v＝，所以D正确．
【考点】关联速度的分解模型
【题点】绳关联物体速度的分解
10．如图8所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过光滑轻质定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA＝10 m/s匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小vB为( )
图8
A．5 m/s B. m/s
C．20 m/s D. m/s
答案 D
解析 物体B的运动可分解为沿绳BO方向靠近定滑轮O使绳BO段缩短的运动和绕定滑轮(方向与绳BO垂直)的运动，故可把物体B的速度分解为如图所示的两个分速度，由图可知vB∥＝vBcos α，由于绳不可伸长，有vB∥＝vA，故vA＝vBcos α，所以vB＝＝ m/s，选项D正确．
【考点】关联速度的分解模型
【题点】绳关联物体速度的分解
二、非选择题
11．(运动的合成与分解)一物体在光滑水平面上运动，它在相互垂直的x方向和y方向上的两个分运动的速度－时间图象如图9所示．
图9
(1)计算物体的初速度大小；
(2)计算物体在前3 s内的位移大小．
答案 (1)50 m/s (2)30 m
解析 (1)由题图可看出，物体沿x方向的分运动为匀速直线运动，沿y方向的分运动为匀变速直线运动．x方向的初速度vx0＝30 m/s，y方向的初速度vy0＝－40 m/s；则物体的初速度大小为v0＝＝50 m/s.
(2)在前3 s内，x方向的分位移大小
x3＝vx·t＝30×3 m＝90 m，
y方向的分位移大小y3＝·t＝×3 m＝60 m，
故s＝＝ m＝30 m.
【考点】运动的合成和分解与运动图象的综合应用
【题点】运动的合成和分解与运动图象的综合应用
12．(关联速度问题)一辆车通过一根跨过光滑轻质定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H.车由静止开始向左做匀加速直线运动，经过时间t绳子与水平方向的夹角为θ，如图10所示．试求：
图10
(1)车向左运动的加速度的大小；
(2)重物m在t时刻速度的大小．
答案 (1) (2)
解析 (1)车在时间t内向左运动的位移：s＝，
由车做匀加速直线运动，得：s＝at2，
解得：a＝＝.
(2)t时刻车的速度：v车＝at＝，
由运动的分解知识可知，车的速度v车沿绳的分速度大小与重物m的速度大小相等，即：v物＝v车cos θ，
解得：v物＝.
【考点】关联速度的分解模型
【题点】绳关联物体速度的分解
第五节 斜抛运动
知识目标
核心素养
1.知道斜抛物体的运动，知道斜抛运动又可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的抛体运动.
2.通过实验探究斜抛运动的射高和射程跟速度和抛射角的关系，并能将所学知识应用到生产、生活中.
1.进一步体会运动的合成和分解在分析斜抛运动等匀变速曲线运动中的重要性.
2.通过“弹道曲线”的分析体会物理规律在科学和生产中的应用.
一、斜抛运动及运动规律
1．定义：将物体用一定的初速度沿斜上方(或斜下方)抛出去，仅在重力作用下物体所做的运动．
2．运动性质：匀变速曲线运动．
3．运动的分解(如图1)
图1
(1)水平方向以初速度v0x做匀速直线运动，v0x＝v0cos θ.
(2)竖直方向以初速度v0y做竖直上抛运动，v0y＝v0sin?θ.
(3)坐标表达式：x＝v0cos θ·t；
y＝v0sin θ·t－gt2.
(4)分速度表达式：vx＝v0cos θ；
vy＝v0sin θ－gt.
二、射程、射高和弹道曲线
1．射程(X)、射高(Y)和飞行时间(T)
(1)射程(X)：在斜抛运动中，从物体被抛出的地点到落地点间的水平距离．表达式：X＝.
(2)射高(Y)：从抛出点的水平面到物体运动轨迹最高点间的高度差．表达式：Y＝.
(3)飞行时间(T)：从物体被抛出到落地所用的时间．表达式：T＝.
2．弹道曲线
(1)实际的抛体运动：物体在运动过程中总要受到空气阻力的影响．
(2)弹道曲线与抛物线：在没有空气的理想空间中炮弹飞行的轨迹为抛物线，而炮弹在空气中飞行的轨迹叫做弹道曲线，由于空气阻力的影响，使弹道曲线的升弧长而平伸，降弧短而弯曲．
1．判断下列说法的正误．
(1)初速度越大斜抛运动的射程越大．(×)
(2)抛射角越大斜抛运动的射程越大．(×)
(3)仅在重力作用下斜抛运动的轨迹曲线是抛物线．(√)
(4)斜上抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动．(√)
2．如图2是果蔬自动喷灌技术，从水管中射出的水流轨迹呈现一道道美丽的弧线，如果水喷出管口的速度是20 m/s，管口与水平方向的夹角为45°，空气阻力不计，那么水的射程是 m，射高是 m.
图2
答案 40 10
解析 水的竖直分速度
vy＝v0sin 45°＝10 m/s
上升的最大高度Y＝＝ m＝10 m.
水在空中的飞行时间为t＝＝2 s.
水的水平分速度vx＝v0cos 45°＝10 m/s.
水平射程X＝vxt＝10×2 m＝40 m.
一、斜抛运动的特点
如图3所示，运动员斜向上投出标枪，标枪在空中划出一条优美的曲线后插在地上，若忽略空气对标枪的阻力作用，请思考：
图3
(1)标枪到达最高点时的速度是零吗？
(2)标枪在竖直方向上的运动情况是怎样的？
答案 (1)不是零
(2)竖直上抛运动
1．受力特点：斜抛运动是忽略了空气阻力的理想化运动，其加速度为重力加速度g.
2．运动特点：斜抛运动是匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线．
3．速度变化特点：由于斜抛运动的加速度为定值，因此，在相等的时间内速度的变化量大小相等，方向均竖直向下，即Δv＝gΔt.
4．对称性特点
(1)速度对称：相对于轨道最高点两侧对称的两点速度大小相等或水平方向速度相等，竖直方向速度等大反向．(如图4所示)
图4
(2)时间对称：相对于轨道最高点两侧对称的曲线上升时间等于下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的．
(3)轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称．
例1 关于斜抛运动，下列说法中正确的是( )
A．物体抛出后，速度增大，加速度减小
B．物体抛出后，速度先减小，再增大
C．物体抛出后，沿着轨迹的切线方向，先做减速运动，再做加速运动，加速度始终沿着切线方向
D．斜抛物体的运动是匀变速运动
答案 D
解析 斜抛物体的运动在水平方向是匀速直线运动，竖直方向是竖直上抛或竖直下抛运动，抛出后只受重力，故加速度恒定．若是斜上抛运动则竖直分速度先减小后增大，若是斜下抛运动则竖直分速度一直增大，故A、B、C项错误．由于斜抛运动的物体只受重力的作用，故做匀变速运动，D项正确．
针对训练 (多选)对做斜上抛运动的物体，下列说法正确的是( )
A．水平分速度不变
B．加速度不变
C．在相同的高度处速度大小相同
D．经过最高点时，瞬时速度为零
答案 ABC
解析 斜上抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动，所以A正确；做斜上抛运动的物体只受重力作用，加速度恒定，B正确；根据运动的对称性，物体在相同的高度处的速度大小相等，C正确；经过最高点时，竖直分速度为零，水平分速度不为零，D错误．
二、斜抛运动的规律及其应用
斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛(或下抛)运动，因此可以分析两个方向的直线运动来研究斜抛运动．
例2 一座炮台置于距地面60 m高的山崖边，以与水平线成45°角的方向发射一颗炮弹，炮弹离开炮口时的速度为120 m/s.求：(忽略空气阻力，g取10 m/s2)
(1)炮弹所达到的最大高度；
(2)炮弹落到地面时的时间和速度大小；
(3)炮弹的水平射程．
答案 (1)420 m (2)17.65 s 125 m/s (3)1 498 m
解析 (1)竖直分速度v0y＝v0sin 45°＝v0＝60 m/s
所以h＝＝ m＝360 m
故炮弹所达到的最大高度hmax＝h＋h0＝420 m；
(2)上升阶段所用时间t1＝＝ s＝6 s
下降阶段所用时间t2＝＝ s＝2 s
所以运动的总时间t＝t1＋t2＝(6＋2) s≈17.65 s.
落地时的水平速度vx＝v0x＝v0cos 45°＝60 m/s
落地时的竖直速度vy＝
合速度v＝＝ m/s≈125 m/s.
(3)水平射程X＝vxt＝60×17.65 m≈1 498 m.
例3 如图5所示，做斜上抛运动的物体到达最高点时，速度v＝24 m/s，落地时速度vt＝30 m/s，g取10 m/s2.求：
图5
(1)物体抛出时速度的大小和方向；
(2)物体在空中的飞行时间T；
(3)射高Y和水平射程X.
答案 (1)30 m/s，与水平方向夹角为37° (2)3.6 s (3)16.2 m 86.4 m
解析 (1)根据斜抛运动的对称性，物体抛出时的速度与落地时的速度大小相等，故v0＝vt＝30 m/s，设与水平方向夹角为θ，则cos θ＝＝，故θ＝37°.
(2)由(1)知，竖直方向的初速度为
vy＝＝ m/s＝18 m/s
故飞行时间T＝2＝2× s＝3.6 s.
(3)射高Y＝＝ m＝16.2 m.
水平射程X＝vT＝24×3.6 m＝86.4 m.
1．(对斜抛运动的理解)一物体做斜上抛运动(不计空气阻力)，在由抛出到落地的过程中，下列表述中正确的是( )
A．物体的加速度是不断变化的
B．物体的速度不断减小
C．物体到达最高点时的速度等于零
D．物体到达最高点时的速度沿水平方向
答案 D
解析 加速度决定于物体受到的重力，所以加速度是不变的，斜上抛运动的速度是先变小再变大，所以A、B项均错；在最高点的速度不为零且沿水平方向，所以C项错，D项对．
2．(弹道曲线的理解)如图6所示，是一枚射出的炮弹飞行的理论曲线和弹道曲线，关于理论曲线和弹道曲线的说法正确的是( )
图6
A．理论计算误差造成的
B．炮弹的形状造成的
C．空气阻力的影响造成的
D．弹道曲线的升弧和降弧对称
答案 C
解析 炮弹在空中飞行的实际轨迹称为弹道曲线，由于受空气阻力，弹道曲线的升弧和降弧不对称，故C正确．
3．(斜抛运动规律的应用)如图7所示，一物体以初速度v0做斜抛运动，v0与水平方向成θ角．AB连线水平，则从A到B的过程中下列说法不正确的是( )
图7
A．上升时间t＝ B．最大高度h＝
C．在最高点速度为0 D．AB间位移sAB＝
答案 C
解析 将物体的初速度沿着水平和竖直方向分解，有：v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ；上升时间：t＝＝，故A正确；根据位移公式，最大高度h＝＝，故B正确；在最高点速度的竖直分量为零，但水平分量不为零，故最高点速度不为零，故C错误；结合竖直上抛运动的对称性可知，运动总时间为：t′＝2t＝，故AB间位移sAB＝v0xt′＝，故D正确．
4．(斜抛运动规律的应用)世界上最窄的海峡是苏格兰的塞尔海峡，它位于欧洲大陆与塞尔岛之间，这个海峡只有约6 m宽，假设有一位运动员，他要以相对于水平面37°的角度进行“越海之跳”，可使这位运动员越过这个海峡的最小初速度是多大？忽略空气阻力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2)
答案 7.9 m/s
解析 画出运动员做斜抛运动的轨迹如图所示．
在竖直方向上：v0sin 37°＝gt.
上升时间：t＝
运动员在空中运动的时间：T＝2t
在水平方向上：6 m≤Tv0cos 37°.
解得v0≥7.9 m/s
故跨越海峡的最小初速度为7.9 m/s.
一、选择题
考点一 斜抛运动的理解
1．关于斜抛运动，下列说法正确的是( )
A．斜抛运动是一种不受任何外力作用的运动
B．斜抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动
C．任意两段相等时间内的速度大小变化相等
D．任意两段相等时间内的速度变化相等
答案 D
解析 根据斜抛运动的定义可知，A错．斜抛运动是曲线运动，是因为初速度方向与重力方向不共线，但物体只受重力，产生的重力加速度是恒定不变的，所以斜抛运动是匀变速曲线运动，故B错．根据加速度的定义式可得Δv＝gΔt，所以在相等的时间内速度的变化相等，而速度是矢量，包括大小与方向两个因素，在这里我们只能判断出速度的变化相等，故C错，D对．
2．关于斜抛运动和平抛运动的共同特点，下列说法不正确的是( )
A．加速度都是g
B．运动轨迹都是抛物线
C．运动时间都与抛出时的初速度大小无关
D．速度变化率不随时间变化
答案 C
解析 斜抛运动和平抛运动都是仅受重力作用的抛体运动，因此其加速度或速度变化率都是相同的，都为重力加速度，因此选项A、D正确．它们的轨迹均为抛物线，选项B正确．斜抛运动的时间由竖直方向的分运动决定，平抛运动的时间仅与高度有关，与初速度无关，故选项C错误．
3．关于斜抛运动的射高，下列说法中正确的是( )
A．初速度越大，射高越大
B．抛射角越大，射高越大
C．初速度一定时，抛射角越大，射高越小
D．抛射角一定时，初速度越大，射高越大
答案 D
解析 斜抛运动的射高，是由初速度和抛射角共同决定的，初速度一定时，抛射角越大，射高越大；抛射角一定时，初速度越大，射高也越大，故D正确．
4．下列关于斜抛运动的说法中正确的是( )
A．上升阶段与下降阶段的加速度相同
B．物体到达最高点时，速度为零
C．物体到达最高点时，速度为v0cos θ(θ是v0与水平方向的夹角)，但不是最小
D．上升和下降至空中同一高度时，速度相同
答案 A
解析 斜抛物体的加速度为重力加速度g，A正确；除最高点速度为v0cos θ外，其他点的速度均是v0cos θ与竖直速度的合成，B、C错误；上升与下降阶段速度的方向一定不同，D错误．
考点二 弹道曲线
5．(多选)关于炮弹的弹道曲线，下列说法中正确的是( )
A．如果没有空气阻力，弹道曲线的升弧和降弧是对称的
B．由于空气阻力的作用，弹道曲线的升弧短而弯曲，降弧长而平伸
C．由于空气阻力的作用，炮弹落地时速度方向与水平面的夹角要比发射时大
D．由于空气阻力的作用，在弹道曲线的最高点，炮弹的速度方向不是水平的
答案 AC
解析 关于弹道曲线，由于要考虑空气阻力的影响，炮弹在水平方向不再做匀速运动，而是减速运动，在竖直方向上也不再是匀变速运动，而且炮弹所受的阻力与速度大小也有关系，因此弹道曲线在上升段长而平伸，而下降阶段短而弯曲，但轨迹在最高点仍只有水平方向的速度．
考点三 斜抛运动规律的应用
6．一位田径运动员在跳远比赛中以10 m/s的速度沿与水平面成30°角起跳，在落到沙坑之前，他在空中滞留的时间约为(g取10 m/s2)( )
A．0.42 s B．0.83 s C．1 s D．1.5 s
答案 C
解析 起跳时竖直向上的分速度v0y＝v0sin 30°＝10× m/s＝5 m/s，所以在空中滞留的时间t＝＝ s＝1 s.
7．由消防水龙带的喷嘴喷出水的流量是0.28 m3/min，水离开喷口时的速度大小为16 m/s，方向与水平面夹角为60°，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是(重力加速度g取10 m/s2)( )
A．28.8 m 1.12×10－2 m3
B．28.8 m 0.672 m3
C．38.4 m 1.29×10－2 m3
D．38.4 m 0.776 m3
答案 A
解析 水离开喷口后做斜上抛运动，将运动分解为水平方向和竖直方向，在竖直方向上：vy＝vsin θ
代入数据可得vy＝24 m/s
故水柱能上升的高度h＝＝28.8 m
水从喷出到最高处着火位置所用的时间：t＝
代入数据可得t＝2.4 s
故空中水柱的水量V＝×0.28 m3＝1.12×10－2 m3，A项正确．
8．(多选)如图1所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则( )
图1
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
答案 CD
解析 由题可知，A、B两小球均做斜抛运动，由运动的分解可知：水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，两球的加速度均为重力加速度；设上升的最大高度为h，在下落过程，由h＝gt2，
可知下落时间t＝，
根据运动的对称性可知，两球上升时间和下落时间相等，
故两小球的运动时间相等；
由x＝vxt，可知vxA由vy2＝2gh，可知落地时，
竖直方向的速度vyA＝vyB，
再由v＝，
可知B在落地时的速度比A在落地时的大，所以正确选项为C、D.
二、非选择题
9．(斜抛运动规律的应用)从某高处以6 m/s的初速度、以30°抛射角斜向上方抛出一石子，落地时石子的速度方向和水平线的夹角为60°，求石子在空中运动的时间和抛出点离地面的高度(g取10 m/s2)．
答案 1.2 s 3.6 m
解析 如图所示，石子落地时的速度方向和水平线的夹角为60°，则＝，即vy＝vx＝v0cos 30°＝×6× m/s＝9 m/s.
取向上为正方向，落地时竖直速度向下，
则－vy＝v0sin 30°－gt，得t＝1.2 s.
由竖直方向位移公式：h＝v0sin 30°×t－gt2＝3×1.2 m－5×1.22 m＝－3.6 m，负号表示落地点比抛出点低．
第四节 平抛运动
知识目标
核心素养
1.会用运动的合成与分解的方法分析平抛运动.
2.理解平抛运动可以看作是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动.
3.会用平抛运动的规律解答有关实际问题，注意平抛运动在生活、生产中的应用.
1.掌握应用运动的合成和分解研究平抛运动的方法.
2.体会物理学中“化曲为直”“化繁为简”的思想方法.
3.通过球类比赛中的发球问题，体会“临界条件”及物理学以致用的能力.
一、平抛运动
1．定义：将物体用一定的初速度沿水平方向抛出，仅在重力作用下物体所做的运动．
2．平抛运动的特点：(1)初速度沿水平方向．
(2)只受重力作用．
3．平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动．
二、平抛运动的分解
1．分运动规律探究
(1)利用平抛仪的探究．
①水平方向上运动性质的探究．
如图1，调整电磁铁C、D分别离轨道A、B出口水平线的高度相等，并同时释放．实验发现，两铁球总是相碰．
图1
②竖直方向上运动性质的探究．
利用电磁铁C、E，保证两球的抛出点在同一水平线上，一小球从轨道A射出的同时，释放电磁铁E吸着的小球，实验发现，两者总是同时落在下面的水平轨道上．
(2)利用频闪照相法进行探究．
①水平方向相等时间内水平距离相等．
②竖直方向两球经过相等的时间，落到相同的高度，如图2.
图2
2．分运动的性质
(1)水平方向的分运动是匀速直线运动．
(2)竖直方向的分运动是自由落体运动．
三、平抛运动的规律
1．速度
(1)水平方向：vx＝v0.
(2)竖直方向：vy＝gt.
2．位移
(1)水平方向：x＝v0t.
(2)竖直方向：y＝gt2.
1．判断下列说法的正误．
(1)平抛运动物体的速度、加速度都随时间增大．(×)
(2)平抛运动是曲线运动，但不是匀变速运动．(×)
(3)平抛运动的物体初速度越大，下落得越快．(×)
(4)平抛运动物体的速度方向与水平方向的夹角越来越大，若足够高，速度方向最终可能竖直向下．(×)
2．在80 m的低空有一小型飞机以30 m/s的速度水平飞行，假定从飞机上释放一物体，g取10 m/s2，不计空气阻力，那么物体落地时间是__________s，它在下落过程中发生的水平位移是__________m；落地时的速度大小为________m/s.
答案 4 120 50
解析 由h＝gt2，得：t＝，代入数据得：t＝4 s
水平方向x＝v0t，代入数据得：
x＝30×4 m＝120 m
v0＝30 m/s，vy＝＝40 m/s
由v＝代入数据得v＝50 m/s.
一、对平抛运动的理解
如图3所示，一人正练习水平投掷飞镖，若不计空气阻力，请思考：
图3
(1)飞镖投出后，其加速度的大小和方向是否变化？
(2)飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？
答案 (1)加速度为重力加速度g，大小和方向均不变．
(2)匀变速运动．
1．平抛运动的特点
(1)速度特点：平抛运动的速度大小和方向都不断变化，故它是变速运动．
(2)轨迹特点：平抛运动的运动轨迹是曲线，故它是曲线运动．
(3)加速度特点：平抛运动的加速度为自由落体加速度．
2．平抛运动的速度变化
如图4所示，由Δv＝gΔt知，任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，方向竖直向下．
图4
例1 关于平抛运动，下列说法中正确的是( )
A．平抛运动是一种变加速运动
B．做平抛运动的物体加速度随时间逐渐增大
C．做平抛运动的物体每秒内速度增量相等
D．做平抛运动的物体每秒内位移增量相等
答案 C
解析 平抛运动是匀变速曲线运动，其加速度为重力加速度g，故加速度的大小和方向恒定，在Δt时间内速度的改变量为Δv＝gΔt，因此可知每秒内速度增量大小相等、方向相同，选项A、B错误，C正确；由于水平方向的位移x＝v0t，每秒内水平位移增量相等，而竖直方向的位移h＝gt2，每秒内竖直位移增量不相等，所以选项D错误．
二、平抛运动的规律及应用
如图5所示为小球水平抛出后，在空中做平抛运动的运动轨迹．(自由落体加速度为g，初速度为v0)
图5
(1)小球做平抛运动，运动轨迹是曲线，为了便于研究，我们应如何建立坐标系？
(2)以抛出时为计时起点，求t时刻小球的速度大小和方向．
(3)以抛出时刻为计时起点，求t时刻小球的位移大小和方向．
答案 (1)一般以初速度v0的方向为x轴的正方向，竖直向下的方向为y轴的正方向，以小球被抛出的位置为坐标原点建立平面直角坐标系．
(2)如图，初速度为v0的平抛运动，经过时间t后，其水平分速度vx＝v0，竖直分速度vy＝gt.根据运动的合成规律可知，小球在这个时刻的速度(即合速度)大小v＝＝，设这个时刻小球的速度与水平方向的夹角为θ，则有tan θ＝＝.
(3)如图，水平方向：x1＝v0t
竖直方向：y1＝gt2
合位移：
s＝＝
合位移方向：tan α＝＝(α表示合位移方向与水平方向之间的夹角)．
1．平抛运动的研究方法
(1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动．
(2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等．
2．平抛运动的规律
(1)平抛运动的时间：t＝，只由高度决定，与初速度无关．
(2)水平位移(射程)：x＝v0t＝v0，由初速度和高度共同决定．
(3)落地速度：v＝＝，与水平方向的夹角为θ，tan θ＝＝，落地速度由初速度和高度共同决定．
3．平抛运动的推论
(1)如图6所示，平抛运动的速度偏向角为θ，则tan θ＝＝.平抛运动的位移偏向角为α，则tan α＝＝＝＝tan θ.
可见位移偏向角与速度偏向角的正切值的比值为1∶2.
图6
(2)如图7所示，从O点抛出的物体经时间t到达P点，速度的反向延长线交OB于A点．
图7
则OB＝v0t，AB＝＝gt2·＝gt2·＝v0t.
可见AB＝OB，所以A为OB的中点．
例2 某卡车在公路上与路旁障碍物相撞．处理事故的警察在泥地中发现了一个小的金属物体，经判断，它是相撞瞬间车顶上一个松脱的零件被抛出而陷在泥里的．为了判断卡车是否超速，需要测量的量是(空气阻力不计)( )
A．车的长度，车的质量
B．车的高度，车的质量
C．车的长度，零件脱落点与陷落点的水平距离
D．车的高度，零件脱落点与陷落点的水平距离
答案 D
解析 根据平抛运动知识可知h＝gt2，x＝vt，车顶上的零件平抛出去，因此只要知道车顶到地面的高度，即可求出时间．测量零件脱落点与陷落点的水平距离即可求出相撞时的瞬时速度，答案为D.
例3 用30 m/s的初速度水平抛出一个物体，经过一段时间后，物体的速度方向与水平方向成30°角，不计空气阻力，g取10 m/s2.
(1)求此时物体相对于抛出点的水平位移大小和竖直位移大小；
(2)再经过多长时间，物体的速度方向与水平方向的夹角为60°？(物体的抛出点足够高)
答案 (1)30 m 15 m (2)2 s
解析 (1)设物体在A点时速度方向与水平方向成30°角，如图所示，tan 30°＝＝，tA＝＝ s
所以在此过程中水平方向的位移xA＝v0tA＝30 m
竖直方向的位移yA＝gtA2＝15 m.
(2)设物体在B点时速度方向与水平方向成60°角，总运动时间为tB，则tB＝＝3 s
所以物体从A点运动到B点所经历的时间Δt＝tB－tA＝2 s.
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的速度和位移的分解
三、平抛运动的临界问题
例4 如图8所示，排球场的长度为18 m，其网的高度为2 m．运动员站在离网3 m远的线上，正对网前竖直跳起把球垂直于网水平击出．设击球点的高度为2.5 m，问：球被水平击出时的速度v在什么范围内才能使球既不触网也不出界？(不计空气阻力，g取10 m/s2)
图8
答案 见解析
解析 如图所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰不出界时其运动轨迹为Ⅱ，根据平抛运动规律x＝v0t和y＝gt2可得，当排球恰不触网时有
x1＝3 m，x1＝v1t1①
h1＝2.5 m－2 m＝0.5 m，h1＝gt12②
由①②可得v1≈9.5 m/s.
当排球恰不出界时有：
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v2t2③
h2＝2.5 m，h2＝gt22④
由③④可得v2≈17 m/s.
所以球既不触网也不出界的水平击出速度范围是：
9．5 m/s【考点】平抛运动中的临界问题
【题点】平抛运动双边界临界位移问题
分析平抛运动中的临界问题时一般运用极端分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找出产生临界的条件．
针对训练 (多选)刀削面是很多人喜欢的面食之一，因其风味独特而驰名中外．刀削面全凭刀削，因此得名．如图9所示，将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用一刀片飞快地削下一片片很薄的面片，使面片飞向锅中，若面团到锅上沿水平面的距离为0.8 m，到锅最近的水平距离为0.5 m，锅的半径为0.5 m．要想使削出的面片落入锅中，则面片的水平速度可以是下列选项中的(空气阻力不计，g取10 m/s2)( )
图9
A．1 m/s B．2 m/s
C．3 m/s D．4 m/s
答案 BC
解析 由h＝gt2知，面片在空中的运动时间t＝＝0.4 s，而水平位移x＝v0t，故面片的初速度v0＝，将x1＝0.5 m，x2＝1.5 m代入得面片的最小初速度v01＝＝1.25 m/s，最大初速度v02＝＝3.75 m/s，即1.25 m/s≤v0≤3.75 m/s，选项B、C正确．
【考点】平抛运动中的临界问题
【题点】平抛运动双边界临界位移问题
1．(平抛运动的理解)(多选)关于平抛运动，下列说法正确的是( )
A．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动
B．平抛运动的速度方向与恒力方向的夹角保持不变
C．平抛运动的速度大小是时刻变化的
D．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
答案 ACD
解析 做平抛运动的物体只受重力作用，故A正确；平抛运动是曲线运动，速度时刻变化，由v＝知，合速度v在增大，故C正确；对平抛物体的速度方向与加速度(合力)方向的夹角，有tan θ＝＝，因t一直增大，所以tan θ变小，θ变小，故D正确，B错误．
【考点】对平抛运动的理解
【题点】平抛运动的性质
2．(平抛运动的规律)如图10所示，滑板运动员以速度v0从离地高h处的平台末端水平飞出，落在水平地面上．忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点，下列表述正确的是( )
A．v0越大，运动员在空中运动时间越长
B．v0越大，运动员落地瞬间速度越大
C．运动员落地瞬间速度与高度h无关
D．运动员落地位置与v0大小无关
图10
答案 B
解析 运动员在竖直方向做自由落体运动，运动员做平抛运动的时间t＝，只与高度有关，与初速度无关，A项错误；运动员落地时在竖直方向上的速度vy＝，高度越高，落地时竖直方向上的速度越大，合速度越大，C项错误；运动员落地瞬间的速度是由初速度和落地时竖直方向上的速度合成的，v＝＝，初速度越大，落地瞬间速度越大，B项正确；运动员在水平方向上做匀速直线运动，落地的水平位移x＝v0t＝v0，故落地的位置与初速度有关，D项错误．
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的时间、速度和位移
3．(平抛运动的规律)网球是一项比较流行的体育运动．两位运动员分别从同一高度、同一方向水平发出甲、乙两只网球，甲球出界了，乙球恰好越过球网落在界内，不计空气阻力，对于两球的初速度v甲和v乙，飞行时间t甲和t乙，下落过程中的加速度a甲和a乙的比较正确的是( )
A．v甲a乙
C．v甲>v乙，t甲v乙，t甲＝t乙
答案 D
解析 两球均做平抛运动，则加速度均为g；抛出的高度相同，根据t＝可知，飞行的时间相同；因甲出界，乙落在界内，可知甲的水平位移较大，根据v＝可知，甲的初速度比乙大，故选D.
【考点】平抛运动的时间、速度和加速度
【题点】平抛运动的时间、速度和加速度
4．(平抛运动规律的应用)如图11所示是网球发球机，某次室内训练时将发球机放在距地面一定的高度，然后向竖直墙面发射网球．假定网球均水平射出，某两次射出的网球碰到墙面时速度与水平方向夹角分别为30°和60°，若不考虑网球在空中受到的阻力，则( )
图11
A．两次发射的初速度大小之比为3∶1
B．碰到墙面前在空中运动时间之比为1∶
C．下落高度之比为1∶
D．碰到墙面时速度大小之比为3∶1
答案 B
解析 设网球碰到墙面时速度与水平方向的夹角为θ，tan θ＝＝①
x＝v0t②
由①②得：tan θ＝，故＝，＝，B正确.＝＝，A错误.＝＝＝，C错误．v＝，故＝·＝×＝，D错误．
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的速度和位移的分解
5．(平抛运动的临界问题)如图12所示，M、N是两块挡板，挡板M高h′＝10 m，其上边缘与挡板N的下边缘在同一水平面．从高h＝15 m的A点以速度v0水平抛出一小球(可视为质点)，A点与两挡板的水平距离分别为d1＝10 m，d2＝20 m．N板的上边缘高于A点，若能使小球直接进入挡板M的右边区域，则小球水平抛出的初速度v0的大小可能是下列给出数据中的(g取10 m/s2，空气阻力不计)( )
图12
A．v0＝8 m/s B．v0＝4 m/s
C．v0＝15 m/s D．v0＝21 m/s
答案 C
解析 要让小球落到挡板M的右边区域，下落的高度为两高度之差，由t＝得t＝1 s，由d1＝v01t，d2＝v02t，得v0的范围为10 m/s≤v0≤20 m/s，故选C.
【考点】平抛运动中的临界问题
【题点】平抛运动双边界临界位移问题
一、选择题
考点一 平抛运动的理解
1．在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地．若不计空气阻力，则( )
A．垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定
B．垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定
C．垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定
D．垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定
答案 D
解析 垒球被击出后做平抛运动，设垒球在空中运动时间为t，由h＝gt2得t＝，故t仅由高度h决定，选项D正确；水平位移x＝v0t＝v0，故水平位移x由初速度v0和高度h共同决定，选项C错误；落地速度v＝＝，故落地速度v由初速度v0和高度h共同决定，选项A错误；设落地速度v与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝，故选项B错误．
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的时间、速度和位移
2．某弹射管两次弹出的小球速度相等．该弹射器在沿光滑竖直轨道自由下落过程中始终保持水平，先后弹出两只小球．忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的( )
A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同
C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同
答案 B
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的时间、位移
考点二 平抛运动规律的应用
3．某同学玩飞镖游戏，先后将两支飞镖a、b由同一位置水平投出，已知飞镖投出的初速度va＞vb，不计空气阻力，则两支飞镖插在竖直靶上的状态(侧视图)可能是( )
答案 A
解析 由平抛运动的规律x＝v0t，h＝gt2，速度大的时间短，h较小，又tan θ＝＝＝，x相同，运动时间短的θ小，即插在竖直靶上飞镖与水平方向夹角小，A正确．
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的时间、速度和位移
4．某羽毛球运动员曾在某综艺节目中表演羽毛球定点击鼓，如图1是他表演时的羽毛球场地示意图．图中甲、乙两鼓等高，丙、丁两鼓较低但也等高．若运动员各次发球时羽毛球飞出位置不变且均做平抛运动，则( )
图1
A．击中甲、乙的两球初速度v甲＝v乙
B．击中甲、乙的两球初速度v甲>v乙
C．假设某次发球能够击中甲鼓，用相同速度发球可能击中丁鼓
D．击中四鼓的羽毛球中，击中丙鼓的初速度最大
答案 B
解析 甲、乙距飞出点的高度相同，击中甲、乙的羽毛球的运动时间相同，由于水平位移x甲>x乙，所以v甲>v乙，B正确．
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的速度、时间和位移
5．在抗震救灾中，一架飞机水平匀速飞行．从飞机上每隔1 s释放1包物品，先后共释放4包(都未落地)，若不计空气阻力，从地面上观察4包物品( )
A．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的
B．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是不等间距的
C．在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的
D．在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落地点是不等间距的
答案 C
解析 因为不计空气阻力，物品在水平方向将保持和飞机一致的匀速运动，因而4包物品在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线；因为飞机高度一致，物品做平抛运动的时间一致，水平速度一致，时间间隔一致，所以它们的落地点是等间距的．
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的速度、时间和位移
6．将一小球从距地面h高处，以初速度v0水平抛出，小球落地时速度为v，它的竖直分量为vy，重力加速度为g，不计空气阻力，则下列各式中不能表示小球在空中飞行时间的是( )
A. B.
C. D.
答案 B
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的时间
7．(多选)物体以初速度v0水平抛出，若不计空气阻力，重力加速度为g，则当其竖直分位移与水平分位移相等时，以下说法中正确的是( )
A．竖直分速度等于水平分速度
B．瞬时速度大小为v0
C．运动的时间为
D．运动的位移为
答案 BCD
解析 因为平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，由竖直分位移和水平分位移相等可知gt2＝v0t，解得t＝，又由于vy＝gt＝2v0，所以v＝＝v0，s＝＝v0t＝，故正确选项为B、C、D.
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的速度和位移的分解
8．如图2所示，从同一条竖直线上两个不同点分别向右平抛两个小球P和Q，初速度分别为v1、v2，结果它们同时落到水平面上的M点处(不考虑空气阻力)．下列说法中正确的是( )
图2
A．一定是P先抛出的，并且v1＝v2
B．一定是P先抛出的，并且v1＜v2
C．一定是Q先抛出的，并且v1＝v2
D．一定是Q先抛出的，并且v1＞v2
答案 B
解析 两小球被抛出后均做平抛运动，根据平抛运动规律可知，在竖直方向上有：h＝gt2，解得小球运动的时间t＝，由题图可知小球P的下落高度h1大于小球Q的下落高度h2，因此两球的运动时间有：t1＞t2，因两球同时落地，所以小球P先抛出，故选项C、D错误；在水平方向上有：x＝vt，由题图可知：x1＝x2，所以v1＜v2，故选项A错误，选项B正确．
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的时间和速度
考点三 平抛运动的临界问题
9．(多选)如图3所示，一个电影替身演员准备跑过一个屋顶，然后水平地跳跃并离开屋顶，在下一栋建筑物的屋顶上着地．如果他在屋顶跑动的最大速度是4.5 m/s，那么下列关于他能否安全跳过去的说法正确的是(g取 10 m/s2，不计空气阻力)( )
图3
A．他安全跳过去是可能的
B．他安全跳过去是不可能的
C．如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃速度应不小于6.2 m/s
D．如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃速度应小于4.5 m/s
答案 BC
解析 由h＝gt2，x＝v0t
将h＝5 m，x＝6.2 m代入解得：
安全跳过去的最小水平速度v0＝6.2 m/s，
选项B、C正确．
【考点】平抛运动的临界问题
【题点】平抛运动的临界问题
10．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图4所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
图4
A.B.C.D.答案 D
解析 设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间，则竖直方向上有3h－h＝gt12①
水平方向上有＝v1t1②
由①②两式可得v1＝.
设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3h＝gt22③
在水平方向有 ＝v2t2④
由③④两式可得v2＝ .
则v的最大取值范围为v1【考点】平抛运动的临界问题
【题点】平抛运动双边界临界位移问题
二、非选择题
11．(平抛运动规律的应用)物体做平抛运动，在它落地前的1 s内它的速度方向与水平方向夹角由30°变成60°，g＝10 m/s2.求：
(1)平抛运动的初速度v0的大小；
(2)平抛运动的时间；
(3)平抛时的高度．
答案 (1)5 m/s (2)1.5 s (3)11.25 m
解析 (1)假定轨迹上A、B两点是落地前1 s内的始、终点，画好轨迹图，如图所示．
对A点：tan 30°＝①
对B点：tan 60°＝②
t′＝t＋1 s③
由①②③解得t＝ s，v0＝5 m/s.
(2)运动总时间t′＝t＋1 s＝1.5 s.
(3)高度h＝gt′2＝11.25 m.
【考点】平抛运动规律的综合应用
【题点】平抛运动规律的综合应用
12．(平抛运动的临界问题)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图5所示，P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h，重力加速度为g.
图5
(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
(2)求能被屏探测到的微粒的初速度大小范围．
答案 (1) (2)≤v≤L
解析 (1)打在AB中点的微粒，竖直方向有h＝gt2
解得t＝.
(2)打在B点的微粒，有v1＝，2h＝gt12
解得v1＝.
同理，打在A点的微粒初速度v2＝L.
微粒初速度大小范围为≤v≤L.
【考点】平抛运动的临界问题
【题点】平抛运动双边界临界位移问题
