1 曲线运动
[学习目标] 1.知道什么是曲线运动，会确定曲线运动速度的方向，知道曲线运动是一种变速运动.2.知道物体做曲线运动的条件．
一、曲线运动的速度方向
1．曲线运动：物体运动轨迹是曲线的运动．
2．曲线运动的速度方向：质点做曲线运动时，速度方向是时刻改变的，质点在某一点(或某一时刻)的速度方向是沿曲线上这一点的切线方向．
3．曲线运动是变速运动
(1)速度是矢量，它既有大小，又有方向．不论速度的大小是否改变，只要速度的方向发生改变，就表示速度发生了变化，也就具有了加速度．
(2)在曲线运动中，速度的方向是不断变化的，所以曲线运动是变速运动．
二、曲线运动的条件
1．动力学角度：当运动物体所受合外力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体就做曲线运动．
2．运动学角度：物体的加速度方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体就做曲线运动．
1．判断下列说法的正误．
(1)做曲线运动的物体，速度可能不变．(×)
(2)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动．(√)
(3)物体的速度不断改变，它一定做曲线运动．(×)
(4)做曲线运动物体的位移大小可能与路程相等．(×)
(5)做曲线运动物体的合力一定是变力．(×)
(6)做曲线运动的物体一定有加速度．(√)
2．小文同学在探究物体做曲线运动的条件时，将一条形磁铁放在桌面的不同位置，让小钢珠在水平桌面上从同一位置以相同初速度v0运动，得到不同轨迹．图1中a、b、c、d为其中四条运动轨迹，磁铁放在位置A时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)，磁铁放在位置B时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)．实验表明，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向________(填“在”或“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动．
图1
答案 b c 不在
解析 因为磁铁对小钢珠只能提供引力，磁铁在A处时，F与v0同向，小钢珠做变加速直线运动，运动轨迹为b；当磁铁放在B处时，F与v0不在同一直线上，引力指向曲线的凹侧，运动轨迹为c.当合外力方向与速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动．
【考点】曲线运动的条件
【题点】物体做曲线运动的条件
一、曲线运动的速度方向
1．如图2所示，砂轮上打磨下来的炽热的微粒沿砂轮的切线飞出，其速度方向不断变化，那么如何确定物体在某一点的速度方向？
图2
答案 从题图可以看出，从砂轮上打磨下来的炽热微粒沿脱落点的切线方向飞出，所以物体在某一点的速度方向沿曲线在这一点的切线方向．
2．曲线运动一定是变速运动吗？
答案 由于曲线运动的速度方向时刻在变化，不论其速度大小是否变化，其速度一定变化，因此曲线运动一定是变速运动．
3．曲线运动可能是匀变速运动吗？
答案 曲线运动是否是匀变速运动取决于物体所受的合外力．合外力为恒力，物体做匀变速曲线运动；合外力为变力，物体做非匀变速曲线运动．
4．物体做曲线运动时，加速度可以为零吗？为什么？
答案 不可以，物体做曲线运动时，速度不断变化，所以加速度一定不为零．
1．曲线运动的速度方向
曲线运动中物体在某一时刻或某一点的瞬时速度方向，就是物体从该时刻或该点脱离曲线后自由运动的方向，即曲线上这一点的切线方向．
2．曲线运动的速度方向时刻改变，它一定是变速运动，加速度一定不为零．
3．曲线运动的位移：曲线运动的位移为运动物体的初位置到末位置的有向线段，与路程不同．曲线运动的位移大小小于路程．
例1 做曲线运动的物体在运动过程中，下列说法正确的是( )
A．速度大小一定改变
B．加速度大小一定改变
C．速度方向一定改变
D．加速度方向一定改变
答案 C
解析 曲线运动中某点的速度方向沿轨迹在该点的切线方向，故曲线运动中速度方向一定改变，速度大小可以不变，A错误，C正确．曲线运动的加速度不一定变化，故B、D错误．
【考点】曲线运动的基本特点
【题点】曲线运动的基本特点
1．曲线运动的速度方向发生变化，速度大小不一定变化．如旋转的砂轮、风扇，旋转稳定后，轮边缘上各点的速度大小不变．
2．做曲线运动的物体所受合外力一定不为零，因为曲线运动是变速运动，所以加速度不为零，物体受到的合外力不为零．
针对训练1 如图3所示，物体沿曲线由a点运动至b点，关于物体在ab段的运动，下列说法正确的是( )
图3
A．物体的速度可能不变
B．物体的速度不可能均匀变化
C．a点的速度方向由a指向b
D．ab段的位移大小一定小于路程
答案 D
解析 做曲线运动的物体的速度方向时刻改变，即使速度大小不变，速度方向也在不断发生变化，A项错误；做曲线运动的物体必定受到力的作用，当物体受到的合力为恒力时，物体的加速度恒定，速度均匀变化，B项错误；a点的速度方向沿a点的切线方向，C项错误；做曲线运动的物体的位移大小必小于路程，D项正确．
【考点】曲线运动的基本特点
【题点】曲线运动的轨迹和速度方向
二、物体做曲线运动的条件
如图4所示的装置放在光滑水平桌面上，在固定斜面顶端放置一小铁球，放开手让小铁球自由滚下，观察小铁球在桌面上的运动情况：
图4 图5
(1)小铁球在桌面上的运动轨迹是怎样的？其受力情况又是怎样的？
(2)放开手让小铁球自由滚下，若在小铁球的运动路径旁边放一块磁铁，如图5，小铁球将如何运动？其受力情况是怎样的？合外力方向和速度方向有何关系？
(3)物体做直线运动的条件是什么？物体做曲线运动的条件是什么？
答案 (1)小铁球在桌面上的运动轨迹是一条直线；小铁球受到重力和支持力的作用，且合外力为零．
(2)小铁球做曲线运动；小铁球受到重力、支持力和磁铁的吸引力的作用；合外力方向与速度方向不在同一条直线上．
(3)物体做直线运动的条件是物体所受的合外力为零或合外力的方向和物体的速度方向在同一条直线上；物体做曲线运动的条件是物体所受的合外力的方向和物体的速度方向不在同一条直线上．
1．物体做曲线运动的条件：当运动物体受到的合力的方向与其速度方向不共线时，物体将做曲线运动，与其受到的合力大小是否变化无关．
2．物体运动性质的判断
(1)直线或曲线的判断
看合外力方向(或加速度的方向)和速度方向是否在一条直线上．
(2)匀变速或非匀变速的判断
合外力为恒力，匀变速运动；合外力为变力，非匀变速运动．
(3)运动的五种类型：
轨迹特点
加速度特点
运动性质
直线
加速度为零
匀速直线运动
加速度不变
匀变速直线运动
加速度变化
非匀变速直线运动
曲线
加速度不变
匀变速曲线运动
加速度变化
非匀变速曲线运动
例2 曲线运动是自然界普遍的运动形式，下面关于曲线运动的说法中，正确的是( )
A．物体只要受到变力的作用，就会做曲线运动
B．物体在恒定的合外力作用下一定会做直线运动
C．物体在方向不断变化的合外力作用下一定会做曲线运动
D．物体在大小不变的合外力作用下必做匀变速曲线运动
答案 C
解析 当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动，A、B错误．物体所受的合外力方向不断变化，表明合外力不会与速度始终共线，故在该合外力作用下物体一定会做曲线运动，C正确．做匀变速曲线运动物体所受的合外力恒定不变，而不只是合外力大小不变，D错误．
【考点】曲线运动的条件
【题点】物体做曲线运动的条件
物体做曲线运动时，关于受力(加速度)的“一定”与“不一定”
1．“一定”：物体受到的合外力(加速度)一定不为零；物体所受合外力(加速度)的方向与其速度方向一定不在同一条直线上．
2．“不一定”：物体受到的合外力(加速度)不一定变化，即物体受到的合外力可以是恒力，也可以是变力．
三、合力方向与曲线运动轨迹及弯曲方向的关系
由于曲线运动的速度方向时刻在变化，合外力不为零．合外力垂直于速度方向的分力改变速度的方向，所以合外力总指向运动轨迹的凹侧，即曲线运动的轨迹总偏向合外力所指的一侧．
例3 汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶．图中分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，你认为正确的是( )
答案 D
解析 A选项中合力的方向与速度方向相同，B选项中合力的方向与速度方向相反，这两种情况下汽车会做直线运动，不符合实际，A、B错误；物体做曲线运动时，合力的方向指向运动轨迹的凹侧，故C错误，D正确．
【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系
【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹
针对训练2 如图6所示为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在B点时的速度与加速度相互垂直，质点运动方向由A到E，则下列说法中正确的是( )
图6
A．在D点的速率比在C点的速率大
B．A点的加速度与速度的夹角小于90°
C．A点的加速度比D点的加速度大
D．从A到D加速度与速度的夹角先增大后减小
答案 A
解析 质点做匀变速曲线运动，合力的大小、方向均不变，加速度不变，故C错误；由B点速度与加速度相互垂直可知，质点所受合力方向与B点切线垂直且向下，故质点由C到D过程，合力方向与速度方向的夹角小于90°，速率增大，A正确；在A点的加速度方向与质点在A点的速度方向之间的夹角大于90°，B错误；从A到D加速度与速度的夹角一直变小，D错误．
【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系
【题点】曲线运动中速度大小的判断
1．(曲线运动的速度方向)在F1赛事中，若在弯道上高速行驶的赛车车轮脱落，则关于脱落的车轮的运动情况，下列说法中正确的是( )
A．仍然沿着赛车的弯道行驶
B．沿着与弯道切线垂直的方向飞出
C．沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动，离开弯道
D．上述情况都有可能
答案 C
解析 赛车沿弯道行驶，任一时刻赛车的速度方向是赛车运动轨迹上的对应点的切线方向，脱落的车轮的速度方向也就是脱落点轨迹的切线方向，车轮脱落后，不再受到车身的约束，只受到与速度方向相反的阻力作用，车轮做直线运动，离开弯道，故C正确．
【考点】曲线运动的基本特点
【题点】曲线运动的轨迹和速度方向
2．(曲线运动的条件)对做曲线运动的物体，下列说法正确的是( )
A．速度方向与合外力方向不可能在同一条直线上
B．加速度方向与合外力方向可能不在同一条直线上
C．加速度方向与速度方向有可能在同一条直线上
D．合外力的方向一定是变化的
答案 A
解析 由物体做曲线运动的条件可知，速度方向与合外力方向不可能在同一条直线上，所以A正确；根据牛顿第二定律，加速度与合外力一定同向，所以B、C错误；在恒力作用下，物体也可以做曲线运动，只要合外力方向与速度方向不共线就可以，所以D错误．
【考点】曲线运动的条件
【题点】物体做曲线运动的条件
3．(曲线运动的受力、速度与轨迹的关系)(多选)如图7所示，一个质点沿轨道ABCD运动，图中画出了质点在各处的速度v和质点所受合力F的方向，其中可能正确的是( )
图7
A．A位置 B．B位置
C．C位置 D．D位置
答案 BD
【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系
【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹
4．(曲线运动的受力、速度与轨迹的关系)在光滑水平面上以速度v做匀速直线运动的小球，受到一个跟它的速度方向不在同一直线上的水平恒力F的作用后，获得加速度a.下列各图中，能正确反映v、F、a及小球运动轨迹(虚线)之间的关系的是( )
答案 C
解析 小球做匀速直线运动时，受力平衡，突然受到一个与运动方向不在同一直线上的恒力作用时，合外力方向与速度方向不在同一直线上，所以小球一定做曲线运动且合外力的方向指向运动轨迹的凹侧，根据牛顿第二定律可知，加速度方向与合外力方向相同，故C正确．
【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系
【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹
5．(物体运动性质的判断)(多选)在光滑水平面上有一质量为2kg的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动．现突然将与速度反方向的2N的力水平旋转90°，则关于物体运动情况的叙述正确的是( )
A．物体做速度大小不变的曲线运动
B．物体做加速度为m/s2的匀变速曲线运动
C．物体做速度越来越大的曲线运动
D．物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大
答案 BC
解析 物体原来所受合外力为零，当将与速度反方向的2N的力水平旋转90°后，其受力如图所示，
其中Fx＝Fy＝2N，F是Fx、Fy的合力，即F＝2N，且大小、方向都不变，是恒力，物体的加速度为a＝＝m/s2＝m/s2，恒定．又因为F与v的夹角θ<90°，所以物体做速度越来越大、加速度恒为m/s2的匀变速曲线运动，故B、C正确．
【考点】曲线运动的条件
【题点】由曲线运动的条件判断曲线运动的性质
选择题
考点一 曲线运动的基本特点
1．如图1所示，篮球沿优美的弧线穿过篮筐，图中能正确表示篮球在相应点速度方向的是( )
图1
A．v1B．v2C．v3D．v4
答案 C
【考点】曲线运动的基本特点
【题点】曲线运动的轨迹和速度方向
2．关于曲线运动，下列说法中正确的是( )
A．做曲线运动的物体，在一段时间内运动的路程可能为零
B．曲线运动一定是匀速运动
C．在平衡力作用下，物体可以做曲线运动
D．在恒力作用下，物体可以做曲线运动
答案 D
解析 做曲线运动的物体，在一段时间内可能回到出发点，位移可能为零，但路程不为零，A错误；曲线运动的速度方向一定变化，所以一定是变速运动，B错误；由牛顿第一定律可知，在平衡力作用下，物体一定做匀速直线运动或处于静止状态，C错误；不论是否为恒力，只要物体受力方向与物体速度方向不共线，物体就做曲线运动，D正确．
【考点】曲线运动的基本特点
【题点】曲线运动的基本特点
3．(多选)关于曲线运动的速度，下列说法正确的是( )
A．速度的大小与方向都在时刻变化
B．速度的大小不断发生变化，速度的方向不一定发生变化
C．速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化
D．质点在某一点的速度方向就是运动轨迹上该点的切线方向
答案 CD
解析 做曲线运动的物体，速度的大小可以不发生变化，但速度的方向一定会发生变化，故A、B错误，C正确；质点在某一点的速度方向就是运动轨迹上该点的切线方向，D正确．
【考点】曲线运动的基本特点
【题点】曲线运动的基本特点
考点二 曲线运动的条件
4．一个钢球在水平桌面上做直线运动，在其经过的路径旁放一块磁铁，则钢球的运动路径就发生改变，如图2所示，由此可知( )
图2
A．当物体受到合外力作用时，其运动方向一定发生改变
B．当物体受到合外力作用时，其惯性就消失了
C．当物体所受合力的方向与初速度方向不共线时，其运动方向发生改变
D．当物体所受合力的方向与初速度方向垂直时，其运动方向才发生改变
答案 C
解析 当物体受到合外力作用时，运动状态一定会发生变化，可能是速度的大小变化，也可能是速度的方向变化，故选项A错误；物体的惯性与受力情况和运动状态无关，故选项B错误；当物体所受合力的方向与初速度方向不共线时，物体就做曲线运动，即运动方向要发生变化，故选项C正确，D错误．
【考点】曲线运动的条件
【题点】物体做曲线运动的条件
5．一个做匀速直线运动的物体突然受到一个与运动方向不在同一条直线上的恒力作用时，则物体( )
A．继续做直线运动
B．一定做曲线运动
C．可能做直线运动，也可能做曲线运动
D．运动的形式不能确定
答案 B
解析 当合外力方向与速度方向不在同一条直线上时，物体必做曲线运动，故选项B正确．
【考点】曲线运动的条件
【题点】物体做曲线运动的条件
考点三 曲线运动的受力、速度与运动轨迹的关系
6．质点在某一平面内沿曲线由P运动到Q，如果用v、a、F分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合外力．则下列选项中可能正确的是( )
答案 D
解析 质点做曲线运动时，速度方向是曲线上这一点的切线方向，选项A错误；质点所受合外力和加速度的方向指向运动轨迹的凹侧，选项B、C错误，只有选项D正确．
7．若已知物体运动的初速度v0的方向及它受到的恒定的合力F的方向，如图所示．则可能的轨迹是( )
答案 B
解析 物体做曲线运动时，速度沿曲线的切线方向，合力方向和速度方向不共线，且指向曲线凹的一侧，则运动轨迹在合力与速度之间，且向合力的方向弯曲．
【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系
【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹
8．如图3所示，高速摄像机记录了一名擅长飞牌、射牌的魔术师的发牌过程，虚线是飞出的扑克牌的轨迹，则扑克牌所受合外力F与速度v关系正确的是( )
图3
答案 A
9．一运动物体经过P点时，其速度v与合力F的方向不在同一直线上，当物体运动到Q点时，突然使合力的方向与速度方向相同直至物体运动经过M点，若用虚线表示物体的运动轨迹，则下列图中可能正确的是(其中C、D选项中的QM段均是直线)( )
答案 C
解析 经过P点时，其速度v与合力F的方向不在同一直线上，物体做曲线运动，合力应指向运动轨迹的凹侧，当合力方向与速度方向相同时，物体做直线运动，所以从Q到M做直线运动，故C正确．
【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系
【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹
10．如图4所示，双人滑冰运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN.vM与vN正好成90°角，则此过程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的( )
图4
A．F1B．F2C．F3D．F4
答案 B
【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系
【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹
11．“歼20”是我国自主研发的一款新型隐形战机，图5中虚曲线是某次“歼20”离开跑道加速起飞的轨迹，虚直线是曲线上过飞机所在位置的切线，则空气对飞机作用力的方向可能是( )
图5
A．沿F1方向
B．沿F2方向
C．沿F3方向
D．沿F4方向
答案 C
解析 飞机向上加速，空气作用力与重力的合力应指向曲线的凹侧，同时由于飞机加速起飞，故空气对飞机的作用力与速度的夹角应为锐角，故只有F3符合题意．
【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系
【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹
考点四 物体运动性质的判断
12．(多选)关于物体的运动，以下说法中正确的是( )
A．物体在恒力作用下，一定做直线运动
B．物体若受到与速度方向不在一条直线上的合外力作用，一定做曲线运动
C．物体在变力作用下，一定做曲线运动
D．物体在变力作用下，可能做直线运动
答案 BD
解析 物体受到恒力作用，若恒力的方向与运动的方向不共线，则做曲线运动，所以A错误；物体受到的合外力与速度方向不在一条直线上，则物体一定做曲线运动，所以B正确；物体受到变力作用，若变力的方向与速度的方向共线，则做直线运动，若不共线，则做曲线运动，所以C错误，D正确．
【考点】曲线运动的条件
【题点】由曲线运动的条件判断曲线运动的性质
13．(多选)质点在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去F1，保持其他力不变，则质点( )
A．一定做匀变速运动
B．一定做直线运动
C．一定做非匀变速运动
D．可能做曲线运动
答案 AD
解析 质点在恒力作用下产生恒定的加速度，加速度恒定的运动一定是匀变速运动．由题意可知，当突然撤去F1时，质点受到的合力大小等于F1的大小，方向与F1的方向相反，故选项A正确，选项C错误；在撤去F1之前，质点保持平衡，有两种可能：一是质点处于静止状态，则撤去F1后，质点做匀变速直线运动；二是质点处于匀速直线运动状态，则撤去F1后，质点可能做直线运动(条件是：F1的方向和速度方向在同一条直线上)，也可能做曲线运动(条件是：F1的方向和速度方向不在同一条直线上)，故选项B错误，选项D正确．
【考点】曲线运动的条件
【题点】由曲线运动的条件判断曲线运动的性质
14．(多选)在光滑平面上的一运动质点以速度v通过原点O，v与x轴成α角(如图6所示)，与此同时，质点上加有沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则( )
图6
A．因为有Fx，质点一定做曲线运动
B．如果Fy>Fx，质点向y轴一侧做曲线运动
C．如果Fy＝Fxtanα，质点做直线运动
D．如果Fy答案 CD
解析 质点所受合外力方向与速度方向不在同一直线上时，质点做曲线运动；若所受合外力始终与速度同方向，则做直线运动．若Fy＝Fxtanα，则Fx和Fy的合力F与v在同一直线上(如图所示)，此时质点做直线运动；若Fy，则Fx、Fy的合力F与x轴的夹角β<α，则质点偏向x轴一侧做曲线运动．
【考点】曲线运动的条件
【题点】由曲线运动的条件判断曲线运动的性质
2 运动的合成与分解
[学习目标] 1.理解合运动、分运动的概念，掌握运动的合成与分解的方法.2.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题和关联速度问题．
一、位移和速度的合成与分解
1．如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动．
2．位移的合成与分解
一个物体同时发生两个方向的位移(分位移)，它的效果可以用合位移来替代；同样，这个物体运动的合位移也可以用两个分位移来替代．由分位移求合位移叫做位移的合成；由合位移求分位移叫做位移的分解．它们都遵循矢量合成的平行四边形定则．
3．速度的合成和分解遵循平行四边形定则．
二、运动的合成与分解的应用
1．运动的合成：由已知的分运动求合运动的过程．
2．运动的分解：由已知的合运动求分运动的过程．
3．运动的合成与分解实质是对物体的速度、加速度、位移等物理量进行合成与分解．
1．判断下列说法的正误．
(1)合运动一定是实际发生的运动．(√)
(2)合运动的速度一定大于分运动的速度．(×)
(3)某一分运动发生变化时，合运动一定也发生变化．(√)
(4)某一分运动发生变化时，其他分运动一定也发生变化．(×)
(5)因为两个分运动的各运动参量不同，所以完成两个分运动的时间也不一定相同．(×)
2．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的．设没有风时，雨滴着地的速度为6m/s.现在有风，风可给雨滴6 m/s的水平向西的速度，则此时雨滴着地的速度大小为__________m/s，方向________________________．
答案 6 与水平向西方向夹角为45°斜向下
一、位移和速度的合成与分解
如图1所示，小明由码头A出发，准备送一批货物到河对岸的码头B.他驾船时始终保持船头指向与河岸垂直，但小明没有到达正对岸的码头B，而是到达了下游的C处，则：
图1
(1)此过程中小船参与了几个运动？
(2)小船的实际位移、垂直河岸的位移、随水漂流的位移有什么关系？
答案 (1)小船参与了两个运动，即船在静水中的运动和船随水漂流的运动．
(2)如图所示，实际位移(合位移)和两分位移符合平行四边形定则．
1．合运动与分运动
(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动．
(2)物体实际运动的位移、速度、加速度是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度．
2．合运动与分运动的四个特性
等时性
各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同
等效性
各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性
各分运动与合运动是同一物体的运动
独立性
各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
3.运动的合成与分解
(1)运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解．由于位移、速度、加速度都是矢量，其合成、分解遵循平行四边形(或三角形)定则．
(2)对速度v进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解．
4．合运动性质的判断
分析两个直线运动的合运动性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v和合加速度a，然后进行判断．
(1)是否为匀变速判断：
加速度或合外力
(2)曲、直判断：
加速度或合外力与速度方向
例1 (多选)质量为2kg的质点在xOy平面内做曲线运动，在x方向的速度－时间图像和y方向的位移－时间图像如图2所示，下列说法正确的是( )
图2
A．质点的初速度为5m/s
B．质点所受的合外力为3N，做匀变速曲线运动
C．2s末质点速度大小为6m/s
D．2s内质点的位移大小约为12m
答案 ABD
解析 由题图x方向的速度－时间图像可知，在x方向的加速度为1.5m/s2，x方向受力Fx＝3 N，由题图y方向的位移－时间图像可知在y方向做匀速直线运动，速度大小为vy＝4 m/s，y方向受力Fy＝0.因此质点的初速度为5m/s，A正确；受到的合外力恒为3N，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，故做匀变速曲线运动，B正确；2s末质点速度大小应该为v＝m/s＝2m/s，C错误；2s内，x＝vx0t＋at2＝9m，y＝8m，合位移l＝＝m≈12m，D正确．
【考点】速度和位移的合成与分解
【题点】速度和位移的合成与分解
三步走求解合运动或分运动
1．根据题意确定物体的合运动与分运动．
2．根据平行四边形定则作出矢量合成或分解的平行四边形．
3．根据所画图形求解合运动或分运动的参量，若两个分运动相互垂直，则合速度的大小v＝，合位移的大小l＝.
例2 如图3所示，一玻璃管中注满清水，水中放一软木做成的木塞R(木塞的直径略小于玻璃管的直径，轻重大小适宜，使它在水中能匀速上浮)．将玻璃管的开口端用胶塞塞紧(图甲)．现将玻璃管倒置(图乙)，在木塞匀速上升的同时，将玻璃管水平向右由静止做匀加速直线运动．观察木塞的运动，将会看到它斜向右上方运动，经过一段时间，玻璃管移到图丙中虚线所示位置，木塞恰好运动到玻璃管的顶端，则能正确反映木塞运动轨迹的是( )
图3
答案 C
解析 木塞参与了两个分运动，竖直方向在管中以v1匀速上浮，水平方向向右做匀加速直线运动，速度v2不断变大，将v1与v2合成，如图，由于曲线运动的速度沿着曲线上该点的切线方向，又由于v1不变，v2不断变大，故θ不断变小，即切线方向与水平方向的夹角不断变小，故A、B、D均错误，C正确．
【考点】合运动性质的判断
【题点】由两分运动性质判断合运动轨迹
合运动的运动性质及轨迹的判断方法
1．根据两分运动的加速度应用平行四边形定则求合加速度，判定合加速度是否变化，若变化，是变加速运动，若不变，一定是匀变速运动．
2．根据两分运动的初速度应用平行四边形定则求合初速度．
3．根据合初速度与合加速度的方向关系判定轨迹．若合加速度恒定不变，合初速度与合加速度在同一直线上，做匀变速直线运动；合初速度与合加速度不在同一直线上，做匀变速曲线运动．若合加速度变化，则根据合加速度的变化情况具体分析运动轨迹．
二、小船渡河问题
如图4所示：河宽为d，河水流速为v水，船在静水中的速度为v船，船M从A点开始渡河到对岸．
图4
(1)小船渡河时同时参与了几个分运动？
(2)怎样渡河时间最短？
(3)若v水＜v船，怎样渡河位移最短？
答案 (1)参与了两个分运动，一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动．(即一个分运动是水的运动)．
(2)如图所示，设v船与河岸夹角为θ，船过河的有效速度为v船sinθ，时间t＝，当θ＝90°时，t＝最小，即当船头垂直于河岸时，时间最短，与其它因素无关．
(3)当v船与v水的合速度与河岸垂直时，位移最短．此时v船cosθ＝v水，v合＝v船sinθ，t＝.
1．小船的运动分析
小船渡河时，参与了两个分运动：一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动．
2．小船渡河的两类常见问题
(1)渡河时间t
①渡河时间t的大小取决于河岸的宽度d及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t＝.
②若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图5所示，此时t＝，船渡河的位移x＝，位移方向满足tanθ＝.
图5
(2)渡河位移最短问题
①若v水图6
②若v水>v船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d，寻找最短位移的方法是：如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向．这时船头与河岸夹角θ满足cosθ＝，最短位移x短＝，渡河时间t＝.
例3 一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s.船在静水中的速度为v2＝5 m/s，则：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
答案 (1)船头垂直于河岸 36s 90m
(2)船头偏向上游，与河岸夹角为60° 24s 180m
解析 (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．
当船头垂直河岸时，如图甲所示．
甲
时间t＝＝ s＝36 s，
v合＝＝ m/s
位移为x＝v合t＝90 m.
(2)欲使船渡河航程最短，应使合运动的速度方向垂直河岸渡河，船头应朝上游与河岸成某一夹角β，
如图乙所示，有v2sin α＝v1，得α＝30°，所以当船头偏向上游与河岸夹角β＝60°时航程最短．
乙
最短航程x′＝d＝180 m，
所用时间t′＝＝＝ s＝24 s.
【考点】小船渡河模型分析
【题点】小船渡河问题的综合分析
1．要使船垂直于河岸横渡，即路程最短，应使v船在水流方向的分速度和水流速度等大、反向，这种情况只适用于v船>v水时．
2．要使船渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即v船与水流方向垂直．
3．要区别船速v船及船的合运动速度v合，前者是发动机或划行产生的分速度，后者是合速度．
针对训练1 (多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线．则其中可能正确的是( )
答案 AB
解析 小船渡河的运动可看做水流的运动和小船运动的合运动．虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，即合速度的方向，小船合运动的速度方向就是其真实运动的方向，分析可知，实际航线可能正确的是A、B.
【考点】小船渡河模型分析
【题点】船头指向、速度方向与渡河轨迹问题
三、关联速度分解问题
关联速度分解问题指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一说“绳”)：
(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向．
(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等．
例4 如图7所示，用船A拖着车B前进时，若船匀速前进，速度为vA，当OA绳与水平方向夹角为θ时，则：(与B相连的绳水平且定滑轮的质量及摩擦不计)
图7
(1)车B运动的速度vB为多大？
(2)车B是否做匀速运动？
答案 (1)vAcosθ (2)不做匀速运动
解析 (1)把vA分解为一个沿绳子方向的分速度v1和一个垂直于绳的分速度v2，如图所示，所以车前进的速度vB大小应等于vA的分速度v1，即vB＝v1＝vAcosθ.
(2)当船匀速向前运动时，θ角逐渐减小，车速vB将逐渐增大，因此，车B不做匀速运动．
【考点】关联速度的分解模型
【题点】绳关联物体速度的分解
“关联”速度的分解规律
1．分解依据：
(1)物体的实际运动就是合运动．
(2)由于绳、杆不可伸长，所以绳、杆两端所连物体的速度沿着绳、杆方向的分速度大小相同．
2．分解方法：将物体的实际速度分解为垂直于绳、杆和沿绳、杆的两个分量．
3．常见的速度分解模型(如图8所示)．
图8
针对训练2 如图9所示，A物块以速度v沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过光滑定滑轮拉动物体B在水平方向上运动．当细绳与水平面夹角为θ时，求物体B运动的速度vB的大小．
图9
答案 vsinθ
解析 物块A沿杆向下运动，有使绳子伸长和使绳子绕定滑轮转动的两个效果，因此绳子端点(即物块A)的速度可分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，如图所示．其中物体B的速度大小等于沿绳子方向的分速度vB.
则有sinθ＝，因此vB＝vsinθ.
【考点】关联速度的分解模型
【题点】绳关联物体速度的分析
1．(合运动性质的判断)(多选)关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是( )
A．物体的两个分运动是直线运动，则它们的合运动一定是直线运动
B．若两个互成角度的分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动，则合运动一定是曲线运动
C．合运动与分运动具有等时性
D．速度、加速度和位移的合成都遵循平行四边形定则
答案 BCD
【考点】合运动性质的判断
【题点】由两分运动性质判断合运动轨迹
2．(合运动、分运动的特点)雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下述说法中正确的是( )
①风速越大，雨滴下落时间越长 ②风速越大，雨滴着地时速度越大 ③雨滴下落时间与风速无关 ④雨滴着地速度与风速无关
A．①②B．②③C．③④D．①④
答案 B
解析 将雨滴的运动分解为水平方向和竖直方向，两个分运动相互独立，雨滴下落时间与竖直高度有关，与水平方向的风速无关，故①错误，③正确．风速越大，落地时，雨滴水平方向分速度越大，合速度也越大，故②正确，④错误，故选B.
【考点】合运动与分运动的特点
【题点】运动的等时性和独立性
3．(两分运动的合成)(多选)一质量为2kg的质点在如图10甲所示的xOy平面内运动，在x方向的速度－时间(v－t)图像和y方向的位移－时间(y－t)图像分别如图乙、丙所示，由此可知( )
图10
A．t＝0时，质点的速度大小为12m/s
B．质点做加速度恒定的曲线运动
C．前2s，质点所受的合力大小为10N
D．t＝1s时，质点的速度大小为7m/s
答案 BC
解析 由v－t图像可知，质点在x方向上做匀减速运动，初速度大小为12m/s，而在y方向上，质点做速度大小为5 m/s的匀速运动，故在前2s内质点做匀变速曲线运动，质点的初速度为水平初速度和竖直初速度的合速度，则初速度大小：v0＝m/s＝13 m/s，故A错误，B正确；由v－t图像可知，前2s，质点的加速度大小为：a＝＝5m/s2，根据牛顿第二定律，前2 s质点所受合外力大小为F＝ma＝2×5 N＝10 N，故C正确；t＝1 s时，x方向的速度大小为7 m/s，而y方向速度大小为5m/s，因此质点的速度大小为m/s＝m/s，故D错误．
【考点】速度和位移的合成与分解
【题点】速度的合成与分解
4．(关联速度问题)(多选)如图11所示，一人以恒定速度v0通过光滑轻质定滑轮竖直向下拉绳使小车在水平面上运动，当运动到图示位置时，细绳与水平方向成45°角，则此时( )
图11
A．小车运动的速度为v0
B．小车运动的速度为v0
C．小车在水平面上做加速运动
D．小车在水平面上做减速运动
答案 BC
解析 将小车速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解，如图所示，
人拉绳的速度与小车沿绳子方向的分速度大小是相等的，根据三角函数关系vcos45°＝v0，则v＝＝v0，B正确，A错误．随着小车向左运动，小车与水平方向的夹角越来越大，设夹角为α，由v＝知v越来越大，则小车在水平面上做加速运动，C正确，D错误．
【考点】关联速度的分解模型
【题点】绳关联物体速度的分解
5．(小船渡河问题)小船在200m宽的河中横渡，水流速度是2m/s，小船在静水中的航速是4 m/s.求：
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？
(2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？
答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50s
(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200m
解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin＝＝s＝50s.
(2)如图乙所示，航程最短为河宽d，即最短航程为200m，应使v合′的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有cosα＝＝，解得α＝60°.
【考点】小船渡河模型分析
【题点】小船渡河问题的综合分析
一、选择题
考点一 运动的合成与分解
1．关于合运动、分运动的说法，正确的是( )
A．合运动的位移为分运动位移的矢量和
B．合运动的位移一定比其中的一个分位移大
C．合运动的速度一定比其中的一个分速度大
D．合运动的时间一定比分运动的时间长
答案 A
解析 位移是矢量，其运算遵循平行四边形定则，A正确；合运动的位移可大于分位移，也可小于分位移，还可等于分位移，B错误；同理可知C错误；合运动和分运动具有等时性，D错误．
【考点】合运动与分运动的特点
【题点】合运动与分运动的关系
2．如图1所示，在一次救灾工作中，一架离水面高为Hm、沿水平直线飞行的直升飞机A，用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中的伤员B，在直升飞机A和伤员B以相同的水平速率匀速运动的同时，悬索将伤员吊起．设经ts时间后，A、B之间的距离为lm，且l＝H－t2，则在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是下列哪个图( )
图1
答案 A
解析 根据l＝H－t2，可知伤员B在竖直方向上是匀加速上升的，悬索中拉力大于重力，即表示拉力F的线段要比表示重力G的线段长，伤员在水平方向匀速运动，所以F、G都在竖直方向上；向上加速，运动轨迹向上偏转，只有A符合，所以在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是A.
【考点】合运动性质的判断
【题点】结合表达式判断合运动轨迹和合运动性质
3．(多选)在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图2所示．关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是( )
图2
A．相对地面的运动轨迹为直线
B．相对地面做匀变速曲线运动
C．t时刻猴子相对地面的速度大小为v0＋at
D．t时间内猴子相对地面的位移大小为
答案 BD
解析 猴子在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，猴子相对地面的运动轨迹为曲线；因为猴子受到的合外力恒定(加速度恒定)，所以相对地面猴子做的是匀变速曲线运动；t时刻猴子对地的速度大小为vt＝；t时间内猴子对地的位移大小为l＝.
【考点】速度和位移的合成与分解
【题点】速度和位移的合成与分解
4．物体在直角坐标系xOy所在平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图像如图3所示，则对该物体运动过程的描述正确的是( )
图3
A．物体在0～3s做匀变速直线运动
B．物体在0～3s做匀变速曲线运动
C．物体在3～4s做变加速直线运动
D．物体在3～4s做匀变速曲线运动
答案 B
解析 物体在0～3s内，x方向做vx＝4m/s的匀速直线运动，y方向做初速度为0、加速度ay＝1 m/s2的匀加速直线运动，合初速度v0＝vx＝4m/s，合加速度a＝ay＝1 m/s2，所以物体的合运动为匀变速曲线运动，如图甲所示，A错误，B正确．
物体在3～4s内，x方向做初速度vx＝4m/s、加速度ax＝－4 m/s2的匀减速直线运动，y方向做初速度vy＝3m/s、加速度ay＝－3 m/s2的匀减速直线运动，合初速度大小v＝5m/s，合加速度大小a＝5 m/s2，v、a方向恰好相反，所以物体的合运动为匀减速直线运动，如图乙所示，C、D错误．
【考点】合运动性质的判断
【题点】由两分运动性质判断合运动性质
考点二 小船渡河问题
5．小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是( )
A．水速小时，位移小，时间也小
B．水速大时，位移大，但时间小
C．水速大时，位移大，但时间不变
D．位移、时间大小与水速大小无关
答案 C
解析 小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船以一定速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间一定．水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小．
【考点】小船渡河模型分析
【题点】小船渡河的最短时间问题
6．一只小船渡河，运动轨迹如图4所示．水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于岸边；小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度大小均相同、方向垂直于岸边，且船在渡河过程中船头方向始终不变．由此可以确定( )
图4
A．船沿AD轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动
B．船沿三条不同路径渡河的时间相同
C．船沿AB轨迹渡河所用的时间最短
D．船沿AC轨迹到达对岸前瞬间的速度最大
答案 D
解析 因为三种运动船的船头垂直河岸，相对于静水的初速度相同，垂直河岸方向运动性质不同，沿水流方向运动相同，河的宽度相同，渡河时间不等，B错误；加速度的方向指向轨迹的凹侧，依题意可知，AC径迹是匀加速运动，AB径迹是匀速运动，AD径迹是匀减速运动，从而知道AC径迹渡河时间最短，A、C错误；沿AC轨迹在垂直河岸方向是加速运动，故船到达对岸前瞬间的速度最大，D正确．
【考点】小船渡河模型分析
【题点】小船渡河问题的综合分析
7．(多选)一快艇从离岸边100m远的河流中央向岸边行驶．已知快艇在静水中的速度－时间图像如图5甲所示；河中各处水流速度相同，且速度－时间图像如图乙所示．则( )
图5
A．快艇的运动轨迹一定为直线
B．快艇的运动轨迹一定为曲线
C．快艇最快到达岸边，所用的时间为20s
D．快艇最快到达岸边，经过的位移为100m
答案 BC
解析 两分运动为一个是匀加速直线运动，另一个是匀速直线运动，知合速度的方向与合加速度的方向不在同一直线上，合运动为曲线运动，故A错误，B正确．当快艇船头垂直于河岸时，时间最短，垂直于河岸方向上的加速度a＝0.5m/s2，由d＝at2，得t＝20s，而位移大于100m，选项C正确，D错误．
【考点】小船渡河模型分析
【题点】小船渡河的最短时间问题
8．小船横渡一条河，船头始终垂直于河岸且船相对于静水的速度大小、方向都不变，已知小船的运动轨迹如图6所示，则( )
图6
A．水流速度恒定
B．由A到B水速先增大后减小
C．越接近B岸水速越小
D．越接近B岸水速越大
答案 C
解析 因船头始终垂直于河岸且船相对于静水的速度大小、方向都不变，所以船在垂直河岸方向上做匀速运动，则相同时间内船沿垂直河岸方向运动的距离是相等的(如图中的竖直虚线所示)，但越靠近B岸，沿水流方向的间隔越来越小(如图中的粗实线所示)，说明越靠近B岸，水流速度越小，故C正确，A、B、D错误．
考点三 绳关联速度问题
9．(多选)如图7所示，人在岸上用轻绳通过光滑轻质定滑轮拉船，不计空气阻力，与人相连的绳水平，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时( )
图7
A．人拉绳行走的速度为vcosθ
B．人拉绳行走的速度为
C．船的加速度为
D．船的加速度为
答案 AC
解析 船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v人＝v∥＝vcosθ，选项A正确，B错误；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此Fcosθ－f＝ma，解得a＝，选项C正确，D错误．
【考点】关联速度的分解模型
【题点】绳关联物体速度的分解
10.人用绳子通过光滑轻质定滑轮拉物体A，A穿在光滑的竖直杆上，当以速度v0匀速地拉绳使物体A到达如图8所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A实际运动的速度是( )
图8
A．v0sinθ B.
C．v0cosθ D.
答案 D
解析 由运动的合成与分解可知，物体A参与两个分运动：一个是沿着与它相连接的绳子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动．而物体A的实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运动就是物体A的合运动，它们之间的关系如图所示．由几何关系可得v＝，所以D正确．
【考点】关联速度的分解模型
【题点】绳关联物体速度的分解
11．如图9所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过光滑轻质定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA＝10m/s匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小vB为( )
图9
A．5m/s B.m/s
C．20m/s D.m/s
答案 D
解析 物体B的运动可分解为沿绳BO方向靠近定滑轮O使绳BO段缩短的运动和绕定滑轮(方向与绳BO垂直)的运动，故可把物体B的速度分解为如图所示的两个分速度，由图可知vB∥＝vBcosα，由于绳不可伸长，有vB∥＝vA，故vA＝vBcosα，所以vB＝＝m/s，选项D正确．
【考点】关联速度的分解模型
【题点】绳关联物体速度的分解
二、非选择题
12．(运动的合成与分解)一物体在光滑水平面上运动，它在相互垂直的x方向和y方向上的两个分运动的速度－时间图像如图10所示．
图10
(1)计算物体的初速度大小；
(2)计算物体在前3s内的位移大小．
答案 (1)50m/s (2)30m
解析 (1)由题图可看出，物体沿x方向的分运动为匀速直线运动，沿y方向的分运动为匀变速直线运动．x方向的初速度vx0＝30m/s，y方向的初速度vy0＝－40 m/s；则物体的初速度大小为
v0＝＝50m/s.
(2)在前3s内，x方向的分位移大小
x3＝vx·t＝30×3m＝90m
y方向的分位移大小y3＝·t＝×3m＝60m，
故x＝＝m＝30m.
【考点】运动的合成和分解与运动图像的综合应用
【题点】运动的合成与分解与运动图像的综合应用
13.(关联速度问题)一辆车通过一根跨过光滑轻质定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H，此时轻绳恰好伸直．车由静止开始向左做匀加速直线运动，经过时间t绳子与水平方向的夹角为θ，如图11所示．试求：
图11
(1)车向左运动的加速度的大小；
(2)重物m在t时刻速度的大小．
答案 (1) (2)
解析 (1)车在时间t内向左运动的位移：x＝，
由车做匀加速直线运动，得：x＝at2，
解得：a＝＝.
(2)t时刻车的速度：v车＝at＝，
由运动的分解知识可知，车的速度v车沿绳的分速度大小与重物m的速度大小相等，即：v物＝v车cosθ，
解得：v物＝.
【考点】关联速度的分解模型
【题点】绳关联物体速度的分解
课时1 平抛运动的规律
[学习目标] 1.知道什么是平抛运动，知道平抛运动是匀变速曲线运动.2.知道平抛运动的特点及其运动规律.3.会应用平抛运动的规律解决有关问题．
一、平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动．
2．运动性质
(1)竖直方向：只受重力，为自由落体运动．
(2)水平方向：不受力，为匀速直线运动．
3．平抛运动是两个方向分运动的合运动，是匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
二、平抛运动的规律
1．平抛运动的速度
(1)水平方向：不受力，为匀速直线运动，vx＝v0.
(2)竖直方向：只受重力，为自由落体运动，vy＝gt.
(3)合速度：
①大小：vt＝＝；
②方向：tanθ＝＝(θ是v与水平方向的夹角)．
2．平抛运动的位移：
(1)水平位移为x＝vxt.
(2)竖直位移y＝gt2.
1．判断下列说法的正误．
(1)平抛运动物体的速度、加速度都随时间增大．(×)
(2)平抛运动是曲线运动，但不是匀变速运动．(×)
(3)平抛运动的物体初速度越大，下落得越快．(×)
(4)平抛运动物体的速度方向与水平方向的夹角越来越大，若足够高，速度方向最终可能竖直向下．(×)
(5)平抛运动的合位移的方向与合速度的方向一致．(×)
2．在80m的低空有一小型飞机以30m/s的速度水平飞行，假定从飞机上释放一物体，g取10 m/s2，不计空气阻力，那么物体从释放到落地所用时间是________s，它在下落过程中发生的水平位移是________m；落地时的速度大小为________m/s.
答案 4 120 50
解析 由h＝gt2，得：t＝，代入数据得：t＝4s
水平位移x＝v0t，代入数据得：
x＝30×4m＝120m
v0＝30m/s，vy＝＝40m/s
故vt＝
代入数据得vt＝50m/s.
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的速度和位移的分解
一、对平抛运动的理解
实验：用平抛演示仪研究平抛运动
(1)如图1，轻击弹簧片将B小球水平抛出后，A小球做什么运动？A、B小球落地的时间有何关系？此实验说明了什么？
图1
(2)如图2，两光滑轨道平行放置(小球2所在轨道的水平部分足够长)，将1、2两个小球从相对斜面的同一位置同时无初速度释放，观察两小球的运动情况是怎样的？此实验说明了什么？
图2
答案 (1)A小球做自由落体运动；A、B两个小球同时落地；此实验说明平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动．
(2)在轨道上时，1、2两个小球的运动情况完全相同，1小球脱离轨道后做平抛运动，2小球在水平轨道上做匀速直线运动，并且1小球会和2小球相撞；此实验说明平抛运动的小球在水平方向上做匀速直线运动．
1．平抛运动的特点
(1)速度特点：平抛运动的速度大小和方向都不断变化，故它是变速运动．
(2)轨迹特点：平抛运动的运动轨迹是曲线，故它是曲线运动．
(3)加速度特点：平抛运动的加速度为重力加速度．
2．平抛运动的速度变化
如图3所示，由Δv＝gΔt知，任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，方向竖直向下．
图3
3．平抛运动的轨迹：由x＝v0t，y＝gt2得y＝x2，为抛物线方程，其运动轨迹为抛物线．
例1 关于平抛运动，下列说法中正确的是( )
A．平抛运动是一种变加速运动
B．做平抛运动的物体加速度随时间逐渐增大
C．做平抛运动的物体每秒内速度增量相等
D．做平抛运动的物体每秒内位移增量相等
答案 C
解析 平抛运动是匀变速曲线运动，其加速度为重力加速度g，故加速度的大小和方向恒定，在Δt时间内速度的改变量为Δv＝gΔt，因此可知每秒内速度增量大小相等、方向相同，选项A、B错误，C正确；由于水平方向的位移x＝v0t，每秒内水平位移增量相等，而竖直方向的位移h＝gt2，每秒内竖直位移增量不相等，选项D错误．
【考点】对平抛(和一般抛体)运动的理解
【题点】平抛运动的性质
二、平抛运动规律的应用
如图4所示为小球水平抛出后，在空中做平抛运动的运动轨迹．(重力加速度为g，初速度为v0)
图4
(1)小球做平抛运动，运动轨迹是曲线，为了便于研究，我们应如何建立坐标系？
(2)以抛出时刻为计时起点，求t时刻小球的速度大小和方向．
(3)以抛出时刻为计时起点，求t时刻小球的位移大小和方向．
答案 (1)一般以初速度v0的方向为x轴的正方向，竖直向下的方向为y轴的正方向，以小球被抛出的位置为坐标原点建立平面直角坐标系．
(2)如图，初速度为v0的平抛运动，经过时间t后，其水平分速度vx＝v0，竖直分速度vy＝gt.根据运动的合成规律可知，小球在这个时刻的速度(即合速度)大小v＝＝，设这个时刻小球的速度与水平方向的夹角为θ，则有tanθ＝＝.
(3)如图，水平方向：x＝v0t
竖直方向：y＝gt2
合位移：
l＝＝
合位移方向：tanα＝＝(α表示合位移方向与水平方向之间的夹角)．
1．平抛运动的研究方法
(1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动．
(2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等．
2．平抛运动的规律
(1)平抛运动的时间：t＝，只由高度决定，与初速度无关．
(2)水平位移(射程)：x＝v0t＝v0，由初速度和高度共同决定．
(3)落地速度：v＝＝，与水平方向的夹角为θ，tanθ＝＝，落地速度由初速度和高度共同决定．
3．平抛运动的推论
(1)如图5所示，平抛运动的速度与初速度方向的夹角为θ，则tanθ＝＝.平抛运动的位移与初速度方向的夹角为α，则tanα＝＝＝＝tanθ.
可见做平抛运动的物体在某时刻的速度、位移与初速度方向的夹角θ、α的关系为tanθ＝2tanα.
图5
(2)如图6所示，从O点水平抛出的物体经时间t到达P点，速度的反向延长线交OB于A点．
则OB＝v0t，AB＝＝gt2·＝gt2·＝v0t.
可见做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
图6
例2 某卡车在公路上与路旁障碍物相撞．处理事故的警察在泥地中发现了一个小的金属物体，经判断，它是相撞瞬间车顶上一个松脱的零件被抛出而陷在泥里的．为了判断卡车是否超速，需要测量的量是(空气阻力不计)( )
A．车的长度，车的重量
B．车的高度，车的重量
C．车的长度，零件脱落点与陷落点的水平距离
D．车的高度，零件脱落点与陷落点的水平距离
答案 D
解析 根据平抛运动知识可知h＝gt2，x＝vt，车顶上的零件平抛出去，因此只要知道车顶到地面的高度，即可求出时间．测量零件脱落点与陷落点的水平距离即可求出相撞时的瞬时速度，答案为D.
例3 用30m/s的初速度水平抛出一个物体，经过一段时间后，物体的速度方向与水平方向成30°角，不计空气阻力，g取10 m/s2.求：
(1)此时物体相对于抛出点的水平位移大小和竖直位移大小；
(2)再经过多长时间，物体的速度方向与水平方向的夹角为60°？(物体的抛出点足够高)
答案 (1)30m 15m (2)2s
解析 (1)设物体在A点时速度方向与水平方向成30°角，如图所示，tan30°＝＝，tA＝＝s
所以在此过程中水平方向的位移xA＝v0tA＝30m
竖直方向的位移yA＝gtA2＝15m.
(2)设物体在B点时速度方向与水平方向成60°角，总运动时间为tB，则tB＝＝3s
所以物体从A点运动到B点所经历的时间Δt＝tB－tA＝2s.
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的速度和位移的分解
研究平抛运动的一般思路
1．首先要把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动．
2．然后分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移．
3．这种处理问题的方法可以变复杂运动为简单运动，使问题的解决得到简化．
三、平抛运动的临界问题
例4 如图7所示，排球场的长度为18m，其网的高度为2m．运动员站在离网3m远的线上，正对网前竖直跳起把球垂直于网水平击出．设击球点的高度为2.5m，问：球被水平击出时的速度v在什么范围内才能使球既不触网也不出界？(不计空气阻力，g取10m/s2)
图7
答案 见解析
解析 如图所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰不出界时其轨迹为Ⅱ，根据平抛运动规律x＝v0t和y＝gt2可得，当排球恰不触网时有
x1＝3m，x1＝v1t1①
h1＝2.5m－2m＝0.5m，h1＝gt12②
由①②可得v1≈9.5m/s.
当排球恰不出界时有：
x2＝3m＋9m＝12m，x2＝v2t2③
h2＝2.5m，h2＝gt22④
由③④可得v2≈17m/s.
所以球既不触网也不出界的水平击出速度范围是：
9.5m/s【考点】平抛运动中的临界问题
【题点】平抛运动双边界临界位移问题
分析平抛运动中的临界问题时一般运用极端分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找出产生临界的条件．
针对训练 (多选)刀削面是很多人喜欢的面食之一，因其风味独特而驰名中外．刀削面全凭刀削，因此得名．如图8所示，将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用一刀片飞快地削下一片片很薄的面片，使面片飞向锅中，若面团到锅上沿水平面的竖直距离为0.8m，到锅最近的水平距离为0.5m，锅的半径为0.5m．要想使削出的面片落入锅中，则面片的水平速度可以是下列选项中的哪些(空气阻力不计，g取10m/s2)( )
图8
A．1m/s B．2 m/s
C．3m/s D．4 m/s
答案 BC
解析 由h＝gt2知，面片在空中的运动时间t＝＝0.4s，而水平位移x＝v0t，故面片的初速度v0＝，将x1＝0.5m，x2＝1.5m代入得面片的最小初速度v01＝＝1.25m/s，最大初速度v02＝＝3.75m/s，即1.25 m/s≤v0≤3.75m/s，选项B、C正确．
【考点】平抛运动中的临界问题
【题点】平抛运动双边界临界位移问题
1．(对平抛运动的理解)(多选)关于平抛运动，下列说法正确的是( )
A．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动
B．平抛运动的速度方向与恒力方向的夹角保持不变
C．平抛运动的速度大小是时刻变化的
D．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
答案 ACD
解析 做平抛运动的物体只受重力作用，故A正确；平抛运动是曲线运动，速度时刻变化，由v＝知，合速度v在增大，故C正确；对平抛物体的速度方向与加速度(合力)方向的夹角，有tanθ＝＝，因t一直增大，所以tanθ变小，θ变小，故D正确，B错误．
【考点】对平抛(和一般抛体)运动的理解
【题点】平抛运动的性质
2．(平抛运动的规律)如图9所示，滑板运动员以速度v0从离地高h处的平台末端水平飞出，落在水平地面上．忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点，下列表述正确的是( )
图9
A．v0越大，运动员在空中运动时间越长
B．v0越大，运动员落地瞬间速度越大
C．运动员落地瞬间速度与高度h无关
D．运动员落地位置与v0大小无关
答案 B
解析 运动员在竖直方向做自由落体运动，运动员做平抛运动的时间t＝，只与高度有关，与速度无关，A项错误；运动员落地时在竖直方向上的速度vy＝，高度越高，落地时竖直方向上的速度越大，合速度越大，C项错误；运动员的落地瞬间速度是由初速度和落地时竖直方向上的速度合成的，v＝＝，初速度越大，落地瞬间速度越大，B项正确；运动员在水平方向上做匀速直线运动，落地的水平位移x＝v0t＝v0，故落地的位置与初速度有关，D项错误．
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的时间、速度和位移
3．(平抛运动的规律)网球是一项比较流行的体育运动，两位运动员分别从同一高度、沿同一方向水平发出甲、乙两只网球，甲球出界了，乙球恰好越过球网落在界内，不计空气阻力，对于两球的初速度v甲和v乙，飞行时间t甲和t乙，下落过程中的加速度a甲和a乙的比较正确的是( )
A．v甲a乙
C．v甲>v乙，t甲v乙，t甲＝t乙
答案 D
解析 两球均做平抛运动，则加速度均为g；抛出时的高度相同，根据t＝可知，飞行的时间相同；因甲出界，乙落在界内，可知甲的水平位移较大，根据v＝可知，甲的初速度比乙大，故选D.
【考点】平抛运动的时间、速度和加速度
【题点】平抛运动的时间、速度和加速度
4．(平抛运动规律的应用)如图10所示是网球发球机，某次室内训练时将发球机放在距地面一定的高度，然后向竖直墙面发射网球．假定网球水平射出，某两次射出的网球碰到墙面时与水平方向夹角分别为30°和60°，若不考虑网球在空中受到的阻力，则( )
图10
A．两次发射的初速度大小之比为3∶1
B．碰到墙面前在空中运动的时间之比为1∶
C．下落高度之比为1∶
D．碰到墙面时速度大小之比为3∶1
答案 B
解析 tanθ＝＝①
x＝v0t②
由①②得：tanθ＝，故＝，＝，B正确．
＝＝，A错误．
＝＝＝，C错误．
v＝，故＝·＝×＝，D错误．
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的速度和位移的分解
5．(平抛运动的临界问题)如图11所示，M、N是两块挡板，挡板M高h′＝10m，其上边缘与挡板N的下边缘在同一水平面．从高h＝15m的A点以速度v0水平抛出一小球(可视为质点)，A点与两挡板的水平距离分别为d1＝10m，d2＝20m．N板的上边缘高于A点，若能使小球直接进入挡板M的右边区域，则小球水平抛出的初速度v0的大小是下列给出数据中的哪个(g取10m/s2，空气阻力不计)( )
图11
A．v0＝8m/s B．v0＝4 m/s
C．v0＝15m/s D．v0＝21 m/s
答案 C
解析 要让小球落到挡板M的右边区域，下落的高度为两高度之差，由t＝得t＝1s，由d1＝v01t，d2＝v02t，得v0的范围为10m/s≤v0≤20 m/s，故选C.
【考点】平抛运动中的临界问题
【题点】平抛运动双边界临界位移问题
一、选择题
考点一 对平抛运动的理解
1．在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地．若不计空气阻力，则( )
A．垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定
B．垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定
C．垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定
D．垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定
答案 D
解析 垒球击出后做平抛运动，设垒球在空中运动时间为t，由h＝gt2得t＝，故t仅由高度h决定，选项D正确；水平位移x＝v0t＝v0，故水平位移x由初速度v0和高度h共同决定，选项C错误；落地速度v＝＝，故落地速度v由初速度v0和高度h共同决定，选项A错误；设落地速度v与水平方向的夹角为θ，则tanθ＝，故选项B错误．
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的时间、速度和位移
2．某弹射管两次弹出的小球速度相等．在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球．忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的( )
A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同
C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同
答案 B
解析 弹出的小球做平抛运动，竖直方向的分运动为自由落体运动，水平方向的分运动为匀速直线运动．
弹射管自由下落，两只小球始终处于同一水平面，因此两只小球同时落地．
由h＝gt2知，两只小球在空中运动的时间不相等，由x＝vt知水平位移不相等，落地点不同．
考点二 平抛运动规律的应用
3．羽毛球运动员林丹曾在某综艺节目中表演羽毛球定点击鼓，如图1是他表演时的羽毛球场地示意图．图中甲、乙两鼓等高，丙、丁两鼓较低但也等高．若林丹各次发球时羽毛球飞出位置不变且均做平抛运动，则( )
图1
A．击中甲、乙的两球初速度v甲＝v乙
B．击中甲、乙的两球初速度v甲>v乙
C．假设某次发球能够击中甲鼓，用相同速度发球可能击中丁鼓
D．击中四鼓的羽毛球中，击中丙鼓的初速度最大
答案 B
解析 甲、乙距飞出点的高度相同，击中甲、乙的羽毛球的运动时间相同，由于水平位移x甲>x乙，所以v甲>v乙，B正确．
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的速度、时间和位移
4．某同学玩飞镖游戏，先后将两只飞镖a、b由同一位置水平投出，已知飞镖投出的初速度va＞vb，不计空气阻力，则两支飞镖插在竖直靶上的状态(侧视图)可能是( )
答案 A
5．(多选)有一物体在离水平地面高h处以初速度v0水平抛出，落地时的速度为v，水平射程为l，不计空气阻力，重力加速度为g，则物体在空中飞行的时间为( )
A. B.
C. D.
答案 AC
解析 由l＝v0t得物体在空中飞行的时间为t＝，故A正确；由h＝gt2，得t＝，故B错误；由vy＝以及vy＝gt，得t＝，故C正确，D错误．
6．(多选)物体以初速度v0水平抛出，若不计空气阻力，重力加速度为g，则当其竖直分位移与水平分位移相等时，以下说法中正确的是( )
A．竖直分速度等于水平分速度
B．瞬时速度大小为v0
C．运动的时间为
D．运动的位移为
答案 BCD
解析 因为平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，由竖直分位移和水平分位移相等可知gt2＝v0t，解得t＝，又由于vy＝gt＝2v0，所以v＝＝v0，l＝＝v0t＝，故正确选项为B、C、D.
【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的速度和位移的分解
7.在同一点O抛出的三个物体，做平抛运动的轨迹如图2所示，则三个物体做平抛运动的初速度vA、vB、vC的关系和三个物体做平抛运动的时间tA、tB、tC的关系分别是( )
图2
A．vA>vB>vC，tA>tB>tC
B．vA＝vB＝vC，tA＝tB＝tC
C．vAtB>tC
D．vA>vB>vC，tA答案 C
解析 根据平抛运动规律，
竖直方向y＝gt2，
由于yA>yB>yC，
因此，平抛运动时间tA>tB>tC，选取下落相同高度时，即t′相同，水平方向x＝v0t′，由于xA【考点】平抛运动的时间、速度和位移
【题点】平抛运动的速度、时间和位移
8.如图3所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，O为圆心，AB为沿水平方向的直径．若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中坑壁上的最低点D点；而在C点以初速度v2沿BA方向平抛的小球也能击中D点．已知∠COD＝60°，则两小球初速度大小之比为(小球视为质点，空气阻力不计)( )
图3
A．1∶2 B．1∶3
C.∶2 D.∶3
答案 D
解析 小球从A点平抛击中D点：R＝v1t1，R＝gt12；小球从C点平抛击中D点：Rsin60°＝v2t2，R(1－cos60°)＝gt22，联立解得＝，D正确．
【考点】平抛运动规律的综合应用
【题点】平抛运动和圆的结合
考点三 平抛运动的临界问题
9．(多选)如图4所示，一个电影替身演员准备跑过一个屋顶，然后水平地跳跃并离开屋顶，在下一栋建筑物的屋顶上着地．如果他在屋顶跑动的最大速度是4.5m/s，那么下列关于他能否安全跳过去的说法正确的是(g取10 m/s2，不计空气阻力)( )
图4
A．他安全跳过去是可能的
B．他安全跳过去是不可能的
C．如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃速度应不小于6.2m/s
D．如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃速度应小于4.5m/s
答案 BC
解析 由h＝gt2，x＝v0t
将h＝5m，x＝6.2m代入解得：
安全跳过去的最小水平速度v0＝6.2m/s，
选项B、C正确．
【考点】平抛运动的临界问题
【题点】平抛运动的临界问题
10．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图5所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
图5
A.B.C.D.答案 D
解析 设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好触网并落到正中间．则竖直方向上有3h－h＝gt12①
水平方向上有＝v1t1②
由①②两式可得v1＝.
设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3h＝gt22③
在水平方向有＝v2t2④
由③④两式可得v2＝.则v的最大取值范围为v1【考点】平抛运动中的临界问题
【题点】平抛运动双边界临界位移问题
二、非选择题
11．(平抛运动规律的应用)物体做平抛运动，在它落地前的1s内它的速度方向与水平方向夹角由30°变成60°，取g＝10m/s2.求：
(1)平抛运动的初速度v0的大小；
(2)平抛运动的时间；
(3)平抛时的高度．
答案 (1)5m/s (2)1.5s (3)11.25m
解析 (1)假定轨迹上A、B两点是落地前1s内的始、终点，画好轨迹图，如图所示．
对A点：tan30°＝①
对B点：tan60°＝②
t′＝t＋1s③
由①②③解得t＝s，v0＝5m/s.
(2)运动总时间t′＝t＋1s＝1.5s.
(3)高度h＝gt′2＝11.25m.
【考点】平抛运动规律的综合应用
【题点】平抛运动规律的综合应用
12．(平抛运动的临界问题)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图6所示，P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h，重力加速度为g.
图6
(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围．
答案 (1) (2)≤v≤L
解析 (1)打在AB中点的微粒，竖直方向有h＝gt2
解得t＝
(2)打在B点的微粒，有v1＝，2h＝gt12
解得v1＝
同理，打在A点的微粒初速度v2＝L
微粒初速度范围为≤v≤L
【考点】平抛运动中的临界问题
【题点】平抛运动双边界临界位移问题
课时2 实验：研究平抛运动
[学习目标] 1.学会用实验的方法描绘平抛运动的轨迹.2.会判断平抛运动的轨迹是不是抛物线.3.会根据平抛运动的轨迹计算平抛运动的初速度．
一、描绘平抛运动的轨迹
1．实验原理
用描迹法得到物体做平抛运动的轨迹．
2．实验器材(以斜槽轨道实验为例)
斜槽、小球、方木板、图钉、刻度尺、铅垂线、铅笔、坐标纸、铁架台．
3．实验步骤
(1)按图1甲所示安装实验装置，使斜槽末端水平(小球在斜槽末端点恰好静止)．
图1
(2)固定木板上的坐标纸，使木板保持竖直状态，小球的运动轨迹与板面平行，坐标纸方格横线呈水平方向．
(3)以斜槽水平末端端口上小球球心在木板上的投影点为坐标原点O，过O点画出竖直的y轴和水平的x轴．
(4)使小球从斜槽上同一位置由静止滚下，把笔尖放在小球可能经过的位置上，如果小球运动中碰到笔尖，就用铅笔在该位置画上一点．用同样方法，在小球运动路线上描下若干点．
(5)将坐标纸从木板上取下，从O点开始通过画出的若干点描出一条平滑的曲线，如图乙所示．
4．注意事项
(1)实验中必须调整斜槽末端的切线水平(将小球放在斜槽末端水平部分，若小球静止，则斜槽末端水平)．
(2)方木板必须处于竖直平面内，固定时要用铅垂线检查坐标纸竖线是否竖直．
(3)小球每次必须从斜槽上同一位置由静止释放．
(4)坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时球心在木板上的投影点．
(5)小球开始滚下的位置高度要适中，以使小球做平抛运动的轨迹由坐标纸的左上角一直到达右下角为宜．
二、数据处理
1．判断平抛运动的轨迹是不是抛物线
方法一 公式法
(1)原理：若平抛运动的轨迹是抛物线，则当以抛出点为坐标原点，建立直角坐标系后，轨迹上各点的坐标应具有y＝ax2的关系，而且同一轨迹a是一个确定的值．
(2)验证方法
用刻度尺测量几个点的x、y两个坐标，分别代入y＝ax2中求出常量a，看计算得到的a值在误差允许的范围内是否是一个常数．
方法二 图像法
建立y－x2坐标系，根据所测量的各个点的x、y坐标值分别计算出对应的y值和x2值，在y－x2坐标系中描点，连接各点看是否在一条直线上，并求出该直线的斜率即为a值．
2．计算初速度
在小球平抛运动轨迹上任取一点，用刻度尺测出它的坐标(x，y)，利用公式y＝gt2和x＝v0t，求出小球做平抛运动的初速度v0(g已知)，多求几个点然后求出v0的平均值.
一、平抛运动实验的原理与实验操作
例1 在“研究平抛物体的运动”的实验中：
(1)为使小球水平抛出，必须调整斜槽，使其末端的切线沿水平方向，检查方法是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
(2)小球抛出点的位置必须及时记录在白纸上，然后从这一点画水平线和竖直线作为x轴和y轴，竖直线是用________来确定的．
(3)某同学建立的直角坐标系如图2所示，设他在安装实验装置和其他操作时准确无误，只有一处失误，即是_____________________________________________________________．
图2
(4)该同学在轨迹上任取一点M，测得坐标为(x，y)，则初速度的测量值为________，测量值比真实值要________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)．
答案 (1)将小球放置在槽口处轨道上，小球能保持静止
(2)铅垂线 (3)坐标原点应该是小球在槽口时球心在白纸上的水平投影点 (4)x 偏大
解析 (1)斜槽末端水平时，小球在斜槽末端处于平衡状态，放在槽口能静止不动．(2)用铅垂线来确定竖直线最准确．(3)描绘小球的运动轨迹的起始位置时应描绘球心的位置，因此坐标原点应在平抛起点的球心位置，即坐标原点应该是小球在槽口时球心在白纸上的水平投影点．(4)根据x＝v0t，y＝gt2，两式联立得：v0＝x，因为坐标原点靠下，造成y值偏小，从而v0偏大．
二、计算平抛运动的初速度
计算平抛运动的初速度可以分为两种情况
(1)平抛轨迹完整(即含有抛出点)
在轨迹上任取一点，测出该点离坐标原点的水平位移x及竖直位移y，就可求出初速度v0.
因x＝v0t，y＝gt2，故v0＝x.
(2)平抛轨迹残缺(即无抛出点)
在轨迹上任取三点A、B、C(如图3所示)，使A、B间及B、C间的水平距离相等，由平抛运动的规律可知A、B间与B、C间所用时间相等，设为t，则
图3
Δh＝hBC－hAB＝gt2
所以t＝
所以初速度v0＝＝x.
例2 某同学在做“研究平抛运动”实验时得到了如图4所示的运动轨迹，a、b、c三点的位置在运动轨迹上已标出，则：
图4
(1)小球平抛的初速度为________m/s.(g取10 m/s2)
(2)小球运动到b点时速度大小vb＝________，方向________．
(3)小球抛出点的位置坐标x＝____________cm，y＝____________cm.
答案 (1)2 (2)2.5m/s 与x轴方向夹角为37° (3)－10 －1.25
解析 (1)由平抛运动公式，在x轴方向上xab＝v0T，在竖直方向上hbc－hab＝gT2，代入数据解得T＝0.1s，v0＝2m/s.
(2)小球经过b点时竖直分速度vby＝＝1.5m/s，则vb＝＝2.5m/s，与x轴方向的夹角为θ，tanθ＝，即θ＝37°.
(3)小球从开始运动到经过b点时历时tb＝＝0.15s，说明小球经过a点时已经运动了ta＝0.05s，所以小球抛出点的坐标x＝－v0ta＝－10cm，y＝－gta2＝－1.25cm.
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】实验操作及用未知抛出点的轨迹求初速度
根据平抛运动轨迹测定初速度时，不要随便把题目所提供的第一个记录点当成平抛运动的抛出点．可利用自由落体运动在竖直方向上连续相同时间内下落高度之比为1∶3∶5…的关系来判断第一个记录点是否为抛出点，若不是，只能由Δh＝gT2求出时间间隔．
三、创新实验设计
例3 某同学设计了一个研究平抛运动的实验．实验装置示意图如图5甲所示，A是一块平面木板，在其上等间隔地开凿出一组平行的插槽(图中P0P0′、P1P1′、…)，槽间距离均为d.把覆盖复写纸的白纸铺贴在平面硬板B上．实验时依次将B板插入A板的各插槽中，每次让小球从斜轨道的同一位置由静止释放．每打完一点后，把B板插入后一槽中并同时向纸面内侧平移距离d.实验得到小球在白纸上打下的若干痕迹点，如图乙所示．
图5
(1)实验前应对实验装置反复调节，直到________．每次让小球从同一位置由静止释放，是为了________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
(2)每次将B板向内侧平移距离d，是为了________________________．
(3)在图乙中绘出小球做平抛运动的轨迹．
答案 见解析
解析 本实验把小球通过的水平相等位移(即槽间距离d)，巧妙转化为题图中x轴上通过相同的位移(即向纸内侧平移距离d)，而竖直方向确定的落点为竖直位置，因而可画出平抛运动的轨迹．
(1)根据实验设计方案，实验前应对实验装置进行调节，使斜轨道末端切线水平，以保证小球飞出时的速度沿水平方向，小球做平抛运动．每次让小球从同一位置由静止释放的目的是使小球每次做平抛运动的初速度相同，轨迹相同．
(2)每次将B板向内侧平移距离d是为了保持记录纸上每两点之间的水平距离相同．
(3)如图所示(注意要用平滑的曲线连接)．
【考点】研究平抛运动的创新性实验
【题点】研究平抛运动的创新性实验
1．本实验中，把小球的平抛运动的轨迹由纸面内转换到垂直纸面的平面内．
2．B板每向右平移距离d，同时向纸面内侧平移距离d，使转换具有等效性．
1．(实验操作)(多选)在做“研究平抛运动”的实验时，下列说法正确的是( )
A．安装斜槽和木板时，一定要注意木板是否竖直
B．安装斜槽和木板时，只需注意小球不和木板发生摩擦
C．每次实验都要把小球从同一位置由静止释放
D．实验的目的是描绘出小球的运动轨迹，分析平抛运动的规律
答案 ACD
解析 安装斜槽和木板时，必须使斜槽末端切线水平，使木板竖直，以确保小球水平飞出和正确画出小球的运动轨迹，A正确，B错误；小球每次从斜槽上的同一位置由静止开始滚下，可保证小球初速度不变，C正确；由实验目的可知，D正确．
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】实验操作、注意事项和误差分析
2．(实验方案设计)(多选)在探究平抛运动的规律时，可以选用如图6所示的各种装置图，则以下操作合理的是( )
图6
A．选用装置图甲研究平抛物体的竖直分运动时，应该用眼睛看A、B两球是否同时落地
B．选用装置图乙并要获得稳定的细水柱显示出平抛运动的轨迹，竖直管上端A一定要低于水面
C．选用装置图丙并要获得钢球做平抛运动的轨迹，每次不一定从斜槽上同一位置由静止释放钢球
D．除上述装置外，还可以用数码照相机每秒拍摄15帧钢球做平抛运动的照片以获得平抛运动的轨迹
答案 BD
解析 小球下落的速度很快，运动时间很短，用眼睛看很难准确判断出小球落地的先后顺序，应听声音，选项A错误；竖直管的上端A应低于水面，这是因为竖直管与空气相通，A处的压强始终等于大气压强，不受瓶内水面高低的影响，因此可以得到稳定的细水柱，选项B正确；只有每次从同一位置由静止释放钢球，钢球做平抛运动的初速度才相同，选项C错误；获得钢球做平抛运动时每秒15帧的照片就等同于做平抛运动实验时在方格纸上描点的方法，同样可以获得平抛运动的轨迹，选项D正确．
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】实验原理
3.(实验操作及速度的计算)如图7所示，在“研究平抛运动”的实验中，可以描绘出小球平抛运动的轨迹，实验简要步骤如下：
图7
A．让小球多次从________释放，在一张印有小方格的纸上记下小球经过的一系列位置，如图中a、b、c、d所示．
B．安装好器材，注意________，记下平抛初位置O点和过O点的水平线与竖直线．
C．取下方格纸，以O为原点，以水平线为x轴，竖直线为y轴建立直角坐标系，用平滑曲线画出小球做平抛运动的轨迹．
(1)完成上述步骤，将正确的答案填在横线上．
(2)上述实验步骤的合理顺序是____________．
(3)已知图中小方格的边长L＝1.25cm，则小球平抛的初速度为v0＝________(用L、g表示)，其值是________．(取g＝9.8m/s2)
(4)b点的速度vb＝________.(用L、g表示)
答案 (1)同一位置静止 斜槽末端切线水平(2)BAC (3)2 0.7m/s (4)
解析 (1)这种方法，需让小球重复同一个平抛运动多次，才能记录出小球的一系列位置，故必须让小球每次由同一位置静止释放．斜槽末端切线水平，小球才会做平抛运动．
(3)由Δy＝gT2得相邻两点之间的时间间隔T＝，所以小球的初速度v0＝＝2，代入数据得v0＝0.7m/s.
(4)vby＝＝，由vb＝
得vb＝＝.
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】实验操作及用未知抛出点的轨迹求初速度
1．利用如图1所示的装置研究平抛运动的特点，让小球多次沿同一轨迹运动，通过描点法画小球做平抛运动的轨迹，为了能较准确地描绘运动轨迹，下面说法不正确的是( )
图1
A．通过调节使斜槽的末端保持水平
B．每次释放小球的位置必须不同
C．每次必须在斜槽上的同一位置由静止释放小球
D．小球运动时不应与木板上的白纸(或坐标纸)相接触
答案 B
解析 要使小球做平抛运动，斜槽轨道末端必须水平，A正确．要使小球每次抛出的初速度相等，释放小球时必须在斜槽上同一位置由静止释放，B不正确，C正确．小球离开轨道后，仅受重力作用，不能有摩擦，D正确．
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】实验操作、注意事项和误差分析
2．在“研究平抛运动”的实验中，为了求小球做平抛运动的初速度，需直接测的数据有(重力加速度g已知)( )
①小球开始滚下的高度
②小球在空中飞行的时间
③运动轨迹上某点P的水平坐标
④运动轨迹上某点P的竖直坐标
A．①②B．②③C．③④D．①④
答案 C
解析 由平抛运动规律，竖直方向y＝gt2，水平方向x＝v0t，因此v0＝x，可见只要测得轨迹上某点P的水平坐标x和竖直坐标y，就可求出初速度v0，故C项正确．
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】实验操作、注意事项和误差分析
3.如图2所示，在粗糙水平桌面上用练习本做成一个斜面，使小钢球从斜面上某一位置滚下，钢球沿桌面飞出后做平抛运动．用刻度尺测出下列哪一组数据可以求出钢球离开水平桌面时的速度(当地的重力加速度已知)( )
图2
A．钢球在练习本上滚下的距离、钢球释放点离桌面的高度
B．水平桌面的高度、钢球落地点与桌边的水平距离
C．钢球释放点离桌面的高度、钢球在水平桌面上运动的距离
D．钢球释放点离桌面的高度、钢球落地点与桌边的水平距离
答案 B
解析 钢球沿桌面飞出后做平抛运动，根据平抛运动规律得y＝gt2，x＝v0t，联立解得v0＝x，故要求出钢球离开水平桌面时的速度，需测量水平桌面的高度y、钢球落地点与桌边的水平距离x，B项正确．
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】实验原理
4．(多选)假设我国宇航员乘坐探月卫星登上月球，如图3所示是宇航员在月球表面水平抛出小球的频闪照片的一部分．已知照片上方格的实际边长为a，频闪周期为T，据此可以得出( )
图3
A．月球上的重力加速度为
B．小球平抛的初速度为
C．照片上A点一定是平抛的起始位置
D．小球运动到D点时速度大小为
答案 BC
解析 由频闪照片可知，在竖直方向，相邻相等时间内小球位移差为2a，由Δy＝gT2可得，月球上的重力加速度g＝，选项A错误；由小球在水平方向做匀速直线运动可得3a＝v0T，解得v0＝，选项B正确；小球在抛出后第1个T时间内竖直方向位移y1＝gT2＝××T2＝a，所以照片上A点一定是平抛的起始位置，选项C正确；小球运动到D点时竖直速度vy＝g·3T＝×3T＝，水平速度为v0＝，小球运动到D点时速度大小为v＝＝，选项D错误．
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】实验操作及用未知抛出点的轨迹求初速度
5．如图4甲是研究平抛运动的实验装置图，图乙是实验后在白纸上作的图．
图4
(1)在图甲上标出O点及Ox、Oy轴，并说明这两条坐标轴是如何作出的．
(2)固定斜槽轨道时应注意使______________________________________________________．
(3)实验过程中需经过多次释放小球才能描绘出小球平抛运动的轨迹，实验中应注意________________________________________________________________________．
(4)计算小球平抛初速度的公式v0＝________，根据图乙给出的数据，可计算出v0＝______m/s.(g取9.8 m/s2)
答案 (1)见解析
(2)轨道末端切线沿水平方向
(3)使小球每次都从同一位置无初速度滚下
(4)x 1.6
解析 (1)如图所示，斜槽末端小球球心在白纸上的投影为O点，从O点开始作平行于铅垂线向下的直线为Oy轴，再垂直于Oy作Ox轴．
(2)为了保证小球离开斜槽时的速度沿水平方向，应调整斜槽使轨道末端切线沿水平方向．
(3)为了保证小球每次做平抛运动的轨迹一致，要求它的初速度相同，故每次都让小球从斜槽的同一位置无初速度滚下．
(4)由于x＝v0t，y＝gt2，故初速度v0＝x，根据题图乙给出的数据，可计算出v0＝1.6m/s.
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】实验操作及用已知抛出点的轨迹求初速度
6．如图5所示，用底部带孔的玻璃试管和弹簧可以组装一个简易“多功能实验器”，利用该实验器，一方面能测弹簧的劲度系数，另一方面可测量小球做平抛运动的初速度．
图5
(1)用该装置测量弹簧劲度系数k时需要读出几次操作时的________和________，然后由公式______________求出k的平均值．
(2)使用该装置测量小球的初速度时，需要多次将弹簧的右端压到______(选填“同一”或“不同”)位置．然后分别测出小球几次飞出后的________和________，再由公式______求出初速度的平均值．(当地重力加速度g已知)
答案 (1)弹簧测力计的示数F 弹簧的伸长量Δx k＝
(2)同一 水平位移x 竖直高度y v0＝x
解析 (1)根据胡克定律F＝kΔx，可得k＝.弹簧的劲度系数可由弹簧的伸长量(或压缩量)和弹力计算．
(2)物体做平抛运动时，水平方向上x＝v0t，竖直方向上y＝gt2，所以v0＝x.
7．如图6所示是“研究平抛运动”的实验装置图，通过描点画出平抛小球的运动轨迹．
图6
(1)实验得到平抛小球的运动轨迹，在轨迹上取一些点，以平抛起点O为坐标原点，测量它们的水平坐标x和竖直坐标y，下列y－x2图像能说明平抛小球运动轨迹为抛物线的是________．
(2)图7是某同学根据实验画出的平抛小球的运动轨迹，O为平抛的起点，在轨迹上任取三点A、B、C，测得A、B两点竖直坐标y1为5.0cm、y2为45.0cm，A、B两点水平间距Δx为40.0cm，则平抛小球的初速度v0为________m/s，若C点的竖直坐标y3为60.0 cm，则小球在C点的速度vC为________ m/s.(结果均保留两位有效数字，g取10m/s2)
图7
答案 (1)C (2)2.0 4.0
解析 (1)由平抛运动规律可知x＝v0t，y＝gt2，解得y＝x2，C正确．
(2)由y＝gt2，解得tA＝0.1s，tB＝0.3s．由Δx＝v0t＝v0(tB－tA)，解得v0＝2.0m/s，C点的竖直速度vy＝＝2m/s，故vC＝＝4.0m/s.
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】实验操作及用已知抛出点的轨迹求初速度
8．在做“研究平抛运动”的实验中，为了确定小球在不同时刻所通过的位置，实验时用如图8所示的装置，先将斜槽轨道的末端调成水平，在一块平木板表面钉上复写纸和白纸，并将该木板竖直立于紧靠槽口处．使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞到木板并在白纸上留下痕迹A.将木板向远离槽口平移距离x，再使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞在木板上得到痕迹B.又将木板再向远离槽口平移距离x，小球再从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，再得到痕迹C.若测得木板每次移动距离x＝10.00cm，A、B间距离y1＝4.78cm，B、C间距离y2＝14.58cm.g取9.8m/s2.
图8
(1)根据以上直接测量的物理量得小球初速度v0＝________(用题中所给字母表示)．
(2)小球初速度的测量值为________m/s.
答案 (1)x (2)1
解析 由于每次移动距离x＝10.00cm，所以小球从打A点到打B点与从打B点到打C点的时间相同，设此时间为t.由于y2－y1＝gt2，且y1＝4.78cm、y2＝14.58cm，g＝9.8m/s2，所以t＝＝0.1s，故小球初速度v0＝＝x＝1m/s.
【考点】研究平抛运动的基础性实验
【题点】实验操作及用已知抛出点的轨迹求初速度
4 斜抛运动(选学)
[学习目标] 1.知道斜抛运动，会用运动的合成和分解的方法分析斜抛运动.2.通过实验探究斜抛运动的射高和射程跟初速度和抛射角的关系，并能将所学知识应用到生产和生活中．
一、斜抛运动
1．定义：当不考虑空气的阻力时，一个物体沿斜向抛出后的运动，叫做斜抛运动．
2．轨迹：斜抛运动的轨迹也是一条抛物线．
3．射程：斜抛运动的射程跟抛射体的初速度和抛射角有关．
(1)抛射角一定时，初速度越大，射程越大．
(2)初速度一定时，当抛射角为45°时，射程最大．
二、空气阻力对斜抛运动的影响
当斜抛物体的速度较小时，空气阻力对物体运动的影响可以忽略，此时物体的运动轨迹近似为抛物线；当斜抛物体的速度很大时，空气阻力对运动会产生很大影响，物体的轨迹形状不对称，这种轨迹叫做弹道．
1．判断下列说法的正误．
(1)斜抛运动是匀变速运动．(√)
(2)斜抛运动的速度一直在减小．(×)
(3)做斜抛运动的物体在最高点速度为0.(×)
(4)做斜抛运动的物体在水平方向上不是匀速直线运动．(×)
(5)斜抛运动是曲线运动．(√)
2．有一小球，从地面以角度(与水平面夹角)θ＝45°，初速度v0＝10m/s抛出，则小球达到的最大高度为________m，小球落到地面所用的时间为________s．(取g＝10 m/s2，忽略空气阻力)
答案 2.5
一、斜抛运动
体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪(如图1所示)等都可以视为斜抛运动．我们以运动员投掷铅球为例，分析并回答以下问题：
图1
(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、速度有何特点？
(2)将铅球的运动进行分解，铅球在水平方向和竖直方向分别做什么运动？
(3)铅球在最高点的速度是零吗？
答案 (1)不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g，其初速度不为零，初速度方向斜向上方．
(2)铅球在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀变速直线运动．
(3)不是．由于铅球在水平方向做匀速直线运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度．
1．斜抛运动的性质：由于斜抛运动的加速度是重力加速度，且与速度方向有夹角，因此，斜抛运动是匀变速曲线运动．
2．斜抛运动的研究方法：运动的合成与分解．
若物体的初速度为v0，方向斜向上，与水平方向夹角为θ，
将初速度v0进行分解，则
v0x＝v0cosθ，v0y＝v0sinθ
(1)水平方向：物体不受外力，始终以v0x做匀速直线运动．
(2)竖直方向：受重力作用，物体有向上的初速度v0y，则物体做竖直上抛运动．
例1 关于斜抛运动，下列说法中正确的是( )
A．物体抛出后，速度增大，加速度减小
B．物体抛出后，速度先减小，再增大
C．物体抛出后，沿着轨迹的切线方向，先做减速运动，再做加速运动，加速度始终沿着切线方向
D．斜抛物体的运动是匀变速曲线运动
答案 D
解析 斜抛物体的运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是竖直上抛或竖直下抛运动，抛出后只受重力作用，故加速度恒定．若是斜上抛则竖直分速度先减小后增大，若是斜下抛则竖直分速度一直增大，故A、B、C项错误．由于斜抛运动的物体只受重力的作用且与初速度方向不共线，故做匀变速曲线运动，D项正确．
针对训练 (多选)斜抛运动和平抛运动的共同特点是( )
A．加速度都是g
B．运动轨迹都是抛物线
C．运动时间都与抛出时的初速度大小有关
D．相同时间内速度变化都相等
答案 ABD
解析 斜抛运动和平抛运动都是仅受重力作用的抛体运动，因此其加速度都是相同的，都为重力加速度，因此选项A、D正确．它们的轨迹均为抛物线，选项B正确．斜抛运动的时间由竖直方向的分运动决定，平抛运动的时间仅与竖直方向上的位移有关，与初速度无关，故选项C错误．
二、斜抛运动的射程
如图2所示，一炮弹以初速度v0斜向上方飞出炮筒，初速度与水平方向夹角为θ，空气阻力不计．
图2
(1)求解炮弹在空中的飞行时间、射高和射程；
(2)由射程的表达式，讨论影响射程的因素有哪些？
答案 (1)先建立直角坐标系，将初速度v0分解为：
v0x＝v0cosθ，v0y＝v0sinθ
飞行时间：t＝＝
射高：Y＝＝
射程：X＝v0cosθ·t＝＝
可见，给定v0，当θ＝45°时，射程达到最大值Xmax＝.
(2)射程X＝，由此可以看出射程的大小与初速度和抛射角有关．
1．斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动的合运动．
2．斜抛运动的基本规律(以斜向上抛为例，如图3)
图3
(1)水平方向：vx＝v0x＝v0cosθ，
x＝vxt＝v0tcosθ.
(2)竖直方向：vy＝v0y－gt＝v0sinθ－gt
y＝v0yt－gt2＝v0sinθ·t－gt2.
(3)飞行时间t＝t上＋t下＝
(4)射高：Y＝＝
射程：X＝v0x·t＝v0cosθ·＝
(5)射高、射程与抛射角的关系(初速度大小一定)
当0<θ<45°时，随着抛射角的增大，射程增大，射高也增大；当θ＝45°时，射程最大；当45°<θ<90°时，随着抛射角的增大，射程减小，射高增大；当θ＝90°时，射程为零，射高最大．
例2 在水平地面上沿与水平方向成α＝37°角的方向，以初速度v0＝20m/s斜向上抛出一物体，求物体从抛出到落地的时间以及它运动的最大高度和射程．在初速度大小v0＝20 m/s不变的情况下，若要使物体的水平射程最大，抛射角应多大？最大射程是多少？(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
答案 2.4s 7.2m 38.4m 45° 40m
解析 根据竖直方向的竖直上抛运动的规律可求得物体从抛出到落地的时间
t＝＝s＝2.4s
物体上升的最大高度
H＝＝m＝7.2m
斜抛运动的射程
X′＝v0cosα·t＝20×0.8×2.4m＝38.4m
设抛射角为θ，飞行时间为T，根据射程与抛射角的关系得
X＝v0xT＝v0cosθ·＝
可以判断，当抛射角θ＝45°时，射程最大，最大射程Xmax＝＝40m
【考点】对斜抛运动的理解和规律应用
【题点】用运动分解的观点分析斜抛运动
斜抛运动的对称性
1．时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间．
2．速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等．
3．轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称．
1．(对斜抛运动的理解)(多选)关于斜抛运动，忽略空气阻力，下列说法中正确的是( )
A．斜抛运动是曲线运动
B．斜抛运动的速度一直减小
C．斜抛运动在最高点速度不为零
D．斜抛运动的加速度是恒定的
答案 ACD
解析 做斜抛运动的物体只受重力作用，加速度为g，水平方向为匀速直线运动，竖直方向做加速度为g的匀变速直线运动，斜上抛运动速度先减小后增大．在最高点时有水平速度．故A、C、D正确．
2．(对斜抛运动的理解)做斜上抛运动的物体的运动可以分解为水平和竖直方向的两个分运动，下列图像中正确描述竖直方向上物体运动的速度的是( )
答案 C
3．(斜抛运动的射高)A、B两物体初速度相同，A沿与水平方向成θ角的光滑斜面上滑；B与水平方向成θ角斜上抛．它们所能达到的最大高度分别为HA和HB，则下列关于HA和HB的大小判断正确的是( )
A．HA＜HB B．HA＝HB
C．HA＞HB D．无法确定
答案 C
解析 假设初速度为v0，在光滑斜面上，对物体A进行受力分析可以得到物体的加速度a＝＝gsinθ，设物体在斜面上运动的长度为l，则v02＝2glsinθ，离地面的最大高度HA＝lsinθ＝；斜向上抛时，B物体竖直分速度vy＝v0sinθ，上升的最大高度HB＝＜HA.
4．(斜抛运动的射程)用弹簧枪将一小钢珠从地面沿与竖直方向成37°角斜向上弹出(不计空气阻力)，经4s后钢珠落地，则小钢珠被弹出时的速度大小为________m/s，小钢珠的水平射程为________ m．(g取10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
答案 25 60
解析 根据对称性可知，钢珠上升的时间与下落的时间相等，均为t＝2s，设弹出时的速度大小为v0，则有t＝，解得v0＝25m/s.水平射程为X＝2t·v0sin37°＝60m.
一、选择题
考点一 对斜抛运动的理解
1．斜抛运动与平抛运动相比较，相同的是( )
A．都是匀变速曲线运动
B．平抛运动是匀变速曲线运动，而斜抛运动是非匀变速曲线运动
C．都是加速度逐渐增大的曲线运动
D．平抛运动是速度一直增大的运动，而斜抛运动是速度一直减小的运动
答案 A
解析 斜抛和平抛都做曲线运动且只受重力，产生的加速度为g，故均为匀变速曲线运动，故A正确，B、C错误；平抛运动是速度一直增大的运动，而斜上抛运动是速度先减小后增大的运动，斜下抛运动是速度一直增大的运动，故D错误．
2．某同学斜向上抛出一铅球，忽略空气阻力．铅球在空中运动的过程中，加速度a随时间t变化的关系图像是( )
答案 B
解析 由题意知，忽略空气阻力，铅球抛出后只受重力，由牛顿第二定律知，其加速度为g且保持不变，故B正确．
3．(多选)关于斜上抛运动，下面的说法正确的是( )
A．抛射角一定，初速度小时，运动时间长
B．抛射角一定，初速度大时，运动时间长
C．初速度大小一定，抛射角小时，运动时间长
D．初速度大小一定，抛射角大时，运动时间长
答案 BD
解析 斜抛运动的时间取决于竖直方向的分运动．
4．(多选)如图1是斜向上抛出的物体的运动轨迹，C点是轨迹的最高点，A、B是轨迹上等高的两个点．下列叙述中正确的是(不计空气阻力)( )
图1
A．物体在C点的速度为零
B．物体在A点的速度与在B点的速度相同
C．物体在A点、B点的水平分速度均等于物体在C点的速度
D．物体在A、B、C三点的加速度相同
答案 CD
解析 速度是矢量，物体在A、B两点的速度大小相等，方向不相同．斜抛运动在水平方向上是匀速直线运动，竖直方向的加速度总为g.
5．一小球以初速度v0与水平面成α角斜向上抛出，球从抛出到落至与抛出点同一高度时速度的变化量大小为( )
A．v0sinα B．2v0sinα
C．v0cosα D．2v0cosα
答案 B
解析 对速度分解可知，小球从抛出到落到与抛出点同一高度时速度变化量的大小为2v0sinα，所以选项B正确，选项A、C、D错误．
考点二 斜抛运动的规律
6．某同学在篮球场地上做斜上抛运动实验，设抛出球的初速度为20m/s，抛射角分别为30°、45°、60°、75°，不计空气阻力，则关于球的射程，以下说法中正确的是( )
A．以30°角度抛射时，射程最大
B．以45°角度抛射时，射程最大
C．以60°角度抛射时，射程最大
D．以75°角度抛射时，射程最大
答案 B
解析 不计空气阻力，球做斜上抛运动，水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做竖直上抛运动，设抛射角为θ，则球运动的时间为t＝；
水平射程x＝v0tcosθ＝v0cosθ·＝
可知，当抛射角为θ＝45°时，射程x最大，故选项B正确．
7．(多选)如图2所示，在一次投篮游戏中，小刚同学调整好力度，将球从A点向篮筐B投去，结果球沿着一条弧线飞到篮筐后方．已知A、B等高，不计空气阻力，则下次再投时，他可能作出的调整为( )
图2
A．减小初速度，抛出方向不变
B．增大初速度，抛出方向不变
C．初速度大小不变，增大抛出角度
D．初速度大小不变，减小抛出角度
答案 ACD
解析 设球在水平方向从A运动到B的时间为t，A、B间的距离为d，则有t＝，而在竖直方向，则有t′＝，球飞过篮筐，所以tgd，当g、d不变时，要使等式成立，若初速度大小不变，则夹角θ以45°为界，若夹角小于45°，则必须减小θ；若夹角大于45°，则可以增大θ；若抛出方向不变，则必须减小初速度的大小，故A、C、D正确，B错误．
8.如图3所示，将小球沿与水平方向成α角的方向以速度v斜向右上抛出，经时间t1击中墙上距水平面高度为h1的A点；再将此球仍从同一点以相同速率抛出，抛出速度与水平方向成β(β＞α)角(图中未标出)，经时间t2击中墙上距水平面高度为h2的B点(图中未标出)，空气阻力不计．则( )
图3
A．t1一定小于t2 B．t1一定大于t2
C．h1一定小于h2 D．h1一定大于h2
答案 A
解析 小球被抛出后，仅受重力作用，即在水平方向做匀速直线运动，无论小球是在上升阶段还是在下落阶段击中墙壁，其水平方向的位移都相等，因此有：vcosα·t1＝vcosβ·t2，由于β＞α，因此vcosα＞vcosβ，所以有：t1＜t2，故选项A正确，B错误；因小球击中墙壁时可能在小球上升阶段，也可能在下落阶段，因此h1与h2的大小关系不能确定，故选项C、D错误．
9.如图4所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则( )
图4
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的小
答案 C
解析 由题意可知，A、B两小球均做斜抛运动，由运动的分解可知：水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，两球的加速度均为重力加速度g，故A错误；设上升的最大高度为h，在下落过程，由h＝gt2，可知下落时间t＝，根据运动的对称性可知，两球上升时间和下落时间相等，故两小球的运动时间相等，故B错误；由x＝vxt，可知vxA＜vxB，由vy2＝2gh，可知落地时，竖直方向的速度vyA＝vyB，再由v＝，可知B球在落地时的速度比A球在落地时的大，所以C正确，D错误．
10．(多选)如图5所示，在地面上方某一高度处将A球以初速度v1水平抛出，同时在A球正下方地面处将B球以初速度v2斜向上抛出，结果两球在空中相遇，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇过程中( )
图5
A．A和B的初速度大小关系为v1B．A和B的加速度大小关系为a1>a2
C．A做匀变速运动，B做变加速运动
D．A和B的速度变化量相同
答案 AD
解析 如图所示，设v2与水平方向夹角为θ，两球分别做平抛运动和斜抛运动，都只受重力作用，做匀变速运动，加速度均为g，B、C错误；两球经过相等时间Δt在空中相遇，则水平位移相等，故v1Δt＝v2cosθΔt，v111．(多选)如图6所示，从水平地面上A、B两点同时抛出两个物体，初速度分别为v1和v2，与水平面的夹角分别为30°和60°.某时刻两物体恰好在AB连线上一点O(图中未画出)的正上方相遇，且此时两物体速度均沿水平方向(不计空气阻力)．则( )
图6
A．v1>v2 B．v1＝v2
C．OA>OB D．OA答案 AC
解析 两物体做斜抛运动，从抛出到相遇在竖直方向上做匀减速运动，在水平方向上做匀速运动，对A物体，v1x＝v1cos30°＝v1，v1y＝v1sin30°＝v1，竖直方向通过的位移为h＝＝；对B物体，v2x＝v2cos60°＝，v2y＝v2sin60°＝v2，竖直方向通过的位移为h′＝＝，因h＝h′，联立可得v1>v2，故A正确，B错误；由于v1x＝v1，v2x＝v2，则v1x>v2x，所以A在水平方向通过的位移大于B在水平方向通过的位移，即OA>OB，故C正确，D错误．
二、非选择题
12．(斜抛运动的规律)世界上最窄的海峡是苏格兰的塞尔海峡，它位于欧洲大陆与塞尔岛之间，这个海峡只有约6m宽，假设有一位运动员，他要以相对于水平面37°的角度进行“越海之跳”，可使这位运动员越过这个海峡的最小初速度是多少？(忽略空气阻力．sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2)
答案 m/s
解析 设该运动员的最小初速度为v0，其在水平方向运动的距离恰为6m，则其水平分速度：v0x＝v0cos37°
水平位移：x＝v0xt
竖直分速度：v0y＝v0sin37°
运动时间：t＝2
由以上几式代入数据解得：v0＝m/s.
【考点】对斜抛运动的理解和规律应用
【题点】用运动分解的观点分析斜抛运动
13．(斜抛运动的规律)从某高处以6m/s的初速度、以30°抛射角斜向上抛出一石子，落地时石子的速度方向和水平线的夹角为60°，(忽略空气阻力，g取10 m/s2)求：
(1)石子在空中运动的时间；
(2)石子的水平射程；
(3)石子抛出后，相对于抛出点能达到的最大高度；
(4)抛出点离地面的高度．
答案 (1)1.2s (2)m (3)0.45m (4)3.6m
解析 (1)如图所示：石子落地时的速度方向和水平线的夹角为60°，则＝tan60°＝
即：vy＝vx＝v0cos30°＝×6×m/s＝9 m/s
取竖直向上为正方向，落地时竖直方向的速度向下，则
－vy＝v0sin30°－gt，得t＝1.2s
(2)石子在水平方向上做匀速直线运动：x＝v0tcos30°＝6××m＝m.
(3)当石子速度的竖直分量减为0时，达到最大高度
v0y＝v0sin30°＝6×m/s＝3 m/s.
由v0y2＝2gh得
h＝＝m＝0.45m.
(4)由竖直方向位移公式：h1＝v0sin30°×t－gt2＝6××1.2m－×10×1.22m＝－3.6m，负号表示落地点比抛出点低．
微型专题1 平抛运动规律的应用
[学习目标] 1.能熟练运用平抛运动规律解决问题.2.会分析平抛运动与其他运动相结合的问题.3.会分析类平抛运动．
一、平抛运动的两个重要的推论及应用
平抛运动的两个推论
(1)某时刻速度、位移与初速度方向的夹角θ、α的关系为tanθ＝2tanα.
(2)做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
例1 如图1所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(空气阻力不计)( )
图1
A．tanφ＝sinθ B．tanφ＝cosθ
C．tanφ＝tanθ D．tanφ＝2tanθ
答案 D
解析 物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向夹角为θ，落到斜面上时速度方向与水平方向夹角为φ，由平抛运动的推论知tanφ＝2tanθ，选项D正确．
【考点】平抛运动推论的应用
【题点】平抛运动推论的应用
二、与斜面有关的平抛运动
与斜面有关的平抛运动，包括两种情况：
(1)物体从空中抛出落在斜面上；
(2)物体从斜面上抛出落在斜面上．
在解答该类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度的关系，从而使问题得到顺利解决．
两种情况的特点及分析方法对比如下：
方法
内容
斜面
飞行时间
总结
分解速度
水平方向：vx＝v0竖直方向：vy＝gt特点：tanθ＝＝
t＝
分解速度，构建速度三角形
分解位移
水平方向：x＝v0t竖直方向：y＝gt2特点：tanθ＝＝
t＝
分解位移，构建位移三角形
例2 如图2所示，以9.8m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的固定斜面上，这段飞行所用的时间为(不计空气阻力，g取9.8 m/s2)( )
图2
A.sB.sC.sD．2s
答案 C
解析 如图所示，把末速度分解成水平方向的分速度v0和竖直方向的分速度vy，则有tan30°＝，vy＝gt，联立得t＝＝＝s，故C正确．
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】对着斜面水平抛物问题
本题中物体垂直落到斜面上，属于知道末速度方向的题目．此类题目的分析方法一般是将物体的末速度进行分解，由速度方向确定两分速度之间的关系．
例3 如图3所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点．求：(空气阻力不计，重力加速度为g)
图3
(1)A、B间的距离及小球在空中飞行的时间；
(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？
答案 (1) (2)
解析 (1)设飞行时间为t，则水平方向位移lABcos30°＝v0t，
竖直方向位移lABsin30°＝gt2，
解得t＝tan30°＝，lAB＝.
(2)方法一(常规分解)
如图所示，小球的速度方向平行于斜面时，小球离斜面的距离最大，设经过的时间为t′，则此时有tan30°＝＝
故运动时间为t′＝＝
此时小球的水平位移为x′＝v0t′＝
又此时小球速度方向的反向延长线交横轴于处，故小球离斜面的最大距离为H＝x′sin30°＝.
方法二(结合斜抛运动分解)
如图所示，把初速度v0、重力加速度g都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量．在垂直斜面方向上，小球做的是以v0y为初速度、gy为加速度的“竖直上抛”运动．
小球到达离斜面最远处时，速度vy＝0，
由vy＝v0y－gyt′可得
t′＝＝＝tan30°＝
小球离斜面的最大距离y＝＝＝.
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】从斜面顶端水平抛物问题
1．物体从斜面抛出后又落到斜面上，属已知位移方向的题目，此类题的解题方法一般是把位移分解，由位移方向确定两分位移的关系．
2．从斜面上开始又落于斜面上的过程中，速度方向与斜面平行时，物体到斜面的距离最大，此时已知速度方向，需将速度进行分解．
针对训练 两相同高度的固定斜面倾角分别为30°、60°，两小球分别由斜面顶端以相同水平速率v抛出，如图4所示，不计空气阻力，假设两球都能落在斜面上，则分别向左、右两侧抛出的小球下落高度之比为( )
图4
A．1∶2 B．3∶1
C．1∶9 D．9∶1
答案 C
解析 根据平抛运动的规律以及落在斜面上的特点可知，x＝vt，y＝gt2，tanθ＝，分别将30°、60°代入可得左右两球平抛所经历的时间之比为1∶3，两球下落高度之比为1∶9，选项C正确．
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】从斜面顶端水平抛物问题
三、类平抛运动
类平抛运动是指物体做曲线运动，其运动可以分解为互相垂直的两个方向的分运动：一个方向做匀速直线运动，另一个方向是在恒定合外力作用下的初速度为零的匀加速直线运动．
(1)类平抛运动的受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直．
(2)类平抛运动的运动规律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t.
合外力方向上：a＝，vy＝at，y＝at2.
例4 如图5所示的光滑固定斜面长为l、宽为b、倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：(重力加速度为g，不计空气阻力)
图5
(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
(2)物块由P点水平射入时的初速度大小v0；
(3)物块离开Q点时速度的大小v.
答案 (1) (2)b(3)
解析 (1)沿斜面向下的方向有mgsinθ＝ma，l＝at2
联立解得t＝.
(2)沿水平方向有b＝v0t
v0＝＝b.
(3)物块离开Q点时的速度大小
v＝＝.
【考点】类平抛物体的运动
【题点】类平抛物体的运动
1．(平抛运动规律的推论)如图6所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则( )
图6
A．当v1>v2时，α1>α2
B．当v1>v2时，α1<α2
C．无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D．α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
答案 C
解析 小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tanθ＝＝＝，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值tanβ＝＝，故可得tanβ＝2tanθ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是β，故速度方向与斜面的夹角就总是相等，与v1、v2的关系无关，C选项正确．
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】从斜面顶端水平抛物问题
2．(类平抛运动)A、B两个质点以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1.B沿光滑斜面运动，落地点为P2，不计阻力，如图7所示，下列关于P1、P2在x轴方向上远近关系的判断正确的是( )
图7
A．P1较远 B．P2较远
C．P1、P2一样远 D．A、B两项都有可能
答案 B
解析 A质点水平抛出后，只受重力，做平抛运动，在竖直方向有h＝gt12.B质点水平抛出后，受重力和支持力，在斜面平面内所受合力为mgsinθ，大小恒定且与初速度方向垂直，所以B质点做类平抛运动．在沿斜面向下方向上＝gsinθ·t22，由此得t2＞t1，由于二者在水平方向(x轴方向)上都做速度为v0的匀速运动，由x＝v0t知x2＞x1.
【考点】类平抛物体的运动
【题点】类平抛物体的运动
3．(与斜面有关的平抛运动)如图8所示，运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上(未画出)获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆．设一位运动员由斜坡顶的A点沿水平方向飞出的速度v0＝20m/s，落点在斜坡底的B点，斜坡倾角θ＝37°，斜坡可以看成一斜面，不计空气阻力．(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)求：
图8
(1)运动员在空中飞行的时间t；
(2)A、B间的距离s.
答案 (1)3s (2)75m
解析 (1)运动员由A点到B点做平抛运动，则水平方向的位移x＝v0t
竖直方向的位移y＝gt2
又＝tanθ，联立得t＝＝3s
(2)由题意知sinθ＝＝
得A、B间的距离s＝＝75m.
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】从斜面顶端水平抛物问题
4.(与斜面有关的平抛运动)如图9所示，小球以15m/s的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上．不计空气阻力，在这一过程中，求：(g取10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
图9
(1)小球在空中的飞行时间；
(2)抛出点距撞击点的竖直高度．
答案 (1)2s (2)20m
解析 (1)将小球垂直撞在斜面上时的速度分解，如图所示．
由图可知θ＝37°，
tanθ＝，则t＝＝2s.
(2)h＝gt2＝×10×22m＝20m.
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】对着斜面水平抛物问题
一、选择题
考点一 平抛运动推论的应用
1.如图1所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
图1
A．小球水平抛出时的初速度大小为gttanθ
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
答案 D
解析 速度、位移分解如图所示，vy＝gt，v0＝＝，故A错误．设位移方向与水平方向夹角为α，则tanθ＝2tanα，α≠，故B错误．平抛运动的时间由下落高度决定，与水平初速度无关，故C错误．由tanθ＝知，v0增大则θ减小，D正确．
【考点】平抛运动推论的应用
【题点】平抛运动推论的应用
2．某军区某旅展开的实兵实弹演练中，某火箭炮在山坡上发射炮弹，所有炮弹均落在山坡上，炮弹轨迹简化为平抛运动，如图2所示，则下列选项说法正确的是( )
图2
A．若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上速度方向与斜面夹角不变
B．若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上速度方向与斜面夹角变小
C．若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面夹角变大
D．若将炮弹初速度减为，炮弹位移变为原来的
答案 A
解析 因为炮弹落在斜面上的位移方向不变，所以落在斜面上的速度方向不变，B、C项错误，A项正确．由tanθ＝得：t＝，而h＝gt2，故h∝v，若将炮弹初速度减为，则炮弹下落高度变为原来的，位移也变为原来的，D项错误．
【考点】平抛运动推论的应用
【题点】平抛运动推论的应用
考点二 与斜面有关的平抛运动
3.如图3所示，在斜面顶端先后水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，从抛出到落至斜面上(忽略空气阻力)( )
图3
A．两次小球运动时间之比t1∶t2＝1∶
B．两次小球运动时间之比t1∶t2＝1∶2
C．两次小球抛出时初速度之比v01∶v02＝1∶2
D．两次小球抛出时初速度之比v01∶v02＝1∶4
答案 A
解析 平抛运动竖直方向为自由落体运动，h＝gt2，由题意可知两次平抛的竖直位移之比为1∶2，所以运动时间之比为t1∶t2＝1∶，A对，B错；水平方向为匀速直线运动，由题意知水平位移之比为1∶2，即v01t1∶v02t2＝1∶2，所以两次抛出时的初速度之比v01∶v02＝1∶，选项C、D错．
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】从斜面顶端水平抛物问题
4．如图4所示，从斜面上的A点以速度v0水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上的B点，已知A＝75m，α＝37°，不计空气阻力，g＝10m/s2，下列说法正确的是( )
图4
A．物体的位移大小为60m
B．物体飞行的时间为6s
C．物体的初速度v0大小为20m/s
D．物体在B点的速度大小为30m/s
答案 C
解析 物体的位移等于初、末位置的距离，位移大小l＝＝75m，A错误．平抛运动的竖直位移h＝sinα＝75×0.6m＝45m，根据h＝gt2得，物体飞行的时间t＝＝s＝3s，B错误．物体的初速度v0＝＝m/s＝20 m/s，C正确．物体落到B点的竖直分速度vBy＝gt＝10×3m/s＝30 m/s，根据平行四边形定则知，物体落在B点的速度vB＝＝m/s＝10m/s，D错误．
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】从斜面顶端水平抛物问题
5．在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
答案 A
解析 如图所示，可知：
x＝vt，
x·tanθ＝gt2，
vy＝gt＝2tanθ·v
vt＝＝v
甲、乙两球抛出速度为v和，则可得落至斜面时速率之比为2∶1.
6.斜面上有P、R、S、T四个点，如图5所示，PR＝RS＝ST，从P点正上方的Q点以速度v水平抛出一个物体，物体落于R点，若从Q点以速度2v水平抛出一个物体，不计空气阻力，则物体落在斜面上的( )
图5
A．R与S间的某一点
B．S点
C．S与T间的某一点
D．T点
答案 A
解析 平抛运动的时间由下落的高度决定，下落的高度越高，运动时间越长．如果没有斜面，增大速度后物体下落至与R等高时恰位于S点的正下方，但实际当中斜面阻碍了物体的下落，物体会落在R与S点之间斜面上的某个位置，A项正确．
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】对着斜面水平抛物问题
7．如图6所示，B点位于斜面底端M点的正上方，并与斜面顶端A点等高，且高度为h，在A、B两点分别以速度va和vb沿水平方向抛出两个小球a、b(可视为质点)，若a球落到M点的同时，b球恰好落到斜面的中点N，不计空气阻力，重力加速度为g，则( )
图6
A．va＝vb
B．va＝vb
C．a、b两球同时抛出
D．a球比b球提前抛出的时间为(－1)
答案 B
解析 据题意，由于a球落到斜面底端M点时b球落到斜面中点，则可知a球的水平位移和竖直位移都是b球的两倍，即xa＝2xb，ha＝2hb，由h＝gt2和x＝vt得v＝x，故＝，va＝vb，故选项A错误，选项B正确；由于抛出时两球所在的高度相同，下落高度不同，如果同时抛出，b球应该先到达斜面中点，故选项C错误；a球的运动时间为：ta＝，b球的运动时间为：tb＝，a球先运动，Δt＝ta－tb＝(－1)，故选项D错误．
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】对着斜面水平抛物问题
考点三 平抛运动规律的综合应用
8．如图7所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道．已知重力加速度为g，则A、B之间的水平距离为( )
图7
A. B.
C. D.
答案 A
解析 如图所示，对在B点时的速度进行分解，小球运动的时间t＝＝，则A、B间的水平距离x＝v0t＝，故A正确，B、C、D错误．
【考点】平抛运动规律的综合应用
【题点】平抛运动和圆的结合
9．(多选)如图8所示，从半径为R＝1m的半圆AB上的A点水平抛出一个可视为质点的小球，经t＝0.4s小球落到半圆上，已知当地的重力加速度g＝10m/s2，则小球的初速度v0可能为( )
图8
A．1m/s B．2 m/s C．3 m/s D．4 m/s
答案 AD
解析 由于小球经0.4s落到半圆上，下落的高度h＝gt2＝0.8m，位置可能有两处，如图所示，第一种可能：小球落在半圆左侧，v0t＝R－＝0.4m，v0＝1m/s，第二种可能：小球落在半圆右侧，v0′t＝R＋＝1.6m，v0′＝4m/s，选项A、D正确．
【考点】平抛运动推论的应用
【题点】平抛运动推论的应用
二、非选择题
10.(平抛运动规律的综合应用)如图9所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在平台前一倾角为α＝53°的固定斜面顶端并刚好沿斜面下滑，已知平台到斜面顶端的高度为h＝0.8m，不计空气阻力，g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求：
图9
(1)小球水平抛出的初速度大小v0；
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x.
答案 (1)3m/s (2)1.2m
解析 小球从平台运动到斜面顶端的过程中做平抛运动，由平抛运动规律有：x＝v0t，h＝gt2，vy＝gt
由题图可知：tanα＝＝
代入数据解得：v0＝3m/s，x＝1.2m.
【考点】平抛运动规律的综合应用
【题点】平抛运动规律的综合应用
11.(与斜面有关的平抛运动)如图10所示，在倾角为37°的斜面上从A点以6m/s的初速度水平抛出一个小球，小球落在B点，求：(g取10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力)
图10
(1)A、B两点间的距离和小球在空中飞行的时间；
(2)小球刚碰到斜面时的速度方向与水平方向夹角的正切值．
答案 (1)6.75m 0.9s (2)
解析 (1)如图所示，设小球落到B点时速度的偏转角为α，运动时间为t.
则tan37°＝＝＝t
又因为tan37°＝，解得t＝0.9s
所以x＝v0t＝5.4m
则A、B两点间的距离l＝＝6.75m
(2)在B点时，tanα＝＝＝.
12．(与斜面有关的平抛运动)如图11所示，一个小球从高h＝10m处以水平速度v0＝10m/s抛出，撞在倾角θ＝45°的斜面上的P点，已知＝5m．g＝10m/s2，不计空气阻力，求：
图11
(1)P、C之间的距离；
(2)小球撞击P点时速度的大小和方向．
答案 (1)5m (2)10m/s 方向垂直于斜面向下
解析 (1)设P、C之间的距离为L，根据平抛运动规律有＋Lcosθ＝v0t，h－Lsinθ＝gt2
联立解得L＝5m，t＝1s
(2)小球撞击P点时的水平速度v0＝10m/s
竖直速度vy＝gt＝10m/s
所以小球撞击P点时速度的大小v＝＝10m/s
设小球撞击P点时的速度方向与水平方向的夹角为α，则tanα＝＝1
解得α＝45°
故小球撞击P点时速度方向垂直于斜面向下．
【考点】平抛运动与斜面的结合问题
【题点】对着斜面水平抛物问题
13．(平抛运动规律的综合应用)如图12所示，斜面体ABC固定在地面上，小球p从A点静止下滑．当小球p开始下滑时，另一小球q从A点正上方的D点水平抛出，两球同时到达斜面底端的B处．已知斜面AB光滑，长度l＝2.5m，斜面倾角θ＝30°.不计空气阻力，g取10m/s2，求：
图12
(1)小球p从A点滑到B点的时间．
(2)小球q抛出时初速度的大小．
答案 (1)1s (2)m/s
解析 (1)设小球p从斜面上下滑的加速度为a，由牛顿第二定律得：a＝＝gsinθ①
设下滑所需时间为t1，根据运动学公式得
l＝at12②
由①②得
t1＝③
解得t1＝1s④
(2)对小球q：水平方向位移x＝lcosθ＝v0t2⑤
依题意得t2＝t1⑥
由④⑤⑥得
v0＝＝m/s.
【考点】平抛运动和直线运动的物体相遇问题
【题点】平抛运动和直线运动的物体相遇问题
第一章 抛体运动
章末总结
