1 天体运动
[学习目标] 1.了解地心说和日心说两种学说的内容.2.了解开普勒行星运动三定律的内容.3.了解人们对行星运动的认识过程是漫长复杂的，来之不易．
一、两种对立学说
1．地心说
地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动．
2．日心说
太阳是宇宙的中心，是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动．
二、开普勒行星运动定律
1．第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．
2．第二定律：从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积．
3．第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量．其表达式为＝k，其中r是椭圆轨道的半长轴，T是行星绕中心天体公转的周期，k是一个与行星无关(填“有关”或“无关”)的常量．
1．判断下列说法的正误．
(1)太阳系中所有行星都绕太阳做匀速圆周运动．(×)
(2)太阳系中所有行星都绕太阳做椭圆运动，且它们到太阳的距离各不相同．(√)
(3)围绕太阳运动的各行星的速率是不变的．(×)
(4)开普勒第三定律公式＝k中的T表示行星自转的周期．(×)
(5)对同一恒星而言，行星轨道的半长轴越长，公转周期越长．(√)
2．如图1所示是行星m绕恒星M运动情况的示意图，下列说法正确的是( )
图1
A．速度最大点是B点
B．速度最小点是C点
C．m从A到B做减速运动
D．m从B到A做减速运动
答案 C
【考点】开普勒第二定律的理解及应用
【题点】开普勒第二定律的应用
一、对开普勒定律的理解
1．开普勒第一定律解决了行星的轨道问题
图2 图3
行星的轨道都是椭圆，如图2所示．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，太阳处在椭圆的一个焦点上，如图3所示，即所有轨道都有一个共同的焦点——太阳．因此开普勒第一定律又叫轨道定律．
2．开普勒第二定律解决了行星绕太阳运动的速度大小问题
(1)如图4所示，如果时间间隔相等，由开普勒第二定律知，面积SA＝SB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大．因此开普勒第二定律又叫面积定律．
图4
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点．同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小．
3．开普勒第三定律解决了行星公转周期的长短问题
图5
(1)如图5所示，由＝k知椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长，因此开普勒第三定律也叫周期定律．常量k与行星无关，只与太阳有关．
(2)该定律也适用于卫星绕地球的运动，其中常量k与卫星无关，只与地球有关，也就是说k值大小由中心天体决定．
例1 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星和木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
答案 C
解析 太阳位于木星运行的椭圆轨道的一个焦点上，选项A错误．由于火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，火星和木星绕太阳运行的速度大小在变化，选项B错误．根据开普勒行星运动定律可知，火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方，选项C正确．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积不等于木星与太阳连线扫过的面积，选项D错误．
【考点】开普勒定律的理解
【题点】开普勒定律的理解
针对训练1 (多选)下列关于行星绕太阳运动的说法正确的是( )
A．太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点
B．太阳系中的八大行星的轨道有的是圆形，并不都是椭圆
C．行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向
D．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直
答案 AC
解析 太阳系中的八大行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳位于八大行星椭圆轨道的一个公共焦点上，选项A正确，B错误；行星的运动是曲线运动，运动方向总是沿着轨道的切线方向，选项C正确；行星从近日点向远日点运动时，行星的运动方向和它与太阳连线的夹角大于90°，行星从远日点向近日点运动时，行星的运动方向和它与太阳连线的夹角小于90°，选项D错误．
【考点】开普勒定律的理解
【题点】开普勒定律的理解
二、开普勒定律的应用
由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究中可以按圆周运动处理，且是匀速圆周运动，这时椭圆轨道的半长轴取圆轨道的半径．
例2 1970年4月24日，我国发射了第一颗人造卫星，其近地点高度是h1＝439 km，远地点高度是h2＝2 384 km，则近地点处卫星的速率约为远地点处卫星速率的多少倍？(已知地球的半径R＝6 400 km)
答案 1.28倍
解析 设一段很短的时间为Δt，近地点在B点，当Δt很小时，卫星和地球的连线扫过的面积可按三角形面积进行计算，如图所示，即、都可视为线段．
由开普勒第二定律得SABCF＝SMPNF，即
v1Δt(R＋h1)＝v2Δt(R＋h2)
所以＝
代入数据得≈1.28.
【考点】开普勒第二定律的理解与应用
【题点】开普勒第二定律的应用
例3 长期以来，“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19 600 km，公转周期T1＝6.39天．后来，天文学家又发现了两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转半径r2＝48 000 km，则它的公转周期T2最接近于( )
A．15天 B．25天
C．35天 D．45天
答案 B
解析 根据开普勒第三定律得＝，
则T2＝T1≈24.5 天，最接近25天，故选B.
【考点】开普勒第三定律的理解与应用
【题点】开普勒第三定律的应用
开普勒第三定律揭示的是不同行星运动快慢的规律，应用时要注意以下两个问题：
(1)首先判断两个行星的中心天体是否相同，只有对同一个中心天体开普勒第三定律才成立．
(2)明确题中给出的周期关系或半径关系之后，根据开普勒第三定律列式求解．
针对训练2 木星和地球都绕太阳公转，木星的公转周期约为12年，地球与太阳的距离为1天文单位，则木星与太阳的距离约为( )
A．2天文单位 B．5.2天文单位
C．10天文单位 D．12天文单位
答案 B
解析 根据开普勒第三定律＝k，得r＝，设地球与太阳的距离为r1，木星与太阳的距离为r2，则得＝＝≈5.2，所以r2≈5.2r1＝5.2天文单位，选项B正确．
【考点】开普勒第三定律的理解与应用
【题点】开普勒第三定律的应用
1．(对开普勒第三定律的认识)(多选)关于开普勒行星运动定律的表达式＝k，以下理解正确的是( )
A．k是一个与行星无关的常量
B．r代表行星的球体半径
C．T代表行星运动的自转周期
D．T代表行星绕中心天体运动的公转周期
答案 AD
解析 开普勒第三定律中的公式＝k，k是一个与行星无关的常量，与中心天体有关，选项A正确；r代表行星绕中心天体运动的椭圆轨道的半长轴，选项B错误；T代表行星绕中心天体运动的公转周期，选项C错误，D正确．
【考点】开普勒第三定律的理解与应用
【题点】开普勒第三定律的理解
2．(开普勒第二定律的应用)某行星沿椭圆轨道运动，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时的速率为( )
A．vb＝va B．vb＝va
C．vb＝va D．vb＝va
答案 C
解析 如图所示，A、B分别为远日点、近日点，由开普勒第二定律可知，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，取足够短的时间Δt，则有avaΔt＝bvbΔt，所以vb＝va，故选C.
【考点】开普勒第二定律的理解与应用
【题点】开普勒第二定律的应用
3．(开普勒第三定律的应用)1980年10月14日，中国科学院紫金山天文台发现了一颗绕太阳运行的小行星，2001年12月21日，经国际小行星中心和国际小行星命名委员会批准，将这颗小行星命名为“钱学森星”，以表彰这位“两弹一星”的功臣对我国科技事业做出的卓越贡献．若将地球和“钱学森星”绕太阳的运动都看做匀速圆周运动，它们的运行轨道如图6所示．已知“钱学森星”绕太阳运行一周的时间约为3.4年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则“钱学森星”绕太阳运行的轨道半径约为( )
图6
A.R B.R
C.R D.R
答案 C
解析 根据开普勒第三定律，有＝，
解得R钱＝R＝R，故C正确．
【考点】开普勒第三定律的理解与应用
【题点】开普勒第三定律的应用
一、选择题
考点一 开普勒定律的理解
1．物理学发展历史中，在前人研究基础上经过多年的尝试性计算，首先发表行星运动的三个定律的科学家是( )
A．哥白尼 B．第谷
C．伽利略 D．开普勒
答案 D
【考点】开普勒定律的理解
【题点】开普勒定律物理学史的理解
2．关于开普勒对行星运动规律的认识，下列说法正确的是( )
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
C．所有行星的轨道半长轴的二次方跟它的公转周期的三次方的比值都相同
D．所有行星的公转周期与行星的轨道半径都成正比
答案 A
解析 由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，选项A正确，B错误；由开普勒第三定律知绕同一中心天体运行的所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，选项C、D错误．
【考点】开普勒定律的理解
【题点】开普勒定律的理解
3．关于对开普勒第三定律＝k的理解，以下说法中正确的是( )
A．T表示行星运动的自转周期
B．k值只与中心天体有关，与行星无关
C．该定律只适用于行星绕太阳的运动，不适用于卫星绕行星的运动
D．若地球绕太阳运转的半长轴为r1，周期为T1，月球绕地球运转的半长轴为r2，周期为T2，则＝
答案 B
解析 T表示行星运动的公转周期，不是自转周期，A错误．k是一个与行星无关的量，k只与中心天体有关，B正确．开普勒第三定律既适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动，C错误．地球绕太阳转动，而月球绕地球转动，二者不是同一中心天体，故对应的k不同，因此≠，D错误．
【考点】开普勒第三定律的理解与应用
【题点】开普勒第三定律的理解
4．太阳系有八大行星，八大行星离地球的远近不同，绕太阳运转的周期也不相同．下列反映公转周期与行星轨道半长轴的关系图像中正确的是( )
答案 D
解析 由＝k知r3＝kT2，D项正确．
【考点】开普勒第三定律的理解与应用
【题点】开普勒第三定律的理解
5．某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图1所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的大，则太阳是位于( )
图1
A．F2 B．A
C．F1 D．B
答案 A
解析 根据开普勒第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，因为行星在A点的速率比在B点的速率大，所以太阳在离A点近的焦点上，故太阳位于F2.
【考点】开普勒第二定律的理解与应用
【题点】开普勒第二定律的理解
6．如图2所示，海王星绕太阳做椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
图2
A．从P到M所用时间等于
B．从Q到N所用时间等于
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N所用时间等于
答案 C
解析 由开普勒第二定律知，从P至Q速率在减小，C正确．由对称性知，P→M→Q与Q→N→P所用的时间为，故从P到M所用时间小于，从Q→N所用时间大于，从M→N所用时间大于，A、B、D错误．
【考点】开普勒第二定律的理解与应用
【题点】开普勒第二定律的理解
考点二 开普勒定律的应用
7．某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运动半径的，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星绕地球运动的周期是( )
A.天 B.天 C．1天 D．9天
答案 C
解析 由于r卫＝r月，T月＝27天，由开普勒第三定律得＝，可得T卫＝1天，故选项C正确．
【考点】开普勒第三定律的理解与应用
【题点】开普勒第三定律的应用
8．太阳系八大行星绕太阳运行的轨道可粗略地视为圆，下表是各行星的半径和轨道半径.
行星名称
水星
金星
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
行星半径/×106 m
2.44
6.05
6.37
3.39
69.8
58.2
23.7
22.4
轨道半径/×1011 m
0.579
1.08
1.50
2.28
7.78
14.3
28.7
45.0
从表中所列数据可以估算出海王星的公转周期最接近( )
A．80年 B．120年
C．165年 D．200年
答案 C
解析 设海王星绕太阳运行的轨道半径为r1，公转周期为T1，地球绕太阳运行的轨道半径为r2，公转周期为T2(T2＝1年)，由开普勒第三定律有＝，故T1＝·T2≈164年，最接近165年，故选C.
【考点】开普勒第三定律的理解与应用
【题点】开普勒第三定律的应用
9．若太阳系八大行星的公转轨道可近似看做圆轨道，地球与太阳之间的平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为( )
水星
金星
地球
火星
木星
土星
公转周期(年)
0.241
0.615
1
1.88
11.86
29.5
A.1.2亿千米 B．2.3亿千米
C．4.6亿千米 D．6.9亿千米
答案 B
解析 由表中数据知T地＝1年，T火＝1.88年，由＝得，r火＝≈2.3亿千米，故B正确．
【考点】开普勒第三定律的理解与应用
【题点】开普勒第三定律的应用
二、非选择题
10．(开普勒第三定律的应用)月球环绕地球运行的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天．应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地多高时，人造地球卫星随地球一起转动，就像停留在天空中不动一样？(结果保留三位有效数字，取R地＝6 400 km)
答案 3.63×104 km
解析 当人造地球卫星相对地球不动时，人造地球卫星的周期与地球自转周期相同．
设人造地球卫星的轨道半径为R，运行周期为T.
根据题意知月球的轨道半径为60R地，运行周期为T0＝27 天，则有＝.整理得
R＝×60R地＝×60R地≈6.67R地．
卫星离地高度H＝R－R地＝5.67R地＝5.67×6 400 km≈3.63×104 km.
【考点】开普勒第三定律的理解与应用
【题点】开普勒第三定律的应用
2 万有引力定律
[学习目标] 1.了解万有引力定律得出的思维过程，知道地球上物体下落与天体运动的统一性.2.理解万有引力定律的含义，知道万有引力定律的普遍性，会用万有引力定律解决相关问题.3.了解引力常量G的测定在科学历史上的重大意义．
一、与引力有关现象的思考
1．苹果落地的原因：苹果受到地球的吸引力．
2．月球绕地球做圆周运动的原因：受到地球对月球的引力．
3．行星围绕太阳运动的向心力也是太阳对行星的引力．
二、万有引力定律
1．太阳与行星间引力的推导：
(1)太阳对行星的引力：F∝.
(2)行星对太阳的引力：F′∝.
(3)总结F与F′的关系：F＝F′∝.
2．万有引力定律
(1)内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间的距离的平方成反比．
(2)表达式：F＝G.
三、引力常量
1．测定：在1798年，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验较精确地测出引力常量．
2．数值：国际科学联盟理事会科技数据委员会2002年推荐的引力常量数值为G＝6.672(10)×10－11 N·m2/kg2，通常可以取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
3．意义：使万有引力定律能进行定量运算，显示出其真正的实用价值．
1．判断下列说法的正误．
(1)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间．(√)
(2)引力常量是牛顿首先测出的．(×)
(3)物体间的万有引力与它们间的距离成反比．(×)
(4)根据万有引力定律表达式可知，质量一定的两个物体若距离无限靠近，它们间的万有引力趋于无限大．(×)
2．两个质量都是1 kg的物体(可看成质点)，相距1 m时，两物体间的万有引力F＝ N，一个物体的重力F′＝ N，万有引力F与重力F′的比值为 ．(已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，重力加速度g＝10 m/s2)
答案 6.67×10－11 10 6.67×10－12
一、对太阳与行星间引力的理解
1．两个理想化模型
(1)将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动．
(2)将天体看成质点，且质量集中在球心上．
2．推导过程
例1 (多选)根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F′∝，其中M、m、r分别为太阳质量、行星质量和太阳与行星间的距离，下列说法正确的是( )
A．由F′∝和F∝，得F∶F′＝m∶M
B．F和F′大小相等，是作用力与反作用力
C．F和F′大小相等，是同一个力
D．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力
答案 BD
解析 F′和F大小相等、方向相反，是作用力和反作用力，太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，故正确答案为B、D.
【考点】太阳与行星间引力的推导
【题点】太阳与行星间引力的理解
二、万有引力定律
如图1所示，天体是有质量的，人是有质量的，地球上的其他物体也是有质量的．
图1
(1)任意两个物体之间都存在万有引力吗？为什么通常两个物体间感受不到万有引力，而太阳对行星的引力可以使行星围绕太阳运转？
(2)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？
答案 (1)任意两个物体间都存在着万有引力．但由于地球上物体的质量一般很小(与天体质量相比)，地球上两个物体间的万有引力远小于地面对物体的最大静摩擦力，通常感受不到，但天体质量很大，天体间的引力很大，对天体的运动起决定作用．
(2)相等．它们是一对相互作用力．
1．万有引力定律表达式F＝G，式中G为引力常量．G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪许在实验室中比较准确地测出．
测定G值的意义：(1)证明了万有引力定律的存在；(2)使万有引力定律有了真正的实用价值．
2．万有引力定律的适用条件
严格地说，万有引力定律适用于计算质点间的相互作用的引力大小．常见情况如下：
(1)适用于计算两个质量分布均匀的球体间的万有引力，其中r是两个球体球心间的距离．
(2)计算一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力，其中r为球心与质点间的距离．
(3)当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体质心间的距离．
3．万有引力的特点：
(1)万有引力的普遍性．万有引力不仅存在于星球间，任何客观存在的有质量的物体之间都存在着这种相互吸引力．
(2)万有引力的相互性．两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用于两个物体上．
(3)万有引力的宏观性．在通常情况下，万有引力非常小，只是在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有实际的物理意义．
例2 (多选)对于质量分别为m1和m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝G，下列说法中正确的是( )
A．公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的
B．当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．m1和m2所受引力大小总是相等的
D．质量大的物体受到的引力大
答案 AC
解析 引力常量G的值是由英国物理学家卡文迪许通过实验测出的，A正确．两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上，C正确，D错误．当r趋于零时，这两个物体不能看成质点，万有引力公式不再适用，B错误．
【考点】万有引力定律的理解
【题点】万有引力定律的理解
对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F＝G得出r→0时F→∞的结论而违背公式的物理含义.因为，此时由于r→0，物体已不再能看成质点，万有引力公式已不再适用.
例3 如图2所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为( )
图2
A．G B．G
C．G D．G
答案 D
解析 两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力应为G，故选D.
【考点】万有引力大小的分析与计算
【题点】质量分布均匀的球体间引力的计算
针对训练1 如图3所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F.如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为( )
图3
A. B. C. D.
答案 C
解析 利用填补法来分析此题．原来物体间的万有引力为F，挖去的半径为的球体的质量为原来球体的质量的，其他条件不变，故剩余部分对质点P的万有引力为F－＝F.
三、重力和万有引力的关系
1．物体在地球表面上所受引力与重力的关系
地球在不停地自转，地球上的物体随着地球自转而做圆周运动，做圆周运动需要一个向心力，所以重力不直接等于万有引力而是近似等于万有引力，如图4，万有引力为F引，重力为G，自转向心力为F′.当然，真实情况不会有这么大的偏差．
图4
(1)物体在一般位置时
F′＝mrω2，F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg(2)当物体在赤道上时，F′达到最大值Fmax′，
Fmax′＝mRω2，此时重力最小；
Gmin＝F引－Fmax′＝G－mRω2.
(3)当物体在两极时F′＝0
G＝F引，重力达到最大值Gmax＝G.
可见只有在两极处重力等于万有引力，其他位置重力小于万有引力．
(4)由于地球自转角速度很小，自转所需向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力，mg≈G，g为地球表面的重力加速度．
2．重力与高度的关系
若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)．所以在同一纬度距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小．
例4 火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的，那么地球表面上质量为50 kg的宇航员(在地球表面的重力加速度g取10 m/s2)
(1)在火星表面上受到的重力是多少？
(2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m高，那他在火星表面能跳多高？
答案 (1)222.2 N (2)3.375 m
解析 (1)在地球表面有mg＝G，得g＝G
同理可知，在火星表面上有g′＝G
即g′＝＝＝g＝ m/s2
宇航员在火星表面上受到的重力
G′＝mg′＝50× N≈222.2 N.
(2)在地球表面宇航员跳起的高度H＝
在火星表面宇航员跳起的高度h＝
综上可知，h＝H＝×1.5 m＝3.375 m.
【考点】万有引力和重力的关系
【题点】利用“万有引力＝重力”计算重力加速度
针对训练2 地球与物体间的万有引力可以认为在数值上等于物体的重力，那么在6 400 km的高空，物体的重力与它在地面上的重力之比为(R地＝6 400 km)( )
A．2∶1 B．1∶2
C．1∶4 D．1∶1
答案 C
解析 物体在6 400 km的高空中距地心的距离为物体在地球表面与地心距离R0的2倍，则在6 400 km的高空时物体的重力F＝G＝，而在地面上时物体的重力F0＝G，故＝，C正确．
【考点】万有引力和重力的关系
【题点】万有引力和重力的关系
1．(对万有引力定律的理解)关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )
A．不能看做质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有能看做质点的两物体间的引力才能用F＝计算
C．由F＝知，两物体间距离r减小时(没有无限靠近)，它们之间的引力增大
D．引力常量的大小首先是由牛顿精确测出的，且约等于6.67×10－11 N·m2/kg2
答案 C
解析 任何物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用F＝来计算，B错；物体间的万有引力与它们间距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C对；引力常量G是由卡文迪许首先精确测出的，D错．
【考点】万有引力定律的理解
【题点】万有引力定律的理解
2．(万有引力公式的简单应用)两个质量分布均匀的球体，两球心相距r，它们之间的万有引力为10－8 N，若它们的质量、球心间的距离都增加为原来的2倍，则它们之间的万有引力为( )
A．10－8 N B．0.25×10－8 N
C．4×10－8 N D．10－4 N
答案 A
解析 原来的万有引力为F＝G
后来变为F′＝G＝G
即F′＝F＝10－8 N，故选项A正确．
【考点】万有引力大小的分析与计算
【题点】质量分布均匀的球体间引力的计算
3．(万有引力定律的简单应用)两个完全相同的、质量分布均匀的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F.若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两大铁球之间的万有引力为( )
A．2F B．4F C．8F D．16F
答案 D
解析 两个小铁球之间的万有引力为F＝G＝G.实心小铁球的质量为m＝ρV＝ρ·πr3，大铁球的半径是小铁球的2倍，则大铁球的质量m′与小铁球的质量m之比为＝＝8，故两个大铁球间的万有引力为F′＝G＝16F，故选D.
【考点】万有引力大小的分析与计算
【题点】质量分布均匀的球体间引力的计算
4．(重力加速度的计算)设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的引力作用而产生的加速度为g，则为( )
A．1 B. C. D.
答案 D
解析 地球表面处的重力加速度和距离地心4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有：
地面上：G＝mg0
距离地心4R处：G＝mg
联立两式得＝()2＝，故D正确．
【考点】万有引力和重力的关系
【题点】利用“万有引力＝重力”计算重力加速度
一、选择题
考点一 万有引力定律的理解
1．(多选)下列关于万有引力的说法，正确的有( )
A．物体落到地面上，说明地球对物体有引力，物体对地球没有引力
B．万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的
C．地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的合力都是地球的万有引力
D．F＝G中，G是一个比例常数，没有单位
答案 BC
解析 物体间力的作用是相互的，物体落到地面上，地球对物体有引力，物体对地球也存在引力，选项A错误；万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，选项B正确；地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的合力都是地球的万有引力，选项C正确；国际单位制中质量m、距离r、力F的单位分别是kg、m、N，根据牛顿的万有引力定律F＝G，得到G的单位是N·m2/kg2，选项D错误.
2．(多选)关于引力常量G，下列说法中正确的是( )
A．G值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值
B．引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
C．引力常量G在数值上等于两个质量都是1 kg的可视为质点的物体相距1 m时的相互吸引力
D．引力常量G是不变的，其数值大小由卡文迪许测出，与单位制的选择无关
答案 AC
解析 牛顿提出了万有引力之后的100年中由于G值没有测出，而只能进行定性分析，G值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值，选项A正确；引力常量是一个常数，其大小与质量以及两物体间的距离无关，选项B错误；根据万有引力定律可知，引力常量G在数值上等于两个质量都是1 kg的可视为质点的物体相距1 m时的相互吸引力，选项C正确；引力常量是定值，其数值大小由卡文迪许测出，但其大小与单位制的选择有关，选项D错误．
【考点】万有引力定律的理解
【题点】引力常量的理解
3．2018年6月5日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“风云二号H星”．假设该卫星质量为m，在离地面高度为h的轨道上绕地球做匀速圆周运动．已知地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则地球对该卫星的万有引力大小为( )
A．G B．G
C．G D．G
答案 D
解析 根据万有引力定律可知F＝G，故选D.
【考点】万有引力定律的理解
【题点】万有引力定律的理解
考点二 万有引力定律的简单应用
4．要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法不正确的是( )
A．使两物体的质量各减小一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
C．使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变
D．两物体的质量和距离都减小到原来的
答案 D
解析 万有引力定律的表达式为F＝G，根据该公式可知，使两物体的质量各减小一半，距离不变，则万有引力变为原来的，A正确；使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变，则万有引力变为原来的，B正确；使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变，则万有引力变为原来的，C正确；两物体的质量和距离都减小到原来的，则万有引力大小不变，D错误．
【考点】万有引力大小的分析与计算
【题点】万有引力大小的分析与计算
5．某物体在地面上受到地球对它的万有引力为F.若此物体受到的引力减小到，则此物体距离地面的高度应为(R为地球半径)( )
A．2R B．4R C．R D．8R
答案 C
解析 根据万有引力定律有F＝G，F＝G，解得h＝R，选项C正确．
【考点】万有引力大小的分析与计算
【题点】万有引力大小的分析与计算
6．地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为( )
A．1∶9 B．9∶1 C．1∶10 D．10∶1
答案 C
解析 设月球质量为m，则地球质量为81m，地月间距离为r，飞行器质量为m0，当飞行器距月球球心的距离为r′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则G＝G，所以＝9，r＝10r′，r′∶r＝1∶10，故选项C正确．
【考点】万有引力大小的分析与计算
【题点】万有引力大小的分析与计算
7.有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点．现从M中挖去半径为R的球体，如图1所示，则剩余部分对m的万有引力F为( )
图1
A. B.
C. D.
答案 A
解析 质量为M的球体对质点m的万有引力F1＝G＝G
挖去的球体的质量M′＝M＝
质量为M′的球体对质点m的万有引力
F2＝G＝G
则剩余部分对质点m的万有引力
F＝F1－F2＝G－G＝，故选项A正确．
8．(多选)如图2所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R，下列说法正确的是( )
图2
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
答案 BC
解析 地球与一颗卫星间的引力大小为，A错误，B正确．由几何关系可知两卫星之间的距离为r，两卫星之间的引力为＝，C正确．三颗卫星对地球引力的合力大小为零，D错误．
【考点】万有引力大小的分析与计算
【题点】万有引力大小的分析与计算
考点三 重力加速度的计算
9．地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为，则该处距地球表面的高度为( )
A．(－1)R B．R
C.R D．2R
答案 A
解析 万有引力近似等于重力，设地球的质量为M，物体质量为m，物体距地面的高度为h，分别列式＝mg，G＝m，联立得2R2＝(R＋h)2，
解得h＝(－1)R，选项A正确．
【考点】万有引力和重力的关系
【题点】万有引力和重力及重力加速度的关系
10．某地区的地下发现了天然气资源，如图3所示，在水平地面P点的正下方有一球形空腔区域内储藏有天然气．假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计．如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1)．已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是( )
图3
A. B.
C. D.
答案 D
解析 如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满密度为ρ的岩石，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时重力是kmg，故空腔填满的岩石所引起的引力为(1－k)mg，根据万有引力定律有(1－k)mg＝G，解得V＝，故选D.
【考点】万有引力和重力的关系
【题点】万有引力和重力及重力加速度的关系
二、非选择题
11．(万有引力定律的应用)火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的.一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为100 kg，则在火星上其质量为多少？重力为多少？(设地面上重力加速度g＝9.8 m/s2，星球对物体的引力等于物体的重力)
答案 100 kg 436 N
解析 质量是物体本身的属性，在不同的星球上物体质量不变，还是100 kg.
由G重＝G得，在火星表面物体重力与地球表面物体重力之比＝·＝×＝
所以物体在火星上的重力G重火＝×100×9.8 N≈436 N.
【考点】万有引力和重力的关系
【题点】万有引力和重力及重力加速度的关系
12．(万有引力定律的应用)一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图4所示．已知挖去的小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为m2的质点，求：
图4
(1)被挖去的小球对m2的万有引力为多大？
(2)剩余部分对m2的万有引力为多大？
答案 (1)G (2)G
解析 (1)被挖去的小球对m2的万有引力为
F2＝G＝G
(2)将挖去的小球填入空穴中，由V＝πR3可知，挖去小球前大球的质量为8m，大球对m2的引力为
F1＝G＝G
m2所受剩余部分的引力为F＝F1－F2＝G.
【考点】万有引力大小的分析与计算
【题点】填补法计算引力
13．(重力与万有引力)某物体在地面上受到的重力为160 N，将它放置在卫星中，在卫星以a＝g的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中支持物的相互挤压的力为90 N时，卫星距地球表面有多远？(地球半径R地＝6.4×103 km，g表示地面处重力加速度，g取10 m/s2)
答案 1.92×104 km
解析 卫星的升空过程可以认为是竖直向上的匀加速直线运动，设卫星离地面的距离为h，这时受到地球的万有引力为F＝G.
在地球表面G＝mg①
在上升至离地面h时，FN－G＝ma.②
由①②式得＝，
则h＝(－1)R地③
代入数值解得h＝1.92×104 km.
【考点】万有引力定律的综合应用
【题点】万有引力定律的综合应用
3 万有引力定律的应用
[学习目标] 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.2.了解“称量地球质量”“计算太阳质量”的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量.3.理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法．
一、预言彗星回归和未知星体
1．预言彗星回归
(1)哈雷根据牛顿的引力理论对彗星轨道进行计算，预言彗星将于1758年再次出现．
(2)克雷洛预言由于受木星和土星的影响，彗星推迟于1759年经过近日点，且得到证实．
2．预言未知星体
根据天王星的运动轨道与由万有引力定律计算出来的轨道存在的明显偏差，英国的亚当斯和法国的勒维耶预言了天王星轨道外的一颗行星的存在，并计算出了这颗未知行星的质量、轨道和位置．伽勒于1846年9月23日在预定区域发现了海王星，继而1930年汤姆博夫又发现了冥王星．
二、计算天体的质量
1．称量地球的质量
(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力．
(2)关系式：mg＝G.
(3)结果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．
2．太阳质量的计算
(1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力．
(2)关系式：＝mr.
(3)结论：M＝，只要知道行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量．
(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M.
1．判断下列说法的正误．
(1)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的．(√)
(2)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道．(×)
(3)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性．(√)
(4)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力．(×)
(5)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量．(×)
(6)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量．(×)
2．已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球的质量约为( )
A．2×1018 kg B．2×1020 kg
C．6×1022 kg D．6×1024 kg
答案 D
一、天体质量和密度的计算
1．卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”．
(1)他“称量”的依据是什么？
(2)若还已知地球表面重力加速度g，地球半径R，求地球的质量和密度．
答案 (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力．
(2)由mg＝G得，M＝
ρ＝＝＝.
2．如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？
答案 由＝m地r知M太＝，可以求出太阳的质量．由密度公式ρ＝可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径．
天体质量和密度的计算方法
重力加速度法
环绕法
情景
已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g
行星或卫星绕中心
天体做匀速圆周运动
思路
物体在表面的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mg＝G
行星或卫星受到的万有引力充当向心力：
G＝m()2r(G＝m或G＝mω2r)
天体质量
天体(如地球)质量：M＝
中心天体质量：M＝(M＝或M＝)
天体密度
ρ＝＝
ρ＝＝(以T为例)
说明
利用mg＝求M是忽略了天体自转，且g为天体表面的重力加速度
由F引＝F向求M，求得的是中心天体的质量，而不是做圆周运动的行星或卫星的质量
例1 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星．若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G.
(1)则该天体的密度是多少？
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？
答案 (1) (2)
解析 设卫星的质量为m，天体的质量为M.
(1)卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，M＝
根据几何知识可知天体的体积为V＝πR3
故该天体的密度为ρ＝＝＝.
(2)卫星距天体表面的高度为h时，有
G＝m(R＋h)
M＝
ρ＝＝＝.
【考点】天体密度的计算
【题点】已知周期、半径求密度
求解天体质量和密度时的两种常见错误
1．根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量．
2．混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如ρ＝误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R.
针对训练1 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量的比值约为( )
A. B．1 C．5 D．10
答案 B
解析 由G＝mr得M∝
已知＝，＝，则＝()3×()2≈1，B项正确．
【考点】计算天体的质量
【题点】已知周期、半径求质量
例2 有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，求：
(1)星球半径与地球半径之比；
(2)星球质量与地球质量之比．
答案 (1)4∶1 (2)64∶1
解析 (1)由＝mg得M＝，所以ρ＝＝＝，R＝，＝·＝＝4.
(2)由(1)可知该星球半径是地球半径的4倍．根据M＝得＝·＝64.
【考点】计算天体的质量
【题点】已知重力加速度求质量
二、天体运动的分析与计算
1．基本思路：一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，即F引＝F向．
2．常用关系：
(1)G＝ma＝m＝mω2r＝mr.
(2)忽略自转时，mg＝G(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”．
3．天体运动的物理量与轨道半径的关系
(1)由G＝m得v＝，r越大，v越小．
(2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小．
(3)由G＝m2r得T＝2π，r越大，T越大．
(4)由G＝ma得a＝，r越大，a越小．
例3 2009年2月，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞，这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件．碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境．假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是( )
A．甲的运行周期一定比乙的长
B．甲距地面的高度一定比乙的高
C．甲的向心力一定比乙的小
D．甲的向心加速度一定比乙的大
答案 D
解析 甲的运行速率大，由G＝m，得v＝，由此可知，甲碎片的轨道半径小，故B错；由G＝mr，得T＝，可知甲的周期小，故A错；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C错；由＝ma得a＝，可知甲的向心加速度比乙的大，故D对．
【考点】人造卫星各物理量与半径的关系
【题点】人造卫星各物理量与半径的关系
针对训练2 如图1所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法中正确的是( )
图1
A．a、b的线速度大小之比是∶1
B．a、b的周期之比是1∶2
C．a、b的角速度大小之比是3∶4
D．a、b的向心加速度大小之比是9∶2
答案 C
解析 两卫星均做匀速圆周运动，F万＝F向．
由＝m得，＝＝＝，故A错误．
由＝mr2得，＝＝，故B错误．
由＝mrω2得，＝＝，故C正确．
由＝ma得，＝＝，故D错误．
【考点】人造卫星各物理量与半径的关系
【题点】人造卫星各物理量与半径的关系
1．(天体质量的计算)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图2所示)，每16天绕土星一周，其公转圆轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为( )
图2
A．5×1017 kg B．5×1026 kg
C．7×1033 kg D．4×1036 kg
答案 B
解析 “泰坦”围绕土星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，G＝mr，其中T＝16×24×3 600 s≈1.4×106 s，代入数据解得M≈5×1026 kg.
【考点】计算天体的质量
【题点】天体质量的综合问题
2．(天体密度的计算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要(引力常量G已知)( )
A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径
C．测定行星的体积 D．测定飞船的运行速度
答案 A
解析 取飞船为研究对象，由G＝mR及M＝πR3ρ，知ρ＝，故选A.
【考点】天体密度的计算
【题点】已知周期、半径求密度
3．(卫星各运动参量与轨道半径的关系)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )
A．周期 B．角速度
C．线速度 D．向心加速度
答案 A
解析 “高分五号”的轨道半径小于“高分四号”的轨道半径，即r五则T＝∝，T五ω＝∝，ω五>ω四，故B错；
v＝∝，v五>v四，故C错；
a＝∝，a五>a四，故D错．
【考点】天体运动规律分析
【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律
4．(天体运动各参量的比较)如图3所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
图3
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
答案 A
解析 甲、乙两卫星分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力．由牛顿第二定律有G＝ma＝mr＝mω2r＝m，可得a＝，T＝2π，ω＝，v＝.由已知条件可得a甲＜a乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω乙，v甲＜v乙，故正确选项为A.
【考点】天体运动规律分析
【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律
5．(天体运动的分析与计算)如图4所示，A、B为地球周围的两颗卫星，它们离地面的高度分别为h1、h2，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，求：
图4
(1)A的线速度大小v1；
(2)A、B的角速度大小之比ω1∶ω2.
答案 (1) (2)
解析 (1)设地球质量为M，A卫星质量为m1，
由万有引力提供向心力，对A有：＝m1①
在地球表面对质量为m′的物体有：m′g＝G②
由①②得v1＝
(2)由G＝mω2(R＋h)得，ω＝
所以A、B的角速度大小之比＝.
【考点】天体运动规律分析
【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律
一、选择题
考点一 天体质量和密度的计算
1．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( )
A．月球的质量 B．地球的质量
C．地球的半径 D．地球的密度
答案 B
解析 由天体运动规律知G＝mR可得，地球质量M＝，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项B正确．
【考点】计算天体的质量
【题点】已知周期、半径求质量
2．若地球绕太阳的公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球的公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由万有引力提供向心力得＝m，即M∝，所以＝.
【考点】计算天体的质量
【题点】已知周期、半径求质量
3．如图1所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( )
图1
A．M＝，ρ＝
B．M＝，ρ＝
C．M＝，ρ＝
D．M＝，ρ＝
答案 D
解析 设“卡西尼”号的质量为m，它围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，G＝m(R＋h)()2，其中T＝，解得M＝.又土星体积V＝πR3，所以ρ＝＝.
【考点】天体密度的计算
【题点】已知周期、半径求密度
4．2015年7月，美国宇航局通过开普勒太空望远镜发现了迄今“最接近另一个地球”的系外行星开普勒－452b，开普勒－452b围绕一颗类似太阳的恒星做匀速圆周运动，公转周期约为385天(约3.3×107 s)，轨道半径约为1.5×1011 m，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，利用以上数据可以估算出类似太阳的恒星的质量约为( )
A．1.8×1030 kg B．1.8×1027 kg
C．1.8×1024 kg D．1.8×1021 kg
答案 A
解析 根据万有引力充当向心力，有G＝mr，则中心天体的质量M＝≈ kg≈1.8×1030 kg，故A正确．
【考点】计算天体的质量
【题点】已知周期、半径求质量
5．2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 脉冲星自转，边缘物体m恰对星体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，
又知M＝ρ·πr3
整理得密度ρ＝＝ kg/m3≈5×1015 kg/m3.
【考点】天体密度的计算
【题点】已知周期、半径求密度
6．已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 对地球绕太阳的圆周运动有＝mr
对地球表面的物体有m′g＝
联立两式可得太阳质量M＝，B正确．
【考点】天体密度的计算
【题点】已知周期、半径求密度
考点二 天体的运动规律
7．(多选)如图2所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( )
图2
A．速度大 B．向心加速度大
C．运行周期长 D．角速度小
答案 CD
解析 飞船绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F引＝F，
所以G＝ma＝＝＝mrω2，
即a＝，v＝，T＝，ω＝.
因为r1v2，a1>a2，T1ω2，选项C、D正确．
【考点】人造卫星各物理量与半径的关系
【题点】人造卫星各物理量与半径的关系
8.a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星．其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上．某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图3所示，下列说法中正确的是( )
图3
A．a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度
B．b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度
C．a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度
D．a、c存在在P点相撞的危险
答案 A
解析 由G＝m＝mω2r＝mr＝ma，可知，选项B、C错误，A正确；因a、c轨道半径相同，周期相同，由题图可知当c运动到P点时不相撞，以后就不可能相撞了，选项D错误．
【考点】人造卫星各物理量与半径的关系
【题点】人造卫星各物理量与半径的关系
9．伽利略用他自制的望远镜发现了围绕木星的四颗卫星，假定四颗卫星均绕木星做匀速圆周运动，它们的转动周期如表所示，关于这四颗卫星，下列说法中正确的是( )
名称
周期/天
木卫一
1.77
木卫二
3.65
木卫三
7.16
木卫四
16.7
A.木卫一角速度最小
B．木卫四线速度最大
C．木卫四轨道半径最大
D．木卫一受到的木星的万有引力最大
答案 C
【考点】人造卫星各物理量与半径的关系
【题点】人造卫星各物理量与半径的关系
10．(多选)地球半径为R0，地面重力加速度为g，若卫星在距地面R0处做匀速圆周运动，则( )
A．卫星的线速度为
B．卫星的角速度为
C．卫星的加速度为
D．卫星的加速度为
答案 ABD
解析 由＝ma＝m＝mω2(2R0)及GM＝gR02，可得卫星的向心加速度a＝，角速度ω＝，线速度v＝，所以A、B、D正确，C错误．
【考点】天体运动规律分析
【题点】应用重力等于万有引力分析天体运动规律
11．两颗行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量之比为＝p，两行星的半径之比为＝q，则两个卫星的周期之比为( )
A. B．q
C．p D．q
答案 D
解析 卫星做匀速圆周运动时，万有引力提供做匀速圆周运动的向心力，则有：G＝mR()2，得T＝，解得：＝q，故D正确，A、B、C错误．
【考点】天体运动规律分析
【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律
二、非选择题
12．(天体质量、密度的计算)若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月．
(2)月球的质量M.
(3)月球的密度ρ.
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动，则h＝g月t2，月球表面自由落体的加速度大小g月＝.
(2)因不考虑月球自转的影响，则有G＝mg月，月球的质量M＝.
(3)月球的密度ρ＝＝＝.
【考点】万有引力定律和力学其他问题的综合应用
【题点】万有引力定律和力学其他问题的综合应用
13．(天体运动规律)我国在酒泉卫星发射中心用“长征二号丁”运载火箭，将“高分一号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，这是我国重大科技专项高分辨率对地观测系统的首发星．设“高分一号”轨道的离地高度为h，地球半径为R，地面重力加速度为g，求“高分一号”在时间t内，绕地球运转多少圈？(忽略地球的自转)
答案
解析 在地球表面的物体m′g＝
“高分一号”在轨道上，由万有引力提供向心力得＝m(R＋h)
所以T＝2π＝2π
故n＝＝.
【考点】天体运动规律分析
【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律
一、选择题
考点一 天体的运动规律
1．把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行星( )
A．周期越大 B．线速度越大
C．角速度越大 D．向心加速度越大
答案 A
解析 行星绕太阳做匀速圆周运动，所需的向心力由太阳对行星的引力提供，由G＝m得v＝，可知r越大，线速度越小，B错误．由G＝mω2r得ω＝，可知r越大，角速度越小，C错误．由＝k知，r越大，周期越大，A对．由G＝ma得a＝，可知r越大，向心加速度越小，D错误．
【考点】天体运动规律分析
【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律
2．据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km和100 km，运行速率分别为v1和v2.那么，v1和v2的比值为(月球半径取1 700 km)( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 根据卫星运动的向心力由万有引力提供，有G＝m，那么卫星的线速度跟其轨道半径的平方根成反比，则有＝＝.
【考点】人造卫星各物理量与半径的关系
【题点】人造卫星的线速度与半径的关系
3．(多选)火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转的轨道半径的1.5倍．根据以上数据，下列说法中正确的是( )
A．火星表面重力加速度的数值比地球表面的小
B．火星公转的周期比地球的长
C．火星公转的线速度比地球的大
D．火星公转的向心加速度比地球的大
答案 AB
解析 由G＝m′g得g＝G，计算得A对；由G＝m()2r得T＝2π，计算得B对；周期长的线速度小(或由v＝判断轨道半径大的线速度小)，C错；公转的向心加速度a＝G，计算得D错．
【考点】天体运动规律分析
【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律
4．(多选)土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是( )
A．若v2∝R，则该层是土星的卫星群
B．若v∝R，则该层是土星的一部分
C．若v∝，则该层是土星的一部分
D．若v2∝，则该层是土星的卫星群
答案 BD
解析 若外层的环为土星的一部分，则它们各部分转动的角速度ω相等，由v＝ωR知v∝R，B正确，C错误；若是土星的卫星群，则由G＝m，得v2∝，A错误，D正确．
【考点】天体运动规律分析
【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律
5．(多选)如图1所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则( )
图1
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
答案 ABD
解析 因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，由F向＝知b所受的引力最小，A对．由＝mrω2＝mr()2得T＝2π，r越大，T越大，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B对．由＝ma，得a＝，即a∝，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错．由＝，得v＝，即v∝，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D对．
【考点】人造卫星各物理量与半径的关系
【题点】人造卫星各物理量与半径的关系
6．(多选)如图2所示，2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一．通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度．若将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )
图2
A．密度 B．向心力的大小
C．离地高度 D．线速度的大小
答案 CD
解析 设卫星的周期为T，轨道半径为r，地球质量和半径分别为M、R，则在地球表面的物体：G＝m′g，GM＝gR2①
对卫星：根据万有引力提供向心力，有
G＝m2r②
联立①②式可求轨道半径r，而r＝R＋h，故可求得卫星的离地高度．
由v＝rω＝r，从而可求得卫星的线速度大小．
卫星的质量未知，故卫星的密度不能求出，万有引力即向心力F＝G也不能求出．故选项C、D正确．
【考点】人造卫星各物理量的关系
【题点】人造卫星各物理量的关系
7．(多选)科学探测表明，月球上至少存在丰富的氧、硅、铝、铁等资源，设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经长期的开采后月球与地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的轨道运动，则与开采前相比(提示：a＋b＝常量，则当a＝b时，ab乘积最大)( )
A．地球与月球间的万有引力将变大
B．地球与月球间的万有引力将变小
C．月球绕地球运行的周期将变大
D．月球绕地球运行的周期将变小
答案 BD
解析 万有引力公式F＝中，G和r不变，因地球和月球的总质量不变，当M增大而m减小时，两者的乘积减小，万有引力减小，故选项A错误，B正确；又＝mr，T＝ ，M增大，则T减小，故选项C错误，D正确．
【考点】天体运动规律分析
【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律
8.如图3所示，甲、乙两颗卫星在同一平面上绕地球做匀速圆周运动，公转方向相同．已知卫星甲的公转周期为T，每经过最短时间9T，卫星乙都要运动到与卫星甲在地球同一侧且三者共线的位置上，则卫星乙的公转周期为( )
图3
A.T B.T
C.T D.T
答案 A
解析 由题意得，
(－)t＝2π①
t＝9T②
联立①②得T乙＝T，选项A正确．
【考点】卫星的“追赶”问题
【题点】卫星的“追赶”问题
考点二 天体质量和密度的计算
9．(多选)2016年10月19日凌晨，“神舟十一号”飞船与“天宫二号”成功实施自动交会对接．如图4所示，已知“神舟十一号”与“天宫二号”对接后，组合体在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为θ，组合体轨道半径为r，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转．则( )
图4
A．可求出地球的质量
B．可求出地球的平均密度
C．可求出组合体做圆周运动的线速度
D．可求出组合体受到的地球的万有引力
答案 ABC
解析 组合体在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为θ，则角速度ω＝，万有引力提供组合体做圆周运动的向心力，则＝mω2r，所以M＝＝①，A正确．不考虑地球的自转时，组合体在地球表面的重力等于地球对组合体的万有引力，则mg＝G，解得R＝，地球的密度ρ＝＝＝()，将①式代入即可求出平均密度，B正确．根据线速度与角速度的关系v＝ωr可知v＝，C正确．由于不知道组合体的质量，所以不能求出组合体受到的万有引力，D错误．
【考点】天体质量和密度的计算
【题点】天体质量和密度的计算
10．“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图5所示．已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为( )
图5
A. B.
C. D.
答案 A
解析 根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径r＝，根据转过的角度和时间，可得ω＝，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，可得G＝mω2r，联立可得M＝.
【考点】计算天体的质量
【题点】天体质量的综合问题
二、非选择题
11．(物体的运动与万有引力的结合)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g星的大小；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为＝，求该星球的质量与地球质量之比.
答案 (1)2 m/s2 (2)1∶80
解析 (1)在地球表面以一定的初速度v0竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处，
根据运动学公式可知t＝.
同理，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，经过时间5t小球落回原处，则5t＝
根据以上两式，解得g星＝g＝2 m/s2
(2)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力，即
mg＝，所以M＝
由此可得，＝·＝×＝.
【考点】万有引力定律和力学其他问题的综合应用
【题点】重力加速度和抛体运动的综合问题
12．(天体运动规律分析)某课外科技小组长期进行天文观测，发现某行星周围有众多小卫星，这些小卫星靠近行星且分布相当均匀，经查对相关资料，该行星的质量为M.现假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，已知引力常量为G.
(1)若测得离行星最近的一颗卫星的运动轨道半径为R1，忽略其他小卫星对该卫星的影响，求该卫星的运行速度v1为多大？
(2)在进一步的观测中，发现离行星很远处还有一颗卫星，其运动轨道半径为R2，周期为T2，试估算靠近行星周围众多小卫星的总质量m卫为多大？
答案 (1) (2)－M
解析 (1)设离行星最近的一颗卫星的质量为m1，
有G＝m1，解得v1＝.
(2)由于靠近行星周围的众多卫星分布均匀，可以把行星及靠近行星的小卫星看做一星体，其质量中心在行星的中心，设离行星很远的卫星质量为m2，则有
G＝m2R2
解得m卫＝－M.
【考点】天体运动规律分析
【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律
4 人造卫星 宇宙速度
[学习目标] 1.知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度.2.认识同步卫星的特点.3.了解人造卫星的相关知识和我国卫星发射的情况以及人类对太空的探索历程．
一、人造卫星
1．卫星：自然的或人工的在太空中绕行星运动的物体．
2．第一颗人造卫星：1957年10月4日，由苏联送入环绕地球的轨道的卫星．
二、宇宙速度
数值
意义
第一宇宙速度
7.9 km/s
卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度
第二宇宙速度
11.2 km/s
使卫星挣脱地球引力束缚永远离开地球的最小地面发射速度
第三宇宙速度
16.7 km/s
使卫星挣脱太阳引力束缚飞到太阳系外的最小地面发射速度
判断下列说法的正误．
(1)在地面上发射人造卫星的最小速度是7.9 km/s.( √ )
(2)人造地球卫星的最小绕行速度是7.9 km/s.( × )
(3)在地面上发射火星探测器的速度应为11.2 km/s(4)要发射离开太阳系进入银河系的探测器，所需发射速度至少为16.7 km/s.( √ )
(5)要发射一颗月球卫星，在地面的发射速度应大于16.7 km/s.( × )
一、三个宇宙速度
1．不同天体的第一宇宙速度是否相同？第一宇宙速度的决定因素是什么？
答案 不同．由＝m得，第一宇宙速度v＝，可以看出，第一宇宙速度的值取决于中心天体的质量M和半径R，与卫星无关．
2．把卫星发射到更高的轨道上需要的发射速度越大还是越小？
答案 越大．向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力．
1．第一宇宙速度
(1)定义：第一宇宙速度是人造卫星近地环绕地球做匀速圆周运动的绕行速度．
(2)推导：对于近地人造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R＝6 400 km，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力，取g＝9.8 m/s2，则
(3)推广
由第一宇宙速度的两种表达式看出，第一宇宙速度的值由中心天体决定，可以说任何一颗行星都有自己的第一宇宙速度，都可以用v＝或v＝表示，式中G为引力常量，M为中心天体的质量，g为中心天体表面的重力加速度，R为中心天体的半径．
2．第二宇宙速度
在地面附近发射飞行器，使之能够脱离地球的引力作用，永远离开地球所必需的最小发射速度，称为第二宇宙速度，其大小为11.2 km/s.
7．9 km/s3．第三宇宙速度
在地面附近发射飞行器，使之能够脱离太阳的引力束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间的最小发射速度，称为第三宇宙速度，其大小为16.7 km/s.
例1 我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的最大速率约为( )
A．0.4 km/s B．1.8 km/s
C．11 km/s D．36 km/s
答案 B
解析 卫星所需的向心力由万有引力提供，
G＝m，得v＝，
又由＝，＝，
故月球和地球上第一宇宙速度之比＝，
故v月＝7.9× km/s≈1.8 km/s，
因此B项正确．
【考点】第一宇宙速度的计算
【题点】用万有引力提供向心力求解第一宇宙速度
“最小发射速度”与“最大绕行速度”
1．“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力．所以近地轨道的发射速度(第一宇宙速度)是发射人造卫星的最小速度．
2．“最大绕行速度”：由G＝m可得v＝，轨道半径越小，线速度越大，所以近地卫星的线速度(第一宇宙速度)是最大绕行速度．
例2 某人在一星球上以速率v竖直上抛一物体，经时间t后，物体以速率v落回手中．已知该星球的半径为R，求该星球的第一宇宙速度．(物体只受星球的引力)
答案
解析 根据匀变速直线运动的规律可得，该星球表面的重力加速度为g＝，该星球的第一宇宙速度即为卫星在其表面附近绕其做匀速圆周运动的线速度，该星球对卫星的引力(卫星的重力)提供卫星做圆周运动的向心力，则mg＝，该星球的第一宇宙速度为v1＝＝.
【考点】第一宇宙速度的计算
【题点】用重力提供向心力求解第一宇宙速度
二、人造地球卫星
1．人造地球卫星的轨道特点
卫星绕地球运动的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道．
(1)卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心是椭圆的一个焦点，卫星的周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律．
图1
(2)卫星绕地球沿圆轨道运动时，因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以地心必定是卫星圆轨道的圆心．
(3)卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步卫星)，可以通过两极上空(极地轨道卫星)，也可以和赤道平面成任一角度，如图1所示．
2．地球同步卫星
地球同步卫星位于地球赤道上方，相对于地面静止不动，它的角速度跟地球的自转角速度相同，广泛应用于通信，又叫同步通信卫星．
地球同步卫星的特点见下表：
周期一定
与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s
角速度一定
与地球自转的角速度相同
高度一定
卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量) ≈3.6×104 km
速度大小一定
v＝＝3.07 km/s(为恒量)，环绕方向与地球自转方向相同
向心加速度大小一定
a＝0.23 m/s2
轨道平面一定
轨道平面与赤道平面共面
例3 (多选)“静止”在赤道上空的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料．设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法中正确的是( )
A．同步卫星距地面的高度是地球半径的(n－1)倍
B．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的
C．同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度的
D．同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的(忽略地球的自转效应)
答案 AB
解析 地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，所以同步卫星距地面的高度是地球半径的(n－1)倍，A正确．由万有引力提供向心力得＝，v＝，r＝nR，第一宇宙速度v′＝，所以同步卫星运行速度是第一宇宙速度的，B正确．同步卫星与地球赤道上的物体具有相同的角速度，根据v＝rω知，同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转的速度的n倍，C错误．根据＝ma，得a＝，则同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的，D错误．
【考点】同步卫星规律的理解和应用
【题点】同步卫星规律的理解与应用
针对训练1 如图2所示，中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．其中有静止轨道同步卫星(轨道高度约为36 000 km)和中地球轨道卫星．已知中地球轨道卫星的轨道高度在5 000～15 000 km，则下列说法正确的是( )
图2
A．中地球轨道卫星的线速度小于静止轨道同步卫星的线速度
B．上述两种卫星的运行速度可能大于7.9 km/s
C．中地球轨道卫星绕地球一圈时间大于24小时
D．静止轨道同步卫星的周期大于中地球轨道卫星的周期
答案 D
三、“赤道上物体”“同步卫星”和“近地卫星”的比较
例4 如图3所示，A为地面上的待发射卫星，B为近地圆轨道卫星，C为地球同步卫星．三颗卫星质量相同，三颗卫星的线速度大小分别为vA、vB、vC，角速度大小分别为ωA、ωB、ωC，周期分别为TA、TB、TC，向心加速度大小分别为aA、aB、aC，则( )
图3
A．ωA＝ωC<ωB B．TA＝TCC．vA＝vCaB
答案 A
解析 同步卫星与地球自转同步，故TA＝TC，ωA＝ωC，由v＝ωr及a＝ω2r得
vC>vA，aC>aA
同步卫星和近地卫星，根据＝m＝mω2r＝mr＝ma，知vB>vC，ωB>ωC，TBaC.
故可知vB>vC>vA，ωB>ωC＝ωA，TBaB>aC>aA，选项A正确，B、C、D错误．
【考点】赤道上物体、同步卫星以及近地卫星运动规律对比
【题点】赤道上物体、同步卫星以及近地卫星运动规律对比
同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较
1．同步卫星和近地卫星
相同点：都是万有引力提供向心力
即都满足＝m＝mω2r＝mr＝ma.
由上式比较各运动量的大小关系，即r越大，v、ω、a越小，T越大．
2．同步卫星和赤道上物体
相同点：周期和角速度相同
不同点：向心力来源不同
对于同步卫星，有＝ma＝mω2r
对于赤道上物体，有＝mg＋mω2r，
因此要通过v＝ωr，a＝ω2r比较两者的线速度和向心加速度的大小．
针对训练2 (多选)关于近地卫星、同步卫星、赤道上的物体，以下说法正确的是( )
A．都是万有引力等于向心力
B．赤道上的物体和同步卫星的周期、线速度、角速度都相等
C．赤道上的物体和近地卫星的线速度、周期不同
D．同步卫星的周期大于近地卫星的周期
答案 CD
解析 赤道上的物体是由万有引力的一个分力提供向心力，A项错误；赤道上的物体和同步卫星有相同周期和角速度，但线速度不同，B项错误；同步卫星和近地卫星有相同的中心天体，根据＝m＝mr得v＝，T＝2π，由于r同>r近，故v同T近，D项正确；赤道上物体、近地卫星、同步卫星三者间的周期关系为T赤＝T同>T近，根据v＝ωr可知v赤【考点】赤道物体、同步卫星以及近地卫星运动规律对比
【题点】赤道物体、同步卫星以及近地卫星运动规律对比
1．(对宇宙速度的理解)(多选)下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是( )
A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1、小于v2
B．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度
C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度
D．第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
答案 CD
解析 根据v＝可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v1＝7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，选项D正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A错误；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B错误；第二宇宙速度是使物体挣脱地球引力束缚而成为太阳的一颗人造行星的最小发射速度，选项C正确．
【考点】三个宇宙速度的理解
【题点】三个宇宙速度的理解
2．(对同步卫星的认识)(多选)据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于成功定点的“天链一号01星”，下列说法中正确的是( )
A．运行速度大于7.9 km/s
B．离地面高度一定，相对地面静止
C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
答案 BC
解析 成功定点后的“天链一号01星”是同步卫星，即T＝24 h．由G＝m＝mr，得v＝，T＝2π.由于同步卫星的轨道半径r大于地球的半径R，所以“天链一号01星”的运行速度小于第一宇宙速度(7.9 km/s)，A错误．由于“天链一号01星”的运行周期T是一定的，所以轨道半径r一定，离地面的高度一定，B正确．由于ω＝，且T同ω月，C正确．同步卫星与静止在赤道上的物体具有相同的转动周期T，且赤道上物体的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，由a＝()2r得赤道上物体的向心加速度小于同步卫星的向心加速度，D错误．
【考点】同步卫星规律的理解和应用
【题点】同步卫星规律的理解和应用
3．(“同步卫星”与“赤道上物体”及近地卫星的比较)(多选)如图4所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是( )
图4
A.＝ B.＝()2
C.＝ D.＝
答案 AD
解析 地球同步卫星：轨道半径为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；
地球赤道上的物体：轨道半径为R，随地球自转的向心加速度为a2；
以第一宇宙速度运行的卫星为近地卫星．
对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，
则G＝m，故 ＝.
对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同特点是角速度相等，则a＝ω2r，故 ＝.
【考点】赤道上物体、同步卫星以及近地卫星运动规律对比
【题点】赤道上物体、同步卫星以及近地卫星运动规律对比
4．(第一宇宙速度的计算)若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，此行星的第一宇宙速度约为( )
A．16 km/s B．32 km/s
C．4 km/s D．2 km/s
答案 A
【考点】第一宇宙速度的计算
【题点】用万有引力提供向心力求解第一宇宙速度
5．(第一宇宙速度的计算)某星球的半径为R，在其表面上方高度为aR的位置，以初速度v0水平抛出一个金属小球，水平射程为bR，a、b均为数值极小的常数，则这个星球的第一宇宙速度为( )
A.v0 B.v0
C.v0 D.v0
答案 A
解析 设该星球表面的重力加速度为g，小球落地时间为t，抛出的金属小球做平抛运动，根据平抛运动规律得aR＝gt2，bR＝v0t，联立解得g＝，第一宇宙速度即为该星球表面卫星的线速度，根据星球表面卫星的重力充当向心力得mg＝m，所以第一宇宙速度v＝＝＝v0，故选项A正确．
【考点】第一宇宙速度的计算
【题点】用重力提供向心力求解第一宇宙速度
一、选择题
考点一 宇宙速度
1．假设地球的质量不变，而地球的半径增大到原来半径的2倍，那么地球的第一宇宙速度的大小应为原来的( )
A. B. C. D．2
答案 B
解析 因第一宇宙速度即为地球的近地卫星的线速度，此时卫星的轨道半径近似的认为等于地球的半径，且地球对卫星的万有引力提供向心力．由G＝得v＝，因此，当M不变，R增大为2R时，v减小为原来的，选项B正确．
【考点】第一宇宙速度的计算
【题点】用万有引力提供向心力求解第一宇宙速度
2．(多选)一颗人造地球卫星以初速度v发射后，可绕地球做匀速圆周运动，若使发射速度增大为2v，则该卫星可能( )
A．绕地球做匀速圆周运动
B．绕地球运动，轨道变为椭圆
C．不绕地球运动，成为太阳的人造行星
D．挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙
答案 CD
解析 以初速度v发射后能成为人造地球卫星，可知发射速度v一定大于或等于第一宇宙速度7.9 km/s，当以2v速度发射时，发射速度一定大于或等于15.8 km/s，已超过了第二宇宙速度11.2 km/s，也可能超过第三宇宙速度16.7 km/s，所以此卫星不再绕地球运行，可能绕太阳运行，或者飞到太阳系以外的宇宙，故选项C、D正确．
【考点】三个宇宙速度的理解
【题点】三个宇宙速度的理解
3．2013年6月11日17时38分，“神舟十号”飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员王亚平进行了首次太空授课．在飞船进入离地面343 km的圆形轨道环绕地球飞行时，它的线速度大小( )
A．等于7.9 km/s
B．介于7.9 km/s和11.2 km/s之间
C．小于7.9 km/s
D．介于7.9 km/s和16.7 km/s之间
答案 C
解析 卫星在圆形轨道上运行的速度v＝.由于轨道半径r＞地球半径R，所以v＜ ＝7.9 km/s，C正确．
【考点】三个宇宙速度的理解
【题点】三个宇宙速度的理解
4．(多选)中俄曾联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星．由于火箭故障未能成功，若发射成功，且已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的.下列关于火星探测器的说法中正确的是( )
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度
D．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球第一宇宙速度的
答案 CD
解析 火星探测器前往火星，脱离地球引力束缚，还在太阳系内，发射速度应大于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度，选项A、B错误，C正确；由＝m得，v＝.已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的，可得火星的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比＝＝＝，选项D正确．
【考点】第一宇宙速度的计算
【题点】用万有引力提供向心力求解第一宇宙速度
考点二 同步卫星
5．我国首颗量子科学实验卫星“墨子”已于酒泉成功发射，在世界上首次实现了卫星和地面之间的量子通信，“墨子”由火箭发射至高度为500千米的预定圆形轨道．此前在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星G7，G7属于地球静止轨道卫星(高度约为36 000千米)，它使北斗系统的可靠性进一步提高．关于卫星，以下说法中正确的是( )
A．这两颗卫星的运行速度可能大于7.9 km/s
B．通过地面控制可以将北斗G7定点于西昌正上方
C．量子科学实验卫星“墨子”的周期比北斗G7小
D．量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7小
答案 C
解析 根据G＝m可知，轨道半径越大，线速度越小，第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，所以这两颗卫星的线速度均小于地球的第一宇宙速度，故A错误；地球静止轨道卫星即同步卫星，只能定点于赤道正上方，故B错误；根据G＝m，解得T＝2π，所以量子科学实验卫星“墨子”的周期较小，故C正确；由G＝ma得卫星的向心加速度a＝，半径小的量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7大，故D错误．
【考点】同步卫星规律的理解和应用
【题点】同步卫星规律的理解与应用
6．我国在轨运行的气象卫星有两类，如图1所示，一类是极地轨道卫星——“风云1号”，绕地球做匀速圆周运动的周期为12 h，另一类是地球同步轨道卫星——“风云2号”，运行周期为24 h．下列说法正确的是( )
图1
A．“风云1号”的线速度大于“风云2号”的线速度
B．“风云2号”的运行速度大于7.9 km/s
C．“风云1号”的发射速度大于“风云2号”的发射速度
D．“风云1号”与“风云2号”相对地面均静止
答案 A
解析 由＝k知，“风云2号”的轨道半径大于“风云1号”的轨道半径，由G＝m得v＝，r越大，v越小，A正确．第一宇宙速度7.9 km/s是最大的环绕速度，B错误．把卫星发射的越远，所需发射速度越大，C错误．只有同步卫星，即“风云2号”相对地面静止，D错误．
【考点】同步卫星规律的理解和应用
【题点】同步卫星规律的理解与应用
7．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h B．4 h
C．8 h D．16 h
答案 B
解析 万有引力提供向心力，对同步卫星有：＝mr，
整理得GM＝
当r＝6.6R地时，T＝24 h
若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R地，三颗同步卫星如图所示分布．
则有＝
解得T′≈＝4 h，选项B正确．
【考点】同步卫星规律的理解和应用
【题点】同步卫星规律的理解与应用
考点三 赤道上物体、同步卫星、近地卫星的比较
8.如图2所示，地球赤道上的山丘e、近地卫星p和同步卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e、p、q的线速度大小分别为v1、v2、v3，向心加速度大小分别为a1、a2、a3，则( )
图2
A．v1＞v2＞v3 B．v1＜v2＜v3
C．a1＞a2＞a3 D．a1＜a3＜a2
答案 D
解析 卫星的速度v＝，可见卫星距离地心越远，r越大，则线速度越小，所以v3＜v2.q是同步卫星，其角速度ω与地球自转角速度相同，所以其线速度v3＝ωr3＞v1＝ωr1，选项A、B错误．由G＝ma，得a＝，同步卫星q的轨道半径大于近地卫星p的轨道半径，可知向心加速度a3＜a2.由于同步卫星q的角速度ω与地球自转的角速度相同，即与地球赤道上的山丘e的角速度相同，但q的轨道半径大于e的轨道半径，根据a＝ω2r可知a1＜a3.根据以上分析可知，选项D正确，选项C错误．
【考点】赤道上物体、同步卫星以及近地卫星运动规律对比
【题点】赤道上物体、同步卫星以及近地卫星运动规律对比
9．设地球半径为R，a为静止在地球赤道上的一个物体，b为一颗近地绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为r.下列说法中正确的是( )
A．a与c的线速度大小之比为
B．a与c的线速度大小之比为
C．b与c的周期之比为
D．b与c的周期之比为
答案 D
解析 物体a与同步卫星c角速度相等，由v＝rω可得，二者线速度大小之比为，选项A、B错误；而b、c均为卫星，由T＝2π可得，二者周期之比为，选项C错误，D正确．
【考点】赤道物体、同步卫星以及近地卫星运动规律对比
【题点】赤道物体、同步卫星以及近地卫星运动规律对比
二、非选择题
10．(第一宇宙速度的计算)恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星，中子星的半径很小，一般为7～20 km，但它的密度大得惊人．若某中子星的密度为1.2×1017 kg/m3，半径为10 km，那么该中子星的第一宇宙速度约为多少？(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，结果保留两位有效数字)
答案 5.8×107 m/s或5.8×104 km/s
解析 中子星的第一宇宙速度即为它表面附近物体的环绕速度，此时物体的轨道半径可近似认为是中子星的半径，且中子星对物体的万有引力充当物体的向心力，由G＝m，得v＝，
又M＝ρV＝ρπR3，
解得v＝R＝10×103× m/s
≈5.8×107 m/s＝5.8×104 km/s.
【考点】第一宇宙速度的计算
【题点】用万有引力提供向心力求解第一宇宙速度
11．(卫星周期的计算)据报道：某国发射了一颗质量为100 kg、周期为1 h的人造环月卫星，一位同学记不住引力常量G的数值，且手边没有可查找的资料，但他记得月球半径为地球半径的，月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的，经过推理，他认定该报道是一则假新闻，试写出他的论证方案．(地球半径约为6.4×103 km，g地取9.8 m/s2)
答案 见解析
解析 对环月卫星，根据万有引力定律和牛顿第二定律得＝mr，解得T＝2π
则r＝R月时，T有最小值，又＝g月
故Tmin＝2π＝2π＝2π
代入数据解得Tmin≈1.73 h
环月卫星最小周期为1.73 h，故该报道是一则假新闻．
【考点】人造卫星各物理量与半径的关系
【题点】人造卫星各物理量与半径的关系
12．(同步卫星)我国正在逐步建立同步卫星与“伽利略计划”等中低轨道卫星构成的卫星通信系统．
(1)若已知地球的平均半径为R0，自转周期为T0，地表的重力加速度为g，试求同步卫星的轨道半径r.
(2)有一颗与上述同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星，自西向东绕地球运行，其运行半径为同步卫星轨道半径r的四分之一，试求该卫星至少每隔多长时间才在同一地点的正上方出现一次．(计算结果只能用题中已知物理量的字母表示)
答案 (1) (2)
解析 (1)设地球的质量为M，同步卫星的质量为m，运动周期为T，因为卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，故G＝mr()2①
同步卫星的周期为T＝T0②
而对地球表面的物体，重力近似等于万有引力，
有m′g＝G③
由①②③式解得r＝.
(2)由①式可知T2∝r3，设低轨道卫星运行的周期为T′，则＝，因而T′＝，设卫星至少每隔t时间才在同一地点的正上方出现一次，根据圆周运动角速度与所转过的圆心角的关系θ＝ωt，得t－t＝2π，解得t＝，即卫星至少每隔时间才在同一地点的正上方出现一次．
【考点】卫星的“追赶”问题
【题点】卫星的“追赶”问题
微型专题3 卫星变轨问题和双星问题
[学习目标] 1.会分析卫星的变轨问题，知道卫星变轨的原因和变轨前后卫星速度的变化.2.掌握双星运动的特点，会分析求解双星运动的周期和角速度．
一、人造卫星的发射、变轨与对接
1．发射问题
要发射人造卫星，动力装置在地面处要给卫星一很大的发射初速度，且发射速度v＞v1＝7.9 km/s，人造卫星做离开地球的运动；当人造卫星进入预定轨道区域后，再调整速度，使F引＝F向，即G＝m，从而使卫星进入预定轨道．
2．卫星的变轨问题
卫星变轨时，先是线速度v发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化．
(1)当卫星减速时，卫星所需的向心力F向＝m减小，万有引力大于卫星所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁．
(2)当卫星加速时，卫星所需的向心力F向＝m增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁．
以上两点是比较椭圆和圆轨道切点速度的依据．
3．飞船对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图1甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接．
图1
(2)同一轨道飞船与空间站对接
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度．
例1 如图2所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法中正确的是( )
图2
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期
C．卫星在轨道1上经过Q点时的速率大于它在轨道2上经过Q点时的速率
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度小于它在轨道3上经过P点时的加速度
答案 B
解析 卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：
G＝m，v＝
因为r1＜r3，所以v1＞v3，A项错误；
由开普勒第三定律知T3>T2，B项正确；
在Q点从轨道1到轨道2需要做离心运动，故需要加速，
所以在Q点v2Q>v1Q，C项错误；
在同一点P，由＝ma知，卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度，D项错误．
【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题
【题点】卫星、飞船的对接和变轨问题
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路：
(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断．
(2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小．
(3)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析．
(4)判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G判断．
针对训练1 2017年6月19日，我国在西昌卫星发射中心发射“中星9A”广播电视直播卫星，按预定计划，“中星9A”应该首先被送入近地点约为200公里，远地点约为3.6万公里的转移轨道Ⅱ(椭圆)，然后通过在远地点变轨，进入最终同步轨道Ⅲ(圆形)．但是由于火箭故障，卫星实际入轨后初始轨道Ⅰ远地点只有1.6万公里．科技人员没有放弃，通过精心操作，利用卫星自带燃料在近地点点火，尽量抬高远地点的高度，经过10次轨道调整，终于在7月5日成功定点于预定轨道，如图3所示．下列说法正确的是( )
图3
A．“中星9A”发射失利原因可能是发射速度没有达到7.9 km/s
B．卫星在轨道Ⅲ经过Q点时和在轨道Ⅱ经过Q点时速度相同
C．卫星在轨道Ⅱ经过Q点的加速度大于它经过P点时的加速度
D．卫星从轨道Ⅰ的P点进入轨道Ⅱ后速度增加
答案 D
解析 “中星9A”已经成功发射至远地点1.6万公里的椭圆轨道上．其发射速度大于第一宇宙速度，A项错误；在Q点从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ要加速，所以vⅢ＞vⅡ，B项错误；由a＝知aP＞aQ，C项错误；在P点从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ要加速，D项正确．
二、双星问题
1．如图4所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫做“双星”．
图4
2．双星问题的特点
(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点．
(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供．
(3)两星的运动周期、角速度相同．
(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L.
3．双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即＝m1ω2r1＝m2ω2r2.
例2 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图5所示．已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T.
图5
答案
解析 双星间的万有引力提供了各自做圆周运动的向心力
对m1：＝m1r1ω2，
对m2：＝m2r2ω2，且r1＋r2＝L，
解得r1＝，r2＝.
由G＝m1r1及r1＝得
周期T＝.
【考点】双星问题
【题点】双星问题
针对训练2 (多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星的( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案 BC
解析 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示
每秒转动12圈，角速度已知，
中子星运动时，由万有引力提供向心力得
＝m1ω2r1①
＝m2ω2r2②
l＝r1＋r2③
由①②③式得＝ω2l，所以m1＋m2＝，
质量之和可以估算．
由线速度与角速度的关系v＝ωr得
v1＝ωr1④
v2＝ωr2⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．
质量之积和各自的自转角速度无法求解.
1.(卫星的变轨问题)(多选)肩负着“落月”和“勘察”重任的“嫦娥三号”沿地月转移轨道直奔月球，如图6所示，在距月球表面100 km的P点进行第一次制动后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后，卫星在P点又经过第二次“刹车制动”，进入距月球表面100 km的圆形工作轨道Ⅱ，绕月球做匀速圆周运动，在经过P点时会再一次“刹车制动”进入近月点距月球表面15公里的椭圆轨道Ⅲ，然后择机在近月点下降进行软着陆，则下列说法正确的是( )
图6
A．“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的周期最长
B．“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上运动的周期最长
C．“嫦娥三号”经过P点时在轨道Ⅱ上运动的线速度最大
D．“嫦娥三号”经过P点时，在三个轨道上的加速度相等
答案 AD
解析 由于“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的半长轴大于在轨道Ⅱ上运动的半径，也大于轨道Ⅲ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，“嫦娥三号”在各轨道上稳定运行时的周期关系为TⅠ＞TⅡ＞TⅢ，故A正确，B错误；“嫦娥三号”在由高轨道降到低轨道时，都要在P点进行“刹车制动”，所以经过P点时，在三个轨道上的线速度关系为vⅠ＞vⅡ＞vⅢ，故C错误；由于“嫦娥三号”在P点时的加速度只与所受到的月球引力有关，故D正确．
【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题
【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题
2．(卫星、飞船的对接问题)如图7所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室于2016年10月19日自动交会对接成功．假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
图7
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
答案 C
解析 飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；同时，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误．
3.(双星问题)如图8所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是( )
图8
A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2
B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2
C．m1做圆周运动的半径为L
D．m2做圆周运动的半径为L
答案 C
解析 设双星m1、m2距转动中心O的距离分别为r1、r2，双星绕O点转动的角速度均为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得
G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2
解得r1＝L，r2＝L
m1、m2运动的线速度分别为v1＝r1ω，v2＝r2ω，
故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3.
综上所述，选项C正确．
【考点】双星问题
【题点】双星问题
一、选择题
考点一 卫星的变轨问题
1．(多选)如图1所示，航天飞机在完成太空任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的近地点，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )
图1
A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
答案 ABC
【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题
【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题
2．(多选)如图2所示，在嫦娥探月工程中，设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0.飞船在半径为4R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时，再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则( )
图2
A．飞船在轨道Ⅲ上的运行速率大于
B．飞船在轨道Ⅰ上的运行速率小于在轨道Ⅱ上B处的运行速率
C．飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B处的向心加速度
D．飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比TⅠ∶TⅢ＝4∶1
答案 BC
解析 由＝mg0知，v＝，即飞船在轨道Ⅲ上的运行速率等于，A错误．由v＝ 知，vⅠvⅢ，则有vⅡB>vⅠ，B正确．由a＝知，飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B处的向心加速度，C正确．由T＝2π知，飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比TⅠ∶TⅢ＝8∶1，D错误．
【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题
【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题
3．如图3所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M距地面200 km，远地点N距地面340 km.进入该轨道正常运行时，通过M、N点时的速率分别是v1和v2.当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v3，比较飞船在M、N、P三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率大小和加速度大小，下列结论正确的是( )
图3
A．v1＞v3＞v2，a1＞a3＞a2
B．v1＞v2＞v3，a1＞a2＝a3
C．v1＞v2＝v3，a1＞a2＞a3
D．v1＞v3＞v2，a1＞a2＝a3
答案 D
解析 根据万有引力提供向心力，即＝ma得：a＝，由题图可知r1＜r2＝r3，所以a1＞a2＝a3；当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，所以v3＞v2，根据＝得：v＝，又因为r1＜r3，所以v1＞v3，故v1＞v3＞v2.故选D.
【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题
【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题
4.我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图4所示，关闭发动机的航天飞机在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接．已知空间站C绕月轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，月球的半径为R.那么以下选项正确的是( )
图4
A．月球的质量为
B．航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站圆轨道时必须加速
C．航天飞机从A处到B处做减速运动
D．月球表面的重力加速度为
答案 A
解析 设空间站质量为m，在圆轨道上，由G＝m，得M＝，A正确；要使航天飞机在椭圆轨道的近月点B处与空间站C对接，必须在运动到B点时减速，否则航天飞机将继续做椭圆运动，B错误；航天飞机飞向B处，根据开普勒第二定律可知，向近月点靠近做加速运动，C错误；月球表面的重力加速度等于月球表面附近卫星的向心加速度，选项中中的T是空间站在半径为r的轨道上做圆周运动的周期，比近月卫星周期大，D错误．
【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题
【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题
5．(多选)如图5所示，搭载着“嫦娥二号”卫星的“长征三号丙”运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射．卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100 km，周期为118 min的工作轨道Ⅲ，开始对月球进行探测，下列说法正确的( )
图5
A．卫星在轨道Ⅲ的运行速度比月球的第一宇宙速度小
B．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的加速度比在轨道Ⅰ上经过P点时的大
C．卫星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道Ⅰ上的长
D．卫星在轨道Ⅰ上经过P点的速度比在轨道Ⅲ上经过P点时的大
答案 AD
解析 卫星在轨道Ⅲ上的半径大于月球半径，根据G＝m，得v＝，可知卫星在轨道Ⅲ上的运行速度比月球的第一宇宙速度小，A正确．卫星在轨道Ⅲ上和在轨道Ⅰ上经过P时所受万有引力相等，所以加速度也相等，B错误．轨道Ⅲ的半径比轨道Ⅰ的半长轴小，根据开普勒第三定律，卫星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道Ⅰ上的短，C错误．卫星从轨道Ⅰ经多次变轨进入轨道Ⅲ，在P点需依次减速，D正确．
【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题
【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题
考点二 双星问题
6．某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2之间的距离为r，已知引力常量为G，由此可求出S2的质量为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设S1和S2的质量分别为m1、m2，对于S1有
G＝m12r1，得m2＝.
【考点】双星问题
【题点】双星问题
7．两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．质量大的天体线速度较大
B．质量小的天体角速度较大
C．两个天体的向心力大小一定相等
D．两个天体的向心加速度大小一定相等
答案 C
解析 双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故B错误；两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故C正确，D错误；根据m1ω2r1＝m2ω2r2，
得＝，
故＝＝
故质量大的天体线速度较小，故A错误．
【考点】双星问题
【题点】双星问题
8．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O点运动的( )
A．轨道半径约为卡戎的
B．角速度大小约为卡戎的
C．线速度大小约为卡戎的7倍
D．向心力大小约为卡戎的7倍
答案 A
解析 双星系统内的两颗星运动的角速度相同，B错误．双星的向心力为二者间的万有引力，所以向心力大小相等，D错误．根据m1ω2r1＝m2ω2r2，得＝＝，A正确．根据v＝ωr，得＝＝，C错误．
【考点】双星问题
【题点】双星问题
9．(多选)宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因为万有引力的作用而吸引到一起．如图6所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，则两颗天体的( )
图6
A．质量之比mA∶mB＝2∶1
B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶2
C．线速度大小之比vA∶vB＝1∶2
D．向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
答案 AC
解析 双星都绕O点做匀速圆周运动，由两者之间的万有引力提供向心力，角速度相等，设为ω.根据牛顿第二定律，对A星：G＝mAω2rA①
对B星：G＝mBω2rB②
联立①②得mA∶mB＝rB∶rA＝2∶1.
根据双星运行的条件有：角速度之比ωA∶ωB＝1∶1，由v＝ωr得线速度大小之比vA∶vB＝rA∶rB＝1∶2，向心力大小之比FA∶FB＝1∶1，选项A、C正确，B、D错误．
【考点】双星问题
【题点】双星问题
10．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时两星做圆周运动的周期为( )
A.T B.T
C.T D.T
答案 B
解析 如图所示，设两恒星的质量分别为M1和M2，轨道半径分别为r1和r2.根据万有引力定律及牛顿第二定律可得＝M1()2r1＝M2()2r2，解得＝()2(r1＋r2)，即＝()2①
当两星的总质量变为原来的k倍，它们之间的距离变为原来的n倍时，有＝()2②
联立①②两式可得T′＝T，故选项B正确．
【考点】双星问题
【题点】双星问题
二、非选择题
11．(变轨问题)中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图7所示．设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，求：
图7
(1)飞船在B点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速？
(2)飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小．
(3)椭圆轨道远地点B距地面的高度h2.
答案 (1)加速 (2) (3)－R
解析 (2)在地球表面，有mg＝①
根据牛顿第二定律有：G＝maA②
由①②式联立解得，飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小为aA＝.
(3)飞船在预定圆轨道上飞行时由万有引力提供向心力，有G＝m(R＋h2)③
由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为T＝④
由①③④式联立解得h2＝－R.
【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题
【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题
第三章 万有引力定律
章末总结
